2021年中考数学专题复习 专题34 中考几何旋转类问题 （学生版）

2021年中考数学专题复习 专题34 中考几何旋转类问题 （学生版）

专题 34 中考几何旋转类问题 1．旋转的定义：在平面内，将一个图形绕某一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。 这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。 2. 旋转的性质： (1)对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等； (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 3．旋转对称中心：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图 形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角(旋转角小于 0°，大于 360°)。 4．中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转 180 度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形 成中心对称。这个点就是它的对称中心。 5．中心对称的性质 (1)关于中心对称的两个图形是全等形。 (2)关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 (3)关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一直线上)且相等。 【例题 1】(2020•青岛)如图，将△ABC 先向上平移 1 个单位，再绕点 P 按逆时针方向旋转 90°，得到△A′ B′C′，则点 A 的对应点 A′的坐标是( ) A．(0，4) B．(2，﹣2) C．(3，﹣2) D．(﹣1，4) 【对点练习】(2019•河南)如图，在△OAB 中，顶点 O(0，0)，A(﹣3，4)，B(3，4)，将△OAB 与正方形 ABCD 组成的图形绕点 O 顺时针旋转，每次旋转 90°，则第 70 次旋转结束时，点 D 的坐标为( ) A．(10，3) B．(﹣3，10) C．(10，﹣3) D．(3，﹣10) 【例题 2】(2020•孝感)如图，点 E 在正方形 ABCD 的边 CD 上，将△ADE 绕点 A 顺时针旋转 90°到△ABF 的 位置，连接 EF，过点 A 作 EF 的垂线，垂足为点 H，与 BC 交于点 G．若 BG＝3，CG＝2，则 CE 的长为( ) A． B． C．4 D． 【对点练习】(2019 广西贺州)如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 是 CD 的中点，AF 平分∠BAE 交 BC 于点 F，将△ADE 绕点 A 顺时针旋转 90°得△ABG，则 CF 的长为 ． 【例题 3】(2020•南京)将一次函数 y＝﹣2x+4 的图象绕原点 O 逆时针旋转 90°，所得到的图象对应的函数 表达式是 ． 【对点练习】(2019•海南省)如图，将 Rt△ABC 的斜边 AB 绕点 A 顺时针旋转á(0°＜á＜90°)得到 AE，直角 边 AC 绕点 A 逆时针旋转â(0°＜â＜90°)得到 AF，连结 EF．若 AB＝3，AC＝2，且á+â＝∠B，则 EF＝ ． 【例题 4】(2020 贵州黔西南)规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α(0°＜α≤180°) 后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例 如：正方形绕着两条对角线的交点 O 旋转 90°或 180°后，能与自身重合(如图 1)，所以正方形是旋转对称 图形，且有两个旋转角．根据以上规定，回答问题： (1)下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________； A．矩形 B．正五边形 C．菱形 D．正六边形 (2)下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是 60 度的有：________(填序号)； (3)下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形， 其中真命题的个数有( )个； A．0 B．1 C．2 D．3 (4)如图 2 的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有 45°，90°，135°，180°，将图形补充 完整． 【对点练习】(2019•广西贵港)已知：△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将△ABC 绕点 C 顺时针方向 旋转得到△A′B′C，记旋转角为á，当 90°＜á＜180°时，作 A′D⊥AC，垂足为 D，A′D 与 B′C 交于点 E． (1)如图 1，当∠CA′D＝15°时，作∠A′EC 的平分线 EF 交 BC 于点 F． ①写出旋转角á的度数； ②求证：EA′+EC＝EF； (2)如图 2，在(1)的条件下，设 P 是直线 A′D 上的一个动点，连接 PA，PF，若 AB＝ ，求线段 PA+PF 的 最小值．(结果保留根号) 一、选择题 1．(2020•天津)如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，将△ABC 绕点 C 顺时针旋转得到△DEC，使点 B 的对应点 E 恰好落在边 AC 上，点 A 的对应点为 D，延长 DE 交 AB 于点 F，则下列结论一定正确的是( ) A．AC＝DE B．BC＝EF C．∠AEF＝∠D D．AB⊥DF 2．(2020•菏泽)如图，将△ABC 绕点 A 顺时针旋转角α，得到△ADE，若点 E 恰好在 CB 的延长线上，则∠BED 等于( ) A． B． α C．α D．180°﹣α 3.(2019 山东枣庄)如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 DC 上一点，把△ADE 绕点 A 顺时针旋转 90°到△ABF 的 位置．若四边形 AECF 的面积为 20，DE＝2，则 AE 的长为( ) A．4 B．2 C．6 D．2 4.(2019•南京)如图，△A'B'C'是由△ABC 经过平移得到的，△A'B'C 还可以看作是△ABC 经过怎样的图形变 化得到？下列结论：①1 次旋转；②1 次旋转和 1 次轴对称；③2 次旋转；④2 次轴对称．其中所有正确结 论的序号是( ) A．①④ B．②③ C．②④ D．③④ 5.(2019•湖北孝感)如图，在平面直角坐标系中，将点 P(2，3)绕原点 O 顺时针旋转 90°得到点 P'，则 P' 的坐标为( ) A．(3，2) B．(3，﹣1) C．(2，﹣3) D．(3，﹣2) 二、填空题 6．(2020•泰安)如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中，每个小正方形的边长均为 1，点 A， B，C 的坐标分别为 A(0，3)，B(﹣1，1)，C(3，1)．△A'B'C′是△ABC 关于 x 轴的对称图形，将△A'B'C' 绕点 B'逆时针旋转 180°，点 A'的对应点为 M，则点 M 的坐标为 ． 7．(2020•衡阳)如图，在平面直角坐标系中，点 P1 的坐标为( ， )，将线段 OP1 绕点 O 按顺时针方向旋 转 45°，再将其长度伸长为 OP1 的 2 倍，得到线段 OP2；又将线段 OP2 绕点 O 按顺时针方向旋转 45°，长度 伸长为 OP2 的 2 倍，得到线段 OP3；如此下去，得到线段 OP4，OP5，…，OPn(n 为正整数)，则点 P2020 的坐标 是 ． 8.(2019•湖南邵阳)如图，将等边△AOB 放在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(4，0)，点 B 在第一象限， 将等边△AOB 绕点 O 顺时针旋转 180°得到△A′OB′，则点 B′的坐标是 ． 9.(2019 山西)如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=10cm，点 D 为△ABC 内一点，∠BAD=15°，AD=6cm， 连接 BD，将△ABD 绕点 A 逆时针方向旋转，使 AB 与 AC 重合，点 D 的对应点 E，连接 DE，DE 交 AC 于点 F， 则 CF 的长为______cm. 10.(2019▪黑龙江哈尔滨)如图，将△ABC 绕点 C 逆时针旋转得到△A′B′C，其中点 A′与 A 是对应点，点 B′ 与 B 是对应点，点 B′落在边 AC 上，连接 A′B，若∠ACB＝45°，AC＝3，BC＝2，则 A′B 的长为 ． 11．(2019 新疆)如图，在△ABC 中，AB＝AC＝4，将△ABC 绕点 A 顺时针旋转 30°，得到△ACD，延长 AD 交 BC 的延长线于点 E，则 DE 的长为 ． 12．(2019 齐齐哈尔)如图，矩形 ABOC 的顶点 B、C 分别在 x 轴，y 轴上，顶点 A 在第二象限，点 B 的坐标 为(﹣2，0)．将线段 OC 绕点 O 逆时针旋转 60°至线段 OD，若反比例函数 y＝ (k≠0)的图象经过 A、D 两 点，则 k 值为 ． 13．(2019 广西梧州)如图，在菱形 ABCD 中，AB＝2，∠BAD＝60°，将菱形 ABCD 绕点 A 逆时针方向旋转， 对应得到菱形 AEFG，点 E 在 AC 上，EF 与 CD 交于点 P，则 DP 的长是 ． 三、解答题 14．(2020•绥化)如图，在边长均为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，点 A，点 B，点 O 均为格点(每 个小正方形的顶点叫做格点)． (1)作点 A 关于点 O 的对称点 A1； (2)连接 A1B，将线段 A1B 绕点 A1 顺时针旋转 90°得点 B 对应点 B1，画出旋转后的线段 A1B1； (3)连接 AB1，求出四边形 ABA1B1 的面积． 15．(2020•甘孜州)如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，将△ABC 绕点 C 顺时针旋转得到△DEC，点 D 落在线 段 AB 上，连接 BE． (1)求证：DC 平分∠ADE； (2)试判断 BE 与 AB 的位置关系，并说明理由； (3)若 BE＝BD，求 tan∠ABC 的值． 16．(2020•江西)如图 1 是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图 2 是其 侧面结构示意图．量得托板长 AB＝120mm，支撑板长 CD＝80mm，底座长 DE＝90mm．托板 AB 固定在支撑板顶 端点 C 处，且 CB＝40mm，托板 AB 可绕点 C 转动，支撑板 CD 可绕点 D 转动．(结果保留小数点后一位) (1)若∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求点 A 到直线 DE 的距离； (2)为了观看舒适，在(1)的情况下，把 AB 绕点 C 逆时针旋转 10°后，再将 CD 绕点 D 顺时针旋转，使点 B 落在直线 DE 上即可，求 CD 旋转的角度．(参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839， sin26.6°≈0.448，cos26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500， 1.732) 17.(2020•新疆)如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，抛物线 y＝ax2+bx+c 的顶点是 A(1，3)，将 OA 绕点 O 顺时针旋转 90°后得到 OB，点 B 恰好在抛物线上，OB 与抛物线的对称轴交于点 C． (1)求抛物线的解析式； (2)P 是线段 AC 上一动点，且不与点 A，C 重合，过点 P 作平行于 x 轴的直线，与△OAB 的边分别交于 M，N 两点，将△AMN 以直线 MN 为对称轴翻折，得到△A′MN，设点 P 的纵坐标为 m． ①当△A′MN 在△OAB 内部时，求 m 的取值范围； ②是否存在点 P，使 S△A′MN S△OA′B，若存在，求出满足条件 m 的值；若不存在，请说明理由． 18．(2019 内蒙古通辽)如图，点 P 是正方形 ABCD 内的一点，连接 CP，将线段 CP 绕点 C 顺时旋转 90°，得 到线段 CQ，连接 BP，DQ． (1)如图 1，求证：△BCP≌△DCQ； (2)如图，延长 BP 交直线 DQ 于点 E． ①如图 2，求证：BE⊥DQ； ②如图 3，若△BCP 为等边三角形，判断△DEP 的形状，并说明理由．