初三数学上册基础知识讲解练习 相似三角形判定定理的证明

初三数学上册基础知识讲解练习 相似三角形判定定理的证明

相似三角形判定定理的证明 一、相似 三角形判定定理的证明 1、两角对应相等，两三角形相似. 2、两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. 3、三边对应成比例,两三角形相似. 二、两角对应相等，两三角形相似 如果∠A =∠A ′，∠B =∠B ′， 那么，△ ABC ∽△ A′B′C′. 三、两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似 如果∠B =∠B1 ， 那么，△ ABC∽△A1B1C1. 四、三边对应成比例,两三角形相似 如果 那么，△ ABC∽△ A′B′C′. 1111 ,ABBC kA BB C ,AB BC AC A B B C A C      1、已知：如图,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求 AB. 解： ∵ ∠ A= ∠ A,∠ABD=∠C, ∴ △ ABD ∽ △ ACB , ∴ AB : AC=AD : AB, ∴ AB2 = AD · AC. ∵ AD=2, AC=8, ∴ AB =4. 2、如图，D 是△ ABC 的边 BC 上一点，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B．如果△ ABD 的面积为 15，那么△ ACD 的面积为（ ） A．15 B．10 C． D．5[来源:学§科§网 Z§X§X§K] 【考点】相似三角形的判定与性质． 【分析】首先证明△ ACD∽△BCA，由相似三角形的性质可得：△ AC D 的面积：△ ABC 的面积为 1：4， 因为△ ABD 的面积为 9，进而求出△ ACD 的面积． 【解答】解：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C， ∴△AC D∽△BCA， ∵AB=4，AD=2， ∴△ACD 的面积：△ ABC 的面积为 1：4， ∴△ACD 的面积：△ ABD 的面积=1：3， ∵△ABD 的面积为 15， ∴△ACD 的面积∴△ACD 的面积=5． 故选 D． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，是中考常见题型． 3、如图，在△ ABC 中，D、E 分别是 AB、BC 上的点，且 DE∥AC，若 S△ BDE：S△ CDE=1：4，则 S△ BDE：S△ ACD=（ ） A．1：16 B．1：18 C．1：20 D．1：24[来源:Z_xx_k.Com] 【考点】相似三角形的判定与性质． 【专题】几何图形问题． 【分析】设△ BDE 的面积为 a，表示出△ CDE 的面积为 4a，根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求 出 ，然后求出△ DBE 和△ ABC 相似，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ ABC 的面积， 然后表示出△ ACD 的面积，再求出比值即可． 【解答】解：∵S△ BDE：S△ CDE=1：4， ∴设△ BDE 的面积为 a，则△ CDE 的面积为 4a， ∵△BDE 和△ CDE 的点 D 到 BC 的距离相等， ∴ = ， ∴ = ， ∵DE∥AC， ∴△DBE∽△ABC， ∴S△ DBE：S△ ABC=1：25， ∴S△ ACD=25a﹣a﹣4a=20a， ∴S△ BDE：S△ ACD=a：20a=1：20． 故选：C． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记相似三角形 面积的比等于相似比的平方，用△ BDE 的面积表示出△ ABC 的面积是解题的关键． 4、如图，四边形 ABCD 是矩形，点 E 和点 F 是矩形 ABCD 外两点，AE⊥CF 于点 H，AD=3，DC=4，DE= ，∠EDF=90°，则 DF 长是（ ） A． B． C． D． 【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．菁优网版权所有 【专题】几何综合题． 【分析】设 DF 和 AE 相交于 O 点，由矩形的性质和已知条件可证明∠E=∠F，∠ADE=∠FDC，进而可得 到△ ADE∽△CDF，由相似三角形的性质：对应边的比值相等即可求出 DF 的长． 【解答】解：设 DF 和 AE 相交于 O 点， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ADC=90°， ∵∠EDF=90°， ∴∠ADC+∠FDA=∠EDF+∠FDA， 即∠FDC=∠ADE， ∵AE⊥CF 于点 H， ∴∠F+∠FOH=90°， ∵∠E+∠EOD=90°，∠FOH=∠EOD， ∴∠F=∠E， ∴△ADE∽△CDF， ∴AD：CD=DE：DF， ∵AD=3，DC=4，DE= ， ∴DF= ． 故选：C． 【点评】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判断和性质以及等角的余角相等的性质，题目的综合性加 强，难度中等． 5、如图，在△ ABC 中，D 是 BC 的中点，DE⊥BC 交 AC 与 E，已知 AD=AB，连接 BE 交 AD 于 F，下列 结论：①BE=CE；②∠CAD=∠ABE；③AF=DF；④S△ ABF=3S△ DEF；⑤△DEF∽△DAE，其中正确的有（ ） 个． A．5 B．4 C．3 D．2 【考点】相似三角形的判定；等腰三角形的判定与性质． 【专题】压轴题． 【分析】要解答本题，首先由中垂线的性质可以求得BE=CE，利用外角与内角的关系可以得出∠CAD=∠ABE， 通过作辅助线利用等腰三角形的性质和三角形全等可以得出 EF=FH= HB，根据等高的两三角形的面积关系 求出 AF=DF，S△ ABF=3S△ DEF，利用角的关系代替证明∠5≠∠4，从而得出△ DEF 与△ DAE 不相似．根据以 上的分析可以得出正确的选项答案． 【解答】解：∵D 是 BC 的中点，且 DE⊥BC， ∴DE 是 BC 的垂直平分线，CD=BD， ∴CE=BE，故本答案正确； ∴∠C=∠7， ∵AD=AB， ∴∠8=∠ABC=∠6+∠7， ∵∠8=∠C+∠4， ∴∠C+∠4=∠6+∠7， ∴∠4=∠6，即∠CAD=∠ABE，故本答案正确； 作 AG⊥BD 于点 G，交 BE 于点 H， ∵AD=AB，DE⊥BC， ∴∠2=∠3，DG=BG= BD，DE∥AG， ∴△CDE∽△CGA，△ BGH∽△BDE，EH=BH，∠EDA=∠3，∠5=∠1， ∴CD：CG=DE：AG，HG= DE，[来源:学科网] 设 DG=x，DE=2y，则 GB=x，CD=2x，CG=3x， ∴2x：3x=2y：AG， 解得：AG=3y，HG=y， ∴AH=2y， ∴DE=AH，且∠EDA=∠3，∠5=∠1 ∴△DEF≌△AHF ∴AF=DF，故本答案正确；[来源:学&科&网 Z&X&X&K] EF=HF= EH，且 EH=BH ， ∴EF：BF=1：3， ∴S△ ABF=3S△ AEF，[来源:Z,xx,k.Com] ∵S△ DEF=S△ AEF， ∴S△ ABF=3S△ DEF，故本答案正确； ∵∠1=∠2+∠6，且∠4=∠6，∠2=∠3， ∴∠5=∠3+∠4， ∴∠5≠∠4， ∴△DEF∽△DAE，不成立，故本答案错误． 综上所述：正确的答案有 4 个． 故选 B． 【点评】本题考查了中垂线的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质，三角形的中位 线及相似三角形的判定及性质和等积变换等知识．