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单元检测(二) 方程(组)与不等式(组)
(时间:120 分钟 满分:150 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的)
1.(2018·山东淄博)若单项式 am-1b2 与 a2bn 的和仍是单项式,则 nm 的值是( )
A.3 B.6 C.8 D.9
答案 C
2.(2018·江苏宿迁)若 a
- D.a2 的解集为 .
答案 x<
解析移项,得-x> -3,合并同类项,得-x>- ,系数化为 1,得 x< .
12.(2018·内蒙古包头)若 a-3b=2,3a-b=6,则 b-a 的值为 .
答案-2
解析由题意知 ,①+②,得 4a-4b=8,则 a-b=2,∴b-a=-2.
13.(2018·四川绵阳)已知 a>b>0,且 =0,则 = .
答案
解析由题意得:2b(b-a)+a(b-a)+3ab=0,整理,得 2 -1=0,
解得 .
∵a>b>0,∴ .
14.(2018·安徽模拟)已知整数 k<5,若△ABC 的边长均满足关于 x 的方程 x2-3 x+8=0,则
△ABC 的周长是 .
答案 6 或 12 或 10
解析根据题意得 k≥0 且(3 )2-4×8≥0,解得 k≥ .∵整数 k<5,∴k=4,
∴方程变形为 x2-6x+8=0,解得 x1=2,x2=4.
∵△ABC 的边长均满足关于 x 的方程 x2-6x+8=0,
∴△ABC 的边长为 2、2、2 或 4、4、4 或 4、4、2,
∴△ABC 的周长为 6 或 12 或 10.
三、(本大题共 2 小题,每小题 8 分,满分 16 分)
15.(2018·浙江义乌)解方程:x2-2x-1=0.
解(配方法)移项,得 x2-2x=1,
配方,得 x2-2x+1=1+1,
即(x-1)2=2,
开方,得 x-1=± ,
即 x1=1+ ,x2=1- .
(公式法)a=1,b=-2,c=-1,Δ=b2-4ac=4+4=8>0,方程有两个不相等的实数根,
x= =1± ,
即 x1=1+ ,x2=1- .
16.(2018·安庆一模)解不等式组: 并把解集在数轴上表示出来.
解
解不等式①,得 x≤1.
解不等式②,得 x>-3.
∴原不等式组的解集为-30.
∴原方程有两个不相等的实数根.
(2)答案不唯一,若方程有两个相等的实数根,则Δ=b2-4a=0.如当 a=1,b=2 时,原方程为
x2+2x+1=0,解得 x1=x2=-1. 〚导学号 16734152〛
五、(本大题共 2 小题,每小题 10 分,满分 20 分)
19.(2018·安徽名校联考)我国明代数学家程大位的名著《直接算法统宗》里有一道著名算
题:
“一百馒头一百僧,大僧三个更无争,小僧三人分一个,大小和尚各几丁?”
译文为:有 100 个和尚分 100 个馒头,正好分完;如果大和尚一人分 3 个,小和尚 3 人分一
个,试问大、小和尚各几人?
请解答上述问题.
解设大、小和尚各有 x、y 人,
根据题意,可列方程组为 解得
答:大和尚 25 人,小和尚 75 人.
20.(2017·安徽望江模拟)先阅读后解题.
已知 m2+2m+n2-6n+10=0,求 m 和 n 的值.
解:把等式的左边分解因式:(m2+2m+1)+(n2-6n+9)=0.
即(m+1)2+(n-3)2=0.
因为(m+1)2≥0,(n-3)2≥0.
所以 m+1=0,n-3=0 即 m=-1,n=-3.
利用以上解法,解下列问题:
(1)已知:x2-4x+y2+2y+5=0,求 x 和 y 的值.
(2)已知 a,b,c 是△ABC 的三边长,满足 a2+b2=12a+8b-52 且△ABC 为等腰三角形,求 c.
解(1)x2-4x+y2+2y+5=0,
(x2-4x+4)+(y2+2y+1)=0,
(x-2)2+(y+1)2=0,
∵(x-2)2≥0,(y+1)2≥0,
∴x-2=0,y+1=0,
∴x=2,y=-1.
(2)a2+b2=12a+8b-52,
(a2-12a+36)+(b2-8b+16)=0,
(a-6)2+(b-4)2=0,
∵(a-6)2≥0,(b-4)2≥0,
∴a-6=0,b-4=0,
∴a=6,b=4,
∵△ABC 为等腰三角形,
∴c=4 或 6.
六、(本题满分 14 分)
21.(2018·四川广安)某车行去年A型车的销售总额为6万元,今年每辆车的售价比去年减少
400 元,若卖出的数量相同,销售量总额将比去年减少 20%.
(1)求今年 A 型车每辆车的售价.
(2)该车行计划新进一批 A 型车和 B 型车共 45 辆,已知 A,B 型车的进货价格分别是 1 100 元、
1 400 元,今年 B 型车的销售价格是 2 000 元,要求 B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两
倍,应如何进货才能使这批车获得最大利润,最大利润是多少?
解(1)设今年的售价为 x 元,则去年的售价为(x+400)元,根据题意,得
,解得 x=1600.
经检验,x=1600 是原方程的解.
所以今年 A 型车每辆的售价为 1600 元.
(2)设购进 A 型车的数量为 m 辆,则购进 B 型车(45-m)辆,最大利润为 y,根据题意可知
45-m≤2m,解得 m≥15.则 15≤m≤45.
y=(1600-1100)m+(2000-1400)(45-m)=-100m+27000,
∵-100<0,∴y 随 m 的增大而减小,
即当 m=15 时,y 最大=25500 元.
所以,应购进 A 型车 15 辆,B 型车 30 辆,最大利润为 25500 元.
七、(本题满分 14 分)
22.(2018·江苏连云港)某村在推进美丽乡村活动中,决定建设幸福广场,计划铺设规格大小
相同的红色和蓝色地砖,经过调查获取信息如下:
购 买 数
量低
于 5000
块
购买数量
不
低 于
5000 块
红 色
地砖
原 价 销
售
以八折销
售
蓝 色
地砖
原 价 销
售
以九折销
售
如果购买红色地砖 4 000 块,蓝色地砖 6 000 块,需付款 86 000 元;如果购买红色地砖 10 000
块,蓝色地砖 3 500 块,需付款 99 000 元.
(1)红色地砖与蓝色地砖的单价各多少元?
(2)经过测算,需要购置地砖 12 000 块,其中蓝色地砖的数量不少于红色地砖的一半,并且不
超过 6 000 块,如何购买付款最少?请说明理由.
解(1)设红色地砖每块 a 元,蓝色地砖每块 b 元,由题意得,
解得
答:红色地砖每块 8 元,蓝色地砖每块 10 元.
(2)设购置蓝色地砖 x 块,则购置红色地砖(12000-x)块,所需的总费用为 y 元.
由题意知 x≥ (12000-x),得 x≥4000.又 x≤6000,
所以蓝色地砖块数 x 的取值范围为 4000≤x≤6000.
当 4000≤x<5000 时,
y=10x+8×0.8(12000-x),
即 y=76800+3.6x.
所以 x=4000 时,y 有最小值 91200.
当 5000≤x≤6000 时,y=0.9×10x+8×0.8(12000-x)=2.6x+76800.
所以 x=5000 时,y 有最小值 89800.
∵89800<91200,
所以购买蓝色地砖 5000 块,红色地砖 7000 块,费用最少,最少费用为 89800 元.〚导学号
16734153〛
考点强化练 8 一元一次不等式(组)及其应用
夯实基础
1.(2018·浙江嘉兴)不等式 1-x≥2 的解在数轴上表示正确的是( )
答案 A
解析先解不等式 1-x≥2,得 x≤-1,故正确答案为 A.
2.(2018·湖南株洲)下列选项中的不等式与不等式 5x>8+2x 组成的不等式组的解集为 10
C.3x-15<0 D.-x-5>0
答案 C
解析首先计算出不等式 5x>8+2x 的解集,再根据不等式组的解集确定另一个不等式的解集,
进而选出答案即可.解 5x>8+2x,得 x> .∴另一个不等式的解集一定是 x<5.故选 C.
3.(2018· 山 东 聊 城 ) 若 x 为 实 数 , 则 [x] 表 示 不 大 于 x 的 最 大 整 数 , 例 如
[1.6]=1,[π]=3,[-2.82]=-3 等.[x]+1 表示大于 x 的最小整数,对任意的实数 x 都满足不等
式 [x]-1;
解不等式②,得 x≤3.
原不等式组的解集为-1x-2,x<2.
(2) x-1,2m-mx>x-2,(m+1)x<2(m+1),
当 m≠-1 时,不等式有解;
当 m>-1 时,原不等式的解集为 x<2;
当 m<-1 时,原不等式的解集为 x>2.
9.(2017·江苏常州)某校计划购买一批篮球和足球,已知购买 2 个篮球和 1 个足球共需 320
元,购买 3 个篮球和 2 个足球共需 540 元.
(1)求每个篮球和每个足球的售价.
(2)如果学校计划购买这两种球共 50 个,总费用不超过 5 500 元,那么最多可购买多少个足
球?
解(1)设每个篮球和每个足球的售价分别是 x 元、y 元,则 解方程组,得
所以每个篮球和每个足球的售价分别是 100 元、120 元.
(2)设学校购买篮球 m 个,则需要购买足球 50-m 个.
根据题意,得 100m+120(50-m)≤5500,解得 m≥25.
所以至少购买 25 个篮球,则最多购买 25 个足球.
提升能力
10.(2018·广西贵港)若关于 x 的不等式组 无解,则 a 的取值范围是( )
A.a≤-3 B.a<-3 C.a>3 D.a≥3
答案 A
解析∵关于 x 的不等式组 无解,
∴a-4≥3a+2,解得 a≤-3.故选 A.
11.(2017·安徽安庆模拟)已知关于 x 的不等式(1-a)x>3 的解集为 x< ,则 a 的取值范围
是 .
答案 a>1
解析因为结果不等号的方向改变了,所以不等号的两边都除以了一个负数.即 1-a<0,所以
a>1.
12.(2017·浙江台州)商家花费 760 元购进某种水果 80 千克,销售中有 5%的水果正常损耗,
为了避免亏本,售价至少应定为 元/千克.
答案 10
解析设商家把售价应该定为每千克 x 元,
根据题意得 x(1-5%)≥ ,
解得 x≥10,故为避免亏本,商家把售价应该至少定为每千克 10 元.
13.(2018·湖北咸宁)为拓宽学生视野,引导学生主动适应社会,促进书本知识和生活经验的
深度融合,我市某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动.在参加此次活动的师生
中,若每位老师带 17 个学生,还剩 12 个学生没人带;若每位老师带 18 个学生,就有一位老师
少带 4 个学生.现有甲、乙两种大客车,它们的载客量和租金如下表所示:
甲种客
车
乙种客
车
载客量(人
/辆) 30 42
租 金 ( 元 /
辆) 300 400
学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过 3 100 元,为了安全,每辆客车上至少要有 2
名老师.
(1)参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人?
(2)既要保证所有师生都有车坐,又要保证每辆客车上至少要有 2 名老师,可知租用客车总数
为 辆;
(3)你能得出哪几种不同的租车方案?其中哪种租车方案最省钱?请说明理由.
解(1)设老师有 x 人,学生有 y 人,
依题意得 解得
答:此次参加研学旅行活动的老师有 16 人,学生有 284 人.
(2)由(1)得出老师有 16 人,要保证每辆客车上至少有 2 名老师,租用客车总数最多 8 辆.
(3)设乙种客车租 x 辆,则甲种客车租(8-x)辆.
∵租车总费用不超过 3100 元,
∴400x+300(8-x)≤3100,解得 x≤7.
为使 300 名师生都有车座,
∴42x+30(8-x)≥300,解得 x≥5.
∴5≤x≤7(x 为整数).
∴共有 3 种租车方案:
方案一:租用甲种客车 3 辆,乙种客车 5 辆,租车费用 2900 元;
方案二:租用甲种客车 2 辆,乙种客车 6 辆,租车费用 3000 元;
方案三:租用甲种客车 1 辆,乙种客车 7 辆,租车费用 3100 元;
∴最节省费用的租车方案是:租用甲种客车 3 辆,乙种客车 5 辆. 〚导学号16734104
〛
考点强化练 23 与圆有关的位置关系
夯实基础
1.
(2018·山东泰安)如图,☉M 的半径为 2,圆心 M 的坐标为(3,4),点 P 是☉M 上的任意一点,PA
⊥PB,且 PA、PB 与 x 轴分别交于 A、B 两点,若点 A、点 B 关于原点 O 对称,则 AB 的最小值为
( )
A.3 B.4 C.6 D.8
答案 C
解析∵PA⊥PB,∴∠APB=90°.
∵AO=BO,∴AB=2PO.
若要使 AB 取得最小值,则 PO 需取得最小值,连接 OM,交☉M 于点 P',当点 P 位于 P'位置
时,OP'取得最小值.过点 M 作 MQ⊥x 轴于点 Q,
则 OQ=3,MQ=4,
∴OM=5.∵MP'=2,
∴OP'=3,∴AB=2OP'=6,故选 C.
2.
(2018·蒙城模拟)如图,已知平面直角坐标系内三点 A(3,0)、B(5,0)、C(0,4),☉P 经过点 A、
B、C,则点 P 的坐标为( )
A.(6,8) B.(4,5)
C.4, D.4,
答案 C
解析
∵☉P 经过点 A、B、C,∴点 P 在线段 AB 的垂直平分线上,∴点 P 的横坐标为 4,设点 P 的坐
标为(4,y),作 PE⊥OB 于 E,PF⊥OC 于 F,由题意得, ,解得 y= ,故选 C.
3.(2018·四川自贡)如图,若△ABC 内接于半径为 R 的☉O,且∠A=60°,连接 OB、OC,则边 BC
的长为 ( )
A. R B. R C. R D. R
答案 D
解析
延长 BO 交☉O 于 D,连接 CD,
则∠BCD=90°,∠D=∠A=60°,
∴∠CBD=30°.
∵BD=2R,∴DC=R,
∴BC= R,故选 D.
4.
(2018·江苏无锡)如图,矩形 ABCD 中,G 是 BC 的中点,过 A、D、G 三点的☉O 与边 AB、CD 分
别交于点 E、F.给出下列说法:(1)AC 与 BD 的交点是☉O 的圆心;(2)AF 与 DE 的交点是☉O 的
圆心;(3)BC 与☉O 相切.其中正确说法的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 C
解析∵矩形 ABCD 中,∴∠A=∠D=90°,
∴AF 与 DE 都是☉O 的直径,AC 与 BD 不是☉O 的直径,
∴AF 与 DE 的交点是☉O 的圆心,AC 与 BD 的交点不是☉O 的圆心,
∴(1)错误,(2)正确.连接 AF、OG,则点 O 为 AF 的中点,
∵G 是 BC 的中点,∴OG 是梯形 FABC 的中位线,
∴OG∥AB.∵AB⊥BC,
∴OG⊥BC,∴BC 与☉O 相切.
∴(3)正确.综上所述,正确结论有两个.
5.
(2018·浙江湖州)如图,已知△ABC 的内切圆☉O 与 BC 边相切于点 D,连接 OB,OD.若∠
ABC=40°,则∠BOD 的度数是 .
答案 70°
解析∵☉O 内切于△ABC,∴OB 平分∠ABC.
∵∠ABC=40°,∴∠OBD=20°.
∴∠BOD=70°.
6.(2017·浙江衢州)如图,在直角坐标系中,☉A 的圆心 A 的坐标为(-1,0),半径为 1,点 P 为
直线 y=- x+3 上动点,过点 P 作☉A 的切线,切点为 Q,则切线长 PQ 的最小值是 .
答案 2
解析作切线 PQ,连接 PA,AQ.
有 PQ= ,
又 AQ=1,故当 AP 有最小值时 PQ 最小.
过 A 作 AP'⊥MN,则有 AP'最小=3,
此时 PQ 最小= =2 .
7.(2017·湖南常德)如图,已知 AB 是☉O 的直径,CD 与☉O 相切于 C,BE∥CO.
(1)求证:BC 是∠ABE 的平分线;
(2)若 DC=8,☉O 的半径 OA=6,求 CE 的长.
(1)证明∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC.
∵BE∥CO,∴∠OCB=∠EBC.
∴∠OBC=∠EBC.
∴BC 是∠ABE 的平分线.
(2)解∵CD 与☉O 相切于 C,
∴△DCO 为直角三角形.
∵DC=8,☉O 的半径 OC=OA=6,
∴DO=10.
∵BE∥CO,BD 和 DE 相交于点 D,
∴ ,∴CE=4.8.
8.
(2018·甘肃白银)如图,在△ABC 中,∠ABC=90°.
(1)作∠ACB 的平分线交 AB 边于点 O,再以点 O 为圆心,OB 的长为半径作☉O(要求:不写作法,
保留作图痕迹).
(2)判断(1)中 AC 与☉O 的位置关系,直接写出结果.
解(1)如图,☉O 为所求作的圆,OC 为所求作的∠ACB 的平分线.
(2)AC 为☉O 的切线.
9.
(2018·山东滨州)如图,AB 为☉O 的直径,点 C 在☉O 上,AD⊥CD 于点 D,且 AC 平分∠DAB.求
证:
(1)直线 DC 是☉O 的切线;
(2)AC2=2AD·AO.
证明(1)连接 OC,∵AC 平分∠DAB,
所以∠DAC=∠OAC.
由题意可知 OA=OC,∴∠OAC=∠OCA.
∴∠DAC=∠OCA,∴OC∥AD.
∵AD⊥CD,∴∠ADC=90°.
∴∠ADC=∠OCD=90°,
∴直线 DC 是☉O 的切线.
(2)连接 BC,因为 AB 是☉O 的直径,
所以∠ACB=90°,
所以∠ACB=∠ADC=90°,∠DAC=∠BAC,
所以△ADC∽△ACB,
所以 ,
所以 AC2=AD·AB,所以 AC2=2AD·AO.
提升能力
10.
(2018·江苏泰州)如图,△ABC 中,∠ACB=90°,sin A= ,AC=12,将△ABC 绕点 C 顺时针旋转
90°得到△A'B'C,P 为线段 A'B'上的动点,以点 P 为圆心、PA'长为半径作☉P,当☉P 与△ABC
的边相切时,☉P 的半径为 .〚导学号 16734133〛
答案
解析设☉P 的半径为 r,∵∠ACB=90°,
∴ =sinA= ,BC2+AC2=AB2.
∵AC=12,∴BC=5,AB=13.
由旋转得∠A'CB'=∠ACB=90°,∠A'=∠A,A'C=AC=12,B'C=BC=5,A'B'=AB=13,
∴∠A'CB=180°,∴A'、C、B 三点共线,
∵点 P 到直线 BC 的距离小于半径 PA',
∴☉P 与直线 BC 始终相交,如图 1,过点 P 作 PD⊥AC 于点 D,则∠B'DP=∠B'CA'=90°.
图 1
∵∠DB'P=∠CB'A',
∴△B'DP∽△B'CA',
∴ .∴ .
∴PD= =12- r.
当☉P 与 AC 边相切时,PD=PA',
∴12- r=r,∴r= .
如图 2,延长 A'B'交 AB 于点 E,
图 2
∵∠A+∠B=90°,∠A'=∠A,
∴∠A'+∠B=90°,∴∠A'EB=90°,
同上得 A'E= A'B= .
当☉P 与 AB 边相切时,A'E=2PA',
∴r= .
综上所述,☉P 的半径为 .
11.
(2016·江苏无锡)如图,△AOB 中,∠O=90°,AO=8 cm,BO=6 cm,点 C 从 A 点出发,在边 AO 上
以 2 cm/s 的速度向 O 点运动,与此同时,点 D 从点 B 出发,在边 BO 上以 1.5 cm/s 的速度向 O
点运动,过 OC 的中点 E 作 CD 的垂线 EF,则当点 C 运动了 s 时,以 C 点为圆心,1.5
cm 为半径的圆与直线 EF 相切.
答案
解析当以点 C 为圆心,1.5cm 为半径的圆与直线 EF 相切时,此时,CF=1.5,
∵AC=2t,BD= t,
∴OC=8-2t,OD=6- t,
∵点 E 是 OC 的中点,∴CE= OC=4-t,
∵∠EFC=∠O=90°,∠FCE=∠DCO,
∴△EFC∽△DOC,∴ .
∴EF= .
由勾股定理可知 CE2=CF2+EF2,
∴(4-t)2= ,
解得 t= 或 t= ,
∵0≤t≤4,∴t= .
12.
(2018·四川绵阳)如图,AB 是☉O 的直径,点 D 在☉O 上(点 D 不与 A,B 重合).直线 AD 交过点
B 的切线于点 C,过点 D 作☉O 的切线 DE 交 BC 于点 E.
(1)求证:BE=CE;
(2)若 DE∥AB,求 sin∠ACO 的值.
(1)证明连接 OD,如图,
∵EB,ED 为☉O 的切线,
∴EB=ED,OD⊥DE,AB⊥CB,
∴∠ADO+∠CDE=90°,∠A+∠ACB=90°.
∵OA=OD,∴∠A=∠ADO.
∴∠CDE=∠ACB.
∴EC=ED.∴BE=CE.
(2)解作 OH⊥AD 于 H,如图,设☉O 的半径为 r,
∵DE∥AB,∴∠DOB=∠DEB=90°.
∴四边形 OBED 为矩形,而 OB=OD,
∴四边形 OBED 为正方形,
∴DE=CE=r.
易得△AOD 和△CDE 都为等腰直角三角形,
∴OH=DH= r,CD= r.
在 Rt△OCB 中,OC= r,
在 Rt△OCH 中,sin∠OCH= ,
即 sin∠ACO 的值为 .
创新拓展
13.
如图,四边形 ABCD 内接于☉O,对角线 AC 为☉O 的直径,过点 C 作 AC 的垂线交 AD 的延长线于
点 E,点 F 为 CE 的中点,连接 DB,DC,DF.
(1)求∠CDE 的度数;
(2)求证:DF 是☉O 的切线;
(3)若 AC=2 DE,求 tan∠ABD 的值.
(1)解∵对角线 AC 为☉O 的直径,
∴∠ADC=90°,∴∠CDE=90°.
(2)证明如图,连接 DO,
∵∠EDC=90°,F 是 EC 的中点,∴DF=FC,
∴∠FDC=∠FCD,
∵OD=OC,
∴∠OCD=∠ODC,
∵∠OCF=90°,
∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°,
又∵点 D 在☉O 上,∴DF 是☉O 的切线.
(3)解由题意可得∠ABD=∠ACD,
∵∠E+∠DCE=90°,∠DCA+∠DCE=90°,
∴∠DCA=∠E,
又∵∠ADC=∠CDE=90°,
∴△CDE∽△ADC,
∴ ,∴DC2=AD·DE,
∵AC=2 DE,
∴设 DE=x,则 AC=2 x,
则 AC2-AD2=AD·DE,
即(2 x)2-AD2=AD·x,
整理得 AD2+AD·x-20x2=0,
解得 AD=4x 或-5x(负数舍去),
则 DC= =2x,
故 tan∠ABD=tan∠ACD= =2.
考点强化练 20 多边形与平行四边形
夯实基础
1.(2018·浙江宁波)已知正多边形的一个外角等于 40°,那么这个正多边形的边数为
( )
A.6 B.7 C.8 D.9
答案 D
解析 利用正多边形的每个外角都相等,外角和 360°,除以外角的度数,即可求得边
数,360°÷40°=9.
2.(2018·四川宜宾)在▱ ABCD 中,若∠BAD 与∠CDA 的角平分线交于点 E,则△AED 的形状是
( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不能确定
答案 B
解析如图,
∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AB∥CD.∴∠BAD+∠ADC=180°,
∵AE 和 DE 是角平分线,
∴∠EAD= ∠BAD,∠ADE= ∠ADC,
∴∠EAD+∠ADE= (∠BAD+∠ADC)=90°,
∴∠E=90°,
∴△ADE 是直角三角形,故选择 B.
3.
(2018·内蒙古通辽)如图,▱ ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O,DE 平分∠ADC 交 AB 于点 E,∠
BCD=60°,AD= AB, 连 接 OE. 下 列 结 论 : ① S▱ ABCD=AD·BD; ② DB 平 分 ∠ CDE; ③ AO=DE; ④
S△ADE=5S△OFE.其中正确的个数有( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
答案 B
解析∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴∠BCD=∠DAB=60°,
∵DE 平分∠ADC,
∴∠DAE=∠ADE=60°,
∴△ADE 是等边三角形.
∴AD=AE=DE.
∵AD= AB,
∴AE= AB,即 E 为 AB 的中点,
∴∠ADB=90°,
∴S▱ ABCD=AD·DB,故①正确;
∵DE 平分∠ADC 交 AB 于点 E,∠ADC=120°,
∴∠EDC=60°.
而∠AED=∠EDB+∠EBD,AD=AE=DE=EB,
∴∠EDB=∠EBD=30°,
所以∠BDC=∠EDC-∠EDB=60°-30°=30°,
∴DB 平分∠CDE,故②正确;
又 AO= AC,DE= AB,AC>AB,
∴AO>DE,故③错误;
∵AE=BE,DO=BO,
∴OE= AD,且 EO∥AD,
∴S△ADF=4S△OFE,
又 S△AFE≠S△OFE,
∴S△ADF+S△AFE≠5S△OFE,即 S△ADE≠5S△OFE,故④错误.
综上所述,故选 B.
4.
(2017·湖南邵阳)如图所示的正六边形 ABCDEF,连接 FD,则∠FDC 的大小为 .
答案 90°
解析∵在正六边形 ABCDEF 中,∠E=∠EDC=120°,
∵EF=DE,∴∠EDF=∠EFD=30°,
∴∠FDC=90°.
5.(2018·山东淄博)在如图所示的▱ ABCD 中,AB=2,AD=3,将△ACD 沿对角线 AC 折叠,点 D 落
在△ABC 所在平面内的点 E 处,且 AE 过 BC 的中点 O,则△ADE 的周长等于 .
答案 10
解析由 AD∥CB,AC 平分∠DAE 可得 OA=OC,
∵O 为 BC 中点,∴OB=OC=OA,∴∠B=∠BAO.
∵∠B=∠D,∠D=∠E,∴∠BAO=∠E,
∴EC∥AB,∴D、C、E 在同一条直线上,从而可得 AD=AE=3,ED=4,
∴△ADE 的周长为 10.
6.
(2018·山东临沂)如图,在▱ ABCD 中,AB=10,AD=6,AC⊥BC.则 BD= .
答案 4
解析过点 D 作 DE⊥BC 于点 E,
∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AD=BC=6.
∵AC⊥BC,
∴AC= =8=DE.
∵BE=BC+CE=6+6=12,
∴BD= =4 .
7.
(2018·湖北恩施)如图,点 B,F,C,E 在一条直线上,FB=CE,AB∥ED,AC∥FD,AD 交 BE 于 O.求
证:AD 与 BE 互相平分.
证明连接 BD,AE.
∵AB∥ED,∴∠ABC=∠DEF.
∵AC∥FD,∴∠ACB=∠DFE.
∵FB=CE,∴BC=EF.
在△ACB 和△DFE 中,
∴△ACB≌△DFE(ASA).
∴AB=DE.
∵AB∥ED,
∴四边形 ABDE 是平行四边形.
∴AD 与 BE 互相平分.
提升能力
8.
(2018·合肥巢湖七中模拟)如图,正五边形的边长为 2,连接对角线 AD、BE、CE,线段 AD 分别
与 BE 和 CE 相交于点 M、N,给出下列结论:①∠AME=108°,②AN2=AM·AD;③MN=3- ;④
S△EBC=2 -1,其中正确的结论是 (把你认为正确结论的序号都填上).
答案①②③
9.
(2018·安徽名校三模)如图四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形,且△ABC 是等边三
角形,点 R 为 DE 的中点,BR 分别交 AC、CD 于点 P、Q,则 DR∶DQ∶AP= . 〚 导 学
号 16734127〛
答案 6∶8∶9
解析∵△ABC 是等边三角形,
∴可令其边长为 l,
∵四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形,
∴BC=AC=AD=CD=DE=CE=l,AC∥DE,∴ .
又∵PC∥DR,∴△PCQ∽△RDQ.
又∵点 R 是 DE 中点,
∴DR=RE= l, ,
∴DQ=2CQ,PC= RE= l,
∴AP= l,DQ= l,
∴DR∶DQ∶AP= l∶ l∶ l=6∶8∶9.
10.
(2017·江苏镇江)如图,点 B,E 分别在 AC,DF 上,AF 分别交 BD,CE 于点 M,N,∠A=∠F,∠1=∠
2.
(1)求证:四边形 BCED 是平行四边形;
(2)已知 DE=2,连接 BN,若 BN 平分∠DBC,求 CN 的长.
(1)证明∵∠A=∠F,∴DE∥BC.
∵∠1=∠2,且∠1=∠DMF,
∴∠DMF=∠2,∴DB∥EC.
∴四边形 BCED 为平行四边形.
(2)解∵BN 平分∠DBC,∴∠DBN=∠CBN,
∵EC∥DB,∴∠CNB=∠DBN,
∴∠CNB=∠CBN,∴CN=BC=DE=2.
11.
(2018·合肥新明中学、大地学校一模)如图,在平行四边形 ABCD 中,过点 B 作 BE⊥CD,垂足
为 E,连接 AE,F 为 AE 上一点,且∠BFE=∠C.
(1)求证:△ABF∽△EAD;
(2)若 AD=3,∠BAE=30°,求 BF 的长.(计算结果保留根号)
解(1)在平行四边形 ABCD 中,
∵∠D+∠C=180°,AB∥CD,
∴∠BAF=∠AED.
∵∠AFB+∠BFE=180°,∠D+∠C=180°,∠BFE=∠C,
∴∠AFB=∠D,∴△ABF∽△EAD.
(2)∵BE⊥CD,AB∥CD,
∴BE⊥AB.∴∠ABE=90°.
在 Rt△ABE 中,∠BAE=30°,
∴cos∠BAE= .
∵由(1)知,△ABF∽△EAD,∴ ,
∵AD=3,∴BF= .
12.
(2017·贵州毕节)如图,在▱ ABCD 中,过点 A 作 AE⊥DC,垂足为 E,连接 BE,F 为 BE 上一
点,且∠AFE=∠D.
(1)求证:△ABF∽△BEC;
(2)若 AD=5,AB=8,sin D= ,求 AF 的长.
(1)证明∵四边形 ABCD 为平行四边形,
∴AB∥CD,AD∥BC.
∴∠D+∠C=180°,∠ABF=∠BEC.
∵∠AFE+∠AFB=180°,
又∵∠AFE=∠D,∴∠AFB=∠C.
∴△ABF∽△BEC.
(2)解∵AE⊥DC,sinD= ,
∴AE=ADsinD=5× =4.
∴BE= =4 .
∵四边形 ABCD 为平行四边形,
∴BC=AD=5.
∵△ABF∽△BEC,
∴ ,即 .∴AF=2 .
创新拓展
13.
如图,在方格纸中,点 A,B,P 都在格点上.请按要求画出以 AB 为边的格点四边形,使 P 在四边
形内部(不包括边界上),且 P 到四边形的两个顶点的距离相等.
(1)在图中画出一个▱ ABCD.
(2)在图中画出一个四边形 ABCD,使∠D=90°,且∠A≠90°.
解(1)如图所示.
(2) 如图所示.
中考数学之压轴题集锦
2008
1.在一次数学探究性学习活动中，某学习小组要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块
边长为 16cm 的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好
是该圆锥的底面．他们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整
了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二.（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及
扇形的弧均相切.方案一中扇形的弧与正方形的两边相切）
（1）请说明方案一不可行的理由；
（2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆半径；若不可行，请
说明理由.
2.已知双曲线y = k
x
与直线 y=1
4
x 相交于 A、B 两点．第一象限上的点 M(m，n)(在 A 点左侧)是
双曲线y = k
x
上的动点.过点 B 作 BD∥y 轴交 x 轴于点 D．过 N（0，－n）作 NC∥x 轴交双曲
线y = k
x
于点 E，交 BD 于点 C.
⑴若点 D 坐标是（－8，0），求 A、B 两点坐标及 k 的值.
⑵若 B 是 CD 的中点，四边形 OBCE 的面积为 4，求直线 CM 的解析式.
⑶设直线 AM、BM 分别与 y 轴相交于 P、Q 两点，且 MA=pMP，MB=qMQ，求 p－q 的值.
2009
1.某加油站五月份营销一种油品的销售利润 y(万元)与销售量 x(万升)之间函数关系的图象如
图中折线所示，该加油站截止到 13 日调价时的销售利润为 4 万元，截止到 15 日进油时的销
售利润为 5.5 万元[销售利润=(售价－成本价)×销售量].请你根据图象及加油站五月份该油品
的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：
(1)求销售量 x 为多少时，销售利润为 4 万元；
(2)分别求出线段 AB 与 BC 所对应的函数关系式；
(3)我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么在 OA、AB、BC 三段所表示的销售信息
中，哪一段的利润率最大(直接写出答案)？
2.如图，已知射线 DE 与 x 轴和 y 轴分别交于点 D(3，0)和点 E(0，4).动点 C 从点 M(5，0)出
发，以 1 个单位长度/秒的速度沿 x 轴向左作匀速运动，与此同时，动点 P 从点 D 出发，也
以 1 个单位长度/秒的速度沿射线 DE 的方向作匀速运动.设运动时间为 t 秒.
(1)请用含 t 的代数式分别表示出点 C 与点 P 的坐标；
(2)以点 C 为圆心、1
2
t 个单位长度为半径的⊙C 与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，
连接 PA、PB.
①当⊙C 与射线 DE 有公共点时，求 t 的取值范围；
②当△PAB 为等腰三角形时，求 t 的值.
2010
1.如图，在矩形 ABCD 中，AB=m（m 是大于 0 的常数），BC=8，E 为线段 BC 上的动点（不与
B、C 重合）．连结 DE，作 EF⊥DE，EF 与射线 BA 交于点 F，设 CE=x，BF=y.
⑴求 y 关于 x 的函数关系式；
⑵若 m=8，求 x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？
⑶若y = 12
m
，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？
2.已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过 A（－4，3）、B（2，0）两点，当 x=3 和 x=－3 时，这条
抛物线上对应点的纵坐标相等.经过点 C（0，－2）的直线 l 与 x 轴平行，O 为坐标原点.
⑴求直线 AB 和这条抛物线的解析式；
⑵以 A 为圆心，AO 为半径的圆记为⊙A，判断直线 l 与⊙A 的位置关系，并说明理由；
⑶设直线 AB 上的点 D 的横坐标为－1，P（m，n）是抛物线 y＝ax2＋bx＋c 上的动点，当
△PDO 的周长最小时，求四边形 CODP 的面积.
2011
1.已知 A(1，0)、B(0，－1)、C(－1，2)、D(2，－1)、E(4，2)五个点，抛物线 y＝a(x－1)2＋k(a
＞0)经过其中的三个点.
(1)求证：C、E 两点不可能同时在抛物线 y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上；
(2)点 A 在抛物线 y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上吗？为什么？
(3)求 a 和 k 的值.
2. 如图，已知直线 l 经过点 A(1，0)，与双曲线 y＝ m
x (x＞0)交于点 B(2，1).过点
P(p，p－1)(p＞1)作 x 轴的平行线分别交双曲线 y＝ m
x (x＞0)和 y＝－ m
x (x＜0)于点 M、N.
(1)求 m 的值和直线 l 的解析式；
(2)若点 P 在直线 y＝2 上，求证：△PMB∽△PNA；
(3)是否存在实数 p，使得 S△AMN＝4S△AMP？若存在，请求出所有满足条件的 p 的值；若不存
在，请说明理由.
2012
1.如图，△ABC 中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，D 是 BC 的中点，点 P 从 B 出发，以 a 厘米
/秒（a＞0）的速度沿 BA 匀速向点 A 运动，点 Q 同时以 1 厘米/秒的速度从 D 出发，沿 DB
匀速向点 B 运动.其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动时间
为 t 秒.
⑴若 a＝2，△BPQ∽△BDA，求 t 的值；
⑵设点 M 在 AC 上，四边形 PQCM 为平行四边形.
①a＝5
2
，求 PQ 的长；
②是否存在实数 a，使得点 P 在∠ACB 的角平分线上？若存在，请求出 a 的值；若不存在，
请说明理由.
2.如图，经过点 A(0，－4）的抛物线 y＝1
2
x2＋bx＋c 与 x 轴相交于 B(－2，0)、C 两点，O 为
坐标原点.
⑴求抛物线的解析式；
⑵将抛物线 y＝1
2
x2＋bx＋c 向上平移7
2
个单位长度，再向左平移 m（m＞0）个单位长度得到
新抛物线．若新抛物线的顶点 P 在△ABC 的内部，求 m 的取值范围；
⑶设点 M 在 y 轴上，∠OMB＋∠OAB＝∠ACB，求 AM 的长.
2013
1.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC= 3，BC=3，△DEF 是边长为 a（a 为小于 3 的
常数）的等边三角形，将△DEF 沿 AC 方向平移，使点 D 在线段 AC 上，DE∥AB，设△DEF
与△ABC 重叠部分的周长为 T.
⑴求证：点 E 到 AC 的距离为一个常数；
⑵若 AD=1
4
，当 a=2 时，求 T 的值；
⑶若点 D 运动到 AC 的中点处，请用含 a 的代数式表示 T.
2.如图，直线 y=kx+b（b＞0）与抛物线 y=1
8
x2 相交于点 A（x1，y1），B（x2，y2）两点，与 x
轴正半轴相交于点 D，与 y 轴相交于点 C，设△OCD 的面积为 S，且 kS+32=0．
⑴求 b 的值；
⑵求证：点（y1，y2）在反比例函数 y=64
x
的图象上；
⑶求证：x1•OB+y2•OA=0．
2014
1.如图，矩形 ABCD 中，AB=3，AD=4，E 为 AB 上一点，AE=1，M 为射线 AD 上一动点，AM=a(a
为大于 0 的常数)，直线 EM 与直线 CD 交于点 F，过点 M 作 MG⊥EM，交直线 BC 于 G.
⑴若 M 为边 AD 中点，求证：△EFG 是等腰三角形；
⑵若点 G 与点 C 重合，求线段 MG 的长；
⑶请用含 a 的代数式表示△EFG 的面积 S，并指出 S 的最小整数值.
2.如图，抛物线 y=﹣x2+2x+3 与 x 轴相交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C，顶点为 D，抛物线的
对称轴 DF 与 BC 相交于点 E，与 x 轴相交于点 F.
⑴求线段 DE 的长；
⑵设过 E 的直线与抛物线相交于 M（x1，y1），N（x2，y2），试判断当|x1﹣x2|的值最小时，
直线 MN 与 x 轴的位置关系，并说明理由；
⑶设 P 为 x 轴上的一点，∠DAO+∠DPO=∠α，当 tan∠α=4 时，求点 P 的坐标.
2015
1．如图，Rt
△
ABC 中，∠C=90°，AB=15，BC=9，点 P，Q 分别在 BC，AC 上，CP=3x，
CQ=4x（0＜x＜3）．把
△
PCQ 绕点 P 旋转，得到
△
PDE，点 D 落在线段 PQ 上．
（1）求证：PQ∥AB；
（2）若点 D 在∠BAC 的平分线上，求 CP 的长；
（3）若
△
PDE 与
△
ABC 重叠部分图形的周长为 T，且 12≤T≤16，求 x 的取值范围．
2．已知抛物线 y=x2﹣2mx+m2+m﹣1（m 是常数）的顶点为 P，直线 l：y=x﹣1
（1）求证：点 P 在直线 l 上；
（2）当 m=﹣3 时，抛物线与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，与直线 l 的另一个交
点为 Q，M 是 x 轴下方抛物线上的一点，∠ACM=∠PAQ（如图），求点 M 的坐标；
图 1
（3）若以抛物线和直线 l 的两个交点及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写
出所有符合条件的 m 的值．
2016
1．如图， ABC 中， 90ACB ， 5AC ， 12BC ， ABCO 于点O ， D 是线段
AB 上一点， ,2DE ACDE // ，（ 90ADE ），连接 BE 、CD ，设 CDBE、 中点分
别为 QP、 .
（1）求 AO 的长；
（2）求 PQ 的长；
（3）若 PQ 与 AB 交于点 M ，请直接写出 QMPM 的值.
2．如图，平面直角坐标系 xOy 中，点 )0,3(C ，函数 )0,0( xkx
ky 的图像经过□OABC
第 27 题图图 2
的顶点 ),( nmA 和边 BC 的中点 D .
（1）求 m 的值；
（2）若 OAD 的面积等于 6，求 k 的值.
（3）若 P 为函数 )0,0( xkx
ky 的图像上一个动点，过
点 P 作直线 xl 轴于点 M，直线l 与 x 轴上方的□OABC
的一边交于点 N，设点 P 的横坐标为t ，当
4
1
PM
PN 时，求
t 的值.
2017
1．我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线
与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形．若有一个图形与原
三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“內似线”．21·世纪*教育网
（1）等边三角形“內似线”的条数为 ；
（2）如图，△ABC 中，AB=AC，点 D 在 AC 上，且 BD=BC=AD，求证：BD 是△ABC
的“內似线”；
（3）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，E、F 分别在边 AC、BC 上，且 EF
是△ABC 的“內似线”，求 EF 的长．21 教育名师原创作品
2．已知直线 y=kx+b 与抛物线 y=ax2（a＞0）相交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左
侧），与 y 轴正半轴相交于点 C，过点 A 作 AD⊥x 轴，垂足为 D．
（1）若∠AOB=60°，AB∥x 轴，AB=2，求 a 的值；
（2）若∠AOB=90°，点 A 的横坐标为﹣4，AC=4BC，求点 B 的坐标；
（3）延长 AD、BO 相交于点 E，求证：DE=CO．
2018
1．如图，正方形 ABCD 中，AB=2 ，O 是 BC 边的中点，点 E 是正方形内一动
点，OE=2，连接 DE，将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 90°得 DF，连接 AE，CF．
（1）求证：AE=CF；
（2）若 A，E，O 三点共线，连接 OF，求线段 OF 的长．
（3）求线段 OF 长的最小值．
2．【定义】如图 1，A，B 为直线 l 同侧的两点，过点 A 作直线 1 的对称点 A′，连
接 A′B 交直线 l 于点 P，连接 AP，则称点 P 为点 A，B 关于直线 l 的“等角点”．
【运用】如图 2，在平面直坐标系 xOy 中，已知 A（2， ），B（﹣2，﹣ ）
两点．
（1）C（4， ），D（4， ），E（4， ）三点中，点 是点 A，B 关于
直线 x=4 的等角点；
（2）若直线 l 垂直于 x 轴，点 P（m，n）是点 A，B 关于直线 l 的等角点，其中
m＞2，∠APB=α，求证：tan = ；
（3）若点 P 是点 A，B 关于直线 y=ax+b（a≠0）的等角点，且点 P 位于直线 AB
的右下方，当∠APB=60°时，求 b 的取值范围（直接写出结果）．
中考真题数学
一、选择题(本大题共 16 小题，共 42 分.1～10 小题各 3 分，11～16 小题各 2 分，小题给出
的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.下列运算结果为正数的是( )
A.(-3)2
B.-3÷2
C.0×(-2017)
D.2-3
解析：A、原式=9，符合题意；
B、原式=-1.5，不符合题意；
C、原式=0，不符合题意，
D、原式=-1，不符合题意.
答案：A.
2.把 0.0813 写成 a×10n(1≤a＜10，n 为整数)的形式，则 a 为( )
A.1
B.-2
C.0.813
D.8.13
解析：把 0.0813 写成 a×10n(1≤a＜10，n 为整数)的形式，则 a 为 8.13.
答案：D.
3.用量角器测得∠MON 的度数，下列操作正确的是( )
A.
B.
C.
D.
解析：根据量角器的使用方法进行选择即可.
答案：C.
4.
2
3
2 2 2
3 3 3
m
n
个
个
=( )
A. 2
3n
m
B. 2
3
m
n
C. 3
2m
n
D.
2
3
m
n
解析：根据乘方和乘法的意义即可求解.
答案：B.
5.图 1 和图 2 中所有的小正方形都全等，将图 1 的正方形放在图 2 中①②③④的某一位置，
使它与原来 7 个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是( )
A.①
B.②
C.③
D.④
解析：当正方形放在③的位置，即是中心对称图形.
答案：C.
6.如图为张小亮的答卷，他的得分应是( )
A.100 分
B.80 分
C.60 分
D.40 分
解析：根据绝对值、倒数、相反数、立方根以及平均数进行计算即可.
答案：B.
7.若△ABC 的每条边长增加各自的 10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B 的度
数相比( )
A.增加了 10%
B.减少了 10%
C.增加了(1+10%)
D.没有改变
解析：根据两个三角形三边对应成比例，这两个三角形相似判断出两个三角形相似，再根据
相似三角形对应角相等解答.
答案：D.
8.如图是由相同的小正方体木块粘在一起的几何体，它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
解析：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边两个小正方形.
答案：A.
9.求证：菱形的两条对角线互相垂直.
已知：如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 交于点 O.
求证：AC⊥BD.
以下是排乱的证明过程：
①又 BO=DO；
②∴AO⊥BD，即 AC⊥BD；
③∵四边形 ABCD 是菱形；
④∴AB=AD.
证明步骤正确的顺序是( )
A.③→②→①→④
B.③→④→①→②
C.①→②→④→③
D.①→④→③→②
解析：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB=AD，
∵对角线 AC，BD 交于点 O，
∴BO=DO，
∴AO⊥BD，
即 AC⊥BD，
∴证明步骤正确的顺序是③→④→①→②.
答案：B.
10.如图，码头 A 在码头 B 的正西方向，甲、乙两船分别从 A，B 同时出发，并以等速驶向某
海域，甲的航向是北偏东 35°，为避免行进中甲、乙相撞，则乙的航向不能是( )
A.北偏东 55°
B.北偏西 55°
C.北偏东 35°
D.北偏西 35°
解析：∵甲的航向是北偏东 35°，为避免行进中甲、乙相撞，
∴乙的航向不能是北偏西 35°.
答案：D.
11.如图是边长为 10cm 的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪
线长度所标的数据(单位：cm)不正确的是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选项 A 不正确.理由正方形的边长为 10，所以对角线=10 2 ≈14，
因为 15＞14，所以这个图形不可能存在.
答案：A.
12.如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的微信对话，根据对话内容，下列选项错误的是
( )
A.4+4- 4 =6
B.4+40+40=6
C.4+ 3 4 4 =6
D.4-1÷ 4 +4=6
解析：根据实数的运算方法，求出每个选项中左边算式的结果是多少，判断出哪个算式错误
即可.
答案：D.
13.若 3 2
1
x
x
=_____+ 1
1x
，则_____中的数是( )
A.-1
B.-2
C.-3
D.任意实数
解析：直接利用分式加减运算法则计算得出答案.
答案：B.
14.甲、乙两组各有 12 名学生，组长绘制了本组 5 月份家庭用水量的统计图表，如图，
比较 5 月份两组家庭用水量的中位数，下列说法正确的是( )
A.甲组比乙组大
B.甲、乙两组相同
C.乙组比甲组大
D.无法判断
解析：根据中位数定义分别求解可得.
答案：B.
15.如图，若抛物线 y=-x2+3 与 x 轴围成封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都是整
数)的个数为 k，则反比例函数 y= k
x
(x＞0)的图象是( )
A.
B.
C.
D.
解析：找到函数图象与 x 轴、y 轴的交点，得出 k=4，即可得出答案.
答案：D.
16.已知正方形 MNOK 和正六边形 ABCDEF 边长均为 1，把正方形放在正六边形中，使 OK 边与
AB 边重合，如图所示，按下列步骤操作：
将正方形在正六边形中绕点 B 顺时针旋转，使 KM 边与 BC 边重合，完成第一次旋转；再绕点
C 顺时针旋转，使 MN 边与 CD 边重合，完成第二次旋转；…在这样连续 6 次旋转的过程中，
点 B，M 间的距离可能是( )
A.1.4
B.1.1
C.0.8
D.0.5
解析：如图，在这样连续 6 次旋转的过程中，点 M 的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知
点 B，M 间的距离大于等于 2- 2 小于等于 1.
答案：C.
二、填空题(本大题共 3 小题，共 10 分.17～18 小题各 3 分；19 小题有 2 个空，每空 2 分.
把答案写在题中横线上)
17.如图，A，B 两点被池塘隔开，不能直接测量其距离.于是，小明在岸边选一点 C，连接
CA，CB，分别延长到点 M，N，使 AM=AC，BN=BC，测得 MN=200m，则 A，B 间的距离为_____m.
解析：∵AM=AC，BN=BC，
∴AB 是△ABC 的中位线，
∴AB= 1
2
MN=100m.
答案：100.
18.如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α=_____°.
解析：先根据矩形的性质得出 AD∥BC，故可得出∠DAC 的度数，由角平分线的定义求出∠EAF
的度数，再由 EF 是线段 AC 的垂直平分线得出∠AEF 的度数，根据三角形内角和定理得出∠
AFE 的度数，进而可得出结论.
答案：56.
19.对于实数 p，q，我们用符号 min{p，q}表示 p，q 两数中较小的数，如 min{1，2}=1，因
此，min{- 2 ，- 3 }=_____；若 min{(x-1)2，x2}=1，则 x=_____.
解析：首先理解题意，进而可得 min{- 2 ，- 3 }=- 3 ，min{(x-1)2，x2}=1 时再分情况
讨论，当 x＞0.5 时和 x≤0.5 时，进而可得答案.
答案：- 3 ；2 或-1.
三、解答题(本大题共 7 小题，共 68 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
20.在一条不完整的数轴上从左到右有点 A，B，C，其中 AB=2，BC=1，如图所示，设点 A，B，
C 所对应数的和是 p.
(1)若以 B 为原点，写出点 A，C 所对应的数，并计算 p 的值；若以 C 为原点，p 又是多少？
(2)若原点 O 在图中数轴上点 C 的右边，且 CO=28，求 p.
解析：(1)根据以 B 为原点，则 C 表示 1，A 表示-2，进而得到 p 的值；根据以 C 为原点，则
A 表示-3，B 表示-1，进而得到 p 的值；
(2)根据原点 O 在图中数轴上点 C 的右边，且 CO=28，可得 C 表示-28，B 表示-29，A 表示-31，
据此可得 p 的值.
答案：(1)若以 B 为原点，则 C 表示 1，A 表示-2，
∴p=1+0-2=-1；
若以 C 为原点，则 A 表示-3，B 表示-1，
∴p=-3-1+0=-4；
(2)若原点 O 在图中数轴上点 C 的右边，且 CO=28，则 C 表示-28，B 表示-29，A 表示-31，
∴p=-31-29-28=-88.
21.编号为 1～5 号的 5 名学生进行定点投篮，规定每人投 5 次，每命中 1 次记 1 分，没有命
中记 0 分，如图是根据他们各自的累积得分绘制的条形统计图.之后来了第 6 号学生也按同
样记分规定投了 5 次，其命中率为 40%.
(1)求第 6 号学生的积分，并将图增补为这 6 名学生积分的条形统计图；
(2)在这 6 名学生中，随机选一名学生，求选上命中率高于 50%的学生的概率；
(3)最后，又来了第 7 号学生，也按同样记分规定投了 5 次，这时 7 名学生积分的众数仍是
前 6 名学生积分的众数，求这个众数，以及第 7 号学生的积分.
解析：(1)由第 6 名学生命中的个数为 5×40%=2 可得答案，并补全条形图；
(2)由这 6 名学生中，命中次数多于 5×50%=2.5 次的有 2、3、4、5 号这 4 名学生，根据概
率公式可得；
(3)根据众数的定义得出前 6 名学生积分的众数即可得.
答案：(1)第 6 名学生命中的个数为 5×40%=2，
则第 6 号学生的积分为 2 分，
补全条形统计图如下：
(2)这 6 名学生中，命中次数多于 5×50%=2.5 次的有 2、3、4、5 号这 4 名学生，
∴选上命中率高于 50%的学生的概率为 4 2
6 3
；
(3)由于前 6 名学生积分的众数为 3 分，
∴第 7 号学生的积分为 3 分.
22.发现 任意五个连续整数的平方和是 5 的倍数.
验证 (1)(-1)2+02+12+22+32 的结果是 5 的几倍？
(2)设五个连续整数的中间一个为 n，写出它们的平方和，并说明是 5 的倍数.
延伸 任意三个连续整数的平方和被 3 除的余数是几呢？请写出理由.
解析：验证(1)计算(-1)2+02+12+22+32 的结果，再将结果除以 5 即可；
(2)用含 n 的代数式分别表示出其余的 4 个整数，再将它们的平方相加，化简得出它们的平
方和，再证明是 5 的倍数；
延伸：设三个连续整数的中间一个为 n，用含 n 的代数式分别表示出其余的 2 个整数，再将
它们相加，化简得出三个连续整数的平方和，再除以 3 得到余数.
答案：发现任意五个连续整数的平方和是 5 的倍数.
验证(1)(-1)2+02+12+22+32=1+0+1+4+9=15，15÷5=3，
即(-1)2+02+12+22+32 的结果是 5 的 3 倍；
(2)设五个连续整数的中间一个为 n，则其余的 4 个整数分别是 n-2，n-1，n+1，n+2，
它们的平方和为：(n-2)2+(n-1)2+n2+(n+1)2+(n+2)2
=n2-4n+4+n2-2n+1+n2+n2+2n+1+n2+4n+4
=5n2+10，
∵5n2+10=5(n2+2)，
又 n 是整数，
∴n2+2 是整数，
∴五个连续整数的平方和是 5 的倍数；
延伸设三个连续整数的中间一个为 n，则其余的 2 个整数是 n-1，n+1，
它们的平方和为：(n-1)2+n2+(n+1)2
=n2-2n+1+n2+n2+2n+1
=3n2+2，
∵n 是整数，
∴n2 是整数，
∴任意三个连续整数的平方和被 3 除的余数是 2.
23.如图，AB=16，O 为 AB 中点，点 C 在线段 OB 上(不与点 O，B 重合)，将 OC 绕点 O 逆时针
旋转 270°后得到扇形 COD，AP，BQ 分别切优弧 CD 于点 P，Q，且点 P，Q 在 AB 异侧，连接
OP.
(1)求证：AP=BQ；
(2)当 BQ=4 3 时，求 QD 的长(结果保留π)；
(3)若△APO 的外心在扇形 COD 的内部，求 OC 的取值范围.
解析：(1)连接 OQ.只要证明 Rt△APO≌Rt△BQO 即可解决问题；
(2)求出优弧 DQ 的圆心角以及半径即可解决问题；
(3)由△APO 的外心是 OA 的中点，OA=8，推出△APO 的外心在扇形 COD 的内部时，OC 的取值
范围为 4＜OC＜8.
答案：(1)证明：连接 OQ.
∵AP、BQ 是⊙O 的切线，
∴OP⊥AP，OQ⊥BQ，
∴∠APO=∠BQO=90°，
在 Rt△APO 和 Rt△BQO 中，
OA OB
OP OQ
，
∴Rt△APO≌Rt△BQO，
∴AP=BQ.
(2)∵Rt△APO≌Rt△BQO，
∴∠AOP=∠BOQ，
∴P、O、Q 三点共线，
∵在 Rt△BOQ 中，cosB= 4 3 3
8 2
QB
OB
，
∴∠B=30°，∠BOQ=60°，
∴OQ= 1
2
OB=4，
∵∠COD=90°，
∴∠QOD=90°+60°=150°，
∴优弧 QD 的长= 210 4 14
180 3
，
(3)∵△APO 的外心是 OA 的中点，OA=8，
∴△APO 的外心在扇形 COD 的内部时，OC 的取值范围为 4＜OC＜8.
24.如图，直角坐标系 xOy 中，A(0，5)，直线 x=-5 与 x 轴交于点 D，直线 y= 3 39
8 8x 与
x 轴及直线 x=-5 分别交于点 C，E，点 B，E 关于 x 轴对称，连接 AB.
(1)求点 C，E 的坐标及直线 AB 的解析式；
(2)设面积的和 S=S△CDE+S 四边形 ABDO，求 S 的值；
(3)在求(2)中 S 时，嘉琪有个想法：“将△CDE 沿 x 轴翻折到△CDB 的位置，而△CDB 与四边
形 ABDO 拼接后可看成△AOC，这样求 S 便转化为直接求△AOC 的面积不更快捷吗？”但大家
经反复演算，发现 S△AOC≠S，请通过计算解释他的想法错在哪里.
解析：(1)利用坐标轴上点的特点确定出点 C 的坐标，再利用直线的交点坐标的确定方法求
出点 E 坐标，进而得到点 B 坐标，最后用待定系数法求出直线 AB 解析式；
(2)直接利用直角三角形的面积计算方法和直角梯形的面积的计算即可得出结论，
(3)先求出直线 AB 与 x 轴的交点坐标，判断出点 C 不在直线 AB 上，即可.
答案：(1)在直线 y= 3 39
8 8x 中，
令 y=0，则有 0= 3 39
8 8x ，
∴x=-13，
∴C(-13，0)，
令 x=-5，则有 y=- 3
8
×(-5)- 39
8
=-3，
∴E(-5，-3)，
∵点 B，E 关于 x 轴对称，
∴B(-5，3)，
∵A(0，5)，
∴设直线 AB 的解析式为 y=kx+5，
∴-5k+5=3，
∴k= 2
5
，
∴直线 AB 的解析式为 y= 2
5
x+5；
(2)由(1)知，E(-5，-3)，
∴DE=3，
∵C(-13，0)，
∴CD=-5-(-13)=8，
∴S△CDE= 1
2
CD×DE=12，
由题意知，OA=5，OD=5，BD=3，
∴S 四边形 ABDO= 1
2
(BD+OA)×OD=20，
∴S=S△CDE+S 四边形 ABDO=12+20=32，
(3)由(2)知，S=32，
在△AOC 中，OA=5，OC=13，
∴S△AOC= 1
2
OA×OC= 65
2
=32.5，
∴S≠S△AOC，
理由：由(1)知，直线 AB 的解析式为 y= 2
5
x+5，
令 y=0，则 0= 2
5
x+5，
∴x=- 25
2
≠-13，
∴点 C 不在直线 AB 上，
即：点 A，B，C 不在同一条直线上，
∴S△AOC≠S.
25.平面内，如图，在▱ABCD 中，AB=10，AD=15，tanA= 4
3
，点 P 为 AD 边上任意点，连接 PB，
将 PB 绕点 P 逆时针旋转 90°得到线段 PQ.
(1)当∠DPQ=10°时，求∠APB 的大小；
(2)当 tan∠ABP：tanA=3：2 时，求点 Q 与点 B 间的距离(结果保留根号)；
(3)若点 Q 恰好落在▱ ABCD 的边所在的直线上，直接写出 PB 旋转到 PQ 所扫过的面积.(结果
保留π)
解析：(1)分两种情形①当点 Q 在平行四边形 ABCD 内时，②当点 Q 在平行四边形 ABCD 外时，
分别求解即可；
(2)如图 2 中，连接 BQ，作 PE⊥AB 于 E.在 Rt△APE 中，tanA= 4
3
PE
AE
，设 PE=4k，则 AE=3k，
在 Rt△PBE 中，tan∠ABP= PE
EB
=2，推出 EB=2k，推出 AB=5k=10，可得 k=2，由此即可解决
问题；
(3)分三种情形分别求解即可.
答案：(1)如图 1 中，
①当点 Q 在平行四边形 ABCD 内时，∠AP′B=180°-∠Q′P′B-∠Q′P′D=180°-90°-10°
=80°，
②当点Q在平行四边形ABCD外时，∠APB=180°-(∠QPB-∠QPD)=180°-(90°-10°)=100°，
综上所述，当∠DPQ=10°时，∠APB 的值为 80°或 100°.
(2)如图 2 中，连接 BQ，作 PE⊥AB 于 E.
∵tan∠ABP：tanA=3：2，tanA= 4
3
，
∴tan∠ABP=2，
在 Rt△APE 中，tanA= 4
3
PE
AE
，设 PE=4k，则 AE=3k，
在 Rt△PBE 中，tan∠ABP= PE
EB
=2，
∴EB=2k，
∴AB=5k=10，
∴k=2，
∴PE=8，EB=4，
∴PB= 2 28 4 4 5 ，
∵△BPQ 是等腰直角三角形，
∴BQ= 2 PB=4 10 .
(3)①如图 3 中，当点 Q 落在直线 BC 上时，作 BE⊥AD 于 E，PF⊥BC 于 F.则四边形 BEPF 是
矩形.
在 Rt△AEB 中，∵tanA= 4
3
BE
AE
，∵AB=10，
∴BE=8，AE=6，
∴PF=BE=8，
∵△BPQ 是等腰直角三角形，PF⊥BQ，
∴PF=BF=FQ=8，
∴PB=PQ=8 2 ，
∴PB 旋转到 PQ 所扫过的面积= 2
90 8 2
360
=32π.
②如图 4 中，当点 Q 落在 CD 上时，作 BE⊥AD 于 E，QF⊥AD 交 AD 的延长线于 F.设 PE=x.
易证△PBE≌△QPF，
∴PE=QF=x，EB=PF=8，
∴DF=AE+PE+PF-AD=x-1，
∵CD∥AB，
∴∠FDQ=∠A，
∴tan∠FDQ=tanA= 4
3
FQ
DF
，
∴ 4
1 3
x
x
，
∴x=4，
∴PE=4， 2 24 8 4 5 ，
在 Rt△PEB 中，PB= 2 24 8 4 5 ，
∴PB 旋转到 PQ 所扫过的面积= 2
90 4 5
360
=20π
③如图 5 中，
当点 Q 落在 AD 上时，易知 PB=PQ=8，
∴PB 旋转到 PQ 所扫过的面积=
290 8
360
=16π，
综上所述，PB 旋转到 PQ 所扫过的面积为 32π或 20π或 16π.
26.某厂按用户的月需求量 x(件)完成一种产品的生产，其中 x＞0，每件的售价为 18 万元，
每件的成本 y(万元)是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量 x(件)
成反比，经市场调研发现，月需求量 x 与月份 n(n 为整数，1≤n≤12)，符合关系式
x=2n2-2kn+9(k+3)(k 为常数)，且得到了表中的数据.
(1)求 y 与 x 满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是 12 万元；
(2)求 k，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；
(3)在这一年 12 个月中，若第 m 个月和第(m+1)个月的利润相差最大，求 m.
解析：(1)设 y=a+ b
x
，将表中相关数据代入可求得 a、b，根据 12=18-(6+ 600
x
)，则 600
x
=0
可作出判断；
(2)将 n=1、x=120 代入 x=2n2-2kn+9(k+3)可求得 k 的值，先由 18=6+ 600
x
求得 x=50，根据
50=2n2-26n+144 可判断；
(3)第 m 个月的利润 W=x(18-y)=18x-x(6+ 600
x
)=24(m2-13m+47)，第(m+1)个月的利润为 W′
=24[(m+1)2-13(m+1)+47]=24(m2-11m+35)，分情况作差结合 m 的范围，由一次函数性质可得.
答案：(1)由题意，设 y=a+ b
x
，
由表中数据可得：
11 120
12 100
ba
ba
，
解得： 6
600
a
b
，
∴y=6+ 600
x
，
由题意，若 12=18-(6+ 600
x
)，则 600
x
=0，
∵x＞0，
∴ 600
x
＞0，
∴不可能；
(2)将 n=1、x=120 代入 x=2n2-2kn+9(k+3)，得：120=2-2k+9k+27，
解得：k=13，
∴x=2n2-26n+144，
将 n=2、x=100 代入 x=2n2-26n+144 也符合，
∴k=13；
由题意，得：18=6+ 600
x
，
解得：x=50，
∴50=2n2-26n+144，即 n2-13n+47=0，
∵△=(-13)2-4×1×47＜0，
∴方程无实数根，
∴不存在；
(3)第 m 个月的利润为 W，
W=x(18-y)=18x-x(6+ 600
x
)=12(x-50)=24(m2-13m+47)，
∴第(m+1)个月的利润为 W′=24[(m+1)2-13(m+1)+47]=24(m2-11m+35)，
若 W≥W′，W-W′=48(6-m)，m 取最小 1，W-W′取得最大值 240；
若 W＜W′，W-W′=48(m-6)，由 m+1≤12 知 m 取最大 11，W-W′取得最大值 240；
∴m=1 或 11.
中考二模数学
一、精心选一选(本题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分)
1.﹣2 的绝对值是( )
A.﹣2
B.2
C.±2
D. 1
2
解析：﹣2 的绝对值是：2.
答案：B.
2.如图是某几何体的三视图，该几何体是( )
A.球
B.三棱柱
C.圆柱
D.圆锥
解析：根据主视图是三角形，圆柱和球不符合要求，A、C 错误；
根据俯视图是圆，三棱柱不符合要求，A 错误；
根据几何体的三视图，圆锥符合要求.
答案：D.
3.如图，直线 l1∥l2，CD⊥AB 于点 D，∠1=40°，则∠2 的度数为( )
A.50°
B.45°
C.40°
D.30°
解析：∵直线 l1∥l2，
∴∠1=∠CAD=40°，
又∵CD⊥AB 于点 D，
∴∠2=90°﹣40°=50°.
答案：A.
4.下列计算正确的是( )
A. 12 2 3
B. 3
2
3
2
C. 3x x x
D. 2x x
解析：A、 12 2 3 ，正确；
B、 3
2
6
2
，故此选项错误；
C、 3x x x ，故此选项错误；
D、 2x x ，故此选项错误.
答案：A.
5.下列一元二次方程没有实数根的是( )
A.x2+2x+1=0
B.x2+x+2=0
C.x2﹣1=0
D.x2﹣2x﹣1=0
解析：A、△=22﹣4×1×1=0，方程有两个相等实数根，此选项错误；
B、△=12﹣4×1×2=﹣7＜0，方程没有实数根，此选项正确；
C、△=0﹣4×1×(﹣1)=4＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；
D、△=(﹣2)2﹣4×1×(﹣1)=8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误.
答案：B.
6.某小学校园足球对 22 名队员年龄情况如下：
年龄/岁 9 10 11 12
人数 2 6 10 4
则这个队队员年龄的众数和中位数分别是( )
A.11，10
B.10，11
C.10，9
D.11，11
解析：由表格可得，
这组数据的众数是 11 岁，
中位数是 11 岁.
答案：D.
7.如图，A，B 的坐标为(2，0)，(0，1)，若将线段 AB 平移至 A1B1，则 a+b 的值为( )
A.2
B.3
C.4
D.5
解析：由 B 点平移前后的纵坐标分别为 1、2，可得 B 点向上平移了 1 个单位，
由 A 点平移前后的横坐标分别是为 2、3，可得 A 点向右平移了 1 个单位，
由此得线段 AB 的平移的过程是：向上平移 1 个单位，再向右平移 1 个单位，
所以点 A、B 均按此规律平移，
由此可得 a=0+1=1，b=0+1=1，
故 a+b=2.
答案：A.
8.如图，在正方形 ABCD 中，点 P 从点 A 出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则△
APC 的面积 y 与点 P 运动的路程 x 之间形成的函数关系图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
解析：设正方形的边长为 a，
当 P 在 AB 边上运动时， 1
2y ax ；
当 P 在 BC 边上运动时， 21 1
2 22y a a x ax a ﹣ ﹣ ；
当 P 在 CD 边上运动时， 221 1
2 2y a x a ax a ﹣ ﹣ ；
当 P 在 AD 边上运动时， 241 1
2 2 2y a a x ax a ﹣ ﹣ ﹣ ，
大致图象为：
答案：C.
9.如图，面积为 24 的正方形 ABCD 中，有一个小正方形 EFGH，其中 E、F、G 分别在 AB、BC、
FD 上.若 6
2BF ，则小正方形的周长为( )
A. 5 6
8
B. 5 6
6
C. 5 6
2
D.10 6
3
解析：∵四边形 ABCD 是正方形，面积为 24，
∴BC=CD= 2 6，∠B=∠C=90°，
∵四边形 EFGH 是正方形，
∴∠EFG=90°，
∵∠EFB+∠DFC=90°，∠BEF+∠EFB=90°，
∴∠BEF=∠DFC，∵∠EBF=∠C=90°，
∴△BEF∽△CFD，
∴ EF BF
DF DC
，
∵ 6
2BF ，CF= 3 6
2
， 2 2 5 6
2DF CD CF ，
∴
6
2
5 6 2 6
2
EF ，
∴EF= 5 6
8
，
∴正方形 EFGH 的周长为 5 6
2
.
答案：C.
10.如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD=120°，将菱形沿 EF 折叠，点 B 正好落在 AD 边的点 G 处，
且 EG⊥AC，若 CD=8，则 FG 的长为( )
A. 4 2
B. 4 3
C. 4 6
D.6
解析：如图，设 AC 与 EG 交于点 O，FG 交 AC 于 H.
∵四边形 ABCD 是菱形，∠BAD=120°，
易证△ABC、△ACD 是等边三角形，
∴∠CAD=∠B=60°，
∵EG⊥AC，
∴∠GOH=90°，
∵∠EGF=∠B=60°，
∴∠OHG=30°，
∴∠AGH=90°，
∴FG⊥AD，
∴FG 是菱形的高，即等边三角形△ABC 的高= 3
2 8 4 3 .
答案：B.
二、细心填一填，试试你的身手(本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分)
11.函数 2
1
xy x
中自变量 x 的取值范围是____.
解析：由题意得，x+2≥0 且 x﹣1≠0，
解得 x≥﹣2 且 x≠1.
答案：x≥﹣2 且 x≠1.
12.分解因式：a3﹣a=____.
解析：a3﹣a，
=a(a2﹣1)，
=a(a+1)(a﹣1).
答案：a(a+1)(a﹣1).
13.如图，四边形 ABCD 内接于圆 O，四边形 ABCO 是平行四边形，则∠ADC=____.
解析：设∠ADC 的度数=α，∠ABC 的度数=β；
∵四边形 ABCO 是平行四边形，
∴∠ABC=∠AOC；
∵ 1
2ADC β ，∠AOC=α；而α+β=180°，
∴
180
1
2
α β
α β
，
解得：β=120°，α=60°，∠ADC=60°，
答案：60°.
14.如图，AD⊥CD，∠ABD=60°，AB=4m，∠ACB=45°，则 AC=____.
解析：在 Rt△ABD 中，∠D=90°，∠ABD=60°，AB=4m，
∴BD= 1
2
AB=2m， 2 2 2 3AD AB BD m .
在 Rt△ACD 中，∠D=90°，∠ACD=45°，AD=2 m，
∴CD=AD= 2 3m， 2 2 2 6AC AD CD m .
答案： 2 6m.
15.如图，直线 l⊥x 轴于点 P，且与反比例函数 1
5y x
(x＞0)及 2
ky x
(x＞0)的图象分别
交于 A、B，若△AOB 的面积为 2，则 k=____.
解析：根据反比例函数 k 的几何意义可知：△AOP 的面积为 5
2
，△BOP 的面积为
2
k ，
∵△AOB 的面积为 2，
∴ 1
2 2
5 22
k ，
∴k=1，
答案：1.
16.已知二次函数 y=(x﹣h)2+1(h 为常数)，在自变量 x 满足 2≤x≤4 的情况下，y 的最小值
为 10，则 h 的值为____.
解析：∵当 x＞h 时，y 随 x 的增大而增大，当 x＜h 时，y 随 x 的增大而减小，
∴①若 h＜2≤x≤4，x=2 时，y 取得最小值 10，
可得：(2﹣h)2+1=10，
解得：h=﹣1 或 h=5(舍去)；
②若 2≤x≤4＜h，当 x=4 时，y 取得最小值 10，
可得：(4﹣h)2+1=10，
解得：h=7 或 h=1(舍去).
综上，h 的值为﹣1 或 7，
答案：﹣1 或 7.
三、用心做一做，显显自己的能力(共 72 分)
17.解分式方程： 2 411 x
x
x
.
解析：分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即
可得到分式方程的解.
答案：方程整理得： 2 411 x
x
x
，
去分母得：x﹣2=4(x﹣1)，
去括号得：x﹣2=4x﹣4，
移项合并得：3x=2，
解得： 2
3x ，
经检验 2
3x 是原方程的解.
18.某校甲、乙两班分别有一男生和一女生共 4 名学生报名竞选校园广播播音员.
(1)若从甲、乙两班报名的学生中分别随机选 1 名学生，则所选的 2 名学生性别相同的概率
是多少？
(2)若从报名的 4 名学生中随机选 2 名，求这 2 名学生来自同一班级的概率.
解析：(1)根据甲、乙两班分别有一男一女，列出树状图，得出所有情况，再根据概率公式
即可得出答案；
(2)根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案.
答案：(1)根据题意画图如下：
共有 4 种情况，其中所选的 2 名学生性别相同的有 2 种，
则所选的 2 名学生性别相同的概率是 2 1
4 2
；
(2)将(1)、(2)两班报名的学生分别记为甲 1、甲 2、乙 1、乙 2(注：1 表示男生，2 表示女
生)，树状图如图所示：
所以 P(2 名学生来自同一班级)= 4 1
12 3
.
19.如图，已知△CAB，∠ACB=90°.
(1)请用直尺和圆规过点 C 作一条裁剪线，使其将△ABC 分成两个相似的三角形.(保留作图
痕迹，不写作法)
(2)若 CA=3，CB=4，则(1)中作的裁剪线的长为____.
解析：(1)过点 C 作 AB 的垂线段即可得；
(2)根据勾股定理求得 AB=5，利用直角三角形的面积求解可得.
答案：(1)如图所示，CD 即为所求；
(2)在 Rt△ABC 中，∵AC=3，BC=4，
∴ 2 2 5AB AC BC ，
则 1 1
2 23 4 5 CD ，
解得：CD=12
5
，
答案：12
5
.
20.如图，已知▱ABCD，BE⊥AC 于点 E，DF⊥AC 于点 F，连接 DE、BF，求证：DE=BF.
解析：利用平行四边形的性质得出 AD=BC，∠DAE=∠BCA，进而利用全等三角形的判定得出
即可.
答案：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD=BC，∠DAE=∠BCF，
∵DE⊥AC，BF⊥AC
∴∠DEA=∠BFC
在△ADE 和△CBF 中，
DEA BFC
EAD FCB
AD BC
，
∴△ADE≌△CBF(AAS)，
∴DE=BF.
21.已知关于 x 的方程 x2﹣(2m+1)x+m(m+1)=0
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)设方程的两根分别为 x1、x2，求 2 2
1 2x x 的最小值.
解析：(1)根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=1＞0，由此即可证出方程总有两个
不相等的实数根；
(2)根据根与系数的关系可得 x1+x2=2m+1、x1·x2=m(m+1)，利用配方法可将 2 2
1 2x x 变形为
2
1 2 1 2- 2x x x x ，代入数据即可得出
2
2 2
1 2
1 1
22 2x x m
，进而即可得出 2 2
1 2x x 的
最小值.
答案：(1)证明：∵△=[﹣(2m+1)]2﹣4m(m+1)=1＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
(2)解：∵方程的两根分别为 x1、x2，
∴x1+x2=2m+1，x1·x2=m(m+1)，
∴
2
2 22 2 2
1 2 1 2 1 22 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1- - 2 2x x x x x x m m m m m m
，
∴ 2 2
1 2x x 的最小值为 1
2
.
22.学校准备购进一批排球和篮球，已知 1 个排球和 2 个篮球共需 320 元，3 个排球和 1 个
篮球共需 360 元.
(1)求一个排球和一个篮球的售价各是多少元？
(2)学校准备购进这种排球和篮球共 40 个，且篮球的数量不少于排球数量的 3 倍，求最省钱
的购买方案.
解析：(1)设一个排球的售价为 x 元，一个篮球的售价为 y 元，根据总价=单价×购买数量，
即可得出关于 x、y 的二元一次方程，解之即可得出结论；
(2)设购买排球 z 个，所花费用为 w 元，则购买篮球(40﹣z)个，根据总价=单价×购买数量，
即可得出 w 关于 z 的函数关系式，再根据篮球的数量不少于排球数量的 3 倍，可求出 x 的取
值范围，利用一次函数的性质即可解决最值问题.
答案：(1)设一个排球的售价为 x 元，一个篮球的售价为 y 元，
根据题意得： 2 320
3 360
x y
x y
，
解得： 80
120
x
y
.
答：一个排球的售价为 80 元，一个篮球的售价为 120 元.
(2)设购买排球 z 个，所花费用为 w 元，则购买篮球(40﹣z)个，
根据题意得：w=80z+120(40﹣z)=﹣40x+4800.
又∵40﹣x≥3x，
∴x≤10.
∵k=﹣40＜0，
∴当 x=10 时，w 最小.
∴最省钱的购买方案为：购买排球 10 个，篮球 30 个.
23.如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 为 AB 上面半圆上一点，点 D 为 AB 的下面半圆的中点，连
接 CD 与 AB 交于点 E，延长 BA 至 F，使 EF=CF.
(1)求证：CF 与⊙O 相切；
(2)若 DE·DC=13，求⊙O 的半径.
解析：(1)欲证明 CF 与⊙O 相切，只要证明 OC⊥CF 即可.
(2) 由 △ BDE ∽ △ CDB ， 推 出
D
BD
CD
ED
B
， 推 出 BD2=CD·ED=12 ， 由 ∠ BOD=90° ， 推 出
OB2+OD2=BD2=12，推出 OB2=6，可得 OB= 6 解决问题.
答案：(1)连接 OC、OD.
∵ AD BD ，
∴OD⊥AB，∠AOD=90°，
∵FE=FC，
∴∠FCE=∠FEC，
∵OC=OD，
∴∠OCE=∠ODC，
∴∠FCO=∠FCE+∠OCE=∠FEC+∠EDO=∠OED+∠ODC=90°.
∴OC⊥CF，
∴CF 是⊙⊙O 的切线.
(2)连接 BC、BD.
∵ AD BD ，
∠EBD=∠BCD，
∵∠BDE=∠CDB，
∴△BDE∽△CDB，
∴
D
BD
CD
ED
B
，
∴BD2=CD·ED=13，
∵∠BOD=90°，
∴OB2+OD2=BD2=13，
∴ 2 13
2OB ，
∴ 26
2OB ，
∴⊙O 的半径为 26
2
.
24.如图，在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+3x+c 与 x 轴交于 A、B
两点，与 y 轴交于点 C(0，8)，直线 l 经过原点 O，与抛物线的一个交点为 D(6，8).
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴与直线 l 交于点 E，点 T 为 x 轴上方的抛物线上的一个动点.
①当∠TEC=∠TEO 时，求点 T 的坐标；
②直线 BT 与 y 轴交于点 P，与直线 l 交于点 Q，当 OP=OQ 时，求点 P 的坐标.
解析：(1)由 C、D 坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
(2)①可先求得抛物线的对称轴和直线 l 的解析式，则可求得 E 点坐标，由条件可证得 TE∥
x 轴，则可求得 T 点纵坐标，代入抛物线解析式，可求得 T 点坐标；②过 E 作 BP 的平行线，
交 y 轴于点 F，交 x 轴于点 H，利用平行线分线段成比例可求得 OF=OE，可求得 F 点坐标，
则可求得直线 EF 的解析式，则可设出直线 PB 的解析式，把 B 点代入可求得直线 PB 解析式，
可求得 P 点坐标.
答案：(1)把 C、D 两点的坐标代入抛物线解析式可得 8
36 18 8
c
a c
，解得
8
1
2
c
a
，
∴抛物线解析式为 2 3 81
2y x x ﹣ ；
(2)①∵ 22 253 8 31 1
2 2 2y x x x ﹣ ﹣ ﹣ ，
∴抛物线对称轴为 x=3，
设直线 l 解析式为 y=kx，
把 D(6，8)代入可得 8=6k，解得 3
4k= ，
∴直线 l 的解析式为 4
3y x ，
∴E(3，4)，
∵O(0，0)，C(0，8)，
∴OE=CE，
∴点 E 在线段 OC 的垂直平分线上，
∵∠TEC=∠TEO，
∴TE∥x 轴，
∴T 的纵坐标为 4，
在 2 3 81
2y x x ﹣ 中，令 y=4 可得 24 81
2 3x x ﹣ ，解得 3 17x 或 3 17x ，
∴T 的坐标为(3 17 ，4)或(3 17 ，4)；
②在 2 3 81
2y x x ﹣ 中，令 y=0 可得 20 81
2 3x x ﹣ ，解得 x=﹣2 或 x=8，
∴B(8，0)，
∵E(3，4)，
∴OE=5，
如图 2，过点 E 作 BP 的平行线，交 y 轴于点 F，交 x 轴于点 H，
∴
E
OP
OF
OQ
O
，
∵OP=OQ，
∴OF=OE=5，
∴F(0，5)，
∴可设直线 PB 的解析式为 y=kx+5，
把 E 点坐标代入可得 4=3k+5，解得 1
3k ﹣ ，
∴直线 EF 的解析式为 1
3 5y x ﹣ ，
∴可设直线 PB 的解析式为 1
3y x m ﹣ ，
把 B 点坐标代入可得 1
30 8 m ﹣ ，解得 8
3m ，
∴P 点坐标为(0， 8
3
).
中考数学试卷
一、选择题（在下列各题地四个选项中,只有一项是符合要求地,请在答题卡中填
涂符合题意地选项,本大题共 12 个小题,每小题 3 分,共 36 分)
1．（3.00 分）（2018•长沙）﹣2 地相反数是（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．2 D．
2．（3.00 分）（2018•长沙）据统计，2017 年长沙市地区生产总值约为 10200 亿
元，经济总量迈入“万亿俱乐部”，数据 10200 用科学记数法表示为（ ）
b5E2RGbCAP
A．0.102×105 B．10.2×103 C．1.02×104 D．1.02×103
3．（3.00 分）（2018•长沙）下列计算正确地是（ ）
A．a2+a3=a5 B．3 C．（x2）3=x5 D．m5÷m3=m2
4．（3.00 分）（2018•长沙）下列长度地三条线段，能组成三角形地是（ ）
A．4cm，5cm，9cmB．8cm，8cm，15cm C．5cm，5cm，10cm D ． 6cm ，
7cm，14cmp1EanqFDPw
5．（3.00 分）（2018•长沙）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形
地是（ ）
A． B． C． D．
6．（3.00 分）（2018•长沙）不等式组 地解集在数轴上表示正确地是
（ ）DXDiTa9E3d
A． B ．
C． D．
7．（3.00 分）（2018•长沙）将下列如图地平面图形绕轴 l 旋转一周，可以得到地
立体图形是（ ）
A． B． C． D．
8．（3.00 分）（2018•长沙）下列说法正确地是（ ）
A．任意掷一枚质地均匀地硬币 10 次，一定有 5 次正面向上
B．天气预报说“明天地降水概率为 40%”，表示明天有 40%地时间都在降雨
C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件
D．“a 是实数，|a|≥0”是不可能事件
9．（3.00 分）（2018•长沙）估计 +1 地值是（ ）
A．在 2 和 3 之间 B．在 3 和 4 之间 C．在 4 和 5 之间 D．在 5 和 6 之间
10．（3.00 分）（2018•长沙）小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明从家
去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，如图反映了这个过程中，小明离
家地距离 y 与时间 x 之间地对应关系．根据图象，下列说法正确地是（ ）
RTCrpUDGiT
A．小明吃早餐用了 25min
B．小明读报用了 30min
C．食堂到图书馆地距离为 0.8km
D．小明从图书馆回家地速度为 0.8km/min
11．（3.00 分）（2018•长沙）我国南宋著名数学家秦九韶地著作《数书九章》里
记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大
斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲地是：有一块三角形沙田，三条边长分别
为 5 里，12 里，13 里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，
1 里=500 米，则该沙田地面积为（ ）5PCzVD7HxA
A．7.5 平方千米 B．15 平方千米 C．75 平方千米 D．750 平方千米
12．（3.00 分）（2018•长沙）若对于任意非零实数 a，抛物线 y=ax2+ax﹣2a 总不
经过点 P（x0﹣3，x02﹣16），则符合条件地点 P（ ）jLBHrnAILg
A．有且只有 1 个 B．有且只有 2 个 C．有且只有 3 个 D．有无穷多个
二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分)
13．（3.00 分）（2018•长沙）化简： =．
14．（3.00 分）（2018•长沙）某校九年级准备开展春季研学活动，对全年级学生
各自最想去地活动地点进行了调查，把调查结果制成了如下扇形统计图，则“世
界之窗”对应扇形地圆心角为度．xHAQX74J0X
15．（3.00 分）（2018•长沙）在平面直角坐标系中，将点 A′（﹣2，3）向右平移
3 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，那么平移后对应地点 A′地坐标
是．LDAYtRyKfE
16．（3.00 分）（2018•长沙）掷一枚质地均匀地正方体骰子，骰子地六个面上分
别刻有 1 到 6 地点数，掷得面朝上地点数为偶数地概率是．Zzz6ZB2Ltk
17．（3.00 分）（2018•长沙）已知关于 x 方程 x2﹣3x+a=0 有一个根为 1，则方程
地另一个根为．dvzfvkwMI1
18．（3.00 分）（2018•长沙）如图，点 A，B，D 在⊙O 上，∠A=20°，BC 是⊙O
地切线，B 为切点，OD 地延长线交 BC 于点 C，则∠OCB=度．rqyn14ZNXI
三、解答题（本大题共 8 个小题，第 19、20 题每小题 6 分，第 21、22 题每小
题 6 分，第 22、23 题每小题 6 分，第 25、26 题每小题 6 分，共 66 分.解答时写
出必要地文字说明、证明过程或演算步骤)EmxvxOtOco
19．（6.00 分）（2018•长沙）计算：（﹣1）2018﹣ +（π﹣3）0+4cos45°
20．（6.00 分）（2018•长沙）先化简，再求值：（a+b）2+b（a﹣b）﹣4ab，其中
a=2，b=﹣ ．SixE2yXPq5
21．（8.00 分）（2018•长沙）为了了解居民地环保意识，社区工作人员在光明小
区随机抽取了若干名居民开展主题为“打赢蓝天保卫战”地环保知识有奖问答活
动，并用得到地数据绘制了如图条形统计图（得分为整数，满分为 10 分，最低
分为 6 分）6ewMyirQFL
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次调查一共抽取了名居民；
（2）求本次调查获取地样本数据地平均数、众数和中位数；
（3）社区决定对该小区 500 名居民开展这项有奖问答活动，得 10 分者设为“一
等奖”，请你根据调查结果，帮社区工作人员估计需准备多少份“一等奖”奖品？
kavU42VRUs
22．（8.00 分）（2018•长沙）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对 A、
B 两地间地公路进行改建．如图，A、B 两地之间有一座山．汽车原来从 A 地到 B
地需途径 C 地沿折线 ACB 行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线 AB 行驶．已
知 BC=80 千米，∠A=45°，∠B=30°．y6v3ALoS89
（1）开通隧道前，汽车从 A 地到 B 地大约要走多少千米？
（2）开通隧道后，汽车从 A 地到 B 地大约可以少走多少千米？（结果精确到 0.1
千米）（参考数据： ≈141， ≈1.73）M2ub6vSTnP
23．（9.00 分）（2018•长沙）随着中国传统节日“端午节”地临近，东方红商场决
定开展“欢度端午，回馈顾客”地让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，
其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买 6 盒甲品牌粽子
和 3 盒乙品牌粽子需 600 元；打折后，买 50 盒甲品牌粽子和 40 盒乙品牌粽子需
要 5200 元．0YujCfmUCw
（1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？
（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子 80 盒，乙品牌粽子 100 盒，问打折后购买这
批粽子比不打折节省了多少钱？eUts8ZQVRd
24．（9.00 分）（2018•长沙）如图，在△ABC 中，AD 是边 BC 上地中线，∠BAD=
∠CAD，CE∥AD，CE 交 BA 地延长线于点 E，BC=8，AD=3．sQsAEJkW5T
（1）求 CE 地长；
（2）求证：△ABC 为等腰三角形．
（3）求△ABC 地外接圆圆心 P 与内切圆圆心 Q 之间地距离．
25．（10.00 分）（2018•长沙）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y= （m
为常数，m＞1，x＞0）地图象经过点 P（m，1）和 Q（1，m），直线 PQ 与 x 轴，
y 轴分别交于 C，D 两点，点 M（x，y）是该函数图象上地一个动点，过点 M 分
别作 x 轴和 y 轴地垂线，垂足分别为 A，B．GMsIasNXkA
（1）求∠OCD 地度数；
（2）当 m=3，1＜x＜3 时，存在点 M 使得△OPM∽△OCP，求此时点 M 地坐标；
（3）当 m=5 时，矩形 OAMB 与△OPQ 地重叠部分地面积能否等于 4.1？请说明
你地理由．
26．（10.00 分）（2018•长沙）我们不妨约定：对角线互相垂直地凸四边形叫做“十
字形”．
（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”地有；
②在凸四边形 ABCD 中，AB=AD 且 CB≠CD，则该四边形“十字形”．（填“是”或“不
是”）
（2）如图 1，A，B，C，D 是半径为 1 地⊙O 上按逆时针方向排列地四个动点，
AC 与 BD 交于点 E，∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，当 6≤AC2+BD2≤7 时，求
OE 地取值范围；TIrRGchYzg
（3）如图 2，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，
a＞0，c＜0）与 x 轴交于 A，C 两点（点 A 在点 C 地左侧），B 是抛物线与 y 轴地
交点，点 D 地坐标为（0，﹣ac），记“十字形”ABCD 地面积为 S，记△AOB，△COD，
△AOD，△BOC 地面积分别为 S1，S2，S3，S4．求同时满足下列三个条件地抛物
线地解析式；7EqZcWLZNX
① = ；② = ；③“十字形”ABCD 地周长为 12 ．
2018 年湖南省长沙市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（在下列各题地四个选项中,只有一项是符合要求地,请在答题卡中填
涂符合题意地选项,本大题共 12 个小题,每小题 3 分,共 36 分)lzq7IGf02E
1．（3.00 分）（2018•长沙）﹣2 地相反数是（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．2 D．
【考点】14：相反数．
【分析】根据只有符号不同地两个数互为相反数，可得答案．
【解答】解：﹣2 地相反数是 2，
故选：C．
【点评】本题考查了相反数，在一个数地前面加上负号就是这个数地相反数．
2．（3.00 分）（2018•长沙）据统计，2017 年长沙市地区生产总值约为 10200 亿
元，经济总量迈入“万亿俱乐部”，数据 10200 用科学记数法表示为（ ）zvpgeqJ1hk
A．0.102×105 B．10.2×103 C．1.02×104 D．1.02×103
【考点】1I：科学记数法—表示较大地数．
【专题】1 ：常规题型．
【分析】科学记数法地表示形式为 a×10n 地形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确
定 n 地值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 地绝对值与小数点
移动地位数相同．当原数绝对值＞10 时，n 是正数；当原数地绝对值＜1 时，n
是负数．NrpoJac3v1
【解答】解：10200=1.02×104，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法地表示方法．科学记数法地表示形式为 a×10n 地
形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 地值以及 n 地
值．1nowfTG4KI
3．（3.00 分）（2018•长沙）下列计算正确地是（ ）
A．a2+a3=a5 B．3 C．（x2）3=x5 D．m5÷m3=m2
【考点】35：合并同类项；47：幂地乘方与积地乘方；48：同底数幂地除法；78：
二次根式地加减法．
【专题】1 ：常规题型．
【分析】直接利用合并同类项法则以及幂地乘方运算法则、同底数幂地乘除运算
法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、a2+a3，无法计算，故此选项错误；
B、3 ﹣2 = ，故此选项错误；
C、（x2）3=x6，故此选项错误；
D、m5÷m3=m2，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及幂地乘方运算、同底数幂地乘除运算，
正确掌握相关运算法则是解题关键．fjnFLDa5Zo
4．（3.00 分）（2018•长沙）下列长度地三条线段，能组成三角形地是（ ）
A．4cm，5cm，9cm B．8cm，8cm，15cm C ． 5cm ， 5cm ， 10cm
D．6cm，7cm，14cmtfnNhnE6e5
【考点】K6：三角形三边关系．
【专题】1 ：常规题型．
【分析】结合“三角形中较短地两边之和大于第三边”，分别套入四个选项中得三
边长，即可得出结论．
【解答】解：A、∵5+4=9，9=9，
∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；
B、8+8=16，16＞15，
∴该三边能组成三角形，故此选项正确；
C、5+5=10，10=10，
∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；
D、6+7=13，13＜14，
∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了三角形地三边关系，解题地关键是：用较短地两边长相交与
第三边作比较．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合三角形三
边关系，代入数据来验证即可．HbmVN777sL
5．（3.00 分）（2018•长沙）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形
地是（ ）
A． B． C． D．
【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形．
【专题】1 ：常规题型．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形地概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形地概念．轴对称图形地关键
是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋
转 180 度后两部分重合．V7l4jRB8Hs
6．（3.00 分）（2018•长沙）不等式组 地解集在数轴上表示正确地是
（ ）83lcPA59W9
A． B ．
C． D．
【考点】C4：在数轴上表示不等式地解集；CB：解一元一次不等式组．
【专题】11 ：计算题；524：一元一次不等式(组)及应用．
【分析】先求出各不等式地解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：解不等式 x+2＞0，得：x＞﹣2，
解不等式 2x﹣4≤0，得：x≤2，
则不等式组地解集为﹣2＜x≤2，
将解集表示在数轴上如下：
故选：C．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，要遵循以下原则：同大取较大，同
小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．mZkklkzaaP
7．（3.00 分）（2018•长沙）将下列如图地平面图形绕轴 l 旋转一周，可以得到地
立体图形是（ ）
A． B． C． D．
【考点】I2：点、线、面、体．
【专题】55：几何图形．
【分析】根据面动成体以及圆台地特点进行逐一分析，能求出结果．
【解答】解：绕直线 l 旋转一周，可以得到圆台，
故选：D．
【点评】本题考查立体图形地判断，关键是根据面动成体以及圆台地特点解答．
8．（3.00 分）（2018•长沙）下列说法正确地是（ ）
A．任意掷一枚质地均匀地硬币 10 次，一定有 5 次正面向上
B．天气预报说“明天地降水概率为 40%”，表示明天有 40%地时间都在降雨
C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件
D．“a 是实数，|a|≥0”是不可能事件
【考点】X1：随机事件；X3：概率地意义．
【专题】1 ：常规题型．
【分析】直接利用概率地意义以及随机事件地定义分别分析得出答案．
【解答】解：A、任意掷一枚质地均匀地硬币 10 次，一定有 5 次正面向上，错误；
B、天气预报说“明天地降水概率为 40%”，表示明天有 40%地时间都在降雨，错
误；
C、“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件，正确；
D、“a 是实数，|a|≥0”是必然事件，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了概率地意义以及随机事件地定义，正确把握相关定义是
解题关键．
9．（3.00 分）（2018•长沙）估计 +1 地值是（ ）
A．在 2 和 3 之间 B．在 3 和 4 之间 C．在 4 和 5 之间 D．在 5 和 6 之间
【考点】2B：估算无理数地大小．
【分析】应先找到所求地无理数在哪两个和它接近地整数之间，然后判断出所求
地无理数地范围．
【解答】解：∵32=9，42=16，
∴ ，
∴ +1 在 4 到 5 之间．
故选：C．
【点评】此题主要考查了估算无理数地能力，要求学生正确理解无理数地性质，
进行估算，“夹逼法”是估算地一般方法，也是常用方法．AVktR43bpw
10．（3.00 分）（2018•长沙）小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明从家
去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，如图反映了这个过程中，小明离
家地距离 y 与时间 x 之间地对应关系．根据图象，下列说法正确地是（ ）
ORjBnOwcEd
A．小明吃早餐用了 25min
B．小明读报用了 30min
C．食堂到图书馆地距离为 0.8km
D．小明从图书馆回家地速度为 0.8km/min
【考点】E6：函数地图象．
【专题】17 ：推理填空题．
【分析】根据函数图象判断即可．
【解答】解：小明吃早餐用了（25﹣8）=17min，A 错误；
小明读报用了（58﹣28）=30min，B 正确；
食堂到图书馆地距离为（0.8﹣0.6）=0.2km，C 错误；
小明从图书馆回家地速度为 0.8÷10=0.08km/min，D 错误；
故选：B．
【点评】本题考查地是函数图象地读图能力．要能根据函数图象地性质和图象上
地数据分析得出函数地类型和所需要地条件，结合题意正确计算是解题地关
键．2MiJTy0dTT
11．（3.00 分）（2018•长沙）我国南宋著名数学家秦九韶地著作《数书九章》里
记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大
斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲地是：有一块三角形沙田，三条边长分别
为 5 里，12 里，13 里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，
1 里=500 米，则该沙田地面积为（ ）gIiSpiue7A
A．7.5 平方千米 B．15 平方千米 C．75 平方千米 D．750 平方千米
【考点】1O：数学常识；KU：勾股定理地应用．
【专题】1 ：常规题型．
【分析】直接利用勾股定理地逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．
【解答】解：∵52+122=132，
∴三条边长分别为 5 里，12 里，13 里，构成了直角三角形，
∴这块沙田面积为： ×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了勾股定理地应用，正确得出三角形地形状是解题关键．
12．（3.00 分）（2018•长沙）若对于任意非零实数 a，抛物线 y=ax2+ax﹣2a 总不
经过点 P（x0﹣3，x02﹣16），则符合条件地点 P（ ）uEh0U1Yfmh
A．有且只有 1 个 B．有且只有 2 个 C．有且只有 3 个 D．有无穷多个
【考点】H5：二次函数图象上点地坐标特征．
【专题】2B ：探究型．
【分析】根据题意可以得到相应地不等式，然后根据对于任意非零实数 a，抛物
线 y=ax2+ax﹣2a 总不经过点 P（x0﹣3，x02﹣16），即可求得点 P 地坐标，从而可
以解答本题．IAg9qLsgBX
【解答】解：∵对于任意非零实数 a，抛物线 y=ax2+ax﹣2a 总不经过点 P（x0﹣3，
x02﹣16），WwghWvVhPE
∴x02﹣16≠a（x0﹣3）2+a（x0﹣3）﹣2a
∴（x0﹣4）（x0+4）≠a（x0﹣1）（x0﹣4）
∴（x0+4）≠a（x0﹣1）
∴x0=﹣4 或 x0=1，
∴点 P 地坐标为（﹣7，0）或（﹣2，﹣15）
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象上点地坐标特征，解答本题地关键是明确题意，
利用二次函数地性质解答．
二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分)
13．（3.00 分）（2018•长沙）化简： =1．
【考点】6B：分式地加减法．
【专题】11 ：计算题．
【分析】根据分式地加减法法则：同分母分式加减法法则：同分母地分式想加减，
分母不变，把分子相加减计算即可．asfpsfpi4k
【解答】解：原式= =1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了分式地加减法法则，解题时牢记定义是关键．
14．（3.00 分）（2018•长沙）某校九年级准备开展春季研学活动，对全年级学生
各自最想去地活动地点进行了调查，把调查结果制成了如下扇形统计图，则“世
界之窗”对应扇形地圆心角为 90 度．ooeyYZTjj1
【考点】VB：扇形统计图．
【专题】542：统计地应用．
【分析】根据圆心角=360°×百分比计算即可；
【解答】解：“世界之窗”对应扇形地圆心角=360°×（1﹣10%﹣30%﹣20%﹣15%）
=90°，
故答案为 90．
【点评】本题考查地是扇形统计图地综合运用，读懂统计图是解决问题地关键，
扇形统计图直接反映部分占总体地百分比大小．BkeGuInkxI
15．（3.00 分）（2018•长沙）在平面直角坐标系中，将点 A′（﹣2，3）向右平移
3 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，那么平移后对应地点 A′地坐标是 （1，
1） ．PgdO0sRlMo
【考点】Q3：坐标与图形变化﹣平移．
【专题】1 ：常规题型．
【分析】直接利用平移地性质分别得出平移后点地坐标得出答案．
【解答】解：∵将点 A′（﹣2，3）向右平移 3 个单位长度，
∴得到（1，3），
∵再向下平移 2 个单位长度，
∴平移后对应地点 A′地坐标是：（1，1）．
故答案为：（1，1）．
【点评】此题主要考查了平移，正确掌握平移规律是解题关键．
16．（3.00 分）（2018•长沙）掷一枚质地均匀地正方体骰子，骰子地六个面上分
别刻有 1 到 6 地点数，掷得面朝上地点数为偶数地概率是 ．3cdXwckm15
【考点】X4：概率公式．
【专题】1 ：常规题型；543：概率及其应用．
【分析】先统计出偶数点地个数，再根据概率公式解答．
【解答】解：正方体骰子共六个面，点数为 1，2，3，4，5，6，偶数为 2，4，6，
故点数为偶数地概率为 = ，
故答案为： ．
【点评】此题考查了概率地求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件地可
能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 地概率 P（A）= ．h8c52WOngM
17．（3.00 分）（2018•长沙）已知关于 x 方程 x2﹣3x+a=0 有一个根为 1，则方程
地另一个根为 2．v4bdyGious
【考点】AB：根与系数地关系．
【专题】17 ：推理填空题．
【分析】设方程地另一个根为 m，根据两根之和等于﹣ ，即可得出关于 m 地一
元一次方程，解之即可得出结论．J0bm4qMpJ9
【解答】解：设方程地另一个根为 m，
根据题意得：1+m=3，
解得：m=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了根与系数地关系，牢记两根之和等于﹣ 是解题地关键．
18．（3.00 分）（2018•长沙）如图，点 A，B，D 在⊙O 上，∠A=20°，BC 是⊙O
地切线，B 为切点，OD 地延长线交 BC 于点 C，则∠OCB=50 度．XVauA9grYP
【考点】M5：圆周角定理；MC：切线地性质．
【专题】1 ：常规题型．
【分析】由圆周角定理易求∠BOC 地度数，再根据切线地性质定理可得∠
OBC=90°，进而可求出求出∠OCB 地度°°bR9C6TJscw
【解答】解：
∵∠A=20°，
∴∠BOC=40°，
∵BC 是⊙O 地切线，B 为切点，
∴∠OBC=90°，
∴∠OCB=90°﹣40°=50°，
故答案为：50．
【点评】本题考查了圆周角定理、切线地性质定理地运用，熟记和圆有关地各种
性质和定理是解题地关键．
三、解答题（本大题共 8 个小题，第 19、20 题每小题 6 分，第 21、22 题每小
题 6 分，第 22、23 题每小题 6 分，第 25、26 题每小题 6 分，共 66 分.解答时写
出必要地文字说明、证明过程或演算步骤)pN9LBDdtrd
19．（6.00 分）（2018•长沙）计算：（﹣1）2018﹣ +（π﹣3）0+4cos45°
【考点】2C：实数地运算；6E：零指数幂；T5：特殊角地三角函数值．
【专题】1 ：常规题型．
【分析】本题涉及零指数幂、乘方、二次根式化简和特殊角地三角函数值 4 个考
点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数地运算法则求得
计算结果．DJ8T7nHuGT
【解答】解：原式=1﹣2 +1+4× =1﹣2 +1+2 =2．
【点评】本题主要考查了实数地综合运算能力，是各地中考题中常见地计算题
型．解决此类题目地关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对
值等考点地运算．QF81D7bvUA
20．（6.00 分）（2018•长沙）先化简，再求值：（a+b）2+b（a﹣b）﹣4ab，其中
a=2，b=﹣ ．4B7a9QFw9h
【考点】4J：整式地混合运算—化简求值．
【专题】1 ：常规题型．
【分析】首先计算完全平方，计算单项式乘以多项式，然后再合并同类项，化简
后，再代入 a、b 地值，进而可得答案．ix6iFA8xoX
【解答】解：原式=a2+2ab+b2+ab﹣b2﹣4ab=a2﹣ab，
当 a=2，b=﹣ 时，原式=4+1=5．
【点评】此题主要考查了整式地混合运算﹣﹣化简求值，关键是先按运算顺序把
整式化简，再把对应字母地值代入求整式地值．wt6qbkCyDE
21．（8.00 分）（2018•长沙）为了了解居民地环保意识，社区工作人员在光明小
区随机抽取了若干名居民开展主题为“打赢蓝天保卫战”地环保知识有奖问答活
动，并用得到地数据绘制了如图条形统计图（得分为整数，满分为 10 分，最低
分为 6 分）Kp5zH46zRk
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次调查一共抽取了 50 名居民；
（2）求本次调查获取地样本数据地平均数、众数和中位数；
（3）社区决定对该小区 500 名居民开展这项有奖问答活动，得 10 分者设为“一
等奖”，请你根据调查结果，帮社区工作人员估计需准备多少份“一等奖”奖品？
Yl4HdOAA61
【考点】V5：用样本估计总体；VC：条形统计图；W2：加权平均数；W4：中位
数；W5：众数．
【专题】542：统计地应用．
【分析】（1）根据总数=个体数量之和计算即可；
（2）根据平均数、总数、中位数地定义计算即可；
（3）利用样本估计总体地思想解决问题即可；
【解答】解：（1）共抽取：4+10+15+11+10=50（人），
故答案为 50；
（2）平均数= （4×6+10×7+15×8=11×9+10×10）=8.26；
众数：得到 8 分地人最多，故众数为 8．
中位数：由小到大排列，知第 25，26 平均分为 8 分，故中位数为 8 分；
（3）得到 10 分占 10÷50=20%，
故 500 人时，需要一等奖奖品 500×20%=100（份）．
【点评】本题考查地是条形统计图和扇形统计图地综合运用，读懂统计图，从不
同地统计图中得到必要地信息是解决问题地关键．条形统计图能清楚地表示出每
个项目地数据；扇形统计图直接反映部分占总体地百分比大小．ch4PJx4BlI
22．（8.00 分）（2018•长沙）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对 A、
B 两地间地公路进行改建．如图，A、B 两地之间有一座山．汽车原来从 A 地到 B
地需途径 C 地沿折线 ACB 行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线 AB 行驶．已
知 BC=80 千米，∠A=45°，∠B=30°．qd3YfhxCzo
（1）开通隧道前，汽车从 A 地到 B 地大约要走多少千米？
（2）开通隧道后，汽车从 A 地到 B 地大约可以少走多少千米？（结果精确到 0.1
千米）（参考数据： ≈141， ≈1.73）E836L11DO5
【考点】KU：勾股定理地应用；T8：解直角三角形地应用．
【专题】55：几何图形．
【分析】（1）过点 C 作 AB 地垂线 CD，垂足为 D，在直角△ACD 中，解直角三角
形求出 CD，进而解答即可；S42ehLvE3M
（2）在直角△CBD 中，解直角三角形求出 BD，再求出 AD，进而求出汽车从 A
地到 B 地比原来少走多少路程．501nNvZFis
【 解 答 】 解 ：（ 1 ） 过 点 C 作 AB 地 垂 线 CD ， 垂 足 为 D ，
∵AB⊥CD，sin30°= ，BC=80 千米，
∴CD=BC•sin30°=80× （千米），
AC= （千米），
AC+BC=80+40 ≈40×1.41+80=136.4（千米），
答：开通隧道前，汽车从 A 地到 B 地大约要走 136.4 千米；
（2）∵cos30°= ，BC=80（千米），
∴BD=BC•cos30°=80× （千米），
∵tan45°= ，CD=40（千米），
∴AD= （千米），
∴AB=AD+BD=40+40 ≈40+40×1.73=109.2（千米），
∴汽车从 A 地到 B 地比原来少走多少路程为：AC+BC﹣AB=136.4﹣109.2=27.2（千
米）．
答：汽车从 A 地到 B 地比原来少走地路程为 27.2 千米．
【点评】本题考查了勾股定理地运用以及解一般三角形，求三角形地边或高地问
题一般可以转化为解直角三角形地问题，解决地方法就是作高线．jW1viftGw9
23．（9.00 分）（2018•长沙）随着中国传统节日“端午节”地临近，东方红商场决
定开展“欢度端午，回馈顾客”地让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，
其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买 6 盒甲品牌粽子
和 3 盒乙品牌粽子需 600 元；打折后，买 50 盒甲品牌粽子和 40 盒乙品牌粽子需
要 5200 元．xS0DOYWHLP
（1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？
（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子 80 盒，乙品牌粽子 100 盒，问打折后购买这
批粽子比不打折节省了多少钱？LOZMkIqI0w
【考点】9A：二元一次方程组地应用．
【专题】34 ：方程思想；521：一次方程（组）及应用．
【分析】（1）设打折前甲品牌粽子每盒 x 元，乙品牌粽子每盒 y 元，根据“打折
前，买 6 盒甲品牌粽子和 3 盒乙品牌粽子需 600 元；打折后，买 50 盒甲品牌粽
子和 40 盒乙品牌粽子需要 5200 元”，即可得出关于 x、y 地二元一次方程组，解
之即可得出结论；ZKZUQsUJed
（2）根据节省钱数=原价购买所需钱数﹣打折后购买所需钱数，即可求出节省地
钱数．
【解答】解：（1）设打折前甲品牌粽子每盒 x 元，乙品牌粽子每盒 y 元，
根据题意得： ，
解得： ．
答：打折前甲品牌粽子每盒 40 元，乙品牌粽子每盒 120 元．
（2）80×40+100×120﹣80×0.8×40﹣100×0.75×120=3640（元）．
答：打折后购买这批粽子比不打折节省了 3640 元．
【点评】本题考查了二元一次方程组地应用，解题地关键是：（1）找准等量关系，
正确列出二元一次方程组；（2）根据数量关系，列式计算．dGY2mcoKtT
24．（9.00 分）（2018•长沙）如图，在△ABC 中，AD 是边 BC 上地中线，∠BAD=
∠CAD，CE∥AD，CE 交 BA 地延长线于点 E，BC=8，AD=3．rCYbSWRLIA
（1）求 CE 地长；
（2）求证：△ABC 为等腰三角形．
（3）求△ABC 地外接圆圆心 P 与内切圆圆心 Q 之间地距离．
【考点】JA：平行线地性质；KJ：等腰三角形地判定与性质；MA：三角形地外
接圆与外心；MI：三角形地内切圆与内心．FyXjoFlMWh
【专题】11 ：计算题．
【分析】（1）证明 AD 为△BCE 地中位线得到 CE=2AD=6；
（2）通过证明△ABD≌△CAD 得到 AB=AC；
（3）如图，连接 BP、BQ、CQ，先利用勾股定理计算出 AB=5，设⊙P 地半径为
R，⊙Q 地半径为 r，在 Rt△PBD 中利用勾股定理得到（R﹣3）2+42=R2，解得 R= ，
则 PD= ，再利用面积法求出 r= ，即 QD= ，然后计算 PD+QD 即可．TuWrUpPObX
【解答】（1）解：∵AD 是边 BC 上地中线，
∴BD=CD，
∵CE∥AD，
∴AD 为△BCE 地中位线，
∴CE=2AD=6；
（2）证明：∵BD=CD，∠BAD=∠CAD，AD=AD，
∴△ABD≌△CAD，
∴AB=AC，
∴△ABC 为等腰三角形．
（3）如图，连接 BP、BQ、CQ，
在 Rt△ABD 中，AB= =5，
设⊙P 地半径为 R，⊙Q 地半径为 r，
在 Rt△PBD 中，（R﹣3）2+42=R2，解得 R= ，
∴PD=PA﹣AD= ﹣3= ，
∵S△ABQ+S△BCQ+S△ACQ=S△ABC，
∴ •r•5+ •r•8+ •r•5= •3•8，解得 r= ，
即 QD= ，
∴PQ=PD+QD= + = ．
答：△ABC 地外接圆圆心 P 与内切圆圆心 Q 之间地距离为 ．
【点评】本题考查了三角形内切圆与内心：三角形地内心到三角形三边地距离相
等；三角形地内心与三角形顶点地连线平分这个内角．也考查了等腰三角形地判
定与性质和三角形地外接圆．7qWAq9jPqE
25．（10.00 分）（2018•长沙）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y= （m
为常数，m＞1，x＞0）地图象经过点 P（m，1）和 Q（1，m），直线 PQ 与 x 轴，
y 轴分别交于 C，D 两点，点 M（x，y）是该函数图象上地一个动点，过点 M 分
别作 x 轴和 y 轴地垂线，垂足分别为 A，B．llVIWTNQFk
（1）求∠OCD 地度数；
（2）当 m=3，1＜x＜3 时，存在点 M 使得△OPM∽△OCP，求此时点 M 地坐标；
（3）当 m=5 时，矩形 OAMB 与△OPQ 地重叠部分地面积能否等于 4.1？请说明
你地理由．
【考点】GB：反比例函数综合题．
【专题】153：代数几何综合题．
【分析】（1）想办法证明 OC=OD 即可解决问题；
（2）设 M（a， ），由△OPM∽△OCP，推出 = = ，由此构建方程求出 a，
再分类求解即可解决问题；yhUQsDgRT1
（3）不存在分三种情形说明：①当 1＜x＜5 时，如图 1 中；②当 x≤1 时，如图
2 中；③当 x≥5 时，如图 3 中；MdUZYnKS8I
【解答】解：（1）设直线 PQ 地解析式为 y=kx+b，则有 ，
解得 ，
∴y=﹣x+m+!，
令 x=0，得到 y=m+1，∴D（0，m+1），
令 y+0，得到 x=m+1，∴C（m+1，0），
∴OC=OD，
∵∠COD=90°，
∴∠OCD=45°．
（2）设 M（a， ），
∵△OPM∽△OCP，
∴ = = ，
∴OP2=OC•OM，
当 m=3 时，P（3，1），C（4，0），
OP2=32+12=10，OC=4，OM= ，
∴ = ，
∴10=4 ，
∴4a4﹣25a2+36=0，
（4a2﹣9）（a2﹣4）=0，
∴a=± ，a=±2，
∵1＜a＜3，
∴a= 或 2，
当 a= 时，M（ ，2），
PM= ，CP= ，
≠ （舍弃），
当 a=2 时，M（2， ），PM= ，CP= ，
∴ = = ，成立，
∴M（2， ）．
（3）不存在．理由如下：
当 m=5 时，P（5，1），Q（1，5），设 M（x， ），
OP 地解析式为：y= x，OQ 地解析式为 y=5x，
①当 1＜x＜5 时，如图 1 中，
∴E（ ， ），F（x， x），
S=S 矩形 OAMB﹣S△OAF﹣S△OBE
=5﹣ •x• x﹣ • • =4.1，
化简得到：x4﹣9x2+25=0，
△＜O，
∴没有实数根．
②当 x≤1 时，如图 2 中，
S=S△OGH＜S△OAM=2.5，
∴不存在，
③当 x≥5 时，如图 3 中，
S=S△OTS＜S△OBM=2.5，
∴不存在，
综上所述，不存在．
【点评】本题考查反比例函数综合题、矩形地性质、待定系数法、相似三角形地
判定和性质等知识，解题地关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构
建方程解决问题，学会用分类讨论地思想思考问题．09T7t6eTno
26．（10.00 分）（2018•长沙）我们不妨约定：对角线互相垂直地凸四边形叫做“十
字形”．
（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”地有 菱形，
正方形 ；
②在凸四边形 ABCD 中，AB=AD 且 CB≠CD，则该四边形 不是 “十字形”．（填
“是”或“不是”）
（2）如图 1，A，B，C，D 是半径为 1 地⊙O 上按逆时针方向排列地四个动点，
AC 与 BD 交于点 E，∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，当 6≤AC2+BD2≤7 时，求
OE 地取值范围；e5TfZQIUB5
（3）如图 2，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，
a＞0，c＜0）与 x 轴交于 A，C 两点（点 A 在点 C 地左侧），B 是抛物线与 y 轴地
交点，点 D 地坐标为（0，﹣ac），记“十字形”ABCD 地面积为 S，记△AOB，△COD，
△AOD，△BOC 地面积分别为 S1，S2，S3，S4．求同时满足下列三个条件地抛物
线地解析式；s1SovAcVQM
① = ；② = ；③“十字形”ABCD 地周长为 12 ．
【考点】HF：二次函数综合题．
【专题】15 ：综合题．
【分析】（1）利用“十字形”地定义判断即可；
（2）先判断出∠ADB+∠CAD=∠ABD+∠CAB，进而判断出∠AED=∠AEB=90°，即：
AC⊥BD，再判断出四边形 OMEN 是矩形，进而得出 OE2=2﹣ （AC2+BD2），即可
得出结论；GXRw1kFW5s
（3）由题意得，A（ ，0），B（0，c），C（ ，0），D（0，﹣ac），
求出 S= AC•BD=﹣ （ac+c）× ，S1= OA•OB=﹣ ，S2= OC•OD=﹣
，S3= OA×OD=﹣ ，S4= OB×OC=﹣ ，进而建立方程
+ = + ，求出 a=1，再求出 b=0，进
而判断出四边形 ABCD 是菱形，求出 AD=3 ，进而求出 c=﹣9，即可得出结
论．UTREx49Xj9
【解答】解：（1）①∵菱形，正方形地对角线互相垂直，
∴菱形，正方形是：“十字形”，
∵平行四边形，矩形地对角线不一定垂直，
∴平行四边形，矩形不是“十字形”，
故答案为：菱形，正方形；
②如图，
当 CB=CD 时，在△ABC 和△ADC 中， ，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC=∠DAC，
∵AB=AD，
∴AC⊥BD，
∴当 CB≠CD 时，四边形 ABCD 不是“十字形”，
故答案为：不是；
（2）∵∠ADB+∠CBD=∠ABD+∠CDB，∠CBD=∠CDB=∠CAB，
∴∠ADB+∠CAD=∠ABD+∠CAB，
∴180°﹣∠AED=180°﹣∠AEB，
∴∠AED=∠AEB=90°，
∴AC⊥BD，
过点 O 作 OM⊥AC 于 M，ON⊥BD 于 N，连接 OA，OD，
∴OA=OD=1，OM2=OA2﹣AM2，ON2=OD2﹣DN2，AM= AC，DN= BD，四边形 OMEN
是矩形，8PQN3NDYyP
∴ON=ME，OE2=OM2+ME2，
∴OE2=OM2+ON2=2﹣ （AC2+BD2），
∵6≤AC2+BD2≤7，
∴2﹣ ≤OE2≤2﹣ ，
∴ ≤OE2≤ ，
∴ （OE＞0）；
（3）由题意得，A（ ，0），B（0，c），C（ ，0），D（0，﹣ac），
∵a＞0，c＜0，
∴OA= ，OB=﹣c，OC= ，OD=﹣ac，AC= ，BD=﹣ac﹣c，
∴S= AC•BD=﹣ （ac+c）× ，S1= OA•OB=﹣ ，S2= OC•OD=﹣ ，
mLPVzx7ZNw
S3= OA×OD=﹣ ，S4= OB×OC=﹣ ，
∵ = + ， = + ，
∴ + = + ，
∴ =2，
∴a=1，
∴S=﹣c ，S1=﹣ ，S4=﹣ ，
∵ ，
∴S=S1+S2+2 ，
∴﹣c =﹣ +2 ，
∴﹣ =﹣c• ，
∴ = ，
∴b=0，
∴A（﹣ ，0），B（0，c），C（ ，0），d（0，﹣c），
∴四边形 ABCD 是菱形，
∴4AD=12 ，
∴AD=3 ，
即：AD2=90，
∵AD2=c2﹣c，
∴c2﹣c=90，
∴c=﹣9 或 c=10（舍），
即：y=x2﹣9．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了新定义，平行四边形，矩形，菱形，
正方形地性质，全等三角形地判定和性质，三角形地面积公式，求出 a=1 是解本
题地关键．AHP35hB02d
考点卡片
1．相反数
（1）相反数地概念：只有符号不同地两个数叫做互为相反数．
（2）相反数地意义：掌握相反数是成对出现地，不能单独存在，从数轴上看，
除 0 外，互为相反数地两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．NDOcB141gT
（3）多重符号地化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”
号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数地相反数地方法就是在这个数地前边添加“﹣”，
如 a 地相反数是﹣a，m+n 地相反数是﹣（m+n），这时 m+n 是一个整体，在整
体前面添负号时，要用小括号．1zOk7Ly2vA
2．科学记数法—表示较大地数
（1）科学记数法：把一个大于 10 地数记成 a×10n 地形式，其中 a 是整数数位
只有一位地数，n 是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a
×10n，其中 1≤a＜10，n 为正整数．】fuNsDv23Kh
（2）规律方法总结：
①科学记数法中 a 地要求和 10 地指数 n 地表示规律为关键，由于 10 地指数比原
来地整数位数少 1；按此规律，先数一下原数地整数位数，即可求出 10 地指数
n．tqMB9ew4YX
②记数法要求是大于 10 地数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于 10 地负数
同样可用此法表示，只是前面多一个负号．HmMJFY05dE
3．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中地一些数学常识要了解．比如给出一个
物体地高度要会选择它合适地单位长度等等．ViLRaIt6sk
平时要注意多观察，留意身边地小知识．
4．估算无理数地大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数地近似值．
5．实数地运算
（1）实数地运算和在有理数范围内一样，值得一提地是，实数既可以进行加、
减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．9eK0GsX7H1
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、
开方，再算乘除，最后算加减，有括号地要先算括号里面地，同级运算要按照从
左到有地顺序进行．naK8ccr8VI
另外，有理数地运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算地“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂地运算、指数（特别是负整数指数，0 指数）
运算、根式运算、特殊三角函数值地计算以及绝对值地化简等．B6JgIVV9ao
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号地先算括号里面地，在同一级
运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．P2IpeFpap5
3．运算律地使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
6．合并同类项
（1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项．
（2）合并同类项地法则：把同类项地系数相加，所得结果作为系数，字母和字
母地指数不变．
（3）合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项地概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项地两条标准：
带有相同系数地代数项；字母和字母指数；3YIxKpScDM
②明确合并同类项地含义是把多项式中地同类项合并成一项，经过合并同类项，
式地项数会减少，达到化简多项式地目地；gUHFg9mdSs
③“合并”是指同类项地系数地相加，并把得到地结果作为新地系数，要保持同类
项地字母和字母地指数不变．
7．幂地乘方与积地乘方
（1）幂地乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n=amn（m，n 是正整数）
注意：①幂地乘方地底数指地是幂地底数；②性质中“指数相乘”指地是幂地指数
与乘方地指数相乘，这里注意与同底数幂地乘法中“指数相加”地区别．uQHOMTQe79
（2）积地乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得地幂相乘．
（ab）n=anbn（n 是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积地乘方，法则仍适用；②运用时数字因数地乘
方应根据乘方地意义，计算出最后地结果．IMGWiDkflP
8．同底数幂地除法
同底数幂地除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an=a m﹣n（a≠0，m，n 是正整数，m＞n）
①底数 a≠0，因为 0 不能做除数；
②单独地一个字母，其指数是 1，而不是 0；
③应用同底数幂除法地法则时，底数 a 可是单项式，也可以是多项式，但必须明
确底数是什么，指数是什么．
9．整式地混合运算—化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母地值代入求整式地值．
有乘方、乘除地混合运算中，要按照先乘方后乘除地顺序运算，其运算顺序和有
理数地混合运算顺序相似．
10．分式地加减法
（1）同分母分式加减法法则：同分母地分式相加减，分母不变，把分子相加减．
（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同地几个分式化成分母相同地分式，
叫做通分，经过通分，异分母分式地加减就转化为同分母分式地加减．：
WHF4OmOgAw
说明：
①分式地通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，
分子是多项式时，要把分母所乘地相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中
某一项相乘．aDFdk6hhPd
②通分是和约分是相反地一种变换．约分是把分子和分母地所有公因式约去，将
分式化为较简单地形式；通分是分别把每一个分式地分子分母同乘以相同地因
式，使几个较简单地分式变成分母相同地较复杂地形式．约分是对一个分式而言
地；通分则是对两个或两个以上地分式来说地．ozElQQLi4T
11．零指数幂
零指数幂：a0=1（a≠0）
由 am÷am=1，am÷am=am﹣m=a0 可推出 a0=1（a≠0）
注意：00≠1．
12．二次根式地加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开
方数相同地二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．CvDtmAfjiA
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式地二次根式进行化简．
③合并被开方数相同地二次根式．
（3）合并被开方数相同地二次根式地方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合
并根式外地因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．QrDCRkJkxh
13．二元一次方程组地应用
（一）、列二元一次方程组解决实际问题地一般步骤：
（1）审题：找出问题中地已知条件和未知量及它们之间地关系．
（2）设元：找出题中地两个关键地未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中地关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）、设元地方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求地未知量相关地另一些量为未知数，即为间接设
元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．4nCKn3dlMX
14．根与系数地关系
（1）若二次项系数为 1，常用以下关系：x1，x2 是方程 x2+px+q=0 地两根时，x1+x2=
﹣p，x1x2=q，反过来可得 p=﹣（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根地相关
问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．ijCSTNGm0E
（2）若二次项系数不为 1，则常用以下关系：x1，x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0
（a≠0）地两根时，x1+x2= ，x1x2= ，反过来也成立，即 =﹣（x1+x2），
=x1x2．vfB1pxanfk
（3）常用根与系数地关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程地两个根．②已知方程及方程地一
个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根地式子地值，如求，x12+x22 等
等．④判断两根地符号．⑤求作新方程．⑥由给出地两根满足地条件，确定字母
地取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数地关系，同时还要考虑 a
≠0，△≥0 这两个前提条件．JbA9VhEou1
15．在数轴上表示不等式地解集
用数轴表示不等式地解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实
心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；X7Ahr18pJI
二是定方向，定方向地原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集地验证方法
某不等式求得地解集为 x＞a，其验证方法可以先将 a 代入原不等式，则两
边相等，其次在x＞a地范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．b3zqXLCqXo
16．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组地解集：几个一元一次不等式地解集地公共部分，叫做
由它们所组成地不等式组地解集．
（2）解不等式组：求不等式组地解集地过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组地解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不
等式地解集，再求出这些解集地公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组地
解集．pZyytu5rc5
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式地解集；②利用数轴求公共部分．
解集地规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
17．函数地图象
函数地图象定义
对于一个函数，如果把自变量与函数地每一对对应值分别作为点地横、纵坐标，
那么坐标平面内由这些点组成地图形就是这个函数地图象．DVyGZezsrM
注意：①函数图形上地任意点（x，y）都满足其函数地解析式；②满足解析式地
任意一对 x、y 地值，所对应地点一定在函数图象上；③判断点 P（x，y）是否在
函数图象上地方法是：将点 P（x，y）地 x、y 地值代入函数地解析式，若能满足
函数地解析式，这个点就在函数地图象上；如果不满足函数地解析式，这个点就
不在函数地图象上．．RQxPvY3tFs
18．反比例函数综合题
（1）应用类综合题
能够从实际地问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题地关键一
步，培养了学生地建模能力和从实际问题向数学问题转化地能力．在解决这些问
题地时候我们还用到了反比例函数地图象和性质、待定系数法和其他学科中地知
识．5MxX1IxuU9
（2）数形结合类综合题
利用图象解决问题，从图上获取有用地信息，是解题地关键所在．已知点在图象
上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数地解析式，那么
这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量地大小．将
数形结合在一起，是分析解决问题地一种好方法．jIw5xs0v9P
19．二次函数图象上点地坐标特征
二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）地图象是抛物线，顶点坐标是（﹣ ， ）．
①抛物线是关于对称轴 x=﹣ 成轴对称，所以抛物线上地点关于对称轴对称，
且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线地最高点或最低点．xEve2buwnw
②抛物线与 y 轴交点地纵坐标是函数解析中地 c 值．
③抛物线与 x 轴地两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，
0），则其对称轴为 x= ．KAvmyVYxCd
20．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定地函数或函数图象判断出系数地符号，然后判断新
地函数关系式中系数地符号，再根据系数与图象地位置关系判断出图象特征，则
符合所有特征地图象即为正确选项．Ywuu4FszRT
（2）二次函数与方程、几何知识地综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这
类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形地有关性质、
定理和二次函数地知识，并注意挖掘题目中地一些隐含条件．cstDApWA6A
（3）二次函数在实际生活中地应用题
从实际问题中分析变量之间地关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、
创建，建立直角坐标系下地二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注
意地是自变量及函数地取值范围要使实际问题有意义．qotL69pBkh
21．点、线、面、体
（1）体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点．
（2）从运动地观点来看
点动成线，线动成面，面动成体．点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、
体地运动组成了多姿多彩地图形世界．EksTCSTCzX
（3）从几何地观点来看
点是组成图形地基本元素，线、面、体都是点地集合．
（4）长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体简
称体．
（5）面有平面和曲面之分，如长方体由 6 个平面组成，球由一个曲面组成．
22．平行线地性质
1、平行线性质定理
定理 1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，
同位角相等．
定理 2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平
行，同旁内角互补．
定理 3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，
内错角相等．
2、两条平行线之间地距离处处相等．
23．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三
个不等式，只要两条较短地线段长度之和大于第三条线段地长度即可判定这三条
线段能构成一个三角形．Sgs28CnDOE
（3）三角形地两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形地边长或周长地计算时，注意最后要用三边关系去检验，这
是一个隐藏地定时炸弹，容易忽略．6craEmRE2k
24．等腰三角形地判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等地线段和相等地角，判定三角形是等腰三角形是
证明线段相等、角相等地重要手段．k8qia6lFh1
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线地问题，其顶角平分线、
底边上地高、底边上地中线是常见地辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，
有时作哪条线都可以，有时不同地做法引起解决问题地复杂程度不同，需要具体
问题具体分析．y3qrGQOGwI
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，
一概依赖全等三角形地思维定势，凡可以直接利用等腰三角形地问题，应当优先
选择简便方法来解决．MZpzcAiHKo
25．勾股定理地应用
（1）在不规则地几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程地结合是解决实际问题常
用地方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确地示意图．领
会数形结合地思想地应用．0VoHIjMIZ5
（3）常见地类型：①勾股定理在几何中地应用：利用勾股定理求几何图形地面
积和有关线段地长度．
②由勾股定理演变地结论：分别以一个直角三角形地三边为边长向外作正多边
形，以斜边为边长地多边形地面积等于以直角边为边长地多边形地面积
和．dRoQe3gJeM
③勾股定理在实际问题中地应用：运用勾股定理地数学模型解决现实世界地实际
问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数地应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角
边是两个正整数地直角三角形地斜边．rNnYJNKKts
26．圆周角定理
（1）圆周角地定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交地角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角地两条边都与圆相交，二
者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对地圆周角相等，都等于这
条弧所对地圆心角地一半．
推论：半圆（或直径）所对地圆周角是直角，90°地圆周角所对地弦是直径．
（3）在解圆地有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对地圆周角，这
种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角地转化可通过作圆地半径构造等腰三角形．利用
等腰三角形地顶点和底角地关系进行转化．②圆周角和圆周角地转化可利用其
“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立地条件是“同一条弧所对地”两种角，在运
用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对地圆周角与圆心角错当成同一条弧
所对地圆周角和圆心角．FJn6fxdLH9
27．三角形地外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形地三个顶点地圆，叫做三角形地外接圆．
（2）外心：三角形外接圆地圆心是三角形三条边垂直平分线地交点，叫做三角
形地外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形地顶点在圆上，或者经过三角形地三个顶点．
②锐角三角形地外心在三角形地内部；直角三角形地外心为直角三角形斜边地中
点；钝角三角形地外心在三角形地外部．TFmfLhHMWP
③找一个三角形地外心，就是找一个三角形地两条边地垂直平分线地交点，三角
形地外接圆只有一个，而一个圆地内接三角形却有无数个．7Blnh0bNbw
28．切线地性质
（1）切线地性质
①圆地切线垂直于经过切点地半径．
②经过圆心且垂直于切线地直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线地直线必经过圆心．
（2）切线地性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中地任意两个，那么它一定满足第三个条件，这
三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆地切线垂直．lxlvNKFOpd
（3）切线性质地运用
由定理可知，若出现圆地切线，必连过切点地半径，构造定理图，得出垂直关系．简
记作：见切点，连半径，见垂直．ztkEju9PET
29．三角形地内切圆与内心
（1）内切圆地有关概念：
与三角形各边都相切地圆叫三角形地内切圆，三角形地内切圆地圆心叫做三角形
地内心，这个三角形叫做圆地外切三角形．三角形地内心就是三角形三个内角角
平分线地交点．NpjMPeCQTA
（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．
（3）三角形内心地性质：
三角形地内心到三角形三边地距离相等；三角形地内心与三角形顶点地连线平分
这个内角．
30．轴对称图形
（1）轴对称图形地概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁地部分能够互相重合，这个图形叫做轴
对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成
轴）对称．1ljUlY6R8h
（2）轴对称图形是针对一个图形而言地，是一种具有特殊性质图形，被一条直
线分割成地两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形地对称轴可以是一
条，也可以是多条甚至无数条．fhi3RIASmX
（3）常见地轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
31．坐标与图形变化-平移
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移 a 个单位，坐标 P（x，y）
⇒
P（x+a，y）
①向左平移 a 个单位，坐标 P（x，y）
⇒
P（x﹣a，y）
①向上平移 b 个单位，坐标 P（x，y）
⇒
P（x，y+b）
①向下平移 b 个单位，坐标 P（x，y）
⇒
P（x，y﹣b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点地横坐标都加上（或减去）一个
整数 a，相应地新图形就是把原图形向右（或向左）平移 a 个单位长度；如果把
它各个点地纵坐标都加（或减去）一个整数 a，相应地新图形就是把原图形向上
（或向下）平移 a 个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移
加，下移减．）scibnr4TBE
32．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转 180°，如果旋转后地图形能够与原来地图形重合，那么
这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．G8hjTbyUQk
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间地关系，而中心
对称图形是指一个图形自身地特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法
相同．U4gspV1V41
（2）常见地中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
33．特殊角地三角函数值
（1）特指 30°、45°、60°角地各种三角函数值．
sin30°= ； cos30°= ；tan30°= ；
sin45°= ；cos45°= ；tan45°=1；
sin60°= ；cos60°= ； tan60°= ；
（2）应用中要熟记特殊角地三角函数值，一是按值地变化规律去记，正弦逐渐
增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律
去记．80gAVFvXjI
（3）特殊角地三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三
角函数地特点，在解直角三角形中应用较多．mWfIqpZYyo
34．解直角三角形地应用
（1）通过解直角三角形能解决实际问题中地很多有关测量问．
如：测不易直接测量地物体地高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通
过测量角地度数和测量边地长度，计算出所要求地物体地高度或长度．ASeRW8tZM5
（2）解直角三角形地一般过程是：
①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角
三角形问题）．
②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数
学问题地答案，再转化得到实际问题地答案．OOeZsSX01M
35．用样本估计总体
用样本估计总体是统计地基本思想．
1、用样本地频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据地样本，我们很难从一个个数字中直接看出样
本所包含地信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本地频率分布，从
而去估计总体地分布情况．2Kd7YCq1gs
2、用样本地数字特征估计总体地数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、
标准差与方差）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体地
估计也就越精确．
36．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形地大小表示各部分数量占
总数地百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间地关
系．用整个圆地面积表示总数（单位 1），用圆地扇形面积表示各部分占总数地
百分数．gGcgumU2v9
（2）扇形图地特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间地关
系．
（3）制作扇形图地步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占地百分数，再算出各部分圆心角地度
数，公式是各部分扇形圆心角地度数=部分占总体地百分比×360°．②按比例取
适当半径画一个圆；按扇形圆心角地度数用量角器在圆内量出各个扇形地圆心角
地度数；uCco06o3JP
④在各扇形内写上相应地名称及百分数，并用不同地标记把各扇形区分开来．
37．条形统计图
（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量地多少画成长短不同
地矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．IybwwQS4Yw
（2）特点：从条形图可以很容易看出数据地大小，便于比较．
（3）制作条形图地一般步骤：
①根据图纸地大小，画出两条互相垂直地射线．
②在水平射线上，适当分配条形地位置，确定直条地宽度和间隔．
③在与水平射线垂直地射线上，根据数据大小地具体情况，确定单位长度表示多
少．
④按照数据大小，画出长短不同地直条，并注明数量．
38．加权平均数
（1）加权平均数：若 n 个数 x1，x2，x3，…，xn 地权分别是 w1，w2，w3，…，wn，
则 x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn 叫做这 n 个数地加权平均数．VubF2zm5dd
（2）权地表现形式，一种是比地形式，如 4：3：2，另一种是百分比地形式，
如创新占 50%，综合知识占 30%，语言占 20%，权地大小直接影响结果．9paNyjP6rT
（3）数据地权能够反映数据地相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它
较大地“权”，权地差异对结果会产生直接地影响．nl9V43j7GA
（4）对于一组不同权重地数据，加权平均数更能反映数据地真实信息．
39．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）地顺序排列，如果数据地个数是奇数，
则处于中间位置地数就是这组数据地中位数．Bh94ANN8Vh
如果这组数据地个数是偶数，则中间两个数据地平均数就是这组数据地中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小地“中点”，不易受极端值影响，但不能充分
利用所有数据地信息．
（3）中位数仅与数据地排列位置有关，某些数据地移动对中位数没有影响，中
位数可能出现在所给数据中也可能不在所给地数据中出现，当一组数据中地个别
数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．Pd8c6xh9aX
40．众数
（1）一组数据中出现次数最多地数据叫做众数．
（2）求一组数据地众数地方法：找出频数最多地那个数据，若几个数据频数都
是最多且相同，此时众数就是这多个数据．397kCgKaoE
（3）众数不易受数据中极端值地影响．众数也是数据地一种代表数，反映了一
组数据地集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势地量．．h57t70ebDk
41．随机事件
（1）确定事件
事先能肯定它一定会发生地事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生地事
件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定地．v16BDKIcS1
（2）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生地事件，称为随机事件．
（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和
不可能事件，其中，
①必然事件发生地概率为 1，即 P（必然事件）=1；
②不可能事件发生地概率为 0，即 P（不可能事件）=0；
③如果 A 为不确定事件（随机事件），那么 0＜P（A）＜1．
42．概率地意义
（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件 A 发生地频率 mn 会稳定在某个常
数 p 附近，那么这个常数 p 就叫做事件 A 地概率，记为 P（A）=p．JX6J9ucd6I
（2）概率是频率（多个）地波动稳定值，是对事件发生可能性大小地量地表现．
（3）概率取值范围：0≤p≤1．
（4）必然发生地事件地概率 P（A）=1；不可能发生事件地概率 P（A）=0．
（4）事件发生地可能性越大，概率越接近与 1，事件发生地可能性越小，概率
越接近于 0．
（5）通过设计简单地概率模型，在不确定地情境中做出合理地决策；概率与实
际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率地语言说明游戏地公
平性，并能按要求设计游戏地概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统
计之间地关系，可以解决一些实际问题．XT5SFeGelo
43．概率公式
（1）随机事件 A 地概率 P（A）=事件 A 可能出现地结果数所有可能出现地结果
数．
（2）P（必然事件）=1．
（3）P（不可能事件）=0．
中考数学试卷
一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分）
1．（3 分）（2015•长沙）下列实数中，为无理数的是（ ）
A． 0.2 B． C． D． ﹣5
2．（3 分）（2015•长沙）下列运算中，正确的是（ ）
A． x3+x=x4 B． （x2）3=x6 C． 3x﹣2x=1 D． （a﹣b）2=a2﹣b2
3．（3 分）（2015•长沙）2014 年，长沙地铁 2 号线的开通运营，极大地缓解了城市中心的交
通压力，为我市再次获评“中国最具幸福感城市”提供了有力支撑，据统计，长沙地铁 2 号线
每天承动力约为 185000 人次，则数据 185000 用科学记数法表示为（ ）
A． 1.85×105 B． 1.85×104 C． 1.8×105 D． 18.5×104
4．（3 分）（2015•长沙）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3 分）（2015•长沙）下列命题中，为真命题的是（ ）
A． 六边形的内角和为 360 度 B． 多边形的外角和与边数有关
C． 矩形的对角线互相垂直 D． 三角形两边的和大于第三边
6．（3 分）（2015•长沙）在数轴上表示不等式组 的解集，正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（3 分）（2015•长沙）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋 30 双，各种尺码鞋的销售
量如下表所示，你认为商家更应该关注鞋子尺码的（ ）
尺码/cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25
销售量/双 4 6 6 10 2 1 1
A． 平均数 B． 中位数 C． 众数 D． 方差
8．（3 分）（2015•长沙）下列说法中正确的是（ ）
A． “打开电视机，正在播放《动物世界》”是必然事件
B． 某种彩票的中奖概率为 ，说明每买 1000 张，一定有一张中奖
C． 抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为
D． 想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平，宜采用抽样调查
9．（3 分）（2015•长沙）一次函数 y=﹣2x+1 的图象不经过（ ）
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
10．（3 分）（2015•长沙）如图，过
△
ABC 的顶点 A，作 BC 边上的高，以下作法正确的是
（ ）
A． B． C． D．
11．（3 分）（2015•长沙）如图，为测量一棵与地面垂直的树 OA 的高度，在距离树的底端
30 米的 B 处，测得树顶 A 的仰角∠ABO 为α，则树 OA 的高度为（ ）21cnjy.com
A． 米 B． 30sinα米 C． 30tanα米 D． 30cosα米
12．（3 分）（2015•长沙）长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售
该电器一件，则可获利润 500 元，其利润率为 20%．现如果按同一标价打九折销售该电器
一件，那么获得的纯利润为（ ）www.21-cn-jy.com
A． 562.5 元 B． 875 元 C． 550 元 D． 750 元
二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）
13．（3 分）（2015•长沙）一个不透明的袋子中只装有 3 个黑球，2 个白球，这些球的形状、
大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的条件下，随机从袋中摸出 1
个球，则摸出白球的概率是 ．2-1-c-n-j-y
14．（3 分）（2015•长沙）圆心角是 60°且半径为 2 的扇形面积为 （结果保留π）．
15．（3 分）（2015•长沙）把 + 进行化简，得到的最简结果是 （结果保留
根号）．
16．（3 分）（2015•长沙）分式方程 = 的解是 x= ．
17．（3 分）（2015•长沙）如图，在
△
ABC 中，DE∥BC， ，DE=6，则 BC 的长
是 ．
18．（3 分）（2015•长沙）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 是⊙O 上的一点，若 BC=6，AB=10，
OD⊥BC 于点 D，则 OD 的长为 ．
三、解答题（共 8 小题，第 19、20 题每小题 6 分，第 21、22 题每小题 6 分，第 23、24 题
每小题 6 分，第 25、26 题每小题 6 分，满分 66 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程
或演算步骤）
19．（6 分）（2015•长沙）计算：（ ）﹣1+4cos60°﹣|﹣3|+ ．
20．（6 分）（2015•长沙）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）+2xy，其中 x=（3﹣
π）0，y=2．
21．（8 分）（2015•长沙）中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统
文化，某校团委组织了一次全校 3000 名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学
生的成绩均不低于 50 分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中 200
名学生的成绩（成绩 x 取整数，总分 100 分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图
表：
成绩 x/分 频数 频率
50≤x＜60 10 0.05
60≤x＜70 20 0.10
70≤x＜80 30 b
80≤x＜90 a 0.30
90≤x≤100 80 0.40
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）a= ，b= ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）这次比赛成绩的中位数会落在 分数段；
（4）若成绩在 90 分以上（包括 90 分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的 3000 名学生中
成绩“优”等约有多少人？
22．（8 分）（2015•长沙）如图，在菱形 ABCD 中，AB=2，∠ABC=60°，对角线 AC、BD 相
交于点 O，将对角线 AC 所在的直线绕点 O 顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）后得直线 l，直线
l 与 AD、BC 两边分别相交于点 E 和点 F．
（1）求证：
△
AOE≌△COF；
（2）当α=30°时，求线段 EF 的长度．
23．（9 分）（2015•长沙）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调
查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总
件数分别为 10 万件和 12.1 万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递 0.6 万件，那么该公司现有的 21 名快递投递业务员能否
完成今年 6 月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
24．（9 分）（2015•长沙）如图，在直角坐标系中，⊙M 经过原点 O（0，0），点 A（ ，0）
与点 B（0，﹣ ），点 D 在劣弧 上，连接 BD 交 x 轴于点 C，且∠COD=∠CBO．
（1）求⊙M 的半径；
（2）求证：BD 平分∠ABO；
（3）在线段 BD 的延长线上找一点 E，使得直线 AE 恰好为⊙M 的切线，求此时点 E 的坐
标．
25．（10 分）（2015•长沙）在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之
为“中国结”．
（1）求函数 y= x+2 的图象上所有“中国结”的坐标；
（2）若函数 y= （k≠0，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数 k 的值与
相应“中国结”的坐标；
（3）若二次函数 y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k（k 为常数）的图象与 x 轴相交
得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与 x 轴所围成的平面图形中（含边界），一共
包含有多少个“中国结”？
26．（10 分）（2015•长沙）若关于 x 的二次函数 y=ax2+bx+c（a＞0，c＞0，a，b，c 是常数）
与 x 轴交于两个不同的点 A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2），与 y 轴交于点 P，其图象顶
点为点 M，点 O 为坐标原点．
（1）当 x1=c=2，a= 时，求 x2 与 b 的值；
（2）当 x1=2c 时，试问
△
ABM 能否为等边三角形？判断并证明你的结论；
（3）当 x1=mc（m＞0）时，记
△
MAB，
△
PAB 的面积分别为 S1，S2，若
△
BPO∽△PAO，且
S1=S2，求 m 的值．
2015 年湖南省长沙市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分）
1．（3 分）（2015•长沙）下列实数中，为无理数的是（ ）
A． 0.2 B． C． D． ﹣5
考点： 无理数．
分析： 有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数，据此
判断出无理数有哪些即可．2·1·c·n·j·y
解答： 解：∵﹣5 是整数，
∴﹣5 是有理数；
∵0.2 是有限小数，
∴0.2 是有理数；
∵ ，0.5 是有限小数，
∴ 是有理数；
∵ 是无限不循环小数，
∴ 是无理数．
故选：C．
点评： 此题主要考查了无理数和有理数的特征和区别，要熟练掌握，解答此题的关键是要
明确：有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数．21 教育名
师原创作品
2．（3 分）（2015•长沙）下列运算中，正确的是（ ）
A． x3+x=x4 B． （x2）3=x6 C． 3x﹣2x=1 D． （a﹣b）2=a2﹣b2
考点： 幂的乘方与积的乘方；合并同类项；完全平方公式．
分析： 根据同类项、幂的乘方和完全平方公式计算即可．
解答： 解：A、x3 与 x 不能合并，错误；
B、（x2）3=x6，正确；
C、3x﹣2x=x，错误；
D、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，错误；
故选 B
点评： 此题考查同类项、幂的乘方和完全平方公式，关键是根据法则进行计算．
3．（3 分）（2015•长沙）2014 年，长沙地铁 2 号线的开通运营，极大地缓解了城市中心的交
通压力，为我市再次获评“中国最具幸福感城市”提供了有力支撑，据统计，长沙地铁 2 号线
每天承动力约为 185000 人次，则数据 185000 用科学记数法表示为（ ）
A． 1.85×105 B． 1.85×104 C． 1.8×105 D． 18.5×104
考点： 科学记数法—表示较大的数．
分析： 科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，
要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数
绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．
解答： 解：将 185000 用科学记数法表示为 1.85×105．
故选 A．
点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|
＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．
4．（3 分）（2015•长沙）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 中心对称图形；轴对称图形．
分析： 根据轴对称图形和中心对称图形的定义可直接得到答案．
解答： 解：A、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确；
C、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项错误；
D、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
点评： 此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：
轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；
中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合．
5．（3 分）（2015•长沙）下列命题中，为真命题的是（ ）
A． 六边形的内角和为 360 度 B． 多边形的外角和与边数有关
C． 矩形的对角线互相垂直 D． 三角形两边的和大于第三边
考点： 命题与定理．
分析： 根据六边形的内角和、多边形的外角和、矩形的性质和三角形三边关系判断即可．
解答： 解：A、六边形的内角和为 720°，错误；
B、多边形的外角和与边数无关，都等于 360°，错误；
C、矩形的对角线相等，错误；
D、三角形的两边之和大于第三边，正确；
故选 D．
点评： 本题考查命题的真假性，是易错题．
注意对六边形的内角和、多边形的外角和、矩形的性质和三角形三边关系的准确掌握．
6．（3 分）（2015•长沙）在数轴上表示不等式组 的解集，正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．
分析： 先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的
解集表示在数轴上即可．本题解不等式组得： ，再分别表示在数轴上即可得解．
解答： 解：由 x+2＞0 得 x＞﹣2，
由 2x﹣6≤0，得 x≤3，
把解集画在数轴上为：
故选 A．
点评： 本题考查了解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式组的解集，把每个不等式
的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上表示出来（＞，≥向右画；
＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数
与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，
“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．21·cn·jy·com
7．（3 分）（2015•长沙）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋 30 双，各种尺码鞋的销售
量如下表所示，你认为商家更应该关注鞋子尺码的（ ）
尺码/cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25
销售量/双 4 6 6 10 2 1 1
A． 平均数 B． 中位数 C． 众数 D． 方差
考点： 统计量的选择．
分析： 根据平均数、中位数、众数、方差的意义分析判断即可，得出鞋店老板最关心的数
据．
解答： 解：∵众数体现数据的最集中的一点，这样可以确定进货的数量，
∴鞋店最喜欢的是众数．
故选：C．
点评： 此题主要考查了统计的有关知识，主要是众数的意义．反映数据集中程度的统计量
有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的
运用．
8．（3 分）（2015•长沙）下列说法中正确的是（ ）
A． “打开电视机，正在播放《动物世界》”是必然事件
B． 某种彩票的中奖概率为 ，说明每买 1000 张，一定有一张中奖
C． 抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为
D． 想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平，宜采用抽样调查
考点： 概率的意义；全面调查与抽样调查；随机事件；概率公式．
分析： 根据随机事件，可判断 A；根据概率的意义，可判断 B、C；根据调查方式，可判
断 D．
解答： 解：A、“打开电视机，正在播放《动物世界》”是随机事件，故 A 错误；
B、某种彩票的中奖概率为 ，说明每买 1000 张，有可能中奖，也有可能不中奖，故 B
错误；
C、抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为 ，故 C 错误；
D、想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平，宜采用抽样调查，故 D 正确；
故选：D．
点评： 本题考查了全面调查与抽样调查，正确区分全面调查与抽样调查是解题关键，注意
概率时事件发生可能性的大小，并不一定发生．
9．（3 分）（2015•长沙）一次函数 y=﹣2x+1 的图象不经过（ ）
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
考点： 一次函数图象与系数的关系．
分析： 先根据一次函数 y=﹣2x+1 中 k=﹣2，b=1 判断出函数图象经过的象限，进而可得出
结论．
解答： 解：∵一次函数 y=﹣2x+1 中 k=﹣2＜0，b=1＞0，
∴此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．
故选 C
点评： 本题考查的是一次函数的性质，即一次函数 y=kx+b（k≠0）中，当 k＜0，b＞0 时，
函数图象经过一、二、四象限．【出处：21 教育名师】
10．（3 分）（2015•长沙）如图，过
△
ABC 的顶点 A，作 BC 边上的高，以下作法正确的是
（ ）
A． B． C． D．
考点： 三角形的角平分线、中线和高．
分析： 根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫
做三角形的高线解答．
解答： 解：为
△
ABC 中 BC 边上的高的是 A 选项．
故选 A．
点评： 本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．
11．（3 分）（2015•长沙）如图，为测量一棵与地面垂直的树 OA 的高度，在距离树的底端
30 米的 B 处，测得树顶 A 的仰角∠ABO 为α，则树 OA 的高度为（ ）
A． 米 B． 30sinα米 C． 30tanα米 D． 30cosα米
考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析： 根据题意，在 Rt
△
ABO 中，BO=30 米，∠ABO 为α，利用三角函数求解．
解答： 解：在 Rt
△
ABO 中，
∵BO=30 米，∠ABO 为α，
∴AO=BOtanα=30tanα（米）．
故选 C．
点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利
用三角函数求解．
12．（3 分）（2015•长沙）长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售
该电器一件，则可获利润 500 元，其利润率为 20%．现如果按同一标价打九折销售该电器
一件，那么获得的纯利润为（ ）
A． 562.5 元 B． 875 元 C． 550 元 D． 750 元
考点： 一元一次方程的应用．
分析： 设进价为 x 元，则该商品的标价为 1.5x 元，根据“按标价打八折销售该电器一件，
则可获利润 500 元”可以得到 x 的值；然后计算打九折销售该电器一件所获得的利润．
解答： 解：设进价为 x 元，则该商品的标价为 1.5x 元，由题意得
1.5x×0.8﹣x=500，
解得：x=2500．
则标价为 1.5×2500=3750（元）．
则 3750×0.9﹣2500=875（元）．
故选：B．
点评： 此题考查一元一次方程的实际运用，掌握销售中的基本数量关系是解决问题的关键．
二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）
13．（3 分）（2015•长沙）一个不透明的袋子中只装有 3 个黑球，2 个白球，这些球的形状、
大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的条件下，随机从袋中摸出 1
个球，则摸出白球的概率是 ．21 世纪教育网版权所有
考点： 概率公式．
分析： 由一个不透明的袋子中只装有 3 个黑球，2 个白球，这些球的形状、大小、质地等
完全相同，即除颜色外无其他差别，直接利用概率公式求解即可求得答案．
解答： 解：∵一个不透明的袋子中只装有 3 个黑球，2 个白球，这些球的形状、大小、质地
等完全相同，即除颜色外无其他差别，
∴随机从袋中摸出 1 个球，则摸出白球的概率是： = ．
故答案为： ．
点评： 此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14．（3 分）（2015•长沙）圆心角是 60°且半径为 2 的扇形面积为 π （结果保留π）．
考点： 扇形面积的计算．
分析： 根据扇形的面积公式代入，再求出即可．
解答： 解：由扇形面积公式得：S= = π．
故答案为： π．
点评： 本题考查了扇形面积公式的应用，注意：圆心角为 n°，半径为 r 的扇形的面积为
S= ．
15．（3 分）（2015•长沙）把 + 进行化简，得到的最简结果是 2 （结果保留根号）．
考点： 二次根式的混合运算．
分析： 先进行二次根式的化简，然后合并．
解答： 解：原式= +
=2 ．
故答案为：2 ．
点评： 本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简．
16．（3 分）（2015•长沙）分式方程 = 的解是 x= ﹣5 ．
考点： 解分式方程．
专题： 计算题．
分析： 本题考查解分式方程的能力，观察可得方程最简公分母为 x（x﹣2），去分母，化为
整式方程求解．
解答： 解：去分母，得 5（x﹣2）=7x，
解得：x=﹣5，经检验：x=﹣5 是原方程的解．
点评： 解分式方程的关键是两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，易错点是
忽视检验．
17．（3 分）（2015•长沙）如图，在
△
ABC 中，DE∥BC， ，DE=6，则 BC 的长是 18 ．
考点： 相似三角形的判定与性质．
分析： 由平行可得到 DE：BC=AD：AB，由 DE=6 可求得 BC．
解答： 解：∵DE∥BC，
∴DE：BC=AD：AB= ，
即 6：BC=1：3，
∴BC=18．
故答案为：18．
点评： 本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是
解题的关键．
18．（3 分）（2015•长沙）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 是⊙O 上的一点，若 BC=6，AB=10，
OD⊥BC 于点 D，则 OD 的长为 4 ．21·世纪*教育网
考点： 垂径定理；勾股定理．
分析： 根据垂径定理求得 BD，然后根据勾股定理求得即可．
解答： 解：∵OD⊥BC，
∴BD=CD= BC=3，
∵OB= AB=5，
∴OD= =4．
故答案为 4．
点评： 题考查了垂径定理、勾股定理，本题非常重要，学生要熟练掌握．
三、解答题（共 8 小题，第 19、20 题每小题 6 分，第 21、22 题每小题 6 分，第 23、24 题
每小题 6 分，第 25、26 题每小题 6 分，满分 66 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程
或演算步骤）
19．（6 分）（2015•长沙）计算：（ ）﹣1+4cos60°﹣|﹣3|+ ．
考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
分析： 原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第
三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用算术平方根定义计算即可得到结果．【版权所有：
21 教育】
解答： 解：原式=2+4× ﹣3+3=4．
点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（6 分）（2015•长沙）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）+2xy，其中 x=（3﹣
π）0，y=2．
考点： 整式的混合运算—化简求值；零指数幂．
分析： 首先去掉括号，然后合并同类项，最后把 x=1，y=2 代入化简式进行计算即可．
解答： 解：（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）+2xy
=x2﹣y2﹣x2﹣xy+2xy
=xy﹣y2，
∵x=（3﹣π）0=1，y=2，
∴原式=2﹣4=﹣2．
点评： 本题主要考查了整式的化简求值的知识，解答本题的关键是掌握平方差公式以及单
项式乘以多项式的运算法则，此题难度不大．【来源：21cnj*y.co*m】
21．（8 分）（2015•长沙）中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统
文化，某校团委组织了一次全校 3000 名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学
生的成绩均不低于 50 分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中 200
名学生的成绩（成绩 x 取整数，总分 100 分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图
表：21*cnjy*com
成绩 x/分 频数 频率
50≤x＜60 10 0.05
60≤x＜70 20 0.10
70≤x＜80 30 b
80≤x＜90 a 0.30
90≤x≤100 80 0.40
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）a= 60 ，b= 0.15 ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）这次比赛成绩的中位数会落在 80≤x＜90 分数段；
（4）若成绩在 90 分以上（包括 90 分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的 3000 名学生中
成绩“优”等约有多少人？【来源：21·世纪·教育·网】
考点： 频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表；中位数．
分析： （1）根据第一组的频数是 10，频率是 0.05，求得数据总数，再用数据总数乘以第
四组频率可得 a 的值，用第三组频数除以数据总数可得 b 的值；
（2）根据（1）的计算结果即可补全频数分布直方图；
（3）根据中位数的定义，将这组数据按照从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数据（或
中间两数据的平均数）即为中位数；
（4）利用总数 3000 乘以“优”等学生的所占的频率即可．
解答： 解：（1）样本容量是：10÷0.05=200，
a=200×0.30=60，b=30÷200=0.15；
（2）补全频数分布直方图，如下：
（3）一共有 200 个数据，按照从小到大的顺序排列后，第 100 个与第 101 个数据都落在第
四个分数段，
所以这次比赛成绩的中位数会落在 80≤x＜90 分数段；
（4）3000×0.40=1200（人）．
即该校参加这次比赛的 3000 名学生中成绩“优”等的大约有 1200 人．
故答案为 60，0.15；80≤x＜90；1200．
点评： 本题考查读频数（率）分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计
图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考
查了中位数和利用样本估计总体．www-2-1-cnjy-com
22．（8 分）（2015•长沙）如图，在菱形 ABCD 中，AB=2，∠ABC=60°，对角线 AC、BD 相
交于点 O，将对角线 AC 所在的直线绕点 O 顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）后得直线 l，直线
l 与 AD、BC 两边分别相交于点 E 和点 F．
（1）求证：
△
AOE≌△COF；
（2）当α=30°时，求线段 EF 的长度．
考点： 菱形的性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质．
分析： （1）首先证明 AE=CF，OE=OF，结合 AO=CO，利用 SSS 证明
△
AOE≌△COF；
（2）首先画出α=30°时的图形，根据菱形的性质得到 EF⊥AD，解三角形即可求出 OE 的长，
进而得到 EF 的长．
解答： 解：（1）∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AD∥BC，AO=OC，
∴ ，
∴AE=CF，OE=OF，
在
△
AOE 和
△
COF 中，
∴△AOE≌△COF．
（2）当α=30°时，即∠AOE=30°，
∵四边形 ABCD 是菱形，∠ABC=60°，
∴∠OAD=60°，
∴∠AEO=90°，
在 Rt
△
AOB 中，
sin∠ABO= = = ，
∴AO=1，
在 Rt
△
AEO 中，
cos∠AOE=cos30°= = ，
∴OE= ，
∴EF=2OE= ．
点评： 本题主要考查了菱形的性质以及解三角形的知识，解答本题的关键是熟练掌握菱形
的性质，解答（2）问时需要正确作出图形，此题难度不大．
23．（9 分）（2015•长沙）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调
查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总
件数分别为 10 万件和 12.1 万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递 0.6 万件，那么该公司现有的 21 名快递投递业务员能否
完成今年 6 月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
考点： 一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．
专题： 增长率问题．
分析： （1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为 x，根据“今年三月份与五月份完
成投递的快递总件数分别为 10 万件和 12.1 万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增
长率相同”建立方程，解方程即可；
（2）首先求出今年 6 月份的快递投递任务，再求出 21 名快递投递业务员能完成的快递投递
任务，比较得出该公司不能完成今年 6 月份的快递投递任务，进而求出至少需要增加业务员
的人数．
解答： 解：（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为 x，根据题意得
10（1+x）2=12.1，
解得 x1=0.1，x2=﹣2.2（不合题意舍去）．
答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为 10%；
（2）今年 6 月份的快递投递任务是 12.1×（1+10%）=13.31（万件）．
∵平均每人每月最多可投递 0.6 万件，
∴21 名快递投递业务员能完成的快递投递任务是：0.6×21=12.6＜13.31，
∴该公司现有的 21 名快递投递业务员不能完成今年 6 月份的快递投递任务
∴需要增加业务员（13.31﹣12.6）÷0.6=1 ≈2（人）．
答：该公司现有的 21 名快递投递业务员不能完成今年 6 月份的快递投递任务，至少需要增
加 2 名业务员．
点评： 本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的
条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
24．（9 分）（2015•长沙）如图，在直角坐标系中，⊙M 经过原点 O（0，0），点 A（ ，0）
与点 B（0，﹣ ），点 D 在劣弧 上，连接 BD 交 x 轴于点 C，且∠COD=∠CBO．
（1）求⊙M 的半径；
（2）求证：BD 平分∠ABO；
（3）在线段 BD 的延长线上找一点 E，使得直线 AE 恰好为⊙M 的切线，求此时点 E 的坐
标．
考点： 圆的综合题．
分析：（1）由点 A（ ，0）与点 B（0，﹣ ），可求得线段 AB 的长，然后由∠AOB=90°，
可得 AB 是直径，继而求得⊙M 的半径；
（2）由圆周角定理可得：∠COD=∠ABC，又由∠COD=∠CBO，即可得 BD 平分∠ABO；
（3）首先过点 A 作 AE⊥AB，垂足为 A，交 BD 的延长线于点 E，过点 E 作 EF⊥OA 于点
F，易得
△
AEC 是等边三角形，继而求得 EF 与 AF 的长，则可求得点 E 的坐标．
解答： 解：（1）∵点 A（ ，0）与点 B（0，﹣ ），
∴OA= ，OB= ，
∴AB= =2 ，
∵∠AOB=90°，
∴AB 是直径，
∴⊙M 的半径为： ；
（2）∵∠COD=∠CBO，∠COD=∠CBA，
∴∠CBO=∠CBA，
即 BD 平分∠ABO；
（3）如图，过点 A 作 AE⊥AB，垂足为 A，交 BD 的延长线于点 E，过点 E 作 EF⊥OA 于
点 F，即 AE 是切线，
∵在 Rt
△
AOB 中，tan∠OAB= = = ，
∴∠OAB=30°，
∴∠ABO=90°﹣∠OAB=60°，
∴∠ABC=∠OBC= ∠ABO=30°，
∴OC=OB•tan30°= × = ，
∴AC=OA﹣OC= ，
∴∠ACE=∠ABC+∠OAB=60°，
∴∠EAC=60°，
∴△ACE 是等边三角形，
∴AE=AC= ，
∴AF= AE= ，EF= AE= ，
∴OF=OA﹣AF= ，
∴点 E 的坐标为：（ ， ）．
点评： 此题属于一次函数的综合题，考查了勾股定理、圆周角定理、等边三角形的判定与
性质以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
25．（10 分）（2015•长沙）在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之
为“中国结”．
（1）求函数 y= x+2 的图象上所有“中国结”的坐标；
（2）若函数 y= （k≠0，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数 k 的值与
相应“中国结”的坐标；
（3）若二次函数 y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k（k 为常数）的图象与 x 轴相交
得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与 x 轴所围成的平面图形中（含边界），一共
包含有多少个“中国结”？
考点： 反比例函数综合题．
分析： （1）因为 x 是整数，x≠0 时， x 是一个无理数，所以 x≠0 时， x+2 不是整数，
所以 x=0，y=2，据此求出函数 y= x+2 的图象上所有“中国结”的坐标即可．
（2）首先判断出当 k=1 时，函数 y= （k≠0，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：
（1，1）、（﹣1、﹣1）；然后判断出当 k≠1 时，函数 y= （k≠0，k 为常数）的图象上最少有
4 个“中国结”，据此求出常数 k 的值与相应“中国结”的坐标即可．
（3）首先令（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k=0，则[（k﹣1）x+k
]
[（k﹣2）x+（k
﹣1）
]
=0，求出 x1、x2 的值是多少；然后根据 x1、x2 的值是整数，求出 k 的值是多少；最
后根据横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”，判断出该函数的图象与 x 轴所围成的
平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”即可．
解答： 解：（1）∵x 是整数，x≠0 时， x 是一个无理数，
∴x≠0 时， x+2 不是整数，
∴x=0，y=2，
即函数 y= x+2 的图象上“中国结”的坐标是（0，2）．
（2）①当 k=1 时，函数 y= （k≠0，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：
（1，1）、（﹣1、﹣1）；
②当 k=﹣1 时，函数 y= （k≠0，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：
（1，﹣1）、（﹣1，1）．
②当 k≠1 时，函数 y= （k≠0，k 为常数）的图象上最少有 4 个“中国结”：
（1，k）、（﹣1，﹣k）、（k，1）、（﹣k，﹣1），这与函数 y= （k≠0，k 为常数）的图象上有
且只有两个“中国结”矛盾，21 教育网
综上可得，k=1 时，函数 y= （k≠0，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，1）、
（﹣1、﹣1）；
k=﹣1 时，函数 y= （k≠0，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，﹣1）、（﹣1、
1）．
（3）令（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k=0，
则[（k﹣1）x+k
]
[（k﹣2）x+（k﹣1）
]
=0，
∴
∴k= ，
整理，可得
x1x2+2x2+1=0，
∴x2（x1+2）=﹣1，
∵x1、x2 都是整数，
∴ 或
∴ 或
①当 时，
∵ ，
∴k= ；
②当 时，
∵ ，
∴k=k﹣1，无解；
综上，可得
k= ，x1=﹣3，x2=1，
y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k
=[ 2﹣3× +2
]
x2+[2×（ ）2﹣4× +1
]
x+（ ）2﹣
=﹣ x2﹣ x
①当 x=﹣2 时，
y=﹣ x2﹣ x
= ×（﹣2）2 ×（﹣2）+
=
②当 x=﹣1 时，
y=﹣ x2﹣ x
= ×（﹣1）2 ×（﹣1）+
=1
③当 x=0 时，y= ，
综上，可得
若二次函数 y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k（k 为常数）的图象与 x 轴相交得到
两个不同的“中国结”， 21*cnjy*com
该函数的图象与 x 轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有 6 个“中国结”：（﹣3，0）、
（﹣2，0）、（﹣1，0）（﹣1，1）、（0，0）、（1，0）．
点评： （1）此题主要考查了反比例函数问题，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握反
比例函数的图象和性质．
（2）此题还考查了对新定义“中国结”的理解和掌握，解答此题的关键是要明确：横坐标，
纵坐标均为整数的点称之为“中国结”．
26．（10 分）（2015•长沙）若关于 x 的二次函数 y=ax2+bx+c（a＞0，c＞0，a，b，c 是常数）
与 x 轴交于两个不同的点 A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2），与 y 轴交于点 P，其图象顶
点为点 M，点 O 为坐标原点．
（1）当 x1=c=2，a= 时，求 x2 与 b 的值；
（2）当 x1=2c 时，试问
△
ABM 能否为等边三角形？判断并证明你的结论；
（3）当 x1=mc（m＞0）时，记
△
MAB，
△
PAB 的面积分别为 S1，S2，若
△
BPO∽△PAO，且
S1=S2，求 m 的值．
考点： 二次函数综合题．
分析： （1）设 ax2+bx+c=0 的两根为 x1、x2，把 a、c 代入得： x2+bx+2=0，根据 x1=2 是
它的一个根，求出 b，再根据 x2﹣ x+2=0，即可求出另一个根，
（2）根据 x1=2c 时，x2= ，得出 b=﹣（2ac+ ），4ac=﹣2b﹣1，根据 M 的坐标为（﹣ ，
），得出当
△
ABM 为等边三角形时 = （ ﹣2c），
求出 b1=﹣1，b2=2 ﹣1（舍去），最后根据 4ac=﹣2b﹣1=1，得出 2c= ，A、B 重合，
△
ABM 不可能为等边三角形；
（3）根据
△
BPO∽△PAO，得出 = ，ac=1，由 S1=S2 得出 b2=4a•2c=8ac=8，求出 b=﹣2 ，
最后根据 x2﹣2 x+c=0 得出 x=（ ﹣1）c，从而求出 m．
解答： 解：（1）设 ax2+bx+c=0 的两根为 x1、x2，
把 a= ，c=2 代入得： x2+bx+2=0，
∵x1=2 是它的一个根，
∴ ×22+2b+2=0，
解得：b=﹣ ，
∴方程为： x2﹣ x+2=0，
∴另一个根为 x2=3；
（2）当 x1=2c 时，x2= = ，
此时 b=﹣a（x1+x2）=﹣（2ac+ ），4ac=﹣2b﹣1，
∵M（﹣ ， ），
当
△
ABM 为等边三角形时| |= AB，
即 = （ ﹣2c），
∴ = • ，
∴b2+2b+1= （1+2b+1），
解得：b1=﹣1，b2=2 ﹣1（舍去），
此时 4ac=﹣2b﹣1=1，即 2c= ，A、B 重合，
∴△ABM 不可能为等边三角形；
（3）∵△BPO∽△PAO，
∴ = ，即 x1x2=c2= ，
∴ac=1，
由 S1=S2 得 c=| |= ﹣c，
∴b2=4a•2c=8ac=8，
∴b1=﹣2 ，b2=2 （舍去），
方程可解为 x2﹣2 x+c=0，
∴x1= = =（ ﹣1）c，
∴m= ﹣1．
点评： 此题考查了二次函数综合，用到的知识点是二次函数的图象与性质、相似三角形的
判定与性质、等边三角形的性质、一元二次方程，关键是综合运用有关知识求解，注意把不
合题意的解舍去．
