中考数学选择填空压轴题汇编：平移旋转对称三大变换

中考数学选择填空压轴题汇编：平移旋转对称三大变换

2020 年中考数学选择填空压轴题汇编：平移旋转对称三大变换 1.（2020•安徽）在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片 ABCD 沿过点 A 的直线折 叠，使得点 B 落在 CD 上的点 Q 处．折痕为 AP；再将△PCQ，△ADQ 分别沿 PQ，AQ 折叠，此时点 C， D 落在 AP 上的同一点 R 处．请完成下列探究： （1）∠PAQ 的大小为 30 °； （2）当四边形 APCD 是平行四边形时， 的值为 ． 【解答】解：（1）由折叠的性质可得：∠B＝∠AQP，∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB，∠DQA＝∠AQR，∠CQP ＝∠PQR，∠D＝∠ARQ，∠C＝∠QRP， ∵∠QRA+∠QRP＝180°， ∴∠D+∠C＝180°， ∴AD∥BC， ∴∠B+∠DAB＝180°， ∵∠DQR+∠CQR＝180°， ∴∠DQA+∠CQP＝90°， ∴∠AQP＝90°， ∴∠B＝∠AQP＝90°， ∴∠DAB＝90°， ∴∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB＝30°， 故答案为：30； （2）由折叠的性质可得：AD＝AR，CP＝PR， ∵四边形 APCD 是平行四边形， ∴AD＝PC， ∴AR＝PR， 又∵∠AQP＝90°， ∴QR AP， ∵∠PAB＝30°，∠B＝90°， ∴AP＝2PB，AB PB， ∴PB＝QR， ∴ ， 故答案为： ． 2.（2020•天水）如图，在边长为 6 的正方形 ABCD 内作∠EAF＝45°，AE 交 BC 于点 E，AF 交 CD 于点 F， 连接 EF，将△ADF 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△ABG．若 DF＝3，则 BE 的长为 2 ． 【解答】解： 法一：由题意可得， △ADF≌△ABG， ∴DF＝BG，∠DAF＝∠BAG， ∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°， ∴∠DAF+∠EAB＝45°， ∴∠BAG+∠EAB＝45°， ∴∠EAF＝∠EAG， 在△EAG 和△EAF 中， ܩ ܩ ， ∴△EAG≌△EAF（SAS）， ∴GE＝FE， 设 BE＝x，则 GE＝BG+BE＝3+x，CE＝6﹣x， ∴EF＝3+x， ∵CD＝6，DF＝3， ∴CF＝3， ∵∠C＝90°， ∴（6﹣x）2+32＝（3+x）2， 解得，x＝2， 即 BE＝2， 法二：设 BE＝x，连接 GF，如下图所示， ∵四边形 ABCD 为正方形， ∴∠ABE＝∠GCF＝90°， ∵△ADF 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△ABG， ∴∠CAF＝90°，GA＝FA， ∴△GAF 为等腰直角三角形， ∵∠EAF＝45°， ∴AE 垂直平分 GF， ∴∠AEB+∠CGF＝90°， ∵在 Rt△AEB 中，∠AEB+∠BAE＝90°， ∴∠BAE＝∠CGF， ∴△BAE～△CGF， ∴ ܩ ， ∵CF＝CD﹣DF＝6﹣3＝3，GC＝BC+BG＝BC+DF＝6+3＝9， ∴ ， ∴x＝2， 即 BE＝2， 故答案为：2． 3.（2020•深圳）如图，矩形纸片 ABCD 中，AB＝6，BC＝12．将纸片折叠，使点 B 落在边 AD 的延长线上 的点 G 处，折痕为 EF，点 E、F 分别在边 AD 和边 BC 上．连接 BG，交 CD 于点 K，FG 交 CD 于点 H．给 出以下结论： ① EF⊥BG； ② GE＝GF； ③ △GDK 和△GKH 的面积相等； ④ 当点 F 与点 C 重合时，∠DEF＝75°， 其中正确的结论共有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【解答】解：如图，连接 BE，设 EF 与 BG 交于点 O， ∵将纸片折叠，使点 B 落在边 AD 的延长线上的点 G 处， ∴EF 垂直平分 BG， ∴EF⊥BG，BO＝GO，BE＝EG，BF＝FG，故 ① 正确， ∵AD∥BC， ∴∠EGO＝∠FBO， 又∵∠EOG＝∠BOF， ∴△BOF≌△GOE（ASA）， ∴BF＝EG， ∴BF＝EG＝GF，故 ② 正确， ∵BE＝EG＝BF＝FG， ∴四边形 BEGF 是菱形， ∴∠BEF＝∠GEF， 当点 F 与点 C 重合时，则 BF＝BC＝BE＝12， ∵sin∠AEB ， ∴∠AEB＝30°， ∴∠DEF＝75°，故 ④ 正确， 由题意无法证明△GDK 和△GKH 的面积相等，故 ③ 错误； 故选：C． 4.（2020•随州）如图，已知矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝4，点 M，N 分别在边 AD，BC 上，沿着 MN 折 叠矩形 ABCD，使点 A，B 分别落在 E，F 处，且点 F 在线段 CD 上（不与两端点重合），过点 M 作 MH ⊥BC 于点 H，连接 BF，给出下列判断： ① △MHN∽△BCF； ② 折痕 MN 的长度的取值范围为 3＜MN＜ ； ③ 当四边形 CDMH 为正方形时，N 为 HC 的中点； ④ 若 DF DC，则折叠后重叠部分的面积为 ． 其中正确的是 ①②③④ ．（写出所有正确判断的序号） 【解答】解： ① 如图 1，由折叠可知 BF⊥MN， ∴∠BOM＝90°， ∵MH⊥BC， ∴∠BHP＝90°＝∠BOM， ∵∠BPH＝∠OPM， ∴∠CBF＝∠NMH， ∵∠MHN＝∠C＝90°， ∴△MHN∽△BCF， 故 ① 正确； ② 当 F 与 C 重合时，MN＝3，此时 MN 最小， 当 F 与 D 重合时，如图 2，此时 MN 最大， 由勾股定理得：BD＝5， ∵OB＝OD ， ∵tan∠DBC ，即 ， ∴ON ， ∵AD∥BC， ∴∠MDO＝∠OBN， 在△MOD 和△NOB 中， ∵ ∠ ∠ ， ∴△DOM≌△BON（ASA）， ∴OM＝ON， ∴MN＝2ON ， ∵点 F 在线段 CD 上（不与两端点重合）， ∴折痕 MN 的长度的取值范围为 3＜MN＜ ； 故 ② 正确； ③ 如图 3，连接 BM，FM， 当四边形 CDMH 为正方形时，MH＝CH＝CD＝DM＝3， ∵AD＝BC＝4， ∴AM＝BH＝1， 由勾股定理得：BM ， ∴FM ， ∴DF 1， ∴CF＝3﹣1＝2， 设 HN＝x，则 BN＝FN＝x+1， 在 Rt△CNF 中，CN2+CF2＝FN2， ∴（3﹣x）2+22＝（x+1）2， 解得：x ， ∴HN ， ∵CH＝3， ∴CN＝HN ， ∴N 为 HC 的中点； 故 ③ 正确； ④ 如图 4，连接 FM， ∵DF DC，CD＝3， ∴DF＝1，CF＝2， ∴BF 2 ， ∴OF ， 设 FN＝a，则 BN＝a，CN＝4﹣a， 由勾股定理得：FN2＝CN2+CF2， ∴a2＝（4﹣a）2+22， ∴a ， ∴BN＝FN ，CN ， ∵∠NFE＝∠CFN+∠DFQ＝90°， ∠CFN+∠CNF＝90°， ∴∠DFQ＝∠CNF， ∵∠D＝∠C＝90°， ∴△QDF∽△FCN， ∴ ，即 ， ∴QD ， ∴FQ ， ∵tan∠HMN＝tan∠CBF ， ∴ ， ∴HN ， ∴MN ， ∵CH＝MD＝HN+CN 3， ∴MQ＝3 ， ∴折叠后重叠部分的面积为：S△MNF+S△MQF ； 故 ④ 正确； 所以本题正确的结论有： ①②③④ ； 故答案为： ①②③④ ． 5.（2020•武汉）如图，折叠矩形纸片 ABCD，使点 D 落在 AB 边的点 M 处，EF 为折痕，AB＝1，AD＝2．设 AM 的长为 t，用含有 t 的式子表示四边形 CDEF 的面积是 ． 【解答】解：连接 DM，过点 E 作 EG⊥BC 于点 G， 设 DE＝x＝EM，则 EA＝2﹣x， ∵AE2+AM2＝EM2， ∴（2﹣x）2+t2＝x2， 解得 x 1， ∴DE 1， ∵折叠矩形纸片 ABCD，使点 D 落在 AB 边的点 M 处， ∴EF⊥DM， ∠ADM+∠DEF＝90°， ∵EG⊥AD， ∴∠DEF+∠FEG＝90°， ∴∠ADM＝∠FEG， ∴tan∠ADM ܩ ， ∴FG ， ∵CG＝DE 1， ∴CF 1， ∴S 四边形 CDEF （CF+DE）×1 t+1． 故答案为： t+1． 6.（2020•咸宁）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝2，BC＝2 ，E 是 BC 的中点，将△ABE 沿直线 AE 翻折， 点 B 落在点 F 处，连结 CF，则 cos∠ECF 的值为（ ） A． B． C． D． 【解答】解：如图，∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠B＝90°， ∵E 是 BC 的中点，BC＝2 ， ∴BE＝CE BC ， ∴AE 3， 由翻折变换的性质得：△AFE≌△ABE， ∴∠AEF＝∠AEB，EF＝BE ， ∴EF＝CE， ∴∠EFC＝∠ECF， ∵∠BEF＝∠EFC+∠ECF， ∴∠AEB＝∠ECF， ∴cos∠ECF＝cos∠AEB ． 故选：C． 7.（2020•襄阳）如图，矩形 ABCD 中，E 为边 AB 上一点，将△ADE 沿 DE 折叠，使点 A 的对应点 F 恰好 落在边 BC 上，连接 AF 交 DE 于点 N，连接 BN．若 BF•AD＝15，tan∠BNF ，则矩形 ABCD 的面积 为 15 ． 【解答】解：∵将△ADE 沿 DE 折叠，使点 A 的对应点 F 恰好落在边 BC 上， ∴AF⊥DE，AE＝EF， ∵矩形 ABCD 中，∠ABF＝90°， ∴B，E，N，F 四点共圆， ∴∠BNF＝∠BEF， ∴tan∠BEF ， 设 BF x，BE＝2x， ∴EF 3x， ∴AE＝3x， ∴AB＝5x， ∴AB BF． ∴S 矩形 ABCD＝AB•AD BF•AD 15＝15 ． 故答案为：15 ． 8.（2020•孝感）如图，点 E 在正方形 ABCD 的边 CD 上，将△ADE 绕点 A 顺时针旋转 90°到△ABF 的位 置，连接 EF，过点 A 作 EF 的垂线，垂足为点 H，与 BC 交于点 G．若 BG＝3，CG＝2，则 CE 的长为 （ ） A． B． C．4 D． 【解答】解：如图所示，连接 EG， 由旋转可得，△ADE≌△ABF， ∴AE＝AF，DE＝BF， 又∵AG⊥EF， ∴H 为 EF 的中点， ∴AG 垂直平分 EF， ∴EG＝FG， 设 CE＝x，则 DE＝5﹣x＝BF，FG＝8﹣x， ∴EG＝8﹣x， ∵∠C＝90°， ∴Rt△CEG 中，CE2+CG2＝EG2，即 x2+22＝（8﹣x）2， 解得 x ， ∴CE 的长为 ， 故选：B． 9.（2020•衡阳）如图 1，在平面直角坐标系中，▱ ABCD 在第一象限，且 BC∥x 轴．直线 y＝x 从原点 O 出 发沿 x 轴正方向平移，在平移过程中，直线被▱ ABCD 截得的线段长度 n 与直线在 x 轴上平移的距离 m 的函数图象如图 2 所示．那么▱ ABCD 的面积为（ ） A．3 B．3 C．6 D．6 【解答】解：过 B 作 BM⊥AD 于点 M，分别过 B，D 作直线 y＝x 的平行线，交 AD 于 E，如图 1 所示， 由图象和题意可得， AE＝6﹣4＝2，DE＝7﹣6＝1，BE＝2， ∴AB＝2+1＝3， ∵直线 BE 平行直线 y＝x， ∴BM＝EM ， ∴平行四边形 ABCD 的面积是：AD•BM＝3× 3 ． 故选：B． 10.（2020•江西）矩形纸片 ABCD，长 AD＝8cm，宽 AB＝4cm，折叠纸片，使折痕经过点 B，交 AD 边于点 E，点 A 落在点 A'处，展平后得到折痕 BE，同时得到线段 BA'，EA'，不再添加其它线段．当图中存在 30° 角时，AE 的长为 厘米或 4 厘米或 厘米． 【解答】解： ① 当∠ABE＝30°时，AE＝AB×tan30° ； ② 当∠AEB＝30°时，AE ܽ 4 ； ③ ∠ABE＝15°时，∠ABA′＝30°，延长 BA′交 AD 于 F，如下图所示， 设 AE＝x，则 EA′＝x，EF ݅ ， ∵AF＝AE+EF＝ABtan30° ， ∴x ， ∴x＝8﹣4 ， ∴AE＝8﹣4 ． 故答案为： 厘米或 4 厘米或 8﹣4 厘米． 11.（2020•滨州）如图，对折矩形纸片 ABCD，使 AD 与 BC 重合，得到折痕 EF，把纸片展平后再次折叠， 使点 A 落在 EF 上的点 A′处，得到折痕 BM，BM 与 EF 相交于点 N．若直线 BA′交直线 CD 于点 O， BC＝5，EN＝1，则 OD 的长为（ ） A． B． C． D． 【解答】解：∵EN＝1， ∴由中位线定理得 AM＝2， 由折叠的性质可得 A′M＝2， ∵AD∥EF， ∴∠AMB＝∠A′NM， ∵∠AMB＝∠A′MB， ∴∠A′NM＝∠A′MB， ∴A′N＝2， ∴A′E＝3，A′F＝2 过 M 点作 MG⊥EF 于 G， ∴NG＝EN＝1， ∴A′G＝1， 由勾股定理得 MG ， ∴BE＝OF＝MG ， ∴OF：BE＝2：3， 解得 OF ， ∴OD ． 故选：B． 12.（2020•德州）如图，在矩形 ABCD 中，AB 2，AD ．把 AD 沿 AE 折叠，使点 D 恰好落在 AB 边上的 D′处，再将△AED′绕点 E 顺时针旋转 α ，得到△A'ED″，使得 EA′恰好经过 BD′的中点 F．A′ D″交 AB 于点 G，连接 AA′．有如下结论： ① A′F 的长度是 2； ② 弧 D'D″的长度是 π ； ③△A′AF≌△A′EG； ④ △AA′F∽△EGF．上述结论中，所有正确的序号是 ①②④ ． 【解答】解：∵把 AD 沿 AE 折叠，使点 D 恰好落在 AB 边上的 D′处， ∴∠D＝∠AD'E＝90°＝∠DAD'，AD＝AD'， ∴四边形 ADED'是矩形， 又∵AD＝AD' ， ∴四边形 ADED'是正方形， ∴AD＝AD'＝D'E＝DE ，AE AD ，∠EAD'＝∠AED'＝45°， ∴D'B＝AB﹣AD'＝2， ∵点 F 是 BD'中点， ∴D'F＝1， ∴EF 2， ∵将△AED′绕点 E 顺时针旋转 α ， ∴AE＝A'E ，∠D'ED''＝ α ，∠EA'D''＝∠EAD'＝45°， ∴A'F 2，故 ① 正确； ∵tan∠FED' ， ∴∠FED'＝30° ∴ α ＝30°+45°＝75°， ∴弧 D'D″的长度 h π ，故 ② 正确； ∵AE＝A'E，∠AEA'＝75°， ∴∠EAA'＝∠EA'A＝52.5°， ∴∠A'AF＝7.5°， ∵∠AA'F≠∠EA'G，∠AA'E≠∠EA'G，∠AFA'＝120°≠∠EA'G， ∴△AA'F 与△A'GE 不全等，故 ③ 错误； ∵D'E＝D''E，EG＝EG， ∴Rt△ED'G≌Rt△ED''G（HL）， ∴∠D'GE＝∠D''GE， ∵∠AGD''＝∠A'AG+∠AA'G＝105°， ∴∠D'GE＝52.5°＝∠AA'F， 又∵∠AFA'＝∠EFG， ∴△AFA'∽△EFG，故 ④ 正确， 故答案为： ①②④ ． 13.（2020•聊城）如图，在 Rt△ABC 中，AB＝2，∠C＝30°，将 Rt△ABC 绕点 A 旋转得到 Rt△AB′C′， 使点 B 的对应点 B′落在 AC 上，在 B′C′上取点 D，使 B′D＝2，那么点 D 到 BC 的距离等于（ ） A．2（ 1） B． 1 C． 1 D． 1 【解答】解：∵在 Rt△ABC 中，AB＝2，∠C＝30°， ∴BC＝2 ，AC＝4， ∵将 Rt△ABC 绕点 A 旋转得到 Rt△AB′C′，使点 B 的对应点 B′落在 AC 上， ∴AB′＝AB＝2，B′C′＝BC＝2 ， ∴B′C＝2， 延长 C′B′交 BC 于 F， ∴∠CB′F＝∠AB′C′＝90°， ∵∠C＝30°， ∴∠CFB′＝60°，B′F B′C ， ∵B′D＝2， ∴DF＝2 ， 过 D 作 DE⊥BC 于 E， ∴DE DF （2 ） 1， 故选：D． 14.（2020•杭州）如图是一张矩形纸片，点 E 在 AB 边上，把△BCE 沿直线 CE 对折，使点 B 落在对角线 AC 上的点 F 处，连接 DF．若点 E，F，D 在同一条直线上，AE＝2，则 DF＝ 2 ，BE＝ 1 ． 【解答】解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD＝BC，∠ADC＝∠B＝∠DAE＝90°， ∵把△BCE 沿直线 CE 对折，使点 B 落在对角线 AC 上的点 F 处， ∴CF＝BC，∠CFE＝∠B＝90°，EF＝BE， ∴CF＝AD，∠CFD＝90°， ∴∠ADE+∠CDF＝∠CDF+∠DCF＝90°， ∴∠ADF＝∠DCF， ∴△ADE≌△FCD（ASA）， ∴DF＝AE＝2； ∵∠AFE＝∠CFD＝90°， ∴∠AFE＝∠DAE＝90°， ∵∠AEF＝∠DEA， ∴△AEF∽△DEA， ∴ ， ∴ ， ∴EF 1（负值舍去）， ∴BE＝EF 1， 故答案为：2， 1． 15.（2020•嘉兴）如图，有一张矩形纸条 ABCD，AB＝5cm，BC＝2cm，点 M，N 分别在边 AB，CD 上，CN ＝1cm．现将四边形 BCNM 沿 MN 折叠，使点 B，C 分别落在点 B'，C'上．当点 B'恰好落在边 CD 上时， 线段 BM 的长为 cm；在点 M 从点 A 运动到点 B 的过程中，若边 MB'与边 CD 交于点 E，则点 E 相应运动的路径长为 （ ） cm． 【解答】解：如图 1 中， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠1＝∠3， 由翻折的性质可知：∠1＝∠2，BM＝MB′， ∴∠2＝∠3， ∴MB′＝NB′， ∵NB′ （cm）， ∴BM＝NB′ （cm）． 如图 2 中，当点 M 与 A 重合时，AE＝EN，设 AE＝EN＝xcm， 在 Rt△ADE 中，则有 x2＝22+（4﹣x）2，解得 x ， ∴DE＝4 （cm）， 如图 3 中，当点 M 运动到 MB′⊥AB 时，DE′的值最大，DE′＝5﹣1﹣2＝2（cm）， 如图 4 中，当点 M 运动到点 B′落在 CD 时，DB′（即 DE″）＝5﹣1 （4 ）（cm）， ∴点 E 的运动轨迹 E→E′→E″，运动路径＝EE′+E′B′＝2 2﹣（4 ）＝（ ）（cm）． 故答案为 ，（ ）． 16.（2020•衢州）如图，把一张矩形纸片 ABCD 按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形 BEF，若 BC＝1，则 AB 的长度为（ ） A． B． C． D． 【解答】解： 由折叠补全图形如图所示， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ADA'＝∠B＝∠C＝∠A＝90°，AD＝BC＝1，CD＝AB， 由第一次折叠得：∠DAE＝∠A＝90°，∠ADE ∠ADC＝45°， ∴∠AED＝∠ADE＝45°， ∴AE＝AD＝1， 在 Rt△ADE 中，根据勾股定理得，DE AD ， 故选：A．