镇江市2020年中考数学试题及答案

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镇江市2020年中考数学试题及答案

镇江市 2020 年中考数学试题及答案 1.下列计算正确的是( ) A.a3+a3=a6 B.(a3)2=a6 C.a6÷a2=a3 D.(ab)3=ab3 2.如图,将棱长为 6的正方体截去一个棱长为 3的正方体后,得到一个新的几何体, 这个几何体的主视图是( ) A. B. C. D. 3.一次函数 y=kx+3(k≠0)的函数值 y随 x的增大而增大,它的图象不经过的象限是 ( ) A.第一 B.第二 C.第三 D.第四 4.如图,AB是半圆的直径,C、D是半圆上的两点,∠ADC=106°,则∠CAB等于 ( ) A.10° B.14° C.16° D.26° 5.点 P(m,n)在以 y轴为对称轴的二次函数 y=x2+ax+4的图象上.则 m﹣n的最大值 等于( ) A. 15 4 B.4 C.﹣ 15 4 D.﹣ 17 4 6.如图①,AB=5,射线 AM∥BN,点 C在射线 BN上,将△ABC沿 AC所在直线翻折, 点 B的对应点 D落在射线 BN上,点 P,Q分别在射线 AM、BN上,PQ∥AB.设 AP =x,QD=y.若 y关于 x的函数图象(如图②)经过点 E(9,2),则 cosB的值等于 ( ) A. 2 5 B. 1 2 C. 3 5 D. 7 10 7. 2 3 倒数是________. 8.使 x 2 有意义的 x的取值范围是______. 9.分解因式:9x2-1=______. 10.2020年我国将完成脱贫攻坚目标任务.从 2012年底到 2019年底,我国贫困人口 减少了 93480000人,用科学记数法把 93480000表示为_____. 11.一元二次方程 x2﹣2x=0的解是 . 12.一只不透明的袋子中装有 5个红球和 1个黄球,这些球除颜色外都相同,搅匀后从 中任意摸出 1个球,摸出红球的概率等于_____. 13.圆锥底面圆半径为 5,母线长为 6,则圆锥侧面积等于_____. 14.点 O是正五边形 ABCDE的中心,分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆,组 成了一幅美丽的图案(如图).这个图案绕点 O至少旋转_____°后能与原来的图案互 相重合. 15.根据数值转换机的示意图,输出的值为_____. 16.如图,点 P是正方形 ABCD内位于对角线 AC下方的一点,∠1=∠2,则∠BPC的 度数为_____°. 17.在从小到大排列的五个数 x,3,6,8,12中再加入一个数,若这六个数的中位数、 平均数与原来五个数的中位数、平均数分别相等,则 x的值为_____. 18.如图,在△ABC中,BC=3,将△ABC平移 5个单位长度得到△A1B1C1,点 P、Q分 别是 AB、A1C1的中点,PQ的最小值等于_____. 19.(1)计算:4sin60°﹣ 12 +( 3﹣1)0; (2)化简(x+1)÷(1+ 1 x ). 20.(1)解方程: 2 3 x x  = 1 3x  +1; (2)解不等式组: 4 2 7 3( 2) 4 x x x x        21.如图,AC是四边形 ABCD的对角线,∠1=∠B,点 E、F分别在 AB、BC上,BE =CD,BF=CA,连接 EF. (1)求证:∠D=∠2; (2)若 EF∥AC,∠D=78°,求∠BAC的度数. 22.教育部发布的义务教育质量监测结果报告显示,我国八年级学生平均每天的睡眠时 间达 9小时及以上的比例为 19.4%.某校数学社团成员采用简单随机抽样的方法,抽取 了本校八年级 50名学生,对他们一周内平均每天的睡眠时间 t(单位:小时)进行了调 查,将数据整理后绘制成下表: 平均每天的 睡眠时间分 组 5≤t<6 6≤t<7 7≤t<8 8≤t<9 9小时及以上 频数 1 5 m 24 n 该样本中学生平均每天的睡眠时间达 9小时及以上的比例高于全国的这项数据,达到了 22%. (1)求表格中 n的值; (2)该校八年级共 400名学生,估计其中平均每天的睡眠时间在 7≤t<8这个范围内 的人数是多少. 23.智慧的中国古代先民发明了抽象的符号来表达丰富的含义.例如,符号“ ” 有刚毅的含义,符号“ ”有愉快的含义.符号中的“ ”表示“阴”,“ ” 表示“阳”,类似这样自上而下排成的三行符号还有其他的含义.所有这些三行符号中, 每一行只有一个阴或一个阳,且出现阴、阳的可能性相同. (1)所有这些三行符号共有 种; (2)若随机画一个这样的三行符号,求“画出含有一个阴和两个阳的三行符号”的概 率. 24.如图,点 E与树 AB的根部点 A、建筑物 CD的底部点 C在一条直线上,AC=10m.小 明站在点 E处观测树顶 B的仰角为 30°,他从点 E出发沿 EC方向前进 6m到点 G时, 观测树顶 B的仰角为 45°,此时恰好看不到建筑物 CD的顶部 D(H、B、D三点在一 条直线上).已知小明的眼睛离地面 1.6m,求建筑物 CD的高度(结果精确到 0.1m).(参 考数据: 2 ≈1.41, 3≈1.73.) 25.如图,正比例函数 y=kx(k≠0)的图象与反比例函数 y=﹣ 8 x 的图象交于点 A(n, 2)和点 B. (1)n= ,k= ; (2)点 C在 y轴正半轴上.∠ACB=90°,求点 C的坐标; (3)点 P(m,0)在 x轴上,∠APB为锐角,直接写出 m的取值范围. 26.如图,▱ ABCD中,∠ABC的平分线 BO交边 AD于点 O,OD=4,以点 O为圆心, OD长为半径作⊙O,分别交边 DA、DC于点 M、N.点 E在边 BC上,OE交⊙O于点 G,G为MN的中点. (1)求证:四边形 ABEO为菱形; (2)已知 cos∠ABC= 1 3 ,连接 AE,当 AE与⊙O相切时,求 AB的长. 27.(算一算) 如图①,点 A、B、C在数轴上,B为 AC的中点,点 A表示﹣3,点 B表示 1,则点 C 表示的数为 ,AC长等于 ; (找一找) 如图②,点 M、N、P、Q中的一点是数轴的原点,点 A、B分别表示实数 2 2 ﹣1、 2 2 +1, Q是 AB的中点,则点 是这个数轴的原点; (画一画) 如图③,点 A、B分别表示实数 c﹣n、c+n,在这个数轴上作出表示实数 n的点 E(要 求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹); (用一用) 学校设置了若干个测温通道,学生进校都应测量体温,已知每个测温通道每分钟可检测 a个学生.凌老师提出了这样的问题:假设现在校门口有 m个学生,每分钟又有 b个学 生到达校门口.如果开放 3个通道,那么用 4分钟可使校门口的学生全部进校;如果开 放 4个通道,那么用 2分钟可使校门口的学生全部进校.在这些条件下,a、m、b会有 怎样的数量关系呢? 爱思考的小华想到了数轴,如图④,他将 4分钟内需要进校的人数 m+4b记作+(m+4b), 用点 A表示;将 2分钟内由 4个开放通道检测后进校的人数,即校门口减少的人数 8a 记作﹣8a,用点 B表示. ①用圆规在小华画的数轴上分别画出表示+(m+2b)、﹣12a的点 F、G,并写出+(m+2b) 的实际意义; ②写出 a、m的数量关系: . 28.如图①,直线 l经过点(4,0)且平行于 y轴,二次函数 y=ax2﹣2ax+c(a、c是 常数,a<0)的图象经过点 M(﹣1,1),交直线 l于点 N,图象的顶点为 D,它的对称 轴与 x轴交于点 C,直线 DM、DN分别与 x轴相交于 A、B两点. (1)当 a=﹣1时,求点 N的坐标及 AC BC 的值; (2)随着 a的变化, AC BC 的值是否发生变化?请说明理由; (3)如图②,E是 x轴上位于点 B右侧的点,BC=2BE,DE交抛物线于点 F.若 FB =FE,求此时的二次函数表达式. 参考答案 1.B 【解析】 【分析】 根据合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的计算法则进行计算即可. 【详解】 解: 3 3 32a a a  ,因此选项 A不正确; 3 2 3 2 6( )a a a  ,因此选项 B正确; 6 2 6 2 4a a a a   ,因此选项C不正确; 3 3 3( )ab a b ,因此选项D不正确; 故选:B. 【点睛】 本题考查合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的计算方法,掌握相关运算 方法是解题的关键. 2.A 【解析】 【分析】 根据从正面看得到的视图是主视图,可得答案. 【详解】 解:从正面看是一个正方形,正方形的右上角是一个小正方形, 故选:A. 【点评】 本题考查了简单组合体的三视图,从正面看得到的视图是主视图. 3.D 【解析】 【分析】 根据一次函数 y=kx+3(k≠0)的函数值 y随 x的增大而增大,可以得到 k>0,与 y轴的交 点为(0,3),然后根据一次函数的性质,即可得到该函数图象经过哪几个象限,不经过哪 个象限,从而可以解答本题. 【详解】 解:∵一次函数 y=kx+3(k≠0)的函数值 y随 x的增大而增大, ∴k>0,该函数过点(0,3), ∴该函数的图象经过第一、二、三象限,不经过第四象限, 故选:D. 【点睛】 本题考查了一次函数的性质及一次函数的图象.解答本题的关键是明确题意,利用一次函数 的性质解答. 4.C 【解析】 【分析】 连接 BD,如图,根据圆周角定理得到∠ADB=90°,则可计算出∠BDC=16°,然后根据 圆周角定理得到∠CAB的度数. 【详解】 解:连接 BD,如图, ∵AB是半圆的直径, ∴∠ADB=90°, ∴∠BDC=∠ADC﹣∠ADB=106°﹣90°=16°, ∴∠CAB=∠BDC=16°. 故选:C. 【点睛】 本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所 对的圆心角的一半.半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径. 5.C 【解析】 【分析】 根据题意,可以得到 a的值以及 m和 n的关系,然后将 m、n作差,利用二次函数的性质, 即可求出 m﹣n的最大值. 【详解】 解:∵点 P(m,n)在以 y轴为对称轴的二次函数 y=x2+ax+4的图象上, ∴a=0, ∴n=m2+4, ∴m﹣n=m﹣(m2+4)=﹣m2+m﹣4=﹣(m﹣ 1 2 )2﹣ 15 4 , ∴当 m= 1 2 时,m﹣n取得最大值,此时 m﹣n=﹣ 15 4 , 故选:C. 【点睛】 本题考查了二次函数的图象与性质,属于常考题型,正确理解题意、熟练掌握二次函数的性 质是解题的关键. 6.D 【解析】 【分析】 由题意可得四边形 ABQP是平行四边形,可得 AP=BQ=x,由图象②可得当 x=9时,y=2, 此时点 Q在点 D下方,且 BQ=x=9时,y=2,如图①所示,可求 BD=7,由折叠的性质 可求 BC的长,由锐角三角函数可求解. 【详解】 解:∵AM∥BN,PQ∥AB, ∴四边形 ABQP是平行四边形, ∴AP=BQ=x, 由图②可得当 x=9时,y=2, 此时点 Q在点 D下方,且 BQ=x=9时,y=2,如图①所示, ∴BD=BQ﹣QD=x﹣y=7, ∵将△ABC沿 AC所在直线翻折,点 B的对应点 D落在射线 BN上, ∴BC=CD= 1 2 BD= 7 2 ,AC⊥BD, ∴cosB= BC AB = 7 2 5 = 7 10 , 故选:D. 【点睛】 本题考查了平行四边形的判定与性质,折叠的性质,锐角三角函数等知识.理解函数图象上 的点的具体含义是解题的关键. 7. 3 2 【解析】 【分析】 【详解】 因为互为倒数的两个数的乘积为 1,所以 2 3 倒数是 3 2 故答案为: 3 2 . 【点睛】 本题主要考查倒数的定义,解决本题的关键是要掌握倒数的定义. 8. x 2 【解析】 二次根式有意义的条件. 【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件,要使 x 2 在实数范围内有意义, 必须 x 2 0 x 2    . 9.(3x+1)(3x-1) 【解析】 【分析】 式子符合平方差公式的结构特点,利用平方差公式分解即可. 【详解】 解:9x2-1, =(3x)2-12, =(3x+1)(3x-1). 【点睛】 本题考查了平方差公式因式分解,熟记平方差公式的特点:两项平方项,符号相反是解题的 关键. 10.9.348×107 【解析】 【分析】 科学记数法的表示形式为 a×10n的形式,其中 1≤|a|<10,n为整数.确定 n的值是易错点, 由于 93480000有 8位,所以可以确定 n=8﹣1=7. 【详解】 解:93480000=9.348×107. 故答案为:9.348×107. 【点睛】 本题考查科学记数法,熟记科学记数法的表示形式,会确定 n值是解答的关键. 11. 1 2x 0 x 2 , 【解析】 【分析】 方程整理后,利用因式分解法求出解即可. 【详解】 方程整理得:x(x﹣2)=0, 可得 x=0或 x﹣2=0, 解得:x1=0,x2=2. 故答案为 x1=0,x2=2. 12. 5 6 【解析】 【分析】 根据概率计算公式,用红球的个数除以球的总个数即可得. 【详解】 解:∵袋子中共有 5+1=6个小球,其中红球有 5个, ∴搅匀后从中任意摸出 1个球,摸出红球的概率等于 5 6 , 故答案为: 5 6 . 【点睛】 本题考查了概率计算,熟练掌握概率计算方法是解答的关键. 13.30π 【解析】 【分析】 利用扇形的面积公式计算圆锥侧面积. 【详解】 解:圆锥侧面积= 1 2 ×2π×5×6=30π. 故答案为 30π. 【点睛】 本题考查了圆锥的计算.圆锥的侧面展开图为扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长, 扇形的半径等于圆锥的母线长. 14.72 【解析】 【分析】 直接利用旋转图形的性质进而得出旋转角. 【详解】 解:连接 OA,OE,则这个图形至少旋转∠AOE才能与原图象重合, ∠AOE= 360 5  =72°. 故答案为:72. 【点睛】 本题主要考查了旋转图形.正确掌握旋转图形的性质是解题的关键. 15. 1 9 【解析】 【分析】 利用代入法和负整数指数幂的计算方法进行计算即可. 【详解】 解:当 x=﹣3时,31+x=3﹣2= 1 9 , 故答案为: 1 9 . 【点睛】 本题考查了代入求值及负整数指数幂.用具体的数值代替代数式中的字母,按照代数式规定 的运算,求出的结果即为代数式的值. 16.135 【解析】 【分析】 由正方形的性质可得∠ACB=∠BAC=45°,可得∠2+∠BCP=45°=∠1+∠BCP,由三角 形内角和定理可求解. 【详解】 解:∵四边形 ABCD是正方形, ∴∠ACB=∠BAC=45°, ∴∠2+∠BCP=45°, ∵∠1=∠2, ∴∠1+∠BCP=45°, ∵∠BPC=180°﹣∠1﹣∠BCP, ∴∠BPC=135°, 故答案为:135. 【点睛】 本题考查了正方形的性质,三角形内角和定理,掌握正方形的性质是本题的关键. 17.1 【解析】 【分析】 原来五个数的中位数是 6,如果再加入一个数,变成了偶数个数,则中位数是中间两位数的 平均数,由此可知加入的一个数是 6,再根据平均数的公式得到关于 x的方程,解方程即可 求解. 【详解】 解:从小到大排列的五个数 x,3,6,8,12的中位数是 6, ∵再加入一个数,这六个数的中位数与原来五个数的中位数相等, ∴加入的一个数是 6, ∵这六个数的平均数与原来五个数的平均数相等, ∴ ( ) ( )1 6 1 3 6 8 12 3 6 6 8 12 5 x x+ + + + = + + + + + 解得 x=1. 故答案为:1. 【点睛】 本题考查了确定一组数据的中位数和平均数,熟悉相关性质是解题的关键. 18. 7 2 【解析】 【分析】 取 AC的中点M , 1 1A B 的中点N ,连接PM,MQ,NQ, PN ,根据平移的性质和三 角形的三边关系即可得到结论. 【详解】 解:取 AC的中点M , 1 1A B 的中点N ,连接PM,MQ,NQ, PN , 将 ABC 平移 5个单位长度得到△ 1 1 1A BC , 1 1 3BC BC = = , 5PN = , 点 P、Q分别是 AB、 1 1AC 的中点, 1 1 1 3 2 2 NQ BC = = , 3 35 5 2 2 PQ - +„ „ , 即 7 13 2 2 PQ„ „ , PQ 的最小值等于 7 2 , 故答案为: 7 2 . 【点睛】 本题考查了平移的性质,三角形的三边关系,熟练掌握平移的性质是解题的关键. 19.(1)1;(2)x. 【解析】 【分析】 (1)先求三角函数值、化简二次根式、计算零指数幂,再计算乘法,最后计算加减即可; (2)先计算括号内分式的加法,再将除法转化为乘法,最后约分即可. 【详解】 解:(1)原式=4× 3 2 ﹣2 3 +1 =2 3﹣2 3 +1 =1; (2)原式=(x+1)÷( 1x x x  ) =(x+1)÷ 1x x  =(x+1)• 1 x x  =x. 【点睛】 本题考查特殊角的三角函数值、二次根式化简、零指数幂、分式的混合运算,熟练掌握这些 知识的运算顺序和运算法则是解答的关键. 20.(1)x=4;(2)﹣3<x<5. 【解析】 【分析】 (1)解分式方程的步骤有:去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化为 1,检验; (2)先求出每个不等式的解集,再在数轴上表示出其解集,然后根据是否存在公共部分求 解即可. 【详解】 解:(1) 2 3 x x  = 1 3x  +1, 2x=1+x+3, 2x﹣x=1+3, x=4, 经检验,x=4是原方程的解, ∴此方程的解是 x=4; (2)   4 2 7 3 2 4 x x x x        ① ② , 由①得,4x﹣x>﹣2﹣7, 3x>﹣9, x>﹣3; 由②得,3x﹣6<4+x, 3x﹣x<4+6, 2x<10, x<5, 两个不等式的解集在数轴上表示为: ∴不等式组的解集是﹣3<x<5. 【点睛】 此题考查了解一元一次不等式组、分式方程,要掌握解方程和不等式的步骤和方法,解分式 方程时要进行检验. 21.(1)证明见解析;(2)78°. 【解析】 【分析】 (1)由“SAS”可证△BEF≌△CDA,可得∠D=∠2; (2)由(1)可得∠D=∠2=78°,由平行线的性质可得∠2=∠BAC=78°. 【详解】 证明:(1)在△BEF和△CDA中, 1 BE CD B BF CA      , ∴△BEF≌△CDA(SAS), ∴∠D=∠2; (2)∵∠D=∠2,∠D=78°, ∴∠D=∠2=78°, ∵EF∥AC, ∴∠2=∠BAC=78°. 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质,平行线的性质.证明△BEF≌△CDA是解题的关键 22.(1)11;(2)72. 【解析】 【分析】 (1)根据频率= 频数 总体数量 求解可得; (2)先根据频数的和是 50求出 m的值,再用总人数乘以样本中平均每天的睡眠时间在 7≤t <8这个范围内的人数所占比例即可. 【详解】 解:(1)n=50×22%=11; (2)m=50﹣1﹣5﹣24﹣11=9, 所以估计该校平均每天的睡眠时间在 7≤t<8这个范围内的人数是 400× 9 50 =72(人). 【点睛】 本题考查了频数分布表和利用样本估计总体等知识,属于常考题型,正确理解题意、熟练掌 握上述基本知识是解题的关键. 23.(1)8;(2) 3 8 . 【解析】 【分析】 (1)用列举法举出所有等可能的结果数即可; (2)根据(1)列举的结果数和概率公式即可得出答案. 【详解】 解:(1)共有 8种等可能的情况数,分别是:阴,阴,阴;阴,阳,阴;阴,阴,阳;阳, 阴,阴;阳,阳,阴;阳,阴,阳;阴,阳,阳;阳、阳、阳; 故答案为:8; (2)根据第(1)问一个阴、两个阳的共有 3种, 则有一个阴和两个阳的三行符号”的概率是 3 8 . 【点睛】 本题考查了用列举法求概率.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况之比. 24.19.8m. 【解析】 【分析】 延长 FH,交 CD于点 M,交 AB于点 N,求 CD,只需求出 DM即可,即只要求出 HN就可 以,在 Rt△BNF中,设 BN=NH=x,则根据 tan∠BFN= BN NF 就可以求出 x的值,再根据 等腰直角三角形的性质和线段的和可求得 CD的长. 【详解】 解:如图,延长 FH,交 CD于点 M,交 AB于点 N, ∵ ∠BHN=45°,BA⊥MH, 则 BN=NH, 设 BN=NH=x, ∵ HF=6,∠BFN=30°,且 tan∠BFN= BN NF = BN NH HF , ∴tan30°= 6 x x  , 解得 x≈8.22, 根据题意可知: DM=MH=MN+NH, ∵ MN=AC=10, 则 DM=10+8.22=18.22, ∴ CD=DM+MC=DM+EF=18.22+1.6=19.82≈19.8(m). 答:建筑物 CD的高度约为 19.8m. 【点睛】 本题考查解直角三角形应用-仰角俯角问题,理解仰角俯角的概念,根据题意构造直角三角 形,利用锐角三角函数解直角三角形是解答的关键. 25.(1)﹣4,﹣ 1 2 ;(2)C(0,2 5 );(3)m<﹣2 5或 m>2 5 【解析】 【分析】 (1)把 A点坐标代入反比例函数解析式求得 n,再把求得的 A点坐标代入正比例函数解析 式求得 k; (2)可设点 C(0,b),只要求出 b的值就行,求值一般的方法是相似和勾股定理,此题用 相似,只需证明△ACD∽△CBE即可; (3)在 x轴上找到点 P1,P2,使 AP1⊥P1B,AP2⊥BP2,则点 P在 P1的左边,在 P2的右边 就符合要求了. 【详解】 解:(1)把 A(n,2)代入反比例函数 y=﹣ 8 x 中,得 n=﹣4, ∴ A(﹣4,2), 把 A(﹣4,2)代入正比例函数 y=kx(k≠0)中,得 k=﹣ 1 2 , 故答案为:﹣4;﹣ 1 2 ; (2)如图 1,过 A作 AD⊥y轴于 D,过 B作 BE⊥y轴于 E, ∵ A(﹣4,2), ∴ 根据双曲线与正比例函数图象的对称性得 B(4,﹣2), 设 C(0,b),则 CD=b﹣2,AD=4,BE=4,CE=b+2, ∵ ∠ACO+∠OCB=90°,∠OCB+∠CBE=90°, ∴ ∠ACO=∠CBE, ∵ ∠ADC=∠CEB=90°, ∴ △ACD∽△CBE, ∴ CD AD BE CE  ,即 2 4 4 2 b b    , 解得,b=2 5,或 b=﹣2 5(舍), ∴ C(0,2 5); (3)如图 2,过 A作 AM⊥x轴于 M,过 B作 BN⊥x轴于 N,在 x轴上原点的两旁取两点 P1,P2,使得 OP1=OP2=OA=OB, ∴ 2 2 1 2 4 2 2 5OP OP OA     , ∴ P1(﹣2 5,0),P2(2 5,0), ∵ OP1=OP2=OA=OB, ∴ 四边形 AP1BP2为矩形, ∴ AP1⊥P1B,AP2⊥BP2, ∵ 点 P(m,0)在 x轴上,∠APB为锐角, ∴ P点必在 P1的左边或 P2的右边, ∴ m<﹣2 5或 m>2 5. 【点睛】 本题是正比例函数与反比例函数的综合题,涉及用待定系数法求解析式、利用相似三角形的 判定与性质求点的坐标、借助做辅助线构造矩形求满足条件的参数范围,解答关键是认真审 题,分析图象,找到相关信息的关联点,进而推理、计算. 26.(1)证明见解析;(2)2 6 . 【解析】 【分析】 (1)先由 G为MN的中点及同弧所对的圆周角和圆心角的关系得出∠MOG=∠MDN,再 由平行四边形的性质得出 AO∥BE,∠MDN+∠A=180°,进而判定四边形 ABEO是平行四 边形,然后证明 AB=AO,则可得结论; (2)过点 O作 OP⊥BA,交 BA的延长线于点 P,过点 O作 OQ⊥BC于点 Q,设 AB=AO =OE=x,则由 cos∠ABC= 1 3 ,可用含 x的式子分别表示出 PA、OP及 OQ,由勾股定理得 关于 x的方程,解得 x的值即可. 【详解】 解:(1)证明:∵G为MN的中点, ∴∠MOG=∠MDN. ∵四边形 ABCD是平行四边形. ∴AO∥BE,∠MDN+∠A=180°, ∴∠MOG+∠A=180°, ∴AB∥OE, ∴四边形 ABEO是平行四边形. ∵BO平分∠ABE, ∴∠ABO=∠OBE, 又∵∠OBE=∠AOB, ∴∠ABO=∠AOB, ∴AB=AO, ∴四边形 ABEO为菱形; (2)如图,过点 O作 OP⊥BA,交 BA的延长线于点 P,过点 O作 OQ⊥BC于点 Q,设 AE 交 OB于点 F, 则∠PAO=∠ABC, 设 AB=AO=OE=x,则 ∵cos∠ABC= 1 3 , ∴cos∠PAO= 1 3 , ∴ PA AO = 1 3 , ∴PA= 1 3 x, ∴OP=OQ= 2 2 3 x 当 AE与⊙O相切时,由菱形的对角线互相垂直,可知 F为切点, ∴由勾股定理得: 2 2 24 2 2( ) ( ) 8 3 3 x x  , 解得:x=2 6 . ∴AB的长为 2 6 . 【点睛】 本题主要考查菱形的证明,切线的性质,三角函数以及勾股定理,巧妙的作出辅助线和列出 勾股定理的方程是解决本题的关键. 27.(1)5,8;(2)N;(3)图见解析;(4)①+(m+2b)的实际意义:2分钟后,校门口需要 进入学校的学生人数,图见解析;②m=4a. 【解析】 【分析】 (1)根据数轴上点 A对应﹣3,点 B对应 1,求得 AB的长,进而根据 AB=BC可求得 AC 的长以及点 C表示的数; (2)可设原点为 O,根据条件可求得 AB中点表示的数以及线段 AB的长度,根据 AB=2, 可得 AQ=BQ=1,结合 OQ的长度即可确定 N为数轴的原点; (3)设 AB的中点为 M,先求得 AB的长度,得到 AM=BM=n,根据线段垂直平分线的作 法作图即可; (4)①根据每分钟进校人数为 b,每个通道每分钟进入人数为 a,列方程组 4 12 2 8 m b a m b a      , 根据 m+2b=OF,m+4b=12a,即可画出 F,G点,其中 m+2b表示两分钟后,校门口需要 进入学校的学生人数; ②解①中的方程组,即可得到 m=4a. 【详解】 解:(1)【算一算】:记原点为 O, ∵AB=1﹣(﹣3)=4, ∴AB=BC=4, ∴OC=OB+BC=5,AC=2AB=8. 所以点 C表示的数为 5,AC长等于 8. 故答案为:5,8; (2)【找一找】:记原点为 O, ∵AB= 2 2 +1﹣( 2 2 ﹣1)=2, ∴AQ=BQ=1, ∴OQ=OB﹣BQ= 2 2 +1﹣1= 2 2 , ∴N为原点. 故答案为:N. (3)【画一画】:记原点为 O, 由 AB=c+n﹣(c﹣n)=2n, 作 AB的中点 M, 得 AM=BM=n, 以点 O为圆心, AM=n长为半径作弧交数轴的正半轴于点 E, 则点 E即为所求; (4)【用一用】:在数轴上画出点 F,G;2分钟后,校门口需要进入学校的学生人数为:m =4a. ∵4分钟内开放 3个通道可使学生全部进校, ∴m+4b=3×a×4,即 m+4b=12a(Ⅰ); ∵2分钟内开放 4个通道可使学生全部进校, ∴m+2b=4×a×2,即 m+2b=8a(Ⅱ); ①以 O为圆心,OB长为半径作弧交数轴的正半轴于点 F,则点 F即为所求. 作 OB的中点 E,则 OE=BE=4a,在数轴负半轴上用圆规截取 OG=3OE=12a, 则点 G即为所求. +(m+2b)的实际意义:2分钟后,校门口需要进入学校的学生人数; ②方程(Ⅱ)×2﹣方程(Ⅰ)得:m=4a. 故答案为:m=4a. 【点睛】 本题考查了二元一次方程组的应用,实数与数轴,作图.解决本题的关键是根据题意找到等 量关系. 28.(1)N(4,﹣4), AC BC = 3 2 ;(2)不变,理由见解析;(3)y=﹣ 75 68 x2+ 75 34 x+ 293 68 或 y =﹣ 5 68 x2+ 5 34 x+ 83 68 . 【解析】 【分析】 (1)证明△DME∽△DAC,△DCB∽△DFN,则 ME DE AC DC  , BC DC FN DF  ,求出 AC= 5 2 , BC= 5 3 ,即可求解; (2)点 D(1,1﹣4a),N(4,1+5a),则 ME=2,DE=﹣4a,由(1)的结论得:AC= 1 4 2 a a   , BC= 1 4 3 a a   ,即可求解; (3)利用△FHE∽△DCE,求出 F( 5 3 ﹣ 5 12a , 1 6 ﹣ 2 3 a ),即可求解. 【详解】 解:(1)分别过点 M、N作 ME⊥CD于点 E,NF⊥DC于点 F, ∵ME∥FN∥x轴, ∴△DME∽△DAC,△DCB∽△DFN, ∴ ME DE AC DC  , BC DC FN DF  , ∵a=﹣1,则 y=﹣x2+2x+c, 将 M(﹣1,1)代入上式并解得:c=4, ∴抛物线的表达式为:y=﹣x2+2x+4, 则点 D(1,5),N(4,﹣4), 则 ME=2,DE=4,DC=5,FN=3,DF=9, ∴ 2 4 5, 5 3 9 BC AC   ,解得:AC= 5 2 ,BC= 5 3 , ∴ AC BC = 3 2 ; (2)不变,理由: ∵y=ax2﹣2ax+c过点 M(﹣1,1),则 a+2a+c=1, 解得:c=1﹣2a, ∴y=ax2﹣2ax+(1﹣3a), ∴点 D(1,1﹣4a),N(4,1+5a), ∴ME=2,DE=﹣4a, 由(1)的结论得:AC= 1 4 2 a a   ,BC= 1 4 3 a a   , ∴ AC BC = 3 2 ; (3)过点 F作 FH⊥x轴于点 H,则 FH∥l,则△FHE∽△DCE, ∵FB=FE,FH⊥BE, ∴BH=HE, ∵BC=2BE, 则 CE=6HE, ∵CD=1﹣4a, ∴FH= 1 4 6 a , ∵BC= 4 1 3 a a  , ∴CH= 5 4 × 4 1 3 a a  = 20 5 12 a a  , ∴F( 5 3 ﹣ 5 12a , 1 6 ﹣ 2 3 a ), 将点 F的坐标代入 y=ax2﹣2ax+(1﹣3a)=a(x+1)(x﹣3)+1得: 1 6 ﹣ 2 3 a=a( 5 3 ﹣ 5 12a +1)( 5 3 ﹣ 5 12a ﹣3)+1, 解得:a=﹣ 75 68 或﹣ 5 68 , 故 y=﹣ 75 68 x2+ 75 34 x+ 293 68 或 y=﹣ 5 68 x2+ 5 34 x+ 83 68 . 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质,二次函数的综合运用等知识.综合性强.
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