第4章 相似三角形（知识点汇总·浙教9上）

第4章 相似三角形（知识点汇总·浙教9上）

相似三角形                  比例的性质 平行线分线段成比例 成比例线段 平行线分线段成比例定理 相似三角形定义 相似三角形的基本判定 相似三角形判定 相似三角形性质 位似 知识精讲 一、比例的性质 1． a c ad bcb d    ，这一性质称为比例的基本性质,由它可推出许多比例形式； 2． a c b d b d a c    (反比定理)； 3． a c a b b d c d    (或 d c b a  )(更比定理)； 4． a c a b c d b d b d     (合比定理)； 5． a c a b c d b d b d     (分比定理)； 6． a c a b c d b d a b c d      (合分比定理)； 7． ( 0)a c m a c m ab d nb d n b d n b                  (等比定理). 二、 黄金分割 如图，若线段 AB 上一点C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC（ AC BC ），且使 AC 是 AB 和 BC 的比例中项（即 2AC AB BC  ）则称线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫线段 AB 的黄金分割点，其中 5 1 0.6182AC AB AB  ， 知识网络图 3 5 0.3822BC AB AB  ， AC 与 AB 的比叫做黄金比． 三、平行线分线段成比例定理 1．定理：三条平行直线截两条直线，截得的对应线段成比例． 2．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． 3．推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行 于三角形的第三边． 4．三角形一边的平行线性质 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 如图， AB CD EF∥ ∥ ，则 AC BD CE DF AC BD CE DF CE DF AC BD AE BF AE BF    ， ， ， ．若将 AC 称为上，CE 称为下， AE 称为 全，上述比例式可以形象地表示为    上 上 下 下 上 上 下 下， ， ，下 下 上 上 全 全 全 全 ． 当三条平行线退化成两条的情形时，就成了“ A ”字型，“ X ”字型．则有 AE AF AE AF EFBC EF EB FC AB AC BC    ∥ ， ． 四、相似三角形的定义 1．相似三角形：形状相同的两个三角形叫做相似三角形． 如图， ABC△ 与 A B C  △ 相似，记作 ABC A B C  △ ∽△ ，符号∽ 读作“相似于”． 2．相似三角形的相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比； 全等三角形的相似比是 1，“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”。 五、相似三角形的判定： 1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 2．如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似。 3．如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。 4．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似。 【注意】1．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么 这两个直角三角形相似． 2．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明） 3．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们 的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似． 六、相似三角形的性质： 1．相似三角形的对应角相等 如图， ABC△ 与 A B C  △ 相似，则有 A A B B C C          ， ， ． 2．相似三角形的对应边成比例 如图， ABC△ 与 A B C  △ 相似，则有 AB BC AC kA B B C A C         （ k 为相似比）． 3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图， ABC△ 与 A B C  △ 相似， AM 是 ABC△ 中 BC 边上的中线， A M  是 A B C  △ 中 B C  边上的中线，则有 AB BC AC AMkA B B C A C A M            （ k 为相似比）． 如图， ABC△ 与 A B C  △ 相似， AH 是 ABC△ 中 BC 边上的高线， A H  是 A B C  △ 中 B C  边上的高线，则有 AB BC AC AHkA B B C A C A H            （ k 为相似比）． 如图， ABC△ 与 A B C  △ 相似， AD 是 ABC△ 中 BAC 的角平分线， A D  是 A B C  △ 中 B A C   的角平分线，则 有 AB BC AC ADkA B B C A C A D            （ k 为相似比）． 4．相似三角形周长的比等于相似比． 如图， ABC△ 与 A B C  △ 相似，则有 AB BC AC kA B B C A C         （ k 为相似比）．应用比例的等比性质有 AB BC AC AB BC AC kA B B C A C A B B C A C                  ． 5．相似三角形面积的比等于相似比的平方． 如图 5， ABC△ 与 A B C  △ 相似， AH 是 ABC△ 中 BC 边上的高线， A H  是 A B C  △ 中 B C  边上的高线，则有 AB BC AC AHkA B B C A C A H            （ k 为相似比）．进而可得 2 1 2 1 2 ABC A B C BC AHS BC AH kS B C A HB C A H                △ △ ． 七、位似 1．定义：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相较于一点，对应边互相平行，这样的两个图形叫做位似图 形。这个点叫做位似中心。 【注意】从位似的定义中可以找到位似图形的判定及性质，在做题中这就是做题的依据。 2．位似常会出现多解情况，需要注意． 1、与角分线有关的相似 角平分线类的相似模型如下： 方法点拨：角平分线类得相似问题基本就这样的两种模型，辅助线的做法也如图中虚线所示，学生在学这部分 知识时，不管是平时测验和期中、期末考试，只要涉及到角平分线和证明相似问题就可以试着做这样的辅助线，基 本都可以解决． 【例 1】 已知 ABC△ 中， BAC 的外角平分线交对边 BC 的延长线于 D ，求证： AB BD AC CD  解题方法技巧 D C B A 2、与射影定理有关的相似 射影定理常见及扩展模型： 图 1 有： 2AB BD BC  图 2 有： 2 2 2, ,AB BD BC AD BD DC AC DC BC      【例 2】 如图，已知 E 是矩形 ABCD 的边 CD 上一点， BF AE 于 F ，试说明： ABF EAD△ ∽△ ． F E D C B A 3、内接矩形与相似三角形 内接矩形类的模型及结论： 其中 AT DG AH BC  ，在平时训练中遇到内接矩形类的图形，就要充分利用这一结论，有助于进行解题． 【例 3】 如图，边长为 6 的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为 1S ， 2S ，则 1 2S S 的值为 _____________． 【例 4】 ABC 中，正方形 EFGH 的两个顶点 E 、F 在 BC 上，另两个顶点 G 、H 分别在 AC 、AB 上， 15BC  , BC 边上的高 10AD  ,求 EFGHS 【例 5】 锐角中 ABC△ ， 6BC  ， 12ABCS △ ，两动点 M ， N 分别在边 AB ， AC 上滑动，且 MN BC∥ ，以 MN 为 边向下作正方形 MPQN ，设其边长为 x ，正方形 MPQN 与 ABC△ 公共部分的面积为 ( 0)y y  . （1） ABC△ 中边 BC 上高 AD  __________； （2）当 x  _________时， PQ 恰好落在边 BC 上（如图 1）； （3）当 PQ 在 ABC△ 外部时（如图 2），求 y 关于 x 的函数关系式（注明 x 的取值范围），并求出 x 为何值 时 y 最大，最大值为多少. 4、一线三等角模型与相似 一线三等角模型是以等腰三角形（等腰梯形）或等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底 边所在的直线上，角的两边分别于等腰三角形的两边相交，如下图所示： 总结出三等角模型的基本图形是： 【例 6】 如图，梯形 ABCD 中，AB DC∥ ， 90B   ，E 为 BC 上一点，且 AE ED⊥ ，若 3AB  ， 4BE  ， 8DC  ， 则 DE =______． 【例 7】 如图，已知 AB BD ，ED BD ，C 是线段 BD 的中点，且 AC CE ， 1ED  ， 4BD  ，那么 AB  ________． 【例 8】 如图，一个边长分别为 3cm 、 4cm 、 5cm 的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点 B 重合，另两个顶点 分别在正方形的两条边 AC 、 DC 上，那么这个正方形的面积是_________． E D C B A 5 4 3 F 【例 9】 如图，梯形 ABCD 中，AD ∥ BC ， 6AB DC AD   ， 70ABC   ，点 E F， 分别在线段 AD DC， 上，且 110BEF   ，若 3AE  ，求 DF 长． 【例 10】如图，在矩形 ABCD 中， E 为 AD 中点， EF EC 交 AB 于 F ，连结  FC AB AE ． ⑴ AEF△ 与 ECF△ 是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由． ⑵设 AB kBC  ，是否存在这样的 k 值，使得 AEF△ 与 BFC△ 相似， 若存在，证明你的结论，并求出 k 的 值；若不存在，说明理由． 5、旋转与相似 手拉手模型——相似 条件： CD AB∥ ，将 OCD 旋转至右图位置 结论：右图 OCD OAB OAC OBD    ∽ ∽ 且延长 AC 交 BD 与点 E 必有 BEC BOA   手拉手相似（特殊情况）： 当 90AOB   时，除 OCD OAB OAC OBD    ∽ ∽ 之外，还会隐藏 tanBD OD OB OCDAC OC OA     ，满足 BD AC ,若连结 AD 、 BC ,则必有 2 2 2 2AD BC AB CD   ， 1 2ABCDS AC BD  （对角线互相垂直四边形） 6、各个模型之间的转化： 【例 11】如图 1，四边形 ABCD 是边长为 23 的正方形，长方形 AEFG 的宽 2 7AE ,长 32 7EF ．将长方形 AEFG 绕点 A 顺时针旋转 15°得到长方形 AMNH (如图 2)，这时 BD 与 MN 相交于点O ． （1）求 DOM 的度数； （2）在图 2 中，求 ND、 两点间的距离； （3）若把长方形 AMNH 绕点 A 再顺时针旋转 15°得到长方形 ARTZ ,请问此时点 B 在矩形 ARTZ 的内部、外部、还是边上？并说明理由． 图 1 图 2 易错点辨析 1、利用两边成比例和夹角相等的时候，一定要保证是夹角． 2、相似三角形中线段成比例时，线段一定要对应上． 课后作业 【练 1】 如图，小李打网球时，球恰好打过网，且落在离网 4m 的位置上，则球拍击球的高度 h 为（ ） A．0.6m B．1.2m C．1.3m D．1.4m 【练 1】 AD 是 Rt ABC△ 斜边上的高， DE DF ， DE 交 AB 于 E ， DF 交 AC 于 F ．求证： AF BE AD BD  ． D F E C B A 【练 2】 如图，矩形 ABCD 中， 4AB  ， 8BC  ，将矩形 ABCD 绕点 C 顺时针旋转 90°得到矩形 CGEF ．点 P 为线段 BC 上一点（不包括端点），且 AP EP ，求 APE△ 的面积． G F E D C B A 【练 3】 如图， ABC△ 是一块锐角三角形余料，边长 120BC  毫米，高 80AD  毫米，要把它加工成正方形零件， 使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB 、 AC 上，这个正方形零件的边长是多少？ N M P Q E D C B A 【练 4】 如图，在 Rt ABC△ 中， 90C  ∠ ，CD AB 于 D ，DE AC 于 E ，图中与 ABC△ 相似的三角形有（ ） A．1个 B． 2 个 C． 3个 D． 4 个 【练 5】 如图， Rt ABC△ 中， 90BAC   ， AD BC 于 D ， DE AB 于 E ，若 3AD  ， 2DE  ，则 AB 、 AC 的长分别为（ ） A． 9 5 9 5 2 ， B． 9 5 21 5 2 ， C． 9 5 9 5 5 2 ， D． 9 5 4 15 5 5 ， B A E D C E D C B A