黑龙江省齐齐哈尔市建华区2020-2021学年人教版八年级（上）期末数学试卷 解析版

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2020-2021 学年黑龙江省齐齐哈尔市建华区八年级（上）期末数 学试卷 一、单项选择题（每小题 3 分，满分 30 分） 1．下列运算中，正确的是（ ） A．a+a＝a2 B．a•a2＝a2 C．（2a）2＝2a2 D．a+2a＝3a 2．以下四家银行的标志图中，不是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 3．下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是（ ） A．（x+y）（﹣x﹣y） B．（2x+3y）（2x﹣3z） C．（﹣a﹣b）（a﹣b） D．（m﹣n）（n﹣m） 4．在△ABC 中，∠B＝∠C，与△ABC 全等的三角形有一个角是 100°，那么在△ABC 中， 与这 100°角对应相等的角是（ ） A．∠A B．∠B C．∠C D．∠B 或∠C 5．如图，在△ABC 中，已知点 D、E、F 分别是边 BC、AD、CE 上的中点，且 S△ABC＝4cm2， 则 S△BEF 的值为（ ） A．2 cm2 B．1 cm2 C． cm2 D． cm2 6．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 7．不改变分式 的值，把它的分子和分母中的各项系数都化为整数，则所得结果为 （ ） A． B． C． D． 8．下列四个说法： ① 等腰三角形的腰一定大于其腰上的高； ② 等腰三角形的两腰上的中线长相等； ③ 等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合； ④ 等腰三角形的一边为 5，另一边为 10，则它的周长为 20 或 25． 其中正确的个数为（ ） A．1 个 B．2 C．3 D．4 9．如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AC、AB 上的点，BD 与 CE 相交于点 O，给出四个条 件： ① OB＝OC； ② ∠EBO＝∠DCO； ③ ∠BEO＝∠CDO； ④ BE＝CD．上述四个条件 中，选择两个可以判定△ABC 是等腰三角形的方法有（ ） A．2 种 B．3 种 C．4 种 D．6 种 10．某学校学生进行急行军训练，预计行 60 千米的路程在下午 5 时到达，后来由于把速度 加快 20%，结果于下午 4 时到达，求原计划行军的速度．设原计划行军的速度为 xkm/h， 则可列方程（ ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题 3 分，满分 21 分） 11．纳米构建的世界是神奇而宏大的，21 世纪，信息科学技术、生命科学技术和纳米科学 技术是科学技术发展的主流．纳米是长度单位的一种，1 纳米等于十亿分之一米，即 1 纳米＝0.000000001 米，将数字 0.000000001 用科学记数法可表示为 ． 12．x 时，分式 有意义． 13．如图，点 E、F 在 BC 上，AB＝DC，∠B＝∠C，请补充一个条件： ，使△ABF ≌△DCE． 14．计算：a﹣2b3÷（a2b）﹣3＝ ． 15．已知 P 是∠AOB（∠AOB＜90°）平分线上一点，点 C 在射线 OA 上，且∠OCP＝135°， 点 D 在射线 OB 上运动．若 DP＝CP，则∠ODP＝ ． 16．如图，已知∠AOB＝30°，P 是∠AOB 内部的一个定点，点 E、F 分别是 OA、OB 上的 动点，若△PEF 周长的最小值为 3，则 OP＝ ． 17．如图，△ABC 中，AH 为 BC 边上的高，记 S△ABC 为 S，AH 的垂直平分线交边 AB 于点 B1，交边 AC 于点 A1，连接 A1B．得到第一个三角形△A1BC，作△A1BC 边 BC 上的高 A1H1； 作高 A1H1 的垂直平分线交边 AB 于点 B2，交边 AC 于点 A2，连接 A2B，得到第二个三角 形△A2BC，作△A2BC 边 BC 上的高 A2H2；…依次这样作下去，则第 2020 个三角形△ A2020BC 的面积为 ． 三、解答题（满分 69 分） 18．计算： （1）x4m+1•x3﹣m； （2）（﹣2x3）2•（xy2）3； （3）﹣4x2（3x﹣2）； （4）（3x﹣2y）（3x+2y）+（2x﹣y）2﹣4（3x2﹣xy）． 19．分解因式： （1）3a（x﹣y）﹣2b（y﹣x）； （2）4ab2﹣4b3﹣a2b． 20．如图所示，在平面直角坐标系中，已知正方形 ABCD 的四个顶点坐标分别为：A（0，3）、 B（2，4）、C（3，2）、D（1，1），将正方形 ABCD 沿 y 轴对折得到正方形 A1B1C1D1． （1）在图中作出正方形 ABCD 关于 y 轴的对称图形正方形 A1B1C1D1； （2）请你直接写出点 A1、B1、C1、D1 的坐标； （3）计算四边形 B1BDD1 的面积为 ． 21．先化简再求值： ÷（1+ ），其中 a＝﹣2，b＝1． 22．如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连结 BD、CE 交于点 G．请你判断线段 BD 与线段 CE 的关系，并说明理由． 23．A、B 两地距 80 千米，一辆公共汽车从 A 地去 B 地，15 分钟后又从 A 地同方向开出一 辆小汽车去 B 地，小汽车车速是公共汽车车速的 2 倍，结果小汽车比公共汽车早 33 分钟 到达 B 地，求两车速度． 24．阅读下面文字并填空： 数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图 1，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，∠B＝2 ∠C．求证：AB+BD＝AC．” 李老师给出了如下简要分析：要证 AB+BD＝AC，就是要证线段的和差问题，所以有两个 方法： 方法一：“截长法”．如图 2，在 AC 上截取 AE＝AB，连接 DE，只要证 BD＝ 即 可，这就将证明线段和差问题 为证明线段相等问题，只要证出△ ≌ △ ，得出∠B＝∠AED 及 BD＝ ，再证出∠ ＝ ，进而得出 ED＝EC，则结论成立．此种证法的基础是“已知 AD 平分∠BAC，将△ABD 沿直线 AD 对折，使点 B 落在 AC 边上的点 E 处”成为可能． 方法二：“补短法”．如图 3，延长 AB 至点 F，使 BF＝BD．只要证 AF＝AC 即可，此时 先证∠ ＝∠C，再证出△ ≌△ ，则结论成立． “截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法． 2020-2021 学年黑龙江省齐齐哈尔市建华区八年级（上）期末数 学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共 10 小题） 1．下列运算中，正确的是（ ） A．a+a＝a2 B．a•a2＝a2 C．（2a）2＝2a2 D．a+2a＝3a 【分析】根据整式的运算、及幂的运算法则． 【解答】解：A、应为 a+a＝2a，故本选项错误； B、应为 a•a2＝a1+2＝a3，故本选项错误； C、（2a）2＝22•a2＝4a2，故本选项错误； D、a+2a＝（1+2）a＝3a，正确． 故选：D． 2．以下四家银行的标志图中，不是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【解答】解：A、是轴对称图形，故错误； B、不是轴对称图形，故正确； C、是轴对称图形，故错误； D、不轴对称图形，故错误． 故选：B． 3．下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是（ ） A．（x+y）（﹣x﹣y） B．（2x+3y）（2x﹣3z） C．（﹣a﹣b）（a﹣b） D．（m﹣n）（n﹣m） 【分析】平方差公式是（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，看看每个选项是否符合公式即可． 【解答】解：A、不能用平方差公式，故本选项错误； B、不能用平方差公式，故本选项错误； C、能用平方差公式，故本选项正确； D、不能用平方差公式，故本选项错误； 故选：C． 4．在△ABC 中，∠B＝∠C，与△ABC 全等的三角形有一个角是 100°，那么在△ABC 中， 与这 100°角对应相等的角是（ ） A．∠A B．∠B C．∠C D．∠B 或∠C 【分析】根据三角形的内角和等于 180°可知，相等的两个角∠B 与∠C 不能是 100°， 再根据全等三角形的对应角相等解答． 【解答】解：在△ABC 中，∵∠B＝∠C， ∴∠B、∠C 不能等于 100°， ∴与△ABC 全等的三角形的 100°的角的对应角是∠A． 故选：A． 5．如图，在△ABC 中，已知点 D、E、F 分别是边 BC、AD、CE 上的中点，且 S△ABC＝4cm2， 则 S△BEF 的值为（ ） A．2 cm2 B．1 cm2 C． cm2 D． cm2 【分析】由于 D、E、F 分别为 BC、AD、CE 的中点，可判断出 AD、BE、CE、BF 为△ ABC、△ABD、△ACD、△BEC 的中线，根据中线的性质可知将相应三角形分成面积相 等的两部分，据此即可解答． 【解答】解：∵由于 D、E、F 分别为 BC、AD、CE 的中点， ∴△ABE、△DBE、△DCE、△AEC 的面积相等， S△BEC＝ S△ABC＝2（cm2）． S△BEF＝ S△BEC＝ ×2＝1（cm2）． 故选：B． 6．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【分析】直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直 角顶点；作出一个直角三角形的高线进行判断，就可以得到． 【解答】解：一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，这个三角形是直角三 角形． 故选：C． 7．不改变分式 的值，把它的分子和分母中的各项系数都化为整数，则所得结果为 （ ） A． B． C． D． 【分析】只要将分子分母要同时扩大 10 倍，分式各项的系数就可都化为整数． 【解答】解：不改变分式 的值，如果把其分子和分母中的各项的系数都化为整 数，则分子分母要同时扩大 10 倍，即分式 ＝ ， 故选：B． 8．下列四个说法： ① 等腰三角形的腰一定大于其腰上的高； ② 等腰三角形的两腰上的中线长相等； ③ 等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合； ④ 等腰三角形的一边为 5，另一边为 10，则它的周长为 20 或 25． 其中正确的个数为（ ） A．1 个 B．2 C．3 D．4 【分析】根据直角三角形性质即可判断 ① ，画出图形证△BDC≌△CEB，即可判断 ② ， 根据直角三角形性质即可判断根据等腰三角形的三线合一性质即可判断 ③ ，根据三角形 的三边关系定理即可判断 ④ ． 【解答】解：如图 1，∵在△ABD 中，∠BDA＝90°，则 AC＝AB≥BD， ∴等腰三角形的腰一定大于或等于其腰上的高，故 ① 错误； 如图 2，∵AB＝AC，AD＝DC，AE＝EB， ∴DC＝BE，∠DCB＝∠EBC． 在△BDC 和△CEB 中， ， ∴△BDC≌△CEB（SAS）． ∴BD＝CE，故 ② 正确； ∵等腰三角形的顶角的平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，故 ③ 错误； ∵等腰三角形的一边长为 5，一边长为 10， ∴只能三边是 10，10，5， ∴它的周长是 25，故 ④ 错误． 故选：A． 9．如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AC、AB 上的点，BD 与 CE 相交于点 O，给出四个条 件： ① OB＝OC； ② ∠EBO＝∠DCO； ③ ∠BEO＝∠CDO； ④ BE＝CD．上述四个条件 中，选择两个可以判定△ABC 是等腰三角形的方法有（ ） A．2 种 B．3 种 C．4 种 D．6 种 【分析】 ①② ：求出 OBC＝∠OCB，推出∠ACB＝∠ABC 即可的等腰三角形； ①③ ： 证△EBO≌△DCO，得出∠EBO＝∠DCO，求出∠ACB＝∠ABC 即可； ②④ ：证△EBO ≌△DCO，推出 OB＝OC，求出∠ABC＝∠ACB 即可； ③④ ：证△EBO≌△DCO，推出 ∠EBO＝∠DCO，OB＝OC，求出∠OBC＝∠OCB，推出∠ACB＝∠ABC 即可． 【解答】解：有 ①② ， ①③ ， ②④ ， ③④ ，共 4 种， ①② ， 理由是：∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∵∠EBO＝∠DCO， ∴∠EBO+∠OBC＝∠DCO+∠OCB， 即∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC， 即△ABC 是等腰三角形； ①③ ， 理由是：∵在△EBO 和△DCO 中 ， ∴△EBO≌△DCO， ∴∠EBO＝∠DCO， ∵∠OBC＝∠OCB（已证）， ∴∠EBO+∠OBC＝∠DCO+∠OCB， 即∠ABC＝∠ACB， 即 AB＝AC， ∴△ABC 是等腰三角形； ②④ ， 理由是：∵在△EBO 和△DCO 中 ， ∴△EBO≌△DCO， ∴OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∴∠EBO+∠OBC＝∠DCO+∠OCB， 即∠ABC＝∠ACB， 即 AB＝AC， ∴△ABC 是等腰三角形； ③④ ， 理由是：∵在△EBO 和△DCO 中 ， ∴△EBO≌△DCO， ∴∠EBO＝∠DCO，OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∴∠EBO+∠OBC＝∠DCO+∠OCB， 即∠ABC＝∠ACB， 即 AB＝AC， ∴△ABC 是等腰三角形； 故选：C． 10．某学校学生进行急行军训练，预计行 60 千米的路程在下午 5 时到达，后来由于把速度 加快 20%，结果于下午 4 时到达，求原计划行军的速度．设原计划行军的速度为 xkm/h， 则可列方程（ ） A． B． C． D． 【分析】关键描述语是：“于下午 4 时到达”．等量关系为：原计划用的时间＝实际用的 时间+5﹣4． 【解答】解：原计划用的时间＝60÷x，实际用的时间为＝60÷（1+20%x）， 则可列方程为： ， 故选：C ． 二．填空题 11．纳米构建的世界是神奇而宏大的，21 世纪，信息科学技术、生命科学技术和纳米科学 技术是科学技术发展的主流．纳米是长度单位的一种，1 纳米等于十亿分之一米，即 1 纳米＝0.000000001 米，将数字 0.000000001 用科学记数法可表示为 1×10﹣9 ． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同．当原数绝对值≥10 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：数字 0.000000001 用科学记数法可表示为 1×10﹣9． 故答案是：1×10﹣9． 12．x ≠±2 时，分式 有意义． 【分析】分式有意义，分母不等于零． 【解答】解：依题意得 x2﹣4≠0， 解得 x≠±2． 故答案是：≠±2． 13．如图，点 E、F 在 BC 上，AB＝DC，∠B＝∠C，请补充一个条件： BE＝CF 或 BF＝ EC 或∠A＝∠D 或∠AFB＝∠DEC ，使△ABF≌△DCE． 【分析】根据全等三角形的判定方法即可解决问题． 【解答】解：根据 SAS 判断△ABF≌△DCE，可以添加 BE＝CF 或 BF＝EC． 根据 AAS 判断△ABF≌△DCE，可以添加∠AFB＝∠DEC． 根据 ASA 判断△ABF≌△DCE，可以添加∠A＝∠D． 故答案为 BE＝CF 或 BF＝EC 或∠A＝∠D 或∠AFB＝∠DEC． 14．计算：a﹣2b3÷（a2b）﹣3＝ a4b6 ． 【分析】根据负整数指数幂，a﹣n＝ ，可得整整指数幂，根据计算，可得结果． 【解答】解：a﹣2b3÷（a2b）﹣3＝ ÷ ＝ ×a6b3 ＝a4b6， 故答案为：a4b6． 15．已知 P 是∠AOB（∠AOB＜90°）平分线上一点，点 C 在射线 OA 上，且∠OCP＝135°， 点 D 在射线 OB 上运动．若 DP＝CP，则∠ODP＝ 135°或 45° ． 【分析】由于点 D 在射线 OB 上运动，当 DP＝CP 时，满足条件的点 D 可以落在射线 OB 上的两个位置，分两种情况讨论即可． 【解答】解：如图，过 P 作 PM⊥OB 于 M，PN⊥OA 于 N， 又 P 是∠AOB（∠AOB＜90°）平分线上一点， ∴PM＝PN． 在 Rt△PMD 与 Rt△PNC 中， ， ∴Rt△PMD≌Rt△PNC（HL）， ∴∠PDM＝∠PCN． ∵∠OCP＝135°， ∴∠PCN＝45°， ∴∠PDM＝45°． 当 D 落在 D1 的位置时，∠ODP＝135°； 当 D 落在 D2 的位置时，∠ODP＝45°． 即∠ODP＝135°或 45°． 故答案为：135°或 45°． 16．如图，已知∠AOB＝30°，P 是∠AOB 内部的一个定点，点 E、F 分别是 OA、OB 上的 动点，若△PEF 周长的最小值为 3，则 OP＝ 3 ． 【分析】设点 P 关于 OA 的对称点为 C，关于 OB 的对称点为 D，当点 F、E 在 CD 上时， △PEF 的周长最小． 【解答】解：分别作点 P 关于 OA、OB 的对称点 C、D，连接 CD，分别交 OA、OB 于点 E、F，连接 OP、OC、OD、PE、PF． ∵点 P 关于 OA 的对称点为 C，关于 OB 的对称点为 D， ∴PE＝CE，OP＝OC，∠COA＝∠POA； ∵点 P 关于 OB 的对称点为 D， ∴PF＝DF，OP＝OD，∠DOB＝∠POB， ∴OC＝OD＝OP，∠COD＝∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB＝2∠POA+2∠POB＝2∠ AOB＝60°， ∴△COD 是等边三角形， ∴CD＝OC＝OD． ∴△PEF 的周长的最小值＝PE+EF+PF＝CE+EF+DF≥CD＝3． ∴OP＝3， 故答案为 3． 17．如图，△ABC 中，AH 为 BC 边上的高，记 S△ABC 为 S，AH 的垂直平分线交边 AB 于点 B1，交边 AC 于点 A1，连接 A1B．得到第一个三角形△A1BC，作△A1BC 边 BC 上的高 A1H1； 作高 A1H1 的垂直平分线交边 AB 于点 B2，交边 AC 于点 A2，连接 A2B，得到第二个三角 形△A2BC，作△A2BC 边 BC 上的高 A2H2；…依次这样作下去，则第 2020 个三角形△ A2020BC 的面积为 ． 【分析】连接 A1H，依据垂直平分线的的性质以及直角三角形的性质，即可得到 A1 是 AC 的中点，进而得出△A1BC 的面积＝ S△ABC＝ S，同理可得△A2BC 的面积＝ S，△A3BC 的面积＝ ，根据规律即可得出第 2020 个三角形△A2020BC 的面积． 【解答】解：如图所示，连接 A1H， ∵AH 的垂直平分线交边 AB 于点 B1，交边 AC 于点 A1， ∴AA1＝HA1， ∴∠HAC＝∠AHA1， 又∵AH⊥BC， ∴∠HAC+∠C＝∠AHA1+∠CHA1＝90°， ∴∠C＝∠CHA1， ∴HA1＝CA1， ∴AA1＝CA1， ∴A1 是 AC 的中点， ∴△A1BC 的面积＝ S△ABC＝ S， 同理可得，A2 是 A1C 的中点， ∴△A2BC 的面积＝ S△A1BC＝ S， 同理可得，△A3BC 的面积＝ S△A2BC＝ ， ……， ∴第 2020 个三角形△A2020BC 的面积为 ， 故答案为： ． 三．解答题（共 7 小题） 18．计算： （1）x4m+1•x3﹣m； （2）（﹣2x3）2•（xy2）3； （3）﹣4x2（3x﹣2）； （4）（3x﹣2y）（3x+2y）+（2x﹣y）2﹣4（3x2﹣xy）． 【分析】（1）直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案； （2）直接利用积的乘方运算法则以及整式的乘法运算法则计算得出答案； （3）直接利用单项式乘多项式计算得出答案； （4）直接利用乘法公式以及整式的混合运算法则计算得出答案． 【解答】解：（1）x4m+1•x3﹣m ＝x4m+1+3﹣m ＝x3m+4； （2）（﹣2x3）2•（xy2）3 ＝4x6•x3y6 ＝4x9y6； （3）﹣4x2（3x﹣2）＝﹣12x3+8x2； （4）（3x﹣2y）（3x+2y）+（2x﹣y）2﹣4（3x2﹣xy） ＝9x2﹣4y2+4x2﹣4xy+y2﹣12x2+4xy ＝x2﹣3y2． 19．分解因式： （1）3a（x﹣y）﹣2b（y﹣x）； （2）4ab2﹣4b3﹣a2b． 【分析】（1）直接提取公因式（x﹣y）分解因式即可； （2）直接提取公因式﹣b，再利用完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：（1）原式＝3a（x﹣y）+2b（x﹣y） ＝（x﹣y）（3a+2b）； （2）原式＝﹣b（﹣4ab+4b2+a2） ＝﹣b（a﹣2b）2． 20．如图所示，在平面直角坐标系中，已知正方形 ABCD 的四个顶点坐标分别为：A（0，3）、 B（2，4）、C（3，2）、D（1，1），将正方形 ABCD 沿 y 轴对折得到正方形 A1B1C1D1． （1）在图中作出正方形 ABCD 关于 y 轴的对称图形正方形 A1B1C1D1； （2）请你直接写出点 A1、B1、C1、D1 的坐标； （3）计算四边形 B1BDD1 的面积为 9 ． 【分析】（1）（2）利用关于 y 轴的对称的点的坐标特征写出 A1、B1、C1、D1 的坐标，然 后描点即可； （3）利用梯形的面积公式计算． 【解答】解：（1）如图，正方形 A1B1C1D1 为所作； （2）点 A1 的坐标为（0，3），点 B1 的坐标为（﹣2，4），点 C1 的坐标为（﹣3，2），点 D1 的坐标为（﹣1，1）； （3）四边形 B1BDD1 的面积＝ ×（2+4）×3＝9． 故答案为 9． 21．先化简再求值： ÷（1+ ），其中 a＝﹣2，b＝1． 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 a、b 的值代入计算可得 答案． 【解答】解：原式＝ ÷（ + ） ＝ ÷ ＝ • ＝ ， 当 a＝﹣2，b＝1 时， 原式＝ ＝﹣2． 22．如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连结 BD、CE 交于点 G．请你判断线段 BD 与线段 CE 的关系，并说明理由． 【分析】判定 BD 与 CE 的关系，可以根据角的大小来判定．由∠BAC＝∠DAE 可得∠ BAD＝∠CAE，进而得△BAD≌△CAE，所以∠CHG+∠ACG＝90°．再由∠GCH+∠GHC+ ∠CGH＝180°，所以 BD⊥CE． 【解答】解：BD 与 CE 相互垂直，BD＝CE． ∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD， 即∠BAD＝∠CAE 在△BAD 与△CAE 中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE， 设 AC 与 BD 交于点 H， 在 Rt△BAH 中，∵∠ABH+∠AHB＝90°， ∵∠AHB＝∠CHG， ∴∠CHG+∠ACG＝90°， 在△CHG 中，∠GCH+∠GHC+∠CGH＝180°， ∴∠CGH＝90°， ∴BD⊥CE． 23．A、B 两地距 80 千米，一辆公共汽车从 A 地去 B 地，15 分钟后又从 A 地同方向开出一 辆小汽车去 B 地，小汽车车速是公共汽车车速的 2 倍，结果小汽车比公共汽车早 33 分钟 到达 B 地，求两车速度． 【分析】设公共汽车的速度为 x 千米/时，则小汽车的速度为 2x 千米/时，由题意列出方 程，即可求解． 【解答】解：设公共汽车的速度为 x 千米/时，则小汽车的速度为 2x 千米/时， 由题意的可得： ， 解得：x＝50， 经检验：x＝50 是原方程的解， ∴当 x＝50 时，2x＝100（千米/时）， 答：公共汽车的速度为 50 千米/时，则小汽车的速度为 100 千米/时． 24．阅读下面文字并填空： 数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图 1，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，∠B＝2 ∠C．求证：AB+BD＝AC．” 李老师给出了如下简要分析：要证 AB+BD＝AC，就是要证线段的和差问题，所以有两个 方法： 方法一：“截长法”．如图 2，在 AC 上截取 AE＝AB，连接 DE，只要证 BD＝ EC 即可， 这就将证明线段和差问题 转化 为证明线段相等问题，只要证出△ ABD ≌△ AED ，得出∠B＝∠AED 及 BD＝ DE ，再证出∠ EDC ＝ ∠C ，进而得出 ED ＝EC，则结论成立．此种证法的基础是“已知 AD 平分∠BAC，将△ABD 沿直线 AD 对 折，使点 B 落在 AC 边上的点 E 处”成为可能． 方法二：“补短法”．如图 3，延长 AB 至点 F，使 BF＝BD．只要证 AF＝AC 即可，此时 先证∠ F ＝∠C，再证出△ AFD ≌△ ACD ，则结论成立． “截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法． 【分析】方法一、如图 2，在 AC 上截取 AE＝AB，由“SAS”可证△ABD≌△AED，可得 ∠B＝∠AED，BD＝DE，由角的数量关系可求 DE＝CE，即可求解； 方法二、如图 3，延长 AB 至点 F，使 BF＝BD，由“AAS”可证△AFD≌△ACD，可得 AC＝AF，可得结论． 【解答】解：方法一、在 AC 上截取 AE＝AB，连接 DE，如图 2： ∵AD 平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠DAC， 在△ABD 和△AED 中， ， ∴△ABD≌△AED（SAS）， ∴∠B＝∠AED，BD＝DE， 又∵∠B＝2∠C， ∴∠AED＝2∠C， 而∠AED＝∠C+∠EDC＝2∠C， ∴∠C＝∠EDC， ∴DE＝CE， ∴AB+BD＝AE+CE＝AC， 故答案为：EC，转化，ABD，AED，DE，EDC，∠C； 方法二、如图 3，延长 AB 至点 F，使 BF＝BD， ∴∠F＝∠BDF， ∴∠ABD＝∠F+∠BDF＝2∠F， ∵∠ABD＝2∠C， ∴∠F＝∠C， 在△AFD 和△ACD 中， ， ∴△AFD≌△ACD（AAS）， ∴AC＝AF， ∴AC＝AB+BF＝AB+BD， 故答案为 F，AFD，ACD．