2020年黑龙江省鸡西市中考数学试卷

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文档介绍

2020年黑龙江省鸡西市中考数学试卷

2020 年黑龙江省鸡西市中考数学试卷 一、选择题(每题 3 分,满分 30 分) 1.(3 分)下列各运算中,计算正确的是 ( ) A. 2 2 42 2a a a B. 8 2 4x x x  C. 2 2 2( )x y x xy y    D. 2 3 6( 3 ) 9x x   2.(3 分)下列图标中是中心对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 3.(3 分)如图,由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图,则所需的 小正方体的个数最多是 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9 4.(3 分)一组从小到大排列的数据: x ,3,4,4, 5(x 为正整数),唯一的众数是 4,则 该组数据的平均数是 ( ) A.3.6 B.3.8 或 3.2 C.3.6 或 3.4 D.3.6 或 3.2 5.(3 分)已知关于 x 的一元二次方程 2 2(2 1) 2 0x k x k k     有两个实数根 1x , 2x ,则实 数 k 的取值范围是 ( ) A. 1 4k  B. 1 4k„ C. 4k  D. 1 4k„ 且 0k  6.(3 分)如图,菱形 ABCD 的两个顶点 A ,C 在反比例函数 ky x  的图象上,对角线 AC , BD 的交点恰好是坐标原点 O ,已知 ( 1,1)B  , 120ABC  ,则 k 的值是 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2 7.(3 分)已知关于 x 的分式方程 42 2 x k x x    的解为正数,则 k 的取值范围是 ( ) A. 8 0k   B. 8k   且 2k   C. 8k   且 2k  D. 4k  且 2k   8.(3 分)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 、BD 相交于点 O ,过点 D 作 DH AB 于点 H , 连接 OH ,若 6OA  , 48ABCDS 菱形 ,则 OH 的长为 ( ) A.4 B.8 C. 13 D.6 9.(3 分)在抗击疫情网络知识竞赛中,为奖励成绩突出的学生,学校计划用 200 元钱购买 A 、 B 、 C 三种奖品, A 种每个 10 元, B 种每个 20 元, C 种每个 30 元,在 C 种奖品不 超过两个且钱全部用完的情况下,有多少种购买方案 ( ) A.12 种 B.15 种 C.16 种 D.14 种 10.(3 分)如图,正方形 ABCD 的边长为 a ,点 E 在边 AB 上运动(不与点 A , B 重合), 45DAM  ,点 F 在射线 AM 上,且 2AF BE ,CF 与 AD 相交于点G ,连接 EC 、EF 、 EG .则下列结论: ① 45ECF   ; ② AEG 的周长为 2(1 )2 a ; ③ 2 2 2BE DG EG  ; ④ EAF 的面积的最大值是 21 8 a ; ⑤当 1 3BE a 时, G 是线段 AD 的中点. 其中正确的结论是 ( ) A.①②③ B.②④⑤ C.①③④ D.①④⑤ 二、填空题(每题 3 分,满分 30 分) 11.(3 分) 5G 信号的传播速度为 300000000 /m s ,将数据 300000000 用科学记数法表示 为 . 12.(3 分)在函数 1 2 y x   中,自变量 x 的取值范围是 . 13.(3 分)如图, Rt ABC 和 Rt EDF 中, B D   ,在不添加任何辅助线的情况下,请 你添加一个条件 ,使 Rt ABC 和 Rt EDF 全等. 14.(3 分)一个盒子中装有标号为 1、2、3、4、5 的五个小球,这些球除了标号外都相同, 从中随机摸出两个小球,则摸出的小球标号之和大于 6 的概率为 . 15.(3 分)若关于 x 的一元一次不等式组 1 0 2 0 x x a      有 2 个整数解,则 a 的取值范围是 . 16.(3 分)如图, AD 是 ABC 的外接圆 O 的直径,若 40BAD   ,则 ACB   . 17.(3 分)小明在手工制作课上,用面积为 2150 cm ,半径为15cm的扇形卡纸,围成一个 圆锥侧面,则这个圆锥的底面半径为 cm . 18.(3 分)如图,在边长为 4 的正方形 ABCD 中,将 ABD 沿射线 BD 平移,得到 EGF , 连接 EC 、 GC .求 EC GC 的最小值为 . 19.(3 分)在矩形 ABCD 中, 1AB  , BC a ,点 E 在边 BC 上,且 3 5BE a ,连接 AE , 将 ABE 沿 AE 折叠.若点 B 的对应点 B 落在矩形 ABCD 的边上,则折痕的长为 . 20.(3 分)如图,直线 AM 的解析式为 1y x  与 x 轴交于点 M ,与 y 轴交于点 A ,以 OA 为边作正方形 ABCO ,点 B 坐标为 (1,1) .过点 B 作 1EO MA 交 MA 于点 E ,交 x 轴于点 1O , 过点 1O 作 x 轴的垂线交 MA 于点 1A ,以 1 1O A 为边作正方形 1 1 1 1O A B C ,点 1B 的坐标为 (5,3) .过 点 1B 作 1 2E O MA 交 MA 于 1E ,交 x 轴于点 2O ,过点 2O 作 x 轴的垂线交 MA 于点 2A .以 2 2O A 为边作正方形 2 2 2 2O A B C . .则点 2020B 的坐标 . 三、解答题(满分 60 分) 21.(5 分)先化简,再求值: 2 2 1 6 9(2 )1 1 x x x x x      ,其中 3tan30 3x    . 22.(6 分)如图,正方形网格中,每个小正方形的边长都是一个单位长度,在平面直角坐 标系中, ABC 的三个顶点 (5,2)A 、 (5,5)B 、 (1,1)C 均在格点上. (1)将 ABC 向左平移 5 个单位得到△ 1 1 1A B C ,并写出点 1A 的坐标; (2)画出△ 1 1 1A B C 绕点 1C 顺时针旋转90 后得到的△ 2 2 1A B C ,并写出点 2A 的坐标; (3)在(2)的条件下,求△ 1 1 1A B C 在旋转过程中扫过的面积(结果保留 ) . 23.(6 分)如图,已知二次函数 2y x bx c    的图象经过点 ( 1,0)A  , B (3,0) ,与 y 轴 交于点 C . (1)求抛物线的解析式; (2)抛物线上是否存在点 P ,使 PAB ABC   ,若存在请直接写出点 P 的坐标.若不存 在,请说明理由. 24.(7 分)为了提高学生体质,战胜疫情,某中学组织全校学生宅家一分钟跳绳比赛,全 校跳绳平均成绩是每分钟 99 次,某班班长统计了全班 50 名学生一分钟跳绳成绩,列出的频 数分布直方图如图所示,(每个小组包括左端点,不包括右端点). 求:(1)该班一分钟跳绳的平均次数至少是多少,是否超过全校的平均次数; (2)该班的一个学生说:“我的跳绳成绩是我班的中位数”请你给出该生跳绳成绩的所在范 围; (3)从该班中任选一人,其跳绳次数超过全校平均数的概率是多少. 25.(8 分)为抗击疫情,支持武汉,某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武 汉两地,快递车比货车多往返一趟,如图表示两车离物流公司的距离 y (单位:千米)与快 递车所用时间 x(单位:时)的函数图象,已知货车比快递车早 1 小时出发,到达武汉后用 2 小时装卸货物,按原速、原路返回,货车比快递车最后一次返回物流公司晚 1 小时. (1)求 ME 的函数解析式; (2)求快递车第二次往返过程中,与货车相遇的时间. (3)求两车最后一次相遇时离武汉的距离.(直接写出答案) 26.(8 分)如图①,在 Rt ABC 中, 90ACB   , AC BC ,点 D 、 E 分别在 AC 、 BC 边上, DC EC ,连接 DE 、 AE 、 BD ,点 M 、 N 、 P 分别是 AE 、 BD 、 AB 的中点, 连接 PM 、 PN 、 MN . (1) BE 与 MN 的数量关系是 . (2)将 DEC 绕点 C 逆时针旋转到图②和图③的位置,判断 BE 与 MN 有怎样的数量关系? 写出你的猜想,并利用图②或图③进行证明. 27.(10 分)某农谷生态园响应国家发展有机农业政策,大力种植有机蔬菜,某超市看好甲、 乙两种有机蔬菜的市场价值,经调查甲种蔬菜进价每千克 m 元,售价每千克 16 元;乙种蔬 菜进价每千克 n 元,售价每千克 18 元. (1)该超市购进甲种蔬菜 15 千克和乙种蔬菜 20 千克需要 430 元;购进甲种蔬菜 10 千克和 乙种蔬菜 8 千克需要 212 元,求 m , n的值. (2)该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共 100 千克,且投入资金不少于 1160 元又不多于 1168 元,设购买甲种蔬菜 x 千克 (x 为正整数),求有哪几种购买方案. (3)在(2)的条件下,超市在获得的利润取得最大值时,决定售出的甲种蔬菜每千克捐出 2a 元,乙种蔬菜每千克捐出 a 元给当地福利院,若要保证捐款后的利润率不低于 20% ,求 a 的最大值. 28.(10 分)如图,在平面直角坐标系中,矩形 ABCD 的边 AB 长是 2 3 18 0x x   的根, 连接 BD , 30DBC   ,并过点 C 作 CN BD ,垂足为 N ,动点 P 从 B 点以每秒 2 个单 位长度的速度沿 BD 方向匀速运动到 D 点为止;点 M 沿线段 DA 以每秒 3 个单位长度的速 度由点 D 向点 A 匀速运动,到点 A 为止,点 P 与点 M 同时出发,设运动时间为 t 秒 ( 0)t  . (1)线段 CN  ; (2)连接 PM 和 MN ,求 PMN 的面积 s 与运动时间 t 的函数关系式; (3)在整个运动过程中,当 PMN 是以 PN 为腰的等腰三角形时,直接写出点 P 的坐标. 2020 年黑龙江省鸡西市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(每题 3 分,满分 30 分) 1.(3 分)下列各运算中,计算正确的是 ( ) A. 2 2 42 2a a a B. 8 2 4x x x  C. 2 2 2( )x y x xy y    D. 2 3 6( 3 ) 9x x   【解答】解: A 、 2 2 42 2a a a ,正确; B 、 8 2 6x x x  ,故此选项错误; C 、 2 2 2( ) 2x y x xy y    ,故此选项错误; D 、 2 3 6( 3 ) 27x x   ,故此选项错误; 故选: A . 2.(3 分)下列图标中是中心对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 【解答】解: A .是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不合题意; B .是中心对称图形,故本选项符合题意; C .是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不合题意; D .是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不合题意. 故选: B . 3.(3 分)如图,由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图,则所需的 小正方体的个数最多是 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9 【解答】解:综合主视图与左视图,第一行第 1 列最多有 2 个,第一行第 2 列最多有 1 个; 第二行第 1 列最多有 3 个,第二行第 2 列最多有 1 个; 所以最多有: 2 1 3 1 7    (个 ) . 故选: B . 4.(3 分)一组从小到大排列的数据: x ,3,4,4, 5(x 为正整数),唯一的众数是 4,则 该组数据的平均数是 ( ) A.3.6 B.3.8 或 3.2 C.3.6 或 3.4 D.3.6 或 3.2 【解答】解:从小到大排列的数据: x ,3,4,4, 5(x 为正整数),唯一的众数是 4, 2x  或 1x  , 当 2x  时,这组数据的平均数为 2 3 4 4 5 3.65      ; 当 1x  时,这组数据的平均数为 1 3 4 4 5 3.45      ; 即这组数据的平均数为 3.4 或 3.6, 故选: C . 5.(3 分)已知关于 x 的一元二次方程 2 2(2 1) 2 0x k x k k     有两个实数根 1x , 2x ,则实 数 k 的取值范围是 ( ) A. 1 4k  B. 1 4k„ C. 4k  D. 1 4k„ 且 0k  【解答】解:关于 x 的一元二次方程 2 2(2 1) 2 0x k x k k     有两个实数根 1x , 2x , △ 2 2[ (2 1)] 4 1 ( 2 ) 0k k k       … , 解得: 1 4k„ . 故选: B . 6.(3 分)如图,菱形 ABCD 的两个顶点 A ,C 在反比例函数 ky x  的图象上,对角线 AC , BD 的交点恰好是坐标原点 O ,已知 ( 1,1)B  , 120ABC  ,则 k 的值是 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2 【解答】解:四边形 ABCD 是菱形, BA AD  , AC BD , 120ABC   , 60BAD   , ABD 是等边三角形, 点 ( 1,1)B  , 2OB  , 6tan30 OBAO   , 直线 BD 的解析式为 y x  , 直线 AD 的解析式为 y x , 6OA  , 点 A 的坐标为 ( 3 , 3) , 点 A 在反比例函数 ky x  的图象上, 3 3 3k    , 故选: C . 7.(3 分)已知关于 x 的分式方程 42 2 x k x x    的解为正数,则 k 的取值范围是 ( ) A. 8 0k   B. 8k   且 2k   C. 8k   且 2k  D. 4k  且 2k   【解答】解:分式方程 42 2 x k x x    , 去分母得: 4( 2)x x k    , 去括号得: 4 8x x k    , 解得: 8 3 kx  , 由分式方程的解为正数,得到 8 03 k   ,且 8 23 k   , 解得: 8k   且 2k   . 故选: B . 8.(3 分)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 、BD 相交于点 O ,过点 D 作 DH AB 于点 H , 连接 OH ,若 6OA  , 48ABCDS 菱形 ,则 OH 的长为 ( ) A.4 B.8 C. 13 D.6 【解答】解:四边形 ABCD 是菱形, 6OA OC   , OB OD , AC BD , 12AC  , DH AB , 90BHD   , 1 2OH BD  , 菱形 ABCD 的面积 1 1 12 482 2AC BD BD       , 8BD  , 1 42OH BD   ; 故选: A . 9.(3 分)在抗击疫情网络知识竞赛中,为奖励成绩突出的学生,学校计划用 200 元钱购买 A 、 B 、 C 三种奖品, A 种每个 10 元, B 种每个 20 元, C 种每个 30 元,在 C 种奖品不 超过两个且钱全部用完的情况下,有多少种购买方案 ( ) A.12 种 B.15 种 C.16 种 D.14 种 【解答】解:设购买 A 种奖品 m 个,购买 B 种奖品 n个, 当 C 种奖品个数为 1 个时, 根据题意得10 20 30 200m n   , 整理得 2 17m n  , m 、 n都是正整数, 0 2 17m  , 1m  ,2,3,4,5,6,7,8; 当 C 种奖品个数为 2 个时, 根据题意得10 20 60 200m n   , 整理得 2 14m n  , m 、 n都是正整数, 0 2 14m  , 1m  ,2,3,4,5,6; 有8 6 14  种购买方案. 故选: D . 10.(3 分)如图,正方形 ABCD 的边长为 a ,点 E 在边 AB 上运动(不与点 A , B 重合), 45DAM  ,点 F 在射线 AM 上,且 2AF BE ,CF 与 AD 相交于点G ,连接 EC 、EF 、 EG .则下列结论: ① 45ECF   ; ② AEG 的周长为 2(1 )2 a ; ③ 2 2 2BE DG EG  ; ④ EAF 的面积的最大值是 21 8 a ; ⑤当 1 3BE a 时, G 是线段 AD 的中点. 其中正确的结论是 ( ) A.①②③ B.②④⑤ C.①③④ D.①④⑤ 【解答】解:如图 1 中,在 BC 上截取 BH BE ,连接 EH . BE BH , 90EBH  , 2EH BE  , 2AF BE , AF EH  , 45DAM EHB     , 90BAD   , 135FAE EHC    , BA BC , BE BH , AE HC  , ( )FAE EHC SAS   , EF EC  , AEF ECH   , 90ECH CEB     , 90AEF CEB    , 90FEC  , 45ECF EFC     ,故①正确, 如图 2 中,延长 AD 到 H ,使得 DH BE ,则 ( )CBE CDH SAS   , ECB DCH   , 90ECH BCD     , 45ECG GCH     , CG CG , CE CH , ( )GCE GCH SAS   , EG GH  , GH DG DH  , DH BE , EG BE DG   ,故③错误, AEG 的 周 长 2AE EG AG AE AH AD DH AE AE EB AD AB AD a              ,故②错误, 设 BE x ,则 AE a x  , 2AF x , 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )2 2 2 2 4 4 2 2 8AEFS a x x x ax x ax a a x a a                , 1 02   , 1 2x a  时, AEF 的面积的最大值为 21 8 a .故④正确, 当 1 3BE a 时,设 DG x ,则 1 3EG x a  , 在 Rt AEG 中,则有 2 2 21 2( ) ( ) ( )3 3x a a x a    , 解得 2 ax  , AG GD  ,故⑤正确, 故选: D . 二、填空题(每题 3 分,满分 30 分) 11.(3 分)5G 信号的传播速度为300000000 /m s ,将数据 300000000 用科学记数法表示为 83 10 . 【解答】解: 8300000000 3 10  . 故答案为: 83 10 . 12.(3 分)在函数 1 2 y x   中,自变量 x 的取值范围是 2x  . 【解答】解:由题意得, 2 0x   , 解得 2x  . 故答案为: 2x  . 13.(3 分)如图, Rt ABC 和 Rt EDF 中, B D   ,在不添加任何辅助线的情况下,请 你 添加 一个 条件 (AB ED BC DF  或 AC EF 或 AE CF 等 ) , 使 Rt ABC 和 Rt EDF 全等. 【解答】解:添加的条件是: AB ED , 理由是:在 ABC 和 EDF 中 B D AB ED A DEF         , ( )ABC EDF ASA   , 故答案为: AB ED . 14.(3 分)一个盒子中装有标号为 1、2、3、4、5 的五个小球,这些球除了标号外都相同, 从中随机摸出两个小球,则摸出的小球标号之和大于 6 的概率为 2 5 . 【解答】解:画树状图如图所示: 共有 20 种等可能的结果,摸出的两个小球的标号之和大于 6 的有 8 种结果, 摸出的两个小球的标号之和大于 6 的概率为 8 2 20 5  , 故答案为: 2 5 . 15.(3 分)若关于 x 的一元一次不等式组 1 0 2 0 x x a      有 2 个整数解,则 a 的取值范围是 6 8a „ . 【解答】解:解不等式 1 0x   ,得: 1x  , 解不等式 2 0x a  ,得: 2 ax  , 则不等式组的解集为1 2 ax  , 不等式组有 2 个整数解, 不等式组的整数解为 2、3, 则 3 42 a „ , 解得 6 8a „ , 故答案为: 6 8a „ . 16.(3 分)如图,AD 是 ABC 的外接圆 O 的直径,若 40BAD   ,则 ACB  50  . 【解答】解:连接 BD ,如图, AD 为 ABC 的外接圆 O 的直径, 90ABD   , 90 90 40 50D BAD          , 50ACB D    . 故答案为 50. 17.(3 分)小明在手工制作课上,用面积为 2150 cm ,半径为15cm的扇形卡纸,围成一个 圆锥侧面,则这个圆锥的底面半径为 10 cm . 【解答】解: 1 2S l R  ,  1 15 1502 l   ,解得 20l  , 设圆锥的底面半径为 r , 2 20r   , 10( )r cm  . 故答案为:10. 18.(3 分)如图,在边长为 4 的正方形 ABCD 中,将 ABD 沿射线 BD 平移,得到 EGF , 连接 EC 、 GC .求 EC GC 的最小值为 4 5 . 【解答】解:如图,连接 DE ,作点 D 关于直线 AE 的对称点T ,连接 AT , ET , CT . 四边形 ABCD 是正方形, 4AB BC AD    , 90ABC   , 45ABD   , / /AE BD , 45EAD ABD     , D ,T 关于 AE 对称, 4AD AT   , 45TAE EAD    , 90TAD   , 90BAD   , B , A ,T 共线, 2 2 4 5CT BT BC    , EG CD , / /EG CD , 四边形 EGCD 是平行四边形, CG EC  , EC CG EC ED EC TE      , TE EC TC … , 4 5EC CG  … , EC CG  的最小值为 4 5 . 19.(3 分)在矩形 ABCD 中, 1AB  , BC a ,点 E 在边 BC 上,且 3 5BE a ,连接 AE , 将 ABE 沿 AE 折叠.若点 B 的对应点 B 落在矩形 ABCD 的边上,则折痕的长为 2 或 30 5 . 【解答】解:分两种情况: ①当点 B 落在 AD 边上时,如图 1 所示: 四边形 ABCD 是矩形, 90BAD B     , 将 ABE 沿 AE 折叠.点 B 的对应点 B 落在矩形 ABCD 的 AD 边上, 1 452BAE B AE BAD       , ABE 是等腰直角三角形, 1AB BE   , 2 2AE AB  ; ②当点 B 落在 CD 边上时,如图 2 所示: 四边形 ABCD 是矩形, 90BAD B C D        , AD BC a  , 将 ABE 沿 AE 折叠.点 B 的对应点 B 落在矩形 ABCD 的 CD边上, 90B AB E    , 1AB AB   , 3 5BE BE a   , 3 2 5 5CE BC BE a a a      , 2 2 21B D AB AD a     , 在 ADB 和△ B CE 中, 90B AD EB C AB D        , 90D C     , ADB ∽ △ B CE ,  B D AB EC B E    ,即 21 1 2 3 5 5 a a a   , 解得: 5 3a  ,或 0a  (舍去), 3 5 5 5BE a   , 2 2 2 25 301 ( )5 5AE AB BE      ; 综上所述,折痕的长为 2 或 30 5 ; 故答案为: 2 或 30 5 . 20.(3 分)如图,直线 AM 的解析式为 1y x  与 x 轴交于点 M ,与 y 轴交于点 A ,以 OA 为边作正方形 ABCO ,点 B 坐标为 (1,1) .过点 B 作 1EO MA 交 MA 于点 E ,交 x 轴于点 1O , 过点 1O 作 x 轴的垂线交 MA 于点 1A ,以 1 1O A 为边作正方形 1 1 1 1O A B C ,点 1B 的坐标为 (5,3) .过 点 1B 作 1 2E O MA 交 MA 于 1E ,交 x 轴于点 2O ,过点 2O 作 x 轴的垂线交 MA 于点 2A .以 2 2O A 为边作正方形 2 2 2 2O A B C . .则点 2020B 的坐标 20202 3 1  , 20203 . 【解答】解:点 B 坐标为 (1,1) , 1 1OA AB BC CO CO      , 1(2,3)A , 1 1 1 1 1 1 1 2 3AO A B B C C O     , 1(5,3)B , 2 (8,9)A , 2 2 2 2 2 2 2 3 9A O A B B C C O     , 2 (17,9)B , 同理可得 4 (53,27)B , 5 (161,81)B ,  由上可知, (2 3 1,3 )Bn n n  , 当 2020n  时, (2 32020 1,32020)Bn   . 故答案为: 2020(2 3 1  , 20203 ) . 三、解答题(满分 60 分) 21.(5 分)先化简,再求值: 2 2 1 6 9(2 )1 1 x x x x x      ,其中 3tan30 3x    . 【解答】解:原式 22 2 1 ( 3)( )1 1 ( 1)( 1) x x x x x x x         2 3 ( 1)( 1) 1 ( 3) x x x x x      1 3 x x   , 当 33tan30 3 3 3 3 33x         时, 原式 3 3 1 3 3 3     3 4 3  4 31 3   . 22.(6 分)如图,正方形网格中,每个小正方形的边长都是一个单位长度,在平面直角坐 标系中, ABC 的三个顶点 (5,2)A 、 (5,5)B 、 (1,1)C 均在格点上. (1)将 ABC 向左平移 5 个单位得到△ 1 1 1A B C ,并写出点 1A 的坐标; (2)画出△ 1 1 1A B C 绕点 1C 顺时针旋转90 后得到的△ 2 2 1A B C ,并写出点 2A 的坐标; (3)在(2)的条件下,求△ 1 1 1A B C 在旋转过程中扫过的面积(结果保留 ) . 【解答】解:(1)如图所示,△ 1 1 1A B C 即为所求,点 1A 的坐标为 (0,2) ; (2)如图所示,△ 2 2 1A B C 即为所求,点 2A 的坐标为 ( 3, 3)  ; (3)如图, 2 24 4 4 2BC    , △ 1 1 1A B C 在旋转过程中扫过的面积为: 290 (4 2) 1 3 4 8 6360 2        . 23.(6 分)如图,已知二次函数 2y x bx c    的图象经过点 ( 1,0)A  , B (3,0) ,与 y 轴 交于点 C . (1)求抛物线的解析式; (2)抛物线上是否存在点 P ,使 PAB ABC   ,若存在请直接写出点 P 的坐标.若不存 在,请说明理由. 【解答】解:(1)根据题意得 1 0 9 3 0 b c b c         , 解得 2 3 b c    . 故抛物线的解析式为 2 2 3y x x    ; (2)二次函数 2 2 3y x x    的对称轴是 ( 1 3) 2 1x      , 当 0x  时, 3y  , 则 (0,3)C , 点 C 关于对称轴的对应点 1(2,3)P , 设直线 BC 的解析式为 3y kx  , 则 3 3 0k   , 解得 1k   . 则直线 BC 的解析式为 3y x   , 设与 BC 平行的直线 AP 的解析式为 y x m   , 则1 0m  , 解得 1m   . 则与 BC 平行的直线 AP 的解析式为 1y x   , 联立抛物线解析式得 2 1 2 3 y x y x x         , 解得 1 1 4 5 x y     , 2 2 1 0 x y     (舍去). 2 (4, 5)P  . 综上所述, 1(2,3)P , 2 (4, 5)P  . 24.(7 分)为了提高学生体质,战胜疫情,某中学组织全校学生宅家一分钟跳绳比赛,全 校跳绳平均成绩是每分钟 99 次,某班班长统计了全班 50 名学生一分钟跳绳成绩,列出的频 数分布直方图如图所示,(每个小组包括左端点,不包括右端点). 求:(1)该班一分钟跳绳的平均次数至少是多少,是否超过全校的平均次数; (2)该班的一个学生说:“我的跳绳成绩是我班的中位数”请你给出该生跳绳成绩的所在范 围; (3)从该班中任选一人,其跳绳次数超过全校平均数的概率是多少. 【 解 答 】 解 :( 1 ) 该 班 一 分 钟 跳 绳 的 平 均 次 数 至 少 是 : 60 4 80 13 100 19 120 7 140 5 160 2 100.850             , 100.8 100 , 超过全校的平均次数; (2)这个学生的跳绳成绩在该班是中位数,因为 4 13 19 36   ,所以中位数一定在 100 ~120 范围内; (3)该班 60 秒跳绳成绩大于或等于 100 次的有:19 7 5 2 33    (人 ) , 故从该班中任选一人,其跳绳次数超过全校平均数的概率是 33 50 . 25.(8 分)为抗击疫情,支持武汉,某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武 汉两地,快递车比货车多往返一趟,如图表示两车离物流公司的距离 y (单位:千米)与快 递车所用时间 x(单位:时)的函数图象,已知货车比快递车早 1 小时出发,到达武汉后用 2 小时装卸货物,按原速、原路返回,货车比快递车最后一次返回物流公司晚 1 小时. (1)求 ME 的函数解析式; (2)求快递车第二次往返过程中,与货车相遇的时间. (3)求两车最后一次相遇时离武汉的距离.(直接写出答案) 【解答】解:(1)设 ME 的函数解析式为 ( 0)y kx b k   ,由 ME 经过 (0,50) , (3,200) 可 得: 50 3 200 b k b     ,解得 50 50 k b    , ME 的解析式为 50 50y x  ; (2)设 BC 的函数解析式为 y mx n  ,由 BC 经过 (4,0) , (6,200) 可得: 4 0 6 200 m n m n      ,解得 100 400 m n     , BC 的函数解析式为 100 400y x  ; 设 FG 的函数解析式为 y px q  ,由 FG 经过 (5,200) , (9,0) 可得: 5 200 9 0 p q p q      ,解得 50 450 p q     , FG 的函数解析式为 50 450y x   , 解方程组 100 400 50 450 y x y x       得 17 3 500 3 x y     , 同理可得 7x h , 答:货车返回时与快递车图中相遇的时间 17 3 h , 7h ; (3) (9 7) 50 100( )km   , 答:两车最后一次相遇时离武汉的距离为100km . 26.(8 分)如图①,在 Rt ABC 中, 90ACB   , AC BC ,点 D 、 E 分别在 AC 、 BC 边上, DC EC ,连接 DE 、 AE 、 BD ,点 M 、 N 、 P 分别是 AE 、 BD 、 AB 的中点, 连接 PM 、 PN 、 MN . (1) BE 与 MN 的数量关系是 2BE NM . (2)将 DEC 绕点 C 逆时针旋转到图②和图③的位置,判断 BE 与 MN 有怎样的数量关系? 写出你的猜想,并利用图②或图③进行证明. 【解答】解:(1)如图①中, AM ME , AP PB , / /PM BE , 1 2PM BE , BN DN , AP PB , / /PN AD , 1 2PN AD , AC BC , CD CE , AD BE  , PM PN  , 90ACB   , AC BC  , / /PM BC , / /PN AC , PM PN  , PMN 的等腰直角三角形, 2MN PM  , 12 2MN BE   , 2BE MN  , 故答案为 2BE MN . (2)如图②中,结论仍然成立. 理由:连接 AD ,延长 BE 交 AD 于点 H . ABC 和 CDE 是等腰直角三角形, CD CE  , CA CB , 90ACB DCE     , ACB ACE DCE ACE       , ACD ECB   , ( )ECB DCA AAS   , BE AD  , DAC EBC   , 180 ( )AHB HAB ABH       180 (45 )HAC ABH        180 (45 )HBC ABH         180 90    90  , BH AD  , M 、 N 、 P 分别为 AE 、 BD 、 AB 的中点, / /PM BE , 1 2PM BE , / /PN AD , 1 2PN AD , PM PN  , 90MPN   , 22 2 22BE PM MN MN     . 27.(10 分)某农谷生态园响应国家发展有机农业政策,大力种植有机蔬菜,某超市看好甲、 乙两种有机蔬菜的市场价值,经调查甲种蔬菜进价每千克 m 元,售价每千克 16 元;乙种蔬 菜进价每千克 n 元,售价每千克 18 元. (1)该超市购进甲种蔬菜 15 千克和乙种蔬菜 20 千克需要 430 元;购进甲种蔬菜 10 千克和 乙种蔬菜 8 千克需要 212 元,求 m , n的值. (2)该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共 100 千克,且投入资金不少于 1160 元又不多于 1168 元,设购买甲种蔬菜 x 千克 (x 为正整数),求有哪几种购买方案. (3)在(2)的条件下,超市在获得的利润取得最大值时,决定售出的甲种蔬菜每千克捐出 2a 元,乙种蔬菜每千克捐出 a 元给当地福利院,若要保证捐款后的利润率不低于 20% ,求 a 的最大值. 【解答】解:(1)依题意,得: 15 20 430 10 8 212 m n m n      , 解得: 10 14 m n    . 答: m 的值为 10, n 的值为 14. (2)依题意,得: 10 14(100 ) 1160 10 14(100 ) 1168 x x x x      … „ , 解得: 58 60x„ „ . 又 x 为正整数, x 可以为 58,59,60, 共有 3 种购买方案,方案 1:购进 58 千克甲种蔬菜,42 千克乙种蔬菜;方案 2:购进 59 千克甲种蔬菜,41 千克乙种蔬菜;方案 3:购进 60 千克甲种蔬菜,40 千克乙种蔬菜. (3)购买方案 1 的总利润为 (16 10) 58 (18 14) 42 516      (元 ) ; 购买方案 2 的总利润为 (16 10) 59 (18 14) 41 518      (元 ) ; 购买方案 3 的总利润为 (16 10) 60 (18 14) 40 520      (元 ) . 516 518 520  , 利润最大值为 520 元,即售出甲种蔬菜 60 千克,乙种蔬菜 40 千克. 依题意,得: (16 10 2 ) 60 (18 14 ) 40 (10 60 14 40) 20%a a          … , 解得: 9 5a„ . 答: a 的最大值为 9 5 . 28.(10 分)如图,在平面直角坐标系中,矩形 ABCD 的边 AB 长是 2 3 18 0x x   的根, 连接 BD , 30DBC   ,并过点 C 作 CN BD ,垂足为 N ,动点 P 从 B 点以每秒 2 个单 位长度的速度沿 BD 方向匀速运动到 D 点为止;点 M 沿线段 DA 以每秒 3 个单位长度的速 度由点 D 向点 A 匀速运动,到点 A 为止,点 P 与点 M 同时出发,设运动时间为 t 秒 ( 0)t  . (1)线段 CN  3 3 ; (2)连接 PM 和 MN ,求 PMN 的面积 s 与运动时间 t 的函数关系式; (3)在整个运动过程中,当 PMN 是以 PN 为腰的等腰三角形时,直接写出点 P 的坐标. 【解答】解:(1) AB 长是 2 3 18 0x x   的根, 6AB  , 四边形 ABCD 是矩形, AD BC  , 6AB CD  , 90BCD   , 30DBC   , 2 12BD CD   , 3 6 3BC CD  , 30DBC   , CN BD , 1 3 32CN BC   , 故答案为: 3 3 . (2)如图,过点 M 作 MH BD 于 H , / /AD BC , 30ADB DBC     , 1 3 2 2MH MD t   , 30DBC   , CN BD , 3 9BN CN   , 当 90 2t  时, PMN 的面积 21 3 3 9 3(9 2 )2 2 2 4s t t t t       ; 当 9 2t  时,点 P 与点 N 重合, 0s  , 当 9 62 t „ 时, PMN 的面积 21 3 3 9 3(2 9)2 2 2 4s t t t t      ; (3)如图,过点 P 作 PE BC 于 E , 当 9 2PN PM t   时, 2 2 2PM MH PH  , 2 2 23 3(9 2 ) ( ) (12 2 )2 2t t t t      , 3t  或 7 3t  , 6BP  或 14 3 , 当 6BP  时, 30DBC   , PE BC , 1 32PE BP   , 3 3 3BE PE  , 点 (3 3P , 3) , 当 14 3BP  时, 同理可求点 7 3( 3P , 7)3 , 当 9 2PN NM t   时, 2 2 2NM MH NH  , 2 2 23 3(9 2 ) ( ) ( 3)2 2t t t     , 3t  或 24(不合题意舍去), 6BP  , 点 (3 3P , 3) , 综上所述:点 P 坐标为 (3 3 , 3) 或 7 3( 3 , 7)3 .
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