2020-2021学年新初三数学上册知识点讲解 旋转专题详解

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2020-2021 学年新初三数学上册知识点讲解 旋转专题详解 专题 04 旋转专题详解 .............................................................................................................................................. 1 23.1 图形的旋转 ................................................................................................................................................ 2 知识框架 ..................................................................................................................................................... 2 一、基础知识点 ......................................................................................................................................... 2 知识点 1 图形的旋转 ........................................................................................................................ 2 知识点 2 旋转的特征及画法............................................................................................................. 3 知识点 3 图形变换总结 .................................................................................................................... 4 二、典型题型 ............................................................................................................................................. 5 题型 1 旋转的概念 ............................................................................................................................ 5 题型 2 旋转的性质 ............................................................................................................................ 5 题型 3 运用旋转的性质解题............................................................................................................. 6 三、难点题型 ............................................................................................................................................. 9 题型 1 利用旋转构造全等 .............................................................................................................. 9 23.2 中心对称 .................................................................................................................................................. 13 知识框架 ................................................................................................................................................... 13 一、基础知识点 ....................................................................................................................................... 13 知识点 1 中心对称、中心对称图形 ............................................................................................... 13 知识点 2 中心对称的两个图形的性质 ........................................................................................... 14 知识点 3 关于原点对称的点的坐标 ............................................................................................... 14 二、典型题型 ........................................................................................................................................... 16 题型 1 中心对称图形的作法........................................................................................................... 16 题型 2 中心对称与轴对称的区分 ................................................................................................... 16 题型 3 求对称点坐标 ...................................................................................................................... 17 三、难点题型 ........................................................................................................................................... 21 题型 1 直线关于点中心对称........................................................................................................... 21 题型 2 构造中心对称图形解题 ....................................................................................................... 21 23.1 图形的旋转 知识框架 { 基础知识点 { 图形的旋转 旋转的特征及画法 图形变换总结 典型题型 { 旋转的概念 旋转的性质 运用旋转的性质解题 { 确定旋转中心、旋转角 旋转图形不变性 难点题型 {利用旋转构造全等 {60°、120° 45°、135° 一、基础知识点 知识点 1 图形的旋转 1）①平移：在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离的运动。 平移后的图形与原图形完全相同 ②有一种运动（旋转），变化后的图形与原图形完全相同，如风车，转笔等 2）旋转：把一个平面图形绕着平面内某一点 O 转动一定角度的变换。 点 O 叫作旋转中心；转动的角度叫作旋转角；图形上点 P 旋转后得到点푃/，这两个点叫作对 应点。 3）旋转三要素：①旋转方向；②旋转中心；③旋转角度 注：旋转中心可在任意位置。即可在旋转图形上，也可不在旋转图形上。 例 1.将图按顺时针布向旋转 90°后得到的是( ) A. B. C. D. 【答案】：A 【解析】：根据旋转的意义，图片按顺时针方向旋转 90 度，即正立状态转为顺时针的横向状态，从而可确定 为 A 图． ∴答案为：A． 例 2.把图形 绕 푂 点顺时针旋转90° 度后，得到的图形是( ) A. B. C. D. 【答案】：D 【解析】：根据观察，图形 绕点 0 顺时针旋转 90 度得到图形 . ∴答案为：D. 知识点 2 旋转的特征及画法 1）注：可通过直线旋转且旋转中心在直线上来帮助理解。 ①旋转前后图形全等 ②对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角 ③对应点到旋转中心的距离相等 2）画法： ①确定旋转中心，旋转方向，旋转角（三要素） ②确定图形关键点 ③将图形关键点与旋转中心连接起来，按规律旋转（角度、距离），得到对应点 ④依次连接对应关键点 例 1.如图所示，将一个含 30°角的直角三角板 ABC 绕点 A 旋转，使得点 B，A，C′在同一直线上，则三角板 ABC 旋转的度数是（ ） A. 60° B. 90° C. 120° D. 150° 【答案】：D 【解析】：旋转角是∠CAC′=180°﹣30°=150°． 故答案为：D． 例 2.如图，△ABC 为钝角三角形，将△ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 120°得到△AB′C′，连结 BB′，若 AC′ ∥BB′，则∠CAB′的度数为( ) A. 45° B. 60° C. 70° D. 90° 【答案】：D 【解析】：∵将△ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 120°得到△AB′C′， ∴AB=AB ′ ，∠BAB ′ =∠CAC ′ =120°， ∴∠AB ′ B=∠ABB′ =（180°-120°）÷2=30°， ∵ AC′∥BB′ ∴∠C ′ AB ′ =∠AB ′ B=30°， ∴∠CAB ′ =∠CAC ′ -∠C ′ AB ′=120°-30°=90°. 故答案为：D. 知识点 3 图形变换总结 1）平移：①对应线段平行且相等；②对应图形全等 2）对称：①对称点的连线被对称轴垂直平分；②对应图形全等 3）旋转：①对应点与旋转点连线夹角等于旋转角，且对应点与旋转点连线距离相等；②两图形全 等 二、典型题型 题型 1 旋转的概念 解题技巧：一个平面图形绕着平面内某一点 O 转动一定角度的变换叫作旋转，解此类题型，需要紧抓旋转 的概念。 例 1.下列现象中属于旋转现象的是（ ） A.钟摆的摆动 B.飞机的飞行 C.汽车的行驶 D.小鸟的飞翔 【答案】：A 【解析】：A 是旋转图形，钟摆绕着一个固定点左右旋转一定角度 B、C、D 都是平移过程，不是旋转 例 2.下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，逆时针旋转 ∠훼 ，要使这个 ∠훼 最小 时，旋转后的图形也能与原图形完全重合，则这个图形是( ) A. B. C. D. 【答案】：A 【解析】：A. 最小旋转角度 = 360∘ ÷ 5 = 72∘； B. 最小旋转角度 = 360∘ ÷ 3 = 120∘； C. 最小旋转角度 = 360∘ ÷ 4 = 90∘； D. 最小旋转角度 = 360∘ ÷ 2 = 180∘； 综上可得：旋转一定角度后，能与原图形完全重合，且旋转角度最小的是 A. 故答案为：A. 题型 2 旋转的性质 解题技巧：旋转图形具有如下几条性质： ①对应点到旋转中心的距离相等； ②对应点与旋转中心所连线段的夹角相等（旋转角）； ③旋转前后的图形全等。 例 1.如图，△ACD，△BCE 都是等边三角形，△ACE 经过顺时针旋转后能与△DCB 重合。则旋转中心 是点 ，旋转角是 度，若 AE=10，则 DB= 。 【答案】：C；60；10 【解析】：△ACE 是绕着点 C 旋转而得△DCB 的 ∴旋转中心是点 C AC 和 DC 是旋转前后对应的线段 ∴旋转角为∠ACD=60° AE 和 BD 是旋转前后对应的线段 ∵AE=10，∴BD=10 例 2.如图，在正方形 ABCD 中，△ABE 经旋转，可与△CBF 重合，AE 的延长线交 FC 于点 M，以下 结论正确的是（ ） A.BE=CE B.FM=MC C.AM⊥FC D.BF⊥CF 【答案】：C 【解析】：∵△BFC 是△BAE 旋转所得，∴△BFC≌△BAE ∴BE=BC，A 错误 FM 与 MC 无关系，B 错误 ∵∠AEB=∠BFC，∠BAE+∠BEA=90° ∴∠AFC+∠FAM=90° ∴∠AMF=90°，AM⊥FC，C 正确 ∠BFC=∠AEB≠90°，D 错误 题型 3 运用旋转的性质解题 一、确定旋转中心、旋转角 解题技巧：（1）旋转中心的确定：两组对应点连线的垂直平分线 （2）旋转角的确定：一组对应点与旋转中心连线构成的角 例 1.请确定下图中的旋转中心、旋转角。 【答案】：见解析 【解析】：如下图，分别作 AD、BE 的垂直平分线，交于点 O，则点 O 即为旋转中心 连接 AO、OD，则∠AOD=a°为旋转角 二、旋转图形不变性 解题技巧：图形旋转过程中保持全等性质，即对应角相等、对应边相等；同时旋转角也保持不变；还有 旋转中心与对应点的连线相等。如△ABC 绕点 O 顺时针旋转훼°得△DEF，则： ①△ABC≌△DEF； ②∠AOD=∠BOE=COF= 훼°； ③AO=OD，BO=OE，CO=OF 例 1.如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC=√2，将△ABC 绕点 C 逆时针旋转 60°，得到△ MNC，连接 BM，求 BM 的长。 【答案】：1+√3 【解析】：∵∠ABC=90°，AB=BC ∴△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=∠BCA=45° ∵△MNC 是△ABC 绕点 C 逆时针旋转 60°所得 ∴△MNC≌△ABC，∠ACM=60°，AC=CM 如下图，连接 AM ∴△ACM 为等边三角形 ∴AM=MC=CA=2 ∵AB=BC，BM=BM ∴△BCM≌△BAM ∴∠ABM=∠CBM=45° ∵∠BCA=45°，∠ACM=60°，∠CBA=45° ∴∠CMB=30° 过点 C 作 MB 的垂线，交 BM 与点 E 则∠BCE=45°，∠ECM=60° ∵BC=√2，∴CE=1 ∵CE=1，∴EM=√3 ∴MB=1+√3 例 2.如图，在△ABC 中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF 是由△ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转得 到的，连接 BE，CF 相较于点 D。 （1）求证：BE=CF； （2）当四边形 ACDE 为菱形时，求 BD 的长。 【答案】：（1）见解析 （2）√2 − 1 【解析】：（1）∵△AEF 是△ABC 顺时针旋转所得 ∴△AEF≌△ABC ∴∠EAF=∠BAC，AF=AC，AE=AB ∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF ∴∠BAE=∠CAF ∵AB=AC，∴AE=AF ∴△ABE≌△ACF ∴BE=CF （2）∵四边形 ACDE 是菱形，AB=AC=1 ∴AC∥DE，DE=AE=AB=1 ∵∠BAC=45° ∴∠AEB=∠ABE=∠BAC=45° ∵∠AEB+∠BAE+∠ABE=180° ∴∠BAE=90° ∴BE=√2 ∴BD=√2 − 1 三、难点题型 题型 1 利用旋转构造全等 一、60°、120° 解题技巧：两种思路： ①运用旋转构造全等； ②运用旋转构造等边三角形 例 1.已知在△ABC 中，BC=4。 （1）如图，将边 AC、AB 同时绕点 A 分别逆时针、顺时针方向旋转 a°，得 AD、AE，连接 BD、 CE，求证：BD=CE； （2）如图，若∠ABC=60°，AB=1，将边 AC 绕点 A 逆时针旋转 120°，得 AD，连接 BD，求 BD 的长。 【答案】：（1）见解析 （2）√19 【解析】：（1）∵AD、AE 是 AC、AB 旋转 a°所得 ∴AD=AC，AE=AB，∠EAB=∠CAD=a ∵∠EAC=∠EAB+∠BAC，∠BAD=∠DAC+∠BAC ∴∠EAC=∠BAD ∴△EAC≌△BAD ∴BD=CE （2）如下图，将 BA 绕点 A 顺时针旋转 120°，得到 AE，连接 BA、CE ∴AB=AE，∠BAE=120° ∵AD 是 AC 绕点 A 逆时针旋转 120°所得 ∴AC=AD，∠CAD=120° ∵∠BAD=∠BAE+∠EAD=120°+∠EAD，∠EAC=∠DAC+∠EAD=120°+∠EAD ∴∠BAD=∠EAC ∴△BAD≌△EAC ∴BD=EC ∵AE=AB，∠BAE=120° ∴∠ABE=∠BEA=30° ∵∠ABC=60° ∴∠EBC=90°，△EBC 为直角三角形 ∵AB=1，∴AE=1，BE=√3 ∵BC=4 ∴EC=√19 ∴BD=√19 例 2.如图，△ABC 为正三角形，∠ADC=30°，AD=3，BD=5，求 CD 的长。 【答案】：4 【解析】：如下图，将△CBD 绕点 C 顺时针旋转 60°得△CAE，连接 DE ∴△CBD≌△CAE，∠DCE=60° ∴CD=CE ∴△CDE 为等边三角形 ∴∠CDE=60°，CD=DE=CE ∵∠BDC=30° ∴∠BDE=90° ∵BD=5，∴AE=5 ∵AD=3 ∴DE=4 ∴BD=4 二、45°、135° 解题技巧：两种思路： ①运用旋转构造全等； ②运用旋转构造等腰直角三角形 例 1.已知，正方形 ABCD 中，PA=a，PB=b。 （1）若 P 点在正方形外，且∠APB=45°，求 PD 的长； （2）若 P 点在正方形内，且∠APB=135°，求 PD 的长。 【答案】：（1）√2푎2 + 푏2 （2）√2푎2 + 푏2 【解析】：（1）如下图，将△APD 绕点 A 顺时针旋转 90°，得到△AEB，连接 PE ∴△APD≌△AEB，AP=AE=a，∠PAE=90° ∴△PAE 为等腰直角三角形 ∴∠APE=45°，EP=√2푎 ∵∠APB=45° ∴∠EPB=90° ∵PB=b ∴EB=√2푎2 + 푏2 ∴PD=√2푎2 + 푏2 （2）如下图，将△APD 绕点 A 顺时针旋转 90°，得到△AEB，连接 EP ∴△APD≌△AEB，∠EAP=90° ∴EA=AP=a ∴△EAP 为等腰直角三角形 ∴∠APE=45°，EP=√2푎 ∵∠APB=135° ∴∠EPB=90° ∵PB=b ∴EB=√2푎2 + 푏2 ∴PD=√2푎2 + 푏2 例 2.如图，点 P 是正方形 ABCD 内一点，PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB 的角度 【答案】：135° 【解析】：如下图，将△BPC 绕点 B 逆时针旋转 90°，得到△BEA，连接 EP ∴△BPC≌△BEA，∠EBP=90°，AE=PC=3 ∵BP=2=EB，∴△EBP 为等腰直角三角形 ∴EP=2√2，∠EPB=45° ∵AP=2 ∴△APE 三边满足勾股定理 ∴∠APE=90° ∴∠APB=90°+45°=135° 23.2 中心对称 知识框架 { 基础知识点 { 中心对称、中心对称图形 中心对称的两个图形的性质 关于原点对称的点的坐标 典型题型 { 中心对称图形的作法 中心对称与轴对称的区分 求对称点坐标 { 关于点对称的点坐标 利用旋转作图求坐标 旋转全等定坐标 难点题型 { 直线关于点中心对称 构造中心对称图形解题 一、基础知识点 知识点 1 中心对称、中心对称图形 1）①轴对称：把一个图形沿某一条直线对折后，能与另一个图形完全重叠。（两个图形） ②轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。（一个图形） 2）中心对称：把一个图形绕某一点旋转 180°，能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于 这个点中心对称。 该点叫作对称中心。（两个图形） 3）中心对称图形：把一个图形绕某一个点旋转 180°后，如果旋转后图形与原图形重合，那么就 说这个图形是中心对称图形。（一个图形） 4）比较：①都是绕某一点旋转 180°，重叠 ②中心对称指的是两个图形，中心对称图形指的是一个图形 ③中心对称的对称中心可在图形上或图形外；中心对称图形的对称中心一定在图形上。 例 1.下列我国著名企业商标图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】：B 【解析】：A.不是中心对称图形,故此选项错误 B.是中心对称图形,故此选项正确; C.不是中心对称图形,故此选项错误 D.不是中心对称图形,故此选项错误; 故答案为：B 例 2.下列四张扑克牌图案，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】：B 【解析】：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意． 故答案为：B． 知识点 2 中心对称的两个图形的性质 1）两图形全等 2）对应点连线经过对称中心，且被对称中心平分（旋转 180°） 3）对应线段平行（直线旋转 180°——平行） 例 1.如图，△ABC 与△A′B′C′是成中心对称，下列说法不正确的是( ) A. S△ABC＝S△A′B′C′ B. AB＝A′B′，AC＝A′C′，BC＝B′C′ C. AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′ D. S△ACO＝S△A′B′O 【答案】：D 【解析】：∵△ABC 与△A′B′C′是成中心对称， ∴△ABC≌△A′B′C′， ∴ S△ABC＝S△A′B′C′ ， 故 A 不符合题意； ∴AB＝A′B′，AC＝A′C′，BC＝B′C′ ，故 B 不符合题意； ∴AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′ ，故 C 不符合题意； 而 S△ACO≠S△A′B′O ， 故 D 符合题意； 故答案为：D. 知识点 3 关于原点对称的点的坐标 1）A、B 关于原点对称；C、D 关于原点对称。 即：点 A（C）以点 O 为中心点旋转 180°后得到 B（D） 2）总结：①点 P（x，y）关于原点对称点的坐标 Q（－x，－y） ②点 P（x，y）关于 x 轴对称点 Q 的坐标（x，－y） ③点 P（x，y）关于 y 轴对称点 Q 的坐标（－x，y） 3）图形关于原点对称，就是多个特殊点关于原点对称。最后在连接特殊点，形成图形。 例 1.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（﹣3，5）、 B（﹣2，1）、 C（﹣ 1，3）． （1）求△ABC 关于 x 轴对称图形△三点的坐标； （1）求△ABC 关于 y 轴对称图形△퐴2퐵2퐶2三点的坐标； （1）求△ABC 关于原点对称图形△퐴3퐵3퐶3三点的坐标。 【答案】：见解析 【解析】：（1）关于 x 轴对称图形坐标的特点为：横坐标不变，纵坐标变为相反数 ∵A（﹣3，5）、 B（﹣2，1）、 C（﹣1，3） ∴퐴1（﹣3， − 5）、 퐵1（﹣2， − 1）、 퐶1（﹣1，－3） （2）关于 y 轴对称图形坐标的特点为：横坐标变为相反数，纵坐标不变 ∴퐴2（3，5）、 퐵2（2，1）、 퐶2（1，3） （3）关于原点对称图形坐标的特点为：横、纵坐标都变为相反数 ∴퐴3（3， − 5）、 퐵3(2， − 1)、퐶3（1， − 3） 二、典型题型 题型 1 中心对称图形的作法 解题技巧：（1）选取图形的特征点；（2）将特征点与对称中心连接，并延长，使原特征点和对 应点与对称中心的距离相等；（3）依次连接对应点组成图形。 对称中心的确定方法：连接 2 组对应点，交点即为对称中心 例 1.请作下列图形关于点 O 的中心对称图形。 【答案】：见解析 【解析】：首先选取关键点；作这些点关于点 O 的对称点；最后顺次连接对称点即为中心对称 图形。具体图形如下： 题型 2 中心对称与轴对称的区分 解题技巧：中心对称图形和轴对称图形，切不可混淆。 中心对称图形：关于某一点对称的图形，图形绕对称中心旋转 180°后，与原来图形重合。中心对称 图形的顶点（特征）一定是偶数个。 轴对称图形：关于某一条直线对称的图形，沿对称轴翻折后，对称轴两旁的部分相互重合。 例 1.下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） 【答案】：C 【解析】：A、B、C、D 都是轴对称图形 ∵中心对称图形的顶点（特征）一定是偶数个 A 中圆环有 5 个，为奇数个，不是中心对称图形 B 中有 3 个椭圆，为奇数个，不是中心对称图形 C 是中心对称图形 D 中椭圆 3 个，为奇数个，不是中心对称图形 例 2.下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） 【答案】：A 【解析】：A、B 为中心对称图形，C、D 不是中心对称图形 A 不是轴对称图形，B 是轴对称图形 例 3.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） 【答案】：D 【解析】：轴对称图形有：A、B、D 中心对称图形有；D ∴答案为 D 题型 3 求对称点坐标 一、关于点对称的点坐标 解题技巧：P（x，y）关于原点对称点 P1（－x，－y）； P（푥1，푦1）关于点 A（m，n）对称点 P2（푥2，푦2），有关系式：{푥1 + 푥2 = 2푚 푦1 + 푦2 = 2푛 注：点 A 绕点 O 旋转 180°得到点 B，即为 A 与 B 关于点 O 对称。 例 1.点 A（－2，－3）关于原点对称的坐标为： 。 【答案】：（2，3） 【解析】：P（x，y）关于原点对称点 P1（－x，－y） ∴对称点为：（2，3） 例 2.点 P（2－m，5）关于原点对称点 Q（3，2n+1），求 m、n。 【答案】：m=5，n=2 【解析】：P（x，y）关于原点对称点 P1（－x，－y） ∴2－m=－3，5=－（2n+1） 解得：m=5，n=2 例 3.点 P（2，5+m）关于点 A（1，2）旋转 180°得到对称点 Q（3n－2，1），求 m、n。 【答案】：m=－2，n=2 3 【解析】：P（푥1，푦1）关于点 A（m，n）对称点 P2（푥2，푦2），有关系式：{푥1 + 푥2 = 2푚 푦1 + 푦2 = 2푛 ∴2+ （3n－2）=2×1，（ 5+m）+1=2×2 解得：m=－2，n=2 3 二、利用旋转作图坐标 解题技巧：将图形的变换转化为点的变换，在按照对称点坐标的变换求解坐标。 例 1.在平面直角坐标系中，훥퐴퐵퐶的的位置如图. （1）훥퐴퐵퐶关于原点成中心对称的图形是훥퐴1퐵1퐶1，求点퐶1的坐标； （2）将퐴1퐵1퐶1绕点퐶1旋转180∘，求所得的훥퐴2퐵2퐶1中퐴2的坐标. 【答案】：（1）C1（ − 2， − 1） （2）A2（1，2） 【解析】：根据图像知： A（5，4）， B（0，3）， C（2，1） （1）关于原点中线对称，坐标关系为：横、纵坐标都互为相反数 ∴C1（ − 2， − 1），A1（ − 5， − 4） （2）P（푥1，푦1）关于点 A（m，n）对称点 P2（푥2，푦2），有关系式：{푥1 + 푥2 = 2푚 푦1 + 푦2 = 2푛 ∵A1（ − 5， − 4），C1（ − 2， − 1），设A2（x，푦） 则：－5+x=2∙（－2），－4+y=2∙ （ − 1） 解得：x=1，y=2 ∴A2（1，2） 例 2. 如图，△ABC 的顶点坐标分别为 A(0，1)，B(3，3)，C(1，3)· （1）①画出△ABC 关于点 O 的中心对称图形△A1B1C1； ②画出△ABC 绕原点 O 逆时针旋转 90°△A2B2C2 ， 写出点 C2 的坐标。 （2）若△ABC 上任意一点 P(m，n)绕原点 O 逆时针旋转 90°的对应点为 Q，则点 Q 的坐标为________。(用 含 m，n 的式子表示) 【答案】：（ 1）①见解析 （1）②(－3，1) （2）(－n，m) 【解析】：（1）如图，△A1B1C1、△A2B2C2 为所求 ∴点 C2 的坐标为(-3，1) （2） 通过观察 C 与 C2 点的坐标变化规律即 C2 (－n，m) 三、旋转全等定坐标 解题技巧：若旋转角度不是 180°，则无坐标间的关系，需要画图分析。通过作点与坐标轴之 间的垂线，构造出旋转前后全等的三角形，转化为边之间的关系，进而得出点的坐标。 例 1.如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（－1，√3），以原点 O 为中心，将点 A 顺时针旋转 150°得到点 B，求点 B 的坐标。 【答案】：（√3，－1） 【解析】：过点 A、B 作 x 轴的垂线，分别交 x 轴于点 C、D 易知△ACO≌△ODB ∵A（－1，√3） ∴AC=√3，OC=1 ∴DB=OC=1，OD=AC=√3 ∴B（√3，－1） 例 2.如图，正方形 OABC 的两边 OA、OC 分别在 x 轴，y 轴上，点 D（5，3）在边 AB 上，以点 C 为 旋转中心，将△CDB 旋转 90°，求旋转后点 D 对应点坐标。 【答案】：（−2，0）或（2，10） 【解析】：点 D 旋转方向未确定，此题有 2 解（顺时针和逆时针旋转），此处仅讨论逆时针旋转情况， 即下图中的퐷2。过点퐷2作 y 轴的垂线，交 y 轴于点 E 易知△CBD≌△CE퐷2 ∵D（5，3），四边形 OCBA 为正方形 ∴CB=5，BD=2 ∴E퐷2 = 2，EC=5 ∴퐷2（2，10） 同理퐷1（－2，0） 三、难点题型 题型 1 直线关于点中心对称 解题技巧：两点确定一条直线。先选取直线上两点，根据中心对称性质，先求出对应点的坐标；然后根 据这两点坐标，用待定系数法求直线的解析式。 若求关于非原点对称的直线解析式，思路类似。 例 1.求直线 y=2x+3 关于原点对称的解析式。 【答案】：y=2x－3 【解析】：点 A（0，3）， B（1，5）在直线 y=2x+3 上 点 A、B 关于原点对称点为：C（0，－3）， D（－1，－5） ∴点 C、D 即为对称直线上的点 利用待定系数法解得，对称直线解析式为：y=2x－3 例 2.求直线 y=2x+3 关于点 P（1，3）对称的解析式。 【答案】：y=2x－1 【解析】：点 A（0，3）， B（1，5）在直线 y=2x+3 上 点 A、B 关于点 P（1，3）对称点为：C（2，3）， D（1，1） ∴点 C、D 即为对称直线上的点 利用待定系数法解得，对称直线解析式为：y=2x－1 题型 2 构造中心对称图形解题 解题技巧：具有中心对称的图形，如：平行四边形，可利用中心对称变换，将图形中联系不明朗的线段 集中到一个三角形中。 例 1.如图，直角△ABC 中，∠ACB=90°，O 是斜边 AB 的中点。P 和 Q 分别在 AC 和 BC 上，且 OP⊥ OQ。证明：퐴푃2 + 퐵푄2 = 푃푄2。 【答案】：见解析 【解析】：作点 Q 关于点 O 的对称点 D，连接 AD、BD、AQ ∵Q、D 关于点 O 对称 ∴QO=OD ∵点 O 是 AB 的中点 ∴四边形 ADBQ 为平行四边形 ∴AD=QB，且 AD∥CB ∵∠ACB=90° ∴∠PAD=90°，△PAD 为直角三角形 ∵PO⊥OQ，Q、D 关于点 O 对称 ∴PD=PQ 在 Rt△PAD 中，퐴푃2 + 퐴퐷2 = 푃퐷2 ∴퐴푃2 + 퐵푄2 = 푃푄2 例 2.如图，已知 AB=CD，对平面上任意点 P，证明：PA+PD≥PB+PC。 【答案】：见解析 【解析】：当点 P 在 AD 上时，结论显然成立 当点 P 不再 AD 上时，如下图，取 AD 的中点 O，作点 P 关于点 O 的对称点 E，连接 AE、ED ∴PO=OE ∵点 O 是 AD 的中点 ∴点 O 也是 CB 的中点 ∴四边形 APDE 与四边形 PBEC 为平行四边形 ∵平行四边形 PBEC 在平行四边形 PDEA 的内部 ∴平行四边形 PBEC 的周长＜平行四边形 PDEA ∴PA+PD≥PB+PC