2020-2021新人教版九年级数学上册全册章末检测题（附解析）
第21章
一、单选题(共36分)
1．(本题3分)下列方程中，是一元二次方程共有( )
①x2﹣+3=0；②2x2﹣3xy+4=0； ③x2﹣4x+k=0；④x2+mx﹣1=0；⑤3x2+x=20．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．(本题3分)方程（x+1）2＝0的根是（ ）
A．x1＝x2＝1 B．x1＝x2＝﹣1 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．无实根
3．(本题3分)方程5x2=6x﹣8化成一元二次方程一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．5、6、﹣8 B．5，﹣6，﹣8 C．5，﹣6，8 D．6，5，﹣8
4．(本题3分)以2和﹣3为两根的一元二次方程为( )
A．（x+2）（x﹣3）=0 B．x2﹣x+6=0 C．x2﹣5x﹣1=0 D．x2+x﹣6=0
5．(本题3分)关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个实数根，则m的取值范围是( )
A．m≥﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1且m≠0 D．m≥﹣1且m≠0
6．(本题3分)已知关于x的一元二次方程(m-2)x2+3x+m2-4=0有一个解为0，则m的值为（ ）
A．2 B．-2 C．±2 D．0
7．(本题3分)已知一元二次方程2x2+x﹣5=0的两根分别是x1，x2，则x12+x22的值是（ ）
A． B．- C．- D．
8．(本题3分)已知一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
5
A． B．且 C． D．
9．(本题3分)上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元，下面所列方程中正确的是( )
A．168(1＋a%)2＝128 B．168(1－a%)2＝128
C．168(1－2a%)＝128 D．168(1－a2%)＝128
10．(本题3分)将二次函数y=x2﹣2x+3化为y=（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ）
A．y=（x+1）2+4 B．y=（x﹣1）2+4
C．y=（x+1）2+2 D．y=（x﹣1）2+2
11．(本题3分)三角形两边长分别为2和4，第三边长是方程x（x﹣4）﹣2（x﹣4）=0的解，则这个三角形周长为（ ）
A．8 B．8和10 C．10 D．8 或10
12．(本题3分)某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产钢铁1850吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可得方程（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题(共18分)
13．(本题3分)一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握手
5
78次，则这次会议参加的人数是__．
14．(本题3分)方程(a2－4)x2＋(a－2)x＋3＝0，当a________时，它是一元二次方程；当a________时，它是一元一次方程．
15．(本题3分)已知，，则，的大小关系是________．
16．(本题3分)若一元二次方程的两个根是与，则________．
17．(本题3分)若实数满足，则的结果为________．
18．(本题3分)如果关于x的一元二次方程2x(kx-4)-x2+6=0没有实数根，那么k的最小整数值是________.
三、解答题(共66分)
19．(本题8分)为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”．某市加快了廉租房的建设力度，2013年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．
（1）求每年市政府投资的增长率；
（2）若这两年内的建设成本不变，问2015年建设了多少万平方米廉租房？
20．(本题8分)如图，在长方形中，，，动点、分别从点、同时出发，点以2厘米/秒的速度向终点移动，点以1厘米/秒的速度向移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动.设运动的时间为，问：
(1)当秒时，四边形面积是多少？
5
(2)当为何值时，点和点距离是？
(3)当_________时，以点、、为顶点的三角形是等腰三角形.(直接写出答案)
21．(本题8分)选择适当方法解下列方程
（1）（3x﹣1）2＝（x﹣1）2
（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x
22．(本题8分)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，．
求证：该一元二次方程总有两个实数根；
若，判断动点所形成的函数图象是否经过点，并说明理由．
23．(本题8分)阅读下面的材料：
我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最小值.方法如下：
∵，由，得；
∴代数式的最小值是4.
（1）仿照上述方法求代数式的最小值.
（2）代数式有最大值还是最小值？请用配方法求出这个最值.
24．(本题8分)今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x元．请解答以下问题：
（1）填空：每天可售出书 本（用含x的代数式表示）；
5
（2）若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？
25．(本题9分)如图所示，中，，，．
点从点开始沿边向以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果、分别从，同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．
若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，、同时出发，问几秒后，的面积为？
26．(本题9分)先阅读下列材料，然后回答问题：
在关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中，若各项的系数之和为零，即a＋b＋c＝0，则有一根为1，另一根为.
证明：设方程的两根为x1，x2，由a＋b＋c＝0，知b＝－(a＋c)，
∵x＝＝，
∴x1＝1，x2＝.
(1)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的各项系数满足a－b＋c＝0，请直接写出此方程的两根；
(2)已知方程(ac－bc)x2＋(bc－ab)x＋(ab－ac)＝0有两个相等的实数根，运用上述结论证明：.
5
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义解答,未知数的最高次数是2;二次项系数不为0;是整式方程;含有一个未知数.由这四个条件对四个选项进行验证,满足这四个条件者为正确答案.
【详解】
解:①x2﹣+3=0是一元二次方程,故①正确;
②2x2﹣3xy+4=0是二元二次方程,故②错误;
③x2﹣4x+k=0是二元二次方程,故③错误;
④x2+mx﹣1=0是二元二次方程,故④错误;
⑤3x2+x=20是一元二次方程,故⑤正确;
所以A选项是正确的.
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念,判断一个方程是否是一元二次方程,首先要看是否是整式方程,然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.
2．B
【解析】
【分析】
根据平方根的意义,利用直接开平方法即可进行求解.
【详解】
(x+1)2＝0,
28
解: x+1=0,
所以x1＝x2＝﹣1,
故选B.
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法,解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程的解法.
3．C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的一般形式进行解答即可.
【详解】
5x2=6x﹣8化成一元二次方程一般形式是5x2﹣6x+8=0，
它的二次项系数是5，一次项系数是﹣6，常数项是8，
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
4．D
【解析】
【分析】
本题我们可以将一元二次标准方程两边都除以a, 令二次项x2项的系数为1.则一次项系数和常数项系数分别和,即为-（）和，可得出原方程.
【详解】
28
解:设符合条件的方程为: x2+ax+b=0.
=2,=-3,
a=-()=1,b==-6,
符合条件的方程可以是: x2+x﹣6=0.
因此, 本题正确答案是: x2+x﹣6=0.
【点睛】本题考查了一元二次方程的韦达定理, 对于一元二次方程x2+ax+b=0,设,是其两个根，则:.
5．A
【解析】
【分析】
根据方程有实数根, 得出△>0, 建立关于m的不等式, 求出m的取值范围即可.
【详解】
解:由题意知,△=4+4m≥0,
m≥-1,
故选A.
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式.
6．B
【解析】
根据题意可将x=0代入方程可得:,解得:,又因为,所以,所以,
28
故选B.
7．D
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系得到x1+x2，x1x2，再利用完全平方公式变形得到x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
根据题意得：x1+x2，x1x2，所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（）2﹣2×（．
故选D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
8．B
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义以及根的判别式得到m﹣1≠0且b2﹣4ac≥0，即（﹣4m）2﹣4（m﹣1）（4m﹣2）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【详解】
∵一元二次方程（m﹣1）x2﹣4mx+4m﹣2=0有实数根，∴m﹣1≠0且b2﹣4ac≥0，即（﹣4m）2﹣4（m﹣1）（4m﹣2）≥0，解得：m≥，故m的取值范围是：m≥且m≠1．
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0时，方程有两个
28
不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
9．B
【解析】
【分析】
【详解】
解：第一次降价a%后的售价是168（1-a%)元，
第二次降价a%后的售价是168（1-a%)(1-a%)=168(1-a%)2；
故选B.
10．D
【解析】
试题分析：本题是将一般式化为顶点式，由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式即可得y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=（x﹣1）2+2．
故选D．
考点：二次函数的三种形式
11．C
【解析】
【分析】
先求出方程的解，得出三角形的三边长，看看是否能组成三角形，最后求出即可．
【详解】
x（x﹣4）﹣2（x﹣4）＝0，解得：x＝4或2．分两种情况讨论：
①三角形的三边为2、2、4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；
28
②三角形的三边为2、4、4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，组成的三角形周长为2+4+4＝10．
故选C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系定理的应用，能求出符合的所有情况是解答此题的关键．
12．D
【解析】
第一个月是560，第二个月是560（1+x），第三月是560（1+x）2
，所以第一季度总计560+560（1+x）+560（1+x）2=1850，选D.
13．13
【解析】
【分析】
设参加会议有x人, 每个人都与其他 (x-1) 人握手,共握手次数为x(x-1),根据题意列方程.
【详解】
解：设参加会议有x人,依题意得:x(x-1)=78,
整理得:x2-x-156=0
解得=13,=-12,(舍去).
答: 参加这次会议的有13人,
故答案为13.
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程式解题的关键.
14．≠±2, =-2
28
【解析】
【分析】
分别根据一元二次方程及一元一次方程的定义求解即可.
【详解】
解:(1)方程(a2-4)x2+(a-2)x+3=0,是一元二次方程,
a2-4≠0,a≠2;
(2) 方程(a2-4)x2+(a-2)x+3=0,是一元一次方程,
解得:a=-2.
【点睛】此题比较简单,解答此题的关键是熟知一元二次方程与一元一次方程的定义:
(1)只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程;
(2)只含有一个未知数,且未知数的最高次数的是1次的整式方程叫做一元一次方程.
15．
【解析】
【分析】
首先用作差法计算x﹣y，得出的式子利用完全平方公式分类分解因式，进一步判定符号解决问题即可．
【详解】
x﹣y=a2+b2+18﹣（8b+4a﹣3）=a2+b2+18﹣8b﹣4a+3=（a﹣2）2+（b﹣4）2+1．
∵（a﹣2）2≥0，（b﹣4）2≥0，∴（a﹣2）2+（b﹣4）2+1＞0，也就是x＞y．
故答案为：x＞y．
【点睛】本题考查了利用作差法比较代数式的大小，以及配方法的运用，掌握完全平方公式是解决问题的关键．
28
16．
【解析】
【分析】
先利用直接开平方法得到x=±，再根据方程的两个根互为相反数，得出3m+1+m﹣9=0，求出m的值，得出方程的两个根分别是7与﹣7，从而得出答案．
【详解】
∵ax2=b（ab＞0）
∴x2=（ab＞0），∴x=±，∴方程的两个根互为相反数，∴3m+1+m﹣9=0，解得：m=2，∴一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两个根分别是7与﹣7，∴49a=b，∴=49．
故答案为49．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±p；如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±p．
17．或
【解析】
【分析】
设x2+2x=t，则原方程转化为关于t的一元二次次方程，通过解方程求得t的值，即x2+2x的值．
【详解】
设x2+2x=t，则t2+2t﹣3=0
整理得（t+3）（t﹣1）=0
28
解得：t1=﹣3，t2=1
即x2+2x=﹣3或x2+2x=1．
故答案为：﹣3或1．
【点睛】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．
18．2
【解析】
【分析】
先把方程变形为关于x的一元二次方程的一般形式：（2k﹣1）x2﹣8x+6＝0，要方程无实数根，则△＝82﹣4×6（2k﹣1）＜0且2k﹣1≠0，解不等式，并求出满足条件的最小整数k．
【详解】
方程变形一般形式：（2k﹣1）x2﹣8x+6＝0．
∵方程2x（kx﹣4）﹣x2+6＝0没有实数根，∴△＝82﹣4×6（2k﹣1）＜0且2k﹣1≠0，解得：k，所以满足条件的最小整数k＝2．
故答案为2．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根．
19．（1）50%；（2）18．
【解析】
（1）设每年市政府投资的增长率为x．根据2015年投资6.75亿元人民币建设廉租房，列方程求解；
（2）先求出单位面积所需钱数，再用累计投资÷单位面积所需钱数可得结果．
解：（1）设投资平均增长率为x，根据题意得：，
28
解得，(不符合题意舍去)
答：政府投资平均增长率为50%；
（2）(万平方米)
答：2015年建设了18万平方米廉租房．
20．（1）5厘米2；（2）秒或秒；（3）秒或秒或秒或秒.
【解析】
【分析】
（1）求出BP，CQ的长，即可求得四边形BCQP面积.
（2）过Q点作QH⊥AB于点H，应用勾股定理列方程求解即可.
（3）分PD=DQ，PD=PQ，DQ=PQ三种情况讨论即可.
【详解】
（1）当t=1秒时，BP=6-2t=4，CQ=t=1，
∴四边形BCQP面积=厘米2.
（2）如图，过Q点作QH⊥AB于点H，则PH=BP-CQ=6-3t，HQ=2，
根据勾股定理，得， 解得.
∴当秒或秒时，点P和点Q距离是3cm.
28
（3）∵，
当PD=DQ时，，解得或（舍去）；
当PD=PQ时，，解得或（舍去）；
当DQ=PQ时，，解得或.
综上所述，当秒或秒或秒或秒时， 以点P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形.
21．(1)x1＝0，x2＝；(2)x1＝1，x2＝﹣．
【解析】
【分析】
(1)将等号左边的式子移动到等号右边,然后根据平方差公式进行因式分解,再进行解一元一次方程即可求解,(2) 将等号左边的式子移动到等号右边,然后根据提公因式法进行因式分解,再进行解一元一次方程即可求解,
【详解】
(1)3x﹣1＝±(x﹣1),
即3x﹣1＝x﹣1或3x﹣1＝﹣(x﹣1),
28
所以x1＝0,x2＝；
(2)3x(x﹣1)+2(x﹣1)＝0,
(x﹣1)(3x+2)＝0,
x﹣1＝0或3x+2＝0,
所以x1＝1,x2＝﹣．
【点睛】本题主要考查因式分解法解一元二次方程,解决本题的关键是要熟练掌握因式分解的方法.
22．证明见解析动点所形成的函数图象经过点
【解析】
【分析】
（1）先求出该一元二次方程的△的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系进行说明即可；
（2）根据x1+x2=-和n=x1+x2-5，表示出n，再把点A（4，5）代入，即可得出答案．
【详解】
∵，
∴该一元二次方程总有两个实数根；
动点所形成的函数图象经过点，理由如下：
∵，，
∴，
∵当时，，
∴动点所形成的函数图象经过点．
28
【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、函数图象上点的坐标特征等，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系的表达式；一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根．
23．（1）；（2）有最大值，最大值为32.
【解析】
【分析】
（1）仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答；
（2）利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可．
【详解】
解：（1）∵，由，
得 ；
∴代数式的最小值是；
（2），
∵，
∴，
∴代数式有最大值，最大值为32.
【点睛】本题考查的是配方法的应用和偶次方的非负性，掌握配方法的一般步骤、偶次方的非负性是解题的关键．
24．（1）（300﹣10x）．（2）每本书应涨价5元．
【解析】
28
试题分析：（1）每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x元，则每天就会少售出10x本，所以每天可售出书（300﹣10x）本；（2）根据每本图书的利润×每天销售图书的数量=总利润列出方程，解方程即可求解.
试题解析：
（1）∵每本书上涨了x元，
∴每天可售出书（300﹣10x）本．
故答案为300﹣10x．
（2）设每本书上涨了x元（x≤10），
根据题意得：（40﹣30+x）（300﹣10x）=3750，
整理，得：x2﹣20x+75=0，
解得：x1=5，x2=15（不合题意，舍去）．
答：若书店想每天获得3750元的利润，每本书应涨价5元．
25．(1) 线段不能将分成面积相等的两部分；(2) 经过秒、秒或秒后，的面积为．
【解析】
【分析】
（1）设经过x秒，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解；
（2）分三种情况：①点P在线段AB上，点Q在线段CB上（0＜t≤4）；②点P在线段AB上，点Q在线段CB上（4＜t≤6）；③点P在射线AB上，点Q在射线CB上（t＞6）；进行讨论即可求解．
【详解】
（1）设经过x秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分
28
由题意知：AP=x，BQ=2x，则BP=6﹣x，∴（6﹣x）•2x=××6×8，∴x2﹣6x+12=0．
∵b2﹣4ac＜0，此方程无解，∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分；
（2）设t秒后，△PBQ的面积为1．分三种情况讨论：
①当点P在线段AB上，点Q在线段CB上时，此时0＜t≤4．
由题意知：（6﹣t）（8﹣2t）=1，整理得：t2﹣10t+23=0，解得：t1=5+（不合题意，应舍去），t2=5﹣
②当点P在线段AB上，点Q在线段CB的延长线上时，此时4＜t≤6，由题意知：（6﹣t）（2t﹣8）=1，整理得：t2﹣10t+25=0，解得：t1=t2=5．
③当点P在线段AB的延长线上，点Q在线段CB的延长线上时，此时t＞6，由题意知：（t﹣6）（2t﹣8）=1，整理得：t2﹣10t+25=0，解得：t1=5+，t2=5﹣（不合题意，应舍去）．
综上所述：经过5﹣秒、5秒或5+秒后，△PBQ的面积为1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意分类思想的运用．
26．(1)x1＝－1，x2＝－；(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据材料中给的方法即可直接写出方程的解；
（2）根据材料中给的方法可得方程的两根为x1＝x2＝1，由此可得，整理后即可证得结论.
【详解】
(1)x1＝－1，x2＝－，证明如下：
设方程的两根为x1，x2，由a-b＋c＝0，知b＝a＋c，
28
∵x＝＝，
∴x1＝-1，x2＝；
(2)∵(ac－bc)＋(bc－ab)＋(ab－ac)＝0，且方程(ac－bc)x2＋(bc－ab)x＋(ab－ac)＝0有两个相等的实数根，
∴x1＝x2＝1，
∴，
即ab＋bc＝2ac，
两边都除以abc，得
.
【点睛】本题考查的是材料阅读题，读懂材料中的内容与方法，能灵活地运用到解题中是关键.
第22章
28
一、单选题
1．已知二次函数(其中是自变量)的图象与轴没有公共点，且当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
2．为了响应“足球进校国”的目标，兴义市某学校开展了多场足球比赛在某场比赛中，一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）可以用公式h＝﹣5t2+v0t表示，其中t（s）表示足球被踢出后经过的时间，v0（m/s）是足球被踢出时的速度，如果要求足球的最大高度达到20m，那么足球被踢出时的速度应该达到（ ）
A．5m/s B．10m/s C．20m/s D．40m/s
3．二次函数在自变量的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．最大值为3 B．最大值为1
C．最小值为1 D．最小值为0
4．已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：
①因为，所以函数有最大值；②该函数的图象关于直线对称；③；④当或时，函数的值都等于．
其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．二次函数y=ax2+bc+c的图象如图所示，则下列判断中错误的是（ ）
A．图象的对称轴是直线x=﹣1 B．当x＞﹣1时，y随x的增大而减小
C．当﹣3＜x＜1时，y＜0 D．一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是﹣3，1
28
6．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，动点P从点A开始沿边AB向B以1cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过（ ）秒，四边形APQC的面积最小．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝bx2＋ax的图象可能是( )
A．A B．B C．C D．D
8．抛物线（是常数），，顶点坐标为.给出下列结论：①若点与点在该抛物线上，当时，则；②关于的一元二次方程无实数解，那么（ ）
A．①正确，②正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①错误，②错误
9．如图是函数的图象，直线轴且过点，将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
10．如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
28
A． B．
C． D．
11．已知二次函数与x轴有交点，则k的取值范围在数轴上表示正确的是( )
A． B． C． D．
12．如图，平行于x轴的直线AC分别交函数 y=x（x≥0）与 y= x（x≥0）的图象于 B，C两点，过点C作y轴的平行线交y=x（x≥0）的图象于点D，直线DE∥AC交 y=x（x≥0）的图象于点E，则=（ ）
A． B．1 C． D．3﹣
二、填空题
13．已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式m²-m+2019的值为_______
14．a、b、c是实数，点A（a+1、b）、B（a+2，c）在二次函数y=x2﹣2ax+3的图象上，则b、c的大小关系是b____c（用“＞”或“＜”号填空）
28
15．已知二次函数y＝(x﹣2)2﹣3，当x_____时，y随x的增大而减小．
16．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围、两边）.设，若在处有一棵树与墙、的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园面积的最大值为___.
17．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x=﹣1，与x轴的一个交点是A（﹣3，0）其图象的一部分如图所示，对于下列说法：①2a=b；②abc＞0，③若点B（﹣2，y1），C（﹣，y2）是图象上两点，则y1＜y2；④图象与x轴的另一个交点的坐标为（1，0）．其中正确的是_____（把正确说法的序号都填上）
18．已知方程2x2﹣3x﹣5=0两根为，﹣1，则抛物线y=2x2﹣3x﹣5与x轴两个交点间距离为_________．
三、解答题
19．如图，在直角坐标系xOy中有一梯形ABCO，顶点C在x正半轴上，A、B两点在第一象限；且AB∥CO，AO＝BC＝2，AB＝3，OC＝5．点P在x轴上，从点（﹣2，0）出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向正方向运动；同时，过点P作直线l，使直线l和x轴向正方向夹角为30°．设点P运动了t秒，直线l扫过梯形ABCO的面积为S扫．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）当t＝2秒时，求S扫的值；
28
（3）求S扫与t的函数关系式，并求出直线l扫过梯形ABCO面积的时点P的坐标．
20．某工厂制作两种手工艺品，每天每件获利比多105元，获利30元的与获利240元的数量相等．
（1）制作一件和一件分别获利多少元？
（2）工厂安排65人制作，两种手工艺品，每人每天制作2件或1件．现在在不增加工人的情况下，增加制作．已知每人每天可制作1件（每人每天只能制作一种手工艺品），要求每天制作，两种手工艺品的数量相等．设每天安排人制作，人制作，写出与之间的函数关系式．
（3）在（1）（2）的条件下，每天制作不少于5件．当每天制作5件时，每件获利不变．若每增加1件，则当天平均每件获利减少2元．已知每件获利30元，求每天制作三种手工艺品可获得的总利润（元）的最大值及相应的值．
21．已知关于x的二次函数y=ax2-(2a+2)x+b(a≠0)在x=0和x=6时函数值相等.
(1)求a的值;
(2)若该二次函数的图象与直线y=-2x的一个交点为(2,m),求它的解析式;
(3)在(2)的条件下,直线y=-2x-4与x轴,y轴分别交于A,B,将线段AB向右平移n(n>0)个单位,同时将该二次函数在2≤x≤7的部分向左平移n个单位后得到的图象记为G,请结合图象直接回答,当图象G与平移后的线段有公共点时,n的取值范围.
22．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m．
28
（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）
（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．
23．已知反比例函数的图象与直线都过点．
求，的值；
若抛物线的顶点在反比例函数的图象上，求这条抛物线的顶点坐标．
24．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
(2)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，那么销售单价应控制在什么范围内？
25．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s与t之间的关系)．
根据图象提供的信息，解答下列问题：
(1)由已知图象上的三点坐标，求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关系式；
28
(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；
(3)求第8个月公司所获利润为多少万元?
26．我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润当地政府拟在“十二•五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润
（1）若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？
（2）若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？
（3）根据（1）、（2），该方案是否具有实施价值？
28
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
由抛物线与轴没有公共点，可得，求得，求出抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，再结合已知当时，随的增大而减小，可得，据此即可求得答案.
【详解】
，
抛物线与轴没有公共点，
，解得，
抛物线的对称轴为直线 ，抛物线开口向上，
而当时，随的增大而减小，
，
实数的取值范围是，
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与x轴交点问题，抛物线的对称轴，二次函数图象的增减性，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
2．C
【解析】
【分析】
因为-5＜0，抛物线开口向下，有最大值，根据顶点坐标公式表示函数的最大值，根据题目对最大值的要求，求待定系数v0．
【详解】
解：h=-5t2+v0•t，其对称轴为t=，
当t=时，h最大=-5×（）2+v0•=20，
解得：v0=20，v0=-20（不合题意舍去），
故选C．
56
【点睛】本题考查的是二次函数的应用，关键是利用当对称轴为t=-时h将取到最大值．
3．A
【解析】
【分析】
把函数解析式变成顶点式，然后根据二次函数的最值问题解答．
【详解】
∵y=﹣2x2﹣4x+1=﹣2（x+1）2+3，∴在自变量﹣2≤x≤1的取值范围内，当x=﹣1时，有最大值3，当x=1时，有最小值为y=﹣2﹣4+1=﹣5．
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式形式是解题的关键．
4．C
【解析】
【分析】
根据二次函数的图像与性质，对结论一一判断即可.
【详解】
①a＞0，二次函数的图像开口向上，y有最小值，此结论错误；②对称轴为x==﹣1，此结论正确；③令x=﹣1，y=a﹣b+c，由图像可得，x=﹣1时，y＜0，所以a﹣b+c＜0，此结论错误；④由图像可得，x=﹣3或x=1时，函数y的值都为0，此结论正确，正确的结论有2个.
故选C.
【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，需熟记相关结论.
5．B
【解析】
【分析】
直接根据二次函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
【详解】
A选项：∵抛物线与x轴的交点分别为-3，1，∴图象的对称轴是直线x==-1，故本选项正确；
B选项：∵抛物线开口向上，对称轴是直线x=-1，∴当x＜-1时，y随x的增大而减小，故本选项错误；
C选项：由函数图象可知，当-3＜x＜1时，y＜0，故本选项正确；
D选项：∵抛物线与x轴的交点分别为-3，1，∴一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是-3，1，故本选项正
56
确．
故选B．
【点睛】考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解答此题的关键．
6．C
【解析】
【分析】
根据等量关系“四边形APQC的面积=三角形ABC的面积-三角形PBQ的面积”列出函数关系求最小值．
【详解】
解：设P、Q同时出发后经过的时间为ts，四边形APQC的面积为Scm2，则有：
S=S△ABC-S△PBQ
=×12×6-（6-t）×2t
=t2-6t+36
=（t-3）2+27．
∴当t=3s时，S取得最小值．
故选C．
【点睛】本题考查了函数关系式的求法以及最值的求法，解题的关键是根据题意列出函数关系式，并根据二次函数的性质求出最值．
7．D
【解析】
【分析】
根据两个函数的开口方向及第一个函数与y轴的交点，第二个函数的对称轴可得相关图象．
【详解】
解：A、两个函数的开口方向都向上，那么a＞0，b＞0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于正半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误；
B、两个函数的开口方向都向下，那么a＜0，b＜0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于负半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误；
C、D、两个函数一个开口向上，一个开口向下，那么a，b异号，可得第二个函数的对称轴在y轴的右侧，故C错误，D正确．
故选D．
56
【点睛】本题考查二次函数图象的性质，用到的知识点为：二次函数的二次项系数大于0，开口方向向上，小于0，开口方向向下；二次项系数和一次项系数同号，对称轴在y轴的左侧，异号在y轴的右侧；一次项系数为0，对称轴为y轴；常数项是二次函数与y轴交点的纵坐标．
8．A
【解析】
【分析】
①根据二次函数的增减性进行判断便可；
②先把顶点坐标代入抛物线的解析式，求得m，再把m代入一元二次方程ax2-bx+c-m+1=0的根的判别式中计算，判断其正负便可判断正误．
【详解】
解：①∵顶点坐标为,
∴点（n，y1）关于抛物线的对称轴x=的对称点为（1-n，y1），
∴点（1-n，y1）与在该抛物线的对称轴的右侧图像上,
∵a＞0，
∴当x＞时，y随x的增大而增大，
∴y1＜y2，故此小题结论正确；
②把代入y=ax2+bx+c中，得,
∴一元二次方程ax2-bx+c-m+1=0中，
△=b2-4ac+4am-4a
∴一元二次方程ax2-bx+c-m+1=0无实数解，故此小题正确；
故选A．
56
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系，第①小题，关键是通过抛物线的对称性把两点坐标变换到对称轴的一边来，再通过二次函数的增减性进行比较，第②小题关键是判断一元二次方程根的判别式的正负．
9．C
【解析】
【分析】
找到最大值和最小值差刚好等于5的时刻，则M的范围可知.
【详解】
解：如图1所示，
∵，
∴顶点坐标为，
当时，，
∴，
当时，，
∴，
∴当时，
，
∴此时最大值为0，最小值为；
如图2所示，当时，
此时最小值为，最大值为1．
综上所述：，
故选C．
56
【点睛】此题考查了二次函数与几何图形结合的问题，找到最大值和最小值的差刚好为5的m的值为解题关键．
10．B
【解析】
分析：可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．
详解：A．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下．故选项错误；
B．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0．故选项正确；
C．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，和x轴的正半轴相交．故选项错误；
D．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上．故选项错误．
故选B．
点睛：本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y=ax﹣a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
11．C
【解析】
【分析】
直接利用根的判别式得到△=（2k+1）2-4×（k-2）2≥0，再利用二次函数的定义得到k-2≠0，然后解两不等式得到k的范围，从而对各选项进行判断．
【详解】
解：∵二次函数y=（k-2）2x2+（2k+1）x+1与x轴有交点，
∴△=（2k+1）2-4（k-2）2≥0，解得，
56
∵（k-2）2≠0，
∴k≠2，
∴k的取值范围为:且．
故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．解题的关键是掌握根的判别式求参数的取值范围．
12．D
【解析】
【分析】
设点A的纵坐标为b, 可得点B的坐标为(,b), 同理可得点C的坐标为(b,b)，
D点坐标（，3b），E点坐标(,3b)，可得的值.
【详解】
解:设点A的纵坐标为b, 因为点B在的图象上, 所以其横坐标满足=b, 根据图象可知点B的坐标为(,b), 同理可得点C的坐标为(,b),
所以点D的横坐标为,因为点D在的图象上, 故可得
y==3b，所以点E的纵坐标为3b,
因为点E在的图象上, =3b，
因为点E在第一象限, 可得E点坐标为(,3b),
故DE==,AB=
所以=
故选D.
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质.
13．2020
【解析】
【分析】
56
把点（m，0）代入抛物线y=x²-x-1求出m²-m的值，再代入所求代数式进行计算即可．
【详解】
∵抛物线y=x²−x−1与x轴的一个交点为(m,0)，
∴m²−m−1=0，
∴m²−m=1，
∴原式=1+2019=2020.
故答案为2020.
【点睛】此题考查抛物线与坐标轴的交点，解题关键在于利用待定系数法求解.
14．＜
【解析】
试题分析：将二次函数y＝x2－2ax＋3转换成y＝(x-a)2-a2＋3,则它的对称轴是x=a,抛物线开口向上，所以在对称轴右边y随着x的增大而增大，点A点B均在对称轴右边且a+1
0)个单位的表达式，二次函数在2≤x≤7的部分向左平移n个单位后得到的图象记为G，可得G的函数表达式，两者联立的方程有解，可得n的取值范围.
【详解】
(1)∵二次函数在x=0和x=6时函数值相等,
∴该二次函数的对称轴为x=3
∴x=,
解并检验得:a=.
(2)∵直线y=-2x过点(2,m),
∴m=-2×2=-4,
由题意,点(2,-4)在抛物线上,
且由(1)a=,抛物线为y=x2-3x+b,
可得:2-6+b=-4,
解得b=0,
∴抛物线的解析式为y=x2-3x.
(3)①如图：
当n=1时，一次函数为(-1≤x≤1),G为(1≤x≤6)，有公共交点（1，-4），故n=1满足条件;
56
②
当n=2时, (0≤x≤2), G为(0≤x≤5), 有公共交点（2，-4），故n=2满足条件
③
当n=4时, (2≤x≤4), G为(-2≤x≤3),此时有公共点（2，0）
故：n=1或2≤n≤4,
【点睛】本题主要考查平移的性质，根的判别式及二次函数的综合.
22．（1）y=(x－6)2+2.6
（2）球能越过网；球会过界
（3）h≥
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：（1）利用h=2.6将点（0，2），代入解析式求出即可；
（2）利用当x=9时，y=﹣（x﹣6）2+2.6=2.45，当y=0时，，分别得出即可；
（3）根据当球正好过点（18，0）时，抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2），以及当球刚能过网，此时函数解析式过（9，2.43），抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2）时分别得出h的取值范围，即可得出答案．
试题解析：解：（1）∵h=2.6，球从O点正上方2m的A处发出，
∴抛物线y=a（x﹣6）2+h过点（0，2），
∴2=a（0﹣6）2+2.6，
解得：a=﹣，
56
故y与x的关系式为：y=﹣（x﹣6）2+2.6，
（2）当x=9时，y=﹣（x﹣6）2+2.6=2.45＞2.43，
所以球能过球网；
当y=0时，，
解得：x1=6+2＞18，x2=6﹣2（舍去）
故会出界；
（3）当球正好过点（18，0）时，抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2），代入解析式得：
，
解得：，
此时二次函数解析式为：y=﹣（x﹣6）2+，
此时球若不出边界h≥，
当球刚能过网，此时函数解析式过（9，2.43），抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2），代入解析式得：
解得：，
此时球要过网h≥
故若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围是：h≥．
考点：二次函数的应用
23．（1）（2），
56
【解析】
【分析】
（1）根据反比例函数y=的图象与直线y=x+1都过点（-3，n），直接代入一次函数解析式求出即可，进而得出k的值；
（2）利用抛物线y=x2-2mx+m2+m+1的顶点在反比例函数y=的图象上，表示出二次函数的顶点坐标，代入反比例函数解析式求出即可.
【详解】
∵反比例函数的图象与直线都过点，
∴将点，代入，
∴，
，
∴点的坐标为：，将点代入，
∴，
；∵抛物线的顶点为：
∴，
，
∴抛物线的顶点为：，
∵抛物线的顶点在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，，
∴抛物线的顶点为：，．
56
【点睛】此题主要考查了反比例函数的综合应用以及二次函数顶点坐标的求法,求出二次函数顶点坐标再利用图象上点的性质得出是解题关键.
24．（1）y=﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；（2）当x=80时，y最大值=4500；（3）70≤x≤90.
【解析】
【分析】
(1) 根据题目已知条件, 可以判定销量与售价之间的关系式为一次函数, 并可以进一步写出二者之间的关系式; 然后根据单位利润等于单位售价减单位成本, 以及销售利润等于单位利润乘销量, 即可求出每天的销售利润与销售单价之间的关系式.
(2) 根据开口向下的抛物线在对称轴处取得最大值, 即可计算出每天的销售利 润及相应的销售单价.
(3) 根据开口向下的抛物线的图象的性质,满足要求的x的取值范围应该在﹣5（x﹣80）2+4500=4000的两根之间,即可确定满足题意的取值范围.
【详解】
解：（1）y=（x﹣50）[50+5（100﹣x）]
=（x﹣50）（﹣5x+550）
=﹣5x2+800x﹣27500，
∴y=﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；
（2）y=﹣5x2+800x﹣27500=﹣5（x﹣80）2+4500，
∵a=﹣5＜0，
∴抛物线开口向下．
∵50≤x≤100，对称轴是直线x=80，
∴当x=80时，y最大值=4500；
（3）当y=4000时，﹣5（x﹣80）2+4500=4000，
解得x1=70，x2=90．
∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用.
25．(1) ；(2) 截止到10月末，公司累积利润可达到30万元；(3) 第8个月公司获利润5.5万元．
【解析】
【分析】
56
（1）本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题，应根据图象以及题目中所给的信息来列出S与t之间的函数关系式；
（2）把S=30代入累计利润S=t2﹣2t的函数关系式里，求得月份；
（3）分别t=7，t=8，代入函数解析S=t2﹣2t，再把总利润相减就可得出．
【详解】
（1）由图象可知其顶点坐标为（2，﹣2），故可设其函数关系式为：S=a（t﹣2）2﹣2．
∵所求函数关系式的图象过（0，0），于是得：a（0﹣2）2﹣2=0，解得：a=，∴所求函数关系式为：S=（t﹣2）2﹣2，即S=t2﹣2t．
答：累积利润S与时间t之间的函数关系式为：S=t2﹣2t；
（2）把S=30代入S=（t﹣2）2﹣2，得：（t﹣2）2﹣2=30．
解得：t1=10，t2=﹣6（舍去）．
答：截止到10月末公司累积利润可达30万元．
（3）把t=7代入关系式，得：S=×72﹣2×7=10.5，把t=8代入关系式，得：S=×82﹣2×8=16，16﹣10.5=5.5．
答：第8个月公司所获利是5.5万元．
【点睛】本题主要考查了二次函数在实际生活中的应用，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，尤其是对本题图象中所给的信息是解决问题的关键．
26．（1）205（万元）；（2）3175（万元）；（3）有很大的实施价值.
【解析】
【分析】
（1）由P=-（x-60）2＋41知，每年只需从100万元中拿出60万元投资，即可获得最大利润41万元，则不进行开发的5年的最大利润P1=41×5（万元）
（2）若实施规划，在前2年中，当x=50时，每年最大利润为：
P=-（50-60）2+41=40万元，前2年的利润为：40×2=80万元，扣除修路后的纯利润为：80-50×2=-20万元.设在公路通车后的3年中，则其总利润W=［-（x-60）2＋41＋（-x2＋x＋160］×3=-3（x-30）2＋3195,当x=30时，W的最大值为3195万元，
（3）规划后5年总利润为3175万元，不实施规划方案仅为205万元，故具有很大的实施价值.
56
【详解】
解：（1）由P=-（x-60）2＋41知，每年只需从100万元中拿出60万元投资，即可获得最大利润41万元，
则不进行开发的5年的最大利润P1=41×5=205（万元）
（2）若实施规划，在前2年中，当x=50时，每年最大利润为：
P=-（50-60）2+41=40万元，前2年的利润为：40×2=80万元，扣除修路后的纯利润为：80-50×2=-20万元.
设在公路通车后的3年中，每年用x万元投资本地销售，而用剩下的（100-x）万元投资外地销售，则其总利润W=［-（x-60）2＋41＋（-x2＋x＋160］×3=-3（x-30）2＋3195
当x=30时，W的最大值为3195万元，
∴5年的最大利润为3195-20=3175（万元）
（3）规划后5年总利润为3175万元，不实施规划方案仅为205万元，故具有很大的实施价值.
【点睛】二次函数的最值.
第23章
一、单选题(共36分)
1．(本题3分)点与关于原点对称，则
A．-3 B．-2 C．3 D．2
2．(本题3分)己知点，将点绕原点顺时针旋转后的对应点为，将点绕原点顺时针旋转后的对应点为，依此作法继续下去，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．(本题3分)
56
如图是由三把相同大小的扇子展开后组成的图形，若把每把扇子的展开图看着“基本图案”那么该图形是由“基本图案”（ ）
A．平移一次形成的
B．平移两次形成的
C．以轴心为旋转中心，旋转后形成的
D．以轴心为旋转中心，旋转、后形成的
4．(本题3分)如图，是一张矩形纸片，点为矩形对角线的交点，直线经过点交于，交于．
操作：先沿直线剪开，并将直角梯形绕点旋转后，恰好与直角梯形完全重合，再将重合后的直角梯形以直线为轴翻转后所得的图形可能是（ ）
A． B． C． D．
5．(本题3分)如图,正方形OABC在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),将正方形OABC绕点O顺时针旋转45°,得到正方形OA'B'C',则点C'的坐标为（ ）
A．() B．(-) C．(,-) D．(2,2)
56
6．(本题3分)若点与点关于原点成中心对称，则的值是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
7．(本题3分)如图，和关于点成中心对称，则点坐标是（ ）
A． B． C． D．
8．(本题3分)如图，在等腰直角三角形中，，一个三角尺的直角顶点与边的中点重合，且两条直角边分别经过点和点，将三角尺绕点按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与，分别交于点，时，下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
9．(本题3分)如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转度得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为（ ）
56
A．1.6 B．1.8 C．2 D．2.6
10．(本题3分)如图，在平面直角坐标系中将绕点旋转得到，设点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．(本题3分)如图，以点A为中心，把△ABC逆时针旋转120°，得到△AB'C′（点B、C的对应点分别为点B′、C′），连接BB'，若AC'∥BB'，则∠CAB'的度数为（ ）
A．45° B．60° C．70° D．90°
12．(本题3分)如图，中，，，，把绕着它的斜边中点逆时针旋转至的位置，交于点．与重叠部分的面积为 ．
56
A．8 B．9 C．10 D．12
二、填空题(共18分)
13．(本题3分)如图，中，，，，把绕着它的斜边中点逆时针旋转至的位置，交于点．与重叠部分的面积为________．
14．(本题3分)已知点与点关于原点对称，若点在第二象限，则的取值范围是________．
15．(本题3分)有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点顺时针旋转后得到矩形（如图），连结、，若此时他测得．小红同学用剪刀将与剪去，与小亮同学探究．他们将绕点顺时针旋转得，交于点（如图），设旋转角为，当为等腰三角形时，则旋转角的度数为________．
56
16．(本题3分)如图，把绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则的大小为________．
17．(本题3分)四边形、四边形都是正方形，当正方形绕点逆时针旋转45°（）时，如图，连接，，并延长交于点，且．若，，则线段的长是________．
18．(本题3分)在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有 种．
三、解答题(共66分)
19．(本题8分)在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，
56
点A的坐标是（﹣3，﹣1）．
（1）以O为中心作出△ABC的中心对称图形△A1B1C1，并写出点B1坐标；
（2）以格点P为旋转中心，将△ABC按顺时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，且使点A的对应点A′的恰好落在△A1B1C1的内部格点上（不含△A1B1C1的边上），写出点P的坐标，并画出旋转后的△A′B′C′．
20．(本题8分)如图，正方形中，经顺时针旋转后与重合．
旋转中心是点________，旋转了________度；
如果，，求：四边形的面积．
21．(本题8分)如图，已知：如图点，点在轴正半轴上，且，将线段绕点沿顺时针旋转，设点旋转后的对应点是点，求点的坐标．
22．(本题8分)如图，是等边的边上一点．将旋转到的位置
56
（1）旋转中心是________点；
（2）旋转了________度；
（3）若是的中点，那么经过上述旋转变换后，点转到了什么位置？
23．(本题8分)已知与是两个大小不同的等腰直角三角形．
如图①所示，连接，，试判断线段和的数量和位置关系，并说明理由；
如图②所示，连接，将线段绕点顺时针旋转到，连接，试判断线段和的数量和位置关系，并说明理由．
24．(本题8分)在直角坐标系中，四边形各个顶点坐标分别为，，．
画出平面直角坐标系，并画四边形．
试确定图中四边形的面积．
如果将四边形绕点旋转，试确定旋转后四边形上各个顶点的坐标．
如果，你能重新建立适当的坐标系，横坐标乘以得的图形与原图形重合吗？请说明理由．
25．(本题9分)如图，已知，是线段上的两点，，，，以为中心顺时针旋转点，以为中心逆时针旋转点，使，两点重合成一点，构成，设．
56
（1）求的取值范围；
（2）求面积的最大值．
26．(本题9分)如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°．若固定△ABC，将△DEC绕点C旋转．
（1）当△DEC统点C旋转到点D恰好落在AB边上时，如图2．
①当∠B=∠E=30°时，此时旋转角的大小为 ；
②当∠B=∠E=α时，此时旋转角的大小为 (用含a的式子表示)．
（2）当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小杨同学猜想：△BDC的面积与△AEC的面积相等，试判断小杨同学的猜想是否正确，若正确，请你证明小杨同学的猜想．若不正确，请说明理由．
56
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
根据平面直角坐标系中任意一点P(x,y),关于原点的对称点是(-x,-y)可得到a,b的值,再代入2a+b中可得到答案.
【详解】
解:点P(2a+1,4)与P'(1,3b-1)关于原点对称,
2a+1=-1,3b-1=-4,
a=-1,b=-1,
2a+b=2(-1)+(-1)=-3.
所以A选项是正确的.
【点睛】
此题主要考查了坐标系中的点关于原点对称的坐标特点.注意:关于原点对称的点,横纵坐标分别互为相反数.
2．B
【解析】
【分析】
根据图形旋转的规律得出每旋转6次坐标一循环,求出点的坐标与点坐标相同,进而可得出答案.
【详解】
解:将点A绕原点O顺时针旋转60后的对应点为A,将点A绕原点O顺时针旋转60后的对应点为A,依此作法继续下去,
91
得出每旋转=6次坐标一循环,得出20126=335余2,即点A的坐标与点A坐标相同,即可得出点A与点A关于x轴对称,
A点坐标为:(1,-).
所以B选项是正确的.
【点睛】
此题主要考查了坐标与图形的旋转与规律问题,解答此题的关键是明确图形旋转的变化规律每旋转6次坐标一循环.
3．D
【解析】
【分析】
根据图形，由一个基本图形旋转后得到了三个基本图形，因为旋转中心的旋转角360°，所以可以用360°，除以3即可得到每个图形旋转的角度．
【详解】
解：如图所示：∵旋转中心的旋转角360°，
∴每个图形旋转的角度为：360°÷3=120°，
∴把每把扇子的展开图看成“基本图案”那么该图形是由“基本图案”：以轴心为旋转中心，旋转120°、240°后形成的．
故选D．
【点睛】
此题主要考查了利用图形的旋转设计图案，根据题意得出旋转角度是解题关键．
4．D
【解析】
91
【分析】
根据旋转的性质得到AM，CN都不与MN垂直，BN，DM也不与MN垂直，由此判断D满足条件．
【详解】
解：直角梯形MNCD绕O点旋转180°后，恰好与直角梯形NMAB完全重合，再将重合后的直角梯形MNCD以直线MN为轴翻转180°后所得的图形中AM，CN都不与MN垂直，BN，DM也不与MN垂直，所以D满足条件．
故选D．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．
5．A
【解析】
【分析】
先根据点A的坐标求出正方形的边长，再根据旋转可得点C′在第一象限的平分线上，然后求解即可．
【详解】
∵点A的坐标为（2，0），
∴正方形OABC的边长为2，
∵正方形OABC绕点O顺时针旋转45°，得到正方形OA′B′C′，
∴点C′在第一象限的平分线上，
∴点C′的横坐标为2×=，
91
纵坐标为为2×=，
∴点C′的坐标为（，）．
故选A．
【点睛】
本题考查了坐标与图形变化-旋转，正方形的性质，熟记性质并判断出点C′的位置是解题的关键．
6．C
【解析】
【分析】
根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案.
【详解】
解：∵点与点关于原点对称，
∴，，
解得：，，
则
故选C.
【点睛】
本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数.
7．A
【解析】
【分析】
91
先求出△ABC和△A1B1C1中对应的两点坐标，连接此两点坐标则E点必在其中点上，求出其中点坐标即可．
【详解】
由图可知：
因为B、B1点的坐标分别是：B（-5，1）、B1（-1，-3），
所以BB1的中点坐标为（，），
即（-3，-1），
则点E坐标是（-3，-1），
故选A．
【点睛】
本题考查了坐标与图象变化-旋转，用到的知识点是图形旋转对称的性质等，图形旋转后时，其旋转中心必是其对应点连线的中点坐标．
8．C
【解析】
【分析】
连接AO，易证△EOA≌△FOC（ASA），利用全等三角形的性质可得出EA=FC，进而可得出AE+AF=AC，选项A正确；由三角形内角和定理结合∠B+∠C=90°，∠EOB+∠FOC=90°可得出∠BEO+∠OFC=180°，选项B正确；由△EOA≌△FOC可得出S△EOA=S△FOC，结合图形可得出S四边形AEOF=S△EOA+S△AOF=S△FOC+S△AOF=S△AOC=S△ABC，选项D正确．综上，此题得解．
【详解】
连接AO，如图所示．
91
∵△ABC为等腰直角三角形，点O为BC的中点，
∴OA=OC，∠AOC=90°，∠BAO=∠ACO=45°．
∵∠EOA+∠AOF=∠EOF=90°，∠AOF+∠FOC=∠AOC=90°，
∴∠EOA=∠FOC．
在△EOA和△FOC中，
，
∴△EOA≌△FOC（ASA），
∴EA=FC，
∴AE+AF=AF+FC=AC，选项A正确；
∵∠B+∠BEO+∠EOB=∠FOC+∠C+∠OFC=180°，∠B+∠C=90°，∠EOB+∠FOC=180°-∠EOF=90°，
∴∠BEO+∠OFC=180°，选项B正确；
∵△EOA≌△FOC，
∴S△EOA=S△FOC，
∴S四边形AEOF=S△EOA+S△AOF=S△FOC+S△AOF=S△AOC=S△ABC，选项D正确．
故选C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰直角三角形以及三角形内角和定理，逐一分析四
91
个选项的正误是解题的关键．
9．A
【解析】
【分析】
由将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上，可得AD=AB，又由∠B=60°，可证得△ABD是等边三角形，继而可得BD=AB=2，则可求得答案．
【详解】
由旋转的性质可知，，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】
此题考查旋转的性质，解题关键在于利用旋转的性质得出AD=AB
10．B
【解析】
【分析】
设点A的坐标为（x，y），然后根据中心对称的点的特征列方程求解即可．
【详解】
设点A的坐标为（x，y），
91
∵△ABC绕点C（0，-1）旋转180°得到△A1B1C1，点A1的坐标为（m，n），
∴=0，=-1，
解得x=-m，y=-n-2，
所以，点A的坐标为（-m，-n-2）．
故选B．
【点睛】
本题考查了坐标与图形变化-旋转，熟练掌握中心对称的点的坐标特征是解题的关键．
11．D
【解析】
【分析】
先根据旋转的性质得到∠BAB′=∠CAC′=120°，AB=AB′，根据等腰三角形的性质易得∠AB′B=30°，再根据平行线的性质由AC′∥BB′得∠C′AB′=∠AB′B=30°，然后利用∠CAB′=∠CAC′-∠C′AB′进行计算．
【详解】
∵以点A为中心，把△ABC逆时针旋转120°，得到△AB'C′，
∴∠BAB′=∠CAC′=120°，AB=AB′，
∴∠AB′B=（180°-120°）=30°，
∵AC′∥BB′，
∴∠C′AB′=∠AB′B=30°，
∴∠CAB′=∠CAC′-∠C′AB′=120°-30°=90°．
故选：D．
【点睛】
此题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，解题关键在于掌握旋转前
91
后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．
12．B
【解析】
【分析】
如图，由点P为斜边BC的中点得到PC=BC=6，再根据旋转的性质得PF=PC=6，∠FPC=90°，∠F=∠C=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△PFH中计算出PH=PF=2；在Rt△CPM中计算出PM=PC=2，且∠PMC=60°，则∠FMN=∠PMC=60°，于是有∠FNM=90°，FM=PF-PM=6-2，则在Rt△FMN中可计算出MN=FM=3-，FN=MN=3-3，然后根据三角形面积公式和利用△ABC与△DEF重叠部分的面积=S△FPH-S△FMN进行计算即可．
【详解】
解：如图，
∵点P为斜边BC的中点，
∴PB=PC=BC=6，
∵△ABC绕着它的斜边中点P逆时针旋转90°至△DEF的位置，
∴PF=PC=6，∠FPC=90°，∠F=∠C=30°，
在Rt△PFH中，∵∠F=30°，
91
∴PH=PF=×6=2，
在Rt△CPM中，∵∠C=30°，
∴PM=PC=×6=2，∠PMC=60°，
∴∠FMN=∠PMC=60°，
∴∠FNM=90°，
而FM=PF-PM=6-2，
在Rt△FMN中，∵∠F=30°，
∴MN=FM=3-，
∴FN=MN=3-3，
∴△ABC与△DEF重叠部分的面积=S△FPH-S△FMN
=×6×2-（3-）（3-3）
=9（cm2）．
故选B．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．
13．9
【解析】
【分析】
91
根据旋转前后对应角相等可知:△FHP∽△FED, 又点P为斜面中点,FP=6cm, 在根据相似三角形的对应边的比相等即可求出PH的长;把所求阴影部分面积看作△FHP与△FMN的面积差, 并且这两个三角形都与△ABC相似, 根据∠A=90, ∠C=30,BC=12cm, 求出对应边的长, 再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求面积即可.
【详解】
解: 如图,
点P为斜边BC的中点,
PB=PC=BC=6,
△ABC绕着它的斜边中点P逆时针旋转90至△DEF的位置,
PF=PC=6, ∠FPC=90, ∠F=∠C=30,
PH=PF=6=2,
在Rt△CPM中, ∠C=30,
PM=PC=6=2,∠PMC=60,
∠FMN=∠PMC=60,
∠FNM=90,
而FM=PF-PM=6-2,
在Rt△FMN中, ∠F=30,
91
MN=FM=3-,
FN=MN=3-3,
△ABC与△DEF重叠部分的面积=-=62-(3-)(3-3)
=9 (cm).
【点睛】
本题考查了旋转的性质及含30度角的直角三角形的知识, 有一定难度, 注意相似三角形性质的熟练运用.
14．.
【解析】
【分析】
根据N点所在现象确定M所在象限，再根据第四象限内点的坐标符号可得关于m的不等式组，解不等式组即可得答案.
【详解】
∵点M（2m+1，m-1）与点N关于原点对称，若点N在第二象限，
∴M在第四象限，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】
91
本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
15．或
【解析】
【分析】
结合旋转的性质分情况讨论即可求得答案.
【详解】
当AK=FK时，∠KAF=∠F=30°，
则∠BAB1=180°﹣∠B1AD1﹣∠KAF=180°﹣90°﹣30°=60°，
即β=60°；
②当AF=FK时，∠FAK==75°，
∴∠BAB1=90°﹣∠FAK=15°，
即β=15°，
∴β的度数为60°或15°，
故答案为：60°或15°.
【点睛】
本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质以及运用分类讨论思想是解本题的关键.
16．
【解析】
【分析】
由旋转的性质可知AB=AB′，∠BAB′=42°，接下来，依据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠B′BC′的大小．
91
【详解】
∵把△ABC绕点A逆时针旋转42°，得到△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，
∴∠BAB′=42°，AB=AB′．
∴∠AB′B=∠ABB′．
∴∠B′BC′=（180°-42°）=69°．
故答案为：69°．
【点睛】
本题主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，证得△ABB′是等腰三角形是解题的关键．
17．
【解析】
【分析】
如图（见解析），先根据正方形的性质可得，再根据勾股定理可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后利用等面积法求出，据此利用线段的和差即可得出答案．
【详解】
如图，连接交于点，连接，
∵正方形绕点逆时针旋转，
∴与互相垂直平分，且在上，
∵四边形是正方形，，
91
∴，，，，
四边形ABCD是正方形，，
，
∴，
在中，，
在和中，，
，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】
91
本题考查了正方形的旋转问题与性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握正方形的性质是解题关键．
18．13
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的性质，分别移动一个正方形，即可得出符合要求的答案．
【详解】
如图所示：
故一共有13画法.
19．（1）点B1坐标为（2，4）；（2）点P的坐标为：（1，﹣2）.
【解析】
【分析】
(1) 根据平面直角坐标系可得初始三角形的每个点的坐标, 根据中心对称对称的性质可得对称后的每个点的坐标, 连接起来△A1B1C1，可写出B1坐标.
(2) 由A′的恰好落在△A1B1C1的内部格点上，可求得A′的坐标，由△ABC按顺时针方向旋转90°，可求得
91
P点坐标，可画出旋转后的△A′B′C′．
【详解】
解：（1）如图所示：
△A1B1C1，即为所求，点B1坐标为（2，4）；
（2）如图所示：点P的坐标为：（1，﹣2），
△A′B′C′即为所求．
【点睛】
本题主要考查平面直角坐标系的有关概念、图形的旋转及性质以及图形的中心对称．
20．（1）,；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据正方形的性质得AB=AD,∠BAD=90,则根据旋转的定义得到△ADE绕点A顺时针旋转90后与△ABF重合;
(2)根据旋转的性质得BF=DE,=,利用CF=CB+BF=8得到BC+DE=8,再加上
CE=CD-DE=BC-DE=4,于是可计算出BC=6,所以==36.
【详解】
解:(1)四边形ABCD为正方形,
91
AB=AD,∠BAD=90,
△ADE绕点A顺时针旋转90后与△ABF重合,
即旋转中心是点A,旋转了90度;
故答案为A,90;
(2) △ADE绕点A顺时针旋转90后与△ABF重合,
BF=DE, =,
而CF=CB+BF=8,
BC+DE=8,
CE=CD-DE=BC-DE=4,
BC=6,
==6=36
【点睛】
本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.旋转有三要素:旋转中心; 旋转方向; 旋转角度.也考查了正方形的性质.
21．点的坐标为．
【解析】
【分析】
作BC⊥x轴于C,先利用勾股定理求出OB=3,再利用旋转的性质得BA=AB,且∠BA B=90,接着证明△ABO≌△BAC得到AC=OB=3,BC=OA=4,然后写出B点的坐标.
【详解】
解：如图，作轴于，
91
∵，，
∴，
∵线段绕点沿逆时针旋转得，
∴，且，
∴
而，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
∴，
∴点的坐标为．
【点睛】
本题主要考查旋转的性质的应用及三角形全等.
91
22．（1）；（2）（3）若是的中点，以点为旋转中心，逆时针旋转后，点转到了的中点位置上．
【解析】
【分析】
根据等边三角形的性质得CA=CB,∠ACB=60,由于△ACE旋转到△BCF的位置,则可得到旋转中心为C点;旋转角度为∠ACB,利用AC与BC是对应边,若D是AC的中点,以C点为旋转中心,逆时针旋转60后,点D转到了CB的中点位置上.
【详解】
解：解:(1)△ABC为等边三角形,CA=CB,
而△ACE旋转到△BCF的位置,
即CA旋转到CB,CE旋转到CF,
旋转中心为C点;
(2) △ABC为等边三角形,
∠ACB=60,
CA旋转到CB,
旋转角度为∠ACB,即旋转了60;
(3)若D是AC的中点,以C点为旋转中心,逆时针旋转60后,点D转到了CB的中点位置上.
【点睛】
本题考查了旋转的性质:旋转前后两图形全等;对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角.也考查了等边三角形的性质.
23．（1），，证明见解析；（2），，证明见解析.
【解析】
91
【分析】
（1）根据等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定定理证明RtBCD≌Rt△ACE，根据全等三角形的性质进行解答即可；
（2）证明△EBD≌△ADF，根据全等三角形的性质证明即可.
【详解】
（1），，理由如下：
如图①，延长DB交AE于点H，
∵与是等腰直角三角形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2），，理由如下：
如图②，设与交于，
由题意得，，
91
∵，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质定理是解题的关键.
24．（1）画图见解析；（2）；旋转后四边形上各个顶点的坐标分别为：，，；不能与与原图形重合，理由见解析．
【解析】
91
【分析】
（1）画出平面直角坐标系，描出各点，顺次连接各点即可得到四边形OABC；
（2）利用组合图形的面积转化为基本图形的面积的和与差，求出即可；
（3）根据旋转的性质得到各点旋转180度后的对应点，顺次连接画出旋转后的图形，再根据点在坐标系中的位置写出各点坐标即可；
（4）不能，根据横坐标乘以-1后得到的图形与原图形关于y轴对称，由此进行说理即可.
【详解】
如图：四边形即为所求；
（2）
=
=；
如图：旋转后四边形上各个顶点的坐标分别为：，，，；
横坐标乘以得的图形与原图形关于轴成轴对称，不能与与原图形重合．
【点睛】
91
本题考查了坐标与图形变化——旋转，熟练掌握旋转的性质以及网格的结构特点是解题的关键.
25．（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）由旋转可得到AC=MA=x，BC=BN=3-x，利用三角形三边关系可求得x的取值范围；
（2）过点C作CD⊥AB于D，设CD=h，利用勾股定理表示出AD、BD，再根据BD=AB-AD列方程求出h2，然后求出△ABC的面积的平方，再根据二次函数的最值问题解答．
【详解】
解：（1）∵，，，
∴．
由旋转的性质，得，，
由三角形的三边关系，得
解不等式①得，
解不等式②得，
∴的取值范围是．
（2）如图，过点作于点，
设，由勾股定理，得，，
91
∵，
∴，两边平方并整理，得，两边平方整理，得．
∵的面积为，
∴，
∴当时，面积最大值的平方为，
∴面积的最大值为．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，三角形的三边关系，勾股定理，二次函数的最值问题，（1）难点在于考虑利用三角形的三边关系列出不等式组，（2）难点在于求解利用勾股定理列出的无理方程．
26．（1）①60°；②2α；（2）小杨同学猜想是正确的．证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）①证明△ADC是等边三角形即可．
②如图2中，作CH⊥AD于H．想办法证明∠ACD=2∠B即可解决问题．
（2）小扬同学猜想是正确的．过B作BN⊥CD于N，过E作EM⊥AC于M，如图3，想办法证明△CBN≌△CEM（AAS）即可解决问题．
【详解】
解：（1）①∵∠B=30°，∠ACB=90°，
91
∴∠CAD=90°﹣30°=60°．
∵CA=CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∴旋转角为60°．
故答案为：60°．
②如图2中，作CH⊥AD于H．
∵CA=CD，CH⊥AD，
∴∠ACH=∠DCH．
∵∠ACH+∠CAB=90°，∠CAB+∠B=90°，
∴∠ACH=∠B，
∴∠ACD=2∠ACH=2∠B=2α，
∴旋转角为2α．
故答案为：2α．
（2）小杨同学猜想是正确的．证明如下：
过B作BN⊥CD于N，过E作EM⊥AC于M，如图3，
91
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3．
∵BN⊥CD于N，EM⊥AC于M，
∴∠BNC=∠EMC=90°．
∵△ACB≌△DCE，
∴BC=EC，
在△CBN和△CEM中，
∠BNC=∠EMC，∠1=∠3，BC=EC，
∴△CBN≌△CEM(AAS)，
∴BN=EM．
∵S△BDC•CD•BN，S△ACE•AC•EM．
∵CD=AC，
∴S△BDC=S△ACE．
【点睛】
本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
91
第24章
一、单选题(共36分)
1．(本题3分)如图是一个圆弧形门拱，拱高，跨度，那么这个门拱的半径为（ ）
A．2m B．2.5m C．3m D．5m
2．(本题3分)如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（―1，2）
B．（―9，18）
C．（―9，18）或（9，―18）
D．（―1，2）或（1，―2）
91
3．(本题3分)已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 ( )cm.
A．14或2 B．14 C．2 D．6
4．(本题3分)如图，已知，，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．(本题3分)下列说法正确的是（ ）
A．弦是直径 B．平分弦的直径垂直弦
C．优弧一定大于劣弧 D．等弧所对的圆心角相等
6．(本题3分)如图，C、D为半圆上三等分点，则下列说法：①==；②∠AOD＝∠DOC＝∠BOC；③AD＝CD＝OC；④△AOD沿OD翻折与△COD重合．正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．(本题3分)如图，⊙O的半径OA＝8，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B，C点，则BC＝（ ）
A． B． C． D．
91
8．(本题3分)数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（ ）
A．勾股定理
B．直径所对的圆周角是直角
C．勾股定理的逆定理
D．90°的圆周角所对的弦是直径
9．(本题3分)把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径长是（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
10．(本题3分)如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，则∠AIB和∠AOB的关系为（ ）
A．∠AIB＝∠AOB B．∠AIB≠∠AOB
91
C．2∠AIB﹣∠AOB＝180° D．2∠AOB﹣∠AIB＝180°
11．(本题3分)已知⊙O的半径为4，点O到直线m的距离为d，若直线m与⊙O公共点的个数为2个，则d可取（ ）
A．5 B．4.5 C．4 D．0
12．(本题3分)下列图形中，的是( )
A． B．
C． D．
二、填空题(共18分)
13．(本题3分)如图：∠AOB＝2∠COD，则______2．
14．(本题3分)如图，弧的度数为40°，则∠A+∠C＝______．
91
15．(本题3分)将一个半径为6cm，母线长为15cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是 度．
16．(本题3分)如图，M，N是正方形ABCD的边BC上两个动点，满足BM＝CN，连结AC交DN于点P，连结AM交BP于点Q，若正方形的边长为1，则线段CQ的最小值是_____．
17．(本题3分)如图，是圆的弦，，垂足为点，将劣弧沿弦折叠交于的中点，若，则圆的半径为_____．
18．(本题3分)如图，为的直径，为上一点，过点的切线交的延长线于点，为弦的中点，，，若点为直径上的一个动点，连接，当是直角三角形时，的长为__________．
三、解答题(共66分)
19．(本题8分)如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上的一点，以O为圆心，13为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于点A，B和点C，D，连结OA，此时有OA∥PE．
91
（1）求证:AP = AO；
（2）若弦AB = 24，求OP的长．
20．(本题8分)如图1，为半圆的直径，点为圆心，为半圆的切线，过半圆上的点作交于点，连接．
（1）连接，若，求证：是半圆的切线；
（2）如图2，当线段与半圆交于点时，连接，，判断和的数量关系，并证明你的结论．
21．(本题8分)如图，在平面直角坐标系中，三个顶点都在格点上，点，，的坐标分别为，，请解答下列问题：
（1）与△关于原点成中心对称，画出△并直接写出点的对应点的坐标；
（2）画出绕点顺时针旋转后得到的△，并求出线段旋转时扫过的面积．
91
22．(本题8分)已知：如图，在中，CD是直径，AB是弦，，垂足为E.求证：，，.
23．(本题8分)已知：如图所示，AB，CD是的弦，OC，OD分别交AB于点E，F，且，求证：.
24．(本题8分)如图，在中，，，分别以点A，B，C为圆心，以为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是多少？
25．(本题8分)已知是的直径，点，在上，与交于点，连接.
91
（Ⅰ）如图1，若点是弧的中点，求的大小；
（Ⅱ）如图2，过点作的切线与的延长线交于点，若，求的大小.
26．(本题10分).如图所示,已知锐角△ABC的外接圆半径R=1,∠BAC=60°，△ABC的垂心和外心分别为H、O，连接OH、BC交于点P
(1)求凹四边形ABHC的面积；
(2)求PO·OH的值．
91
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
设这个门拱的半径为r，则OB=r-1，根据垂径定理求出BC的长，再根据勾股定理求出r的值即可．
【详解】
设这个门拱的半径为r，则OB=r−1，
∵CD=4m，AB⊥CD，
∴BC=CD=2m，
在Rt△BOC中，
∵BC+OB=OC,即2+(r−1) =r，解得r=2.5m.
故选B.
【点睛】
此题考查垂径定理的应用，勾股定理，解题关键在于求出BC的长.
2．D
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：方法一：∵△ABO和△A′B′O关于原点位似，∴△ ABO∽△A′B′O且＝ .∴＝＝.∴A′E＝AD＝2，OE＝OD＝1.∴A′（－1,2）.同理可得A′′（1,―2）.
124
方法二：∵点A（―3，6）且相似比为，∴点A的对应点A′的坐标是（―3×，6×），∴A′（－1,2）.
∵点A′′和点A′（－1,2）关于原点O对称，∴A′′（1,―2）.
故答案选D.
考点：位似变换.
3．A
【解析】
【分析】
分两种情况进行讨论：①弦MN和EF在圆心同侧；②弦MN和EF在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．
【详解】
解：①当弦MN和EF在圆心同侧时，如图1，
124
∵MN=12cm，EF=16cm，
∴CE=8cm，CF=6cm，
∵OE=OM=10cm，
∴CO=6cm，OD=8cm，
∴EF=OF-OE=2cm；
②当弦MN和EF在圆心异侧时，如图2，
∵MN=12cm，EF=16cm，
∴CE=8cm，CF=6cm，
∵OE=OM=10cm，
∴CO=6cm，OD=8cm，
∴EF=OF+OE=14cm；
故选择：A.
【点睛】
本题考查了勾股定理和垂径定理，解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算．
4．C
【解析】
【分析】
先根据等边对等角求出∠DBA的度数，利用外角求出∠BAC的度数，再利用同弧所对的圆心角与圆周角的关
124
系求解即可.
【详解】
∵，
∴∠ABD=
∴∠BAC=∠ADB+∠ABD=70°
∴∠BOC=2∠BAC=140°
故选C
【点睛】
本题考查的是圆周角定理，掌握“同一条弧所对的圆周角是圆心角的一半”是关键.
5．D
【解析】
【分析】
根据圆的有关概念进行逐项辨析即可得解.
【详解】
A、直径是弦，但弦不一定是直径，选项错误；
B、平分弦的直径垂直弦，被平分的弦不是直径，故选项错误；
C、同圆或等圆中，优弧一定大于劣弧，错误；
D、等弧所对的圆心角相等，正确．
故选D．
【点睛】
此题主要考查了圆的有关概念，熟练掌握相关概念是解决此题的关键.
124
6．A
【解析】
【分析】
根据“在同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，等弧对的弦相等”仔细找出等量关系即可．
【详解】
∵C、D为半圆上三等分点，
∴，故①正确，
∵在同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，等弧对的弦相，
∴AD＝CD＝OC，∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，故②③正确，
∵OA=OD=OC=OB，
∴△AOD≌△COD≌△COB，且都是等边三角形，
∴△AOD沿OD翻折与△COD重合．故④正确，
∴正确的说法有：①②③④共4个，
故选A．
【点睛】
本题考查了圆心角、弧和弦的关系，利用了在同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，等弧对的弦相等和平角的概念求解．
7．A
【解析】
【分析】
连接OB、AB，易证△OAB是等边三角形，∠AOB＝60°，由OA为半径的弧交⊙O于B，C两点，得出
124
OA⊥BC，BC＝2BD，根据三角函数求出BD＝OB•sin60°，即可求得BC．
【详解】
连接OB、AB，如图所示：
则OA＝OB＝AB＝8，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∵OA为半径的弧交⊙O于B，C两点，
∴OA⊥BC，
∴∠BDO＝90°，BC＝2BD，
∴BD＝OB•sin60°＝8×＝4，
∴BC＝2×4＝8；
故选A．
【点睛】
本题考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质以及三角函数；由相交两圆的性质得出直角三角形是解决问题的关键．
8．B
【解析】
【分析】
124
由作图痕迹可以看出AB是直径，∠ACB是直径所对的圆周角，即可作出判断．
【详解】
由作图痕迹可以看出O为AB的中点，以O为圆心，AB为直径作圆，然后以B为圆心BC=a为半径花弧与圆O交于一点C，故∠ACB是直径所对的圆周角，所以这种作法中判断∠ACB是直角的依据是：直径所对的圆周角是直角．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了尺规作图以及圆周角定理的推论，能够看懂作图过程是解决问题的关键．
9．B
【解析】
【分析】
取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF=x，则OM=4-x，MF=2，然后在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．
【详解】
如图：
EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，
∴四边形CDMN是矩形，
124
∴MN=CD=4，
设OF=x，则ON=OF，
∴OM=MN-ON=4-x，MF=2，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2，
即：（4-x）2+22=x2，
解得：x=2.5，
故选B．
【点睛】
本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
10．C
【解析】
【分析】
根据圆周角定义，以及内心的定义，可以利用∠C表示出∠AIB和∠AOB，即可得到两个角的关系．
【详解】
解：∵点O是△ABC的外心，
∴∠AOB＝2∠C，
∴∠C＝∠AOB，
∵点I是△ABC的内心，
∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，
∴∠AIB＝180°﹣（∠IAB+∠IBA）
124
＝180°﹣（∠CAB+∠CBA），
＝180°﹣（180°﹣∠C）
＝90°+∠C，
∴2∠AIB＝180°+∠C，
∵∠AOB＝2∠C，
∴∠AIB＝90°+∠AOB，即2∠AIB﹣∠AOB＝180°．
故选C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理以及三角形的内心的性质，正确利用∠C表示∠AIB的度数是关键．
11．D
【解析】
【分析】
根据直线和圆的位置关系判断方法，可得结论．
【详解】
∵直线m与⊙O公共点的个数为2个
∴直线与圆相交
∴d＜半径＝4
故选D．
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，掌握直线和圆的位置关系判断方法：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l
124
的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d＝r，③直线l和⊙O相离⇔d＞r．
12．C
【解析】
【分析】
由已知条件可知A是两个直角，B是两个对顶角，C是三角形的一个内角和外角，D是同圆中同弧对应的两个角.
【详解】
解：由已知条件，A中∠1=∠2=90°；B中∠1=∠2（互为对顶角）；C中应用三角形定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,故 ∠1＜∠2；D中应用定理：同圆中等弧对应的圆周角相等，故∠1=∠2；故选C.
【点睛】
本题考查了三角形的基本定理，灵活运用定理是解题的关键.
13．=
【解析】
【分析】
根据圆心角与弦的关系可直接求解
【详解】
∵∠AOB=2∠COD，
∴=2．
故答案为=
【点睛】
124
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，即在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
14．160°
【解析】
【分析】
如图，连接OD、OE、OB，由的度数为40°可得∠EOB=40°，根据周角的定义可求出∠1+∠2的度数，根据圆周角定理即可求出∠A+∠C的度数.
【详解】
如图，连接OD、OE、OB．
∵的度数为40°，
∴∠EOB=40°，
∴∠1+∠2=360°-∠EOB=320°，
∵∠A=∠2，∠C=∠1，
∴∠A+∠C=（∠1+∠2）＝160°，
故答案为160°．
【点睛】
本题考查圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.熟练掌握圆周角定理是解题关键.
124
15．144
【解析】
∵将一个半径为6cm，母线长为15cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，
∴圆锥侧面积公式为：S=πrl=π×6×15=90πcm2，
∴扇形面积为90π=，
解得：n=144，
∴侧面展开图的圆心角是144度．
16．
【解析】
【分析】
首先证明点Q在以AB为直径的圆上运动，连接OC与 O交于点Q′，此时CQ′最小，根据勾股定理即可计算．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，∠ACB＝∠ACD＝45°
在△ABM和△DCN中，
，
∴△ABM≌△DCN，
∴∠BAM＝∠CDN，
124
在△CPB和△CPD中，
，
∴△CPD≌△CPB，
∴∠CDP＝∠CBP＝∠BAM，
∵∠CBP+∠ABP＝90°，
∴∠BAM+∠ABP＝90°，
∴∠AQB＝90°，
∴点Q在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，连接OC交⊙O于点Q′，此时CQ′最小，
∴CQ′＝OC﹣OQ′＝．
故答案为．
【点睛】
本题考查正方形的性质、圆、勾股定理等知识，解题的关键是证明点Q在以AB为直径的圆上运动，找到点Q的位置，题目比较难，属于中考填空题中的压轴题．.
17．．
124
【解析】
【分析】
连接OA，设半径为x，用x表示OC，根据勾股定理建立x的方程，便可求得结果．
【详解】
解：解：连接OA，设半径为x，
将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，
，，
，
，
，
解得，．
故答案为．
【点睛】
本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，关键是根据勾股定理列出半径的方程．
18．4或2.56．
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出AB，由△BCD∽△ABD得到比例式求出CD的长，当是直角三角形时，分∠AEP=90°和∠APE=90°两种情况进行讨论,可求出AP长有2种情况.
124
【详解】
解：连接BC
过点的切线交的延长线于点，
，
，
当时，，
经过圆心，
；
当时，则，
，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°.
∴∠BCD＝90°.
∵∠BCD ＝∠ABD，∠D是公共角，
∴△BCD∽△ABD.
∴
124
，
，
，
，
，
．
综上的长为4或2.56．
故答案为4或2.56．
【点睛】
本题考查的是切线的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键.
19．（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质得到∠EPO=∠AOP，由射线PG平分∠EPF，得到∠EPO=∠APO，根据等量代换即可证明；
（2）过点O作OH⊥AB于点H，如图，根据垂径定理得到AH=BH=12，从而求得PH，在中，应用勾股定理求得OH，进一步即可求得OP．
【详解】
（1）证明：∵PG平分∠EPF
∴∠EPO=∠APO
124
∵OA∥PE
∴∠EPO=∠AOP
∴∠APO=∠AOP
∴AP=AO
（2）过点O作OH⊥AB于点H，如图，
根据垂径定理得到AH=BH==12
∴PH=PA+AH=AO+AH=13+12=25
在中，
由勾股定理得：
则OP的长为
故答案为：
【点睛】
本题考查了平行线的性质，等角对等边，勾股定理，垂径定理，是圆部分的综合题，要熟记各知识点，熟练掌握垂径定理是本题的关键．
124
20．（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）连接，根据切线的性质得到，推出四边形是平行四边形，得到，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，于是得到结论；
（2）如图2，连接，根据圆周角定理得到，求得，证得，等量代换即可得到结论．
【详解】
（1）证明：连接，
为半圆的切线，为半圆的直径，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
124
，
，
，
，
，
是半圆的切线；
（2）解：，
理由：如图2，连接，
为半圆的直径，
，
，
，
，
，
，
，
．
124
【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
21．（1）见解析； ；（2）见解析；．
【解析】
【分析】
（1）根据关于原点对称的点的坐标特征即可得到、、的坐标，然后描点连线即可；
（2）利用旋转的性质和格点的特征分别画出点A、B、C的对应点、、C，然后利用扇形面积公式进行计算可得线段AC旋转时扫过的面积．
【详解】
（1）如图所示，△即为所求，点的对应点的坐标为；
（2）如图所示，△即为所求，线段旋转时扫过的面积为：．
【点睛】
本题考查了利用旋转变换作图以及扇形面积的计算，熟练掌握网格结构，准确找出对应顶点的位置是解题的关键．
22．详见解析
【解析】
124
【分析】
连接OA，OB，则.然后根据轴对称的性质解答即可.
【详解】
证明：如图，连接OA，OB，则.
又，
直线CD是等腰的对称轴，又是的对称轴.
沿着直径CD所在直线折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，和，和分别重合.
，，
【点睛】
本题考查了垂径定理的应用，解此题的关键是能正确理解定理的内容，注意：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的每一条弧．
23．详见解析
【解析】
【分析】
过点O作于点M.由等腰三角形的性质可证，，从而可得，然后根据相等的圆心角所对的弧相等即可求得结论.
124
【详解】
证明：如图，过点O作于点M.
，
.
同理，.
.
.
【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等.也考查了等腰三角形三线合一的性质.
24．
【解析】
【分析】
由于三条弧所对的圆心角的和为180°，根据扇形的面积公式可计算出三个扇形的面积和，而三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积=S△ABC-三个扇形的面积和，再利用三角形的面积公式计算出S△ABC=×4×4=8，然后代入即可得到答案．
【详解】
∵∠C=90°，CA=CB=4，
124
∴AC=2，S△ABC=×4×4=8，
∵三条弧所对的圆心角的和为180°，
三个扇形的面积和=×π×22=2π，
∴三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积=S△ABC-三个扇形的面积和=8-2π．
故答案为8-2π．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，得出阴影部分的面积=S△ABC-三个扇形的面积和是解题关键．
25．（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
【分析】
(Ⅰ)连接，根据是的直径，及是弧的中点,得到及，求出，再根据圆周角定理可以求出.
(Ⅱ) 连接，又切线的性质得，得到，再由三角形外角与内角的关系得到，并代入，即可求解.
【详解】
（Ⅰ）解：连接，∵是的直径，
∴.
∵是弧的中点，∴弧弧，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
124
又∵，∴.
（Ⅱ）解：连接，∵是的切线，
∴，
∵，∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
∴，∴.
【点睛】
本题考查了切线的性质，等腰三角形性质及三角形的外角，圆周角定理等，正确的画出辅助线是解题的关键．
124
26．（1）；（2）1.
【解析】
【分析】
（1）由于AH垂直BC，则只需求出AH和BC的长度即可．又告诉了∠A＝60°，则∠BOC＝120°，结合半径长度自然求出BC．连接BO并延长交⊙O于点G，连接AG、CG，可证AGCH是平行四边形，从而得出AH是OM的2倍，问题得解；
（2）先证得∠BHC＝120°，则可得出B、C、H、O四点共圆，从而得出∠CHP＝30°，进而△OHC∽△OCP是很显然的事．
【详解】
解：（1）如图：连接BO并延长交⊙O于点G，连接AG、CG、CO，延长CH交AB于F，延长BH交AC于E，延长AH交BC于N，作OM⊥BC于M．
∵BG是直径，
∴GA⊥AB，GC⊥BC，
∵H为垂心，
∴BE⊥AC，CF⊥AB，AN⊥BC，
∴GA∥CH，GC∥AH，
∴AGCH是平行四边形，
∴AH＝GC，
∵∠BAC＝60°，OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴OM＝OB＝，BM＝，
124
∴BC＝，
又∵OM＝CG，
∴AH＝2OM＝1，
设凹四边形的面积为S，
则S＝S△AHB＋S△AHC＝×AH×BN＋×AH×CN＝×AH×BC＝，
（2）∵BE⊥AC，CF⊥AB，AN⊥BC，∠BAC＝60°，
∴∠ACF＝30°，
∴∠CHE＝60°，
∴∠BHC＝120°，
∴B、C、H、O四点共圆，
∵∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴∠CHP＝∠OBC＝30°，
∴∠OHC＝∠OCP＝150°，
∴△OHC∽△OCP，
∴OH•OP＝OC2＝1．
124
【点睛】
本题考查了垂心的定义及性质、圆心角与圆周角的性质、四点共圆的判定及性质、相似三角形的判定及性质、面积计算等重要知识点．正确作出辅助线是关键．第一问当中，AH＝2OM是一个重要结论，可记住并会推导，对解决类似题目有重要意义．
第25章
一、单选题(共36分)
1．(本题3分)一个密闭不透明的盒子里有若干个白球,在不允许将球倒出的情况下,为估计白球的个数,小刚向其中放入8个黑球,摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回盒中,不断重复,共摸球200次,其中16次摸到黑球,估计盒中大约有白球的个数为( )
A．30个 B．92个 C．84个 D．76个
2．(本题3分)小明在一天晚上帮妈妈洗三个只有颜色不同的有盖茶杯，这时突然停电了，小明只好将茶杯和杯盖随机搭配在一起，那么三个茶杯颜色全部搭配正确的概率是( )
A． B． C． D．
3．(本题3分)在单词“APPLE”中随机选择一个字母，选择到的字母是“P”的概率是
A． B． C． D．
4．(本题3分)如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了白色和红色两个区域，任意转动转盘一次， 当转盘停止转动时（若指针停在边界处，则重新转动转盘），指针落在红色区域内的概率是（ ）
124
A． B． C． D．
5．(本题3分)做重复试验：抛掷一枚啤酒瓶盖1000次．经过统计得“凸面向上”的次数为420次，则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为（ ）
A．0.22 B．0.42 C．0.50 D．0.58
6．(本题3分)某存折的密码是一个六位数字(每位可以是0)，由于小王忘记了密码的首位数字，则他能一次说对密码的概率是( )
A． B． C． D．
7．(本题3分)盒中装有4只白球5只黑球，从中任取一只球，取出的球是白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．(本题3分)如图，衣橱中挂着3套不同颜色的服装，同一套服装的上衣与裤子的颜色相同．若从衣橱里各任取一件上衣和一条裤子，它们取自同一套的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．(本题3分)从长为，，，的四条线段中任选三条，能构成三角形的概率是（ ）
124
A． B． C． D．
10．(本题3分)以下事件为必然事件的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数小于6
B．多边形的内角和是
C．二次函数的图象不过原点
D．半径为2的圆的周长是4π
11．(本题3分)下列事件：
①在一次数学测试中，小明考了满分；
②经过有交通信号灯的路口，遇到红灯；
③抛掷两枚正方体骰子，朝上的点数和大于1；
④度量任一三角形，其外角和都是180°.
其中必然事件是( )
A．① B．② C．③ D．④
12．(本题3分)在一个袋中有4个黑球和若干个白球，每个球除染色外其余相同，摇匀后随机摸出一个球并记下颜色后放回，摇匀后再摸一个球，记下颜色后再放回……，依次不断重复上述摸球过程，当摸了100次后，发现其中有20次摸到的是黑球，请你根据所学知识估计袋中白球的数量约为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．30
二、填空题(共18分)
13．(本题3分)一个不透明的袋子中有2个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋子中随机摸
124
出1个球，这个球是白球的概率是_____．
14．(本题3分)一个不透明的盒子中装有4张卡片，这4张卡片的正面分别画有等腰三角形，线段，圆和三角形，这些卡片除图形外都相同，将卡片搅匀．从盒子中任意抽取一张，卡片上的图形是轴对称图形的概率是_____．
15．(本题3分)将分别标有“柠”“檬”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其它差别，每次摸球前先搅拌均匀．随机摸出一球不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字能组成“柠檬”的概率是_____．
16．(本题3分)四张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字，，，，现将标有数字的一面朝下放在桌子上，从中随机抽取两张卡片，那么两张卡片上的数字的乘积为偶数的概率是________．
17．(本题3分)一个暗箱里放有白球和3个红球，白球的概率是，球的总个数是_______．
18．(本题3分)如图，△ABC中，D、E、F分别是各边的中点，随机地向△ABC中内掷一粒米，则米粒落到阴影区域内的概率是_____．
三、解答题(共66分)
19．(本题8分)某高级酒店为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，并规定：顾客消费100元以上(不包括100元)，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准九折、八折、七折、五折区域顾客就可以获得此项待遇(转盘等分成16份)
(1)甲顾客消费80元，是否可获得转动转盘的机会?
(2)乙顾客消费150元，获得打折待遇的概率是多少?他获得九折，八折，七折，五折待遇的概率分别是多少?
124
20．(本题8分)车辆经过某市收费站时，可以在4个收费通道 A、B、C、D中，可随机选择其中的一个通过．
（1）车辆甲经过此收费站时，选择A通道通过的概率是 ；
（2）若甲、乙两辆车同时经过此收费站，请用列表法或树状图法确定甲乙两车选择不同通道通过的概率．
21．(本题8分)小明，小亮都想去观看电影，但是只有一张电影票，他们决定采取抽卡片的办法确定谁去，规定如下：将正面分别标有数字，，的三张卡片（除数字外其余都同）洗匀后背面朝上放置在桌面上，随机抽出一张记下数字后放回，重新洗匀后背面朝上放置在桌面上，再随机抽出一张记下数字，如果两个数字的积为奇数，则小明去；如果两个数字的积为偶数，则小亮去．
（1）请用列表或树状图的方法表示抽出的两张卡片上的数字积的所有可能出现的结果；
（2）你认为这个规则公平吗？请说明理由．
22．(本题8分)有两组牌，每组牌都是4张，牌面数字分别是1，2，3，4，从每组牌中任取一张，求抽取的两张牌的数字之和等于5的概率，并画出树状图．
23．(本题8分)为评估九年级学生的体育成绩情况，某校九年级500名学生全部参加了“中考体育模拟考试”，随机抽取了部分学生的测试成绩作为样本，并绘制出如下两幅不完整的统计表和频数分布直方图：
成绩x分
人数
频率
25≤x＜30
4
0.08
30≤x＜35
8
0.16
35≤x＜40
a
0.32
124
40≤x＜45
b
c
45≤x＜50
10
0.2
（1）求此次抽查了多少名学生的成绩；
（2）通过计算将频数分布直方图补充完整；
（3）若测试成绩不低于40分为优秀，请估计本次测试九年级学生中成绩优秀的人数．
24．(本题8分)某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50名同学进行“舌尖上的宜兴﹣我最喜爱的宜兴小吃”调查活动，将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图．
请根据所给信息解答以下问题
（1）请补全条形统计图；
（2）若全校有1000名同学，请估计全校同学中最喜爱“笋干”的同学有多少人？
（3）在一个不透明的口袋中有4个元全相同的小球，把它们分别标号为四种小吃的序号A，B，C，D，随机地把四个小球分成两组，每组两个球，请用列表或画树状图的方法，求出A，B两球分在同一组的概率．
124
25．(本题9分)一只不透明的袋子中装有a个白球，b个黄球和10个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是40%．
(1)当a=8时，求摸到白球的概率；
(2)若摸到黄球的概率是摸到白球的两倍，求a，b的值．
26．(本题9分)某中学为开拓学生视野，开展“课外读书周”活动，活动后期随机调查了九年级部分学生一周的课外阅读时间，并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计图（图1）的信息回答下列问题：
（1）本次调查的学生总数为________人，被调查学生的课外阅读时间的中位数是________小时，众数是_________小时；
（2）请你补全条形统计图，在扇形统计图中，课外阅读时间为小时的扇形的圆心角度数是_________；
（3）若全校九年级共有学生人，估计九年级一周课外阅读时间为小时的学生有多少人？
（4）若学校选取、、、四人参加阅读比赛，两人一组分为两组，求与是一组的概率，（列表或树状图）
124
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
可根据“黑球数量黑白球总数=黑球所占比例”来列等量关系式可求出白球的个数,其中“黑白球总数=黑球个数+白球个数”,“黑球所占比例=随机摸到的黑球次数总共摸球的次数”.
【详解】
解:设盒子里有白球x个,
根据得:
解得:x=92.
经检验得x=92是方程的解.
故选B.
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率的知识,利用频率估计概率有以下条件及方法:
(1)当事件的试验结果不是有限个或结果发生的可能性不相等时,要用频率来估计概率;
(2)当试验次数足够大时,试验频率稳定于理论概率.
2．B
【解析】
【分析】
根据题意, 分析可得三个只有颜色不同的有盖茶杯,将茶杯和杯盖随机搭配在一起, 共321=6种情况,
143
结合概率的计算公式可得答案.
【详解】
解: 根据题意, 三个只有颜色不同的有盖茶杯, 将茶杯和杯盖随机搭配在一起, 共321=6种情况,而三个茶杯颜色全部搭配正确的只是其中一种;
故三个茶杯颜色全部搭配正确的概率为.
故选B.
【点睛】本题主要考查概率的计算，用到的知识点为: 概率=所求情况数与总情况数之比.
3．C
【解析】
【分析】
由单词 “APPLE” 中有2个p, 直接利用概率公式求解即可求得答案.
【详解】
解：单词 “ APPLE” 中有2个p,
从单词 “ APPLE” 中随机抽取一个字母为p的概率为:
故选:C.
【点睛】本题主要考查概率的定义.
4．C
【解析】
【分析】
认真审题, 仔细观察和分析题干中的已知条件和所给的图形.根据概率的应用, 据此计算后选择求解.
【详解】
143
解: 转盘被等分成红、白二个扇形，且红色区域的圆心角为，
指针落在红色区域的概率是P==
故选C.
【点睛】解决这个问题的关键之处在于认真审题, 仔细观察和分析题干中的已知条件和所给的图形.根据概率的定义和公式的运用, 据此计算后求解.
5．B
【解析】
【分析】
在试验次数不多的情况下，“凸面向上”出现的频率约等于概率．
【详解】
∵抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次．经过统计得“凸面向上”的次数约为420次，
∴抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为＝0.42，
故选B．
【点睛】本题考察概率的相关知识．在试验次数不多的情况下，“凸面向上”出现的频率约等于概率．
6．D
【解析】
【分析】
如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=,由一共有10种等可能的结果,小王能一次打开该旅行箱的只有1种情况,直接利用概率公式求解即可求得答案．
143
【详解】
解：∵一共有10种等可能的结果,小王能一次打开该旅行箱的只有1种情况,
∴他能一次说对密码的概率是,
故选D．
【点睛】本题主要考查概率的求法,解决本题的关键是要熟练掌握简单的概率求解方法．
7．D
【解析】
【分析】
如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P（A）=,根据概率的求法,找准两点:①全部情况的总数;②符合条件的情况数目,二者的比值就是其发生的概率．
【详解】
解：根据题意可得：一袋中装有4个白球，4个黑球，共9个，
任意摸出1个，摸到白球的概率是故选D．
【点睛】本题主要考查概率的求法,解决本题的关键是要熟练掌握概率公式概率P（A）=.
．
8．D
【解析】
【分析】
列出事件的出现次数的树状图，用概率公式求解即可.
【详解】
143
解：为方便起见, 我们将3件上装和3件裤子从1 至 3 编号. 根据题意, 所有可能的结果如下图所示, 且各种结果发生的可能性相同.
所有可能的结果总数为n=33=9,它们取自同一套的可能的结果总数为m=3 .所以P=，
故选D.
【点睛】本题复习简单事件的概率计算，事件的出现次数可以用画树状图法求出，也可以用列表法求出，注意要不重不漏.
9．A
【解析】
【分析】
列举出所有情况，用能组成三角形的情况数除以总情况数即为所求的概率．
【详解】
共有10、7、5；10、7、3；10、5、3；7、3、5；共4种情况，
其中10、7、3；10、5、3这两种情况不能组成三角形，
所以P（任取三条，能构成三角形）=，
故选A．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，简单的概率计算，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
143
10．D
【解析】
【分析】
必然事件是指一定会发生的事件，概率为1，根据该性质判断即可．
【详解】
掷一枚质地均匀的骰子，每一面朝上的概率为，而小于6的情况有5种，因此概率为，不是必然事件，所以A选项错误；
多边形内角和公式为，不是一个定值，而是随着多边形的边数n的变化而变化，所以B选项错误；
二次函数解析式的一般形式为，而当c=0时，二次函数图象经过原点，因此不是必然事件，所以C选项错误；
圆周长公式为，当r=2时，圆的周长为4π，所以D选项正确．
故选D．
【点睛】本题考查了必然事件的概念，关键是根据不同选项所包含的知识点的概念进行判断对错；必然事件发生的概率为1，随机事件发生的概率为0
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