九年级上册青岛版数学课件3-4直线与圆的位置关系(2)

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九年级上册青岛版数学课件3-4直线与圆的位置关系(2)

3.4直线与圆的位置关系(2) 砂轮上打磨工件时飞出的火星 右图中让你感受到 了直线与圆的哪种 位置关系? 【导入新课】 O A B C 问题:已知圆O上一点A,怎样根据圆 的切线定义过点A作圆O的切线? 观察:(1) 圆心O到直线AB的距离 和圆的半径有什么数量关系? (2)二者位置有什么关系?为什么? 【讲授新课】 过半径的外端并且垂直于半径 的直线是圆的切线. O A B C 切线的判定定理 应用格式 下列各直线是不是圆的切线?如果不是,请说明为什么? O. l A O. l A B A O l (1) (2) (3) (1)不是,因为 没有垂直. (2),(3)不是,因为没有经过半径 的外端点A. 在此定理中,“经过半径的外端”和“垂直于这 条半径”,两个条件缺一不可,否则就不是圆的切线. 注意 判一判 判断一条直线是一个圆的切线有三个方法: 1.定义法:直线和圆只有一个公共 点时,我们说这条直线是圆的切线; 2.数量关系法:圆心到这条直线的 距离等于半径(即d=r)时,直线与 圆相切; 3.判定定理:过半径的外端并且垂直 于半径的直线是圆的切线. l A l O l r d 要点归纳 典例精析 例1 如图,直线AB是☉O上的点A,且 AB=OA,∠OBA=45°, AT=BA. 求证:直线AB是☉O的切线. 解析:直线AB经过半径的一端,因此只要证OA垂直于AB即可. A O B 证明:∵AB=OA,∠OAB=45°, ∴∠AOB=∠OBA=45°, ∴∠OAB=90°. 即OA⊥AB. 又∵点A在圆上, ∴ 直线AB是☉O的切线.(切线的判定定理) 如图,AB是☉O的直径,∠ABT=45°, AT=BA. 求证:AT是☉O的切线. AT B O 证明:∵AT=AB,∴∠ABT=∠ATB,又∵∠ABT=45°, ∴∠ATB=45°. 解析:AT经过直径的一端,因此只要证AT垂直于AB即可. ∴AT是☉O的切线. ∴∠TAB=180°-∠ABT-∠ATB=90°. 即AT⊥AB. 做一做 已知:直线AB经过☉O上的点C,并且OA=OB,CA=CB.求 证:直线AB是☉O的切线. 分析:由于AB过☉O上的点C,所以连接OC, 只要证明AB⊥OC即可. 证明:连接OC(如图). ∵ OA=OB,CA=CB, ∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.  ∴ AB⊥OC. ∵ OC是☉O的半径, ∴ AB是☉O的切线. 典例精析 如图,△ABC 中,AB =AC ,O 是BC中点,☉O与AB 相切于 E.求证:AC 是☉O 的切线. B O C E A分析:根据切线的判定定理, 要证明AC是☉O的切线,只要 证明由点O向AC所作的垂线段 OF是☉O的半径就可以了,而 OE是☉O的半径,因此只需要 证明OF=OE. F 证明:连接OE ,OA, 过O 作OF ⊥AC. ∵☉O 与AB 相切于E , ∴OE ⊥ AB. 又∵△ABC 中,AB =AC ,   O 是BC 中点. ∴AO 平分∠BAC, F B O C E A ∴OE=OF. ∵OE 是☉O 半径, OF =OE,OF ⊥ AC. ∴AC 是☉O的切线. 又OE⊥AB ,OF⊥AC. (1) 有交点,连半径,证垂直; (2) 无交点,作垂直,证半径. 证切线时辅助线的添加方法 例1 例2 有切线时常用辅助线添加方法 (1) 见切点,连半径,得垂直. 切线的其它重要结论 (1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点; (2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 知识要点 1.判断下列命题是否正确. ⑴ 经过半径外端的直线是圆的切线. ( ) ⑵ 垂直于半径的直线是圆的切线. ( ) ⑶ 过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆 的切线. ( ) ⑷ 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. ( ) ⑸ 过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线. ( ) × × √ √ √ 【练习】 3.如图,在☉O的内接四边形ABCD中,AB是直径, ∠BCD=120°,过D点的切线PD与直线AB交于点P,则 ∠ADP的度数为( ) A.40° B.35° C.30° D.45° 2.如图所示,A是☉O上一点,且AO=5,PO=13,AP=12,则PA与 ☉O的位置关系是 . A P O 第2题 P O 第3题 D A B C 相切 C 证明:连接OP. ∵AB=AC,∴∠B=∠C. ∵OB=OP,∴∠B=∠OPB, ∴∠OBP=∠C. ∴OP∥AC. ∵PE⊥AC, ∴PE⊥OP. ∴PE为☉O的切线. 4.如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交边BC 于P, PE⊥AC于E. 求证:PE是☉O的切线. 5.已知:△ABC内接于☉O,过点A作直线EF. (1)如图1,AB为直径,要使EF为☉O的切线,还需添加的 条件是(只需写出两种情况): ① _________ ;② _____________ . (2)如图2,AB是非直径的弦,∠CAE=∠B,求证:EF是 ☉O的切线. BA⊥EF ∠CAE=∠B A F E O A F E O B C B C 图1 图2 证明:连接AO并延长交☉O于D,连接CD,则AD为 ☉O的直径. ∴ ∠D+ ∠DAC=90 °, ∵ ∠D与∠B同对 , ∴ ∠D= ∠B, 又∵ ∠CAE= ∠B, ∴ ∠D= ∠CAE, ∴ ∠DAC+ ∠EAC=90°, ∴EF是☉O的切线. AC 切 线 的 判定方法 定义法 数量关系法 判定定理 1个公共点,则相切 d=r,则相切 经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直 线是圆的切线. 证切线时常用辅助线添加方法: ①有公共点,连半径,证垂直; ②无公共点,作垂直,证半径. 【小结】
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