2020年黑龙江省牡丹江市中考数学一模试卷 (含解析)

2020年黑龙江省牡丹江市中考数学一模试卷 (含解析)

2020 年黑龙江省牡丹江市中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，共 36.0 分） 1. 下列运算正确的是 A. B. C. D. 䁥 䁥 . 在下列四个图案中，不是中心对称图形的是 A. B. C. D. . 在式子 1 中，自变量 x 的取值范围是 A. 1 B. C. 1 且 D. 1 且 4. 由若干边长相等的小正方体构成的几何体的主视图、左视图、俯视图如图所示，则构成这个几 何体的小正方体有 个． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5. 在一个口袋中有 4 个完全相同的小球，把它们分别标为 1，2，3，4，随机地摸出一个小球后放 回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出小球的标号之和等于 4 的概率是 A. B. 1 4 C. 1 D. 5 1 . 如图，四边形 ABCD 内接于 ，F 是 上一点，且 ，连 接 CF 并延长交 AD 的延长线于点 E，连接 AC，若 15 ， 5 ，则 的度数为 A. 45B. 5C. 55D. 7. 观察下面的一列数： 1 ， 1 ， 1 1 ， 1 ， ，按此规律，第 2020 个数是 也在该二次函数的图象上，则下列结论正确的是 7㈱ 、 1㈱ 、 ㈱1 ൐ .若 时， 1 ，且当 ㈱ꀀ ， 1㈱ꀀ 的图象经过点 䁥 已知二次函数 1. 5.4 D. C. 5 B. 6 A. 4 点，则 BM 的长为 ，点 M 是 DE 中 1 ， ， ， ， 如图， 11. ㈱ ㈱ 5D. 5 ㈱ 5C. ㈱ B. A. 点 E 的坐标为 ，则 1 ， 至 FBDE 的位置，若 75 绕点 B 顺时针旋转 如图所示，菱形 ABOC 如图所置，其一边 OB 在 x 轴上，将菱形 ABOC 1. 且 ൐ 1 D. 且 1 1C. B. 1 A. 的解为正数，则 m 的取值范围为 䁥 5 若关于 x 的分式方程 . 4 C. 4 D. A. 2 B. 的面积为 2，则 k 的值为 若 . 轴，垂足为 的图象上一点，过点 A 作 如图，已知 A 为反比例函数 . 1 1 D. 1 1 C. 1 1 B. 1 1 A. ． . 如图，二次函数 䁥 䁥 的图象经过坐标原点，与 x 轴 交于点 ㈱ ． 1 求此二次函数的解析式； 在抛物线上有一点 P，满足 1 ，请直接写出点 P 的坐标． . 在 中， ，点 D 为 BC 的中点，点 E 为 AC 的中 点，连接 DE，求 DE 的长． 4. 某校为了解“阳光大课间”活动的开展情况，从全校 名学生中，随机抽取部分学生进行 问卷调查 每名学生只能填写一项自己喜欢的活动项目 ，并将调查结果绘制成如下两幅不完整 的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： 1 被调查的学生共有人，并补全条形统计图； 在扇形统计图中， __________， ꀀ __________；求图中 踢毽子 所对应的圆心角度数； 全校学生中喜欢篮球的人数大约有多少？ 25. 甲乙两车从 A 市去往 B 市，甲比乙早出发了 2 个小时，甲到达 B 市后停留一段时间返回，乙到 达 B 市后立即返回．甲车往返的速度都为 40 千米 时，乙车往返的速度都为 20 千米 时，下图 是两车距 A 市的路程 千米 与行驶时间 小时 之间的函数图象．请结合图象回答下列问题： 1 、B 两市的距离是______ 千米，甲到 B 市后，______ 小时乙到达 B 市； 求甲车返回时的路程 千米 与时间 小时 之间的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围； 请直接写出甲车从 B 市往回返后再经过几小时两车相距 15 千米． ．的条件下，试探究线段 AE、AF、AC 之间满足的等量关系，并说明理由 在 明理由； ，连接 EF，如图 2，判断 EF 与 AC 的位置关系，并说 若点 F 是 AC 边上一点，且 求证：点 O 是 AE 的中点； 1 交 AB 于点 E； 点 O， ，过点 D 作 AC 的平行线交 AB 于 ，AD 平分 中， 已知，如图 1，在 .26 27. 某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如表： 原进价 元 张 零售价 元 张 成套售价 元 套 餐桌 a 270 500 元 餐椅 a 11 70 已知用 600 元购进的餐桌数量与用 160 元购进的餐椅数量相同． 1 求表中 a 的值； 若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的 5 倍还多 20 张，且餐桌和餐椅的总数量不超过 200 张．该商场计划将一半的餐桌成套 一张餐桌和四张餐椅配成一套 销售，其余餐桌、餐椅以零 售方式销售．请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 28. 如图所示，点 P 的坐标为 ，过点 P 作 x 轴的平行线交 y 轴于点 A，交反比例函数 x ൐ 的图象于点 N，作 PM AN 交反比例函数 x ൐ 的图象于点 M . 连接 AM，已 知 PN 4 ． 1 求 k 的值； 求 APM 的面积． 【答案与解析】 1.答案：C 解析： 本题主要考查了整式的运算，关键是熟练掌握同底数幂的乘除法法则，完全平方公式及幂的乘方公 式． 根据整式的运算公式进行计算，得出结果进行判断即可． 解：A． 5 ，故 A 错误； B. ，故 B 错误； C. ，故 C 正确； D. 䁥 䁥 䁥 ，故 D 错误， 故选 C． 2.答案：D 解析： 本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合． 根据中心对称图形的概念求解． 解：A、B、C 是中心对称图形，D 不是中心对称图形， 故选：D． 3.答案：C 解析：解：由题意得， 1 且 ， 解得 1 ，且 ． 故选：C． 根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0 列式计算即可得解． 本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： 1 当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； 当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； 当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 4.答案：B 解析：解：综合三视图可知，这个几何体的底层应该有 䁥 1 䁥 1 䁥 1 5 个小正方体， 第二层应该有 1 个小正方体， 因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是 5 䁥 1 个． 故选：B． 根据三视图，该几何体的主视图以及俯视图可确定该几何体共有两行三列，故可得出该几何体的小 正方体的个数． 本题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如 果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案． 5.答案：C 解析： 此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比． 列表得出所有等可能的情况数，找出两次摸出小球的标号之和等于 4 的情况数，即可求出所求的概 率． 解：列表如下： 1 2 3 4 1 1㈱1 ㈱1 ㈱1 4㈱12 1㈱ ㈱ ㈱ 4㈱3 1㈱ ㈱ ㈱ 4㈱4 1㈱4 ㈱4 ㈱4 4㈱4所有等可能的情况有 16 种，其中两次摸出小球的标号之和等于 4 的情况有 ㈱1 ， ㈱ ， 1㈱ 共 3 种， 则 1 ． 故选 C． 6.答案：B 解析：解： 四边形 ABCD 内接于 ， 15 ， 1 1 15 75 ． ， 5 ， 5 ， 75 5 5 ． 故选：B． 先根据圆内接四边形的性质求出 的度数，再由圆周角定理得出 的度数，根据三角形外角 的性质即可得出结论． 本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键． 7.答案：C 解析： 本题主要考查有理数的数字规律问题，准确找出每个数的分子、分母以及符号与序号的关系是解题 的关键． 先确定第 2020 个数的符号，再观察分子、分母与序号的关系，即可求出第 2020 个数． 解：给这列数标上序号如下： 1 ， 1 ， 1 1 ， 1 ， ， 1 奇数序号所对应的数的符号为负号，偶数序号所对应的数的符号为正号，则第 2020 个数的符号 为正号； 分子规律：分子始终都是 1，则第 2020 个数的分子为 1； 分母的规律： 中分母为 1 ， 中分母为 ， 中分母为 1 4 ，即分母等 于序号与比序号大 1 的数的乘积，则第 2020 个数的分母为 1 ； 所以第 2020 个数是： 1 1 ， 故选 C． 8.答案：D 解析： 本题考查了反比例函数的比例系数 k 的几何意义：在反比例函数 图象中任取一点，过这一个点 向 x 轴和 y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值 ． 根据反比例函数的比例系数 k 的几何意义得到 1 ，然后去绝对值结合反比例函数的图象即可得 到满足条件的 k 的值． 解： 轴， 1 ， 1 ， 4 ， ， 4 ． 故选：D． 9.答案：D 解析：解：去分母得： 䁥 5 ， 解得： 䁥1 ， 由方程的解为正数，得到 䁥 1 ൐ ，且 䁥 1 4 ， 则 m 的范围为 ൐ 1 且 ， 故选：D． 分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求出 m 的范围即可． 此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 10.答案：A 解析： 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，坐标与图形变化 旋转，正确的作出辅助线是 解题的关键． 过 C 作 ܩ 于 G，过 E 作 于 H，根据菱形的性质得到 ，解直角三角形即 可得到结论． 解析： 解：过 C 作 ܩ 于 G，过 E 作 于 H， 在菱形 ABOC 中， 1 ， ， ， ， ， ܩ ， 在 ܩ 中， ܩ ݋ 1 ， ܩ 1 䁥 ， 在 ܩ 中， ܩ ݋ ， 75 45 ， 在 中， ݏꀀ45 ， ， 点 E 的坐标为 ㈱ .故选：A． 11.答案：C 解析：解：过点 M、E 分别作 ， ，交 DB 的延长线于点 N、 F， ， ， 四边形 ABFE 是矩形， 1 ， ， 䁥 䁥 1 1 ， 又 是 DE 的中点， ， ∽ ， 1 ， ．时，n 是负数 1 是正数；当原数的绝对值 时，n ൐ 1 数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 ，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原 1 1 的形式，其中 ꀀ 1 科学记数法的表示形式为 ． 4 1.5 1 故答案为： ， 4 1.5 1 解析：解：15 4 1.5 1 13.答案： 本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的性质，数形结合解题是解题的关键． 图象即可求解； ，结合函数 确定 ൐ 时， 1 ，再由当 ，确定函数的对称轴 ㈱ꀀ ， 1㈱ꀀ 根据点 故选：C． ， ൐ 1 ൐ 到对称轴的距离从远即近为 P，M，N， 7㈱ 、 1㈱ 、 ㈱1 ， ，不符合题意； 时， ൐ 当 ， ㈱ 时，函数与 y 轴交点 令 是函数的对称轴， ， ㈱ꀀ ， 1㈱ꀀ 经过点 又 ， ꀀ ൐ ． ൐ 时， 1 当 解析：解： 12.答案：C 中利用勾股定理求解． 考查矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，作辅助线将问题转化到直角三角形 利用中点、垂直、构造矩形和相似三角形，最后将问题转化到直角三角形中由勾股定理求出答案． 故选：C． ， 5 䁥 4 中， 在 ， ， 4 1 ， 1 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 1 ꀀ 的形式，其中 1 1 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 14.答案： 或 答案不唯一 解析：解： 四边形 EBFD 要为平行四边形 ， 又 ≌ 四边形 EBFD 为平行四边形． 可添加的条件是 ，同理还可添加 ． 故答案为： 或 ． 四边形 EBFD 要为平行四边形，则要证 ，就要证 ≌ ，而在平行四边形中已有 ， ，因而可添加 或 就可用 SAS 或 ASA 得证． 本题考查了平行四边形的判定与性质，是开放题，答案不唯一，可以针对各种平行四边形的判定方 法，给出条件，本题可通过要证 ，且 ，即可证明平行四边形成立，于是构造条件 证 ≌ 即可． 15.答案： ， 1.5 解析：解：根据题意知 䁥1 .5 ， 解得： 1 ， 则这组数据为 ， ，3， ，1， 1 ， 所以这组数据的众数为 ， 将数据重新排列为 、 、 、 1 、1、3， 所以中位数为 1 1.5 ， 故答案为： 、 1.5 ． 可先算出 x 的值，再找出中位数和众数． 本题考查平均数、众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大 或从大到小 重新排列后， ：解析 1 18.答案： 考查了垂径定理，三角函数，关键是熟悉垂直于弦的直径平分这条弦的知识点． AB 的长， 于 D，根据三角函数可求 OA，再根据三角函数可求 AD，再根据垂径定理可求 过 O 点作 故答案为：18． ． 1 ， ， ， ， ， . 于 D， 解析：解：过 O 点作 17.答案：18 故答案为 8． 则最多打 8 折． ， 解得： ， 15 1 整理得： ， 1 1 1 15 根据题意得： 解：设最多可打 x 折， 求出方程的解即可得到结果． ，则最多可打 x 折，根据题意列出方程， 本题考查一元一次方程的应用，要保证利润率不低于 解析： 16.答案：8 好，不把数据按要求重新排列，就会出错．出现次数最多的数是众数． ，叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不 或最中间两个数的平均数 最中间的那个数 ，且 45 ， 折叠 ， ， ， ܩ 设 45 ， 45 ， 解：如图， 则可求 tanB 的值． ， ܩ 即， 1 ܩ ，根据相似三角形的性质可得 45 ， ，由折叠的性质可得 可得， ， ， ܩ 键．设 本题考查了翻折变换，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，熟练运用折叠的性质是本题的关 解析： 7 19.答案： ． 1 故答案为 ， 1 ， 4 䁥 ， 4㈱ 新抛物线经过点 ， 䁥 向左平移 2 个单位后得到抛物线 解：将抛物线 4㈱代入即可得出 a 的值． 向左平移 2 个单位所得函数解析式，再把点 .先根据函数图象平移的法则得出抛物线 题的关键 本题考查的是二次函数的图象与几何变换、二次函数图象上点的坐标特征，熟知以上知识是解答此 ∽ ܩ ܩ 1 ܩ ， ܩ 䁥 ܩ 7 ， ꀀ 7故答案为： 720.答案： 5 解析： 【试题解析】 本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解 题的关键． 过 A 作 ，使 ，连接 CE，DE，过 C 作 于 F，得到 是等腰直角三角 形，证明 ≌ 得： ，在 中，利用勾股定理求 EC 的长，于是得到结论． 解：过 A 作 ，使 ，连接 CE，DE，过 C 作 于 F， 则 是等腰直角三角形， 45 ， 是等腰直角三角形， 1 ， ， 45 ， 是等腰直角三角形， ． 䁥 1 䁥 1 所以二次函数的解析式为 ， ， 解得 ， 4 䁥 ， ，得 䁥 䁥 代入解析式 ㈱ ， ㈱ 将 1 22.答案：解： 本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的计算方法． 题． 解析：根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将 x 的值代入化简后的式子即可解答本 ． 䁥 时，原式 1 ꀀ 4ݏ ꀀ 4 当 ， 䁥 䁥 䁥 1 䁥 1 䁥 䁥 䁥 1 䁥 䁥4䁥4 21.答案：解： ． 5 故答案为： ． 5 ， 5 䁥 ， ， 45 ， ， ≌ ， 中， 与 在 ， ， ， ， ， ， 5 ， 1 ， 点的纵坐标为 1 ， 1 ， 当 1 时，解得 1 1 ， 当 1 时， 解得 1 䁥 ， 4 1 ， 点 P 的坐标为 1㈱1 或 1 䁥 ㈱ 1 或 1 ㈱ 1 ． 解析：本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式与图象上点的坐标特征，解题的关键是正确求 出二次函数的表达式． 1 把 ㈱ ， ㈱ 代入解析式 䁥 䁥 ，可得出二次函数解析式； 利用三角形的面积可得出 P 点的纵坐标，可求出点 P 的横坐标，即可得出点 P 的坐标． 23.答案：解： 点 D 为 BC 的中点，点 E 为 AC 的中点， 是 的中位线， 1 ． 又 ， ． 解析：本题考查了三角形的中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．利 用三角形中位线定理可以直接求得 DE 的长度． 24.答案：解： 11 ，条形统计图为： 小时 4 1 小时或 4 5 小时或 4 11 ； 1 4 䁥 51 1 ；5； 11 25.答案：解： 见答案． 所对应的圆心角度数见答案； 踢毽子 故答案为 30；10； ； ꀀ 1 ， ， 1 ，喜欢篮球所占的百分比为 喜欢踢毽子所占的百分比为 喜欢踢毽子的有 30 人，喜欢打篮球的有 10 人，共有 100 人， 故答案为 100； 条形统计图见答案； ， 人 1 1 4 喜欢跳绳的有 ， 人 1 故被调查的学生总数有 ， 观察统计图知：喜欢乒乓球的有 20 人，占 1 解： 用总人数乘以喜欢篮球人数所占的百分比即可求得全校喜欢篮球的人数； 用喜欢踢毽子的人数除以总人数即可求得 m 值，用喜欢篮球的人数除以总人数即可求得 n 值； 用喜欢乒乓球的频数除以其所占的百分比即可求得样本容量； 1 统计图能清楚地表示出每个项目的数据． 本题考查了条形统计图的应用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，条形 解析： 人． 1 喜欢篮球的有 ， 1 全校共有 2000 人，喜欢篮球的占 ； 1 表示区域 A 的圆心角为 ；10； 解析：解： 1 由题意，得 4 1 ． 1 䁥 5 小时， 故答案为：120，5； 两地的距离是 120km， ㈱1 ， 1㈱1 ， 1㈱ ． 设线段 BD 的解析式为 1 1 䁥 1 ，由 题意，得． 1 11 䁥 1 11 䁥 1 ， 解得： 1 4 1 5 ， 1 4 䁥 5 ． t 的取值范围为： 1 1 ； 设 EF 的解析式为 䁥 ，由题意，得 1 䁥 14 䁥 ， 解得： ， 䁥 ． 当 䁥 4 䁥 5 15 时， 51 4 ； 51 4 1 11 4 小时 ， 当 4 䁥 5 䁥 15 时， 45 4 ， 45 4 1 5 4 小时 ， 当 1 15 时， 5 4 ， ， ， ， ， 䁥 ， 䁥 ， ， ， ， ， ， ， ， 平分 证明：如图 1 中， 1 26.答案： 次方程之间的关系的运用，解答本题时求出函数的解析式是关键． 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，自变量的取值范围的运用，一次函数与一元一 运用待定系数法求出 EF 的解析式，再由两车之间的距离公式建立方程求出其解即可． 的结论可以求出 BD 的解析式，由待定系数法就可以求出结论； 1 由 速度就可以求出乙需要的时间； 路程 据时间 甲车到达乙地的时间就可以求出两地的距离，根 时间的数量关系用甲车的速度 速度 根据路程 1 小时两车相距 15 千米． 4 1 小时或 4 5 小时或 4 11 答：甲车从 B 市往回返后再经过 ， 小时 4 1 1 4 5 ， 䁥 ， 䁥 ， ， 理由：延长 ED 交 AC 的延长线于 M． ． 䁥 解：如图 3 中，结论： ． ， ， ， ， 理由：如图 2 中， ． 解：结论： 点 O 是 AE 的中点． ， 45 ൐ ． 45 䁥 1 5 䁥 4 䁥 7 15 11ͳ 1 䁥 7 15 1 5 15 4 15 11ͳ 根据题意得： 设销售利润为 y 元， ． 解得： ， 䁥 5 䁥 根据题意得： 张， 5 䁥 设购进餐桌 x 张，则购进餐椅 答：表中 a 的值为 150． 经检验，a 是原分式方程的解． ， 15 解得： ， 11 1 根据题意得： 1 27.答案：解： 键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考压轴题． 本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，平行线等分线段定理等知识，解题的关 题． 即可解决问 ， 只要证明 . 延长 ED 交 AC 的延长线于 䁥 . 结论： 即可解决问题． 只要证明 . 结论： 即可解决问题． ， 只要证明 1 解析： ． 䁥 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当 时，y 取最大值，最大值为 7950． 答：当购进餐桌 30 张、餐椅 170 张时，才能获得最大利润，最大利润是 7950 元． 解析： 1 根据数量 总价 单价，即可得出结论，解之经检验后即可得出 a 值； 设购进餐桌 x 张，则购进餐椅 5 䁥 张，由餐桌和餐椅的总数量不超过 200 张，可得出关于 x 的一元一次不等式，解之即可得出 x 的取值范围，设销售利润为 y 元，根据销售方式及总利润 单件 单套 利润 销售数量，即可得出 y 关于 x 的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题． 本题考查了分式方程的应用、一次函数的性质以及一元一次不等式的应用，解题的关键是： 1 找准 等量关系，正确列出分式方程； 利用一次函数的性质解决最值问题． 28.答案：解： 1 点 P 的坐标为 ， AP ， ． 又 PN 4 ， AN AP 䁥 PN 䁥 4 ． ． 把点 代入 x ൐ ，可得 ． 由 1 可知 ，当 x 时， ． ， ． ． 解析： 1 根据点 P 的坐标为 ，PN 4 ，可先求出点 N 的坐标为 ，将该点坐标代入 x ൐ 即可求得 k 的值； 由 k 的值可求得反比例函数的解析式，根据点 M 的横坐标求出其 纵坐标，从而可求得 MP 的值，根据 求解．