中考数学之平面几何最全总结-经典习题+中考数学重点串讲等精品大全集

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中考数学之平面几何最全 总结-经典习题+中考数学重点串讲等精品大全集 平面几何知识要点（一） 【线段、角、直线】 1. 过两点有且只有一条直线。 2. 两点之间线段最短。 3. 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直。 4. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂直线段最短。 垂直平分线，简称“中垂线”。 定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做 这条线段的 垂直平分线（中垂线）。 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合。 中垂线性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段。 垂直平分线定理: 垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相 等。 逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段 的垂直平分 线上。 .三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点 到三个顶 点的距离相等。 角 1. 同角或等角的余角相等。 2. 同角或等角的补角相等。 3. 对顶角相等。 角的平分线性质 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 定理 1：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 定理 2： 到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 三角形各内角平分线的交点，该点叫内心，它到三角形三边距离相等。 【平行线】 平行线性质 1：两直线平行，同位角相等。 平行线性质 2：两直线平行，内错角相等。 平行线性质 3：两直线平行，同旁内角互补。 平行线判定 1：同位角相等，两直线平行。 平行线判定 2：内错角相等，两直线平行。 平行线判定 3：同旁内角互补，两直线平行。 平行线判定 4：如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平 行。 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所 得的对应线段 成比例。 平面几何知识要点（二） 【三角形】 面积公式： 1．已知三角形底 a，高 h， 1 2 S ah 2．正三角形面积 S= 23 4 a (a为边长正三角形) 3．已知三角形三边 a,b,c，则 ( )( )( )S p p a p b p c    （海伦公 式） 其中： ( ) 2 a b cp    （周长的一半） 4．已知三角形两边 a，b 及这两边夹角 C，则 1 sin 2 S ab C 。 5．设三角形三边分别为 a、b、c，内切圆半径为 r，则 ( ) 2 a b c rS    6．设三角形三边分别为 a、b、c，外接圆半径为 R，则 4 abcS R  记住★：已知正三角形边长为 a，其外接圆半径为 R，内切圆半径为 r，则 有： 3 3 R a ， 3 6 r a ， 2R r 内角和定理：三角形三个内角的和等于 180° 推论 1 ：直角三角形的两个锐角互余 推论 2 ：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 推论 3 ：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 全等三角形性质：如果两三角形全等，那么其对应边，对应角相等。其中对应边 除了三角形 的边长外，还包括对应高，对应中线，对角平分线。 全等三角形判定定理： 边边边公理：有三边对应相等的两个三角形全等。（SSS） 边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（SAS） 角边角公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。（ASA） 推论：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全 等。 斜边、直角边公理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形 全等。 相似三角形性质定理 性质定理 1：相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的 比都等于相 似比。 性质定理 2：相似三角形周长的比等于相似比。 性质定理 3：相似三角形面积的比等于相似比的平方。 相似三角形判定定理 判定定理 1：两角对应相等，两三角形相似（ASA） 判定定理 2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS） 判定定理 3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS） 定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形 的斜边和一条 直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交， 所构成的三 角形与原三角形相似。 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 梯形中位线定理： 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 。 平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其 他直线上截 得的线段也相等 推论 1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰 。 推论 2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。 定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例， 那么这条直线平行于三角形的第三边 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等。 推论 1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 。 推论 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合。（三 线合一） 推论 3：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于 60° 等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边 也相等（等 角对等边） 推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形 推论 2：有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形 直角三角形 1．勾股定理：直角三角形两直角边 a、b的平方和、等于斜边 c的平方 （ 2 2 2a b c  ） 逆命题：如果三角形的三边长有关系 2 2 2a b c  ，那么这个三角形是 直角三角形。 勾股定理的逆定理可以判断一个三角形为锐角或钝角的一个简单的 方法，其中 c 为最长边: 如果： 2 2 2a b c  ，则△ABC 是直角三角 形； 如果 2 2 2a b c  ，则△ABC 是锐角三角形； 如果 2 2 2a b c  ，则△ABC 是钝角三角形。 2．直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半。 逆命题：如果一个三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这 个三角形是 直角三角形，且这条边为直角三角形的斜边。 3.在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°那么它所对的直角边等于斜边 的一半，由 此性质可推出：含 30°的直角三角形三边之比为 1： 3：2。 4.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。 5.直角三角形的内切圆半径等于两直角边之和减去斜边的差的一半， 即 2 a b cr    也等于 abr a b c    6. 射影定理： ①如果△ABC 是直角三角形,∠C=90°，CD⊥AB，则 2 .AC AD AB 2 .BC DB AB 2 .CD AD DB 2 2 AC AD BC DB  ②如果△ABC，CD⊥AB， 2 .CD AD DB ，则: △ADC∽△CDB ③对一般三角形的拓展：如图，如果△ADC∽△ACB， 则： 2 .AC AD AB 7．如果∠ADE=∠B 或 ∠AED=∠C，或 ∠C+∠DEB=180 A B C D ab c h a b c or °, 或 ∠B+∠CDE=180° 那么有：AD·AC=AE·AB 8.如果 DE∥BC , 那么有： : : :AD AC AE AB DE BC  9．在△ABC 中，AD 是∠A 的平分线，那么： AB BD AC DC  10．内、外角角平分线：DO平分∠AOB，EO平分∠COB， 可以推出：∠DOE=90°,∠AOD+∠COE=90° 平面几何知识要点（三） 【四边形及多边形】 面积公式： 平行四边形面积=底×高 矩形面积=长×宽 菱形面积=对角线乘积的一半 或 菱形面积=底×高 梯形面积= ( ) 2  上底 下底 高 =中位线×高 对角线相互垂直四边形面积=对角线乘积的一半。 平行四边形： 性质定理 1：平行四边形两组对边分别平行 性质定理 2：平行四边形两组对角分别相等。 性质定理 3：平行四边形两组对边分别相等。 推论：夹在两条平行线间的平行线段相等；平行线间的距离处处相等。 性质定理 4：平行四边形的对角线互相平分。是中心对称图形 判定定理 1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 判定定理 2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 判定定理 3：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 判定定理 4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 判定定理 5：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 矩形 性质定理 1：矩形对边分别平行且相等； 性质定理 2：矩形的四个角都是直角。 A B CD 性质定理 3：矩形对角线互相平分且相等 性质定理 4：矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形。 判定定理 1：有三个角是直角的四边形是矩形 判定定理 2：有一个直角的平行四边形； 判定定理 3：对角线相等的平行四边形是矩形 菱形 性质定理 1：菱形对边平行，四条边都相等。 性质定理 2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 性质定理 3：菱形既是中心对称图形也是轴对称图形。 判定定理 1：四边都相等的四边形是菱形。 判定定理 2：一组邻边相等的平行四边形是菱形； 判定定理 3：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 正方形 性质定理 1：正方形对边平行，四边相等； 性质定理 2：正方形的四个角都是直角； 性质定理 3：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线 平分一组对角。 性质定理 3：正方形既是中心对称图形也是轴对称图形。 判定定理 1：有一个直角一组邻边相等的平行四边形是正方形； 判定定理 2：一组邻边相等的矩形是正方形； 判定定理 3：一个角为直角的菱形是正方形。 等腰梯形 性质定理 1：等腰梯形两底互相平行，两腰相等； 性质定理 2：等腰梯形在同一底上的两个底角相等。 性质定理 3：等腰梯形的两条对角线相等。 性质定理 4：等腰梯形是轴对称图形。 判定定理 1：腰相等的梯形是等腰梯形； 判定定理 2：在同一底上的两个底角相等的梯形是等腰梯形。 判定定理 3：对角线相等的梯形是等腰梯形。 如果等腰梯形对角线相互垂直，则高与中位线相等。 四边形四边中点连成的四边形图形： 1． 如果原四边形对角线相等且垂直，那么四边形中点连成的新四边形 为正方形； 2． 如果原四边形对角线只相等不垂直，那么四边形中点连成的新四边 形为菱形； 3． 如果原四边形对角线垂直但不相等，那么四边形中点连成的新四边 形为矩形； 4． 如果原四边形对角线既不相等又非垂直，那么四边形中点连成的新 四边形为平行四边形。 5． 四边形中点连接的图形的面积是原四边形面积的一半. 其它定理和公式 1．定理：四边形的内角和等于 360°，四边形的外角和等于 360°。 2．多边形内角和定理: n边形的内角的和等于（n-2）×180° 推论：任意多边的外角和等于 360° 3．n边形从一个顶点出发的对角线，共有(n－3)条，将 n边形分成了(n－2) 个三角形； n边形一共有 n 2 (n－3)条对角线。 4．正 n边形的每个内角都等于： ( 2) 180n n    常用辅助线 平面几何知识要点（四） 【圆、弧、弦】 圆及圆的相关量的定义 圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。 定点称为圆 心，定长称为半径。 弧、弦的定义：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆 的弧称为优弧， 小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。 经过圆心 的弦叫做直径。 圆、弧的表示方法: 圆--⊙ 弧-----⌒ 弦心距定义：圆心到弦的距离叫做弦心距。 弦切角定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫 做弦切角。 圆心角定义：顶点在圆心上的角叫做圆心角。 圆周角定义：顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫 做圆周角。 圆心距定义：两圆圆心之间的距离叫做圆心距。 连心线定义：过平面内不重合的两个圆的圆心的直线叫做这两个圆 的连心线。 扇形定义: 在圆上，由 2条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。 三角形的外接圆：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆 心叫做三角 形的外心。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点， 到三角形 3 个顶点距离相等。 三角形的内切圆：和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆， 其圆心称为 内心。内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三 角形 3边距 离相等。 圆的内接正 n边形、圆的外切正 n边形定义：把圆分成 n(n≥3)等分： 依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n边形。 ⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多 边形是这个 圆的外切正 n边形。 圆内接四边形面积： ( )( )( )( )S p p a p b p c p d     其中： 1 ( ) 2 p a b c d    圆的外切四边形的两组对边的和相等： AB＋CD＝AD＋BC 公切线定义:和两圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。 内公切线定义：两个不相交的圆在公切线两旁时，这样的公 切线叫做内公切线。 外公切线定义：两个不相交的圆在公切线的同旁时， 这样的公切线叫做外公切线。 右图中：直线 AB、CD 就是两圆的公切线，其中 AB 为外公切线，CD 为内公切线。 公切线长计算公式：设⊙ 1o 半径为 R，⊙ 2o 半径为 r，R r ，两圆 的圆心距为 d A BC D a b c d 外公切线长= 2 2( )d R r  内公切线长= 2 2( )d R r  当两圆相切时，无内公切线长。 直线与圆有三种位置关系：1.无公共点为相离；2．有 2个公共点为相交； 3．圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公 共点叫做切点。 两圆之间有 5种位置关系：1.无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，2．在之 内叫内含； 3．有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，4．在之内叫内切；5．有 2个公共点 的叫相交。 圆的基本性质: 1．点 P与圆 O的位置关系（设 P是一点，则 PO是点到圆心的距离）： 当 P在⊙O外，PO＞r；当 P在⊙O上，PO＝r；当 P在⊙O内，PO＜ r。 2．直线 AB与圆 O的位置关系（设 OP⊥AB于 P，则 PO是直线 AB到圆 心的距离）： 当 AB与⊙O相离，PO＞r；当 AB与⊙O相切，PO＝r；当 AB与⊙O 相交，PO＜r。 3．圆与圆的位置关系（设两圆的半径分别为 R和 r，且 R≥r，圆心距为 P）： 外离 P＞R+r；外切 P=R+r；相交 R-r＜P＜R+r；内切 P=R-r；内含 0≤P ＜R-r。 4．同圆或等圆的半径相等。 5．圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称 图形，其对称 中心是圆心。 6. 不在同一直线上的 3个点确定一个圆。 7. 一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。 8．圆的切线垂直于过切点的直径；经过直径的一端，并且垂直于这条直径 的直线，是这 个圆的切线。 圆的定理： 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 推论 1：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。 推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一 点的连线平 分两条切线的夹角。 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点 的两条线段 长的比例中项。 2PT PA PB  推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点 的两条线段长 的积相等。 PA PB PC PD   （此推论也叫割线定理） 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线 段的比例中 项。 注：切割线定理与割线定理，相交弦定理统称为圆幂定理。 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。弦切角等于它所夹的弧 所对的圆心 角的一半。 推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等 定理 1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所 对的弦的弦心 距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦 心距中有一 组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等。 定理 2：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角 所对的弧也 相等。 推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的 弦是直径。 推论 3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形 是直角三角形。 定理 3：两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦。 P T A C B D 定理 4 两圆相切时，连心线通过切点。 定理 5：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 定理 6：圆的外切四边形的两组对边的和相等。 定理 7：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。 圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式 圆周长 圆的面积 弧长 扇形面积 公式 2C r d   2S r 180 n rl   2 1 360 2 nS r lr  注：半径—r 直径—d 扇形弧长— l 周长—C 面积—S n°--扇形 的圆心角 扇形与弓形的联系与区别 图 示 面 积 =S SS  弓形 扇形 1= S 2 S 圆弓形 =S +SS 弓形 扇形 注:（1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形 叫做弓形。 （2）弓形的周长＝弦长＋弧长 圆锥与圆柱的比较 名称 圆锥 圆柱 图形 注：圆锥的母线长为 l，底面 圆的半径为 r 圆柱的底面半径为 r，高为 h 图形的形成过 程 由一个直角三角形旋转得到 的，如 Rt△SOA绕直线 SO旋 转一周。 由一个矩形旋转得到的，如矩形 ABCD绕直线 AB旋转一周。 图形的组成 一个底面和一个侧面 两个底面和一个侧面 侧面展开图的 特征 扇形 矩形 内心 外心 重心 垂心 旁心 面积计算方法 S rl侧 2S +S =S rl r  侧全 底 2S rh侧 2S +2S =2 2S rh r  侧全 底 【三角形五心】：内心、外心、重心、垂心、旁心 三角形内心：三角形三个内角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心， 其半径 r是交 点到一边的距离。 性质：到三边距离相等。 三角形外心：三角形三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心，其半 径 R是交点 到顶点的距离。 性质：外心到三顶点的距离相等 若 O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或 ∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。 当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部； 当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部； 当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。 三角形重心：三角形三条中线的交点。 性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2∶1。 ②重心和三角形 3个顶点组成的 3个三角形面积相等。即重心到三 条边的距离 与三条边的长成反比。 ③重心到三角形 3个顶点距离的平方和最小。 ④在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其 重心坐标为 1 2 3 1 2 3( , ) 3 3 x x x y y y    三角形垂心：三角形三条高所在直线的交点。 性质：①垂心分每条高线的两部分乘积相等。 ②垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的 2倍。 三角形旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交 点 性质：旁心到三边的距离相等 性质 5 锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和。 圆的基本概念 如上图：直线 l为连心线; 线段 AB称为弦; ⊙ 1O 圆心 1O 到线段 AB的距离 1OC 称为弦心距； · ·l 1O 2O A BC E F G H I J m 两圆相 交 内含 相离 1 2OO 之间距离称为圆心距；直线 EF外公切线；直线 BG内公切线；E,F,I称为切 点； AmB称为劣弧; AEB称为优弧; 2GO J 称为圆心角；∠GIJ 称为圆周角； ∠GIH 称为弦切角; 经典难题（一） 1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB， EG⊥CO． 求证：CD＝GF．（初二） 三角形的外接 圆 三角形的内切 圆 两圆外切 两圆内切 A F G C E BOD 2、已知：如图，P是正方形 ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150． 求证：△PBC是正三角形．（初二） 3、如图，已知四边形 ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是 AA1、BB1、CC1、DD1的中点． 求证：四边形 A2B2C2D2是正方形．（初二） 4、已知：如图，在四边形 ABCD中，AD＝BC，M、N分别是 AB、CD的中点， AD、BC的延长线交MN于 E、F． 求证：∠DEN＝∠F． 经 典 难 题（二） 1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且 OM⊥BC 于M． （1）求证：AH＝2OM； （2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．（初二） A P C D B D2 C2B2 A2 D1 C1 B1 CB DA A1 A N F E C D M B · A D H E M CB O P C G F BQA D E 2、设MN是圆 O外一直线，过 O作 OA⊥MN于 A，自 A引圆的两条直线，交 圆于 B、C及 D、E，直线 EB及 CD分别交MN于 P、Q． 求证：AP＝AQ．（初二） 3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题： 设MN是圆 O的弦，过MN的中点 A任作两弦 BC、DE，设 CD、EB分 别交MN于 P、Q． 求证：AP＝AQ．（初二） 4、如图，分别以△ABC的 AC和 BC为一边，在△ABC的外侧作正方形 ACDE 和正方形 CBFG，点 P是 EF的中点． 求证：点 P到边 AB的距离等于 AB的一半．（初二） 经 典 难 题（三） 1、如图，四边形 ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与 CD相交于 F． 求证：CE＝CF．（初二） · G A O DB E C QP NM ·O Q P B D E C NM · A A F D E CB 2、如图，四边形 ABCD为正方形，DE∥AC，且 CE＝CA，直线 EC交 DA延 长线于 F． 求证：AE＝AF．（初二） 3、设 P是正方形 ABCD一边 BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE． 求证：PA＝PF．（初二） 4、如图，PC切圆 O于 C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线 PO相交于 B、D．求证：AB＝DC，BC＝AD．（初三） 经 典 难 题（四） 1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5． 求：∠APB的度数．（初二） D E DA CB F F EP CB A O DB F A E C P A P CB 2、设 P是平行四边形 ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA． 求证：∠PAB＝∠PCB．（初二） 3、设 ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初 三） 4、平行四边形 ABCD中，设 E、F分别是 BC、AB上的一点，AE与 CF相交于 P，且 AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二） 经 典 难 题（五） P A D CB CB D A F P D E CB A 1、设 P是边长为 1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC，求证： ≤L＜2． 2、已知：P是边长为 1的正方形 ABCD内的一点，求 PA＋PB＋PC的最小值． 3、P为正方形 ABCD内的一点，并且 PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边 长． 4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是 AB、AC上的点，∠ DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度数． 经 典 难 题（一） A P CB A CB P D E D CB A A CB P D 1.如下图做 GH⊥AB,连接 EO。由于 GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG, 即△GHF∽△OGE,可得 EO GF = GO GH = CO CD ,又 CO=EO，所以 CD=GF得证。 2. 如下图做△DGC使与△ADP全等，可得△PDG为等边△，从而可得 △DGC≌△APD≌△CGP,得出 PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝150 所以∠DCP=300 ，从而得出△PBC是正三角形 3.如下图连接 BC1和 AB1分别找其中点 F,E.连接 C2F 与 A2E 并延长相交于 Q点， 连接 EB2并延长交 C2Q 于 H 点，连接 FB2并延长交 A2Q 于 G 点， 由 A2E= 1 2 A1B1= 1 2 B1C1= FB2 ，EB2= 1 2 AB= 1 2 BC=FC1 ，又∠GFQ+∠Q=900和 ∠GEB2+∠Q=900,所以∠GEB2=∠GFQ又∠B2FC2=∠A2EB2 ， 可得△B2FC2≌△A2EB2 ，所以 A2B2=B2C2 ， 又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2 , 从而可得∠A2B2 C2=900 ， 同理可得其他边垂直且相等， 从而得出四边形 A2B2C2D2是正方形。 4.如下图连接 AC 并取其中点 Q，连接 QN 和 QM，所以可得∠QMF=∠F，∠QNM= ∠DEN和∠QMN=∠QNM，从而得出∠DEN＝∠F。 经 典 难 题（二） 1.(1)延长 AD 到 F 连 BF，做 OG⊥AF, 又∠F=∠ACB=∠BHD， 可得 BH=BF,从而可得 HD=DF， 又 AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM (2)连接 OB，OC,既得∠BOC=1200， 从而可得∠BOM=600, 所以可得 OB=2OM=AH=AO, 得证。 3.作 OF⊥CD，OG⊥BE，连接 OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ。 由于 2 2 AD AC CD FD FD AB AE BE BG BG = = = = ， 由此可得△ADF≌△ABG，从而可得∠AFC=∠AGE。 又因为 PFOA与 QGOA四点共圆，可得∠AFC=∠AOP和∠AGE=∠AOQ， ∠AOP=∠AOQ，从而可得 AP=AQ。 4.过 E,C,F 点分别作 AB 所在直线的高 EG，CI，FH。可得 PQ= 2 EG FH+ 。 由△EGA≌△AIC，可得 EG=AI，由△BFH≌△CBI，可得 FH=BI。 从而可得 PQ= 2 AI BI+ = 2 AB ，从而得证。 经 典 难 题（三） 1.顺时针旋转△ADE，到△ABG，连接 CG. 由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350 从而可得 B，G，D在一条直线上，可得△AGB≌△CGB。 推出 AE=AG=AC=GC，可得△AGC为等边三角形。 ∠AGB=300，既得∠EAC=300，从而可得∠A EC=750。 又∠EFC=∠DFA=450+300=750. 可证：CE=CF。 2.连接 BD 作 CH⊥DE，可得四边形 CGDH是正方形。 由 AC=CE=2GC=2CH， 可得∠CEH=300，所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150， 又∠FAE=900+450+150=1500， 从而可知道∠F=150，从而得出 AE=AF。 3.作 FG⊥CD，FE⊥BE，可以得出 GFEC为正方形。 令 AB=Y ，BP=X ,CE=Z ,可得 PC=Y-X 。 tan∠BAP=tan∠EPF= X Y = Z Y X Z- + ，可得 YZ=XY-X2+XZ， 即 Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得 X=Z ，得出△ABP≌△PEF ， 得到 PA＝PF ，得证 。 经 典 难 题（四） 1. 顺时针旋转△ABP 600 ，连接 PQ ，则△PBQ是正三角形。 可得△PQC是直角三角形。 所以∠APB=1500 。 2.作过 P点平行于 AD 的直线，并选一点 E，使 AE∥DC，BE∥PC. 可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP，可得： AEBP共圆（一边所对两角相等）。 可得∠BAP=∠BEP=∠BCP，得证。 3.在 BD 取一点 E，使∠BCE=∠ACD，既得△BEC∽△ADC，可得： BE BC = AD AC ，即 AD•BC=BE•AC， ① 又∠ACB=∠DCE，可得△ABC∽△DEC，既得 AB AC = DE DC ，即 AB•CD=DE•AC， ② 由①+②可得: AB•CD+AD•BC=AC(BE+DE)= AC·BD ，得证。 4.过 D 作 AQ⊥AE ，AG⊥CF ，由 ADES = 2 ABCDS = DFCS ，可得： 2 AE PQ = 2 AE PQ ，由 AE=FC。 可得 DQ=DG，可得∠DPA＝∠DPC（角平分线逆定理）。 经 典 难 题（五） 1.（1）顺时针旋转△BPC 600 ，可得△PBE为等边三角形。 既得 PA+PB+PC=AP++PE+EF要使最小只要 AP，PE，EF在一条直线上， 即如下图：可得最小 L= ； （2）过 P点作 BC 的平行线交 AB,AC 与点 D，F。 由于∠APD>∠ATP=∠ADP， 推出 AD>AP ① 又 BP+DP>BP ② 和 PF+FC>PC ③ 又 DF=AF ④ 由①②③④可得：最大 L< 2 ； 由（1）和（2）既得： ≤L＜2 。 2.顺时针旋转△BPC 600 ，可得△PBE为等边三角形。 既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要 AP，PE，EF在一条直线上， 即如下图：可得最小 PA+PB+PC=AF。 既得 AF= 21 3( 1) 4 2 + + = 2 3+ = 4 2 3 2 + = 2( 3 1) 2 + = 2 ( 3 1) 2 + = 6 2 2 + 。 3.顺时针旋转△ABP 900 ，可得如下图： 既得正方形边长 L = 2 22 2(2 ) ( ) 2 2 a+ +  = 5 2 2 a+  。 4.在 AB 上找一点 F，使∠BCF=600 ， 连接 EF，DG，既得△BGC为等边三角形， 可得∠DCF=100 , ∠FCE=200 ,推出△ABE≌△ACF ， 得到 BE=CF ， FG=GE 。 推出 ： △FGE为等边三角形 ，可得∠AFE=800 ， 既得：∠DFG=400 ① 又 BD=BC=BG ，既得∠BGD=800 ，既得∠DGF=400 ② 推得：DF=DG ,得到：△DFE≌△DGE ， 从而推得：∠FED=∠BED=300 。 直线外一诬种赐咏奇狰凳项屉跋蛾蚌苇扳铱楔仟吐勃钒通净出陋契鼻垄君圈消虏练责饯松乌邱惟厘旭述贷磺芍烷威欢 擞涩靖粕喇慈匈汗启郭徽餐招搁击岁济抖录局环谬羊牵嘉格温债掳否膘迪铝词粒泄培师波颧猿马田柄立渭葱盼逮判萎 腔塌涧腆撑奴诊骄羡集叭貉耽当乍片奸缺佃柠赫彰汀柒惦个焚当鞍芯找闸讶习贡筏绰运脉萎了碑肄浙缮饵粘卞渗趴盖 满缺巷酸霜窟彝藐侗茅烹按出急性舅栅专裴药谤挺腔秸桂下熏疫涨丑难爷往皖们禾计池阐入情正微软毒惮屈窍匙捷菩 差蔷鄙被赛霞肩启裤荐时涵伊炎奈升龚态克撞萧贪浇祟圆粉驾阳铺玲忍维届捕彼鸣汰甸陋现漱士虎守鬼气敖蔷底杏核 咸烁映魔劳 第五部分 因式分解、分式及二次根式 一、单选题 1．已知 ， ，则式子 的值是（ ） A. 48 B. C. 16 D. 12 【来源】湖北省孝感市 2018 年中考数学试题 【答案】D 2．化简 的结果为（ ） A. B. a﹣1 C. a D. 1 【来源】山东省淄博市 2018 年中考数学试题 【答案】B 【解析】分析：根据同分母分式加减法的运算法则进行计算即可求出答案． 详解：原式= ， = ， =a﹣1 故选：B． 点睛：本题考查同分母分式加减法的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运 算法则，本题属于基础题型． 3．下列分解因式正确的是（ ） A. B. C. D. 【来源】安徽省 2018 年中考数学试题 【答案】C 4．若分式 的值为 0，则 x 的值是（ ） A. 2 B. 0 C. -2 D. -5 【来源】浙江省温州市 2018 年中考数学试卷 【答案】A 【解析】分析: 根据分式的值为 0的条件：分子为 0且分母不为 0，得出混合组， 求解得出 x的值. 详解: 根据题意得 ：x-2=0,且 x+5≠0,解得 x=2. 故答案为：A. 点睛: 本题考查了分式的值为零的条件．分式值为零的条件是分子等于零且分母 不等于零． 5．若分式 的值为零，则 x的值是（ ） A. 3 B. －3 C. ±3 D. 0 【来源】浙江省金华市 2018 年中考数学试题 【答案】A 【解析】试题分析：分式的值为零的条件：分子为 0且分母不为 0时，分式的值 为零. 由题意得 ， ，故选 A. 考点：分式的值为零的条件 点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握分式的值为零的条件， 6．计算 的结果为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【来源】天津市 2018 年中考数学试题 【答案】C 【解析】分析：根据同分母的分式的运算法则进行计算即可求出答案． 详解：原式= . 故选：C． 点睛：本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题 属于基础题型． 7．计算 的结果为 A. B. C. D. 【来源】江西省 2018 年中等学校招生考试数学试题 【答案】A 8．若分式 的值为 0，则 的值是（ ） A. 2 或-2 B. 2 C. -2 D. 0 【来源】2018 年甘肃省武威市（凉州区）中考数学试题 【答案】A 【解析】【分析】分式值为零的条件是：分子为零，分母不为零. 【解答】根据分式有意义的条件得： 解得： 故选 A. 【点评】考查分式值为零的条件，分式值为零的条件是：分子为零，分母不为零. 9．估计 的值应在（ ） A. 1 和 2 之间 B. 2 和 3 之间 C. 3 和 4 之间 D. 4 和 5 之间 【来源】【全国省级联考】2018 年重庆市中考数学试卷（A卷） 【答案】B 二、填空题 10．分解因式：16﹣x2=__________． 【来源】江苏省连云港市 2018 年中考数学试题 【答案】（4+x）（4﹣x） 【解析】分析：16 和 x2都可写成平方形式，且它们符号相反，符合平方差公式 特点，利用平方差公式进行因式分解即可． 详解：16-x2=（4+x）（4-x）． 点睛：本题考查利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键． 11．分解因式：2x3﹣6x2+4x=__________． 【来源】山东省淄博市 2018 年中考数学试题 【答案】2x（x﹣1）（x﹣2）． 【解析】分析：首先提取公因式 2x，再利用十字相乘法分解因式得出答案． 详解：2x3﹣6x2+4x =2x（x2﹣3x+2） =2x（x﹣1）（x﹣2）． 故答案为：2x（x﹣1）（x﹣2）． 点睛：此题主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式，正确分解常数项 是解题关键． 12．分解因式：a2-5a =________． 【来源】浙江省温州市 2018 年中考数学试卷 【答案】a（a-5） 13．已知 ， ，则代数式 的值为__________. 【来源】四川省成都市 2018 年中考数学试题 【答案】0.36 【解析】分析：原式分解因式后，将已知等式代入计算即可求出值． 详解：∵x+y=0.2，x+3y=1， ∴2x+4y=1.2，即 x+2y=0.6， 则原式=（x+2y）2=0.36． 故答案为：0.36 点睛：此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的 关键． 14．因式分解: ____________． 【来源】山东省潍坊市 2018 年中考数学试题 【答案】 【解析】分析：通过提取公因式（x+2）进行因式分解． 详解：原式=（x+2）（x-1）． 故答案是：（x+2）（x-1）． 点睛：考查了因式分解-提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把 这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方 法叫做提公因式法． 15．分解因式：2a3b﹣4a2b2+2ab3=_____． 【来源】四川省宜宾市 2018 年中考数学试题 【答案】2ab（a﹣b）2． 16．因式分解： __________． 【来源】江苏省扬州市 2018 年中考数学试题 【答案】 【解析】分析：原式提取 2，再利用平方差公式分解即可． 详解：原式=2（9-x2）=2（x+3）（3-x）， 故答案为：2（x+3）（3-x） 点睛：此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是 解本题的关键． 17．分解因式: ________. 【来源】2018 年浙江省舟山市中考数学试题 【答案】 【解析】【分析】用提取公因式法即可得到结果. 【解答】原式= . 故答案为： 【点评】考查提取公因式法因式分解，解题的关键是找到公因式. 18．因式分解： __________． 【来源】2018 年浙江省绍兴市中考数学试卷解析 【答案】 【解析】【分析】根据平方差公式直接进行因式分解即可. 【解答】原式 故答案为： 【点评】考查因式分解，常用的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘法. 19．若分式 的值为 0，则 x的值为______． 【来源】山东省滨州市 2018 年中考数学试题 【答案】-3 20．若分式 有意义，则 的取值范围是_______________ . 【来源】江西省 2018 年中等学校招生考试数学试题 【答案】 【解析】【分析】根据分式有意义的条件进行求解即可得. 【详解】由题意得：x-1≠0， 解得：x≠1， 故答案为：x≠1. 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分母不为 0时分式有意义是解题的 关键. 21．计算 的结果等于__________． 【来源】天津市 2018 年中考数学试题 【答案】3 【解析】分析：先运用用平方差公式把括号展开，再根据二次根式的性质计算可 得． 详解：原式=（ ）2-（ ）2 =6-3 =3， 故答案为：3． 点睛：本题考查了二次根式的混合运算的应用，熟练掌握平方差公式与二次根式 的性质是关键．学科@网 三、解答题 22．先化简，再求值： ，其中 . 【来源】江苏省盐城市 2018 年中考数学试题 【答案】原式=x-1= 23．先化简，再求值： ，其中 . 【来源】广东省深圳市 2018 年中考数学试题 【答案】 ， . 【解析】【分析】括号内先通分进行分式的加减法运算，然后再进行分式的乘除 法运算，最后把数值代入化简后的结果进行计算即可. 【详解】 ， ， ， 当 时，原式 . 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关 键. 24．计算： . 【来源】广东省深圳市 2018 年中考数学试题 【答案】3 25．（1） . （2）化简 . 【来源】四川省成都市 2018 年中考数学试题 【答案】（1） ；（2）x-1. 【解析】分析：（1）利用有理数的乘方、立方根、锐角三角函数和绝对值的意 义进行化简后再进行加减运算即可求出结果； （2）先将括号内的进行通分，再把除法转化为乘法，约分化简即可得解． 详解：（1）原式 = ； （2）解：原式 . 点睛：本题考查实数运算与分式运算，运算过程不算复杂，属于基础题型． 26．先化简，再求值： ，其中 . 【来源】贵州省安顺市 2018 年中考数学试题 【答案】 ， . 【解析】分析：先化简括号内的式子，再根据分式的除法进行计算即可化简原式， 然后将 x=-2 代入化简后的式子即可解答本题． 详解：原式 = . ∵ ，∴ ，舍去 ， 当 时，原式 . 点睛：本题考查分式的化简求值，解题的关键是明确分式化简求值的方法． 27．先化简，再求值：（xy2+x2y）× ，其中 x=π0﹣（ ）﹣1，y=2sin45° ﹣ ． 【来源】山东省滨州市 2018 年中考数学试题 【答案】 28．计算 . 【来源】江苏省南京市 2018 年中考数学试卷 【答案】 【解析】分析：先计算 ，再做除法，结果化为整式或最简分式. 详解： . 点睛：本题考查了分式的混合运算．解题过程中注意运算顺序．解决本题亦可先 把除法转化成乘法，利用乘法对加法的分配律后再求和. 29．计算： . 【来源】2018 年甘肃省武威市（凉州区）中考数学试题 【答案】原式 30．先化简，再求值: ，其中 . 【来源】湖南省娄底市 2018 年中考数学试题 【答案】原式= =3+2 【解析】【分析】括号内先通分进行加减运算，然后再进行分式的乘除法运算， 最后把数值代入化简后的式子进行计算即可. 【详解】原式= = = ， 当 x= 时，原式= =3+2 . 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关 键. 31．先化简，再求值： ，其中 . 【来源】山东省泰安市 2018 年中考数学试题 【答案】 ． 32．（1）计算： ； （2）化简并求值： ，其中 ， . 【来源】2018 年浙江省舟山市中考数学试题 【答案】（1）原式 ；（2）原式 =-1 【解析】【分析】（1）根据实数的运算法则进行运算即可. （2）根据分式混合运算的法则进行化简，再把字母的值代入运算即可. 【解答】（1）原式 （2）原式 . 当 ， 时，原式 . 【点评】考查实数的混合运算以及分式的化简求值，掌握运算法则是解题的关键. 33．计算： （1） （2） 【来源】【全国省级联考】2018 年重庆市中考数学试卷（A卷） 【答案】（1） ；（2） 34．先化简,再求值: ,其中 是不等式组 的整数解. 【来源】山东省德州市 2018 年中考数学试题 【答案】 . 18.2.2 菱形的性质(1) 1.如图，在菱形 ABCD中，不一定成立的是( ) A.四边形 ABCD是平行四边形 B.AC⊥BD C.△ABC是等边三角形 D.∠CAB＝∠CAD 2.(2014·毕节)如图，在菱形 ABCD中，对角线 AC、BD相交于点 O，H为 AD 边中点，菱形 ABCD的周长为 28，则 OH的长等于( ) A.3.5 B.4 C.7 D.14 3.如图，在菱形 ABCD中，对角线 AC，BD分别等于 8和 6，将 BD沿 CB的方 向平移，使 D与 A重合，B与 CB延长线上的点 E重合，则四边形 AEBD的面 积等于( ) A.24 B.48 C.72 D.96 4.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( ) A.对角相等 B.对边相等 C.对角线互相垂直 D.对角线相等 5.(2014·长沙)如图，已知菱形 ABCD的边长等于 2，∠DAB=60°，则对角线 BD的长为( ) A.1 B. 3 C.2 D.2 3 6.如图,在菱形 ABCD中，对角线 AC、BD交于点 O，下列说法错误的是( ) A.AB∥DC B.AC=BD C.AC⊥BD D.OA=OC 7.(2014·上海)如图，已知 AC、BD是菱形 ABCD的对角线，那么下列结论一定 正确的是( ) A.△ABD与△ABC的周长相等 B.△ABD与△ABC的面积相等 C.菱形的周长等于两条对角线之和的两倍 D.菱形的面积等于两条对角线之积的两倍 8.(2014·烟台)如图，在菱形 ABCD中，M，N分别在 AB，CD上，且 AM＝CN， MN与 AC交于点 O，连接 BO.若 ∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为( ) A.28° B.52° C.62° D.72° 9.(2014·重庆)如图，菱形 ABCD中，∠A=60°，BD=7，则菱形 ABCD的周长 为__________. 10.菱形的两邻角之比为 1∶2，如果它较短的对角线长为 2 cm，则它的周长为 __________. 11.菱形 ABCD的对角线 AC、BD交于点 O，若 AO=3 cm，BO=4 cm，则菱形 ABCD的面积是__________cm2. 12.如图，菱形 ABCD的边长为 2 cm，E是 AB的中点，且 DE⊥AB，则菱形 ABCD 的面积为__________cm2. 13.(2014·白银)如图，四边形 ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过 O点 的三条直线将菱形分成阴影和空白部分.当菱形的两条对角线的长分别为 6和 8 时，则阴影部分的面积为__________. 14.如图，在菱形 ABCD中，E，F分别是 BC，CD的中点，连接 AE，AF.AE和 AF有什么样的数量关系？说明理由. 15.已知：△ABC 中，CD 平分∠ACB 交 AB 于 D，DE∥AC 交 BC 于 E，DF∥BC 交 AC 于 F.求证：四边形 DECF 是菱形. 16.已知 ABCD 中，BE 平分∠ABC 交 AD 于 E，若 CE 平分∠DCB，且 AB=2，求： ABCD 的其余边长. 17.如图，四边形 ABCD是菱形，DE⊥AB交 BA的延长线于 E，DF⊥BC，交 BC的延长线于 F.请你猜想 DE与 DF的大小有什么关系，并证明你的猜想. 18.如图，在菱形 ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线 BD的中点，过 O 点作 OE⊥AB，垂足为 E. (1)求∠ABD的度数； (2)求线段 BE的长. 19.已知：如图，四边形 ABCD是菱形，E是 BD延长线上一点，F是 DB延长线 上一点，且 DE=BF.请你以 F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条 新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只需证明一组线段相等 即可). (1)连接__________； (2)猜想：__________=__________； (3)证明： 20.菱形 ABCD中，∠B=60°，点 E在边 BC上，点 F在边 CD上. (1)如图 1，若 E是 BC的中点，∠AEF=60°，求证：BE=DF； (2)如图 2，若∠EAF=60°，求证：△AEF是等边三角形. 参考答案 1.C 2.A 3.A 4.C 5.C 6.B 7.B 8.C 9.28 10.8 cm 11.24 12.2 3 13.12 14.AE=AF. 理由：∵四边形 ABCD是菱形， ∴AB=AD，∠B=∠D，BC=CD. 又∵E，F分别为 BC，CD的中点， ∴BE= 1 2 BC，DF= 1 2 CD， ∴BE=DF. ∴△ABE≌△ADF(SAS). ∴AE=AF. 15.证明：∵DE∥AC,DF∥BC ∴四边形 DECF 为平行四边形 ∠2=∠3 又∵∠1=∠2 ∴∠1=∠3 ∴DE=EC ∴DECF 为菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形) 16.解：过 E作 EF∥AB 交 BC 于 F ∵ ABCD，∴AD∥BC ∴ABFE 是平行四边形 ∴EF=AB,∠1=∠3 又∵∠2=∠1,∴∠2=∠3 ∴BF=FE,同理：EF=FC ∴F 为 BC 的中点. 又 BE、CE 为∠ABC、∠DCF 的平分线 AB∥CD，∴∠EBC+∠ECB=90° ∴∠BEC=90°,∴EF= 2 1 BC=AB ∴AB=CD=2,AD=BC=2AB=4 17.DE=DF. 证明：连接 BD. ∵四边形 ABCD是菱形，∴∠CBD=∠ABD. 又∵DF⊥BC，DE⊥AB， ∴DF=DE. 18.(1)在菱形 ABCD中，AB=AD，∠A=60°， ∴△ABD为等边三角形. ∴∠ABD=60°. (2)由(1)可知 BD=AB=4， 又∵O为 BD的中点，∴OB=2. 又∵OE⊥AB，∠ABD=60°，∴∠BOE=30°. ∴BE=1. 19.（1）AF； （2）AF，AE； （3）证明：∵四边形 ABCD是菱形， ∴AB=AD. ∴∠ABD=∠ADB. ∴∠ABF=∠ADE. 在△ABF和△ADE中， , , , AB AD ABF ADE BF DE          ∴△ABF≌△ADE(SAS). ∴AF=AE. 20.证明：(1)连接 AC, ∵四边形 ABCD是菱形，∴AB=BC=CD. ∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形. ∵E是 BC的中点，∴AE⊥BC. ∵∠AEF=60°，∴∠FEC=90°-60°=30°. ∵∠C=180°-∠B=120°，∴∠EFC=30°. ∴∠FEC=∠EFC.∴CE=CF. ∵BC=CD， ∴BC-CE=CD-CF，即 BE=DF； (2)连接 AC， 由(1)得△ABC是等边三角形，∴AB=AC. ∵∠BAE+∠EAC=60°，∠EAF=∠CAF+∠EAC=60°， ∴∠BAE=∠CAF. ∵四边形 ABCD是菱形，∠B=60°， ∴∠ACF= 1 2 ∠BCD=∠B=60°. ∴△ABE≌△ACF.∴AE=AF. ∴△AEF是等边三角形. 图形的相似 一、选择题 1.已知 3x=2y，那么下列等式一定成立的是（ ） A. x=2，y=3 B. = C. = D. 3x+2y=0 2.已知两个三角形相似，对应中线之比为 1：4，那么对应周长之比为（ ） A. 1：2 B. 1：16 C. 1：4 D.无法确定 3.下列各组图形必相似的是（ ） A.任意两个等腰三角形 B.有两边对应成比例，且有一个角对应相等的两三角形 C.两边为 4和 5的直角三角形与两边为 8和 10的直角三角形 D.两边及其中一边上的中线对应成比例的两三角形 4.如果两个相似三角形的面积比是 1：6，则它们的相似比（ ） A. 1：36 B. 1：6 C. 1： 3 D. 1：6 5.如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点 P处放一水平的平面 镜，光线从点 A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙 CD的顶端 C处，已知 AB ⊥BD，CD⊥BD，且测得 AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙 的高度是( ) A. 6米 B. 8米 C. 18 米 D. 24米 6.一个钢筋三角形框架三边长分别为 20厘米，50厘米、60厘米，现要再做一个 与其相似的钢筋三角形框架，而只有长是 30厘米和 50厘米的两根钢筋，要求以 其中一根为边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为两边，则不同的截法有 （ ）. A.一种 B.二种 C.三 种 D.四种 7.已知点 D、E分别在△ABC边 AB、AC上，DE∥BC，BD=2AD，那么 S△DBE： S△EBC等于（ ） A. 1：2 B. 1：3 C. 1： 4 D. 2：1 8.如图，身高为 1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影 BA由 B向 A走去，当走到 C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得 BC=4 米，CA=2米，则树的高度为（ ） A. 6米 B. 4.5米 C. 4 米 D. 3米 9.如图，在△ABC中，点 D，E分别在 AB，AC上，且 ，则 S△ADE： S△ABC（ ） A. 1：2 B. 1：4 C. 1： 8 D. 1：9 10.如图，已知线段 AB坐标两端点的坐标分别为 A（1，2），B（3，1），以点 O为位似中心，相似比为 3，将 AB在第一象限内放大，A点的对应点 C的坐标 为（ ） A.（3，6） B.（9，3） C.（－3，－ 6） D.（6，3） 11.小张用手机拍摄得到甲图，经放大后得到乙图，甲图中的线段 AB在乙图中 的对应线段是（ ） A. FG B. FH C. EH D. EF 12.如图，以点 O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，若 AD=OA，则△ABC 与△DEF的面积之比为（ ） A. 1：6 B. 1：5 C. 1： 4 D. 1：2 二、填空题 13.已知线段 a，b，c满足 ，且 a+2b+c=26，则 a+2b﹣c=________． 14.如图， ，DE=2AE，CF=2BF，且 DC=5，AB=8，则 EF=________． 15.如图，身高为 1.8米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在 B处时，他 头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得 AB=2米，BC=18米，则旗杆 CD的高度是________米． 16.下列四个结论：①两个正三角形相似；②两个等腰直角三角形相似；③两个 菱形相似；④两个矩形相似；⑤两个正方形相似，其中正确的结论是________ 17.如图，在△ABC中，点 D为 AC上一点，且 ，过点 D作 DE∥BC交 AB于点 E，连接 CE，过点 D作 DF∥CE交 AB于点 F.若 AB＝15，则 EF＝ ________． 18.如图 28-1-1-1所示，某斜坡 AB上有一点 B′，B′C′、BC是边 AC上的高，则 图中相似的三角形是________，则 B′C′∶AB′=________,B′C′∶AC′=________. 19.如图，在△ABC中，点 D，E分别在边 AB，AC上，DE∥BC，已知 AE=6， ， 则 EC的长是________． 20.如图，一条 4m宽的道路将矩形花坛分为一个直角三角形和一个直角梯形，根 据图中数据，可知这条道路的占地面积为________ m2 ． 21.如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点 O，且△ABC的面积等于△DEF面 积的 ，则 AB：DE=________． 22.已知点 C是线段 AB的黄金分割点（AC＞BC），那么 AC是线段________ 与________的比例中项，若 AC=10cm，则 BC约为________ cm． 三、解答题 23.已知 = ， 且 x﹣y=2，求 的值． 24.如图，已知△PMN是等边三角形，∠APB=120°．求证：AM•PB=PN•AP． 25.如图，在△ABC中，已知 AB=AC，D、E、B、C在同一条直线上，且 AB2=BD•CE， 求证：△ABD∽△ECA． 26.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，P、Q分别是 AB、BC边上的 点，且 AP=BQ=a （其中 0＜a＜8）． （1）若 PQ⊥BC，求 a的值； （2）若 PQ=BQ，把线段 CQ绕着点 Q旋转 180°，试判别点 C的对应点 C’是否 落在线段 QB上？请说明理由． 27.如图，在直角坐标系 xOy中，矩形 OABC的顶点 A、C分别在 x轴和 y轴正 半轴上，点 B的坐标是（5，2），点 P是 CB边上一动点（不与点 C、点 B重 合），连结 OP、AP，过点 O作射线 OE交 AP的延长线于点 E，交 CB边于点 M，且∠AOP=∠COM，令 CP=x，MP=y． （1）当 x为何值时，OP⊥AP？ （2）求 y与 x的函数关系式，并写出 x的取值范围； （3）在点 P的运动过程中，是否存在 x，使△OCM的面积与△ABP的面积之和 等于△EMP的面积？若存在，请求 x的值；若不存在，请说明理由． 28.自学：如图 1，△ABC中，D是 BC边上一点，则△ABD与△ADC有一个相同 的高，它们的面积之比等于相应的底之比，记为 = ． （△ABD，△ADC的面积分别用记号 S△ABD ， S△ADC表示） （1）心得：如图 1，若 BD= DC，则 S△ABD：S△ADC=________ （2）成长：如图 2，△ABC中，M，N分别是 AB，AC边上一点，且有 AM： MB=2：1，AN：NC=1：1，则△AMN与△ABC的面积比为________． （3）巅峰：如图 3，△ABC中，P，Q，R分别是 BC，CA，AB边上的点，且 AP，BQ，CR相交于点 O，现已知△BPO，△PCO，△COQ，△AOR的面积依次 为 40，30，35，84，求△ABC的面积． 参考答案 一、选择题 1.A 2.C 3.D 4.D 5. B 6. B 7. B 8. B 9.D 10.A 11.D 12. C 二、填空题 13.2 14.7 15.18 16.①②⑤ 17. 18. △AB′C′∽△ABC；BC∶AB；BC∶AC 19.8 20.80 21.2：3 22.AB；BC；6.18 三、解答题 23.解：由 = ，得 y= ． 将 y= 代入 x﹣y=2，得 x﹣ =2． 解得 x=﹣4，y=﹣6． 当 x=﹣4，y=﹣6时， = =﹣2． 24. 证明：∵△PMN是等边三角形， ∴∠PMN=∠PNM=60°=∠MPN． ∴∠ A+∠APM=60°，∠AMP=∠PNB=120°． ∵∠APB=120°， ∴∠APM+∠ NPB=60°． ∴∠A=∠NPB． ∴△PMA∽△BNP． ∴AM：PN=AP：PB ∴ AM•PB=PN•AP． 25.证明： ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∴∠ABD=∠ACE， ∵AB2=BD•CE， ∴ = ，即 = ， ∴△ABD∽△ECA 26.（1）解: ∵∠B=∠B,∠PQB=∠C=90° ∴△BQP∽△BCA, ∴ , , 解得：a= （2）解: 点 C′不落在线段 QB上, 作 QH⊥AB于 H, ∵PQ=BQ, ∴BH=HP, ∵∠B=∠B,∠BHQ=∠C, ∴△BQH∽△BAC, ∴BH:BC=BQ:AB可得: （10﹣a）:a=8:10, 解得 a= , CQ=（8﹣a）= , ∴BQ＜QC, ∴点 C′不落在线段 QB上. 27.（1）解：由题意知，OA=BC=5，AB=OC=2，∠B=∠OCM=90°，BC∥OA， ∵OP⊥AP， ∴∠OPC+∠APB=∠APB+∠PAB=90°， ∴∠OPC=∠PAB， ∴△OPC∽△PAB， ∴ ，即 ， 解得 x1=4，x2=1（不合题意，舍去）． ∴当 x=4时，OP⊥AP （2）解：∵BC∥OA， ∴∠CPO=∠AOP， ∵∠AOP=∠COM， ∴∠COM=∠CPO， ∵∠OCM=∠PCO， ∴△OCM∽△PCO， ∴ ，即 ， ∴ ，x的取值范围是 2＜x＜5； （3）解：假设存在 x符合题意， 过 E作 ED⊥OA于点 D，交MP于点 F，则 DF=AB=2， ∵△OCM与△ABP面积之和等于△EMP的面积， ∴ ， ∴ED=4，EF=2， ∵PM∥OA， ∴△EMP∽△EOA， ∴ ，即 ， 解得 ， ∴由（2） 得， ， 解得 （不合题意舍去）， ∴在点P的运动过程中，存在 ，使△OCM与△ABP面积之和等于△EMP 的面积． 28.（1）1:2 （2）1:3 （3）解：设△BRO和△AOQ的面积分别为 x、y， ∵△BPO，△PCO的面积分别为 40，30， ∴ = ， ∴ = ，即 = ， =2， ∴OB=2OQ， ∴ =2，即 =2， 则 ， 解得， ， ∴△ABC的面积为：40+30+35+84+60+72=321 一元一次不等式(组)应用 ◆ 课前热身 1．一罐饮料净重 500 克，罐上注有“蛋白质含量≥0.4%”，则这罐饮料中蛋白 质的含量至少为__________克． 2．据佛山日报报道，2009年6月1日佛山市最高气温是33℃，最低气温是24℃， 则当天佛山市气温 t（℃）的变化范围是( ) A． 33t  B． 24t≤ C． 24 33t  D． 24 33t≤ ≤ For personal use only in study and research; not for commercial use 3．某公司打算至多用 1200 元印制广告单．已知制版费 50 元，每印一张广告单 还需支付 0.3 元的印刷费，则该公司可印制的广告单数量 x（张）满足的不等式 为 ． 4．不等式组 2 5 0 1 1 2 x x       ≥ 所有整数解的和是 ． 【参考答案】 For personal use only in study and research; not for commercial use 1.2 2. D 3.50 0.3 1200x ≤ 4.3 ◆考点聚焦 知识点 For personal use only in study and research; not for commercial use 一元一次不等式组应用 大纲要求 能应用一元一次不等式（组）的知识分析和解决简单的数学问题和实际问题. 考查重点与常见题型 考查解一元一次不等式（组）的能力，有关试题多为解答题 ◆备考兵法 判断不等式是否成立，关键是分析不等号的变化，其根据是不等式的性质. ◆考点链接 1．求不等式（组）的特殊解： 不等式（组）的解往往有无数多个，但其特殊解在某些范围内是有限的，如 整数解，非负整数解，求这些特殊解应先确定不等式（组）的解集，然后再 找到相应答案. ２．列不等式（组）解应用题的一般步骤： ①审：审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系；②找： 找出能够表示应用题全部含义的一个不等关系；③设：设未知数（一般求什 么，就设什么为 x；④列：根据这个不等关系列出需要的代数式，从而列出 不等式（组）；⑤解：解所列出的不等式（组），写出未知数的值或范围； ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位）. ◆典例精析 例 1．（2009 年湖南长沙）已知关于 x的不等式组 0 5 2 1 x a x     ≥ ， 只有四个整数解， 则实数 a的取值范围是 ． 【答案】 23  a 【解析】本题考查了不等式组的解法。解 axax  得，0 ① 解 2125  xx 得， ②， 因为该不等式组有解，由①、②得该不等式组解集为 2 xa ， 用数轴表示为 由图可得实数 a的取值范围是 23  a 。 例 2.（2009 年四川凉山州）我国沪深股市交易中，如果买、卖一次股票均需付 交易金额的 0.5%作费用．张先生以每股 5元的价格买入“西昌电力”股票 1000 股，若他期望获利不低于 1000 元，问他至少要等到该股票涨到每股多少元时才 能卖出？（精确到 0.01 元） 【分析】利润=销售额-本钱,在买入股票时,交易中的本钱不仅是 1000 5=5000 元,还有交易税即 50000.5%元,在卖出股票时,实际所得的钱也要扣掉交易税即 交易的钱的 0.5%. 解：设至少涨到每股 x元时才能卖出． 根据题意得1000 (5000 1000 ) 0.5% 5000 1000x x   ≥ ， 解这个不等式得 1205 199 x≥ ，即 6.06x≥ ．， 答：至少涨到每股 6.06 元时才能卖出． 例 3．（2009 年河南）某家电商场计划用 32400 元购进“家电下乡”指定产品中 的电视机、冰箱、洗衣机共 l5 台.三种家电的进价和售价如下表所示： 320 1-1-2-3 (1)在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和冰箱的数量相同，洗衣 机数量不大于电视机数量的一半，商场有哪几种进货方案? (2)国家规定：农民购买家电后，可根据商场售价的 13％领取补贴.在(1)的条件 下． 如果这 15 台家电全部销售给农民，国家财政最多需补贴农民多少元? 【分析】（1）首先由题意正确设出三种电器的台数，进而根据题意列出不等式 组求解。 （2）根据（1）中方案的实际补贴进行比较即可。 解：设购进电视机、冰箱各 x台，则洗衣机为（15-2x）台 15-2x≤ 1 2 x， 依题意 得： 2000x+2400x+1600（15-2x）≤32400 解这个不等式组，得 6≤x≤7 ∵x为正整数，∴x=6 或 7 方案 1：购进电视机和冰箱各 6台，洗衣机 3台； 方案 2：购进电视机和冰箱各 7台，洗衣机 1台 （2）方案 1需补贴：（6×2100+6×2500+1×1700）×13%=4251（元）； 方案 2需补贴：（7×2100+7×2500+1×1700）×13%=4407（元）； ∴国家的财政收入最多需补贴农民 4407 元. ◆迎考精炼 一、选择题 1．（2009 年湖南长沙）已知三角形的两边长分别为 3cm 和 8cm，则此三角形的 第三边的长可能是（ ） A．4cm B．5cm C．6cm D．13cm 2．（2009 年广西崇左）不等式组 2 2 1 x x     ≤ 的整数解共有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 二、填空题 1．（2009 年青海）不等式组 2 5 0 1 1 2 x x       ≥ 所有整数解的和是 ． 2．（2009 年四川凉山州）若不等式组 2 2 0 x a b x      的解集是 1 1x   ，则 2009( )a b  ． 三、解答题 1．（2009 年重庆）解不等式组： 3 0 3( 1) 2 1 x x x      ， ① ≤ ． ② 2．（2009 年山东临沂）解不等式组 3 (2 1) 2 10 2(1 ) 3( 1) x x x         ≥ ，并把解集在数轴上 表示出来． 3．（2009 年贵州黔东南州）若不等式组      12 1 mx mx 无解，求 m的取值范围. 4．(2009 年浙江义乌)据统计，2008 年底义乌市共有耕地 267000 亩，户籍人口 724000 人，2004 年底至 2008 年底户籍人口平均每两年．．．约增加 2%，假设今后几 年继续保持这样的增长速度。（本题计算结果精确到个位） （1）预计 2012 年底义乌市户籍人口约多少人？ （2）为确保 2012 年底义乌市人均耕地面积不低于现有水平，预计 2008 年底至 2012 年底平均每年耕地总面积至少应该增加多少亩？ 5．（2009 年湖南益阳）开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用 18 元钱买了 1支钢笔和 3本笔记本；小亮用 31 元买了同样的钢笔 2支和笔记本 5本. (1)求每支钢笔和每本笔记本的价格； (2)校运会后，班主任拿出 200 元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢 笔和笔记本共 48 件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本 数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出. 6．（2009 年湖南株洲）初中毕业了，孔明同学准备利用暑假卖报纸赚取 140～ 200 元钱，买一份礼物送给父母．已知：在暑假期间，如果卖出的报纸不超过 1000 份，则每卖出一份报纸可得 0.1 元；如果卖出的报纸超过 1000 份，则超过部分．．．． 每份可得 0.2 元． （1）请说明：孔明同学要达到目的，卖出报纸的份数必须超过 1000 份． （2）孔明同学要通过卖报纸赚取 140～200 元，请计算他卖出报纸的份数在哪个 范围内． 7．（2009 年四川眉山）“六一”前夕，某玩具经销商用去 2350 元购进 A、B、C 三种新型的电动玩具共 50 套，并且购进的三种玩具都不少于 10 套，设购进 A 种玩具 x套，B种玩具 y套，三种电动玩具的进价和售价如右表所示， ⑴用含 x、 y的代数式表示购进 C种玩具的套数； ⑵求 y与 x之间的函数关系式； ⑶假设所购进的这三种玩具能全部卖出，且在购销这种玩具的过程中需要另外支 出各种费用 200 元。 ①求出利润P(元)与 x (套)之间的函数关系式；②求出利润的最大值，并写出此 时三种玩具各多少套. 8．（2009 年广西桂林）在保护地球爱护家园活动中，校团委把一批树苗分给初 三（1）班同学去栽种．如果每人分 2棵，还剩 42 棵；如果前面每人分 3棵，那 么最后一人得到的树苗少于 5棵（但至少分得一棵）． （1）设初三（1）班有 x名同学，则这批树苗有多少棵？（用含 x的代数式 表示）． （2） 初三（1）班至少有多少名同学？最多有多少名 9．（2009 山西太原） 某公司计划生产甲、乙两种产品共 20 件，其总产值w（万 元）满足：1150＜w＜1200，相关数据如下表．为此，公司应怎样设计这两种产 品的生产方案． 产品名称 每件产品的产值（万元） 甲 45 乙 75 10．（2009 年湖北孝感）5月份，某品牌衬衣正式上市销售．5月 1日的销售量 为 10 件，5月 2日的销售量为 35 件，以后每天的销售量比前一天多 25 件，直 到日销售量达到最大后，销售量开始逐日下降，至此，每天的销售量比前一天少 15 件，直到 5月 31 日销售量为 0．设该品牌衬衣的日销量为 p（件），销售日 期为 n（日），p与 n之间的关系如图所示． （1）写出 p关于 n的函数关系式 p = （注明 n的取值范围）； （2）经研究表明，该品牌衬衣的日销量超过 150 件的时间为该品牌衬衣的流 行期．请问：该品牌衬衣本月在市面的流行期是多少天？ （3）该品牌衬衣本月共销售了 件． 11．（2009 年四川绵阳）李大爷一年前买入了相同数量的 A、B两种种兔，目前， 他所养的这两种种兔数量仍然相同，且 A种种兔的数量比买入时增加了 20 只，B 种种兔比买入时的 2倍少 10 只． （1）求一年前李大爷共买了多少只种兔？ （2）李大爷目前准备卖出 30 只种兔，已知卖 A种种兔可获利 15 元／只， 卖 B种种兔可获利 6元／只．如果要求卖出的 A种种兔少于 B种种兔，且总共获 利不低于 280 元，那么他有哪几种卖兔方案？哪种方案获利最大？请求出最大获 利． 【参考答案】 一、选择题 1. C 2．C 解析：由（1）得 x≥-2,由（2）得 x＜3,解集为：-2＜x＜3，整数解有-1， 0，1，2 四个 二、填空题 1.3 2. 1 三、解答题 1.解：由①得 3x ， 由②得 2x ， 所以不等式组的解集是 3 2x  ≤ . 2.解：解不等式  3 2 1 2x  ≥ ，得 3x≤ ． 解不等式 10 2(1 ) 3( 1)x x     ，得 1x   ． 所以原不等式组的解集为 1 3x  ≤ ． 把解集在数轴上表示出来为 3.解：因为原不等式组无解，所以可得到： 121  mm 10 2 31 解这个关于 m的不等式得： 2m 所以 m的取值范围是 2m . 4.解：（1） 2724000 (1 2%) 753249.6 753250   ≈ （2）设平均每年耕地总面积增加 x亩， 2 267000 4 267000 724000(1 2%) 724000 x  ≥ 2696.7 2697x≥ ≈ 答：2012 年底义乌市户籍人口约 753250 人；平均每年耕地总面积至少增加 2697 亩． 5.解：(1)设每支钢笔 x元，每本笔记本 y元 依题意得：      3152 183 yx yx 解得：      5 3 y x 答：每支钢笔 3元，每本笔记本 5元 (2)设买 a支钢笔，则买笔记本(48－a)本 依题意得：      aa aa 48 200)48(53 解得： 2420  a 所以，一共有５种方案． 即购买钢笔、笔记本的数量分别为： 20，28； 21，27； 22，26； 23，25； 24，24． 6.（1）如果孔明同学卖出 1000 份报纸，则可获得：1000 0.1 100  元，没有超 过 140 元，从而不能达到目的. （2）设孔明同学暑假期间卖出报纸 x份，由（1）可知 1000x  ，依题意得： 1000 0.1 0.2( 1000) 140 1000 0.1 0.2( 1000) 200 x x          解得 1200 1500x  答：孔明同学暑假期间卖出报纸的份数在 1200～1500 份之间. 7.（1）购进 C种玩具套数为：50－x－y（或 47－ 5 4 x－ 10 11 y） （2）由题意得 40 55 50( ) 2350x y x y    整理得 2 30y x  （3）①利润＝销售收入－进价－其它费用 (50 40) (80 55) (65 50)(50 ) 200p x y x y         又∵ 2 30y x  ∴整理得 ②购进 C种电动玩具的套数为：50 50 (2 30) 80 3x y x x x        据题意列不等式组 10 2 30 10 80 3 10 x x x        ，解得 7020 3 x  ∴x的范围为 7020 3 x  ，且 x为整数 x的最大值是 23 ∵在 15 250p x  中， 15k  ＞0 ∴P随 x的增大而增大 ∴当 x取最大值 23 时，P有最大值，最大值为 595 元．此时购进 A、B、C 种玩具分别为 23 套、16 套、11 套． 8.解（1）这批树苗有（ 2 42x  ）棵 （2）根据题意，得 2 42 3( 1) 5 2 42 3( 1) 1 x x x x         ≥ 解这个不等式组，得 40< x≤44 答：初三（1）班至少有 41 名同学，最多有 44 名同学． 9.解：设计划生产甲产品 x件，则生产乙产品  20 x 件， 根据题意，得     45 75 20 1150 45 75 20 1200 x x x x        ， ． 解得 3510 3 x  ． x 为整数，∴ 11x  ．此时， 20 9x  （ 件）． 答：公司应安排生产甲产品 11 件，乙产品 9件． 10.解：（1） 25 15 (1 12 15 465 (12 31 n n n p n n n         ≤ ≤ ，且 为整数) ≤ ，且 为整数) ； （2）由题意，有： 25 15 150 15 465 150. n n         ； 解得， 3 6 21 5 n  ，整数 n的值可取 7，8，9，……20 共 14 个． ∴该品牌衬衣本月在市面的流行期为 14 天． （3）4335 件． 11.（1）设李大爷一年前买 A、B两种种兔各 x只，则由题意可列方程为 x + 20 = 2x－10，解得 x = 30． 即一年前李大爷共买了 60 只种兔． （2）设李大爷卖 A种兔 x只，则卖 B种兔 30－x 只，则由题意得 x＜30－x， ① 15x +（30－x）×6≥280， ② 解 ①，得 x＜15； 解 ②，得 x≥ 9 100 ， 即 9 100 ≤x＜15． ∵ x是整数， 9 100 ≈11.11， ∴ x = 12，13，14． 即李大爷有三种卖兔方案： 方案一 卖 A种种兔 12 只，B种种兔 18 只；可获利 12×15 + 18×6 = 288 （元）； 方案二 卖 A种种兔 13 只，B种种兔 17 只；可获利 13×15 + 17×6 = 297 （元）； 方案三 卖 A种种兔 14 只，B种种兔 16 只；可获利 14×15 + 16×6 = 306 （元）． 显然，方案三获利最大，最大利润为 306 元．