新人教版九年级数学上册全册教案+教学工作计划+期中测试题及答案+期末考试

新人教版九年级数学上册全册教案+教学工作计划+期中测试题及答案+期末考试

新人教版九年级数学上册 全册教案+教学工作计划+期中测试题及答案+期末考试 九年级第一学期数学教学进度表+全册教案 周序 日 期 教学工作内容 备 注 1 9.3—9.3 21.1 二次根式 2 21.2 二次根式的乘除 1 8 月 31 日开学 9 月 1 日正式上课 2 9.6—9.10 21.2 二次根式的乘除 1 21.3 二次根式的加减 3 数学活动 1 9 月 10 教师节 3 9.13—9.17 《二次根式》单元考及讲评 3 22.1 一元二次方程 2 4 9.20—9.24 22.2 降次——解一元二次方程 4 9 月 22 日至 24 日 中秋节放假 3 天 5 9.27—10.1 22.2 降次——解一元二次方程 3 10 月 1 日至 7 日 国庆节放假 7 天 6 10.4—10.8 22.3 实际问题与一元二次方程及数学活动 2 《一元二次方程》单元考及讲评 3 7 10.11—10.15 23.1 图形的旋转 2 23.2 中心对称 3 8 10.18—10.22 23.3 课题学习 图案设计 2 《旋转》单元考及讲评 3 9 10.25—10.29 24.1 圆 5 10 11.1—11.5 期中考复习及考试 本周期中考 11 11.8—11.12 期中考试卷分析与讲评 2 24.2 点、直线、圆和圆的位置关系 3 12 11.15—11.19 24.2 点、直线、圆和圆的位置关系 3 24.3 正多边形和圆 2 13 11.22—11.26 24.4 弧长和扇形面积 2 数学活动 1 单元复习 2 14 11.29—12.3 《圆》单元考及讲评 3 25.1 随机事件与概率 2 15 12.6—12.10 25.1 随机事件与概率 2 25.2 用列举法求概率 3 16 12.13—12.17 25.3 用频率估计概率 1 25.4 课题学习及数学活动 2 《概率初步》单 元考及讲评 2 17 12.20—12.24 26.1 二次函数及其图象 5 18 12.27—12.31 26.1 二次函数及其图象 1 26.2 用函数观点看一元二次方程 2 26.3 实 际问题与二次函数 2 19 1.3—1.7 数学活动 1 《二次函数》单元考及讲评 4 20 1.10—1.14 期末考复习 21 1.17—1.21 期末考复习及考试 2015 年 1 月 21 日 学期复习考试结束 目 录 第二十一章 二次根式 21.1 二次根式………………………………………………………………………………………………1 21.2 二次根式的乘除（第 1 课时）………………………………………………………………………3 21.2 二次根式的乘除（第 2 课时）………………………………………………………………………5 21.2 二次根式的加减（第 1 课时）………………………………………………………………………7 21.2 二次根式的加减（第 2 课时）………………………………………………………………………9 小结…………………………………………………………………………………………………………11 第二十二章 一元二次方程 22.1 一元二次方程………………………………………………………………………………………13 22.2.1 配方法(第 1 课时) …………………………………………………………………………………15 22.2.1 配方法(第 2 课时) …………………………………………………………………………………17 22.2.1 公式法………………………………………………………………………………………………19 22.2.3 因式分解法…………………………………………………………………………………………21 22.2.4 一元二次方程的根与系数关系……………………………………………………………………23 22.3 实际问题与一元二次方程（第 1 课时）…………………………………………………………25 22.3 实际问题与一元二次方程（第 2 课时）…………………………………………………………27 小结…………………………………………………………………………………………………………29 第二十三章 旋转 23.1 图形的旋转(1)………………………………………………………………………………………33 23.1 图形的旋转(2)………………………………………………………………………………………36 23.1 图形的旋转(3)………………………………………………………………………………………39 23.2.1 中心对称(1)…………………………………………………………………………………………42 23.2.1 中心对称(2)…………………………………………………………………………………………45 23.2.1 中心对称(3)…………………………………………………………………………………………48 22.2 中心对称图形，关于原点对称的点的坐标………………………………………………………51 23.3 课题学习 图案设计…………………………………………………………………………………55 小结…………………………………………………………………………………………………………57 第二十四章 圆 24.1.1 圆……………………………………………………………………………………………………59 24．1．2 垂直于弦的直径…………………………………………………………………………………62 24．1．3 弧、弦、圆心角…………………………………………………………………………………66 24.1.4 圆周角………………………………………………………………………………………………70 24.2.2 直线和圆的位置关系………………………………………………………………………………77 24.2.3 圆和圆的位置关系…………………………………………………………………………………80 24．3 正多边形和圆………………………………………………………………………………………85 24.4 圆锥的侧面积和全面积………………………………………………………………………………90 小结…………………………………………………………………………………………………………93 第二十五章 概率 25.1.1 随机事件(第一课时)…………………………………………………………………………………96 25.1.1 随机事件（第二课时）……………………………………………………………………………98 25.1.2 概率的意义…………………………………………………………………………………………100 25.2 用列举法求概率(第一课时)…………………………………………………………………………104 25.2 用列举法求概率(第二课时)…………………………………………………………………………107 25.2 用列举法求概率(第三课时) ………………………………………………………………………109 25.3.1 利用频率估计概率…………………………………………………………………………………111 25.3.2 利用频率估计概率…………………………………………………………………………………113 25.4 课题学习 键盘上字母的排列规律……………………………………………………………………115 小结…………………………………………………………………………………………………………117 教 学 时 间 课 题 21.1 二次根式 课 型 新 授 教 学 媒 体 教 学 目 标 知 识 技 能 1. 理解二次根式的定义，会用算术平方根的概念解释二次根式的意义. 2. 会确定二次根式有意义的条件，知道 a ( a ≥0)是非负数，并会运用. 3. 会进行二次根式的平方运算，会对被开方数为平方数的二次根式进行化简. 过 程 方 法 1. 经历观察、比较、概括二次根式的定义. 2. 通过探究二次根式的条件和结果，达成知识目标 2. 3. 通过探究  2 a 和 2a 所含运算、运算顺序、运算结果分析，归纳并掌握性质. 情 感 态 度 培养学生观察、猜想、探究、归纳的习惯和能力，体验数学发现的乐趣. 教 学 重 点 1. a 有意义的条件. 2. a ≥0 时 a ≥0 的应用. 3.  2 a 和 2a 的运算、化简 教 学 难 点 a <0 时 2a 的化简. 教 学 过 程 设 计 教 学 程 序 及 教 学 内 容 师生行为 二 次 备 课 一、复习引入 导语设计：在勾股定理和四边形两章中，已经用到过简单 的二次根式运算，在本章中将系统地学习二次根式的运算。 本课只学习二次根式的概念及其三个运算性质. 二、探究新知 (一)定义及非负性 活动 1、填空，完成课本思考 1： 65 ， S ， 2 ， 5 h 活动 2、观察其形式上的共同点，被开方数的共同点，说明 各式所表示的共同意义. 活动 3、给出二次根式的定义，介绍二次根式的读法. 活动 4、思考下列问题： ① 9 的运算结果是 3， 9 是不是二次根式？3 是不是？ ②定义中为什么要加 a ≥0？若 a<0， a 表示什么？有无 意义？ ③当 a=0 时， a 表示什么？结果是什么？当 a>0 时， a 表示什么？可不可能为负数？ a ( a ≥0)是什么样的数 呢？ 例 1、当 x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义？在下列 二次根式有意义的情况下，其运算结果是怎样的实数？ 2x ， 1 1 x ， 32 x 练习：1、课本思考 2：当 x 是怎样的实数时， 2x ， 3x 有 点题，板书课题. 学生独立完成后，教师 订正；并引导学生观察 得出：四个式子表示的 都是非负数的算术平 方根. 教师可指出算术平方 根即正的平方根. 65 可读作二次根号 65，简称根号 65(只有 二次可简称)，也可读 作 65 的算术平方根. 可由学生思考后进行 讨论，然后教师订正， 最后师生共同归纳得 出性质 1： a ( a ≥0)是一个非 负数 师生共同分析归纳出 使二次根式有意义的 条件：不是使字母为非 意义？ 1、若 mx  2 ，则 x 和 m 的取值范围是 x_____；m______. 2、已知 053  yx ，求 yx, 的值各是多少？ (二)两个运算性质 活动 5、完成课本探究 1 活动 6、对  2 a 中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳 出：一个非负数先开方再平方，结果不变. 练习：课本例 2 活动 7、完成课本探究 2 活动 8、对 2a 中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出： 一个非负数先平方再开方，结果不变；一个负数先平方再 开方结果为相反数. 练习：课本例 3 补充练习：1、化简： 2)4(  ， 2)32(  ； 2、直角三角形的三边分别为 a，b，c，其中 c 为斜边，则 式子  2 a -  2 c 与式子 2)( ca  有什么关系？ 三、课堂训练 完成课本中两个练习. 有时间可补充：1、 mm 1 成立的条件是_______. 2、 mm 1 成立的条件是_______. 四、小结归纳 1、二次根式的概念及“被开方数非负”的条件和“运算结 果非负”的性质. 2、二次根式的两个运算性质，平方为“父对象”，开方为 “子对象”. 3、简单介绍代数式的概念. 4、重复演示课件呈现练习题，供学生记录. 五、作业设计 必做：P5：1、2、3、4、5、6 选做：P6：7、8 负数，而是使被开方数 为非负数，且还要考虑 二次根式的位置. 要求学生会用算术平 方 根 的 意 义 解 释   22 2  . 师生共同归纳得出性 质 2：   aa 2 ( a ≥0) 仍要求用算术平方根 的意义解释 222  . 师生共同归纳出性质 3： aa 2 ( a ≥0) 找学生板演，说明解题 过程 引导学生先观察、分 析，解题后养成说明理 由的反思习惯. 教师巡视指导，收集学 生掌握情况，并集中订 正. 教师归纳总结，学生边 听边作笔记. 教 学 反 思 教 学 时 间 课 题 21.2 二次根式的乘除（第 1 课时） 课 型 新 授 教 学 媒 体 教 学 目 标 知 识 技 能 1.会运用二次根式乘法法则进行二次根式的乘法运算. 2.会利用积的算术平方根性质化简二次根式. 过 程 方 法 1.经历观察、比较、概括二次根式乘法公式，通过公式的双向性得到积的算术平方根 性质. 2.通过例题分析和学生练习，达成目标 1，2，认识到乘法法则只是进行乘法运算的第 一步，之后如果需要化简，进行化简，并逐步领悟被开方数的最优分解因数或因式的 方法. 情 感 态 度 培养学生观察、猜想的习惯和能力，勇于探索知识之间内在联系. 教 学 重 点 双向运用 abba  ( a ≥0，b≥0)进行二次根式乘法运算. 教 学 难 点 被开方数的最优分解因数或因式的方法. 教 学 过 程 设 计 教 学 程 序 及 教 学 内 容 师生行为 二 次 备 课 一、复习引入 导语设计：上节课学习了二次根式的定义和三个性质，这节 课开始学习二次根式的运算，先来学习乘法运算。 二、探究新知 (一)二次根式乘法法则 活动 1、1.填空，完成课本探究 1 2.用 1 中所发现的规律比较大小 36× 4 436  ； 2 × 3 6 活动 2、给出二次根式的乘法法则 活动 3、思考下列问题： 1 公式中为什么要加 a ≥0, b≥0？ 2 两个二次根式相乘其实就是 不变， 相 乘 3 cba  （ a ≥0, b≥0，c≥0）= 练习：课本例 1，在（1）（2）之后补充 （3） aa 4 归纳：运算的第一步是应用二次根式乘法法则，最终结果 尽量简化. (二)积的算术平方根性质 活动 4.将二次根式乘法公式逆用得到积的算术平方根性质 完成课本例 2，在（1）（2）之间补充 48 归纳：化简二次根式实质就是先将被开方数因数分解或因式 分解，然后再将能开的尽方的因数或因式开方后移到根 点题，板书课题. 学生计算，观察对比， 找规律 结合探究内容师生总 结 教师组织学生小组交 流，进行讨论. 学生板演 利用它就可以将二 次根式化简 教师归纳总结，学生 边听边作笔记. 号外. 例 3. 计算: （1） 714  （2） 10253  ；（3） xyx 3 13  分析：（1）第一步被开方数相乘，不必急于得出结果，而 是先观察因式或因数的特点，再确定是否需要利用乘法 交换律和结合律以及乘方知识将被开方数的积变形为最 大平方数或式与剩余部分的积，最后将最大平方数或式 开方后移到根号外. （2）运用乘法交换律和结合律将不含根号的数或式与含根 号的数或 式分别相乘，再把这两个积相乘.，之后同（1）. 三、课堂训练 完成课本练习. 补充：1. 111 2  xxx 成立，求 x 的取值范围. 2.化简：  03  xyx 四、小结归纳 1.二次根式乘法公式的双向运用； 2.进行二次根式乘法运算的一般步骤，观察式子特点灵活选 取最优解法. 五、作业设计 必做：P12：1、3（1）（2）、4 补充作业： 1．计算: (1) 57  ； (2) 273 1  ； (3) 155  ； (4) 8423  . 2.化简： (1) 3227 yx ； (2) aba 183 2  . 3.等边三角形的边长是 3，求这个等边三角形的面积 找学生说明解题过程， 引导学生先观察、分 析，解题后养成说明理 由的反思习惯. 指导学生交流，教师总 结 学生独立练习，巩固 新知 组织学生交流，讨论， 达成共识. 师生共同归纳 教 学 反 思 教 学 时 间 课 题 21.2 二次根式的乘除（第 2 课时） 课 型 新 授 教 学 媒 体 教 学 目 标 知 识 技 能 1.会运用二次根式除法法则进行二次根式的除法运算. 2.会利用商的算术平方根性质化简二次根式. 3.理解最简二次根式概念，知道二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次 根式. 过 程 方 法 1.经历观察、比较、习，达成目标 1，2，认识到除法法则只是进行除法运算的第一步， 之后如果需要化简，进行化简.也可运用概括二次根式除法公式，通过公式的双向性 得到商的算术平方根性质. 2.通过例题分析和学生练习分母有理化方法进行二次根式除法. 情 感 态 度 类比二次根式的乘法进行知识与方法的迁移，获得新知，体验探索的乐趣. 教 学 重 点 双向运用  0,0  bab a b a 进行二次根式除法运算. 教 学 难 点 能使用分母有理化方法进行二次根式的除法运算 教 学 过 程 设 计 教 学 程 序 及 教 学 内 容 师生行为 二 次 备 课 一、复习引入 导语设计：上节课学习了二次根式的乘法，这节课学习二次根式 的除法运算. 二、探究新知 (一)二次根式除法法则 活动 1、1.填空，完成课本探究 1 2.用 1 中所发现的规律比较大小 8 2 8 2 ； 5 2 5 2 活动 2、给出二次根式的除法法则 活动 3、思考下列问题： ①公式中为什么要加 a ≥0, b>0？ ②两个二次根式相除其实就是 不变， 相除 练习：课本例 4，在（1）（2）之后补充 （3） aa 34 归纳：运算的第一步是应用二次根式除法法则，最终结果尽量简 化. (二)商的算术平方根性质 活动 4.将二次根式除法公式逆用得到商的算术平方根性质 完成课本例 5 归纳：化简被开方式含有分数线的二次根式，就是将分子的算术 平方根做分子，分母的算术平方根做分母，再利用积的算术平 方根分别化简. 例 6. 计算: 点题，板书课题. 学生计算，观 察对比，类比 上节课知识找 规律 结合探究内容 师生总结 教师组织学生 小组交流，进 行讨论. 学生板演，师生 订正 学 生 板 演 并 讲 解 解 题 过 程 及 依据 找 学 生 说 明 解 题过程，引导学 生 先 观 察 、 分 析，解题后养成 说 明 理 由 的 反 思习惯. （1） 5 3 （2） 27 23 ；（3） a2 8 分析：第一步可以把被开方数相除，然后告诉学生被开方数中不 能含有分母，数必须是整数，利用分数的基本性质将分母变成 完全平方数，开方后移到根号外；也可以直接模仿分数的基本 性质和公式 aa 2)( ， )0,0(  baabba ，以去 掉分母中的根号. （三）最简二次根式概念 活动 5、让学生观察所做习题结果，总结归纳结果的特点，得到 最简二次根式的概念. 分析概念：1.被开方数不含分母的含义指-----因数是整数，因式是 整式；2.被开方数中不能含开得尽方的因数是指----被开方数不 能分解出完全平方数；被开方数中不含开得尽方的因式是指 ----被开方数的每一个因式的指数都小于根指数 2，因此，每一 个因式的指数都是 1. 完成课本例 7 补充：化简 2442 yxyx  注意：被开方数是和式时，结果不等于各加数的算术平方根的和. 三、课堂训练 完成课本练习. 补充： 1. 1 1 1 1     x x x x 成立，求 x 的取值范围. 2.找出下列根式中的最简二次根式 3 x x8 26x 22 yx  1.0 3.判断下列等式是否成立 34916  569 52  2 3 2 3  2 122 14  四、小结归纳 1.二次根式除法公式的双向运用； 2.进行二次根式除法运算的一般步骤，观察式子特点灵活选取最 优解法. 3.最简二次根式概念 五、作业设计 必做：P12：2、3（3）（4）、5、6、7 选做：P12：8、9、10 指导学生交流， 教师总结 学生观察刚做 过 的 题 的 结 果，含根式的 结果中根式的 特点.教师及时 肯定学生的结 论并加以引导 和整理汇总. 学生说解题方 法，书写解题 过程体会化简 二次根式再实 际问题中的应 用 学生独立完成 巩固新知 学生思考，讨 论，阐述个人 见解 让学生观察， 寻找并解释， 能将不是的进 行化简 让学生观察， 判断，将不成 立的正确求解 师生共同归纳 教 学 反 思 教 学 时 间 课 题 21.2 二次根式的加减（第 1 课时） 课 型 新 授 教 学 媒 体 教 学 目 标 知 识 技 能 1.知 道 在 有 理 数 范 围 内 成 立 的 运 算 律 在 实 数 范 围 内 仍 然 成 立 . 2.能 熟 练 将 二 次 根 式 化 简 成 最 简 二 次 根 式 . 3.会 运 用 二 次 根 式 加减法 法 则 进 行 二 次 根 式 的 加减运 算 . 过 程 方 法 1.类比整式加减得到二次根式加减的方法，二者都是系数的加减运算. 2.在学习过程中体会有理数、整式、二次根式运算之间的联系，感受数的扩充过程中 运算性质和运算律的一致性以及数式通性. 情 感 态 度 学生温故知新，渗透类比思想，培养自主学习意识. 教 学 重 点 二次根式加减法运算方法 教 学 难 点 二次根式的化简，合并被开方数相同的最简二次根式 教 学 过 程 设 计 教 学 程 序 及 教 学 内 容 师生行为 二 次 备 课 一、复习引入 导语设计：上节课学习了二次根式的乘除法，这节课学习二次根 式的加减法运算. 二、探究新知 (一)二次根式加减法法则 活动 1、类比计算，说明理由 ① 2 a +3 a ； 2322  . ② 2 a -3 a ； 2322  . ③ 123  ； 1812  ○4 125 15  思考：（1）在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内能否继 续使用？ （2）二次根式的加减运算与整式的加减运算相同之处是什 么？ （3） 什么样的二次根式能够合并？ （4）模仿整式的加减运算怎样进行二次根式的加减运算？ 活动 2、给出二次根式的加减法法则 分析法则：二次根式加减时，先将非最简二次根式化为最简二次 根式，再逆用乘法分配律将被开方数相同的二次根式进行合并.被 开方数不同的最简二次根式不能合并，作为最后结果中的部分. 练习：○1 课本例 1，之后补充 （3） 182  （4） 82 1  ○2 课本例 2，之后补充              68 1 2 124 点题，板书课题. 学生计算，观察 对比，类比整式 加减知识尝试计 算 教师组织学生小 组交流，进行讨 论. 结合探究内容师 生总结 学生板演，并说明 每一步的依据，然 后师生订正. 分析说明：○1 中补充（3）结果为负，（4）含分数线，作为例 1， 例 2 的过渡。○2 中补充括号前是负号的. (二)二次根式加减的应用 1.课本引例 分析：这个实际问题的解决方法可能不同，还可以先估算两个正 方形的边长，，再把它们的和与木板的长比较. 2.课本例 3 分析：利用勾股定理解决实际问题，运用二次根式的加减进行计 算，计算的最后一步取近似值，使结果更精确. 三、课堂训练 完成课本练习 .补充： 1.下列各组二次根式中，化简后被开方式相同的是（） A. 2abab 与 B. 2222 nmnm  与 C. nmmn 11 与 D. 2 9 9 8 43 43 baba 与 2.二次根式的计算为什么先学乘除，后学加减？还有哪块知识也是 如此？ 四、小结归纳 1.进行二次根式加减运算的一般步骤. 2.二次根式的熟练化简. 2.二次根式加减的实际应用. 五、作业设计 必做：P17：1、2、3 选做：5 补充作业： 计算: （1） 223  ；（2） 27122  ； （3） 2 918  ；（4） xx 224 2  ； （5） 3222 xax  ；（6） 23218  ； （7） 108965475  ； （8） )272(4 3)32(2 1  让学生认真审题， 分析，并阐述， 然后师生交流，学 生进行计算. 学 生 独 立 完 成 练 习,巩固新知,师生 订正 引导学生先观察、 分析，找学生说明 解题思路，解题后 养 成 说 明 理 由 的 反思习惯. 指导学生交流，教 师总结 教 学 反 思 教 学 时 间 课 题 21.2 二次根式的加减（第 2 课时） 课 型 新 授 教 学 媒 体 教 学 目 标 知 识 技 能 在有理数的混合运算及整式的混合运算的基础上，使学生了解二次根式的混合运算与以 前所学知识的关系，在比较中求得方法，并能熟练地进行二次根式的混合运算． 过 程 方 法 1.对二次根式的混合运算与整式的混合运算及有理数的混合运算作比较，注意运算的顺 序及运算律在计算过程中的作用．并感受数的扩充过程中运算性质和运算律的一致性以 及数式通性. 2. 在运算中运用多项式的乘法法则和整式的乘法公式，体会二次根式的运算与整式的 运算的联系. 情 感 态 度 培养学生的类比运用意识 教 学 重 点 混合运算的法则，运算律的合理使用． 教 学 难 点 灵活运用运算律、乘法公式等技巧，使计算简便． 教 学 过 程 设 计 教 学 程 序 及 教 学 内 容 师生行为 二 次 备 课 一、复习引入 导语设计：到目前为止，我们已经学习了二次根式的乘除、加 减运算，这节课来学习二次根式的混合运算. 二、探究新知 (一)二次根式混合运算法则 活动 1、类比计算，说明理由 ○1 (2 a +3b) a ； ( 3322  ) 6 ○2 (2 a +3b)( a -b) ；   3262  ○3 (3 a b-4 a 2 )÷ a ；   3126  思考：（1）在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内能否 继续使用？ （2）二次根式的混合运算与整式的混合运算相同之处是 什么？ （3）左边式子中的字母 a 、b 可以表示二次根式吗？ （4）模仿整式的混合运算怎样进行二次根式的混合运 点题，板书课题. 学生计算，观察 对比，类比整式 混合运算知识尝 试计算 教师组织学生小 组交流，进行讨 论. 算？ 活动 2、给出二次根式的混合运算的一般步骤. 分析法则： （1）进行二次根式混合运算时，运算顺序与实数运算类似，先 算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的（或 先去掉括号）. （2）对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法 则仍然适用，整式、分式的运算法则仍然适用。 （3）有括号的二次根式混合运算，去掉括号是最关键的一步. 练习：○1 课本例 4，之后补充 （3） 27)64 148(  ○2 课本例 5，之后补充 2)5225(  分析说明：○1 中补充（3）是不能除尽（含分数线）的类型。○2 中补充完全平方公式应用. 归纳：二次根式混合运算时，乘法公式仍然适用，仔细观察式 子的特征，灵活运用完全平方公式、平方差公式来简化运算. (二)二次根式混合运算的应用 1.若 x= 12  ,则 x2+x+1= 2.已知 23,23  yx ， 求  1 y x x y  ;   22622 yxyx  的值. 3.如图，四边形 ABCD 中，AB⊥BC,AD⊥ AB,AB=1,BC=CD=2,求四边形 ABCD 的 面 积. 三、课堂训练 完成课本练习 .补充： 1.海伦——秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是 a ,b,c, 设 p = 2 cba  , 则 三 角 形 的 面 积 为 S=    cpbpapp  公式运用：在 ABC 中，BC=4,AC=5,AB=6,求 ABC 的面积。 四、小结归纳 1.进行二次根式混合运算的一般步骤. 2.二次根式混合运算时，仔细观察式子的特征，灵活运用运算 法则、运算律、公式来简化运算. 2.二次根式混合运算的应用. 五、作业设计 必做： P18：4、6、7 选做： P18：8、9 1.已知 236.25  ，求 455 4 4 555  的近似值. E D C BA 结合探究内容师 生总结 学生板演，并说明 每一步的依据，然 后师生订正. 引导学生先观察、 分析，找学生说明 解题思路，解题后 养 成 说 明 理 由 的 反思习惯. 学 生 独 立 完 成 练 习,巩固新知,师生 订正 指导学生交流，教 师总结 2.如图 21.3-3 在平行四边形 ABCD 中，得 DE⊥AB,E 点在 AB 上， DE=AE=EB= a ,求平行四边形 ABCD 的周长. 教 学 反 思 教 学 时 间 课 题 第 21 章小结 课 型 复 习 教 学 媒 体 教 学 目 标 知 识 技 能 1. 学生构建知识体系 2. 通过解决典型的题目，抓住本章要点；解决易出错的题目，找出错陷阱和错因. 3. 联系实数，整式，勾股定理等相关知识进行综合运用. 过 程 方 法 1. 从知识生成的本质和思想方法的本质养成学习数学的能力. 2. 经历观察、思考、交流，熟练、灵活解题. 情 感 态 度 培养数感和符号感，培养以联系和发展的观点学习数学的习惯 教 学 重 点 深化理解二次根式的概念和性质，熟练进行二次根式的化简与运算． 教 学 难 点 进一步理解二次根式的性质和运算法则的合理性 教 学 过 程 设 计 教 学 程 序 及 教 学 内 容 师生行为 二 次 备 课 一、复习引入 导语设计：我们已经学习了二次根式的概念，性质和运算，这节 课来复习并总结本章知识. 二、复习提升 (一)基础巩固  解答下列各题，注意易让你犯错的陷阱 1.若 x54  有意义，则 x 的取值范围是 . 2.下列各式是最简二次根式的是（ ） A. a8 B. 2 a C. ab  D . 3a 3.下列二次根式中，和 32 是同类二次根式的是（ ） A. 12 B. 50 C. 27 D. 24 4.下列运算正确的是（ ） A. 4141  B. 3232  C.   22 2  D. 228  5.计算：○1 )2332(3  ； ○2 12 1 9 2 2 1  ○3  2 35  ； ○4   35233523  归纳：本组训练题目典型，易错，旨在进一步理解二次根式相关 知识，熟练进行二次根式化简与运算.  解答下列各题，注意避免犯上组题中的错误，看是否有新的 发现. 点题，板书课题. 学生计算，观察 对比，运用本章 知识独立计算 教师组织学生小 组交流，最后明 确答案 结合题目内容让 学生说明各题所 考查知识点，指 出易错之处，错 因以及解题技巧 学生独立完成， 教师巡回视察.做 1.若 x54  有意义，则 x 的取值范围是 . 2.下列各式中不是最简二次根式的是（ ） A. 7 B. 5.0 C. 3 D . 15 3.下列二次根式中，和 32 不是同类二次根式的是（ ） A. 8 B. 18 C. 28 D. 98 4.下列计算正确的是（ ） A. 228  B. 523  C.   33 2  D. 123  5.计算：○1 6)123242(  ； ○2 12 1273 1  ○3  62)32(  ；○4   6262)12( 2  归纳：此组题与上组题考察内容相同，但问法不同，更具技巧性. (二)综合运用 1.当 m 时， m m   5 34 有意义. 2.能使 33  x x x x 成立的 x 的取值范围是 . 3.若 1 2  a a ，则 a 的取值范围是 . 4.若     的值，则 mbamba  ,02123 2 是 . 5.当 a ＜-3 时，化简     22 312  aa 的结果是 . 6.整数 x 满足下列两个条件：○1 式子 13x 和 x20 都有意义 ○2 x 的值是整数，则 x 的值是 . 7.以下结论正确的是 .（填序号即可） ○1  2 a = a 对一切实数 a 都成立 ○2 aa 2 对一切实数 a 都 成立 ○3 式子 a 叫做二次根式 ○4 一个数的平方根和它的绝对值都 是非负数 8. 在实数范围内分解因式： 259 4 x 的结果是 . 9.  22 23)32(  的计算结果是 . 10.已知 ,32, 32 1    yx 求 22 xyyx  的值. 11.如图，有一艘船在点 O 处测得一小岛上的电视塔 A 在北偏西 600 的方向上，前进 20 海 里到达 B 处， 测得 A 在船的西北方向，问再向西航行 多少海里，船离电视塔最近？ 归纳： 这组题是本章知识的深化运用，有一定的 难度，与实数，有理式，勾股定理等知识 综合运用. (三)构建知识体系 二次根式 概念 性质 运算 乘除运算 加减运算 混合运算 三、小结归纳 1.复习巩固二次根式知识，及于其他相关知识的联系. 2.进一步理解本章知识，熟练解决相关问题. 3.补充课本未明确给出的概念及相关题目，拓展知识与能力. 完之后，师生订正. 并 让 学 生 谈 做 题 体会，以及新的发 现. 师生总结 引 导 学 生 先 观 察、分析，小组 讨论，再找学生 说明解题思路， 解题后养成说明 理由的反思习惯. 学生解题后， 师 生订正 指导学生交流，谈 收 获，体会，师生总 结 让 学 生 构 建 本 章 知识体系，教师展 示学生的结构图， 学 生 之 间 进 行 交 流，肯定最优建构 让 学 生 阐 述 本 节 课有哪些收获，有 何体会，教师指导 4.构建知识体系，纳入知识系统. 四、作业设计 必做： P22：1-8 选做： P22：9-11 从考查知识，易错 题目，典型题，解 题技巧，思想方法 等方面总结 教 学 反 思 教 学 时 间 课 题 22.1 一元二次方程 课 型 新 授 教 学 媒 体 教 学 目 标 知 识 技 能 1.理解一元二次方程概念是以未知数的个数和次数为标准的. 2.掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式，能将一个一元二次方程化为一般形式 3.理解二次根式的根的概念，会判断一个数是否是一个一元二次方程的根 过 程 方 法 1..通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活. 2.通过观察，思考，交流，获得一元二次方程的概念及其一般形式和其它三种特殊形式. 3.经历观察，归纳一元二次方程的概念，一元二次方程的根的概念， 情 感 态 度 通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情． 教 学 重 点 一元二次方程的概念，一般形式和一元二次方程的根的概念 教 学 难 点 通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程 的概念． 教学过程设计 教 学 程 序 及 教 学 内 容 师生行为 二 次 备 课 一、复习引入 导语：小学五年级学习过简易方程，上初中后学习了一元一次方程， 二元一次方程组，可化为一元一次方程的分式方程，运用方程方法可 以解决众多代数问题和几何求值问题，是非常常见的一种数学方法。 从这节课开始学习一元二次方程知识.先来学习一元二次方程的有关 概念. 二、探究新知  探究课本问题 2 分析： 1.参赛的每两个队之间都要比赛一场是什么意思？ 2.全部比赛场数是多少？若设应邀请 x 个队参赛，如何用含 x 的代数 式表示全部比赛场数？ 整理所列方程后观察： 1.方程中未知数的个数和次数各是多少？ 2.下列方程中和上题的方程有共同特点的方程有哪些？ 4x+3=0； 0422  xx ； 042  yx ； 0350752  xx ； 0621  xx  概念归纳： 1.一元二次方程定义： 分析：首先它是整式方程，然后未知数的个数是 1，最高次数是 2. 2.一元二次方程的一般形式： 分析： ○1 .为什么规定 a ≠0？ ○2 .方程左边各项之间的运算关系是什么？关于 x 的一元二次方程  002  acbxax 的各项分别是什么？各项系数是什么？ 3.特殊形式：  002  abxax ；  002  acax ；  002  aax  课本例题 分析：类比一元一次方程的去括号，移项，合并同类项，进行同解变 点题，板书课题. 学生读题找等量关系列方 程. 学生观察所列方程整理后的 特点，把握方程结构，初步 感知一元二次方程概念. 学生尝试叙述，然后师生 归纳 师生分析概念和一般形式. 学生根据相关概念作答，复 习巩固. 学生类比一元一次方程的解 形，化为一般形式后再写出各项系数，注意方程一般形式中的“-” 是性质符号负号，不是运算符号减号.  一元二次方程的根的概念 1.类比一元一次方程的根的概念获得一元二次方程的根的概念 2.下面哪些数是方程 x2+5x+6=0 的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4． 3.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？ （1）x2-64=0（2）x2+1=0 （3）x2-3x=0 （4） 0122  xx 4.思考：一元一次方程一定有一个根，一元二次方程呢？ 5.排球邀请赛问题中，所列方程 562  xx 的根是 8 和-7，但是答案 只能有一个，应该是哪个？ 归纳： ○1 一元二次方程的根的情况 ○2 一元二次方程的解要满足实际问题 三、课堂训练 1.课本练习 2 补充： 1).在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）． ①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2- 5 x =0 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 2）.关于 x 的方程（a-1）x2+3x=0 是一元二次方程，则 a 范围________． 3).已知方程 5x2+mx-6=0 的一个根是 x=3，则 m 的值为________ 4).关于 x 的方程（2m2+m）xm+1+3x=6 可能是一元二次方程吗？ 四、小结归纳 1.一元二次方程的概念及其一般形式，能将一个一元二次方程化为一 般形式，并正确指出其各项系数. 2.一元二次方程的根的概念，能判断一个数是否是一个一元二次方程 的根. 五、作业设计 必做：P28：1-7 选做：.P29：8、9 尝试叙述 学生思考，讨论完成， 学生独立完成，教师巡视 指导，了解学生掌握情况， 并集中订正 师生归纳总结，学生作笔 记. 教 学 反 思 教 学 时 间 课 题 22.2.1 配方法(1) 课 型 新 授 教 学 媒 体 教 学 目 标 知 识 技 能 1.理解一元二次方程“降次”的转化思想． 2.根据平方根的意义解形如 x2=p（p≥0）的一元二次方程，然后迁移到解（mx+n）2=p（p≥0） 型的一元二次方程． 3.把一般形式的一元二次方程（二次项系数是 1，一次项系数是偶数）与左边是含有未知数的完 全平方式右边是非负常数的一元二次方程对比，引入配方法，并掌握. 过 程 方 法 1.通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活. 2.通过观察，思考，对比获得一元二次方程的解法-----直接开平方法，配方法 情 感 态 度 通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情． 教 学 重 点 1.运用开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想． 2 用配方法解二次项是 1，一次项系数是偶数的一元二次方程 教 学 难 点 降次思想，配方法 教学过程设计 教 学 程 序 及 教 学 内 容 师生行为 二 次 备 课 一、复习引入 导语：已经学习了一元二次方程的概念，本节课开始学习其解法,首先学 习直接开平方法，配方法. 二、探究新知  探究课本问题 1 分析： 1.用列方程方法解题的等量关系是什么？ 2.解方程的依据是什么？ 3.方程的解是什么？问题的答案是什么？ 4.该方程的结构是怎样的？ 归纳： 可根据数的开方的知识解形如 x2=p（p≥0）的一元二次方程，方程 有两个根，但是不一定都是实际问题的解.  解决课本思考 1 如何理解降次？ 2 本题中的一元二次方程是通过什么方法降次的？ 3 能化为（x+m）2=n（n≥0）的形式的方程需要具备什么特点？ 归纳： 1 运用平方根知识将形如 x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二 次方程降次，转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可； 2 左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负常数的一元二次方程可化 为（x+m）2=n（n≥0）.  探究课本问题 2 1.根据题意列方程并整理成一般形式. 2.将方程 x2+6x-16=0 和 x2+6x+9=2 对比，怎样将方程 x2+6x-16=0 化为像 x2+6x+9=2 一样，左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负常数的方 程？ ○1 完成填空： x2+6x+ =（x+ ）2 ○2 方程移项之后，两边应加什么数，可将左边配成完全平方式？  归纳： 点题，板书课题. 学生读题找等量关系列 方程，思考解方程的依 据. 学 生 观 察 所 列 方 程 特 点，辨析方程的解与问 题的答案. 学生尝试描述何为降次 及方法，把握方程结构 特点，初步体会直接开 平 方 法 解 一 元 二 次 方 程. 教师组织学生讨论，尝 试回答，教师及时肯定 并总结 学生审读并列方程 组织学生讨论，交流 然后师生总结 用配方法解二次项系数是 1 且一次项系数是偶数的一元二次方程的一般 步骤及注意事项: 先将常数项移到方程右边，然后给方程两边都加上一次项系数的一 半的平方，使左边配成完全平方式的三项式形式，再将左边写成平方形 式，右边完成有理数加法运算，到此，方程变形为（x+m）2=n（n≥0） 的形式. 三、课堂训练 课本练习: P31 页练习，P34 页练习 1，2（1） 四、小结归纳 1.根据平方根的意义，用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0）的一 元二次方程. 2.用配方法解二次项系数是 1，一次项系数是偶数的一元二次方程，特别 地，移项后方程两边同加一次项系数的一半的平方. 3.在用方程解决实际问题时，方程的根一定全实际是问题的解，但是实 际问题的解一定是方程的根. 五、作业设计 必做：P42：1、2、3（1）（2） 选做：下面补充作业 补充作业： 1．若 8x2-16=0，则 x 的值是_________． 2．如果方程 2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________． 3．若 x2-4x+p=（x+q）2，那么 p、q 的值分别是（ ）． A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-2 4．方程 3x2+9=0 的根为（ ）． A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根 5.已知 x2-8x+15=0，左边化成含有 x 的完全平方形式，其中正确的是（ ）． A．x2-8x+（-4）2=31 B．x2-8x+（-4）2=1 C．x2+8x+42=1 D．x2-4x+4=-11 6．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长 25m），另 三边用木栏围成，木栏长 40m． （1）鸡场的面积能达到 180m2 吗？能达到 200m 吗？ （2）鸡场的面积能达到 210m2 吗？ 学生独立完成，教师巡 视指导，了解学生掌握 情况，并集中订正 师生归纳总结，学生作 笔记. 教 学 反 思 教 学 时 间 课 题 22.2.1 配方法(2) 课 型 新 授 教 学 媒 体 教 学 目 标 知 识 技 能 1.进一步理解配方法和配方的目的. 2.掌握运用配方法解一元二次方程的步骤． 3.会利用配方法熟练灵活地解二次项系数不是 1 的一元二次方程. 过 程 方 法 通过对比用配方法解二次项系数是 1 的一元二次方程，解二次项系数不是 1 的一元二次方程， 经历从简单到复杂的过程，对配方法全面认识. 情 感 态 度 1. 通过对配方法的探究活动，培养学生勇于探索的学习精神． 2. 感受数学的严谨性和数学结论的确定性. 3. 温故知新，培养学生利用旧知解决问题的能力. 教 学 重 点 用配方法解一元二次方程 教 学 难 点 用配方法解二次项系数不是 1 的一元二次方程，首先方程两边都除以二次项系数，将方程化为 二次项系数是 1 的类型. 教学过程设计 教 学 程 序 及 教 学 内 容 师生行为 二 次 备 课 一、复习引入 导语：我们在上节课，已经学习了用直接开平方法解形如 x2=p（p≥0） 或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程，以及用配方法解二次项系数是 1，一次项系数是偶数的一元二次方程，这节课继续学习配方法解一元二 次方程. 二、探究新知 1.填空： ○1  22 ________8  xxx ○2  22 ________  xxx ○3  22 ____4___  xx ○4  22 ____4 9___  xx 2.填空： ○1 aaxx 是完全平方式，82 = ○2  mmxx 是完全平方式，92 3.解下列方程：○1 x2-8x+7=0 ○2 2x2+8x-2=0 ○3 2x2+1=3x ○4 3x2-6x+4=0 题目设置说明： 1.○1 与上节课衔接（二次项系数为 1） 2.○2 至○4 二次项系数不为 1.二次项系数化为 1 后，○2 的一次项系数为偶 数.为后面做铺垫.○3 的一次项系数为分数，○4 无解. 分析： （1）解方程○1 ，复习用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程步骤； （2）对比○1 的解法得到方程○2 的解法，总结出用配方法解二次项系数不 为 1 的一元二次方程的一般步骤： ○1 .把常数项移到方程右边； ○2 .方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为 1； ○3 .方程两边都加上一次项系数一半的平方； ○4 .原方程变形为（x+m）2=n 的形式； ○5 .如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是 负数，则一元二次方程无解． 点题，板书课题. 让学生独立完成○1 ，复 习巩固上节课内容. 通过对比方程○1 ○2 结 构，尝试解方程 ○2 ， 探讨二次项系数不是 1 的一元二次方程的解 法，教师组织学生讨 论，师生交流看法，肯 定其可行性，总结出一 般步骤. 让学生运用总结出的 一 般 步 骤 解 方 程 ○3 ○4 ，其中○3 需要先整理， ○4 无解. (3)运用总结的配方法步骤解方程○3 ，先观察将其变形，即将一次项移到方 程的左边，常数项移到方程的右边；解方程○4 配方后右边是负数，确定原 方程无解. (4) 不写出完整的解方程过程，到哪一步就可以确定方程的解得情况？ 三、课堂训练 1.方程   的形式，正确的是化为 baxxx  22 02344 ( ) A.  4 53 2 x B.  4 53 2 x C. 4 1 2 3 2       x D. 32 3 2       x 2．配方法解方程 2x2- 4 3 x-2=0 应把它先变形为（ ）． A．（x- 1 3 ）2= 8 9 B．（x- 2 3 ）2=0 C．（x- 1 3 ）2= 8 9 D．（x- 1 3 ）2= 1 0 9 3．下列方程中，一定有实数解的是（ ）． A．x2+1=0 B．（2x+1）2=0 C．（2x+1）2+3=0 D．（ 1 2 x-a）2=a 4.解决课本练习 2（2）到（6） 5.已知 x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则 x+y+z 的值是（ ）． A．1 B．2 C．-1 D．-2 6. a ， b ， c 是 ABC 的三条边 ○1 当 bccaba 22 22  时，试判断 ABC 的形状. ○2 证明 02222  accba 四、小结归纳 用配方法解一元二次方程的步骤： 1.把原方程化为  002  acbxax 的形式， 2.把常数项移到方程右边； 3.方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为 1； 4.方程两边都加上一次项系数一半的平方； 5.原方程变形为（x+m）2=n 的形式； 6.如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数， 则一元二次方程无解． 不写出完整的解方程过程，原方程变形为（x+m）2=n 的形式后，若 n 为 0，原方程有两个相等的实数根；若 n 为正数，原方程有两个不相等的 实数根；若 n 为负数，则原方程无实数根. 五、作业设计 必做：P42：3（3）（4） 选做：P43：8、9 根据上述方程的根的情 况，学生思考并叙述 学生先自主，再合作交 流，总结经验，完成.教 师巡视指导，了解学生 掌握情况，对于好的做 法，加以鼓励表扬.并集 体进行交流评价，体会 方法，形成规律. 学生归纳，总结阐述， 体会，反思.并做出笔 记. 教 学 反 思 教 学 时 间 课 题 22.2.2 公式法 课 型 新 授 教 学 媒 体 多 媒 体 教 学 目 标 知 识 技 能 1.理解一元二次方程求根公式的推导过程. 2.掌握公式结构，知道使用公式前先将方程化为一般形式，通过判别式判断根的情况. 3.会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程. 过 程 方 法 1.经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次方程，探索求根公式，发 展学生合情合理的推理能力，并认识到配方法是理解公式的基础.； 2.通过对公式的推导，认识到一元二次方程的求根公式适用于所有的一元二次方程，操作简单. 3.提高学生的运算能力，并养成良好的运算习惯. 情 感 态 度 1.感受数学的严谨性和数学结论的确定性. 2.提高学生运算能力，使学生获得成功体验，建立学习信心. 教 学 重 点 求根公式的推导，公式的正确使用 教 学 难 点 求根公式的推导 教学过程设计 教 学 程 序 及 教 学 内 容 师生行为 二 次 备 课 一、复习引入 导语：我们学习了用配方法解数字系数的一元二次方程，能否用配方法 解一般形式的一元二次方程  002  acbxax ？ 二、探究新知 活动 1.学生观察下面两个方程思考它们有何异同？ ○1 ；6x2-7x+1=0 ○2  002  acbxax 活动 2.按配方法一般步骤同时对两个方程求解： 1.移项得到 6x2-7x=-1， cbxax 2 2.二次项系数化为 1 得到 a cxa bxxx  22 ,6 1 6 7 3.配方得到 x2- 7 6 x+（ 7 12 ）2=- 1 6 +（ 7 12 ）2 x2+ b a x+（ 2 b a ）2=- c a +（ 2 b a ）2 4.写成（x+m）2=n 形式得到（x- 7 1 2 ）2= 2 5 1 4 4 ，（x+ 2 b a ）2= 2 2 4 4 b a c a  5.直接开平方得到 x- 7 12 =± 5 12 ，注意：（x+ 2 b a ）2= 2 2 4 4 b a c a  是否 可以直接开平方？ 活动 3.对（x+ 2 b a ）2= 2 2 4 4 b a c a  观察，分析，在 0a 时对 2 2 4 4 b a c a  的值与 0 的关系进行讨论 活动 4.归纳出一元二次方程的根的判别式和求根公式，公式法. 活动 5.初步使用公式解方程 6x2-7x+1=0. 活动 6.总结使用公式法的一般步骤：○1 把方程整理成一般形式，确定 教师提出问题，学生思 考. 学生观察思考尝试回答 学生对比进行配方，通 过自主探究，合作交流， 展开对求根公式的推导 让学生尝试对 2 2 4 4 b a c a  的值进行 分析 学生尝试归纳，师生总 结 学生初步使用公式，教 师规范板书。之后总结 使用公式步骤 a,b,c 的值，注意符号 ○2 求出 acb 42  的值，方程  002  acbxax ，当Δ＞0 时， 有两个不等实根；Δ=0 时有两个相等实根；Δ<0 时无实根. ○3 在 acb 42  ≥0 的前提下把 a，b，c 的值带入公式 x= 2 4 2 b b ac a    进行计算，最后写出方程的根. 三、课堂训练 1.利用一元二次方程的根的判别式判断下列方程的根的情况 （1）2x2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2 （3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x2-3x+1=0 2.课本例 2 四、小结归纳 本节课应掌握： 1.用根的判别式判断一个一元二次方程是否有实数根 2.用求根公式求一元二次方程的根 3. 一元二次方程求根公式适用于任意一个一元二次方程. 五、作业设计 必做：P42：4、5 选做：P43：11、12 补充作业：某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过 A 千瓦时，那么这户居民这个月只交 10 元电费，如果超过 A 千瓦时，那 么这个月除了交 10元用电费外超过部分还要按每千瓦时 100 A 元收费． （1）若某户 2 月份用电 90 千瓦时，超过规定 A 千瓦时，则超过部分电 费为多少元？（用 A 表示） （2）下表是这户居民 3 月、4 月的用电情况和交费情况 月份 用电量（千瓦时） 交电费总金额（元） 3 80 25 4 45 10 根据上表数据，求电厂规定的 A 值为多少？ 学生独立完成，教师巡 回检查，师生集体订正 学生归纳，总结阐述， 体会，反思.并做出笔 记. 教 学 反 思 教 学 时 间 课 题 22.2.3 因式分解法 课 型 新 授 教 学 媒 体 教 学 目 标 知 识 技 能 1.了解因式分解法的概念. 2.会用提公因式法和运用乘法公式将整理成一般形式的方程左边因式分解，根据两个因式的积等 于 0，必有因式为 0，从而降次解方程. 过 程 方 法 1.经历探索因式分解法解一元二次方程的过程，发展学生合情合理的推理能力. 2.体验解决问题方法的多样性，灵活选择解方程的方法. 情 感 态 度 积极探索方程不同解法，通过交流发现最优解法，获得成功体验. 教 学 重 点 会用提公因式法和运用乘法公式将整理成一般形式的方程左边因式分解，从而降次解方程 教 学 难 点 将整理成一般形式的方程左边因式分解 教学过程设计 教 学 程 序 及 教 学 内 容 师生行为 二 次 备 课 一、复习引入 导语：我们学习了用配方法和公式法解一元二次方程，这节课我们来学习 一种新的方法. 二、探究新知 1.因式分解 x2-5x；； 2x(x-3)-5(x-3); 25y2-16； x2+12x+36；4x2+4x+1 分析：复习因式分解知识，，为学习本节新知识作铺垫. 2.若 ab=0,则可以得到什么结论？ 分析：由积为 0，得到 a 或 b 为 0，为下面用因式分解法解方程作铺垫. 3.试求下列方程的根 ： x(x-5)=0; (x-1)(x+1)=0；(2x-1)(2x+1)=0；(x+1)2 =0; (2x-3)2=0. 分析：解左边是两个一次式的积，右边是 0 的一元二次方程，初步体会因 式分解法解方程实现降次的方法特点，只要令每个因式分别为 0，得到两 个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解. 4. 试求下列方程的根 ○1 4x2-11x =0; x(x-2)+ (x-2)=0; (x-2)2 -(2x-4)=0 ○2 25y2-16=0; (3x+1)2 -(2x-1)2 =0; (2x-1)2 =(2-x)2 ○3 x2+10x+25=0; 9x2-24x+16=0; ○4 5x2-2x- 4 1 = x2-2x+ 4 3 ; 2x2+12x+18=0; 分析：观察○1 ○2 ○3 三组方程的结构特点，在方程右边为 0 的前提下，对左 边灵活选用合适的方法因式分解，并体会整体思想.总结用因式分解法解一 元二次方程的一般步骤：首先使方程右边为 0，其次将方程的左边分解成 两个一次因式的积，再令两个一次因式分别为 0，从而实现降次，得到两 个一元一次方程，最后解这两个一元一次方程，它们的解就都能是原方程 由学过的一元二次方程 到解法的回顾，引出新的 解法 学生观察式子特点，进 行因式分解，为下面的 学习作铺垫 学 生 根 据 ab=0 得 到 a=0 或 b=0，为下面学 习作铺垫 学生直接利用 2 的结论 完成 3 中解方程 让学生根据前面铺垫，尝 试用因式分解法解○1 ○2 ○3 三组方程，之后师揭示 因式分解法概念，师生总 结用因式分解法解一元 二次方程的一般步骤 的解.这种解法叫做因式分解法. ○4 中的方程结构较复杂，需要先整理. 5.选用合适方法解方程 x2+x+ 4 1 =0；x2+x-2=0；(x-2)2 =2-x；2x2-3=0. 分析：四个方程最适合的解法依次是：利用完全平方公式，求根公式法， 提公因式法，直接开平方法或利用平方差公式. 归纳：配方法要先配方，再降次；公式法直接利用求根公式；因式分解法 要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为 0，再分别使各一次因式 等于 0.配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法用于某些一 元二次方程. 解一元二次方程的基本思路：化二元为一元，即降次. 三、课堂训练 1.完成课本练习 2.补充练习： ○1 已知（x+y）2 –x-y=0，求 x+y 的值． 分析：先观察，并在本节课的知识情境下思考解题方法：先加括号，再提 取公因式，体会整体思想的优越性. ○2 下面一元二次方程解法中，正确的是（ ）． A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7 B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1= 2 5 ，x2= 3 5 C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2 D．x2=x 两边同除以 x，得 x=1 ○3 今年初，湖北武穴市发生禽流感，某养鸡专业户在禽流感后，打算改建 养鸡场，建一个面积为 150m2 的长方形养鸡场．为了节约材料，鸡场的一 边靠着原有的一条墙，墙长 am，另三边用竹篱围成，如果篱笆的长为 35m， 问鸡场长与宽各为多少？（其中 a≥20m） 四、小结归纳 本节课应掌握： 1.用因式分解法解一元二次方程 2.归纳一元二次方程三种解法，比较它们的异同，能根据方程特点选择合 适的方法解方程 五、作业设 计 必做：P43：6、10 选做：P43：13、14 先观察，尝试选用合适方 法解方程，之后交流，比 较三种解法，便于选取合 适的方法解方程 学生尝试归纳，师生总结 学生独立完成，教师巡回 检查，师生集体订正 学生归纳，总结阐述， 体会，反思.并做出笔 记. 教 学 反 思 教 学 时 间 课 题 22.2.4 一元二次方程的根与系数关系 课 型 新 授 教 学 媒 体 教 学 目 标 知 识 技 能 1.熟练掌握一元二次方程的根与系数关系. 2.灵活运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题. 3.提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力. 过 程 方 法 学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全归纳验证以及演绎证明. 情 感 态 度 培养学生观察，分析和综合，判断的能力，激发学生发现规律的积极性，激励学生勇于探索的 精神. 教 学 重 点 一元二次方程的根与系数关系 教 学 难 点 对根与系数关系的理解和推导 教学过程设计 教 学 程 序 及 教 学 内 容 师生行为 二 次 备 课 一、复习引入 导语：一元二次方程的根与系数有着密切的关系，早在 16 世纪法国的杰 出数学家韦达发现了这一关系，你能发现吗？ 二、探究新知 1.课本思考 分析：将（x- x1）（x-x2）=0 化为一般形式 x2-( x1 +x2)x+ x1 x2=0 与 x2+px+ q=0 对比,易知 p=-( x1 +x2)，q= x1 x2. 即二次项系数是 1 的一元二次方程如果有 实数根，则一次项系数等于两根和的相反数，常数项等于两根之积. 2.跟踪练习 求下列方程的两根 x1 、x2. 的和与积. x2+3x+2=0； x2+2x-3=0; x2-6x+5=0; x2-6x-15=0 3. 方程 2x2-3x+1=0 的两根的和、积与系数之间有类似的关系吗？ 分析：这个方程的二次项系数等于 2，与上面情形有所不同，求出方程两 根，再通过计算两根的和、积，检验上面的结论是否成立，若不成立，新 的结论是什么？ 4.一般的一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）中的 a 不一定是 1，它的 两根的和、积与系数之间有第 3 题中的关系吗？ 分析：利用求根公式，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，得到方 程的两个根 x1 、x2 和系数 a，b，c 的关系，即韦达定理，也就是任何一个 一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系 数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比. 求根公式是在 一般形式下推导得到，根与系数的关系由求根公式得到，因此，任何一个 一元二次方程化为一般形式后根与系数之间都有这一关系. 5.跟踪练习 求下列方程的两根 x1 、x2. 的和与积. ○1 3x2+7x+2=0；3x2+7x-2=0; 3x2-7x+2=0；3x2-7x-2=0； ○2 5x-1=4x2；5x2-1=4x2+x 6.拓展练习 ○1 已知一元二次方程 2x2+bx+c=0 的两个根是-1，3，则 b= ,c= . 教师出示问题，引出课 题学生初步了解本课 所要研究的问题 学生通过去括号、合 并得到一般形式的一 元二次方程，教师适 时点拨，分析总结得 到结论. 学生独自完成 巩固上诉知识 教师出示探究问题，学 生通过特殊例子入手， 再通过一般形式推导 证明，教师引导学生根 据求根公式进行探究、 交流，尝试发现结论 学生独立解决，并交流 先观察，尝试选用合适 ○2 已知关于 x 的方程 x2+kx-2=0 的一个根是 1，则另一个根是 ,k 的值 是 . ○3 若关于 x 的一元二次方程 x2+px+q=0 的两个根互为相反数，则 p= ; 若 两个根互为倒数，则 q= . 分析：方程中含有一个字母系数时利用方程一根的值可求得另一根和这个 字母系数；方程中含有两个字母系数时利用方程的两根的值可求得这两个 字母系数.二次项系数是 1 时，若方程的两根互为相反数或互为倒数，利用 根与系数的关系可求得方程的一次项系数和常数项. ○4 两个根均为负数的一元二次方程是( ) A.4x2+21x+5=0 B.6x2-13x-5=0 C.7x2-12x+5=0 D.2x2+15x-8=0 ○5 .两根异号，且正根的绝对值较大的方程是（ ） A.4x2-3=0 B.-3x2+5x-4=0 C.0.5x2-4x-3=0 D.2x2+ 53 x- 6 =0 ○6 .若关于 x 的一元二次方程 2x2-3x+m=0,当 m 时方程有两个正根；当 m 时方程有两个负根；当 m 时方程有一个正根一个负根，且正根的绝对 值较大. 分析：根据方程的根的正负情况，结合根与系数关系，确定方程各项系数 的符号，○6 中还需考虑 m 的值还得受根的判别式的限制. 三、课堂训练 1.完成课本练习 2.补充练习： x1 ，x2 是方程 3x2-2x-4=0 的两根，利用根与系数的关系求下列各式的值： ○1 21 11 xx  ； ○2 2 21 2 12 xxxx  ○3 2 2 2 1 xx  ； ○4  2 21 xx  ；○5 2 1 1 2 x x x x  四、小结归纳 本节课应掌握： 1. 韦达定理二次项系数不是 1 的方程根与系数的关系 2. 运用韦达定理时，注意隐含条件：二次项系数不为 0，△≥0； 3.韦达定理的应用常见题型： ○1 不解方程，判断两个数是否是某一个一元二次方程的两根； ○2 已知方程和方程的一根，求另一个根和字母系数的值； ○3 由给出的两根满足的条件，确定字母系数的值； ○4 判断两个根的符号；○5 不解方程求含有方程的两根的式子的值. 五、作业设 计 必做：P43：7 选做：补充作业：已知一元二次方程 x2+3x+1=0 的两个根是 、 ，求      的值. 方法解题，之后交流， 比较解法 学生尝试归纳，师生总 结 学生独立完成，教师 巡回检查，师生集体 订正 学生归纳，总结阐述， 体会，反思.并做出笔 记. 教 学 反 思 教 学 时 间 课 题 22.3 实际问题与一元二次方程（1） 课 型 新 授 教 学 媒 体 教 学 目 标 知 识 技 能 1.使学生会列出一元二次方程解应用题，初步掌握利用一元二次方程解决生活中的实际问题. 2.培养学生的阅读能力. 过 程 方 法 1.通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活. 2.通过观察，思考，交流，进一步提高逻辑思维和分析问题解决问题能力. 3.经历观察，归纳列一元二次方程的一般步骤 情 感 态 度 通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情． 教 学 重 点 建立数学模型，找等量关系，列方程 教 学 难 点 找等量关系，列方程 教学过程设计 教 学 程 序 及 教 学 内 容 师生行为 二 次 备 课 一、复习引入 导语：同一元一次方程，二元一次方程（组）等一样，一元二次方程 和实际问题，也有紧密的联系，本节课就来讨论如何利用一元二次方 程来解决实际问题. 二、探究新知  探究课本 30 页问题 1 分析：设正方体的棱长是 xdm，则一个正方体的表面积是多少？10 个 呢？等量关系是什么？  探究课本 38 页问题 分析： 设物体经过 xs 落回地面，这时它离地面的高度是多少？  某人将 2000 元人民币按一年定期存入银行，到期后支取 1000 元用 于购物，剩下的 1000 元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若 存款的利率不变，到期后本金和利息共 1320 元，求这种存款方式的 年利率．（利息税为利息的 20%） 分析： 设这种存款方式的年利率为 x，第一次存 2000 元取 1000 元，剩 下的本金和利息是 1000+2000x·80%；第二次存，本金就变为 1000+2000x·80%，其它依此类推．  课本 46 页探究 2 分析： 设甲种药品的成本年平均下降率为 x，则一年后甲种药品成本是 多少？两年后甲种药品成本是多少？相关的等量关系是什么？类似 的乙甲种药品成本的年平均下降率是多少？相关的等量关系是什 么？方程的解都是该问题的解吗？如果不是，如何选择？为什么？ 如何回答课本 46 页思考？ 归纳： 通过解决以上问题，列一元二次方程解实际问题的基本步骤是什 么？与以前学过的列方程解实际问题的步骤有何异同？  某工厂第一季度的一月份生产电视机是 1 万台，第一季度生产电视 机的总台数是 3.31 万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的 百分率是多少？ 分析： 设平均增长率是 x，则二月份生产电视机的台数是多少？三月份 点题，板书课题. 教师指导学生进行阅读， 找关键词，题中数据，联 系所要求的量，明确量与 量的关系，设直接未知数， 表示相关量，找等量关系 尝试列方程，求根，根据 实际问题要求，对根进行 取舍. 学生独立解答问题 1，2， 然后交流，讨论，达到共 识. 学生尝试叙述，然后师生 归纳 生产电视机的台数是多少？第一季度生产电视机的总台数还可以怎 样表示？等量关系是什么？ 归纳： 以上这几道题与我们以前所学的一元一次、二元一次方程（组）、 分式方程等为背景建立数学模型是一样的，而我们借助的是一元二次 方程为背景建立数学模型来分析实际问题和解决问题的类型． 三、课堂训练 补充练习： ○1 ．一台电视机成本价为 a 元，销售价比成本价增加 25%，因库存积 压，所以就按销售价的 70%出售，那么每台售价为（ ）． A．（1+25%）（1+70%）a 元 B．70%（1+25%）a 元 C．（1+25%）（1-70%）a 元 D．（1+25%+70%）a 元 ○2 ．某商场的标价比成本高 p%，当该商品降价出售时，为了不亏损 成本，售价的折扣（即降低的百分数）不得超过 d%，则 d 可用 p 表 示为（ ）． A． 1 0 0 p p B．p C． 1 0 0 1 0 0 0 p p D． 1 0 0 1 0 0 p p ○3 ． 2009 年一月份越南发生禽流感的养鸡场 100 家，后来二、三 月份新发生禽流感的养鸡场共 250 家，设二、三月份平均每月禽流感 的感染率为 x，依题意列出的方程是（ ）． A．100（1+x）2=250 B．100（1+x）+100（1+x）2=250 C．100（1-x）2=250 D．100（1+x）2 四、小结归纳 1.列一元二次方程解应用题的一般步骤 2.利用一元二次方程解决实际生活中的百分率问题 五、作业设计 必做：P48：1、2、3 选做：P49：9 补充作业： 上海甲商场七月份利润为 100 万元，九月份的利率为 121 万元，乙商 场七月份利率为 200 万元，九月份的利润为 288 万元，那么哪个商场 利润的年平均上升率较大? 师引导生对照上题，分析找 出两题的异同点 让学生体会建立数学模型思 想，分析、解决实际问题. 学生独立完成，教师巡视 指导，了解学生掌握情况， 并集中订正 师生归纳总结，学生作笔 记. 教 学 反 思 教 学 时 间 课 题 22.3 实际问题与一元二次方程（2） 课 型 新 授 教 学 媒 体 教 学 目 标 知 识 技 能 1.能根据○1 以流感为问题背景，按一定传播速度逐步传播的问题；○2 以封面设计为问题背景，边 衬的宽度问题中的数量关系列出一元二次方程，体会方程刻画现实世界的模型作用. 2.培养学生的阅读能力与分析能力. 3.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理. 过 程 方 法 通过自主探究，独立思考与合作交流，使学生弄清实际问题的背景，挖掘隐藏的数量关系，把 有关数量关系分析透彻，找出可以作为列方程依据的主要相等关系，正确的建立一元二次方程. 情 感 态 度 在分析解决问题的过程中逐步深入地体会一元二次方程的应用价值. 教 学 重 点 建立数学模型，找等量关系，列方程 教 学 难 点 找等量关系，列方程 教学过程设计 教 学 程 序 及 教 学 内 容 师生行为 二 次 备 课 一、复习引入 导语：通过上节课的学习，谈谈列一元二次方程解决实际问题的一般 步骤及应注意的问题. 二、探究新知  课本 45 页探究 1 分析： ○1 设每轮传染中平均一个人传染 x 了个人.这里的一轮指一个传染周 期. ○2 第一轮的传染源有几个人？第一轮后有几个人被传染了流感？包 括传染源在内，共有几个人患着流感？ ○3 第二轮的传染源有几个人？第二轮后有几个人被传染了流感？包 括第二轮的传染源在内，共有几个人患着流感？ ○4 本题用来列方程的相等关系是什么？列出方程. 拓展：课本思考.四轮呢？ 归纳： 本题一流感为问题背景，讨论按一定传播速度逐步传播的问题，，特 别需要注意的是，在第二轮传染中，在实际生活中，类似原型很多， 比如细胞分裂，信息传播，传染病扩散，害虫繁殖等，一般就考虑两 轮传播，这些问题有通性，在解题时有规律可循.  课本 47 页探究 3 分析： ○1 正中央的长方形与整个封面的长宽比例相同，是什么含义？ ○2 上下边衬与左右边衬的宽度相等吗？如果不相等，应该有什么关 系？ ○3 若设正中央的长方形的长和宽分别为 9a ㎝，7a ㎝，尝试表示边衬 的长度，并探究上下边衬与左右边衬的宽度的数量关系？ ○4 “应如何设计四周边衬的宽度？”是要求四周边衬的宽度，除了根 据上下边衬与左右边衬的宽度比为，设上下边衬宽为与左右边衬宽 为.还可以根据正中央的长方形长与宽的比为 9：7，设正中央的长方 形的长为 9x ㎝，宽为 7x ㎝.尝试列出方程. ○5 方程的两个根都是正数，但是它们不都是问题的解，需要根据它们 的值的大小来确定哪个更合乎实际，这种取舍选择更多的要考虑问题 的实际意义. 归纳： 点题，板书课题. 教师提出问题，并指导学 生进行阅读，独立思考， 学生根据个人理解，回答 教师提出的问题.弄清题 意，设出未知数，并表示 相关量，根据相等关系尝 试列方程，求根.根据实际 问题要求，对根进行选择 确定问题的解.教师组织 学生合作交流，达到共识， 师生汇总生活中常见的类 似问题，总结这类题的做 题技巧. 教师提出问题，让学生结合 画图独立理解并解答问题， 培养学生对几何图形的分析 能力，将数学知识和实际问 题相结合的应用意识 . ○1 在实际生活中有许多几何图形的问题原型，可以用一元二次方程作 为数学模型来分析和解决 ○2 .对于比较复杂的问题，可以通过设间接未知数的方法来列方程. 三、课堂训练 补充练习： 1．从正方形铁片，截去 2cm 宽的一条长方形，余下的面积是 48cm2， 则原来的正方形铁片的面积是（ ）． A．8cm B．64cm C．8cm2 D．64cm2 2．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙， 另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为 35m， 所围的面积为 150m2，则此长方形鸡场的长、宽 分别为_______． 3.有一张长方形的桌子，长 6 尺，宽 3 尺，有一块台布的面积是桌面 面积的 2 倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长 和宽各是多少?（精确到 0．1 尺） 4.在一块长 12m，宽 8m 的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为 8m2的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为 多少? 四小结归纳 谈一节课的收获和体会. 五、作业设计 必做：P48：4-8 选做：P49：10 补充作业： 某林场计划修一条长 750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为 1.6m2，上口宽比渠深多 2m，渠底比渠深多 0.4m． （1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？ （2）如果计划每天挖土 48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？ 教师总结，学生体会 学生独立完成，教师巡视 指导，了解学生掌握情况， 并集中订正 师生归纳总结，学生作笔 记. 教 学 反 思 第二十二章《一元二次方程》小结 一、本章知识结构框图 二、本章知识点概括 1、相关概念 （1）一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次） 的方程，叫做一元二次方程。 （2）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)， 其中 ax2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 （3）一元二次方程的根：一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。 用“夹逼”法估算出一元二次方程的根的取值范围． 一次方程：一元一次方程，二元一次方程，三元方程 整式方程 二次方程：一元二次方程，二元二次方程 *（4）有理方程 高次方程： 分式方程 2、降次——解一元二次方程 （1） 配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法． 配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．其步骤是: ①方程化为一般形式； ②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项； ③化二次项系数为 1； ④配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程左边是完全平方式， 从而原方程化为（mx+n）2=p 的形式； ⑤如果 p≥0 就可以用开平方降次来求出方程的解了，如果 p<0，则原方程无实数根。 （2）公式法：利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 其方法为：先将一元二次方程化为一般形式 ax2+bx+c=0，当⊿＝b2－4ac≥0 时， 将 a、b、c 代入求根公式 x= a2 ac4bb 2  （b2-4ac≥0）就得到方程的根． （3）分解因式法：先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0, 从而降次．这种解法叫做因式分解法．步骤是： ①通过移项将方程右边化为 0； ②通过因式分解将方程左边化为两个一次因式乘积； ③令每个因式等于 0，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，得一元二次方程的解。 3、一元二次方程根的判别式 （1）⊿＝b2－4ac 叫一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式。 （2）运用根的判别式，在不解方程的前提下判别根的情况： ①⊿=b2－4ac ＞0 方程有两个不相等实数根； ②⊿=b2－4ac =0 方程有两个相等实数根； ③⊿=b2－4ac ＜0 方程没有实数根； ④⊿=b2－4ac ≥0 方程有两个实数根。 （3）应用： ①不解方程，判别方程根的情况； ②已知方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围； ③应用判别式证明方程的根的状况（常用到配方法）； 注意：运用根的判别式的前提是该方程是一元二次方程，即：a≠0。 *4、一元二次方程根与系数的关系（本部分内容为选学内容） （1）如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是 21, xx ， 那么 a cxxa bxx  2121 , （2）应用： ①验根，不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； ②已知方程的一个根，求另一根及未知系数的值； ③已知方程的两根满足某种关系，求方程中字母系数的值或取值范围； ④不解方程可以求某些关于 21, xx 的对称式的值，通常利用到： 21 2 21 2 2 2 1 2)( xxxxxx  21 2 21 2 21 4)()( xxxxxx    |a|xx4xx|| 21 2 2121  xx 当 21 xx  =0 且 21xx ≤0，两根互为相反数； 当⊿≥0 且 21xx =1，两根互为倒数。 （重点强调：一元二次方程根与系数的关系是在二次项系数 a≠0，⊿≥0 前提条件下应用的，解题中一定 要注意检验） ⑩用公式法因式分解二次三项式 ax2+bx+c(a≠0)： ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）其中 21, xx 是方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根。 5、实际问题与一元二次方程 传播式分支问题；平均变化率问题；数字问题；利润问题；图形的面积问题；匀变速问题；握手、写信问 题；银行利率问题；浓度问题；方案设计问题等。 三、典型例题辨析 1、在下列方程中，是一元二次方程的有________个． ①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2- 5 x =0 2、当 m 时,关于 x 的方程(m+2)x|m|+3mx+1=0 是一元二次方程. 3、方程 3x2-3=2x+1 的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________． 4、根据下列表格的对应值： x 3.23 3.24 3.2 5 3.2 6 ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.0 3 0.0 9 判断关于 x 的方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根 x 的取值范围是________。 5、已知方程 5x2+mx-6=0 的一个根是 x=3，则 m 的值为________． 6、已知三角形两边长分别为 2 和 4，第三边是方程 x2-4x+3=0 的解，则这个三角形的周长是_____． 7、已知 x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则 x+y+z 的值是_____． 8、已知 2 和 1 是关于 x 的方程 02 2  nmxx 的两个根，则 m 的值为 ， n 的值为 . 9、已知方程 的两根为 ，则 的值为 。 10、一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡 72 张，则这个小组共_____人． 11、一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大 3，则这个两位数为_______． 12、解下列方程： ⑴ 0642  xx ⑵ xx 732 2  ⑶ 0122 1 2  xx ⑷    2523  xxx 13、若关于 x 的一元二次方程 0622  xax 有两个实数根，求 a 的取值范围. 14、已知方程 x2+(2k+1)x+k2-2=0 的两实根的平方和等于 11,求 k 的值。 15、k 为何值时，方程 x2-（k+1）x+(k-2)=0 （1）两根互为相反数；（2）两根互为倒数；（3）有一根为零，另一根不为零. 16、如图，在 Rt△ACB 中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点 P、Q 同时由 A，B两点出发分别沿 AC、BC 方 向向点 C 匀速移动，它们的速度都是 1m/s，几秒后△PCQ的面积为 Rt△ACB 面积的一半． B C A Q www.czsx.com.cn P 17、某电脑公司 2001 年的各项经营中，一月份的营业额为 200 万元，一月、二月、三月的营业额共 950 万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．（50%） 18、在一块长 12m，宽 8m 的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为 8m2的长方形花台，要使花坛四周 的宽地宽度一样，则这个宽度为多少? 19、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件赢利 40 元，为了扩大销售，增加盈利，尽 快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多 售出 2 件． ①若商场平均每天赢利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？（x1=10，x2=20） ②每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？请你设计销售方案．（1250 元） 20、一辆汽车以 20m/s 的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行 25m 后停车． （1）从刹车到停车用了多少时间? （2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少? （3）刹车后汽车滑行到 15m 时约用了多少时间（精确到 0.1s）? 作业：必做：P53：1-10 选做：P54：11、12 教 学 反 思 教学时间 课题 23.1 图形的旋转（1） 课型 新授课 教 学 目 标 知 识 和 能 力 了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念，了解旋转对应点的概念及其应用它们解决一些 实际问题． 过 程 和 方 法 通过复习平移、轴对称的有关概念及性质，从生活中的数学开始，经历观察，产生概念， 应用概念解决一些实际问题． 情 感 态 度 价值观 让学生经历观察、操作等过程，了解图形旋转的概念，激发学习热情． 教学重点 旋转及对应点的有关概念及其应用． 教学难点 从活生生的数学中抽出概念． 教学准备 教师 学生 课 堂 教 学 程 序 设 计 二 次 备 课 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下面各题． 1．将如图所示的四边形 ABCD 平移，使点 B 的对应点为点 D，作出平移后的图形． 2．如图，已知△ABC 和直线 L，请你画出△ABC 关于 L 的对称图形△A′B′C′． 3．圆是轴对称图形吗？等腰三角形呢？你还能指出其它的吗？ （口述）老师点评并总结： （1）平移的有关概念及性质． （2）如何画一个图形关于一条直线（对称轴）的对称图形并口述它既有的一 些性质． （3）什么叫轴对称图形？ 二、探索新知 我们前面已经复习平移等有关内容，生活中是否还有其它运动变化呢？回答是 肯定的，下面我们就来研究． 1．请同学们看讲台上的大时钟，有什么在不停地转动？旋绕什么点呢？从现 在到下课时钟转了多少度？分针转了多少度？秒针转了多少度？ （口答）老师点评：时针、分针、秒针在不停地转动，它们都绕时针的中心． 如果从现在到下课时针转了_______度，分针转了_______度，秒针转了______度． 2．再看我自制的好像风车风轮的玩具，它可以不停地转动．如何转到新的位置？ （老师点评略） 3．第 1、2 两题有什么共同特点呢？ 共同特点是如果我们把时针、风车风轮当成一个图形，那么这些图形都可以绕 着某一固定点转动一定的角度． 像这样，把一个图形绕着某一点 O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点 O 叫 做旋转中心，转动的角叫做旋转角． 如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点． 下面我们来运用这些概念来解决一些问题． 例 1．如图，如果把钟表的指针看做三角形 OAB，它绕 O 点按 顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中： （1）旋转中心是什么？旋转角是什么？ （2）经过旋转，点 A、B 分别移动到什么位置？ 解：（1）旋转中心是 O，∠AOE、∠BOF 等都是旋转角． （2）经过旋转，点 A 和点 B 分别移动到点 E 和点 F 的位置． 例 2．（学生活动）如图，四边形 ABCD、四边形 EFGH 都是边长为 1 的正方形． （1）这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的？ （2）请画出旋转中心和旋转角． （3）指出，经过旋转，点 A、B、C、D 分别移到什么位置？ （老师点评） （1）可以看做是由正方形 ABCD 的基本图案通过旋转而得到 的．（2）画图略．（3）点 A、点 B、点 C、点 D 移到的位置是点 E、点 F、点 G、点 H． 最后强调，这个旋转中心是固定的，即正方形对角线的交点，但旋转角和对应 点都是不唯一的． 三、巩固练习 教材 P56 练习 1、2、3． 四、应用拓展 例 3．两个边长为 1 的正方形，如图所示，让一个正方形的顶点与另一个正方 形中心重合，不难知道重合部分的面积为 1 4 ，现把其中一个正方形固定不动，另一 个正方形绕其中心旋转，问在旋转过程中，两个正方形重叠部分面积是否发生变化？ 说明理由． 分析：设任转一角度，如图中的虚线部分，要说明旋转后正方形重叠部分面积 不变，只要说明 S△OEE`=S△ODD`，那么只要说明△OEF′≌△ODD′． 解：面积不变． 理由：设任转一角度，如图所示． 在 Rt△ODD′和 Rt△OEE′中 ∠ODD′=∠OEE′=90° ∠DOD′=∠EOE′=90°-∠BOE OD=OD ∴△ODD′≌△OEE′ ∴S△ODD`=S△OEE` ∴S 四边形 OE`BD`=S 正方形 OEBD= 1 4 五、归纳小结（学生总结，老师点评） 本节课要掌握： 1．旋转及其旋转中心、旋转角的概念． 2．旋转的对应点及其它们的应用． 作业 设计 必做 教材 P59:1、2、3． 选做 P60：6 教 学 反 思 教学时间 课题 23.1 图形的旋转(2) 课型 新授课 教 学 目 标 知 识 和 能 力 理解对应点到旋转中心的距离相等；理解对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转 角；理解旋转前、后的图形全等．掌握以上三个图形的旋转的基本性质的运用． 过 程 和 方 法 先复习旋转及其旋转中心、旋转角和旋转的对应点概念，接着用操作几何、实验探究图 形的旋转的基本性质． 情 感 态 度 价值观 从事图形旋转基本性质的探索活动，进一步发展空间观察，培养运动几何的观点，增强 审美意识． 教学重点 图形的旋转的基本性质及其应用． 教学难点 运用操作实验几何得出图形的旋转的三条基本性质． 教学准备 教师 学生 课 堂 教 学 程 序 设 计 二 次 备 课 一、复习引入 （学生活动）老师口问，学生口答． 1．什么叫旋转？什么叫旋转中心？什么叫旋转角？ 2．什么叫旋转的对应点？ 3．请独立完成下面的题目． 如图，O 是六个正三角形的公共顶点，正六边形 ABCDEF 能否看做 是某条线段绕 O 点旋转若干次所形成的图形？ （老师点评）分析：能．看做是一条边（如线段 AB）绕 O 点，按 照同一方法连续旋转 60°、120°、180°、240°、300°形成的． 二、探索新知 上面的解题过程中，能否得出什么结论，请回答下面的问题： 1．A、B、C、D、E、F 到 O 点的距离是否相等？ 2．对应点与旋转中心所连线段的夹角∠BOC、∠COD、∠DOE、∠EOF、∠FOA 是 否相等？ 3．旋转前、后的图形这里指三角形△OAB、△OBC、△OCD、△ODE、△OEF、△ OFA 全等吗？ 老师点评：（1）距离相等，（2）夹角相等，（3）前后图形全等，那么这个是否 有一般性？下面请看这个实验． 请看我手里拿着的硬纸板，我在硬纸板上挖下一个三角形 的洞，再挖一个点 O 作为旋转中心，把挖好的硬纸板放在黑板 上，先在黑板上描出这个挖掉的三角形图案（△ABC），然后围 绕旋转中心 O 转动硬纸板，在黑板上再描出这个挖掉的三角形 （△A′B′C′），移去硬纸板． （分组讨论）根据图回答下面问题（一组推荐一人上台说 明） 1．线段 OA 与 OA′，OB 与 OB′，OC 与 OC′有什么关系？ 2．∠AOA′，∠BOB′，∠COC′有什么关系？ 3．△ABC 与△A′B′C′形状和大小有什么关系？ 老师点评：1．OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′，也就是对应点到旋转中心相等． 2．∠AOA′=∠BOB′=∠COC′，我们把这三个相等的角，即对应点与旋转中心 所连线段的夹角称为旋转角． 3．△ABC 和△A′B′C′形状相同和大小相等，即全等． 综合以上的实验操作和刚才作的（3），得出 （1）对应点到旋转中心的距离相等； （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （3）旋转前、后的图形全等． 例 1．如图，△ABC 绕 C 点旋转后，顶点 A 的对应点为点 D，试 确定顶点 B对应点的位置，以及旋转后的三角形． 分析：绕 C 点旋转，A 点的对应点是 D 点，那么旋转角就是∠ ACD，根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即∠BCB′ =ACD，又由对应点到旋转中心的距离相等，即 CB=CB′，就可确定 B′的位置，如图所示． 解：（1）连结 CD （2）以 CB 为一边作∠BCE，使得∠BCE=∠ACD （3）在射线 CE 上截取 CB′=CB 则 B′即为所求的 B 的对应点． （4）连结 DB′ 则△DB′C 就是△ABC 绕 C 点旋转后的图形． 例 2．如图，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，且 DE= 1 4 ，△ ABF 是△ADE 的旋转图形． （1）旋转中心是哪一点？ （2）旋转了多少度？ （3）AF 的长度是多少？ （4）如果连结 EF，那么△AEF 是怎样的三角形？ 分析：由△ABF 是△ADE 的旋转图形，可直接得出旋转中心和旋转角，要求 AF 的长度，根据旋转前后的对应线段相等，只要求 AE 的长度，由勾股定理很容易得到． △ABF 与△ADE 是完全重合的，所以它是直角三角形． 解：（1）旋转中心是 A 点． （2）∵△ABF 是由△ADE 旋转而成的 ∴B 是 D 的对应点 ∴∠DAB=90°就是旋转角 （3）∵AD=1，DE= 1 4 ∴AE= 2 211 ( )4  = 17 4 ∵对应点到旋转中心的距离相等且 F 是 E 的对应点 ∴AF= 17 4 （4）∵∠EAF=90°（与旋转角相等）且 AF=AE ∴△EAF 是等腰直角三角形． 三、巩固练习 教材 P58 练习 1、2． 四、应用拓展 例 3．如图，K 是正方形 ABCD 内一点，以 AK 为一边作正方形 AKLM， 使 L、M在 AK 的同旁，连接 BK 和 DM，试用旋转的思想说明线段 BK 与 DM 的关系． 分析：要用旋转的思想说明就是要用旋转中心、旋转角、对应 点的知识来说明． 解：∵四边形 ABCD、四边形 AKLM 是正方形 ∴AB=AD，AK=AM，且∠BAD=∠KAM 为旋转角且为 90° ∴△ADM 是以 A 为旋转中心，∠BAD 为旋转角由△ABK 旋转而成的 ∴BK=DM 五、归纳小结（学生总结，老师点评） 本节课应掌握： 1．对应点到旋转中心的距离相等； 2．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 3．旋转前、后的图形全等及其它们的应用． 作业 设计 必做 教材 P60 4、5． 选做 P60：7 教 学 反 思 教学时间 课题 23.1 图形的旋转(3) 课型 新授课 教 学 目 标 知 识 和 能 力 理解选择不同的旋转中心、不同的旋转角度，会出现不同的效果，掌握根据需要用旋转 的知识设计出美丽的图案． 过 程 和 方 法 复习图形旋转的基本性质，着重强调旋转中心和旋转角然后应用已学的知识作图，设计 出美丽的图案． 情 感 态 度 价值观 让学生从事应用所学的知识进行图案设计的活动，享受成功的喜悦，激发学习热情． 教学重点 用旋转的有关知识画图． 教学难点 根据需要设计美丽图案． 教学准备 教师 学生 课 堂 教 学 程 序 设 计 二 次 备 课 一、复习引入 1．（学生活动）老师口问，学生口答． （1）各对应点到旋转中心的距离有何关系呢？ （2）各对应点与旋转中心所连线段的夹角与旋转角有何关系？ （3）两个图形是旋转前后的图形，它们全等吗？ 2．请同学独立完成下面的作图题． 如图，△AOB 绕 O 点旋转后，G 点是 B 点的对应点，作 出△AOB 旋转后的三角形． （老师点评）分析：要作出△AOB 旋转后的三角形，应 找出三方面：第一，旋转中心：O；第二，旋转角：∠BOG； 第三，A 点旋转后的对应点：A′． 二、探索新知 从上面的作图题中，我们知道，作图应满足三要素：旋转中心、旋转角、对应 点，而旋转中心、旋转角固定下来，对应点就自然而然地固定下来．因此，下面就 选择不同的旋转中心、不同的旋转角来进行研究． 1．旋转中心不变，改变旋转角 画出以下图所示的四边形 ABCD 以 O 点为中心，旋转角分别为 30°、60°的旋转 图形． 2．旋转角不变，改变旋转中心 画出以下图，四边形 ABCD 分别为 O、O 为中心，旋转角都为 30°的旋转图形． 因此，从以上的画图中，我们可以得到旋转中心不变，改变旋转角与旋转角不 变，改变旋转中心会产生不同的效果，所以，我们可以经过旋转设计出美丽的图案． 例 1．如下图是菊花一叶和中心与圆圈，现以 O为旋转中心画出分别旋转 45°、 90°、135°、180°、225°、270°、315°的菊花图案． 分析：只要以 O 为旋转中心、旋转角以上面为变化，旋转长度为 菊花的最长 OA，按菊花叶的形状画出即可． 解：（1）连结 OA （2）以 O 点为圆心，OA 长为半径旋转 45°，得 A． （3）依此类推画出旋转角分别为 90°、135°、180°、225°、270°、 315°的 A、A、A、A、A、A． （4）按菊花一叶图案画出各菊花一叶． 那么所画的图案就是绕 O 点旋转后的图形． 例 2．（学生活动）如图，如果上面的菊花一叶，绕下 面的点 O′为旋转中心，请同学画出图案，它还是原来的 菊花吗？ 老师点评：显然，画出后的图案不是菊花，而是另外 的一种花了． 三、巩固练习 教材 P59 练习． 四、应用拓展 例 3．如图，如何作出该图案绕 O 点按逆时针旋转 90°的图形． 分析：该备案是一个比较复杂的图案，是作出几个复合 图形组成的图案，因此，要先画出图中的关键点，这些关键 点往往是图案里线的端点、角的顶点、圆的圆心等，然后再 根据旋转的特征，作出这些关键点的对应点，最后再按原图 案作出旋转后的图案． 解：（1）连结 OA，过 O 点沿 OA 逆时针作∠AOA′=90°， 在射线 OA′上截取 OA′=OA； （2）用同样的方法分别求出 B、C、D、E、F、G、H 的对应点 B′、C′、D′、E′、 F′、G′、H′； （3）作出对应线段 A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′F′、F′A′、A′ G′、G′D′、D′H′、H′A′； （4）所作出的图案就是所求的图案． 五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 1．选择不同的旋转中心、不同的旋转角，设计出美丽的图案； 2．作出几个复合图形组成的图案旋转后的图案，要先求出图中的关键点── 线的端点、角的顶点、圆的圆心等． 作业 设计 必做 教材 P60： 综合运用 7、8． 选做 P60：9 教 学 反 思 教学时间 课题 23.2 中心对称(1) 课型 新授课 教 学 目 标 知 识 和 能 力 了解中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念及掌握这些概念解决一些问题． 过 程 和 方 法 复习运用旋转知识作图，旋转角度变化，设计出不同的美丽图案来引入旋转 180°的 特殊旋转──中心对称的概念，并运用它解决一些实际问题． 情 感 态 度 价值观 让学生通过独立思考，自主探究和合作交流进一步体会旋转的数学内涵，获得知识，体 验成功，享受学习乐趣． 教学重点 利用中心对称、对称中心、关于中心对称点的概念解决一些问题． 教学难点 从一般旋转中导入中心对称． 教学准备 教师 学生 课 堂 教 学 程 序 设 计 二 次 备 课 一、复习引入 请同学们独立完成下题． 如图，△ABC 绕点 O 旋转，使点 A 旋转到点 D 处，画出 旋转后的三角形，并写出简要作法． 老师点评：分析，本题已知旋转后点 A 的对应点是点 D， 且旋转中心也已知，所以关键是找出旋转角和旋转方向．显 然，逆时针或顺时针旋转都符合要求，一般我们选择小于 180°的旋转角为宜，故本题选择的旋转方向为顺时针方 向；已知一对对应点和旋转中心，很容易确定旋转角．如图，连结 OA、OD，则∠AOD 即为旋转角．接下来根据“任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角” 和“对应点到旋转中心的距离相等”这两个依据来作图即可． 作法：（1）连结 OA、OB、OC、OD； （2）分别以 OB、OB 为边作∠BOM=∠CON=∠AOD； （3）分别截取 OE=OB，OF=OC； （4）依次连结 DE、EF、FD； 即：△DEF 就是所求作的三角形，如图所示． 二、探索新知 问题：作出如图的两个图形绕点 O 旋转 180° 的图案，并回答下列的问题： 1．以 O 为旋转中心，旋转 180°后两个图形是否重合？ 2．各对称点绕 O 旋转 180°后，这三点是否在一条直线上？ 老师点评：可以发现，如图所示的两个图案绕 O 旋转 180°都是重合的，即甲图 与乙图重合，△OAB 与△COD 重合． 像这样，把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果它能够与另一个图形重合， 那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心． 这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． 例 1．如图，四边形 ABCD 绕 D 点旋转 180°，请作出旋转后的图案，写出作法 并回答． （1）这两个图形是中心对称图形吗？如果是对称中心是哪一点？如果不是，请 说明理由． （2）如果是中心对称，那么 A、B、C、D 关于中心的对称点是哪些点． 分析：（1）根据中心对称的定义便直接可知这两个图形是中心对称图形，对称 中心就是旋转中心． （3）旋转后的对应点，便是中心的对称点． 解：作法：（1）延长 AD，并且使得 DA′=AD （2）同样可得：BD=B′D，CD=C′D （3）连结 A′B′、B′C′、C′D，则四边形 A′B′C′D 为所求的四边形，如 图 23-44 所示． 答：（1）根据中心对称的定义便知这两个图形是中心对称图形，对称中心是 D 点． （2）A、B、C、D 关于中心 D 的对称点是 A′、B′、C′、D′，这里的 D′与 D 重合． 例 2．如图，已知 AD 是△ABC 的中线，画出以点 D 为对称中心，与△ABD成中 心对称的三角形． 分析：因为 D 是对称中心且 AD 是△ABC 的中线，所以 C、B 为一对的对应点，因 此，只要再画出 A 关于 D 的对应点即可． 解：（1）延长 AD，且使 AD=DA′，因为 C 点关于 D 的中心对称点是 B（C′），B 点关于中心 D 的对称点为 C（B′） （2）连结 A′B′、A′C′． 则△A′B′C′为所求作的三角形，如图所示． 三、巩固练习 教材 P64 练习 1． 四、应用拓展 例 3．如图，在△ABC 中，∠C=70°，BC=4，AC=4，现将△ABC 沿 CB 方向平移到 △A′B′C′的位置． （1）若平移的距离为 3，求△ABC 与△A′B′C′重叠部分的面积． （2）若平移的距离为 x（0≤x≤4），求△ABC 与△A′B′C′重叠部分的面积 y， 写出 y 与 x 的关系式． 分析：（1）∵BC=4，AC=4 ∴△ABC 是等腰直角三角形，易得△BDC′也是等腰直角三角形且 BC′=1 （2）∵平移的距离为 x，∴BC′=4-x 解：（1）∵CC′=3，CB=4 且 AC=BC ∴BC′=C′D=1 ∴S△BDC`= 1 2 ×1×1= 1 2 （2）∵CC′=x，∴BC′=4-x ∵AC=BC=4 ∴DC′=4-x ∴S△BDC`= 1 2 （4-x）（4-x）= 1 2 x2-4x+8 五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 1．中心对称及对称中心的概念； 2．关于中心的对称点的概念及其运用． 作业 设计 必做 教材 P67： 1． 选做 教 学 反 思 教学时间 课题 23.2 中心对称(2) 课型 新授课 教 学 目 标 知 识 和 能 力 理解关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平 分；理解关于中心对称的两个图形是全等图形；掌握这两个性质的运用． 过 程 和 方 法 复习中心对称的基本概念（中心对称、对称中心，关于中心的对称点），提出问题，让 学生分组讨论解决问题，老师引导总结中心对称的基本性质． 情 感 态 度 价值观 让学生通过独立思考，自主探究和合作交流进一步体会旋转的数学内涵，获得知识，体 验成功，享受学习乐趣． 教学重点 中心对称的两条基本性质及其运用． 教学难点 让学生合作讨论，得出中心对称的两条基本性质． 教学准备 教师 学生 课 堂 教 学 程 序 设 计 二 次 备 课 一、复习引入 （老师口问，学生口答） 1．什么叫中心对称？什么叫对称中心？ 2．什么叫关于中心的对称点？ 3．请同学随便画一三角形，以三角形一顶点为对称中心，画出这个三角形关 于这个对称中心的对称图形，并分组讨论能得到什么结论． （每组推荐一人上台陈述，老师点评） （老师）在黑板上画一个三角形 ABC，分两种情况作两个图形 （1）作△ABC 一顶点为对称中心的对称图形； （2）作关于一定点 O 为对称中心的对称图形． 第一步，画出△ABC． 第二步，以△ABC 的 C 点（或 O 点）为中心，旋转 180°画出△A′B′和△A′B′ C′，如图 1 和用 2 所示． (1) (2) 从图 1 中可以得出△ABC 与△A′B′C 是全等三角形； 分别连接对称点 AA′、BB′、CC′，点 O 在这些线段上且 O 平分这些线段． 下面，我们就以图 2 为例来证明这两个结论． 证明：（1）在△ABC 和△A′B′C′中， OA=OA′，OB=OB′，∠AOB=∠A′OB′ ∴△AOB≌△A′OB′ ∴AB=A′B′ 同理可证：AC=A′C′，BC=B′C′ ∴△ABC≌△A′B′C′ （2）点 A′是点 A 绕点 O 旋转 180°后得到的，即线段 OA 绕点 O旋转 180° 得到线段 OA′，所以点 O 在线段 AA′上，且 OA=OA′，即点 O 是线段 AA′的中点． 同样地，点 O 也在线段 BB′和 CC′上，且 OB=OB′，OC=OC′，即点 O 是 BB′ 和 CC′的中点． 因此，我们就得到 1．关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中 心所平分． 2．关于中心对称的两个图形是全等图形． 例 1．如图，已知△ABC 和点 O，画出△DEF，使△DEF 和△ABC 关于点 O 成中心 对称． 分析：中心对称就是旋转 180°，关于点 O 成中心对称就是绕 O 旋转 180°，因 此，我们连 AO、BO、CO 并延长，取与它们相等的线段即可得到． 解：（1）连结 AO 并延长 AO 到 D，使 OD=OA，于是得到点 A 的对称点 D，如图所 示． （2）同样画出点 B 和点 C 的对称点 E 和 F． （3）顺次连结 DE、EF、FD． 则△DEF 即为所求的三角形． 例 2．（学生练习，老师点评）如图，已知四边形 ABCD 和点 O，画四边形 A′B′ C′D′，使四边形 A′B′C′D′和四边形 ABCD 关于点 O 成中心对称（只保留作图痕 迹，不要求写出作法）． 二、巩固练习 教材 P64： 练习 2． 三、应用拓展 例 3．如图等边△ABC 内有一点 O，试说明：OA+OB>OC． 分析：要证明 OA+OB>OC，必然把 OA、OB、OC 转为在一个三角形内，应用两边之 和大于第三边（两点之间线段最短）来说明，因此要应用旋转．以 A 为旋转中心， 旋转 60°，便可把 OA、OB、OC 转化为一个三角形内． 解：如图，把△AOC 以 A 为旋转中心顺时针方向旋转 60°后，到△AO′B的位 置，则△AOC≌△AO′B． ∴AO=AO′，OC=O′B 又∵∠OAO′=60°，∴△AO′O 为等边三角形． ∴AO=OO′ 在△BOO′中，OO′+OB>BO′ 即 OA+OB>OC 四、归纳小结（学生总结，老师点评） 本节课应掌握： 中心对称的两条基本性质： 1．关于中心对称的两个图形，对应点所连线都经过对称中心，而且被对称中 心所平分； 2．关于中心对称的两个图形是全等图形及其它们的应用． 作业 设计 必做 P68：6、7 选做 P68：8． 教 学 反 思 教学时间 课题 23.2 中心对称(3) 课型 新授课 教 学 目 标 知 识 和 能 力 了解中心对称图形的概念及中心对称图形的对称中心的概念，掌握这两个概念的应用． 过 程 和 方 法 复习两个图形关于中心对称的有关概念，利用这个所学知识探索一个图形是中心对称图 形的有关概念及其它的运用． 情 感 态 度 价值观 从事图形旋转基本性质的探索活动，进一步发展空间观察，培养运动几何的观点，增强 审美意识． 教学重点 中心对称图形的有关概念及其它们的运用． 教学难点 区别关于中心对称的两个图形和中心对称图形． 教学准备 教师 学生 课 堂 教 学 程 序 设 计 二 次 备 课 一、复习引入 1．（老师口问）口答：关于中心对称的两个图形具有什么性质？ （老师口述）：关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而 且被对称中心所平分． 关于中心对称的两个图形是全等图形． 2．（学生活动）作图题． （1）作出线段 AO 关于 O 点的对称图形，如图所示． A O （2）作出三角形 AOB 关于 O 点的对称图形，如图所示． B A O （2）延长 AO 使 OC=AO， 延长 BO 使 OD=BO， 连结 CD 则△COD 为所求的，如图所示． B A C D O 二、探索新知 从另一个角度看，上面的（1）题就是将线段 AB 绕它的中点旋转 180°，因为 OA=OB，所以，就是线段 AB 绕它的中点旋转 180°后与它重合． 上面的（2）题，连结 AD、BC，则刚才的两个关于中心对称的两个图形，就成平 行四边形，如图所示． ∵AO=OC，BO=OD，∠AOB=∠COD ∴△AOB≌△COD ∴AB=CD 也就是，ABCD 绕它的两条对角线交点 O 旋转 180°后与它本身重合． 因此，像这样，把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与 原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． （学生活动）例 1：从刚才讲的线段、平行四边形都是中心对称图形外，每一位 同学举出三个图形，它们也是中心对称图形． 老师点评：老师边提问学生边解答． （学生活动）例 2：请说出中心对称图形具有什么特点？ 老师点评：中心对称图形具有匀称美观、平稳． 例 3．求证：如图任何具有对称中心的四边形是平行四边形． B A C D O 分析：中心对称图形的对称中心是对应点连线的交点，也是对应点间的线段中 点，因此，直接可得到对角线互相平分． 证明：如图，O 是四边形 ABCD 的对称中心，根据中心对称性质，线段 AC、BD 必过点 O，且 AO=CO，BO=DO，即四边形 ABCD 的对角线互相平分，因此，四边形 ABCD 是平行四边形． 三、巩固练习 教材 P66 练习． 四、应用拓展 例 4．如图，矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，若将矩形折叠，使 C 点和 A 点重合， 求折痕 EF 的长． 分析：将矩形折叠，使 C 点和 A 点重合，折痕为 EF，就是 A、C 两点关于 O 点对 称，这方面的知识在解决一些翻折问题中起关键作用，对称点连线被对称轴垂直平 分，进而转化为中垂线性质和勾股定理的应用，求线段长度或面积． 解：连接 AF， ∵点 C 与点 A 重合，折痕为 EF，即 EF 垂直平分 AC． ∴AF=CF，AO=CO，∠FOC=90°，又四边形 ABCD 为矩形，∠B=90°，AB=CD=3， AD=BC=4 设 CF=x，则 AF=x，BF=4-x， 由勾股定理，得 AC2=BC2+AB2=52 ∴AC=5，OC= 1 2 AC= 5 2 ∵AB2+BF2=AF2 ∴32+（4-x）=2=x2 ∴x= 25 8 ∵∠FOC=90° ∴OF2=FC2-OC2=（ 25 8 ）2-（ 5 2 ）2=（15 8 ）2 OF=15 8 同理 OE=15 8 ，即 EF=OE+OF=15 4 五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 1．中心对称图形的有关概念； 2．应用中心对称图形解决有关问题． 作业 设计 必做 教材 P68：2 选做 教材 P68 综合运用 5 教 学 反 思 教学时间 课题 23.2 中心对称（4） 课型 新授课 教 学 目 标 知 识 和 能 力 理解 P 与点 P′点关于原点对称时，它们的横纵坐标的关系，掌握 P（x，y）关于原点 的对称点为 P′（-x，-y）的运用． 过 程 和 方 法 复习轴对称、旋转，尤其是中心对称，知识迁移到关于原点对称的点的坐标的关系及其 运用． 情 感 态 度 价值观 复习平面直角坐标系的有关概念，通过实例归纳出两个点关于原点对称时，坐标符号 之间的关系，并运用它解决一些实际问题．享受成功的喜悦，激发学习热情． 教学重点 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点 P（x，y）关于原点的对称点 P′ （-x，-y）及其运用． 教学难点 运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解决实际问题． 教学准备 教师 学生 课 堂 教 学 程 序 设 计 二 次 备 课 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下面三题． 1．已知点 A 和直线 L，如图，请画出点 A 关于 L 对称的点 A′． 2．如图，△ABC 是正三角形，以点 A 为中心，把△ADC 顺时针 旋转 60°，画出旋转后的图形． 3．如图△ABO，绕点 O 旋转 180°，画出旋转后的图形． 老师点评：老师通过巡查，根据学生解答情况进行点评．（略） 二、探索新知 （学生活动）如图 23-74，在直角坐标系中，已知 A（-3，1）、B（-4，0）、C（0， 3）、D（2，2）、E（3，-3）、F（-2，-2），作出 A、B、C、D、E、F 点关于原点 O 的 中心对称点，并写出它们的坐标，并回答： 这些坐标与已知点的坐标有什么关系？ l A -3 -3 3 O B A C -2 -2 1 -1 y x 3 -4 D 4 2 2 1 -1 老师点评：画法：（1）连结 AO 并延长 AO （2）在射线 AO 上截取 OA′=OA （3）过 A 作 AD′⊥x 轴于 D′点，过 A′作 A′D″⊥x 轴于点 D″． ∵△AD′O 与△A′D″O 全等 ∴AD′=A′D″，OA=OA′ ∴A′（3，-1） 同理可得 B、C、D、E、F 这些点关于原点的中心对称点的坐标． （学生活动）分组讨论（每四人一组）：讨论的内容：关于原点作中心对称时， ①它们的横坐标与横坐标绝对值什么关系？纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关 系？②坐标与坐标之间符号又有什么特点？ 提问几个同学口述上面的问题． 老师点评：（1）从上可知，横坐标与横坐标的绝对值相等，纵坐标与纵坐标的 绝对值相等．（2）坐标符号相反，即设 P（x，y）关于原点 O 的对称点 P′（-x，-y）． 例 1 ． 如 图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与线段 AB关于原点对称的图形． -3 -3 3 O B A -2 -2 1 -1 y x 3 -4 4 2 2 1 -1 分析：要作出线段 AB 关于原点的对称线段，只要作出点 A、点 B 关于原点的对 称点 A′、B′即可． 解：点 P（x，y）关于原点的对称点为 P′（-x，-y）， 因此，线段 AB 的两个端点 A（0，-1），B（3，0）关于原点的对称点分别为 A′ （1，0），B（-3，0）． 连结 A′B′． 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反， 即点 P（x，y）关于原点 O 的对称点 P′（-x，-y）． 则就可得到与线段 AB 关于原点对称的线段 A′B′． （学生活动）例 2．已知△ABC，A（1，2），B（-1，3），C（-2，4）利用关于原 点对称的点的坐标的特点，作出△ABC 关于原点对称的图形． 老师点评分析：先在直角坐标系中画出 A、B、C 三点并连结组成△ABC，要作出 △ABC 关于原点 O 的对称三角形，只需作出△ABC 中的 A、B、C 三点关于原点的对称 点，依次连结，便可得到所求作的△A′B′C′． 三、巩固练习 教材 P67 练习． 四、应用拓展 例 3．如图，直线 AB 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点，将直线 AB 绕点 O 顺 时针旋转 90°得到直线 A1B1． （1）在图中画出直线 A1B1． （2）求出线段 A1B1 中点的反比例函数解析式． （3）是否存在另一条与直线 AB 平行的直线 y=kx+b（我们发现互相平行的两条 直线斜率 k 值相等）它与双曲线只有一个交点，若存在，求此直线的函数解析式， 若不存在，请说明理由． 分析：（1）只需画出 A、B 两点绕点 O 顺时针旋转 90°得到的点 A1、B1，连结 A1B1． （2）先求出 A1B1 中点的坐标，设反比例函数解析式为 y= k x 代入求 k． （3）要回答是否存在，如果你判断存在，只需找出即可；如果不存在，才加予 说明．这一条直线是存在的，因此 A1B1 与双曲线是相切的，只要我们通过 A1B1 的线 段作 A1、B1 关于原点的对称点 A2、B2，连结 A2B2 的直线就是我们所求的直线． 解：（1）分别作出 A、B 两点绕点 O 顺时针旋转 90°得到的点 A1（1，0），B1（2， 0），连结 A1B1，那么直线 A1B1 就是所求的． （2）∵A1B1 的中点坐标是（1， 1 2 ） 设所求的反比例函数为 y= k x 则 1 2 = 1 k ，k= 1 2 ∴所求的反比例函数解析式为 y= 1 2 x （3）存在． ∵设 A1B1：y=k′x+b′过点 A1（0，1），B1（2，0） ∴ 1 ` 0 2 b k b     ∴ ` 1 1` 2 b k    ∴y=- 1 2 x+1 把线段 A1B1 作出与它关于原点对称的图形就是我们所求的直线． 根据点 P（x，y）关于原点的对称点 P′（-x，-y）得： -3 -3 3 O B A -2 -2 1 -1 y x 3 -4 4 2 2 1 -1 A1（0，1），B1（2，0）关于原点的对称点分别为 A2（0，-1），B2（-2，0） ∵A2B2：y=kx+b ∴ 1 0 2 ` b k b       ∴ 1 2 1 k b       ∴A2B2：y=- 1 2 x-1 下面证明 y=- 1 2 x-1 与双曲线 y= 1 2 x 相切 1 12 1 2 y x y x        - 1 2 x-1= 1 2 x  x+2=- 1 x  x2+2x+1=0，b2-4ac=4-4×1×1=0 ∴直线 y=- 1 2 x-1 与 y= 1 2 x 相切 ∵A1B1 与 A2B2 的斜率 k 相等 ∴A2B2 与 A1B1 平行 ∴A2B2：y=- 1 2 x-1 为所求． 五、归纳小结（学生总结，老师点评） 本节课应掌握： 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点 P（x，y），关于原点的对 称点 P′（-x，-y），及其利用这些特点解决一些实际问题． 作业 设计 必做 教材 P67 ：3、4． 选做 P69：9 教 学 反 思 教学时间 课题 23.3 课题学习 图案设计 课型 新授课 教 学 目 标 知 识 和 能 力 利用平移、轴对称和旋转的这些图形变换中的一种或组合进行图案设计，设计出称心如 意的图案． 过 程 和 方 法 通过复习平移、轴对称、旋转的知识，然后利用这些知识让学生开动脑筋，敝开胸怀大 胆联想，设计出一幅幅美丽的图案． 情 感 态 度 价值观 让学生从事应用所学的知识进行图案设计的活动，享受成功的喜悦，激发学习热情． 教学重点 设计图案． 教学难点 如何利用平移、轴对称、旋转等图形变换中的一种或它们的组合得出图案． 教学准备 教师 学生 课 堂 教 学 程 序 设 计 二 次 备 课 一、复习引入 （学生活动）请同学们独立完成下面的各题． 1．如图，已知线段 CD 是线段 AB 平移后的图形，D 是 B点的对称点，作出线 段 AB，并回答，AB 与 CD 有什么位置关系． B C D l C D C D 2．如图，已知线段 CD，作出线段 CD 关于对称轴 L 的对称线段 C′D′，并说 明 CD 与对称线段 C′D′之间有什么关系？ 3．如图，已知线段 CD，作出线段 CD 关于 D 点旋转 90°的旋转后的图形，并 说明这两条线段之间有什么关系？ 老师点评： 1．AB 与 CD 平行且相等； 2．过 D 点作 DE⊥L，垂足为 E 并延长，使 ED′=ED，同理作出 C′点，连结 C′ D′，则 CD′就是所求的．CD 的延长线与 C′D′的延长线相交于一点，这一点在 L 上并且 CD=C′D′． 3．以 D 点为旋转中心，旋转后 CD⊥C′D′，垂足为 D，并且 CD=C′D． 二、探索新知 请用以上所讲的平移、轴对称、旋转等图形变换中的一种或组合完成下面的图 案设计． 例 1．（学生活动）学生亲自动手操作题． 按下面的步骤，请每一位同学完成一个别致的图案． （1）准备一张正三角形纸片（课前准备）（如图 a） （2）把纸片任意撕成两部分（如图 b，如图 c） （3）将撕好的如图 b 沿正三角形的一边作轴对称，得到新的图形． （4）并将（3）得到的图形以正三角形的一个顶点作为旋转中心旋转，得到如 图（d）（如图 c）保持不动） （5）把如图（d）平移到如图（c）的右边，得到如图（e） （6）对如图（e）进行适当的修饰，使得到一个别致美丽的如图（f）的图案． 老师必要时可以给予一定的指导． 三、巩固练习 教材 P73 活动 1． 四、应用拓展 例 2．（学生活动）请利用线段、三角形、矩形、菱形、圆作为基本图形，绘制 一幅反映你身边面貌的图案，并在班级里交流展示． 老师点评：老师点到为止，让学生自由联想，老师也可在黑板上设计一、二图 案． 五、归纳小结 本节课应掌握： 利用平移、轴对称和旋转的图形变换中的一种或组合设计图案． 作业 设计 必做 教材 P73： 活动 2 选做 P76： 6、7． 教 学 反 思 第二十三章《旋转》小结 一、旋转变换 1、旋转的定义 把一个图形绕着某一点 O 转动一个角度的图形变换叫做旋转。点 O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角， 如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P＇,那么这两个点叫做这个旋转的对应点。 2、旋转的性质 （1）对应点到旋转中心的距离相等。（旋转中心就是各对应点所连线段的垂直平分线的交点。） （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 （3）旋转前、后的图形全等。 3、作旋转后的图形的一般步骤 （1）明确三个条件：旋转中心，旋转方向，旋转角度； （2）确定关键点，作出关键点旋转后的对应点； （3）顺次连结。 4、欣赏较复杂旋转图形 图形是由什么基本图形，以哪个点为中心，按哪个方向（顺时针或逆时针）旋转多少度，连续旋转几次， 便得到美丽的图案。 5、有关图形旋转的一些计算题和证明题 二、中心对称 1、中心对称的定义 把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对 称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。 2、中心对称的性质 （1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平所平分。 （2）关于中心对称的两个图形是全等形。 3、作中心对称和图形的一般步骤 （1）确定“代表性的点”； （2）作出每个代表性的点的对应点； （3）顺次连结。 三、中心对称图形 1、中心对称图形的定义 把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心 对称图形，这个点就是它的对称中心，过对称中心的直线，可以把图形分成完全重合的两部分。 2、中心对称图形的识别 常见的几何图形，如：线段、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圆，26 个大写 英文字母（7 个），正多边等要会识别，并指出对称中心。 3、两个图形成中心对称和中心对称图形的区别与联系 区别： （1）中心对称是指两个图形的位置关系，而中心对称图形是指一个具有特殊形状的图形。 （2）研究对象的个数不同，中心对称指两个图形，而中心对称图形只研究一个对象。 （3）中心对称图形的对称中心是图形自身或内部的点，而两个图形关于某点成中心对称，对称中心不定。 联系： 两者均是关于点的对称，它们之间无绝对界限，当把两个图形看作整体时，即为中心对称图形，若把中心 对称图形看作两部分则两部就可以关于一点成中心对称。 4、中心对称图形和轴对称图形的关系 （1）对称轴条数为正偶数的轴对称图形是中心对称图形，对称中心是对称轴的交点； （2）对称轴条数相互垂直的轴对称图形是中心对称图形。 （3）轴对称图形是翻转 180°与自身重合，而中心对称图形是旋转 180°与自身重合。 四、关于原点对称的点的坐标 1、关于原点对称的点的坐标特征：点 P（x，y）关于原点的对称点为 P＇（-x，-y）. 2、作关于原点成中心对称的图形的步骤： （1）写出各点关于原点对称的点的坐标； （2）在坐标平面内描出这些对称点的位置； （3）顺次连接各点即为所求作的对称图形。 作业：必做：P75：1、2、3 选做：P75：4、5 教 学 反 思 教学时间 课题 24.1.1 圆 课型 新授课 教 学 目 标 知 识 和 能 力 探索圆的两种定义，理解并掌握弧、弦、优弧、劣弧、半圆等基本概念，能够从图形中 识别． 过 程 和 方 法 体会圆的不同定义方法，感受圆和实际生活的联系． 培养学生把实际问题转化为数学问题的能力． 情 感 态 度 价值观 在解决问题过程中使学生体会数学知识在生活中的普遍性． 教学重点 圆的两种定义的探索，能够解释一些生活问题． 教学难点 圆的运动式定义方法 教学准备 教师 学生 课 堂 教 学 程 序 设 计 二 次 备 课 一、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容 活动 1：如图 1，观察下列图形，从中找出共同特点． 图 1 学生活动设计： 学生观察图形，发现图中都有圆，然后回答问题，此时学生可以再举出一些生活中 类似的图形． 教师活动设计： 让学生观察图形，感受圆和实际生活的密切联系，同时激发学生的学习渴望以及探 究热情． 二、问题引申，探究圆的定义，培养学生的探究精神 活动 2：如图 2，观察下列画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗？（课件：画 圆） 图 2 学生活动设计： 学生小组合作、分组讨论，通过动画演示，发现在一个平面内一条线段 OA 绕它的一 个端点 O 旋转一周，另一个端点形成的图形就是圆． 教师活动设计： 在学生归纳的基础上，引导学生对圆的一些基本概念作一界定： 圆：在一个平面内，一条线段 OA 绕它的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形 成的图形叫作圆； 圆心：固定的端点叫作圆心； 半径：线段 OA 的长度叫作这个圆的半径． 圆的表示方法：以点 O 为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆 O”． 同时从圆的定义中归纳： （1）圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． 于是得到圆的第二定义： 所有到定点的距离等于定长的点组成的图形叫作圆． 活动 3：讨论圆中相关元素的定义．如图 3，你能说出弦、 直径、弧、半圆的定义吗？ 图 3 学生活动设计： 学生小组讨论，讨论结束后派一名代表发言进行交流，在交流中逐步完善自己的结 果． 教师活动设计： 在学生交流的基础上得出上述概念的严格定义，对于学生的不准确的叙述，可以让 学生讨论解决． 弦：连接圆上任意两点的线段叫作弦； 直径：经过圆心的弦叫作直径； 弧：圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧； 弧的表示方法：以 A、B 为端点的弧记作 AB ，读作“圆弧 AB”或“弧 AB”； 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆． 优弧：大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如图 3 中的 ABC ； 劣弧：小于半圆的弧叫作劣弧，如图 3 中的 BC ． 活动 4：讨论，车轮为什么做成圆形？如果做成正方形会有什么结果？ （课件：车轮；课件：方形车轮） 学生活动设计： 学生首先根据对圆的概念的理解独立思考，然后进行分组讨论，最后进行交流． 教师活动设计： 引导学生进行如下分析：如图 4，把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心） 的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不 变，因此当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳；如果做成其他 图形，比如正方形，正方形的中心（对角线的交点）距离地面的距离随着正方形的 滚动而改变，因此中心到地面的距离就不是保持不变，因此不稳定． 图 4 三、应用提高，培养学生的应用意识和创新能力 活动 5：如何在操场上画一个半径是 5 m 的圆？说出你的理由 师生活动设计： 教师鼓励学生独立思考，让学生表述自己的方法．根据圆的定义可以知道，圆是一 条线段绕一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形，所以可以用一条长 5m 的绳 子，将绳子的一端 A 固定，然后拉紧绳子的另一端 B，并绕 A 在地上转一圈．B 所经 过的路径就是所要的圆． 活动 6：从树木的年轮，可以很清楚地看出树生长的年龄．如果 一棵 20 年树龄的红杉树的树干直径是 23 cm，这棵红杉树平均每 年半径增加多少？ 图 5 师生活动设计： 首先求出半径，然后除以 20 即可． 〔解答〕树干的半径是 23÷2＝11．5（cm）． 平均每年半径增加 11．5÷20＝0．575（cm）． 小结：圆的两种定义以及相关概念． 作业 设计 必做 请做一个正方形的车轮，体会在车轮滚动的过程中车身的情况． 选做 教 学 反 思 教学时间 课题 24．1．2 垂直于弦的直径 课型 新授课 教 学 目 标 知 识 和 能 力 探索圆的对称性，进而得到垂直于弦的直径所具有的性质； 能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题． 过 程 和 方 法 在探索问题的过程中培养学生的动手操作能力，使学生感受圆的对称性，体会圆的一些 性质，经历探索圆的对称性及相关性质的过程． 进一步体会和理解研究几何图形的各种方法；培养学生独立探索，相互合作交流的精神． 情 感 态 度 价值观 使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动 精神． 教学重点 垂直于弦的直径所具有的性质以及证明． 教学难点 利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题． 教学准备 教师 学生 课 堂 教 学 程 序 设 计 二 次 备 课 一、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容 活动 1：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了 什么？由此你能得到什么结论？（课件：探究圆的性质） 学生活动设计： 学生动手操作，观察操作结果，可以发现沿着圆的任意一条直径对折，直径两 旁的部分能够完全重合，由此可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在 直线都是它的对称轴． 教师活动设计： 在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和简洁性． 二、问题引申，探究垂直于弦的直径的性质，培养学生的探究精神 活动 2：按下面的步骤做一做： 第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的 两半部分重合； 第二步，得到一条折痕 CD； 第三步，在⊙O 上任取一点 A，过点 A 作 CD 折痕的垂线，得到新的折痕，其中 点 M 是两条折痕的交点，即垂足； 第四步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点 B，如图 1． 图 1 图 2 在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧?为什么？(课件： 探究垂径定理) 学生活动设计：如图 2 所示，连接 OA、OB，得到等腰△OAB，即 OA＝OB．因 CD⊥AB，故△OAM 与△OBM 都是直角三角形，又 OM 为公共边，所以两个直 角三角形全等，则 AM＝BM．又⊙O 关于直径 CD 对称，所以 A 点和 B 点关于 CD 对称，当圆沿着直径 CD 对折时，点 A 与点 B 重合， AC 与 BC 重合．因此 AM=BM， AC = BC ，同理得到  AD BD ． 教师活动设计： 在学生操作、分析、归纳的基础上，引导学生归纳垂直于弦的直径的性质： （1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 活动 3：如图 3，AB 所在圆的圆心是点 O，过 O 作 OC⊥AB 于点 D，若 CD=4 m， 弦 AB=16 m，求此圆的半径． 图 3 学生活动设计： 学生观察图形，利用垂直于弦的直径的性质分析图形条件，发现若 OC⊥AB，则 有 AD=BD，且△ADO 是直角三角形，在直角三角形中可以利用勾股定理构造方 程． 教师活动设计： 在学生解决问题的基础上引导学生进行归纳：弦长、半径、拱形高、弦心距（圆 心到弦的距离）四个量中，只需要知道两个量，其余两个量就可以求出来． 〔解答〕设圆的半径为 R，由条件得到 OD=R－4，AD=8， 在 Rt△ADO 中 2 2 2AO OD AD  ，即 2 2 2( 4) 8R R   ． 解得 R＝10（m）． 答：此圆的半径是 10 m． 活动 4：如图 4，已知 AB ，请你利用尺规作图的方法作出 AB 的中点，说出你 的作法． B A 图 4 师生活动设计： 根据基本尺规作图可以发现不能直接作出弧的中点，但是利用垂径定理只需要 作出弧所对的弦的垂直平分线，垂直平分线与弧的交点就是弧的中点． 〔解答〕1．连接 AB； 2．作 AB 的中垂线，交 AB 于点 C，点 C 就是所求的点． 三、拓展创新，培养学生思维的灵活性以及创新意识． 活动 5 解决下列问题 1．如图 5，某条河上有一座圆弧形拱桥 ACB，桥下面水面宽度 AB 为 7．2 米， 桥的最高处点 C 离水面的高度 2．4 米．现在有一艘宽 3 米，船舱顶部为方形并 高出水面 2 米的货船要经过这里，问：这艘船是否能够通过这座拱桥？说明理 由． A B C M E O A B G H F D C 图 5 图 6 学生活动：学生根据实际问题，首先分析题意，然后采取一定的策略来说明能 否通过这座拱桥，这时要采取一定的比较量，才能说明能否通过，比如，计算 一下在上述条件下，在宽度为 3 米的情况下的高度与 2 米作比较，若大于 2 米 说明不能经过，否则就可以经过这座拱桥． 〔解答〕如图 6，连接 AO、GO、CO，由于弧的最高点 C 是弧 AB 的中点，所以 得到 OC⊥AB，OC⊥GF， 根据勾股定理容易计算 OE=1．5 米， OM=3．6 米． 所以 ME=2．1 米，因此可以通过这座拱桥． 2．银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如 图 7 所示，污水水面宽度为 60 cm，水面至管道顶部距离为 10 cm，问修理人员 应准备内径多大的管道? 图 7 图 8 师生活动设计：让学生在探究过程中，进一步把实际问题转化为数学问题，掌 握通过作辅助线构造垂径定理的基本结构图，进而发展学生的思维． 〔解答〕 如图 8 所示，连接 OA，过 O 作 OE⊥AB，垂足为 E，交圆于 F， 则 AE= 2 1 AB = 30 cm．令⊙O 的半径为 R， 则 OA=R，OE＝OF-EF＝R-10． 在 Rt△AEO 中，OA2=AE2+OE2，即 R2=302+(R-10)2． 解得 R =50 cm． 修理人员应准备内径为 100 cm 的管道． 小结：垂直于弦的直径的性质，圆对称性． 作业 设计 必做 习题 24．1 第 1 题，第 8 题，第 9 题． 选做 教 学 反 思 教学时间 课题 24．1．3 弧、弦、圆心角 课型 新授课 教 学 目 标 知 识 和 能 力 通过探索理解并掌握: （1）圆的旋转不变性； （2）圆心角、弧、弦之间相等关系定理； 过 程 和 方 法 （1）通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念、推理能力以及概括 问题的能力； （2）利用圆的旋转不变性，研究圆心角、弧、弦之间相等关系定理． 学生在探索圆周角与圆心角的关系的过程中，学会运用分类讨论的数学思想，转化的数 学思想解决问题． 情 感 态 度 价值观 培养学生积极探索数学问题的态度及方法． 教学重点 探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题． 教学难点 圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明． 教学准备 教师 学生 课 堂 教 学 程 序 设 计 二 次 备 课 一、一、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容 活动 1 1.按下面的步骤做一做： (1)在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O 和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下； (2)在⊙O 和⊙O′上分别作相等的圆心角∠AOB 和∠A′O′B′，如图 1 所示，圆心 固定． 注意：在画∠AOB 与∠A′O′B′时，要使 OB 相对于 OA 的方向与 O′B′相对于 O′A′的方 向一致，否则当 OA 与 OA′重合时，OB 与 O′B′不能重合． 图 1 (3)将其中的一个圆旋转一个角度．使得 OA 与 O′A′重合． 通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下，说一说你的 理由． (课件：探究三量关系) 师生活动设计： 教师叙述步骤，同学们一起动手操作． 由已知条件可知∠AOB＝∠A′O′B′；由 两圆的半径相等，可以得到∠OAB＝∠OBA＝∠O′A′B′=∠O′B′A′；由△AOB≌△ A′O′B′，可得到 AB＝A′B′；由旋转法可知  ' 'AB A B ． 在学生分析完毕后，教师指出在上述做一做的过程中发现，固定圆心，将其中 一个圆旋转一个角度，使半径 OA 与 O′A′重合时，由于∠AOB＝∠A′O′B′．这样便得 到半径 OB 与 O′B′重合．因为点 A 和点 A′重合，点 B 和点 B′重合，所以 AB 和 ' 'A B 重合，弦 AB 与弦 A′B′重合，即  ' 'AB A B ，AB=A′B′． 进一步引导学生语言归纳圆心角、弧、弦之间相等关系定理： 在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 2．根据对上述定理的理解，你能证明下列命题是正确的吗？ （1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的 弦相等； （2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的 优（劣）弧相等． 师生活动设计： 本问题由学生在思考的基础上讨论解决，可以证明上述命题是真命题． 二、主体活动，巩固新知，进一步理解三量关系定理． 活动 2： 1．如图 2，在⊙O 中，  AB AC ，∠ACB＝60°，求证∠AOB=∠AOC=∠BOC． O A B C 图 2 学生活动设计： 学生独立思考，根据对三量定理的理解加以分析．由  AB AC ，得到 AB AC ，△ABC 是等腰三角形，由∠ACB＝60°，得到△ABC 是等边三角形， AB=AC=BC，所以得到∠AOB=∠AOC=∠BOC． 教师活动设计： 这个问题是对三量关系定理的简单应用，因此应当让学生独立解决，在必要时 教师可以进行适当的启发和提醒，最后学生交流自己的做法． 〔证明〕∵  AB AC ∴ AB=AC，△ABC 是等腰三角形． 又 ∠ACB＝60°， ∴ △ABC 是等边三角形，AB=BC=CA． ∴ ∠AOB=∠AOC=∠BOC． 2．如图 3，AB 是⊙O 的直径，BC、CD、DA 是⊙O 的弦， 且 BC＝CD＝DA，求∠BOD 的度数． 图 3 学生活动设计： 学生分析，由 BC＝CD＝DA 可以得到这三条弦所对的圆心角相等，所以考虑连 接 OC，得到∠AOD=∠DOC=∠BOC，而 AB 是直径，于是得到∠BOD＝ 2 3 ×180°＝ 120°． 教师活动设计： 此问题的解决方式和活动 3 类似，不过要注意学生对辅助线 OC 的理解，添加辅 助线 OC 的原因． 三、拓展创新、应用提高，培养学生的应用意识和创新能力 活动 3：定理“在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等” 中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？ 师生活动设计： 小组讨论，可以在教师的引导下，举出反例说明条件“在同圆或等圆中”不能 去掉，比如可以请同学们画一个只能是圆心角相等的这个条件的图． 如图 4 所示，虽然∠AOB=∠A′O′B′，但 AB≠A′B′，弧 AB≠弧 A′B′． 图 4 教师进一步引导学生用同样的思路考虑命题：（1）在同圆或等圆中，如果两条 弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；（2）在同圆或等圆中， 如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等中的条 件“在同圆和等圆中”是否能够去掉． 小结：弦、圆心角、弧三量关系． 作业 设计 必做 习题 24．1 第 2、3 题，第 10 题． 选做 P88：11、12 教 学 反 思 教学时间 课题 24.1.4 圆周角 课型 新授课 教 学 目 标 知 识 和 能 力 1．了解圆周角与圆心角的关系． 2．探索圆周角的性质和直径所对圆周角的特征． 3．能运用圆周角的性质解决问题． 过 程 和 方 法 1．通过观察、比较，分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理 能力． 2．通过观察图形，提高学生的识图能力． 3．通过引导学生添加合理的辅助线，培养学生的创造力． 4．学生在探索圆周角与圆心角的关系的过程中，学会运用分类讨论的数学思想、转化 的数学思想解决问题． 情 感 态 度 价值观 引导学生对图形的观察发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题 的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心． 教学重点 探索圆周角与圆心角的关系，发现圆周角的性质和直径所对圆周角的特征． 教学难点 发现并论证圆周角定理． 教学准备 教师 学生 问题与情境 师生行为 二 次 备 课 [活动 1 ] 演示课件或图片： 教师演示课件或图片：展示 一个圆柱形的海洋馆． 教师解释：在这个海洋馆里， 人们可以通过其中的圆弧形玻璃 窗 AB 观看窗内的海洋动物． 教师出示海洋馆的横截面示 意图，提出问题． 教师结合示意图，给出圆周 角的定义．利用几何画板演示， 让学生辨析圆周角，并引导学生 将问题 1、问题 2 中的实际问题转 化 成 数 学 问 题 ： 即 研 究 同 弧 问题 1 如图：同学甲站在圆心 O 的 位置，同学乙站在正对着玻璃窗 的靠墙的位置 C，他们的视角 （ AOB 和 ACB ）有什么关 系？ 问题 2 如果同学丙、丁分别站在其 他靠墙的位置 D 和 E，他们的视 角（ ADB 和 AEB ）和同学乙 的视角相同吗？ （ AB ）所对的圆心角（ AOB ） 与圆周角（ ACB ）、同弧所对 的圆周角（ ACB 、 ADB 、 AEB 等）之间的大小关系．教 师引导学生进行探究． 教师关注： 1．问题的提出是否引起了学 生的兴趣； 2．学生是否理解了示意图； 3．学生是否理解了圆周角的 定义； 4．学生是否清楚了要研究的 数学问题． ［活动 2］ 问题 1 同弧（弧 AB）所对的圆心角 ∠AOB 与圆周角∠ACB 的大小关 系是怎样的？ 问题 2 同弧（弧 AB ）所对的圆周 角∠ACB 与圆周角∠ADB 的大 小关系是怎样的？ O BA C B O A C D E 教师提出问题，引导学生利 用度量工具（量角器或几何画板） 动手实验，进行度量，发现结论． 在活动中，教师应关注： 1．学生是否积极参与活动； 2．学生是否度量准确，观察、 发现的结论是否正确． 由学生总结发现的规律：同 弧所对的圆周角的度数没有变 化，并且它的度数恰好等于这条 弧所对的圆心角的度数的一半． 教师利用几何画板课件“圆 周角定理”，从动态的角度进行演 示，验证学生的发现．教师可从 以下几个方面演示，让学生观察 圆周角的度数是否发生改变，同 弧所对的圆周角与圆心角的关系 有无变化． 1．拖动圆周角的顶点使其在 圆周上运动； 2．改变圆心角的度数； 3．改变圆的半径大小． ［活动 3］ 问题 1 在圆上任取一个圆周角，观 察圆心与圆周角的位置关系有几 教师引导学生，采取小组合 作的学习方式，前后四人一组， 分组讨论． 教师关注： 种情况？ (课件：折痕与圆周角 的关系) 问题 2 当圆心在圆周角的一边上 时，如何证明活动 2 中所发现的 结论？ 问题 3 另外两种情况如何证明，可 否转化成第一种情况呢？ 1．学生是否会与人合作，并 能与他人交流思维的过程和结 果； 2．学生能否发现圆心与圆周 角的三种位置关系． 教师巡视，请学生回答问 题．回答不全面时，请其他同学 给予补充． 教师演示圆心与圆周角的三种位 置关系． 教师引导学生从特殊情况入 手证明所发现的结论． 学生写出已知、求证，完成 证明． 教师关注： 1．学生能否用准确的数学符 号语言表述已知和求证，并准确 地画出图形来； 2．学生能否证明出结论． 学生采取小组合作的学习方 式进行探索发现，教师观察指导 小组活动．启发并引导学生，通 过添加辅助线，将问题进行转化． 教师关注： 1．学生是否会想到添加辅助 线，将另外两种情况进行转化； 2．学生添加辅助线的合理 性； 3．学生是否会利用问题 2 的 结论进行证明． 教师讲评学生的证明，板书 圆周角定理． ［活动 4］ 问题 1 半圆（或直径）所对的圆周 角是多少度？（课件：圆周角定 理推论） A O B C1 C2 C3 问题 2 90°的圆周角所对的弦是什 么? 学生独立思考，回答问题， 教师讲评． 问题 1 提出后，教师关注： 学生是否能由半圆（或直径） 所对的圆心角的度数得出圆周角 的度数． 问题 2 提出后，教师关注： 学生是否能由 90°的圆周角 推出同弧所对的圆心角度数是 180°，从而得出所对的弦是直 径． 问题 3 提出后，教师关注： 学生能否得出正确的结论， 并能说明理由． 问题 3 在半径不等的圆中，相等的 两个圆周角所对的弧相等吗？ ∠ABC=30° ∠A’B’C’=30° C A' B B' A C' 问题 4 在同圆或等圆中，如果两个 圆周角相等，它们所对的弧一定 相等吗？为什么？ 问题 5 如图，点 A 、B 、C 、D 在 同一个圆上，四边形 ABCD 的对 角线把 4 个内角分成 8 个角，这 些角中哪些是相等的角？ 教师提醒学生：在使用圆周角定 理时一定要注意定理的条件． 问题 4 提出后，教师关注： 学生能否利用定理得出与圆 周角对同弧的圆心角相等，再由 圆心角相等得到它们所对的弧相 等． 问题 5 提出后，教师关注： 学生是否准确找出同弧所对 的圆周角． 问题 6 提出后，教师关注： 1．学生是否能由已知条件得 出直角三角形 ABC、ABD； 2．学生能否将要求的线段放 到三角形里求解； 3．学生能否利用问题 4 的结 问题 6 如图，⊙O 的直径 AB 为 10 cm，弦 AC 为 6 cm，∠ACB 的平 分线交⊙O 于 D，求 BC、AD、BD 的长． 论得出弧 AD 与弧 BD 相等，进而 推出 AD=BD． D BOA C ［活动 5］ 问题 通过本节课的学习你有哪些 收获？ 教师带领学生从知识、方法、 数学思想等方面小结本节课所学 内容． 教师关注不同层次的学生对 所学内容的理解和掌握． 教师布置作业． 作业 设计 必做 教科书 P87：4、5、6 选做 教科书 P89：13、14、15 教 学 反 思 教学时间 课题 24.2.2 直线和圆的位置关系 课型 新授课 教 学 目 标 知 识 和 能 力 1.探索并了解直线和圆的位置关系． 2.根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系揭示直线和圆的位置关系． 3．能够利用公共点个数和数量关系来判断直线和圆的位置关系． 过 程 和 方 法 1.学生经历操作、观察、发现、总结出直线和圆的位置关系的过程，培养学生观察、比 较、概括的逻辑思维能力． 2.学生经历探索直线和圆的位置关系中圆心到直线的距离与圆的半径的数量关系的过 程，培养学生运用数学语言表述问题的能力． 3.从运动的观点和量变到质变的观点来理解直线和圆的三种位置关系，培养学生运动变 化的辩证唯物主义观点． 情 感 态 度 价值观 学生经过观察、实验、发现、确认等数学活动，在探索直线和圆位置关系的过程中，体 会运动变化的观点，量变到质变的辩证唯物主义观点，感受数学中的美感． 教学重点 探索并了解直线和圆的位置关系． 教学难点 掌握识别直线和圆的位置关系的方法． 教学准备 教师 学生 问题与情境 师生行为 二 次 备 课 活动 1 (1)“大漠孤烟直，长河落日 圆”是唐朝诗人王维的诗句，它 描述了黄昏日落时分塞外特有的 景象．如果我们把太阳看成一个 圆，地平线看成一条直线，那你 能根据直线和圆的公共点个数想 象一下，直线和圆有几种位置关 系吗？ (2)观察用钢锯切割钢管的 过程，抽象成几何图形间的位置 关系. 学生观察一轮红日从海 平面升起的过程和用钢锯切 割钢管的过程，教师提出问 题，让学生结合学过的知识， 把它们抽象成几何图形，再表 示出来． 在本次活动中，教师应重点关 注： (1) 学生能否准确地观察出圆相 对于直线运动的过程中，有几种位置 关系； (2) 学生能否根据直线和圆的公 共点个数，画出三种不同的位置关 系. 活动 2 请同学在纸上画一条直线， 把硬币的边缘看作圆，在纸上移 动硬币，你能发现直线和圆的公 共点个数的变化情况吗？公共点 个数最少时有几个？最多时有几 个？ 学生动手操作、观察、发现、归 纳出直线和圆的公共点个数的变化 情况. 教师演示直线和圆动态的变化 过程，帮助学生用语言描述直线和圆 的三种位置关系，明确概念. 本次活动，教师应重点关注学生 能否根据操作，观察直线和圆的位置 关系，作出相应的图形来． 活动 3 问题： (1) 能否根据基本概念来判 断直线与圆的位置关系？ (2) 是否还有其他的方法来 判断直线与圆的位置关系？ 教师提出问题，学生思考作答. 学生掌握识别直线与圆的位置 关系的方法，即直线和圆公共点的个 数，圆心到直线的距离和圆半径的数 量关系，都可以用来揭示直线和圆的 位置关系． 教师与学生共同总结直线和圆 相离、相交、相切的关系中，公共点 的个数，公共点的名称，直线名称， 圆心到直线距离与半径间的数量关 系． 活动 4 (1)应用 例 已 知 ：如 图 所示 ， ∠ AOB=30°，P 为 OB 上一点，且 OP=5 cm，以 P 为圆心，以 R 为 半径的圆与直线 OA 有怎样的位 置关系？为什么？ ①R=2 cm； ②R=2.5 cm； ③R=4 cm． (2) 练习 B A O P 师生共同完成例题和练习的求 解． 本次活动，教师应重点关注： (1) 学生能否利用直线和圆公共 点的个数判断直线和圆的位置关系； (2)学生能否利用圆心到直线的 距离和半径间的数量关系判断直线 和圆的位置关系． 活动 5 小结 这节课我们主要研究了直线 和圆的三种位置关系和识别直线 和圆的位置关系的方法，你有哪 些收获？ 学生自己总结，教师应重点关注： (1) 学生对直线和圆的位置关系 的性质和判定总结是否全面； (2) 是否有学生能从这节课的学 习中，体会到分类讨论的数学思想和 数形结合的数学思想在研究问题中 的重要性． 作业 设计 必做 教科书 P101：1-5 选做 教科书 P102：10-14 教 学 反 思 教学时间 课题 24.2.3 圆和圆的位置关系 课型 新授课 教 学 目 标 知 识 和 能 力 1． 探索并了解圆和圆的位置关系． 2． 探索圆和圆的位置关系中两圆圆心距与两圆半径间的数量关系． 3．能够利用圆和圆的位置关系和数量关系解题． 过 程 和 方 法 1． 学生经历操作、探究、归纳、总结圆和圆的位置关系的过程，培养学生观察、比较、 概括的逻辑思维能力． 2．学生经历探索圆和圆的位置关系中两圆圆心距与两圆半径间的数量关系的过程，培 养学生运用数学语言表述问题的能力． 情 感 态 度 价值观 学生经过操作、实验、发现、确认等数学活动，从探索两圆位置关系的过程中，体会运 动变化的观点，量变到质变的辩证唯物主义观点，感受数学中的美感． 教学重点 探索并了解圆和圆的位置关系． 教学难点 探索圆和圆的位置关系中两圆圆心距与两圆半径的数量关系． 教学准备 教师 学生 课 堂 教 学 程 序 设 计 二 次 备 课 问题与情境 师生行为 设计意图 活动 1 问题 (1)点和圆有几种位置关系？ 如何识别？ (2) 直 线 和 圆 有 几 种 位 置 关 系？如何识别？ (3)两个圆的位置关系又如何 呢？ 教师演示课件，提出问 题． 学生观察、思考、回答问题． 在本次活动中，教师应重点关 注： (1) 学生能否准确描述点和圆、 直线和圆的位置关系； (2) 学生能否用点和圆心的距离 与半径的数量关系判别点和圆的位 置关系，能否用圆心到直线的距离与 半径的数量关系判别直线和圆的位 置关系． 活动 2 观察两个半径不同的⊙O1、⊙ O2，固定其中一个而移动另一个的 过程中，会出现的几种不同位置关 系． (1) 根据观察，请你摆出⊙O1 和⊙O2 的几种不同的位置关系； (2) 你能否根据两圆公共点的 个数类比直线和圆的位置关系定 义，给出两圆位置关系的定义？ 利用几何画板画出两个半径不 同的圆，固定其中一个而移动另一 个． 让学生观察、发现，并动手摆出 两圆的不同位置关系图形． 请一名学生展示他发现的两圆 不同位置关系的图形． 对于问题(1)，教师应重点关注： (1) 学生能否根据操作，观察两 圆的位置关系，摆出相应的图形来； (2) 学生能否全部发现两圆的几 种位置关系． 师生共同讨论出两圆的几种位 置关系定义． 对于问题(2)，教师应重点关注学 生能否用规范清晰的数学语言说出 两圆的位置关系． 活动 3 探究 (1) 请你根据圆和圆的位置关 系，猜测出两圆的圆心距与两圆半 径之间的数量关系，利用刻度尺进 行测量，验证你的猜想． 教师提出问题，让学生根据自己 所画出的两圆的位置关系图形进一 步观察、思考、猜想、测量，发表见 解． (2) 圆是轴对称图形，两个圆 是否也组成轴对称图形呢？如果能 组成轴对图形，那么对称轴是什 么？ 教师利用课件演示两圆位置关系 的变化情况，观察随着两圆位置关系 的变化，两圆圆心距与两圆半径之和 或之差之间的数量关系． 教师总结活动 3 讨论出的结 论，说明此结论既可作为两圆位 置关系的判定又可作为两圆位 置关系的性质． 在本次活动中，教师应重点关注 学生对两圆相交时的情况讨论是否 深入（不仅要讨论半径和，同时要考 察两圆的半径差）． 活动 4 问题 1 (1)教科书图 24.2-16，⊙O 的 半径 5 cm，点 P 是⊙O 外一点，OP=8 cm，以 P 为圆心作一个圆与⊙O 外 切，这个圆的半径是多少？以 P 为 圆心作一个圆与⊙O 内切呢？ (2)⊙O1 和⊙O2 的半径分别为 师生共同完成例题的求解． 对于问题 (1)，教师应重点关注 学生能否利用两圆外切或内切时，圆 心距与两圆的半径和与差的关系来 解题． 对于问题(2) 、(3)、(4)、(5)，教 3、5，设 d=O1O2， ①当 d=9 时，则⊙O1 与⊙O2 的 位置关系是___； ②当 d=8 时，则⊙O1 与⊙O2 的 位置关系是___； ③当 d=5 时，则⊙O1 与⊙O2 的 位置关系是___； ④当 d=2 时，则⊙O1 与⊙O2 的 位置关系是___； ⑤当 d=1 时，则⊙O1 与⊙O2 的 位置关系是___； ⑥当 d=0 时，则⊙O1 与⊙O2 的位置关系是___. (3) 已知⊙O1 和⊙O2 的半径分 别为 4 和 5，如果⊙O1 与⊙O2 外切， 那么 O1 O2= . (4)已知两圆半径分别为 3和7， 如果两圆相交，则圆心距 d 的取值 范围是_______；如果两圆外离，则 圆心距 d 的取值范围是______. (5) 在图中有两圆的多种位置 关系，请你找出还没有的位置关系 是 . 师应当重点关注学生能否会利用两 圆的圆心距与两圆的半径的关系，判 断两圆的位置关系． 活动 5 小结 这节课我们主要研究了圆和圆 的位置关系，你有哪些收获？ 布置作业 教科书习题 14.3 第 1、4、6 题． 学生自己总结，教师应重点关注： (1) 学生对圆和圆的位置关系的 性质和判定总结是否全面； (2) 是否有学生能从这节课的学 习中，体会到分类讨论和数形结合的 数学思想在研究问题中的重要性． 学生通过作业，回顾、梳理知识， 反思提高. 作业 设计 必做 教科书 P102：6、7 选做 教科书 P103：15-17 教 学 反 思 教学时间 课题 24．3 正多边形和圆 课型 新授课 教 学 目 标 知 识 和 能 力 1． 了解正多边形与圆的关系，了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念． 2．在经历探索正多边形与圆的关系过程中，学会运用圆的有关知识解决问题，并能运 用正多边形的知识解决圆的有关计算问题． 过 程 和 方 法 学生在探讨正多边形和圆的关系的学习过程中，体会到要善于发现问题，解决问题，发 展学生的观察、比较、分析、概括及归纳的逻辑思维能力和逻辑推理能力． 情 感 态 度 价值观 学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来源于生活，又服务于生活，体会 到事物之间是相互联系，相互作用的． 教学重点 探索正多边形与圆的关系，了解正多边形的有关概念，并能进行计算． 教学难点 探索正多边形与圆的关系． 教学准备 教师 学生 教学过程设计 问题与情境 师生行为 二 次 备 课 [活动 1] 观看下列美丽的图案． 问题 1 这些美丽的图案，都是在日常生活中 我们经常能看到的、利用正多边形得到的 物体．你能从这些图案中找出正多边形来 吗？ 教师演示课件或展示图片，提 出问题 1． 学生观察图案，思考并指出找 到的正多边形． 教师关注： 问题 2 你知道正多边形和圆有什么关系吗？ 你能借助圆做出一个正多边形吗？ （1） 学生能否从这些图案 中找到正多边形； （2） 学生能否从这些图案 中发现正多边形和圆的关系． 教师提出问题 2，引导学生观 察、思考． 学生讨论、交流，发表各自见 解． 教师关注: 学生能否联想到等分圆周作 出正多边形来． ． [活动 2] 问题 1 将一个圆五等分，依次连接各分点得 到一个五边形，这五边形一定是正五边形 吗？如果是请你证明这个结论． 教师演示作图：把圆分成相等 的 5 段弧，依次连接各个分点得 到五边形． 教师引导学生从正多边形的 定义入手，证明多边形各边都相 等，各角都相等，引导学生观察、 分析． 教师关注： （1）学生能否看出：将圆分 成五等份，可以得到 5 段相等的 弧，这些弧所对的弦也是相等的， 这些弦就是五边形的各边，进而证 明五边形的各边相等； （2）学生能否观察发现圆内 接五边形的各内角都是圆周角； （3）学生能否发现每一个圆 问题 2 如果将圆 n 等分，依次连接各分点得 到一个 n 边形，这 n 边形一定是正 n 边形 吗？ 问题 3 各边相等的圆内接多边形是正多边形 吗？各角相等的圆内接多边形呢？如果 是，说明为什么？如果不是，举出反例． 周角所对弧都是三等份的弧； （4）学生能否利用这些圆周 角所对的弧都相等，证明五边形的 各内角相等，从而证明圆内接五边 形是正五边形． 教师带领学生完成证明过程． 教师提出问题 2，学生思考， 同学间交流，回答问题． 教师关注：学生是否会仿造证 明圆内接正五边形的方法证明圆 内接正 n 边形． 教师根据学生的回答给以总 结： 将圆 n 等分，依次连接各分 点得到一个 n 边形，这 n 边形一 定是正 n 边形． 教师提出问题 3，学生讨论， 思考回答．教师关注： （1）学生能否利用正多边形 定义进行判断； （2）学生能否由圆内接多边 形各边相等，得到弦相等及弦所对 的弧相等，进而证明圆内接多边形 的各内角相等； （3）学生能否举出反例说明 各角相等的圆内接多边形不一定 是正多边形． 教师讲评． [活动 3] 学生观看课件，理解概念． 例题 1 有一个亭子（如图）它的地 基是半径为 4 m 的正六边形，求地基的周 长和面积（精确到 0.1 m2）． 完成教材第 105 页例题 教师演示课件，给出正多边形 的中心，半径，中心角，边心距等 概念． 教师引导学生画出正六边形 图形，进行分析． 教师关注： （1）学生能否知道欲求地基 的周长和面积，需要先求正六边形 的边长和边心距； （2）学生能否将正六边形的 边长、半径和边心距集中在一个三 角形中来研究． （3）学生能否将正六边形的 中心与顶点连接起来，将正六边形 分割成 6 个全等的等腰三角形， 去发现每个等腰三角形的顶角就 是中心角，腰是半径，底边是边长， 底边上的高是边心距，从而可以利 用勾股定理进行计算，进而能够求 得正多边形的周长和面积． 教师引导学生完成例题 1 的 解答．总结这一类问题的求解方 法． 教师让学生独立完成例题 2， 教师巡视，个别辅导．给出正确答 案． [活动 4] 小节 学完这节课你有哪些收获？ 思考题 问题 1： 正 n 边形的一个内角的度数是多少？ 中心角呢？正多边形的中心角与外角的大 小有什么关系？ 问题 2 正 n 边形的半径，边心距，边长又有 什么关系？ 学生自己总结，不全面的由 其他学生补充完善． 教师重点关注：不同层次学 生对本节知识的理解、掌握程度． 学生独立完成，教师批改、 总结，重点关注： （1）对学生在练习中出 现的问题，有针对性地给予分 析； （2）学生面对探究性问题的 解决方法． 作业 设计 必做 教科书 P107：1-4 选做 教科书 P108：5-8 教 学 反 思 教学时间 课题 24.4 圆锥的侧面积和全面积 课型 新授课 教 学 目 标 知 识 和 能 力 会计算圆锥的侧面积和全面积，并会解决实际问题． 过 程 和 方 法 增强了学生用数学知识解决实际问题的能力，同时还可以培养学生的空间观念． 情 感 态 度 价值观 引导学生对圆锥展开图的认识，培养学生空间观念，激发学生的好奇心和求知欲，并在 运用数学知识解答实际问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心． 教学重点 圆锥的侧面积和全面积的计算． 教学难点 明确扇形中各元素与圆锥各个元素之间的关系． 教学准备 教师 学生 教学过程设计 问题与情境 师生行为 二 次 备 课 活动 1 想一想，你会解决吗？ 如图，玩具厂生产一种圣诞老人的帽子，其帽身 是圆锥形，PB=15 cm，底面半径 r =5 cm，要生产 这种帽身 10 000 个，你能帮玩具厂算一算至少需 多少平方米的材料吗？ （ 不 计 接 缝 用 料 和 余 料 , π 取 3.14 A P BO r l ）. 教师演示课件，提出问题， 激发学生学习新知识的热 情． 活动 2 1．认识圆锥 教师结合图形，介绍圆锥 的有关概念． . 2．圆锥的再认识 3．圆锥的底面半径 r、高线 h、母线长 a 三者之 间的关系： 练习： 根据下列条件求值（其中 r、h、a 分别是圆 锥的底面半径、高线、母线长） (1)a = 2，r = 1，则 h =_______； (2)h = 3，r = 4，则 a =_______； (3)a =10，h = 8，则 r =_______． 通过练习，使学生掌握圆 锥的底面半径、高线、母 线长三者之间的关系． 活动 3 1．动一动，通过学生自己操作和电脑演示，掌握 圆锥的侧面展开图是扇形． 2．引导学生推导圆锥的侧面积和全面积的计算公 式． 通过学生动手操作、教师 利用几何画板动态演示， 让学生观察圆锥的侧面展 开图是扇形，并用所学的 知识推导出圆锥的侧面积 和全面积的计算公式． 活动 4 实际应用： 例 1 一个圆锥形零件高 4 cm，底面半径 3 cm， 求这个圆锥形零件的侧面积和全面积． 例 2 玩具厂生产一种圣诞老人的帽子，其圆锥 形帽身的母线长为 15 cm，底面半径为 5 cm，生 产这种帽身 10 000 个，你能帮玩具厂算一算至少 需多少平方米的材料吗？（不计接缝用料和余料， π取 3.14 ）． 教师带领学生用所学的知 识解决问题，提高学生应 用数学知识解决实际问题 的能力． 教师关注不同层次的学生 对所学内容的理解和掌 握． 222 rha  例 3 蒙古包可以近似地看成由圆锥和圆柱组 成，如果想用毛毡搭建 20 个底面积为 35 m2，高 为 3.5 m，外围高 1.5 m 的蒙古包，至少需要多少 平方米的毛毡 (精确到 1m2) ? 例 4 思考题 圆锥的底面半径为 1，母线长为 6，一只蚂蚁要从 底面圆周上一点 B 出发，沿圆锥侧面爬行一圈再 回到点 B，问它爬行的最短路线是多少？ 例 5 手工制作 已知一种圆锥模型的底面半径为 4 cm，高线 长为 3 cm．你能做出这个圆锥模型吗? 活动 5 本节课你学到了什么知识？你有什么认识？ 作业 设计 必做 教科书 P114：1-4 选做 教科书 P115：5-10 教 学 反 思 第二十四章《圆》小结 一、本章知识结构框图 二、本章知识点概括 （一）圆的有关概念 1、圆（两种定义）、圆心、半径； 2、圆的确定条件： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一直线上的三个点确定一个圆。 3、弦、直径； 4、圆弧（弧）、半圆、优弧、劣弧； 5、等圆、等弧，同心圆； 6、圆心角、圆周角； 7、圆内接多边形、多边形的外接圆； 8、割线、切线、切点、切线长； 9、反证法：假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原 命题成立。 （二）圆的基本性质 1、圆的对称性 ①圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 *②圆是中心对称图形，圆心是对称中心。 2、圆的弦、弧、直径的关系 ①垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 ②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 * [引申] 一条直线若具有：Ⅰ、经过圆心；Ⅱ、垂直于弦；Ⅲ、平分弦；Ⅳ、平分弦所对的劣弧；Ⅴ、平 分弦所对的优弧，这五个性质中的任何两条，必具有其余三条性质，即“知二推三”。（注意：具有Ⅰ和Ⅲ 时，应除去弦为直径的情况） 3、弧、弦、圆心角的关系 ①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 ②在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。 ③在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。 归纳：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也 相等。 4、圆周角的性质 ①定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 ②在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 ③推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 （三）与圆有关的位置关系 1、点与圆的位置关系 设⊙O 的半径为 r，OP=d 则： 点 P 在圆内 dr. 2、直线与圆的位置关系 设⊙O 的半径为 r，圆心 O 到 l 的距离为 d 则： 直线 l 与⊙O 相交 dr 直线和圆没有公共点。 3、圆与圆的位置关系 ①如果两圆没有公共点，那么这两个圆相离，分为外离和内含； 如果两圆只有一个公共点，那么这两个圆相切，分为外切和内切； 如果两个圆有两个公共点，那么这两个圆相交。 ②设⊙O1 的半径为 r1，⊙O2 半径为 r2，圆心距为 d，则： 两圆外离 d＞r2＋r1； 两圆外切 d＝r2＋r1； 两圆相交 r2－r1＜d＜r2＋r1（r2≥r1）； 两圆内切 d＝r2－r1（r2＞r1）； 两圆内含 0≤d＜r2－r1（r2＞r1）。 （四）圆的切线 1、定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。 2、性质： ①圆的切线到圆心的距离等于半径。 ②定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 ③切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹 角。 3、判定： ①利用切线的定义。 ②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。 ③定理：经过半径的外端并且和这条半径垂直的直线是圆的切线。 （五）圆与三角形 1、三角形的外接圆 （1）定义：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 （2）三角形外心的性质：①是三角形三条边垂直平分线的交点；②到三角形各顶点距离相等；③外心的 位置：锐角三角形外心在三角形内，直角三角形的外心恰好是斜边的中点，钝角三角形外心在三角形外面。 2、三角形的内切圆 （1）定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 （2）三角形内心的性质：①是三角形角平分线的交点；②到三角形各边的距离相等；③都在三角形内。 （六）圆与四边形 1、由圆周角定理可以得到：圆内接四边形对角互补。 *2、由切线长定理可以得到：圆的外切四边形两组对边的和相等。 （七）圆与正多边形 1、正多边形的定义 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，其外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 2、正多边形与圆的关系 把圆分成 n（n≥3）等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形，这时圆叫做正 n 边形 的外接圆。 3、正多边形的有关计算（11 个量） 边数 n，内角和，每个内角度数，外角和，每个外角度数，中心角αn，边长 an，半径 Rn，边心距 rn，周 长 ln，面积 Sn (Sn=1/2lnrn) 4、正多边形的画法 画正多边形的步骤：首先画出符合要求的圆；然后用量角器或用尺规等分圆；最后顺次连结各等分点。如 用尺规等分圆后作正四、八边形与正六、三、十二边形。注意减少累积误差。 （八）弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积公式 180 n Rl 弧长 2 360 n RS  扇形＝ ＝ 1 2 lR (其中 l 为弧长) S rl圆锥侧＝ (其中 l 为母线长) （九）直角三角形的一个判定 如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 （十）本章常见的辅助线 课 后 反 思 教学时间 课题 25.1.1 随机事件(第一课时) 课型 新授课 教 学 目 标 知 识 和 能 力 通过对生活中各种事件的判断，归纳出必然事件，不可能事件和随机事件的特点，并根 据这些特点对有关事件作出准确判断。 过 程 和 方 法 历经实验操作、观察、思考和总结，归纳出三种事件的各自的本质属性，并抽象成数学 概念。 情 感 态 度 价值观 体验从事物的表象到本质的探究过程，感受到数学的科学性及生活中丰富的数学现象。 教学重点 随机事件的特点 教学难点 对生活中的随机事件作出准确判断 教学准备 教师 学生 课 堂 教 学 程 序 设 计 二 次 备 课 一、创设情境，引入课题 1．问题情境 下列问题哪些是必然发生的？哪些是不可能发生的？ (1)太阳从西边下山； (2)某人的体温是 100℃； (3)a2+b2=－1(其中 a,b 都是实数)； (4)水往低处流； (5)酸和碱反应生成盐和水； (6)三个人性别各不相同； (7)一元二次方程 x2+2x+3=0 无实数解。 2．引发思考 我们把上面的事件（1）、（4）、（5）、（7）称为必然事件，把事件（2）、（3）、（6） 称为不可能事件，那么请问：什么是必然事件？什么又是不可能事件呢？它们的特 点各是什么？ 二、引导两个活动，自主探索新知 活动 1：5 名同学参加演讲比赛，以抽签方式决定每个人的出场顺序。签筒中有 5 根形状大小相同的纸签，上面分别标有出场的序号 1，2，3，4，5。小军首先抽签， 他在看不到的纸签上的数字的情况从签筒中随机（任意）地取一根纸签。请考虑以 下问题： （1）抽到的序号是 0，可能吗？这是什么事件？ （2）抽到的序号小于 6，可能吗？这是什么事件？ （3）抽到的序号是 1，可能吗？这是什么事件？ （4）你能列举与事件（3）相似的事件吗？ 根据学生回答的具体情况，教师适当地加点拔和引导。 活动 2：小伟掷一个质地均匀的正方形骰子，骰子的六个面上分别刻有 1 至 6 的点数。请考虑以下问题，掷一次骰子，观察骰子向上的一面： （1）出现的点数是 7，可能吗？这是什么事件？ （2）出现的点数大于 0，可能吗？这是什么事件？ （3）出现的点数是 4，可能吗？这是什么事件？ （4）你能列举与事件（3）相似的事件吗？ 提出问题，探索概念 （1）上述两个活动中的两个事件（3）与必然事件和不可能事件的区别在哪里？ （2）怎样的事件称为随机事件呢？ 三、应用练习，巩固新知 练习：指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事 件。 （1）两直线平行，内错角相等； （2）刘翔再次打破 110 米栏的世界纪录； （3）打靶命中靶心； （4）掷一次骰子，向上一面是 3 点； （5）13 个人中，至少有两个人出生的月份相同； （6）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯； （7）在装有 3 个球的布袋里摸出 4 个球 （8）物体在重力的作用下自由下落。 （9）抛掷一千枚硬币，全部正面朝上。 四、小结 这节课学了哪些知识？ 作业 设计 必做 教科书 P131：1 选做 教 学 反 思 教学时间 课题 25.1.1 随机事件（第二课时） 课型 新授课 教 学 目 标 知 识 和 能 力 通过“摸球”这样一个有趣的试验，形成对随机事件发生的可能性大小作定性分析的能 力，了解影响随机事件发生的可能性大小的因素。 过 程 和 方 法 历经“猜测—动手操作—收集数据—数据处理—验证结果”，及时发现问题，解决问题， 总结出随机事件发生的可能性大小的特点以及影响随机事件发生的可能性大小的客观 条件。 情 感 态 度 价值观 在试验过程中，感受合作学习的乐趣，养成合作学习的良好习惯；得出随机事件发生的 可能性大小的准确结论。需经过大量重复的试验，让学生从中体验到科学的探究态度。 教学重点 对随机事件发生的可能性大小的定性分析 教学难点 理解大量重复试验的必要性 教学准备 教师 学生 课 堂 教 学 程 序 设 计 二 次 备 课 一、创设情境，引入课题 1、摸球试验：袋中装有 4 个黑球，2 个白球，这些球的形状、大小、质地等完 全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球。 2、提出问题：我们把“摸到白球”记为事件 A，把“摸到黑球”记为事件 B， 提问： （1）事件 A 和事件 B 是随机事件吗？ （2）哪个事件发生的可能性大？ 二、分组试验、收集数据，验证结果 1、把学生分成 2 人一组，其中一人把球搅均匀，另一人摸球并把结果记录在表 1 中。 事件 A 发生的次数 事件 B 发生的次数 结果（指哪个事件发生的次数多） 10 次摸球 20 次摸球 2、小组汇报试验结果，教师统计结果填于表 2。 得到结果 1 的组数 得到结果 2 的组数 10 次摸球 20 次摸球 注：结果 1 指事件 A 发生的次数多，结果 2 指事件 B 发生的次数多。 3、提出问题 （1）“10 次摸球”的试验中，事件 A 发生的可能性大的有几组？“20 次摸球” 的试验中呢？ （2）你认为哪种试验更能获得较正确结论呢？ （3）为了能够更大可能地获得正确结论，我们应该怎样做？ 4、进行大量重复试验，验证猜测的正确性。 教师请同学们进行 400 次重复的“摸球”试验，教师提问： 如果把刚才各小组的 20 次“摸球”合并在一起是否等同于 400 次“摸球”？这 样做会不会影响试验的正确性？ 待学生回答后，教师把结果统计在表中。 事件 A 发生的次数 事件 B 发生的次数 400 次摸球 5、对表中的数据进行分析，得出结论。 提问：通过上述试验，你认为，要判断同一试验中哪个事件发生可能性的较大， 必须怎么做？ 先让学生回答，回答时教师注意纠正学生的不准确的用语，最后由教师总结： 要判断随机事件发生的可能性大小，必须经过大量重复试验。 6、对试验结果作定性分析。 在经过大量重复摸球以后，我们可以确定，事件 A 发生的可能性大于事件 B 发 生的可能性，请同学们分析一下其原因是什么？ 三、练习反馈 1、一个袋子里装有 20 个形状、质地、大小一样的球，其中 4 个白球，2 个红球， 3 个黑球，其它都是黄球，从中任摸一个，摸中哪种球的可能性最大？ 2、一个人随意翻书三次，三次都翻到了偶数页，我们能否说翻到偶数页的可能 性就大？ 3、袋子里装有红、白两种颜色的小球，质地、大小、形状一样，小明从中随机 摸出一个球，然后放回，如果小明 5 次摸到红球，能否断定袋子里红球的数量比白 球多？怎样做才能判断哪种颜色的球数量较多？ 4、已知地球表面陆地面积与海洋面积的比均为 3：7。如果宇宙中飞来一块陨石 落在地球上，“落在海洋里”与“落在陆地上”哪个可能性更大？ 四、小结 作业 设计 必做 教科书 P132：2 选做 教学 反思 教学时间 课题 25.1.2 概率的意义 课型 新授课 教 学 目 标 知 识 和 能 力 1.知道通过大量重复试验时的频率可以作为事件发生概率的估计值 2.在具体情境中了解概率的意义 过 程 和 方 法 让学生经历猜想试验--收集数据--分析结果的探索过程，丰富对随机现象的体验， 体会概率是描述不确定现象规律的数学模型.初步理解频率与概率的关系. 情 感 态 度 价值观 在合作探究学习过程中，激发学生学习的好奇心与求知欲.体验数学的价值与学习 的乐趣.通过概率意义教学，渗透辩证思想教育. 教学重点 在具体情境中了解概率意义. 教学难点 对频率与概率关系的初步理解 教学准备 教师 壹元硬币数枚、图钉数枚、 学生 课 堂 教 学 程 序 设 计 二 次 备 课 一、创设情境，引出问题 教师提出问题：周末市体育场有一场精彩的篮球比赛，老师手中只有一张球票， 小强与小明都是班里的篮球迷，两人都想去.我很为难，真不知该把球给谁.请大家 帮我想个办法来决定把球票给谁. 学生：抓阄、抽签、猜拳、投硬币，…… 教师对同学的较好想法予以肯定.（学生肯定有许多较好的想法，在众多方法中 推举出大家较认可的方法.如抓阄、投硬币） 追问，为什么要用抓阄、投硬币的方法呢？ 由学生讨论：这样做公平.能保证小强与小明得到球票的可能性一样大 在学生讨论发言后，教师评价归纳. 用抛掷硬币的方法分配球票是个随机事件，尽管事先不能确定“正面朝上”还 上“反面朝上”，但同学们很容易感觉到或猜到这两个随机事件发生的可能性是一样 的，各占一半，所以小强、小明得到球票的可能性一样大. 质疑：那么，这种直觉是否真的是正确的呢？ 引导学生以投掷壹元硬币为例，不妨动手做投掷硬币的试验来验证一下. 说明：现实中不确定现象是大量存在的， 新课标指出：“学生数学学习内容应 当是现实的、有意义、富有挑战的”，设置实际生活问题情境贴近学生的生活实际， 很容易激发学生的学习热情，教师应对此予以肯定，并鼓励学生积极思考，为课堂 教学营造民主和谐的气氛，也为下一步引导学生开展探索交流活动打下基础. 二 、动手实践，合作探究 1．教师布置试验任务. （1）明确规则. 把全班分成 10 组，每组中有一名学生投掷硬币，另一名同学作记录，其余同学 观察试验必须在同样条件下进行. （2）明确任务，每组掷币 50 次，以实事求是的态度，认真统计“正面朝上” 的 频数及 “正面朝上”的频率，整理试验的数据,并记录下来.. 2．教师巡视学生分组试验情况. 注意： （1）．观察学生在探究活动中，是否积极参与试验活动、是否愿意交流等，关 注学生是否积极思考、勇于克服困难. （2）．要求真实记录试验情况.对于合作学习中有可能产生的纪律问题予以调 控. 3.各组汇报实验结果. 由于试验次数较少，所以有可能有些组试验获得的“正面朝上”的频率与先前 的猜想有出入. 提出问题：是不是我们的猜想出了问题？引导学生分析讨论产生差异的原因. 在学生充分讨论的基础上，启发学生分析讨论产生差异的原因.使学生认识到每 次随机试验的频率具有不确定性，同时相信随机事件发生的频率也有规律性， 引导 他们小组合作，进一步探究. 解决的办法是增加试验的次数，鉴于课堂时间有限，引导学生进行全班交流合 作. 4．全班交流. 把各组测得数据一一汇报，教师将各组数据记录在黑板上.全班同学对数据进行 累计，按照书上 P140 要求填好 25-2.并根据所整理的数据，在 25.1-1 图上标注出对 应的点,完成统计图. 表 25-2 抛掷次数 n 50 100 150 200 250 300 350 400 “正面向上”的频数 m “正面向上”的频率 nm 想一想 1（投影出示）. 观察统计表与统计图，你发现“正面向上”的频率有什 么规律？ 注意学生的语言表述情况，意思正确予以肯定与鼓励.“正面朝上”的频率在 0.5 0.5 1 正面向上的频率n m 投掷次数n10050 250150 500450300 350200 图25.1-1 上下波动. 想一想 2（投影出示） 随着抛掷次数增加，“正面向上”的频率变化趋势有何规律？ 在学生讨论的基础上，教师帮助归纳.使学生认识到每次试验中随机事件发生的 频率具有不确定性，同时发现随机事件发生的频率也有规律性.在试验次数较少时， “正面朝上”的频率起伏较大，而随着试验次数的逐渐增加，一般地，频率会趋于 稳定，“正面朝上”的频率越来越接近 0.5. 这也与我们刚开始的猜想是一致的.我们 就用 0.5 这个常数表示“正面向上”发生的可能性的大小. 说明：注意帮助解决学生在填写统计表与统计图遇到的困难.通过以上实践探究 活动，让学生真实地感受到、清楚地观察到试验所体现的规律，即大量重复试验事 件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率）.鼓励学生在学习中要积极合作 交流，思考探究.学会倾听别人意见，勇于表达自己的见解. 为了给学生提供大量的、快捷的试验数据,利用计算机模拟掷硬币试验的课件， 丰富学生的体验、提高课堂教学效率，使他们能直观地、便捷地观察到试验结果的 规律性--大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近 . 其实，历史上有许多著名数学家也做过掷硬币的试验.让学生阅读历史上数学家 做掷币试验的数据统计表（看书 P141 表 25-3）. 表 25-3 通过以上学生亲自动手实践,电脑辅助演示,历史材料展示, 让学生真实地感受 到、清楚地观察到试验所体现的规律，大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定 到某个常数附近,即大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概 率）.同时,又感受到无论试验次数多么大,也无法保证事件发生的频率充分地接近事 件发生的概率. 在探究学习过程中,应注意评价学生在活动中参与程度、自信心、是否愿意交流 等，鼓励学生在学习中不怕困难积极思考，敢于表达自己的观点与感受,养成实事求 是的科学态度. 5.下面我们能否研究一下“反面向上”的频率情况？ 学生自然可依照“正面朝上”的研究方法，很容易总结得出：“反面向上”的频 率也相应稳定到 0.5. 教师归纳： （1）由以上试验，我们验证了开始的猜想，即抛掷一枚质地均匀的硬币时，“正 面向上”与“反面向上”的可能性相等（各占一半）.也就是说，用抛掷硬币的方法 可以使小明与小强得到球票的可能性一样. （2）在实际生活还有许多这样的例子，如在足球比赛中，裁判用掷硬币的办法 来决定双方的比赛场地等等. 说明：这个环节，让学生亲身经历了猜想试验——收集数据——分析结果的探 索过程，在真实数据的分析中形成数学思考，在讨论交流中达成知识的主动建构， 为下一环节概率意义的教学作了很好的铺垫. 三、评价概括，揭示新知 问题 1.通过以上大量试验，你对频率有什么新的认识？有没有发现频率还有其 他作用？ 学生探究交流.发现随机事件的可能性的大小可以用随机事件发生的频率逐渐 稳定到的值（或常数）估计或去描述. 通过猜想试验及探究讨论，学生不难有以上认识.对学生可能存在语言上、描述 中的不准确等注意予以纠正，但要求不必过高. 归纳：以上我们用随机事件发生的频率逐渐稳定到的常数刻画了随机事件的可 能性的大小. 那么我们给这样的常数一个名称，引入概率定义.给出概率定义（板书）：一般 地，在大量重复试验中，如果事件 A 发生的频率 n m 会稳定在某个常数 p 附近，那 么这个常数 p 就叫做事件 A 的概率（probability）, 记作 P（A）= p. 注意指出： 1．概率是随机事件发生的可能性的大小的数量反映. 2．概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验 中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同. 想一想(学生交流讨论) 问题 2．频率与概率有什么区别与联系? 从定义可以得到二者的联系, 可用大量重复试验中事件发生频率来估计事件发 生的概率.另一方面,大量重复试验中事件发生的频率稳定在某个常数(事件发生的 概率)附近，说明概率是个定值,而频率随不同试验次数而有所不同,是概率的近似 值,二者不能简单地等同. 说明：猜想试验、分析讨论、合作探究的学习方式十分有益于学生对概率意义 的理解，使之明确频率与概率的联系，也使本节课教学重难点得以突破.为下节课进 一步研究概率和今后的学习打下了基础. 当然，学生随机观念的养成是循序渐进的、 长期的.这节课教学应把握教学难度，注意关注学生接受情况. 四．练习巩固，发展提高. 学生练习 1．书上 P131.练习.1. 巩固用频率估计概率的方法. 2．书上 P131.练习.2 巩固对概率意义的理解. 教师应当关注学生对知识掌握情况，帮助学生解决遇到的问题. 五．归纳总结，交流收获： 1．学生互相交流这节课的体会与收获，教师可将学生的总结与板书串一起，使 学生对知识掌握条理化、系统化. 2．在学生交流总结时，还应注意总结评价这节课所经历的探索过程，体会到的 数学价值与合作交流学习的意义. 作业 设计 必做 完成 P132 习题 25. 2、3、4 选做 课外活动分小组活动，用试验方法获得图钉从一定高度落下后 钉尖着地的概率. 教 学 反 思 教学时间 课题 25.2 用列举法求概率(第一课时) 课型 新授课 教 学 目 标 知 识 和 能 力 1.理解 P（A）= n m (在一次试验中有 n 种可能的结果，其中 A 包含 m 种)的意义. 2.应用 P（A）= n m 解决一些实际问题． 过 程 和 方 法 复习概率的意义，为解决利用一般方法求概率的繁琐，探究用特殊方法—列举法 求概率的简便方法，然后应用这种方法解决一些实际问题. 情 感 态 度 价值观 在合作探究学习过程中，激发学生学习的好奇心与求知欲. 教学重点 一般地，如果在一次试验中，有几种可能的结果，并且它们发生的可能性都 相等，事件 A 包含其中的。种结果，那么事件 A 发生的概率为 P(A)= n m ，以及运用它 解决实际间题． 教学难点 通过实验理解 P(A)= n m 并应用它解决一些具体题目 教学准备 教师 学生 课 堂 教 学 程 序 设 计 二 次 备 课 一、复习引入 （老师口问．学生口答）请同学们回答下列问题． 1. 概率是什么？ 2. P(A)的取值范围是什么？ 3. 在大量重复试验中，什么值会稳定在一个常数上？俄们又把这个常数叫做什 么？ 4. A=必然事件,B 是不可能发生的事件,C 是随机事件．诸你画出数轴把这三个 量表示出来． 老师点评：1，（口述）一般地，在大量重复试验中，如果事件 A 发生的频率 n m 会 稳定在某一个常数 P 附近，那么这个常数 P 就叫做事件 A 的概率，记为 P(A)=P． 2.（板书）0≤P≤1． 3.（口述）频率、概率． 二、探索新知 不管求什么事件的概率，我们都可以做大量的试脸．求频率得概率，这是上一 节课也是刚才复习的内容，它具有普遍性，但求起来确实很麻烦，是否有比较简单 的方法，这 种方法就是我们今天要介绍的方法—列举法， 把学生分为 10 组，按要求做试验并回答问题． 1.从分别标有 1，2，3 ，4，5 号的 5 根纸签中随机地抽取一根．抽出的号码有 多少种？其抽到 1 的概率为多少？ 2.掷一个骰子，向上的一面的点数有多少种可能？向上一面的点数是 1 的概率 是多少？ 老师点评:1.可能结果有 1,2,3,4,5 等 5 种杯由于纸签的形状、大小相同，又是 随机 抽取的，所以我们可以认为：每个号被抽到的可能性相等，都是 1/5.其概率是 1/5。 2.有 1,2,3,4,5,6 等 6 种可能．由于股子的构造相同质地均匀，又是随机掷出 的， 所以我们可以断言：每个结果的可能性相等，都是 1/6，所以所求概率是 1/6 所求。 以上两个试验有两个共同的特点： 1.一次试验中，可能出现的结果有限多个. 2.一次试验中，各种结果发生的可能性相等. 对于具有上述特点的试验，我们可以从事件所包含的各种可能的结果在全部可 能 的试验结果中所占的比分析出事件的概率． 因此，一般地，如果在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能 性都相 等，事件 A 包含其中的、种结果，那么李件 A 发生的概率为 P(A)= n m 例 1.小李手里有红桃 1,2,3,4,5,6,从中任抽取一张牌，观察其牌上的数字．求 下 列事件的概率． (1)牌上的数字为 3； (2)牌上的数字为奇数； (3)牌上的数字为大于 3 且小于 6. 分析：因为从 6 张牌子任抽取一张符合刚才总结的试验的两个特点，所以可用 P(A)= n m 来求解. 解：任抽取一张牌子，其出现数字可能为 1,2,3,4,5,6,共 6 种，这些数字出现 的可 能性相同． （1）P（点数为 3）=1/6； （2）P(点数为奇数)=3/6=1/2； （3）牌上的数字为大于 3 且小于 6 的有 4，5 两种． 所以 P（点数大于 3 且小于 6）=1/3 例 2:如图 25-7 所示，有一个转盘，转盘分成 4 个相同的扇形，颇色分为红、 绿、黄三种颇色，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．其中的某个扇形会 恰好停在指 针所指的位里（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），求下列事件的 概率 (1）指针指向绿色； (2）指针指向红色或黄色 (3)指针不指向红色． 分析：转一次转盘，它的可能结果有 4 种—有限个，并且各种结果发生的可能 红 红 黄 绿 性相等.因此，它可以应用“ P(A)= n m ”问题，即“列举法”求概率． 解，(1) P(指针，向绿色)=1/4； (2) P(指针指向红色或黄色)=3/4； （3）P(指针不指向红色)=1/2 例 3 如图 25-8 所示是计算机中“扫雷“游戏的画面，在 99 个小方格的正方形雷 区中，随机埋藏着10颗地雷，每个小方格内最多只能藏1颗地雷。 小王在游戏开始时随机地踩中一个方格，踩中后出现了如图所示的情况，我们把 与标号3 的方格相邻的方格记为 A 区域（画线部分）， A 区域外的部分记为 B 区域， 数字 3表示在 A 区域中有3 颗地雷，那么第二步应该踩 A 区域还是 B 区域？ 分析：第二步应该踩在遇到地雷小的概率，所以现在关键求出在 A 区域、B 区域 的概率并比较。 解：（1）A 区域的方格共有8 个，标号3 表示在这8 个方格中有3 个方格各藏1颗 地雷，因此，踩 A 区域的任一方格，遇到地雷的概率是 8 3 。 （2）B 区域中共有 72999  个小方格，其中有 7310  个方格内各藏1颗 地雷。因此，踩 B 区域的任一方格，遇到地雷的概率是 72 7 。 由于 72 7 8 3  ，所以踩 A 区域遇到地雷的可能性大于踩 B 区域遇到地雷的可能 性，因而第二步应踩 B 区域。 三、巩固练习 教材 P134 练习1， 2 五、归纳小结 本节课应用列举法求概率。 作业 设计 必做 教材 P137：1、2 选做 拓广探索8 教 学 反 思 教学时间 课题 25.2 用列举法求概率(第二课时) 课型 新授课 教 学 目 标 知 识 和 能 力 1． 理解“包含两步，并且每一步的结果为有限多个情形”的意义。 2． 会用列表的方法求出：包含两步，并且每一步的结果为有限多个情形，这样的试验 出现的所有可能结果。 过 程 和 方 法 体验数学方法的多样性灵活性，提高解题能力。 情 感 态 度 价值观 鼓励学生，体会成功的喜悦 教学重点 正确理解和区分一次试验中包含两步的试验。 教学难点 当可能出现的结果很多时，简洁地用列表法求出所有可能结果。 教学准备 教师 学生 课 堂 教 学 程 序 设 计 二 次 备 课 一、比较，区别 出示两个问题： 1．一个布袋中有两个白球和两个黄球，质地和大小无区别，每次摸出 1 个球， 共有几种可能的结果？ 2．一个布袋中有两个白球和两个黄球，质地和大小无区别，每次摸出 2 个球， 这样共有几种可能的结果？ 要求学生讨论上述两个问题的区别，区别在于这两个问题的每次试验（摸球） 中的元素不一样。 二、问题解决 1．例 1 教科书第 150 页例 4。 要求学生思考掷两枚硬币产生的所有可能结果。 学生可能会认为结果只有：两个都为正面，一个正面一个反面和两个都是反面 这样 3 种情形，要讲清这种想法的错误原因。 列出了所有可能结果后，问题容易解决。或采用列表的方法，如： B A 正 反 正 正正 正反 反 反正 反反 让学生初步感悟列表法的优越性。 2． 问题：“同时掷两枚硬币”，与“先后两次掷一枚硬币”，这两种试验的所有 可能结果一样吗？ 同时掷两枚硬币与先后两次掷一枚硬币有时候是有区别的。比如在先后投掷的 时候，就会有这样的问题：先出现正面后出现反面的概率是多少？这与先后顺序有 关。同时投掷两枚硬币时就不会出现这样的问题。 3．课内练习：书本 P137 的练习。 三、小结 1．本节课的例题，每次试验有什么特点？ 2．用列表法求出所有可能的结果时，要注意表格的设计，做到使各种可能结果 既不重复也不遗漏。 作业 设计 必做 教科书 P138：3、 选做 教科书 P138：7 教 学 反 思 教学时间 课题 25.2 用列举法求概率(第三课时) 课型 新授课 教 学 目 标 知 识 和 能 力 1． 进一步理解有限等可能性事件概率的意义。 2． 会用树形图求出一次试验中涉及 3 个或更多个因素时，不重不漏地求出所有可能的 结果，从而正确地计算问题的概率。 进一步提高分类的数学思想方法，掌握有关数学技能（树形图）。 过 程 和 方 法 经历探索，使学生掌握知识 情 感 态 度 价值观 动手操作，提高解决问题的能力 教学重点 正确鉴别一次试验中是否涉及 3 个或更多个因素。 教学难点 用树形图法求出所有可能的结果。 教学准备 教师 学生 课 堂 教 学 程 序 设 计 二 次 备 课 一、解决问题，提高能力 例 1 同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率： （1）两个骰子的点子数相同；（2）两个骰子的点子数的和是 9；（3）至少有一 个骰子的点数为 2。 分析：由于每个骰子有 6 种可能结果，所以 2 个骰子出现的可能结果就会有很 多，我们用怎样的方法才能既不重复又不遗漏地求出所有可能的结果呢？这个问题 要让学生充分发表意见，在次基础上再使学生认识到列表法可以清楚地列出所有可 能的结果，体会其优越性。 列出表格。也可用树形图法。 其实，求出所有可能的结果的方法不止是列表法，还有树形图法也是有效的方 法，要让学生体验它们各自的特点，关键是对所有可能结果要做到：既不重复也不 遗漏。 板书解答过程。 思考：教科书第 135 页的思考题。 例 2 教科书第 136 页例 4。 分析：弄清题意后，先让学生思考从 3 个口袋中每次各随机地取出一个球，共 3 个球，这就是说每一次试验涉及到 3 个因素，这样的取法共有多少种呢？你打算用 什么方法求得？ 在学生充分思考和交流的前提下，老师介绍树形图的方法。 第一步可能产生的结果为 A 和 B，两者出现的可能性相同且不分先后，写在第 一行。 第二步可能产生的结果有 C、D 和 E，三者出现的可能性相同且不分先后，从 A 和 B 分别画出三个分支，在分支下的第二行分别写上 C、D 和 E。 第三步可能产生的结果有两个 H 和 I，两者出现的可能性相同且不分先后，从 C、 D 和 E 分别画出两个分支，在分支下的第三行分别写上 H 和 I。（如果有更多的步骤 可依上继续） 第四步按竖向把各种可能的结果竖着写在下面，就得到了所有可能的结果的总 数。再找出符合要求的种数，就可以利用概率和意义计算概率了。 教师要详细地讲解以上各步的操作方法。 写出解答过程。 问：此题可以用列表法求出所有可能吗？ 小结：教科书第 136 页左边的结论。 思考：教科书第 137 页的思考题。 二、练习，巩固技能 教科书第 137 页练习。 练习 1 是每次试验涉及 2 个因素的问题，共有 36 种可能的结果； 练习 2 是每次试验涉及 3 个因素的问题，共有 27 种可能的结果。 尽管这 2 个问题可能的结果都比较多，但用树形图的方法并不难求得，重要的 是要让学生正确把握题意，鉴别每次试验涉及的因素以及这些因素的顺序。 二、单元小结 问题：（要求学生思考和讨论） 1． 本单元学习的概率问题有什么特点？ 2． 为了正确地求出所求的概率，我们要求出各种可能的结果，那么通常是用什 么方法求出各种可能的结果呢？ 特点：一次试验中可能出现的结果是有限多个，各种结果发生的可能性是相等 的。 通常可用列表法求得各种可能结果，具体有直接分析列出可能结果，列表法和 树形图法。 作业 设计 必做 教科书 P138：4、5、6 选做 教科书 P139：9 教 学 反 思 教学时间 课题 25.3.1 利用频率估计概率 课型 新授课 教 学 目 标 知 识 和 能 力 1、当事件的试验结果不是有限个或结果发生的可能性不相等时，要用频率来估计概率。 2、通过试验，理解当试验次数较大时试验频率稳定于理论概率，进一步发展概率观念。 过 程 和 方 法 通过实验及分析试验结果、收集数据、处理数据、得出结论的试验过程，体会频率与概 率的联系与区别，发展学生根据频率的集中趋势估计概率的能力。 情 感 态 度 价值观 1、通过具体情境使学生体会到概率是描述不确定事件规律的有效数学模型，在解决问 题中学会用数学的思维方式思考生活中的实际问题的习惯。 2、在活动中进一步发展合作交流的意识和能力。 教学重点 理解当试验次数较大时，试验频率稳定于理论概率。 教学难点 对概率的理解。 教学准备 教师 学生 课 堂 教 学 程 序 设 计 二 次 备 课 一、问题情境： 妈妈有一张马戏团门票，小明、小华和小红都想去看演出，怎么办呢？妈妈想 用掷骰子的办法决定，你觉得这样公平吗？说说你的理由？但由于一时找不到 骰子，妈妈决定用一个小长方体（涂有三种颜色，对面的颜色相同）来代替你 觉得这样公平吗？选哪种颜色获得门票的概率更大？说说你的理由！ 二、合作游戏： 1、实验：二人一组，一人抛掷小长方体，一人负责记录，合作完成 30 次试验， 并完成下面表格一的填写和有关结论的得出。 表格一： 颜色 红 绿 蓝 频 数 频 率 概 率 问题：（1）你认为哪种情况的概率最大？ _________________红色________________________________________. （2）当试验次数较小时,比较三种情况的频率，你能得出什么结论？ 当 试验次数较小时,统计出的频率不能估计概率 . 2、累计收集数据：二人一组，任选自己喜欢的颜色分别汇总其中前两组（60 次）、前三组（90 次）、前四组（120 次）、五组（150 次）。。。。。的试验数据， 完成表格二的填写，并绘制出相应的折线统计图和有关结论的得出。 表格二： 问题:当试验次数较大时,比较数字 色的频率与其相应的概率,你能得到什么 结论？_________________________________________________. 4、得出试验结论。 三、随堂练习。书本 P144 页 “柑橘的损坏率”填写表 25--6 四、拓展提升：解决问题 2 1、 柑橘的损坏率是多少？ 2、 到达目的地后完好的柑橘还有多少千克？ 3、 把损坏的柑橘也算在内，到达目的地后柑橘的成本约是多少元？ 4、 设每千克定价为 x 元，则可以得到的方程是 ？ 五、课堂小结：畅所欲言。 作业 设计 必做 教科书 P145：1、2 选做 教科书 P146：5 教 学 反 思 30 60 90 120 150 180…… 试验次数 频率 试验 次数 30 60 90 120 150 180 210 240 …… 教学时间 课题 25.3.2 利用频率估计概率 课型 新授课 教 学 目 标 知 识 和 能 力 了解模拟实验在求一个实际问题中的作用，进一步提高用数学知识解决实际问题的能 力。 过 程 和 方 法 初步学会对一个简单的问题提出一种可行的模拟实验。 情 感 态 度 价值观 1、提高学生动手能力，加强集体合作意识，丰富知识面，激发学习兴趣。 2、渗透数形结合思想和分类思想。 教学重点 理解用模拟实验解决实际问题的合理性。 教学难点 会对简单问题提出模拟实验策略。 教学准备 教师 学生 课 堂 教 学 程 序 设 计 二 次 备 课 一、问题情境： 小明参加夏令营，一天夜里熄灯了，伸手不见五指，想到明天去八达岭长 城天不亮就出发，想把袜子准备好，而现在又不能开灯。袋子里有尺码相同的 3 双黑袜子和 1 双白袜子，混放在一起，只能摸黑去拿出 2 只。同学们能否求出 摸出的 2 只恰好是一双的可能性？ 问：同学们能否通过实验估计它们恰好是一双的可能性？如果手边没有袜 子应该怎么办？ 问：在摸袜子的实验中，如果用 6 个红色玻璃珠，另外还找了两张扑克牌， 可以混在一起做实验吗？ 答：不可以，用不同的替代物混在一起，大大地改变了实验条件，所以结 果是不准确的。 注意：实验必须在相同的条件下进行，才能得到预期的结果；替代物的选 择必须是合理、简单的。 问：假设用小球模拟问题的实验过程中，用 6 个黑球代替 3 双黑袜子，用 2 个白球代替 1 双白袜子： （1）有一次摸出了 2 个白球，但之后一直忘了把它们放回去，这会影响实 验结果吗？ 答：有影响，如果不放回，就不是 3 双黑袜子和 1 双白袜子的实验，而是 中途变成了 3 双黑袜子实验，这两种实验结果是不一样的。 问：（2）如果不小心把颜色弄错了，用了 2 个黑球和 6 个白球进行实验， 结果会怎样？ 答：小球的颜色不影响恰好是一双的可能性大小 二、问题 3： 一个学习小组有 6 名男生 3 名女生。老师要从小组的学生中先后随机地抽 取 3 人参加几项测试，并且每名学生都可被重复抽取。你能设计一种实验来估 计“被抽取的 3 人中有 2 名男生 1 名女生”的概率的吗？ 下面的表中给出了一些模拟实验的方法，你觉得这些方法合理吗？若不合理请 说明理由： 需要研究的问题 用替代物模拟实验的方法 用什么实物 一枚硬币 一枚图钉 怎样实验 抛起后落地 抛起后落地 考虑哪一事件出现的机会 正面朝上的机会 钉尖朝上的机会 需要研究的问题 用替代物模拟实验的方法 用什么实物 3 个红球 2 个黑球 3 个男生名字 2 个女生名字 怎样实验 摸出 1 个球 摸出 1 个名字 考虑哪一事件出现的机会 恰好摸出红球的 机会 恰好摸出男生名字的机会 三、随堂练习。 （1）在抛一枚均匀硬币的实验中，如果没有硬币，则下列 可作为替代物的是 （ ） A.一颗均匀的骰子 B.瓶盖 C.图钉 D.两张扑克牌（1 张黑桃，1 张红桃） （2）不透明的袋中装有 3 个大小相同的小球，其中 2 个为白 色球，另一个为红色球，每次从袋中摸出一个球，然后放回 搅匀再摸，研究恰好摸出红色小球的机会，以下替代实验方 法不可行的是 （ ） A.用 3 张卡片，分别写上“白”、“红”， “红”然后反复抽取 B.用 3 张卡片，分别写上“白”、“白”、“红”，然后反复抽取 C.用一枚硬币，正面表示“白”，反面表示“红”，然后反复抽取 D.用一个转盘，盘面分：白、红两种颜色，其中白色盘面的面 积为红色的 2 倍，然后反复转动转盘 四、课堂小结：畅所欲言。 作业 设计 必做 教科书 P146：3、4 选做 教科书 P146：6 教 学 反 思 教学时间 课题 25.4 课题学习 键盘上字母的排列规 律 课型 新授课 教 学 目 标 知 识 和 能 力 结合具体情境，初步感受统计推断的合理性，进一步体会概率与统计之间的联系及概率 的广泛应用。 过 程 和 方 法 经历试验、统计等活动，在活动中发展学生的合作交流的意识和能力。 情 感 态 度 价值观 通过具体情境使学生养成乐于接触社会环境中的数学信息，乐于用数学思维去思考生活 中的问题。 教学重点 进一步深刻领会用试验频率来估算概率的方法。 教学难点 对实际问题的分析，并体会用试验步骤来估算概率的方法。 教学准备 教师 学生 课 堂 教 学 程 序 设 计 二 次 备 课 一、问题的提出： 计算机键盘上的英文字母为什么没有按照字母表顺序从 A、B。。。到 Z 排列，如 果那样不是更便于记忆吗？ 二、合作活动 1．收集和分析数据： 统计英语教科书中任一部分中 26 个字母及空格出现的频率（分组合作完成，每 人找其中一个字母的出现频率） （1） 统计每一个字母出现的次数和所有字母出现的总次数。 （2） 计算字母出现的频率 m/n （3） 将字母按出现的频率从小到大的顺序排列出。（学生按所查字母出现频 率从大到小回答，老师在黑板上写出） 出现频率最高的是______,出现频率较低的字母有______________________ 2．结论的应用与解释： 左手 右手 小 无 中 食 食 中 无 小 上 Q W E R T Y U I O P 中 A S D F G H J K L ； 下 Z X C V B N M ， 。 /？ 问：空格键为什么要设计在键盘的下方正中央位置？ 出现频率高的字母一般放在哪里？出现频率低的字母一般放在哪里？为什 么？ 答：键盘上字母的设计，既考虑手指移动的灵活特征，又考虑到各个键的使用频 率大小。 三、随堂练习。汉字使用频率及手机中文输入法的顺序。 四、课堂小结：畅所欲言。 五、课外拓展提升：在计算机中任选一篇 WORD 文档，借助 office 的查找功能 及字数统计功能，统计出某个同音汉字的出现次数，进行分析，按出现频率从 大到小排列，然后与拼音输入法中的排列顺序进行比较，结果一致吗？ 作业 设计 必做 教科书 P151：数学活动 选做 教 学 反 思 第二十五章《概率初步》小结 一、概率 1、事件的划分 必然事件：一定发生的事件为必然事件 事件 不可能事件：一定不发生的事件为不可能事件 随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件 2、概率 （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件 A 发生的频率 m n 会稳定在某个常数 p 附近，那么这个常数 p 就叫事件 A 的概率，记为 P（A）＝p.（其中 n 为实验的次数，m 为事件 A 发生的频数） （2）因为 0≤m≤n，所以 0≤ m n ≤1，即 0≤P（A）≤1。 当 A 为必然发生事件时，m＝n， m n ＝1，P（A）＝1. 当 A 为不可能事件时，m＝0， m n ＝0，P（A）＝0. 当 A 为随机事件时，080000。所以 到第 6 天所有的鸡都会被感染。 （2）过点 O 作 OE⊥CD 交 CD 于点 E，连接 OC、OA，∵OA=5，OC=3，CD=4，∴CE=2。 在 Rt△OCE 中，AE= 5222  OEOA ，∴AC=AE-CE= 252  ，∵AC=BD， ∴AC+BD= 454  。答：这条公路在该免疫区内有（ 454  ）千米。 九年级上册数学期末试卷附参考答案 1．下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是 2．下列计算正确的是 A、 3)3( 2  B、 3)3( 2  C、 39  D、 523  3．一元二次方程 0)2( xx 根的情况是 A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、只有一个实数根 D、没有实数根 4．如图，点 A、B、C、D、O 都在方格纸的格点上，若△COD 是由△AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转而得， A BO C D （ 第 6 A B O M 则旋转的角度为 A、30° B、45° C、90 D、135° （4 题） （5 题） （6 题） （8 题） （9 题） 5．如图所示，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，连结 AC、AD，若∠CAB＝35°，则∠ADC 的度数为 A、35° B、45° C、55° D、65° 6．如图，⊙O 的弦 AB＝8，M 是 AB 的中点，且 OM＝3，则⊙O 的半径等于 A、8 B、4 C、10 D、5 7．有五张卡片（形状、大小、质地都相同），上面分别画有下列图形：①线段；②正三角；③平行四边形； ④等腰梯形；⑤圆。将卡片背面朝上洗匀，从中抽取一张，正面图形满足既是轴对称图形，又是中心对称 图形的概率是 A、 B、 C、 D、 8．如图，锐角三角形 ABC 的高 CD 和高 BE 相交于 O，则与△DOB 相似的三角形个数是 A、1 B、2 C、3 D、4 9．如图，∠1＝∠2，则下列各式中，不能．．说明△ABC∽△ADE 的是 A、∠D＝∠B B、∠E＝∠C C、 D、 10．抛物线 3)2( 2  xy 的顶点坐标是 A、(2， 3 ) B、( 2 ，3) C、(2，3) D、( 2 ， 3 ) 11．一次函数 )0(  abaxy 与二次函数 )0(2  acbxaxy 在同一平面直角坐标系中的图象可能是 A B C D 12．二次函数 cbxaxy  2 的图象如图所示，那么关于 x 的方程 032  cbxax 的根的情况是 A、有两个不相等的实数根 B、有两个异号实数根 A D C B E DA B C O A D B C E 1 2 y xO y x y x y xO O O y O x C、有两个相等的实数根 D、无实数根 Ⅱ（主观卷）96 分 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 13．计算 5 120  的结果是 。新- 课-标 -第-一-网 14．在比例尺为 1∶10000000 的地图上，量得甲、乙两地的距离是 30cm，则两地的实际距离为 km。 15．二次函数 432 2  xxy ，当 x= 时，y 的值最大。 16．如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DE∥BC， AD＝10，BD＝5，AE＝6，则 CE 的长为 。 17．如图，把△ABC 绕点 C 顺时针旋转 25°， 得到△A′B′C，A′B′交 AC 于点 D，若∠A′DC=90°， 则∠A=__________°。 18．已知扇形的圆心角为 45°，弧长等于 2  ，则该扇形的半径是 。 三、解答题（共 78 分） 19．（12 分）计算：（1） 24122 1348  。 [来源:学#科#网 Z#X#X#K] （2）解方程： 522  xx 。 A D E B C B C D A A B A B 1 2 34 42 6 [来源:学。科。网 Z。X。X。K] 20．（10 分）如图，有 A、B 两个转盘，其中转盘 A 被分成 4 等份，转盘 B 被分成 3 等份，并在每一份内 标上数字。现甲、乙两人同时各转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线上时视为无效，重转）， 若将 A 转盘指针指向的数字记为 x，B 转盘指针指向的数字记为 y，从而确定点 P 的坐标为 P（x，y）。记 S=x+y。 （1）请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点 P 的坐标；（4 分） （2）李刚为甲、乙两人设计了一个游戏：当 S<6 时甲获胜，否则乙获胜。你认为这个游戏公平吗？ 对谁有利？（6 分） 21．（8 分）商场某种商品平均每天可销售 30 件，每件盈利 50 元。为了尽快减少库存，商场决定采取适当 的降价措施。经调查发现，每件商品每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件。设每件商品降价 x 元。据 此规律，请回答： （1）商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含 x 的代数式表示）；（2 分） （2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到 2100 元？（6 分） A CB D E m 22．（8 分）二次函数 )0(2  acbxaxy 的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出方程 02  cbxax 的两个根。（2 分） （2）写出不等式 02  cbxax 的解集。（2 分）xkb1 （3）写出 y 随 x 的增大而减小的自变量 x 的取值范围。（2 分） （4）若方程 kcbxax 2 有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围。（2 分） 23．（10 分）已知：如图，在 ABC△ 中，D 是 AC上一点，E 是 AB 上一点，且∠AED=∠C. （1）求证：△AED∽△ACB；（4 分） （2）若 AB=6，AD=4，AC=5，求 AE 的长。（6 分） 24．（8 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，E 为 AB 上的一点，DE=DC，以 D 为圆心，DB 长为半径作⊙D，AB=5，EB=3。 （1）求证：AC 是⊙O 的切线；（4 分） （2）求线段 AC 的长。（4 分） y x4321 3 2 1 O 1 2 1 2 5．（10 分）如图所示，已知正方形 ABCD 中，BE 平分 DBC 且交 CD 边于点 E。将△BCE 绕点 C 顺时针旋 转到△DCF 的位置，并延长 BE 交 DF 于点 G。 （1）求证：△BDG∽△DEG；（4 分） （2）若 EG·BG=4，求 BE 的长。（6 分） A B C D E G F 26．（12 分）如图，抛物线 y＝mx2―2mx―3m(m＞0)与 x 轴交于 A、B 两点， 与 y 轴交于 C 点。 （ 1 ） 请 求 抛 物 线 顶 点 M 的 坐 标 （ 用 含 m 的 代 数 式 表 示 ）， A ， B 两 点 的 坐 标 ；（ 6 分 ） （ 2 ） 经 探 究 可 知 ， △ B C M 与 △ A B C 的 面 积 比 不 变 ， 试 求 出 这 个 比 值 ；（ 6 分 ） 九年级数学答案：人教 20、解：（1）请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点 P 的坐标，如图： （2）（2）这个游戏不公平，其中 S＜6 的可能性为 3 1 ，意味着甲获胜的可能 性为 3 1 ，同样乙获 胜的可能性为 3 2 ，对乙有利． 21、解：（1）2x 50－x （2）由题意得：（50－x）（30＋2x）=2100 化简得：x2－35x+300=0 解得：x1=15， x2=20 ∵该商场为了尽快减少库存，则 x=15 不合题意，舍去. ∴x=20 答：每件商品降价 20 元，商场日盈利可达 2100 元. 22、（1）1,3 （2）1

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