2020全国中考数学试卷分类汇编专题22 等腰三角形

2020全国中考数学试卷分类汇编专题22 等腰三角形

等腰三角形 ‎ 一.选择题 ‎1.（3分2020年辽宁省辽阳市）一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝20°，则∠2的度数是（　　）‎ A．15° B．20° C．25° D．40°‎ ‎【分析】根据平行线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵AB∥CD，‎ ‎∴∠3＝∠1＝20°，‎ ‎∵三角形是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠2＝45°﹣∠3＝25°，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．‎ ‎2. . 2020年青海省等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（ ）‎ A. 55°，55° B. 70°，40°或70°，55° C. 70°，40° D. 55°，55°或70°，40°‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 先根据等腰三角形的定义，分的内角为顶角和的内角为底角两种情况，再分别根据三角形的内角和定理即可得．‎ ‎【详解】（1）当的内角为这个等腰三角形的顶角 则另外两个内角均为底角，它们的度数为 ‎（2）当的内角为这个等腰三角形的底角 则另两个内角一个为底角，一个为顶角 底角为，顶角为 综上，另外两个内角的度数分别是或 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的内角和定理，根据等腰三角形的定义，正确分两种情况讨论是解题关键．‎ ‎3. （2020•四川省甘孜州•3分）如图，等腰△中，点D，E分别在腰AB，AC上，添加下列条件，不能判定≌的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全等三角形的判定方法逐项判断即得答案．‎ ‎【详解】解： A.若添加，由于AB=AC，∠A是公共角，则可根据SAS判定≌，故本选项不符合题意；‎ B.若添加，不能判定≌，故本选项符合题意；‎ C.若添加，由于AB=AC，∠A是公共角，则可根据AAS判定≌，故本选项不符合题意；‎ D.若添加，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABE=∠ACD，由于∠A是公共角，则可根据ASA判定≌，故本选项不符合题意．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了全等三角形的判定和等腰三角形的性质，属于基本题型，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．‎ ‎4. （2020•山东济宁市•3分）一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C在海岛在海岛A的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上．则海岛B到灯塔C的距离是（ ）‎ A. 15海里 B. 20海里 C. 30海里 D. 60海里 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意画出图形，根据三角形外角性质求出∠C=∠CAB=42°，根据等角对等边得出BC=AB，求出AB即可．‎ ‎【详解】解：∵根据题意得：∠CBD=84°，∠CAB=42°，‎ ‎∴∠C=∠CBD-∠CAB=42°=∠CAB，‎ ‎∴BC=AB，‎ ‎∵AB=15海里/时×2时=30海里，‎ ‎∴BC=30海里，‎ 即海岛B到灯塔C的距离是30海里．‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定和三角形的外角性质，关键是求出∠C=∠CAB，题目比较典型，难度不大．‎ ‎5.（2020•山东聊城市•3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝65°，点D是BC 边上任意一点，过点D作DF∥AB交AC于点E，则∠FEC的度数是（　　）‎ A．120° B．130° C．145° D．150°‎ ‎【分析】由等腰三角形的性质得出∠B＝∠C＝65°，由平行线的性质得出∠CDE＝∠B＝65°，再由三角形的外角性质即可得出答案．‎ ‎【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝65°，‎ ‎∴∠B＝∠C＝65°，‎ ‎∵DF∥AB，‎ ‎∴∠CDE＝∠B＝65°，‎ ‎∴∠FEC＝∠CDE+∠C＝65°+65°＝130°；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质以及三角形的外角性质；熟练掌握等腰三角形的性质和平行线的性质是解题的关键．‎ ‎6.（2020•山东临沂市•3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，CD∥AB，则∠BCD＝（　　）‎ A．40° B．50° C．60° D．70°‎ ‎【分析】根据等腰三角形的性质可求∠ACB，再根据平行线的性质可求∠BCD．‎ ‎【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，‎ ‎∴∠ACB＝70°，‎ ‎∵CD∥AB，‎ ‎∴∠ACD＝180°﹣∠A＝140°，‎ ‎∴∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB＝70°．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，关键是求出∠ACB和∠‎ ‎7. （2020•福建省•4分）如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（　　）‎ A．10 B．5 C．4 D．3‎ ‎【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可求解．‎ ‎【解答】解：∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，‎ ‎∴CD＝5．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】考查了等腰三角形的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．‎ ‎8. （2020•四川省南充市•4分）如图，在等腰三角形ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，AB=AC=a，BC=b，则CD=（ ）‎ A. B. C. a-b D. b-a ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等腰三角形的性质和判定得出BD=BC=AD，进而解答即可．‎ ‎【详解】解：∵在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，‎ ‎∴∠ABC=∠C=2∠ABD=72°，‎ ‎∴∠ABD=36°=∠A，‎ ‎∴BD=AD，‎ ‎∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C，‎ ‎∴BD=BC，‎ ‎∵AB=AC=a，BC=b，‎ ‎∴CD=AC-AD=a-b，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和判定得出BD=BC=AD解答．‎ 二.填空题 ‎1. （2020年山东省滨州市5分）在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A的大小为　80°　．‎ ‎【分析】根据等腰三角形两底角相等可求∠C，再根据三角形内角和为180°列式进行计算即可得解．‎ ‎【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝50°，‎ ‎∴∠C＝∠B＝50°，‎ ‎∴∠A＝180°﹣2×50°＝80°．‎ 故答案为：80°．‎ ‎【点评】本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等的性质．‎ ‎（2020•贵州省安顺市•4分）如图，△ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD垂直于BE的延长线于点D，BD＝8，AC＝11，则边BC的长为　　．‎ ‎【分析】延长BD到F，使得DF＝BD，根据等腰三角形的性质与判定，勾股定理即可求出答案．‎ ‎【解答】解：延长BD到F，使得DF＝BD，‎ ‎∵CD⊥BF，‎ ‎∴△BCF是等腰三角形，‎ ‎∴BC＝CF，‎ 过点C点作CH∥AB，交BF于点H ‎∴∠ABD＝∠CHD＝2∠CBD＝2∠F，‎ ‎∴HF＝HC，‎ ‎∵BD＝8，AC＝11，‎ ‎∴DH＝BH﹣BD＝AC﹣BD＝3，‎ ‎∴HF＝HC＝8﹣3＝5，‎ 在Rt△CDH，‎ ‎∴由勾股定理可知：CD＝4，‎ 在Rt△BCD中，‎ ‎∴BC＝＝4，‎ 故答案为：4‎ ‎【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质与判定，本题属于中等题型．‎ 三.解答题 ‎1.（2020•广东省•6分）如题20图，在△ABC中，点D.E分别是AB.AC边上的点，BD=CE，∠ABE=∠ACD，BE与CD相交于点F．求证：△ABC是等腰三角形．‎ ‎【答案】‎ 证明：‎ ‎∵BD=CE，∠ABE=∠ACD，∠DFB=∠CFE ‎∴△BFDF≌△CFE（AAS）‎ ‎∴∠DBF=∠ECF ‎∵∠DBF+∠ABE=∠ECF+∠ACD ‎∴∠ABC=∠ACB ‎∴AB=AC ‎∴△ABC是等腰三角形 ‎【解析】等式的性质、等角对等边 ‎【考点】全等三角形的判定方法、等腰三角形的判定方法 ‎2.（2020•贵州省安顺市•10分）如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD交于点E，⊙O的切线AF交BD的延长线于点F，切点为A，且∠CAD＝∠ABD．‎ ‎（1）求证：AD＝CD；‎ ‎（2）若AB＝4，BF＝5，求sin∠BDC的值．‎ ‎【分析】（1）根据圆周角定理得∠ABD＝∠ACD，进而得∠ACD＝∠CAD，便可由等腰三角形判定定理得AD＝CD；‎ ‎（2）证明△ADF≌△ADE，得AE＝AF，DE＝DF，由勾股定理求得AF，由三角形面积公式求得AD，进而求得DE，BE，再证明△BEC∽△AED，得BC，进而求得sin∠BAC便可．‎ ‎【解答】解：（1）证明：∵∠CAD＝∠ABD，‎ 又∵∠ABD＝∠ACD，‎ ‎∴∠ACD＝∠CAD，‎ ‎∴AD＝CD；‎ ‎（2）∵AF是⊙O的切线，‎ ‎∴∠FAB＝90°，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB＝∠ADB＝∠ADF＝90°，‎ ‎∴∠ABD+∠BAD＝∠BAD+∠FAD＝90°，‎ ‎∴∠ABD＝∠FAD，‎ ‎∵∠ABD＝∠CAD，‎ ‎∴∠FAD＝∠EAD，‎ ‎∵AD＝AD，‎ ‎∴△ADF≌△ADE（ASA），‎ ‎∴AF＝AE，DF＝DE，‎ ‎∵AB＝4，BF＝5，‎ ‎∴AF＝，‎ ‎∴AE＝AF＝3，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴DE＝，‎ ‎∴BE＝BF﹣2DE＝，‎ ‎∵∠AED＝∠BEC，∠ADE＝∠BCE＝90°，‎ ‎∴△BEC∽△AED，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵∠BDC＝∠BAC，‎ ‎∴．‎ ‎【点评】本题主要考查了圆的切线的性质，圆周角定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解直角三角形的应用，勾股定理，关键是证明三角形全等与相似．‎ ‎3. 16. 2020年内蒙古通辽市如图，在中，，点P在斜边上，以为直角边作等腰直角三角形，，则三者之间的数量关系是_____．‎ ‎【答案】PA2+PB2=PQ2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把AP2和PB2都用PC和CD表示出来，结合Rt△PCD中，可找到PC和PD和CD的关系，从而可找到PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系；‎ ‎【详解】解：过点C作CD⊥AB，交AB于点D ‎∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，‎ ‎∴CD=AD=DB，‎ ‎∵PA2=（AD-PD）2=（CD-PD）2=CD2-2CD•PD+PD2，‎ PB2=（BD+PD）2=（CD+PD）2=CD2-2CD•PD+PD2，‎ ‎∴PA2+PB2=2CD2+2PD2=2（CD2+PD2），‎ 在Rt△PCD中，由勾股定理可得PC2=CD2+PD2，‎ ‎∴PA2+PB2=2PC2，‎ ‎∵△CPQ为等腰直角三角形，且∠PCQ=90°，‎ ‎∴2PC2=PQ2，‎ ‎∴PA2+PB2=PQ2，‎ 故答案为PA2+PB2=PQ2.‎ ‎【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，关键是作出辅助线，利用三线合一进行论证.‎