2020年中考数学专题复习：十字相乘法因式分解

2020年中考数学专题复习：十字相乘法因式分解

初中数学十字相乘法因式分解 要点： 一、 2 ()x p q x pq   型的因式分解 特点是：（1）二次项的系数是 1（2）常数项是两个数之积（3）一次项系数是常数 的两个因数之和。对这个式子先去括号，得到： pqxqpx  )(2 )()( 22 pqqxpxxpqqxpxx  ))(()()( qxpxpxqpxx  因此： ))(()(2 qxpxpqxqpx  利用此式的结果可以直接将某些二次项系数是 1 的二次三项式分解因式。 二、一般二次三项式 2ax bx c的分解因式 大家知道， 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2( )( ) ( )a x c a x c a a x a c a c x c c      。 反过来，就可得到： 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2( ) ( )( )a a x a c a c x c c a x c a x c      我们发现，二次项系数a 分解成 12aa ，常数项c 分解成 12cc ，把 1 2 1 2, , ,a a c c 写成 11 22 ac ac ，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到 1 2 2 1a c a c ，那么 2ax bx c就可以分 解成 1 1 2 2( )( )a x c a x c. 这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相 乘法。 【典型例题】[例 1] 把下列各式分解因式。（1） 232  xx （2） 672  xx 分析：（1） 232  xx 的二次项的系数是 1，常数项 212  ，一次项系数 213  ，这 是一个 pqxqpx  )(2 型式子。 （2） 672  xx 的二次项系数是 1，常数项 )6()1(6  ，一次项系数  7 )1( )6( ，这也是一个 pqxqpx  )(2 型式子，因此可用公式 pqxqpx  )(2  x( ))( qxp  分解以上两式。 解：（1）因为 212  ，并且 213  ，所以 )2)(1(232  xxxx （2）因为 )6()1(6  ，并且 )6()1(7  ，所以 )6)(1(672  xxxx [例 2] 把下列各式因式分解。 （1） 22  xx （2） 1522  xx 分析：（1）  xx2 2 的二次项系数是 1，常数项 2)1(2  ，一次项系数 2)1(1  ， 这是一个 pqxqpx  )(2 型式子。 （2） 1522  xx 的二次项系数是 1，常数项 3)5(15  ，一次项系数 )5(2  3 ，这也是一个 pqxqpx  )(2 型式子。 以上两题可用 ))(()(2 qxpxpqxqpx  式子分解。 解：（1）因为 ，并且 2)1(1  ，所以 )1)(2(22  xxxx （2）因为 3)5(15  ，并且 3)5(2  ，所以 )3)(5(1522  xxxx 注意：（1）当常数项是正数时，它分解成两个同号因数，它们和一次项系数的符号相 同。 （2）当常数项是负数时，它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数和一次 项系数的符号相同。 [例 3] 把下列各式因式分解。 （1） 372 2  xx （2） 576 2  xx （3） 22 865 yxyx  解：（1） )12)(3(372 2  xxxx 12 31   7)1(1)3(2  （2） )53)(12(576 2  xxxx 53 12  713)5(2  （3） )45)(2(865 22 yxyxyxyx  y y 45 21  yyy 6)2(5)4(1  [例 4] 将 40)(3)( 2  yxyx 分解因式。 分析：可将 yx  看成是一个字母，即 ayx  ，于是上式可化为 4032  aa 二次项系 数是 1，常数 5)8(40  ，一次项系数 5)8(3  ，所以可用 )(2 qpx  x ))(( qxpxpq  式子分解。 解：因为 5)8(40  ，并且 5)8(3  ，所以 40)(3)( 2  yxyx )5)(8(]5)][(8)[(  yxyxyxyx [例 5] 把 2222 65 xyxyx  分解因式。 分析：多项式各项有公因式 2x ，第一步先提出各项公因式 2x ，得到： )65(65 222222  yyxxyxyx ，经分析 652  yy 它符合 pqyqpy  )(2 型式 子，于是可继续分解。第二步，按 pqyqpy  )(2 型二次三项式分解，得到： )1)(6()65( 222  yyxyyx 解： )1)(6()65(65 2222222  yyxyyxxyxyx [例 6] 将 xyyx 1681 55  分解因式。 解： xyyx 1681 55  )49)(49()1681( 222244  yxyxxyyxxy )23)(23)(49( 22  xyxyyxxy 注意：多项式分解因式的一般步骤是：（1）如果多项式各项有公因式，那么先提 出公因式。（2）在各项提出公因式后，或各项没有公因式的情况下，可考虑运用公式 法，对于四项式多项式可以考虑运用分组分解法。（3）要分解到每个多项式不能再分 解为止。 【模拟试题】 一. 填空题： 1.  2832 xx （ ）（ ） 2.  22 352 yxyx )7( yx  （ ） 3.  22 144320 yxyx )74( yx  （ ） 4.  51918 2 xx （ ）（ 12 x ） 5.  61135 22 mnnm －（ ）（ ） 6.  235116 aa （ ）（ ） 7.  652 xkx （ 23 x ）（ ） k 8. )25)(74(1443 2 yxyxyxym  ，则 m 9. )5)(74(4320 2 nxyxmxyx  ，则 m ， n 10. 分解因式  16)3(8)3( 2242 xxxx 。 二. 选择题： 1. 16102  xx 分解因式为（ ） A. )8)(2(  xx B. )8)(2(  xx C. )8)(2(  xx D. )8)(2(  xx 2. 22 3013 yxyx  分解为（ ） A. )10)(3( yxyx  B. )2)(15( yxyx  C. )3)(10( yxyx  D. )2)(15( yxyx  3. 把 35296 2  xx 分解因式为（ ） A. )53)(72(  xx B. )52)(73(  xx C. )52)(73(  xx D. )53)(72(  xx 4. 把 222 44 nmnmx  分解因式为（ ） A. )2)(2( nmxnmx  B. )2)(2( nmxnmx  C. )2)(2( nmxnmx  D. )2)(2( nmxnmx  5. 在下列二次三项式中，不是 pqxqpx  )(2 型式子的是（ ） A. 20122  xx B. 10092  xx C. 14132  xx D. 5292  xx 三. 解答题： 1. 将下列各式因式分解。 （1） 652  xx （2） 302  xx （3） 144302  xx 1） （3） 2 11 18xx （4） 225 26aa （5） 2232x xy y 2. 将下列各式因式分解。 （1） 1718 24  mm （2） 4224 2073 yyxx  （3） 23 14 5bb （4） 223xx （5） 22 5 7xx （6） 23 2 1aa 3. 因式分解。 （1） 24)7(10)7( 222  xxxx （2） 2222224 )()(2 zyzyxx  4. 已知 0284715 22  yxyx ，求 y x 的值。 5. 已知 06 22  baba （ 0a ， 0b ），求 b a a b  的值 6. 已知 02629 22  baba ，求 ba 32  的值。 试题答案 一. 1. 7x ； 4x 2. yx 5 3. yx 25  4. 59 x 5. 35 mn ； 27 mn 6. a72  ； a53 7. 32 x ；6 8. 220x 9. 214y ； y2 10. 2222 )23()2()1(  xxxx 二.1. A 2. D 3. B 4. B 5. B 三.1. 解： （1） )1)(6(652  xxxx （2） )5)(6(302  xxxx （3） )6)(24(144302  xxxx 2. 解：（1） )1)(17()1718(1718 222424  mmmmmm )1)(1)(17( 2  mmm （2） )53)(2)(2()53)(4(2073 2222224224 yxyxyxyxyxyyxx  （3） )2)(2)(2()2)(4()82(82 2222435  xxxxxxxxxxxxx 3. 解：（1） )73)(52()356(356 222424   nnknnkkknkn aaaaaaaaa （2） )54)(12(8 1)5148(88 5 4 7 22  xxxxxx 4. 解： （1） )27)(127(24)7(10)7( 22222  xxxxxxxx )27)(4)(3( 2  xxxx （2） 222222222222224 )()]([)()(2 zyxzyxzyzyxx  5. 解： 0284715 22  yxyx 0)45)(73(  yxyx ∴ yx 3 7 或 yx 5 4 当 yx 3 7 时，（1） 3 73 7  y y y x （2）当 5 4x y 时， 5 45 4  y y y x 6. 解： 06 22  baba 0)2)(3(  baba ba 3 ba 2 当 ba 3 时， 3 1333 13 3  b b b b b a a b 当 ba 2 时， 2 1222 12 2  b b b b b a a b 7. 解： 02629 22  baba 0)169()12( 22  bbaa 0)13()1( 22  ba 1a 3 1b 312) 3 1(31232  ba