2020年贵州省黔西南州中考数学试卷

2020年贵州省黔西南州中考数学试卷

2020 年贵州省黔西南州中考数学试卷 一、选择题（本题 10 小题，每题 4 分，共 40 分） 1．（4 分）2 的倒数是 ( ) A． 2 B．2 C． 1 2  D． 1 2 2．（4 分）某市为做好“稳就业、保民生”工作，将新建保障性住房 360000 套，缓解中低 收入人群和新参加工作大学生的住房需求．把 360000 用科学记数法表示应是 ( ) A． 60.36 10 B． 53.6 10 C． 63.6 10 D． 536 10 3．（4 分）如图，由 6 个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为 ( ) A． B． C． D． 4．（4 分）下列运算正确的是 ( ) A． 3 2 5a a a  B． 3 3a a a  C． 2 3 5a a a D． 2 4 6( )a a 5．（4 分）某学校九年级 1 班九名同学参加定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计 如下：4，3，5，5，2，5，3，4，1，这组数据的中位数、众数分别为 ( ) A．4，5 B．5，4 C．4，4 D．5，5 6．（4 分）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当 2 37   时， 1 的度数 为 ( ) A．37 B． 43 C．53 D．54 7．（4 分）如图，某停车场入口的栏杆 AB ，从水平位置绕点 O 旋转到 A B  的位置，已知 AO 的长为 4 米．若栏杆的旋转角 AOA    ，则栏杆 A 端升高的高度为 ( ) A． 4 sin 米 B． 4sin 米 C． 4 cos 米 D． 4cos 米 8．（4 分）已知关于 x 的一元二次方程 2( 1) 2 1 0m x x    有实数根，则 m 的取值范围是 ( ) A． 2m  B． 2m„ C． 2m  且 1m  D． 2m„ 且 1m  9．（4 分）如图，在菱形 ABOC 中， 2AB  ， 60A   ，菱形的一个顶点 C 在反比例函数 ( 0)ky kx   的图象上，则反比例函数的解析式为 ( ) A． 3 3y x   B． 3y x   C． 3y x   D． 3y x  10．（4 分）如图，抛物线 2 4y ax bx   交 y 轴于点 A ，交过点 A 且平行于 x 轴的直线于 另一点 B ，交 x 轴于 C ，D 两点（点 C 在点 D 右边），对称轴为直线 5 2x  ，连接 AC ，AD ， BC ．若点 B 关于直线 AC 的对称点恰好落在线段 OC 上，下列结论中错误的是 ( ) A．点 B 坐标为 (5,4) B． AB AD C． 1 6a   D． 16OC OD  二、填空题（本题 10 小题，每题 3 分，共 30 分） 11．（3 分）把多项式 3 4a a 分解因式，结果是 ． 12．（3 分）若 27 xa b 与 3 ya b 的和为单项式，则 xy  ． 13．（3 分）不等式组 2 6 3 , 2 1 05 4 x x x x      … 的解集为 ． 14．（3 分）如图，在 Rt ABC 中， 90C  ，点 D 在线段 BC 上，且 30B  ， 60ADC  ， 3 3BC  ，则 BD 的长度为 ． 15．（3 分）如图，正比例函数的图象与一次函数 1y x   的图象相交于点 P ，点 P 到 x 轴 的距离是 2，则这个正比例函数的解析式是 ． 16．（3 分）如图，对折矩形纸片 ABCD ，使 AB 与 DC 重合得到折痕 EF ，将纸片展平，再 一次折叠，使点 D 落到 EF 上点 G 处，并使折痕经过点 A ，已知 2BC  ，则线段 EG 的长 度为 ． 17．（3 分）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入 x 的值为 625，则第 2020 次输出 的结果为 ． 18．（3 分）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有 121 人患了流感，每轮传染中平均每 人传染了 个人． 19．（3 分）如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一 共有 3 个菱形，第②个图形中一共有 7 个菱形，第③个图形中一共有 13 个菱形， ，按此 规律排列下去，第⑦个图形中菱形的个数为 ． 20．（3 分）如图，在 ABC 中，CA CB ， 90ACB   ， 2AB  ，点 D 为 AB 的中点，以 点 D 为圆心作圆心角为 90 的扇形 DEF ，点 C 恰在弧 EF 上，则图中阴影部分的面积 为 ． 三、解答题（本题 6 小题，共 80 分） 21．（12 分）（1）计算 2 0( 2) | 2 | 2cos45 (2020 )       ； （2）先化简，再求值： 2 2 2( )1 1 1 a a a a a     ，其中 5 1a   ． 22．（12 分）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度 (0 180 )   „ 后 能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度 称为这个图形的一 个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点 O 旋转 90 或180 后，能与自身重合（如 图1) ，所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角． 根据以上规定，回答问题： （1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是 ； A ．矩形 B ．正五边形 C ．菱形 D ．正六边形 （2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是 60 度的有： （填序号）； （3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③ 圆是旋转对称图形． 其中真命题的个数有 个； A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 （4）如图 2 的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有 45，90 ，135 ，180 ， 将图形补充完整． 23．（14 分）新学期，某校开设了“防疫宣传”“心理疏导”等课程．为了解学生对新开设 课程的掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试．测试结果分为 四个等级： A 级为优秀， B 级为良好， C 级为及格， D 级为不及格．将测试结果绘制了如 图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是 名； （2）扇形统计图中表示 A 级的扇形圆心角 的度数是 ，并把条形统计图补充完整； （3）该校八年级共有学生 500 名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数为 ； （4）某班有 4 名优秀的同学（分别记为 E 、 F 、G 、 H ，其中 E 为小明），班主任要从中 随机选择两名同学进行经验分享．利用列表法或画树状图法，求小明被选中的概率． 24．（14 分）随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出 行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的 A 型自行车去年销售总额为 8 万元．今 年该型自行车每辆售价预计比去年降低 200 元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年 的销售总额将比去年减少10% ，求： （1） A 型自行车去年每辆售价多少元？ （2）该车行今年计划新进一批 A 型车和新款 B 型车共 60 辆，且 B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两倍．已知 A 型车和 B 型车的进货价格分别为 1500 元和 1800 元，计划 B 型车 销售价格为 2400 元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？ 25．（12 分）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美 丽的圆．如图，线段 AB 是 O 的直径，延长 AB 至点 C ，使 BC OB ，点 E 是线段OB 的 中点，DE AB 交 O 于点 D ，点 P 是 O 上一动点（不与点 A ，B 重合），连接CD ，PE ， PC ． （1）求证： CD 是 O 的切线； （2）小明在研究的过程中发现 PE PC 是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明 发现的结论加以证明． 26．（16 分）已知抛物线 2 6( 0)y ax bx a    交 x 轴于点 (6,0)A 和点 ( 1,0)B  ，交 y 轴于点 C ． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）如图（1），点 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的动点，过点 P 分别作 x 轴、 y 轴的平 行线，交直线 AC 于点 D ， E ，当 PD PE 取最大值时，求点 P 的坐标； （3）如图（2），点 M 为抛物线对称轴 l 上一点，点 N 为抛物线上一点，当直线 AC 垂直平 分 AMN 的边 MN 时，求点 N 的坐标． 2020 年贵州省黔西南州中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题 10 小题，每题 4 分，共 40 分） 1．（4 分）2 的倒数是 ( ) A． 2 B．2 C． 1 2  D． 1 2 【分析】根据倒数的定义：乘积是 1 的两数互为倒数．一般地， 1 1a a  ( 0)a  ，就说 ( 0)a a  的倒数是 1 a ． 【解答】解：2 的倒数是 1 2 ， 故选： D ． 【点评】此题主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是 1，我们就称这 两个数互为倒数． 2．（4 分）某市为做好“稳就业、保民生”工作，将新建保障性住房 360000 套，缓解中低 收入人群和新参加工作大学生的住房需求．把 360000 用科学记数法表示应是 ( ) A． 60.36 10 B． 53.6 10 C． 63.6 10 D． 536 10 【分析】科学记数法的表示形式为 10na  的形式，其中1 | | 10a „ ， n 为整数．确定 n 的值 时，要看把原数变成 a时，小数点移动了多少位， n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【解答】解： 5360000 3.6 10  ， 故选： B ． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定 a的值以及 n的值． 3．（4 分）如图，由 6 个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为 ( ) A． B． C． D． 【分析】找到从上面看所得到的图形即可． 【解答】解：从上面看可得四个并排的正方形，如图所示： 故选： D ． 【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 4．（4 分）下列运算正确的是 ( ) A． 3 2 5a a a  B． 3 3a a a  C． 2 3 5a a a D． 2 4 6( )a a 【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则分别化简得出答案． 【解答】解： A 、 3 2a a ，不是同类项，无法合并，故此选项错误； B 、 3 2a a a  ，故此选项错误； C 、 2 3 5a a a ，正确； D 、 2 4 8( )a a ，故此选项错误； 故选： C ． 【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是 解题关键． 5．（4 分）某学校九年级 1 班九名同学参加定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计 如下：4，3，5，5，2，5，3，4，1，这组数据的中位数、众数分别为 ( ) A．4，5 B．5，4 C．4，4 D．5，5 【分析】根据众数及中位数的定义，结合所给数据即可作出判断． 【解答】解：将数据从小到大排列为：1，2，3，3，4，4，5，5，5， 这组数据的中位数为 4；众数为 5． 故选： A ． 【点评】本题考查了众数、中位数的知识，解答本题的关键是掌握众数及中位数的定义． 6．（4 分）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当 2 37   时， 1 的度数 为 ( ) A．37 B． 43 C．53 D．54 【分析】根据平行线的性质，可以得到 2 和 3 的关系，从而可以得到 3 的度数，然后根 据 1 3 90     ，即可得到 1 的度数． 【解答】解： / /AB CD ， 2 37   ， 2 3 37     ， 1 3 90     ， 1 53  ， 故选： C ． 【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答． 7．（4 分）如图，某停车场入口的栏杆 AB ，从水平位置绕点 O 旋转到 A B  的位置，已知 AO 的长为 4 米．若栏杆的旋转角 AOA    ，则栏杆 A 端升高的高度为 ( ) A． 4 sin 米 B． 4sin 米 C． 4 cos 米 D． 4cos 米 【分析】过点 A 作 AC AB  于点 C ，根据锐角三角函数的定义即可求出答案． 【解答】解：过点 A 作 AC AB  于点 C ， 由题意可知： 4AO AO   ， sin A C A O     ， 4sinA C    ， 故选： B ． 【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基 础题型． 8．（4 分）已知关于 x 的一元二次方程 2( 1) 2 1 0m x x    有实数根，则 m 的取值范围是 ( ) A． 2m  B． 2m„ C． 2m  且 1m  D． 2m„ 且 1m  【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△ 0… ，即可得出关于 m 的一元一次不等式组， 解之即可得出 m 的取值范围． 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 2( 1) 2 1 0m x x    有实数根，  2 1 0 2 4 1 ( 1) 0 m m         … ， 解得： 2m„ 且 1m  ． 故选： D ． 【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别 式△ 0… ，找出关于 m 的一元一次不等式组是解题的关键． 9．（4 分）如图，在菱形 ABOC 中， 2AB  ， 60A   ，菱形的一个顶点 C 在反比例函数 ( 0)ky kx   的图象上，则反比例函数的解析式为 ( ) A． 3 3y x   B． 3y x   C． 3y x   D． 3y x  【分析】根据菱形的性质和平面直角坐标系的特点可以求得点 C 的坐标，从而可以求得 k 的 值，进而求得反比例函数的解析式． 【解答】解：在菱形 ABOC 中， 60A   ，菱形边长为 2， 2OC  ， 60COB   ， 点 C 的坐标为 ( 1, 3) ， 顶点 C 在反比例函数 ky x  的图象上，  3 1 k  ，得 3k   ， 即 3y x   ， 故选： B ． 【点评】本题考查待定系数法求反比例函数解析式、菱形的性质，解答本题的关键是明确题 意，求出点 C 的坐标． 10．（4 分）如图，抛物线 2 4y ax bx   交 y 轴于点 A ，交过点 A 且平行于 x 轴的直线于 另一点 B ，交 x 轴于 C ，D 两点（点 C 在点 D 右边），对称轴为直线 5 2x  ，连接 AC ，AD ， BC ．若点 B 关于直线 AC 的对称点恰好落在线段 OC 上，下列结论中错误的是 ( ) A．点 B 坐标为 (5,4) B． AB AD C． 1 6a   D． 16OC OD  【分析】由抛物线 2 4y ax bx   交 y 轴于点 A ，可得点 A 的坐标，然后由抛物线的对称性 可得点 B 的坐标，由点 B 关于直线 AC 的对称点恰好落在线段OC 上，可知 ACO ACB   ， 再结合平行线的性质可判断 BAC ACB   ，从而可知 AB AD ；过点 B 作 BE x 轴于点 E ，由勾股定理可得 EC 的长，则点 C 坐标可得，然后由对称性可得点 D 的坐标，则OC OD 的值可计算；由勾股定理可得 AD 的长，由双根式可得抛物线的解析式，根据以上计算或推 理，对各个选项作出分析即可． 【解答】解：抛物线 2 4y ax bx   交 y 轴于点 A ， (0,4)A ， 对称轴为直线 5 2x  ， / /AB x 轴， (5,4)B ． 故 A 无误； 如图，过点 B 作 BE x 轴于点 E ， 则 4BE  ， 5AB  ， / /AB x 轴， BAC ACO   ， 点 B 关于直线 AC 的对称点恰好落在线段 OC 上， ACO ACB   ， BAC ACB   ， 5BC AB   ， 在 Rt BCE 中，由勾股定理得： 3EC  ， (8,0)C ， 对称轴为直线 5 2x  ， ( 3,0)D  在 Rt ADO 中， 4OA  ， 3OD  ， 5AD  ， AB AD  ， 故 B 无误； 设 2 4 ( 3)( 8)y ax bx a x x      ， 将 (0,4)A 代入得： 4 (0 3)(0 8)a   ， 1 6a   ， 故 C 无误； 8OC  ， 3OD  ， 24OC OD  ， 故 D 错误． 综上，错误的只有 D ． 故选： D ． 【点评】本题考查了二次函数的性质、等腰三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握二次 函数的相关性质并数形结合是解题的关键． 二、填空题（本题 10 小题，每题 3 分，共 30 分） 11．（3 分）把多项式 3 4a a 分解因式，结果是 ( 2)( 2)a a a  ． 【分析】首先提公因式 a ，再利用平方差进行二次分解即可． 【解答】解：原式 2( 4) ( 2)( 2)a a a a a     ． 故答案为： ( 2)( 2)a a a  ． 【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进 行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 12．（3 分）若 27 xa b 与 3 ya b 的和为单项式，则 xy  8 ． 【分析】直接利用合并同类项法则进而得出 x ， y 的值，即可得出答案． 【解答】解： 27 xa b 与 3 ya b 的和为单项式， 27 xa b 与 3 ya b 是同类项， 3x  ， 2y  ， 32 8xy   ． 故答案为：8． 【点评】此题主要考查了单项式，正确得出 x ， y 的值是解题关键． 13．（3 分）不等式组 2 6 3 , 2 1 05 4 x x x x      … 的解集为 6 13x  „ ． 【分析】首先分别计算出两个不等式的解集，再确定不等式组的解集即可． 【解答】解： 2 6 3 2 1 05 4 x x x x     ① ②… ， 解①得： 6x   ， 解②得： 13x„ ， 不等式组的解集为： 6 13x  „ ， 故答案为： 6 13x  „ ． 【点评】此题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是掌握解集的规律：同大取大；同 小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 14．（3 分）如图，在 Rt ABC 中， 90C  ，点 D 在线段 BC 上，且 30B  ， 60ADC  ， 3 3BC  ，则 BD 的长度为 2 3 ． 【分析】首先证明 1 2DB AD CD  ，然后再由条件 3 3BC  可得答案． 【解答】解： 90C   ， 60ADC  ， 30DAC   ， 1 2CD AD  ， 30B   ， 60ADC  ， 30BAD   ， BD AD  ， 2BD CD  ， 3 3BC  ， 2 3 3CD CD   ， 3CD  ， 2 3DB  ， 故答案为： 2 3 ． 【点评】此题主要考查了含 30 角的直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30 角 所对的直角边等于斜边的一半． 15．（3 分）如图，正比例函数的图象与一次函数 1y x   的图象相交于点 P ，点 P 到 x 轴 的距离是 2，则这个正比例函数的解析式是 2y x  ． 【分析】根据图象和题意，可以得到点 P 的纵坐标，然后代入一次函数解析式，即可得到 点 P 的坐标，然后代入正比例函数解析式，即可得到这个正比例函数的解析式． 【解答】解：点 P 到 x 轴的距离为 2， 点 P 的纵坐标为 2， 点 P 在一次函数 1y x   上， 2 1x    ，得 1x   ， 点 P 的坐标为 ( 1,2) ， 设正比例函数解析式为 y kx ， 则 2 k  ，得 2k   ， 正比例函数解析式为 2y x  ， 故答案为： 2y x  ． 【点评】本题考查两条直线相交或平行问题、一次函数的性质、正比例函数的性质，解答本 题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 16．（3 分）如图，对折矩形纸片 ABCD ，使 AB 与 DC 重合得到折痕 EF ，将纸片展平，再 一次折叠，使点 D 落到 EF 上点 G 处，并使折痕经过点 A ，已知 2BC  ，则线段 EG 的长 度为 3 ． 【分析】直接利用翻折变换的性质以及直角三角形的性质得出 2 4   ，再利用平行线的性 质得出 1 2 3     ，进而得出答案． 【解答】解：如图所示： 由题意可得： 1 2   ， AN MN ， 90MGA   ， 则 1 2NG AM ，故 AN NG ， 2 4   ， / /EF AB ， 4 3   ， 11 2 3 4 90 303            ， 四边形 ABCD 是矩形，对折矩形纸片 ABCD ，使 AB 与 DC 重合得到折痕 EF ， 1 1 12 2AE AD BC    ， 2AG  ， 2 22 1 3EG    ， 故答案为： 3 ． 【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及矩形的性质，正确得出 2 4   是解题关键． 17．（3 分）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入 x 的值为 625，则第 2020 次输出 的结果为 1 ． 【分析】依次求出每次输出的结果，根据结果得出规律，即可得出答案． 【解答】解：当 625x  时， 1 1255 x  ， 当 125x  时， 1 255 x  ， 当 25x  时， 1 55 x  ， 当 5x  时， 1 15 x  ， 当 1x  时， 4 5x   ， 当 5x  时， 1 15 x  ，  依此类推，以 5，1 循环， (2020 2) 2 1009   ，能够整除， 所以输出的结果是 1， 故答案为：1 【点评】本题考查了求代数式的值，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键． 18．（3 分）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有 121 人患了流感，每轮传染中平均每 人传染了 10 个人． 【分析】设每轮传染中平均每人传染了 x 人．开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这 个人，他传染了 x 人，则第一轮后共有 (1 )x 人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个 人又传染了 x 人，则第二轮后共有[1 ( 1)]x x x   人患了流感，而此时患流感人数为 121， 根据这个等量关系列出方程． 【解答】解：设每轮传染中平均每人传染了 x 人． 依题意，得1 (1 ) 121x x x    ， 即 2(1 ) 121x  ， 解方程，得 1 10x  ， 2 12x   （舍去）． 答：每轮传染中平均每人传染了 10 人． 【点评】共有 121 人患了流感，是指患流感的人和被传染流感的人的总和，和细胞分裂问题 有区别． 19．（3 分）如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一 共有 3 个菱形，第②个图形中一共有 7 个菱形，第③个图形中一共有 13 个菱形， ，按此 规律排列下去，第⑦个图形中菱形的个数为 57 ． 【分析】根据图形的变化规律即可得第⑦个图形中菱形的个数． 【解答】解：第①个图形中一共有 3 个菱形，即 2 1 1 3   ； 第②个图形中一共有 7 个菱形，即 3 2 2 7   ； 第③个图形中一共有 13 个菱形，即 4 3 3 13   ；  ， 按此规律排列下去， 所以第⑦个图形中菱形的个数为：8 7 7 57   ． 故答案为：57． 【点评】本题考查了规律型  图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律． 20．（3 分）如图，在 ABC 中，CA CB ， 90ACB   ， 2AB  ，点 D 为 AB 的中点，以 点 D 为圆心作圆心角为 90 的扇形 DEF ，点 C 恰在弧 EF 上，则图中阴影部分的面积为 1 4 2   ． 【分析】连接CD ，作 DM BC ，DN AC ，证明 DMG DNH   ，则 DGCH DMCNS S四边形 四边形 ， 求得扇形 FDE 的面积，则阴影部分的面积即可求得． 【解答】解：连接 CD ，作 DM BC ， DN AC ． CA CB ， 90ACB   ，点 D 为 AB 的中点， 1 12DC AB   ，四边形 DMCN 是正方形， 2 2DM  ． 则扇形 FDE 的面积是： 290 1 360 4    ． CA CB ， 90ACB   ，点 D 为 AB 的中点， CD 平分 BCA ， 又 DM BC ， DN AC ， DM DN  ， 90GDH MDN     ， GDM HDN   ， 在 DMG 和 DNH 中， DMG DNH GDM HDN DM DN         ， ( )DMG DNH AAS   ， 1 2DGCH DMCNS S  四边形 四边形 ． 则阴影部分的面积是： 1 4 2   ． 故答案为 1 4 2   ． 【点评】本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题，正确证明 DMG DNH   ，得到 DGCH DMCNS S四边形 四边形 是关键． 三、解答题（本题 6 小题，共 80 分） 21．（12 分）（1）计算 2 0( 2) | 2 | 2cos45 (2020 )       ； （2）先化简，再求值： 2 2 2( )1 1 1 a a a a a     ，其中 5 1a   ． 【分析】（1）直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得 出答案； （2）直接将括号里面通分运算进而利用分式的混合运算法则计算得出答案． 【解答】解：（1）原式 24 2 2 12      4 2 2 1    5 2 2  ； （2）原式 2( 1) 2 1[ ]( 1)( 1) ( 1)( 1) a a a a a a a a         3 1 ( 1)( 1) a a a a a     3 1a   ， 当 5 1a   时，原式 3 3 5 55 1 1     ． 【点评】此题主要考查了实数运算以及分式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 22．（12 分）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度 (0 180 )   „ 后 能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度 称为这个图形的一 个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点 O 旋转 90 或180 后，能与自身重合（如 图1) ，所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角． 根据以上规定，回答问题： （1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是 B ； A ．矩形 B ．正五边形 C ．菱形 D ．正六边形 （2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是 60 度的有： （填序号）； （3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③ 圆是旋转对称图形． 其中真命题的个数有 个； A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 （4）如图 2 的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有 45，90 ，135 ，180 ， 将图形补充完整． 【分析】（1）根据旋转图形，中心对称图形的定义判断即可． （2）旋转对称图形，且有一个旋转角是 60 度判断即可． （3）根据旋转图形的定义判断即可． （4）根据要求画出图形即可． 【解答】解：（1）是旋转图形，不是中心对称图形是正五边形， 故选 B ． （2）是旋转对称图形，且有一个旋转角是 60 度的有（1）（3）（5）． 故答案为（1）（3）（5）． （3）命题中①③正确， 故选 C ． （4）图形如图所示： 【点评】本题考查旋转对称图形，中心对称图形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用 所学知识解决问题． 23．（14 分）新学期，某校开设了“防疫宣传”“心理疏导”等课程．为了解学生对新开设 课程的掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试．测试结果分为 四个等级： A 级为优秀， B 级为良好， C 级为及格， D 级为不及格．将测试结果绘制了如 图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是 40 名； （2）扇形统计图中表示 A 级的扇形圆心角 的度数是 ，并把条形统计图补充完整； （3）该校八年级共有学生 500 名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数为 ； （4）某班有 4 名优秀的同学（分别记为 E 、 F 、G 、 H ，其中 E 为小明），班主任要从中 随机选择两名同学进行经验分享．利用列表法或画树状图法，求小明被选中的概率． 【分析】（1）由题意可得本次抽样测试的学生人数是：12 30% 40  （人 ) ， （2）首先可求得 A 级人数的百分比，继而求得  的度数，然后补出条形统计图； （3）根据 A 级人数的百分比，列出算式即可求得优秀的人数； （4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选中小明的情况， 再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：（1）本次抽样测试的学生人数是：12 30% 40  （人 ) ； （2） A 级的百分比为： 6 100% 15%40   ， 360 15% 54     ； C 级人数为： 40 6 12 8 14    （人 ) ． 如图所示： （3） 500 15% 75  （人 ) ． 故估计优秀的人数为 75 人； （4）画树状图得： 共有 12 种等可能的结果，选中小明的有 6 种情况， 选中小明的概率为 1 2 ． 故答案为：40； 54 ；75 人． 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点 为：概率  所求情况数与总情况数之比． 24．（14 分）随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出 行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的 A 型自行车去年销售总额为 8 万元．今 年该型自行车每辆售价预计比去年降低 200 元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年 的销售总额将比去年减少10% ，求： （1） A 型自行车去年每辆售价多少元？ （2）该车行今年计划新进一批 A 型车和新款 B 型车共 60 辆，且 B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两倍．已知 A 型车和 B 型车的进货价格分别为 1500 元和 1800 元，计划 B 型车 销售价格为 2400 元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？ 【分析】（1）设去年 A 型车每辆售价 x 元，则今年售价每辆为 ( 200)x  元，由卖出的数量相 同建立方程求出其解即可； （2）设今年新进 A 型车 a 辆，则 B 型车 (60 )a 辆，获利 y 元，由条件表示出 y 与 a 之间 的关系式，由 a 的取值范围就可以求出 y 的最大值． 【解答】解：（1）设去年 A 型车每辆售价 x 元，则今年售价每辆为 ( 200)x  元，由题意，得 80000 80000(1 10%) 200x x   ， 解得： 2000x  ． 经检验， 2000x  是原方程的根． 答：去年 A 型车每辆售价为 2000 元； （2）设今年新进 A 型车 a 辆，则 B 型车 (60 )a 辆，获利 y 元，由题意，得 (1800 1500) (2400 1800)(60 )y a a     ， 300 36000y a   ． B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两倍， 60 2a a  „ ， 20a … ． 300 36000y a   ． 300 0k    ， y 随 a的增大而减小． 20a  时， y有最大值 B 型车的数量为： 60 20 40  辆． 当新进 A 型车 20 辆， B 型车 40 辆时，这批车获利最大． 【点评】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，一次函数的解 析式的运用，解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关键． 25．（12 分）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美 丽的圆．如图，线段 AB 是 O 的直径，延长 AB 至点 C ，使 BC OB ，点 E 是线段OB 的 中点，DE AB 交 O 于点 D ，点 P 是 O 上一动点（不与点 A ，B 重合），连接CD ，PE ， PC ． （1）求证： CD 是 O 的切线； （2）小明在研究的过程中发现 PE PC 是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明 发现的结论加以证明． 【分析】（1）连接 OD 、 DB ，由已知可知 DE 垂直平分 OB ，则 DB DO ，再由圆的半径 相等，可得 DB DO OB  ，即 ODB 是等边三角形，则 60BDO   ，再由等腰三角形的 性质及三角形的外角性质可得 30CDB   ，从而可得 90ODC  ，按照切线的判定定理 可得结论； （2）连接OP ，先由已知条件得 2OP OB BC OE   ，再利用两组边成比例，夹角相等来 证明 OEP OPC ∽ ，按照相似三角形的性质得出比例式，则可得答案． 【解答】解：（1）连接 OD 、 DB ， 点 E 是线段 OB 的中点， DE AB 交 O 于点 D ， DE 垂直平分 OB ， DB DO  ． 在 O 中， DO OB ， DB DO OB   ， ODB 是等边三角形， 60BDO DBO     ， BC OB BD  ，且 DBE 为 BDC 的外角， 1 2BCD BDC DBO     ． 60DBO   ， 30CDB  ． 60 30 90ODC BDO BDC           ， CD 是 O 的切线； （2）答：这个确定的值是 1 2 ． 连接 OP ，如图： 由已知可得： 2OP OB BC OE   ．  1 2 OE OP OP OC   ， 又 COP POE   ， OEP OPC ∽ ，  1 2 PE OP PC OC   ． 【点评】本题考查了切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定 理是解题的关键． 26．（16 分）已知抛物线 2 6( 0)y ax bx a    交 x 轴于点 (6,0)A 和点 ( 1,0)B  ，交 y 轴于点 C ． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）如图（1），点 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的动点，过点 P 分别作 x 轴、 y 轴的平 行线，交直线 AC 于点 D ， E ，当 PD PE 取最大值时，求点 P 的坐标； （3）如图（2），点 M 为抛物线对称轴 l 上一点，点 N 为抛物线上一点，当直线 AC 垂直平 分 AMN 的边 MN 时，求点 N 的坐标． 【分析】（1）将点 A ， B 坐标代入抛物线解析式中，解方程组即可得出结论； （2）先求出 6OA OC  ，进而得出 45OAC   ，进而判断出 PD PE ，即可得出当 PE 的 长 度 最 大 时 ， PE PD 取 最 大 值 ， 设 出 点 E 坐 标 ， 表 示 出 点 P 坐 标 ， 建 立 2 26 ( 3) 9PE t t t       ，即可得出结论； （3）先判断出 / /NF x 轴，进而求出点 N 的纵坐标，即可建立方程求解得出结论． 【解答】解：（1）抛物线 2 6y ax bx   经过点 (6,0)A ， ( 1,0)B  ，  6 0 36 6 6 0 a b a b        ，  1 5 a b     ， 抛物线的解析式为 2 25 495 6 ( )2 4y x x x        ， 抛物线的解析式为 2 5 6y x x    ，顶点坐标为 5(2 ， 49)4 ； （2）由（1）知，抛物线的解析式为 2 5 6y x x    ， (0,6)C ， 6OC  ， (6,0)A ， 6OA  ， OA OC  ， 45OAC   ， PD 平行于 x 轴， PE 平行于 y 轴， 90DPE   ， 45PDE DAO    ， 45PED   ， PDE PED   ， PD PE  ， 2PD PE PE   ， 当 PE 的长度最大时， PE PD 取最大值， (6,0)A ， (0,6)C ， 直线 AC 的解析式为 6y x   ， 设 (E t ， 6)(0 6)t t    ，则 2( , 5 6)P t t t   ， 2 2 25 6 ( 6) 6 ( 3) 9PE t t t t t t               ， 当 3t  时， PE 最大，此时， 2 5 6 12t t    ， (3,12)P ； （3）如图（2），设直线 AC 与抛物线的对称轴 l 的交点为 F ，连接 NF ， 点 F 在线段 MN 的垂直平分线 AC 上， FM FN  ， NFC MFC   ， / /l y 轴， 45MFC OCA    ， 90MFN NFC MFC       ， / /NF x 轴， 由（2）知，直线 AC 的解析式为 6y x   ， 当 5 2x  时， 7 2y  ， 5(2F ， 7)2 ， 点 N 的纵坐标为 7 2 ， 设 N 的坐标为 2( , 5 6)m m m   ， 2 75 6 2m m    ，解得， 5 35 2m  或 5 35 2m  ， 点 N 的坐标为 5 35( 2  ， 7)2 或 5 35( 2  ， 7)2 ． 【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，解一元二次方程，（2）中判断出 PD PE ，（3）中 / /NF x 轴是解本题的关键．