中考数学压轴题十大类型经典题

中考数学压轴题十大类型经典题

1 （2011 吉林）如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠BAD=90°，CE⊥AD 于点 E，AD=8cm，BC=4cm， AB=5cm．从初始时刻开始，动点 P，Q 分别从点 A，B 同时出发，运动速度均为 1cm/s，动点 P 沿 A-B-C-E 方 向运动，到点 E 停止；动点 Q 沿 B-C-E-D 方向运动，到点 D 停止，设运动时间为 x s，△PAQ 的面积为 y cm2， （这里规定：线段是面积为 0 的三角形）解答下列问题： （1） 当 x=2s 时，y=_____ cm2；当 x = 9 2 s 时，y=_______ cm2． （2）当 5 ≤ x ≤ 14 时，求 y 与 x 之间的函数关系式． （3）当动点 P 在线段 BC 上运动时，求出 15 4y S 梯形 ABCD 时 x 的值． （4）直接写出在整个运动过程中，使 PQ 与四边形 ABCE 的对角线平行的所有 x 的值． （2007 河北）如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．点 P 从点 B 出发沿 折线段 BA-AD-DC 以每秒 5 个单位长的速度向点 C 匀速运动；点 Q 从点 C 出发沿线段 CB 方向以每秒 3 个单位 长的速度匀速运动，过点 Q 向上作射线 QK⊥BC，交折线段 CD-DA-AB 于点 E．点 P、Q 同时开始运动，当点 P 与点 C 重合时停止运动，点 Q 也随之停止．设点 P、Q 运动的时间是 t 秒（t＞0）． （1）当点 P 到达终点 C 时，求 t 的值，并指出此时 BQ 的长； （2）当点 P 运动到 AD 上时，t 为何值能使 PQ∥DC ？ （3）设射线 QK 扫过梯形 ABCD 的面积为 S，分别求出点 E 运动到 CD、DA 上时，S 与 t 的关系式； （4）△PQE 能 2 否成为直角三角形？若能，写出 t 的取值范围；若不能，请说明理由． 备用图 （2008 河北）如图，在 Rt ABC△ 中，∠C=90°，AB=50，AC=30，D，E，F 分别是 AC，AB，BC 的中 点．点 P 从点 D 出发沿折线 DE-EF-FC-CD 以每秒 7 个单位长的速度匀速运动；点 Q 从点 B 出发沿 BA 方向以每秒 4 个单位长的速度匀速运动，过点 Q 作射线 QK AB ，交折线 BC-CA 于点 G ．点 P Q， 同时出发，当点 P 绕行一周回到点 D 时停止运动，点 Q 也随之停止．设点 P Q， 运动的时间是 t 秒 （ 0t  ）． （1） D F， 两点间的距离是 ； （2）射线 QK 能否把四边形 CDEF 分成面积相等的两部分？若能，求出 t 的值．若不能，说明理由； （3）当点 P 运动到折线 EF FC 上，且点 P 又恰好落在射线 QK 上时，求 t 的值； （4）连结 PG ，当 PG AB∥ 时，请直接写出 t 的值． （2011 山西太原）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是平行四边形．直线 l 经过 O、C 两点．点 3 A 的坐标为(8，0)，点 B 的坐标为(11，4)，动点 P 在线段 OA 上从点 O 出发以每秒 1 个单位的速度向点 A 运动，同时动点 Q 从点 A 出发以每秒 2 个单位的速度沿 A→B→C 的方向向点 C 运动，过点 P 作 PM 垂直 于 x 轴，与折线 O-C-B 相交于点 M．当 P、Q 两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点 P、Q 运动的时间为 t 秒( 0t  )，△MPQ 的面积为 S． （1）点 C 的坐标为________，直线 l 的解析式为__________． （2）试求点 Q 与点 M 相遇前 S 与 t 的函数关系式，并写出相应的 t 的取值范围． （3）试求题(2)中当 t 为何值时，S 的值最大，并求出 S 的最大值． （4）随着 P、Q 两点的运动，当点 M 在线段 CB 上运动时，设 PM 的延长线与直线 l 相交于点 N．试探 究：当 t 为何值时，△QMN 为等腰三角形？请直接写出 t 的值． 1. （2011 四川重庆）如图，矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝2，点 O 是 AB 的中点，点 P 在 AB 的延长线上，且 BP＝3．一动点 E 从 O 点出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 OA 匀速运动，到达 A 点后，立即以原速度 沿 AO 返回；另一动点 F 从 P 点出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿射线 PA 匀速运动，点 E、F 同时出 发，当两点相遇时停止运动．在点 E、F 的运动过程中，以 EF 为边作等边△EFG，使△EFG 和矩形 ABCD 在射线 PA 的同侧，设运动的时间为 t 秒（t≥0）． （1）当等边△EFG 的边 FG 恰好经过点 C 时，求运动时间 t 的值； （2）在整个运动过程中，设等边△EFG 和矩形 ABCD 重叠部分的面积为 S，请直接写出 S 与 t 之间的函数 关系式和相应的自变量 t 的取值范围； （3）设 EG 与矩形 ABCD 的对角线 AC 的交点为 H，是否存在这样的 t，使△AOH 是等腰三角形？若存 在，求出对应的 t 的值；若不存在，请说明理由． 备用图 1 4 备用图 2 三、测试提高 1． （2011 山东烟台）如图，在直角坐标系中，梯形 ABCD 的底边 AB 在 x 轴上，底边 CD 的端点 D 在 y 轴 上．直线 CB 的表达式为 4 16 3 3y x   ，点 A、D 的坐标分别为（－4，0），（0，4）．动点 P 自 A 点 出发，在 AB 上匀速运动．动点 Q 自点 B 出发，在折线 BCD 上匀速运动，速度均为每秒 1 个单位．当其中 一个动点到达终点时，它们同时停止运动．设点 P 运动 t（秒）时，△OPQ 的面积为 S（不能构成△OPQ 的动点除外）． （1）求出点 B、C 的坐标； （2）求 S 随 t 变化的函数关系式； （3）当 t 为何值时 S 有最大值？并求出最大值． （2011 浙江温州）如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点 A 的坐标为（-4，0），点 B 的坐标为（0，b）(b＞0)．P 是直线 AB 上的一个动点，作 PC⊥x 轴，垂足为 C，记点 P 关于 y 轴的对称点为 P′ (点 P′不在 y 轴上)，连结 P P′，P′A，P′C，设点 P 的横坐标为 a． （1） 当 b=3 时， 1 直线 AB 的解析式； 2 若点 P′的坐标是（-1，m），求 m 的值； （2）若点 P 在第一象限，记直线 AB 与 P′C 的交点为 D．当 P′D:DC=1:3 时，求 a 的值； 5 （3）是否同时存在 a，b，使△P′CA 为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的 a，b 的值；若 不存在，请说明理由． （2010 武汉）如图，抛物线 2 1 2y ax ax b   经过 A（－1，0），C（2， 3 2 ）两点，与 x 轴交于另一 点 B． （1）求此抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点为 M，点 P 为线段 OB 上一动点 (不与点 B 重合)，点 Q 在线段 MB 上移动，且∠ MPQ=45°，设线段 OP=x，MQ= 2 2 2 y ，求 y2 与 x 的函数关系式，并直接写出自变量 x 的取值范围； （3）在同一平面直角坐标系中，两条直线 x=m，x=n 分别与抛物线交于点 E，G，与(2)中的函数图象交于 点 F，H．问四边形 EFHG 能否为平行四边形? 若能，求 m，n 之间的数量关系；若不能，请说明理由． 备用图 6 (2011 江苏镇江)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 1l 过点 A(1，0)且与 y 轴平行，直线 2l 过点 B(0，2)且与 x 轴 平行，直线 1l 与 2l 相交于点 P．点 E 为直线 2l 上一点，反比例函数 ky x  (k>0)的图象过点 E 且与直线 1l 相交于点 F． （1）若点 E 与点 P 重合，求 k 的值； （2）连接 OE、OF、EF．若 k>2，且△OEF 的面积为△PEF 的面积 2 倍，求点 E 的坐标； （3）是否存在点 E 及 y 轴上的点 M，使得以点 M、E、F 为顶点的三角形与△PEF 全等？若存在，求 E 点 坐标；若不存在，请说明理由． （2010 浙江舟山)△ABC 中，∠A=∠B=30°，AB= 2 3 ．把△ABC 放在平面直角坐标系中，使 AB 的中点 位于坐标原点 O（如图），△ABC 可以绕点 O 作任意角度的旋转． （1）当点 B 在第一象限，纵坐标是 6 2 时，求点 B 的横坐标； （2）如果抛物线 2y ax bx c   (a≠0)的对称轴经过点 C，请你探究： ①当 5 4a  ， 1 2b   ， 3 5 5c   时，A，B 两点是否都在这条抛物线上？并说明理由； ②设 b=  2am，是否存在这样的 m 值，使 A，B 两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出 m 的 值；若不存在，请说明理由． O y x C B A 1 1 -1 -1 7 （湖北黄冈）已知二次函数的图象如图所示． （1）求二次函数的解析式及抛物线顶点 M 的坐标； （2）若点 N 为线段 BM 上的一点，过点 N 作 x 轴的垂线，垂足为点 Q．当点 N 在线段 BM 上运动时(点 N 不与点 B，点 M 重合)，设 OQ 的长为 t，四边形 NQAC 面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式及自变量 t 的 取值范围； （3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P，使△PAC 为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； （4）将△OAC 补成矩形，使得△OAC 的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边 的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标(不需要计算过程)． 三、测试提高 1． （2011 山东东营）如图所示，四边形 OABC 是矩形，点 A、C 的坐标分别为( 3 0 ， )，(0，1)，点 D 是线 段 BC 上的动点(与端点 B、C 不重合)，过点 D 作直线 1 2y x b  交折线 OAB 于点 E． 8 (1)记△ODE 的面积为 S．求 S 与 b 的函数关系式； (2)当点 E 在线段 OA 上时，且 tan∠ DEO= 1 2 ．若矩形 OABC 关于直线 DE 的对称图形为四边形 1 1 1 1O A B C ．试探究四边形 1 1 1 1O A B C 与矩形 OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠 部分的面积；若改变，请说明理由． （2011 辽宁大连）如图，抛物线 y＝ax2+bx+c 经过 A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与 抛物线相交于点 P、与直线 BC 相交于点 M，连接 PB． （1）求该抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在一点 Q，使△QMB 与△PMB 的面积相等，若存在，求点 Q 的坐标；若不存在，说 明理由； （3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点 R，使△RPM 与△RMB 的面积相等，若存在，直接 写出点 R 的坐标；若不存在，说明理由． 9 （2011 湖北十堰）如图，己知抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B，与 y 轴交于点 C（0，- 3）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图（1），己知点 H（0，-1）．问在抛物线上是否存在点 G （点 G 在 y 轴的左侧），使得 S△GHC=S△GHA？若存在，求出点 G 的坐标，若不存在，请说明理由： （3）如图（2），抛物线上点 D 在 x 轴上的正投影为点 E（﹣2，0），F 是 OC 的中点，连接 DF，P 为线 段 BD 上的一点，若∠EPF=∠BDF，求线段 PE 的长． （2010 天津）在平面直角坐标系中，已知抛物线 2y x bx   c 与 x 轴交于点 A 、 B （点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴的正半轴交于点 C ，顶点为 E ． （Ⅰ）若 2b  ， 3c  ，求此时抛物线顶点 E 的坐标； （Ⅱ）将 （ Ⅰ ） 中 的 抛 物 线 向 下 平 移 ， 若 平 移 后 ， 在 四 边 形 ABEC 中 满 足 S△BCE = S△ABC，求此 时直线 BC 的解析式； （Ⅲ）将（Ⅰ）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形 ABEC 中满足 S△BCE =2S△AOC，且顶点 E 恰 好落在直线 4 3y x   上，求此时抛物线的解析式． 10 (2011 山东聊城)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝12cm，BC＝8cm．点 E、F、G 分别从点 A、B、C 同时出 发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点 E、G 的速度均为 2cm/s，点 F 的速度为 4cm/s，当点 F 追上点 G(即点 F 与点 G 重合)时，三个点随之停止移动．设移动开始后第 ts 时，△EFG 的面积为 Scm2． (1)当 t＝1s 时，S 的值是多少？ (2)写出 S 与 t 之间的函数解析式，并指出自变量 t 的取值范围； (3)若点 F 在矩形的边 BC 上移动，当 t 为何值时，以点 B、E、F 为顶点的三角形与以 C、F、G 为顶点的三 角形相似？请说明理由． (2011 江苏淮安)如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点 P 在 AB 上，AP=2，点 E、F 同时从点 P 出发，分别沿 PA、PB 以每秒 1 个单位长度的速度向点 A、B 匀速运动，点 E 到达点 A 后立刻以原速度沿 AB 向点 B 运动，点 F 运动到点 B 时停止，点 E 也随之停止．在点 E、F 运动过程中，以 EF 为边作正方形 EFGH，使它与△ABC 在线段 AB 的同侧．设 E、F 运动的时间为 t 秒（t＞0），正方形 EFGH 与△ABC 重 叠部分面积为 S． （1）当 t=1 时，正方形 EFGH 的边长是 ．当 t=3 时，正方形 EFGH 的边长是 ． （2）当 0＜t≤2 时，求 S 与 t 的函数关系式； （3）直接答出：在整个运动过程中，当 t 为何值时，S 最大？最大面积是多少？ A E B F C G D 11 备用 三、测试提高 1. （2010 山东东营）如图，在锐角三角形 ABC 中，BC=12，△ABC 的面积为 48，D，E 分别是边 AB，AC 上 的两个动点（D 不与 A，B 重合），且保持 DE∥BC，以 DE 为边，在点 A 的异侧作正方形 DEFG． （1）当正方形 DEFG 的边 GF 在 BC 上时，求正方形 DEFG 的边长； （2）设 DE = x，△ABC 与正方形 DEFG 重叠部分的面积为 y，试求 y 关于 x 的函数关系式，写出 x 的取值 范围，并求出 y 的最大值． B A D E FG C B 备用图（1） A C B 备用图（2） A C 12 第四讲 中考压轴题十大类型之 三角形存在性问题 板块一、等腰三角形存在性 1. （2011 江苏盐城）如图，已知一次函数 7y x   与正比例函数 3 4y x 的图象交于点 A，且与 x 轴交 于点 B． （1）求点 A 和点 B 的坐标； （2）过点 A 作 AC⊥y 轴于点 C，过点 B 作直线 l∥y 轴．动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个单位长的速度， 沿 O—C—A 的路线向点 A 运动；同时直线 l 从点 B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线 l 交 x 轴于点 R，交线段 BA 或线段 AO 于点 Q．当点 P 到达点 A 时，点 P 和直线 l 都停止运动．在运动 过程中，设动点 P 运动的时间为 t 秒．是否存在以 A、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求 t 的值；若不存在，请说明理由． （备用图） （2009 湖北黄冈）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 21 4 1018 9y x x   与 x 轴的交点为点 A， 与 y 轴的交点为点 B，过点 B 作 x 轴的平行线 BC，交抛物线于点 C，连结 AC．现有两动点 P，Q 分别从 O，C 两点同时出发，点 P 以每秒 4 个单位的速度沿 OA 向终点 A 移动，点 Q 以每秒 1 个单位的速度沿 CB 向点 B 移动，点 P 停止运动时，点 Q 也同时停止运动，线段 OC，PQ 相交于点 D，过点 D 作 DE∥OA， 交 CA 于点 E，射线 QE 交 x 轴于点 F．设动点 P，Q 移动的时间为 t(单位：秒) (1)求 A，B，C 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标； 13 (2)当 t 为何值时，四边形 PQCA 为平行四边形？请写出计算过程； (3)当 90 2t  时，△PQF 的面积是否总为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由； (4)当 t 为何值时，△PQF 为等腰三角形？请写出解答过程． 板块二、直角三角形 （ 2009 四 川 眉 山 ） 如 图 ， 已 知 直 线 1 12y x  与 y 轴 交 于 点 A ， 与 x 轴 交 于 点 D ， 抛 物 线 21 2y x bx c   与直线交于 A、E 两点，与 x 轴交于 B、C 两点，且 B 点坐标为 (1，0)． （1）求该抛物线的解析式； （2） 动点 P 在 x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点 P 的坐标． （2010 广东中山）如图所示，矩形 ABCD 的边长 AB=6，BC=4，点 F 在 DC 上，DF=2．动点 M、N 分别 从点 D、B 同时出发，沿射线 DA、线段 BA 向点 A 的方向运动（点 M 可运动到 DA 的延长线上），当动 点 N 运动到点 A 时，M、N 两点同时停止运动．连接 FM、FN，当 F、N、M 不在同一直线上时，可得△ FMN，过△FMN 三边的中点作△PWQ．设动点 M、N 的速度都是 1 个单位/秒，M、N 运动的时间为 x 秒．试解答下列问题： （1）说明△FMN∽△QWP； 14 （2）设 0 4x  （即 M 从 D 到 A 运动的时间段）．试问 x 为何值时，△PWQ 为直角三角形？当 x 在何 范围时，△PQW 不为直角三角形？ （3）问当 x 为何值时，线段 MN 最短？求此时 MN 的值． 板块三、相似三角形存在性 （3） （2011 湖北天门）在平面直角坐标系中，抛物线 2y ax bx  3 与 x 轴的两个交点分别为 A（-3，0）、B（1，0），过顶点 C 作 CH⊥x 轴于点 H． （1）直接填写： a = ，b= ，顶点 C 的坐标为 ； （2）在 y 轴上是否存在点 D，使得△ACD 是以 AC 为斜边的直角三角形？若存在，求出点 D 的坐标；若 不存在，说明理由； （3）若点 P 为 x 轴上方的抛物线上一动点（点 P 与顶点 C 不重合），PQ⊥AC 于点 Q，当△PCQ 与△ACH 相似时，求点 P 的坐标． 15 三、测试提高 1. （2009 广西钦州）如图，已知抛物线 23 4y x bx c   与坐标轴交于 A、B、C 三点， A 点的坐标为 （－1，0），过点 C 的直线 3 34y xt   与 x 轴交于点 Q，点 P 是线段 BC 上的一个动点，过 P 作 PH⊥ OB 于点 H．若 PB＝5t，且 0 1t  ． （1）填空：点 C 的坐标是_____，b＝_____，c＝_____； （2）求线段 QH 的长（用含 t 的式子表示）； （3）依点 P 的变化，是否存在 t 的值，使以 P、H、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似？若存在，求出所有 t 的值；若不存在，说明理由． 第五讲 中考压轴题十大类型之 四边形存在性问题 1. （2009 黑龙江齐齐哈尔）直线 3 64y x   与坐标轴分别交于 A、B 两点，动点 P、Q 同时从 O 点出 发，同时到达 A 点，运动停止．点 Q 沿线段 OA 运动，速度为每秒 1 个单位长度，点 P 沿路线 O→B→A 运动． （1）直接写出 A、B 两点的坐标； （2）设点 Q 的运动时间为 t 秒，△OPQ 的面积为 S，求出 S 与 t 之间的函数关系式； （3）当 48 5S  时，求出点 P 的坐标，并直接写出以点 O、P、Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点 M 的 坐标． 16 （2010 河南）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 A ( 4 0)， ，B (0 4)， ，C (2 0)， 三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点 M 的横坐标为 m，△AMB 的面积为 S．求 S 关于 m 的函数 关系式，并求出 S 的最大值． （3）若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线 xy  上的动点，判断有几个位置能够使得点 P、Q、B、 O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点 Q 的坐标． 2（2011 黑龙江鸡西）已知直线 3 4 3y x  与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，∠ABC=60°，BC 与 x 轴 交于点 C． （1）试确定直线 BC 的解析式； （2）若动点 P 从 A 点出发沿 AC 向点 C 运动（不与 A、C 重合），同时动点 Q 从 C 点出发沿 CBA 向点 A 运动（不与 C、A 重合），动点 P 的运动速度是每秒 1 个单位长度，动点 Q 的运动速度是每秒 2 个单位长 17 度．设△APQ 的面积为 S，P 点的运动时间为 t 秒，求 S 与 t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）在（2）的条件下，当△APQ 的面积最大时，y 轴上有一点 M，平面内是否存在一点 N，使以 A、Q、 M、N 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出 N 点的坐标；若不存在，请说明理由． （2007 河南）如图，对称轴为直线 x＝ 2 7 的抛物线经过点 A （6，0）和 B（0，4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标； （2）设点 E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形 OEAF 是以 OA 为对角线的平行四边 形，求四边形 OEAF 的面积 S 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （3）①当四边形 OEAF 的面积为 24 时，请判断 OEAF 是否为菱形？ ②是否存在点 E，使四边 形 OEAF 为正方形？ 若存在，求出点 E 的坐标；若 不存在，请说明理 18 由． 2. （2010 黑龙江大兴安岭）如图，在平面直角坐标系中，函数 2y x  12 的图象分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点．过点 A 的直线交 y 轴正半轴于点 M，且点 M 为线段 OB 的中点． （1）求直线 AM 的解析式； （2）试在直线 AM 上找一点 P，使得 S△ABP＝S△AOB ，请直接写出点 P 的坐标； （3）若点 H 为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点 H，使以 A、B、M、H 为顶点的四 边形是等腰梯形？若存在，请直接写出点 H 的坐标；若不存在，请说明理由． 19 三、测试提高 1. （2009 辽宁抚顺）已知：如图所示，关于 x 的抛物线 2= + +y ax x c （a≠0）与 x 轴交于点 A（-2，0）、点 B（6，0），与 y 轴交于点 C． （1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标； （2）在抛物线上有一点 D，使四边形 ABDC 为等腰梯形，写出点 D 的坐标，并求出直线 AD 的解析式； （3）在（2）中的直线 AD 交抛物线的对称轴于点 M，抛物线上有一动点 P，x 轴上有一动点 Q．是否存 在以 A、M、P、Q 为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理 由． [来源:Zxxk．Com] 第六讲 中考压轴题十大类型之 20 线段之间的关系 1. （2010 天津）在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A、B 分别在 x 轴、 y 轴的 正半轴上， 3OA  ， 4OB  ，D 为边 OB 的中点． （Ⅰ）若 E 为边 OA 上的一个动点，当△ CDE 的周长最小时，求点 E 的坐标； （Ⅱ）若 E 、 F 为边 OA 上的两个动点，且 2EF  ，当四边形 CDEF 的周长最小时，求点 E 、 F 的坐标． y B O D C A xE D y B O D C A x 温馨提示：如图，可以作点 D 关于 x 轴的对称点 D，连接 CD 与 x 轴交于点 E，此时△ CDE 的周长是最小的.这样， 你只需求出 OE 的长，就可以确定点 E 的 坐标了. 21 （2011 四川广安）四边形 ABCD 是直角梯形，BC∥AD， ∠BAD=90°，BC 与 y 轴相交于点 M，且 M 是 BC 的中点，A、B、D 三点的坐标分别是 A（ 1 0 ， ）， B（ 1 2 ， ），D（3，0）．连接 DM，并把线段 DM 沿 DA 方向平移到 ON．若抛物线 2y ax bx c   经过点 D、M、N． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在点 P，使得 PA=PC，若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）设抛物线与 x 轴的另一个交点为 E，点 Q 是抛物线的对称轴上的一个动点，当点 Q 在什么位置时有 |QE-QC|最大？并求出最大值． （2011 四川眉山）如图，在直角坐标系中，已知点 A(0，1)，B( 4 ，4)，将点 B 绕点 A 顺时针方向旋转 90°得到点 C，顶点在坐标原点的抛物线经过点 B． (1) 求抛物线的解析式和点 C 的坐标； (2) 抛物线上有一动点 P，设点 P 到 x 轴的距离为 1d ，点 P 到点 A 的距离为 2d ，试说明 2 1 1d d  ； (3) 在(2)的条件下，请探究当点 P 位于何处时，△PAC 的周长有最小值，并求出△PAC 的周长的最小值． 22 （2011 福建福州）已知，如图，二次函数 2 2 3y ax ax a   ( 0)a  图象的顶点为 H，与 x 轴交于 A、B 两点（B 在 A 点右侧），点 H、B 关于直线 3: 33l y x  对称． （1）求 A、B 两点坐标，并证明点 A 在直线 l 上； （2）求二次函数解析式； （3）过点 B 作直线 BK∥AH 交直线 l 于 K 点，M、N 分别为直线 AH 和直线 l 上的两个动点，连接 HN、 NM、MK，求 HN+NM+MK 和的最小值． （2009 湖南郴州） 如图 1，已知正比例函数和反比例函数的 图象都经过点 M（－2，－1），且 P（－1，－2）为双曲线上 的一点，Q 为坐标平面上一动点，PA 垂直于 x 轴，QB 垂直于 y 轴，垂足分别是 A、B． （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式； （2）当点 Q 在直线 MO 上运动时，直线 MO 上是否存在这样的点 Q，使得△OBQ 与△OAP 面积相等？如果 23 存在，请求出点 Q 的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）如图 2，当点 Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以 OP、OQ 为邻边的平行四边形 OPCQ，求平行 四边形 OPCQ 周长的最小值． 图 1x 图 2 [来源:Z xk．Com] （2010 江苏苏州）如图，以 A 为顶点的抛物线与 y 轴交于点 B．已知 A、B 两点的坐标分别为（3，0）、（0， 4）． （1）求抛物线的解析式； （ 2 ） 设  M m n， 是 抛 物 线 上 的 一 点 （ m n、 为 正 整 数 ） ， 且 它 位 于 对 称 轴 的 右 侧 ． 若 以 M B O A、 、 、 为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点 M 的坐标； （3）在（2）的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点 P， 2 2 2 28PA PB PM   是否总成 立？请说明理由． 24 3、测试提高 1. （2009 浙江舟山）如图，已知点 A(-4，8)和点 B(2，n)在抛物线 2=y ax 上． （1）求 a 的值及点 B 关于 x 轴对称点 P 的坐标，并在 x 轴上找一点 Q，使得 AQ+QB 最短，求出点 Q 的坐 标； （2）平移抛物线 2=y ax ，记平移后点 A 的对应点为 A′，点 B 的对应点为 B′，点 C(-2，0)和点 D(-4， 0)是 x 轴上的两个定点． ①当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′ 最短，求此时抛物线的函数解析式； ②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形 A′B′CD 的周长最短？若存在，求出此 时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由． 4 x2 2 A 8 -2 O -2 -4 y 6 B CD -4 4 25 第七讲 中考压轴题十大类型之定值问题 1. （2011 天津）已知抛物线 1C ： 2 1 1 12y x x   ，点 F(1，1)． （Ⅰ）求抛物线 1C 的顶点坐标； （ Ⅱ ） ① 若 抛 物 线 1C 与 y 轴 的 交 点 为 A ， 连 接 AF ， 并 延 长 交 抛 物 线 1C 于 点 B ， 求 证 ： 1 1 2AF BF   ； ②抛物线 1C 上任意一点 P（ P Px y， ）（ 0 1Px  ），连接 PF，并延长交抛物线 1C 于点 Q （ Q Qx y， ），试判断 1 1 2PF QF   是否成立？请说明理由； （Ⅲ）将抛物线 1C 作适当的平移，得抛物线 2C ： 2 2 1 ( )2y x h  ，若 2 x m  时， 2y x 恒成立，求 m 的最大值． （2009 湖南株洲）如图，已知△ABC 为直角三角形， 90ACB   ， AC BC ，点 A 、 C 在 x 轴 上，点 B 坐标为（ 3 ， m ）（ 0m  ），线段 AB 与 y 轴相交于点 D ，以 P （1，0）为顶点的抛物线 过点 B 、 D ． （1）求点 A 的坐标（用 m 表示）； （2）求抛物线的解析式； （3）设点 Q 为抛物线上点 P 至点 B 之间的一动点，连结 PQ 并延长交 BC 于点 E ，连结 BQ 并延长交 AC 于点 F ，试证明： ( )FC AC EC 为定值． 26 2008 山东济南）已知：抛物线 2y ax bx c   (a≠0)，顶点 C (1， 3 )，与 x 轴交于 A、B 两点， ( 1 0)A  ， ． （1）求这条抛物线的解析式； （2）如图，以 AB 为直径作圆，与抛物线交于点 D，与抛物线对称轴交于点 E，依次连接 A、D、B、E，点 P 为 线段 AB 上一个动点（P 与 A、B 两点不重合），过点 P 作 PM⊥AE 于 M，PN⊥DB 于 N，请判断 PM PN BE AD  是 否为定值? 若是，请求出此定值；若不是，请说明理由； （3）在（2）的条件下，若点 S 是线段 EP 上一点，过点 S 作 FG⊥EP ，FG 分别与边 AE、BE 相交于点 F、G（F 与 A、E 不重合，G 与 E、B 不重合）， 请判断 PA EF PB EG  是否成立．若成立，请给出证 明；若不成立，请说明理由． （2011 湖南株洲）孔明是一个喜欢探究钻研的同 学，他在和同学们一起研究某条抛物线 2 ( 0)y ax a  的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平 面直角坐标系的原点 O ，两直角边与该抛物线交于 A 、 B 两点，请解答以下问题： （1）若测得 2 2OA OB  （如图 1），求 a 的值； （2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点 O 旋转到如图 2 所示位置时，过 B 作 BF x 轴于点 F ，测 得 1OF  ，写出此时点 B 的坐标，并求点 A 的横坐标； （3）对该抛物线，孔明将三角板绕点 O 旋转任意角度时惊奇地发现，交点 A 、 B 的连线段总经过一个固 定的点，试说明理由并求出该点的坐标． 27 （2009 湖北武汉）如图，抛物线 2 4y ax bx a   经过  1 0A  ， 、  0 4C ， 两点，与 x 轴交于另一 点 B． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点  , 1D m m  在第一象限的抛物线上，求点 D 关于直线 BC 对称的点的坐标； （3）在（2）的条件下，连接 BD，点 P 为抛物线上一点，且 45DBP   ，求点 P 的坐标． [来源:学．科．网 Z．X．X．K] 三、测试提高 1. （2009 湖南湘西）在直角坐标系 xOy 中，抛物线 2y x bx c   与 x 轴交于两点 A、B，与 y 轴交于点 C，其中 A 在 B 的左侧，B 的坐标是（3，0）．将直线 y kx 沿 y 轴向上平移 3 个单位长度后恰好经过点 B、C． （1） 求 k 的值； （2） 求直线 BC 和抛物线的 解析式； （3） 求△ABC 的面积； （4） 设抛物线顶点为 D，点 P 在 抛 物 线的对称轴上，且 ∠APD=∠ACB，求点 P 的坐标． y xO A B C 28 、 第八讲 中考压轴题十大类型之 几何三大变换问题 1. （2009 山西太原）问题解决：如图（1），将正方形纸片 ABCD 折叠，使点 B 落在 CD 边上一点 E （不 与点 C ， D 重合），压平后得到折痕 MN ．当 1 2 CE CD  时，求 AM BN 的值． 类比归纳：在图（1）中，若 1 3 CE CD  ，则 AM BN 的值 等于 ；若 1 4 CE CD  ，则 AM BN 的值等于 ；若 1CE CD n  （ n 为 整 数 ） ， 则 AM BN 的值等于 ．（用含 n 的式子表 示） 联系拓广： 如图（2），将矩形纸片 ABCD 折 叠，使点 B 落在 CD 方法指导： 为了求得 AM BN 的值，可先求 BN 、 AM 的长，不妨设： AB 图 （2） N A B C D E F M 图 （1） A B C D E FM N 29 边上一点 E （不与点 C D， 重合），压平后得到折痕 MN，设  1 11AB CEmBC m CD n   ， ，则 AM BN 的值等于 ．（用含 m n， 的式子表示） （2011 陕西）如图①，在矩形 ABCD 中，将矩形折叠，使 B 落在边 AD（含端点）上，落点记为 E，这时 折痕与边 BC 或边 CD（含端点）交于点 F，然后再展开铺平，则以 B、E、F 为顶点的△BEF 称为矩形 ABCD 的“折痕三角形”. （1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形 ABCD 的任意一个“折痕△BEF”是一个_________三角形； （2）如图②，在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=4．当它的“折痕△BEF”的顶点 E 位于边 AD 的中点时，画 出这个“折痕△BEF”，并求出点 F 的坐标； （3）如图③，在矩形 ABCD 中， AB=2，BC=4，该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”？若存在， 说明理由，并求出此时点 E 的坐标；若不存在，为什么？ 图 ① 图 ② 图③ （2010 江西南昌）课题：两个重叠的正多边形，其中的一个绕某一个顶点旋转 所形成的有关问题． 实验与论证 设旋转角∠A1A0B1＝α（α＜∠A1A0A2），θ1，θ2，θ3，θ4，θ5，θ6 所表示的角如图所示． （1）用含α的式子表示：θ3＝_________，θ4＝_________，θ5＝_________； （2）图 1－图 4 中， 连接 A0H 时，在不添 加其他辅助线的情况 下，是否存在与直线 30 A0H 垂直且被它平分的线段？若存在，请选择其中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由；归纳与猜想 设正 n 边形 A0A1A2…An-1 与正 n 边形 A0B1B2…Bn-1 重合（其中，A1 与 B1 重合），现将正 n 边形 A0B1B2…Bn-1 绕顶点 A0 逆时针旋转α（ n  1800   ）． （3）设θn 与上述“θ3，θ4，…”的意义一样，请直接写出θn 的度数； （4）试猜想在 n 边形且不添加其他辅助线的情形下，是否存在与直线 A0H 垂直且被它平分的线段？若存 在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由． （2009 山东德州）已知正方形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作 EF⊥BD 交 BC 于 F，连接 DF，G 为 DF 中点，连接 EG，CG． （1）求证：EG=CG； （2）将图①中△BEF 绕 B 点逆时针旋转 45º，如图②所示，取 DF 中点 G，连接 EG，CG．问（1）中的结 论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）将图①中△BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论 是否仍然 成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明） （2010 江苏苏州）刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中， 90°，B  30 6cm°， ；A BC   图②中， 90D  °， 45E  °， FB A D C E G 图① F B A D C E G 图② F B A C E 图③ D 31 4cmDE  .图③是刘卫同学所做的一个实验：他将 DEF△ 的直角边 DE 与△ABC 的斜边 AC 重合在 一起，并将 DEF△ 沿 AC 方向移动．在移动过程中，D、E 两点始终在 AC 边上（移动开始时点 D 与点 A 重合）． （1）在 DEF△ 沿 AC 方向移动的过程中，刘卫同学发现： F C、 两点间的距离逐渐_________．（填 “不变”、“变大”或“变小”） （2）刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题： 问题①：当 DEF△ 移动至什么位置，即 AD 的长为多少时， F C、 的连线与 AB 平行？ 问题②：当 DEF△ 移动至什么位置，即 AD 的长为多少时，以线段 AD FC BC、 、 的长度为三边长 的三角形是直角三角形？ 问题③：在 DEF△ 的移动过程中，是否存在某个位置，使得 15FCD  °？如果存在，求出 AD 的长 度；如果不存在，请说明理由． 请你分别完成上述三个问题的解答过程． 三、测试提高 1. （2009 湖南常德）如图 1，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M，N 分别 EB，CD 的中点，易证： CD=BE，△AMN是等边三角形． （1）当把△ADE 绕 A 点旋转到图 2 的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理 由； （2）当△ADE 绕 A 点旋转到图 3 的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当 AB=2AD 时，△ADE与△ABC 及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由． （ 图 ①） （ 图 ②） （ 图 ③） 32 [来源:学科网 ZXXK 第九讲 中考压轴题十大类型之 实践操作、问题探究 （2009 陕西）问题探究 （1）请在图①的正方形 ABCD 内，画出使∠APB=90°的一个点 P，并说明理由． （2）请在图②的正方形 ABCD 内（含边），画出使∠APB=60°的所有的点 P，并说明理由． 问题解决 （3）如图③，现在一块矩形钢板 ABCD ，AB=4，BC=3．工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的 △APB 和△ CP ′D 钢板，且∠APB=∠CP ′D=60°．请你在图③中画出符合要求的点 P 和 P ′，并求出 APB△ 的面积（结果保留根号）． [来源:学科网 ZXXK] （2011 江西）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下： 设  BAC= （0°< <90°）．现把小棒依次摆放在两射线 AB、AC 之间，并使小棒两端分别落在两射 线上． 活动一： 如图甲所示，从点 1A 开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直， 1 2A A 为第 1 根小棒． 数学思考： （1） 小棒 能无限摆下去吗？ D C BA ① D C BA ③ D C BA ② 33 答：______．（填“能”或“不能”） （2） 设 1AA = 1 2A A = 3 2A A =1． 1  =______度； 2 若记小棒 2 1 2n nA A 的长度为 na （n 为正整数，如 1 2A A = 1a ， 3 4A A = 2a ，……），求出此时 2a ， 3a 的值，并直接写出 na （用含 n 的式子表示）． 活动二： 如图乙所示，从点 1A 开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中 1 2A A 为第 1 根小棒，且 1 2A A = 1AA ． 数学思考： （1） 若已经向右摆放了 3 根小棒，则 1 =______， 2 =______， 3 =______；（用含 的式子表 示） （2） 若只能摆放 4 根小棒， 求 的范围． （2009 浙江义乌）已知点 A、B 分别是 x 轴、y 轴上的动点，点 C、D 是某个函数图象上的点，当四边形 ABCD（A、B、C、D 各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形．例如：如 图，正方形 ABCD 是一次函数 1y x  图象的其中一个伴侣正方形． （1）若某函数是一次函数 1y x  ，求它的图象的所有伴侣正方形的边长； （2）若某函数是反比例函数 ( 0)ky kx   ，它的图象的伴侣正方形为 ABCD，点 D（2，m）（m <2） 在反比例函数图象上，求 m 的值及反比例函数解析式； （3）若某函数是二次函数 2 ( 0)y ax c a   ，它的图象的伴侣正方形为 ABCD，C、D 中的一个点坐 标为（3，4）．写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标________，写出符合题意的其中一条抛物线 解析式________，并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数？________．(本小题只需直 接写出答案) 34 （2011 江苏南京） 问题情境 已知矩形的面积为 a（a 为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？ 数学模型 设该矩形的长为 x，周长为 y，则 y 与 x 的函数关系式为  02       xx axy ． 探索研究 (1)我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数 1 ( 0)y x xx   ＞ 的图象性质． 1 填写下表，画出函数的图象 ②观察 图象，写出该函数两条不同类型 的性质； ③在求二次函数 y=ax2＋bx＋c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请 你通过配方求函数 1y x x   (x＞0)的最小值． 解决问题 （2）用上述方法解决“问题情境” 中的问题，直接写出答 案． 1 x y O 1 3 4 5 2 2 3 54－1 －1 x …… 1 4 1 3 1 2 1 2 3 4 …… y …… …… 35 (2011 黑龙江哈尔滨)已知：在△ABC 中，BC=2AC，∠DBC=∠ACB，BD=BC，CD 交线段 AB 于点 E． (1)如图 1，当∠ACB=90°时，则线段 DE、CE 之间的数量关系为 ； (2)如图 2，当∠ACB=120°时，求证：DE=3CE； (3)如图 3，在(2)的条件下，点 F 是 BC 边的中点，连接 DF，DF 与 AB 交于 G，△DKG 和△DBG 关于直 线 DG 对称(点 B 的对称点是点 K)， 延长 DK 交 AB 于点 H． 若 BH=10，求 CE 的长． 三、测试提高 1. （2010 北京）问题：已知△ABC 中，BAC=2ACB，点 D 是△ABC 内的一点，且 AD=CD，BD=BA． 探究DBC 与ABC 度数的比值． 请你完成下列探究过程： 先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明． (1) 当BAC=90时，依问题中的条件补全下图． 观察图形，AB 与 AC 的数量关系为 ； 当推出DAC=15时，可进一步推出DBC 的度数为 ； 可得到DBC 与ABC 度数的比值为 ； (2) 当BAC90时，请你画出图形，研究DBC 与ABC 度数的比值是否与(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以 36 证明． 第十讲 中考压轴题十大类型之圆 （2011 湖南湘潭）已知，AB 是⊙O 的直径，AB=8，点 C 在⊙O 的半径 OA 上运动，PC⊥AB，垂足为 C， PC=5，PT 为⊙O 的切线，切点为 T． （1）如图（1），当 C 点运动到 O 点时，求 PT 的长； （2）如图（2），当 C 点运动 到 A 点时，连结 PO、BT，求证：PO∥BT； （3）如图（3），设 yPT 2 ， xAC  ，求 y 与 x 的函数关系式及 y 的 最小值． 37 （2010 广东广州）如图，⊙O 的半径为 1，点 P 是⊙O 上一点，弦 AB 垂直平分线段 OP，点 D 是弧 APB 上任一点（与端点 A、B 不重合），DE⊥AB 于点 E，以点 D 为圆心、DE 长为半径作⊙D，分别过点 A、 B 作⊙D 的切线，两条切线相交于点 C． （1）求弦 AB 的长； （2）判断∠ACB 是否为定值，若是，求出∠ACB 的大小；否则，请说明理由； （3）记△ABC 的面积为 S，若 2 S DE ＝4 3 ，求△ABC 的周长． （2011 福建莆田）已知菱形 ABCD 的边长为 1．∠ADC=60°，等边△AEF 两边分别交边 DC、CB 于点 E、F． （1）特殊发现：如图 1，若点 E、F 分别是边 DC、CB 的中点．求证：菱形 ABCD 对角线 AC、BD 交点 O 即为等边△AEF 的外心； （2）若点 E、F 始终分别在边 DC、CB 上移动．记等边△AEF 的外心为点 P． ①猜想验证：如图 2，猜想△AEF 的外心 P 落在哪一直线上，并加以证明； ②拓展运用：如图 3，当△AEF 面积最小时，过点 P 任作一直线分别交边 DA 于点 M，交边 DC 的延长线 于点 N，试判断 1 1 DM DN  是否为定值．若是．请求出该定值；若不是．请说明理由． 图 2 C P D O BA E 38 ( 2010 四川成都)在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 2y ax bx c   与 x 轴交于 A B、 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C ，点 A 的坐标为 ( 3 0) ， ，若将经过 A C、 两点的直线 y kx b  沿 y 轴向下平移 3 个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线 2x   ． （1）求直线 AC 及抛物线的函数表达式； （ 2 ） 如 果 P 是 线 段 AC 上 一 点 ， 设 △ ABP 、 △ BPC 的 面 积 分 别 为 ABPS 、 BPCS ， 且 : 2:3ABP BPCS S   ，求点 P 的坐标； （3）设⊙Q 的半径为 1，圆心 Q 在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在⊙Q 与坐标轴相切的情况？若 存在，求出圆心 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设⊙Q 的半径为 r ，圆心 Q 在抛物线上运 动，则当 r 取何值时，⊙Q 与两坐标轴同时相切？ （2010 福建福州）如图 1，在平面直角坐标系中，点 B 在直线 2y x 上， 过点 B 作 x 轴的垂线，垂足为 A，OA=5．若抛物线 21 6y x bx c   过点 O、A 两点． 39 （1）求该抛物线的解析式； （2）若 A 点关于直线 2y x 的对称点为 C，判断点 C 是否在该抛物线上，并说明理由； （3）如图 2，在（2）的条件下，⊙O1 是以 BC 为直径的圆．过原点 O 作⊙O1 的切线 OP，P 为切点（P 与 点 C 不重合），抛物线上是否存在点 Q，使得以 PQ 为直径的圆与⊙O1 相切？若存在，求出点 Q 的横坐 标；若不存在，请说明理由． 三、测试提高 1. （2011 广西崇左）已知抛物线 y=x2+4x+m（m 为常数）经过点（0，4）． （1）求 m 的值； （2）将该抛物线先向右、再向下平移得到另一条抛物线．已知平移后的抛物线满足下述两个条件：它的对 称轴（设为直线 l2）与平移前的抛物线的对称轴（设为直线 l1）关于 y 轴对称；它所对应的函数的最小值为- 8． ①试求平移后的抛物线的解析式； ②试问在平移后的抛物线上是否存在点 P，使得以 3 为半径的圆 P 既与 x 轴相切，又与直线 l2 相交？若存 在，请求出点 P 的坐标，并求出直线 l2 被圆 P 所截得的弦 AB 的长度；若不存在，请说明理由． 第十一讲 中考压轴题综合训练一 1. （2011 河南）如图，在平面直角坐标系中，直线 3 3 4 2y x  与抛物线 21 4y x bx c    交于 A、B 两 点，点 A 在 x 轴上，点 B 的横坐标为－8． （1）求该抛物线的解析式； （2）点 P 是直线 AB 上方的抛物线上一动点（不与点 A、B 重合），过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 C，交 40 直线 AB 于点 D，作 PE⊥AB 于点 E． ①设△PDE 的周长为 l ，点 P 的横坐标为 x，求 l 关于 x 的函数关系式，并求出 l 的最大值； ②连接 PA，以 PA 为边作图示一侧的正方形 APFG．随着点 P 的运动，正方形的大小、位置也随之改 变．当顶点 F 或 G 恰好落在 y 轴上时，直接写出对应的点 P 的坐标． 备用图 （2009 浙江台州）如图，已知直线 1 12y x   交坐标轴于 A、B 两点，以线段 AB 为边向上作正方形 ABCD，过点 A，D，C 的抛物线与直线的另一个交点为 E． （1）请直接写出点 C，D 的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）若正方形以每秒 5 个单位长度的速度沿射线 AB 下滑，直至顶点 D 落在 x 轴上时停止．设正方形 落在 x 轴下方部分的面积为 S ，求 S 关于滑行时间 t 的函数关系式，并写出相应自变量 t 的取值范围； （4）在（3）的条件下，抛物线也随正方形一起平移，同时停止，求抛物线上 C，E 两点间的抛物线弧所扫 过的面积． y x 12 1  xy 41 （2009 四川成都）在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y= 2( 1) ( 0)a x c a   与 x 轴交于 A、B 两点 (点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C，其顶点为 M，若直线 MC 的函数表达式为 3y kx  ，与 x 轴的 交点为 N，且 cos ∠BCO＝ 3 10 10 ． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）在此抛物线上是否存在异于点 C 的点 P，使以 N、P、C 为顶点 的三角形是以 NC 为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点 P 的 坐标；若不存在，请说明理由； （3）过点 A 作 x 轴的垂线，交直线 MC 于点 Q．若将抛物线沿其对 称轴上下平移，使抛物 线与线段 NQ 总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度? 向下最多可平移多少 个单位长度? （2011 湖北孝感）如图（1），矩形 ABCD 的一边 BC 在直角坐标系中 x 轴上，折叠边 AD，使点 D 落在 x 轴上点 F 处，折痕为 AE，已知 AB=8，AD=10，并设点 B 坐标为（ ,0m ），其中 0m＞ ． 42 （1）求点 E、F 的坐标（用含 m 的式子表示）； （2）连接 OA，若△OAF 是等腰三角形，求 m 的值； （3）如图（2），设抛物线 2( 6)y a x m h    经过 A、E 两点，其顶点为 M，连接 AM，若∠ OAM=90°，求 a、h、m 的值． （2011 浙江丽水）如图，在平面直角坐标系中，点 A（10，0）．以 OA 为直径在第一象限内作半圆 C， 点 B 是该半圆周上一动点，连接 OB、AB，并延长 AB 至点 D，使 DB=AB，过点 D 作 x 轴垂线，分别交 x 轴、直线 OB 于点 E、F，点 E 为垂足，连接 CF． (1)当∠AOB=30°时，求弧 AB 的长； (2)当 DE=8 时，求线段 EF 的长； (3)在点 B 运动过程中，是否存在以点 E、C、F 为顶点的三角形与△AOB 相似．若存在，请求出此时点 E 的坐标；若不存在，请说明理由． O B D EC F x y A 43 三、测试提高 1. (2011 浙江金华)如图，把含有 30°角的三角板 ABO 置入平面直角坐标系中，A，B 两点坐标分别为（3， 0）和(0，3 3 ）．动点 P 从 A 点开始沿折线 AO-OB-BA 运动，点 P 在 AO，OB，BA 上运动的速度分别 为 1， 3 ，2 (长度单位/秒). 一直尺的上边缘 l 从 x 轴的位置开始以 (长度单位/秒)的速度向上平行移动 （即移动过程中保持 l∥x 轴），且分别与 OB，AB 交于 E，F 两点．设动点 P 与动直线 l 同时出发，运动 时间为 t 秒，当点 P 沿折线 AO-OB-BA 运动一周时，直线 l 和动点 P 同时停止运动． 请解答下列问题： （1）过 A，B 两点的直线解析式是 ； （2）当 t﹦4 时，点 P 的坐标为 ；当 t ﹦ ，点 P 与点 E 重合； （3）① 作点 P 关于直线 EF 的对称点 P′． 在运动过程中，若形成的四边形 PEP′F 为菱形，则 t 的值 是多少？ ② 当 t﹦2 时，是否存在着点 Q，使得△FEQ ∽△BEP? 若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 第十二讲 中考压轴题综合训练二 （2011 湖北咸宁）如图，在平面直角坐标系中，直线 43 4  xy 分别交 x 轴， y 轴于 A，B 两点，点 C 为 OB 的中点，点 D 在第二象限，且四边形 AOCD 为矩形． （1）直接写出点 A，B 的坐标，并求直线 AB 与 CD 交点的坐标； （2）动点 P 从点 C 出发，沿线段 CD 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 D 运动；同时，动点 M 从点 A 出 发，沿线段 AB 以每秒 3 5 个单位长度的速度向终点 B 运动，过点 P 作 OAPH  ，垂足为 H，连接 MP， MH．设点 P 的运动时间为 t 秒． 44 ①若△MPH 与矩形 AOCD 重合部分的面积为 1，求 t 的值； ②点 Q 是点 B 关于点 A 的对称点，问 BP+PH+HQ 是否有最小值，如果有，求出相应的点 P 的坐标；如果 没有，请说明理由． 备用图 1 备用图 2 （2011 江苏苏州）已知二次函数   2 6 8 0y a x x a    的图象与 x 轴分别交于点 A、B，与 y 轴交于 点 C．点 D 是抛物线的顶点． （1）如图①，连接 AC，将△OAC 沿直线 AC 翻折，若点 O 的对应点 O'恰好落在该抛物线的对称轴上，求 实数 a 的值； （2）如图②，在正方形 EFGH 中，点 E、F 的坐标分别是（4，4）、（4，3），边 HG 位于边 EF 的右 侧．小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点 P 是边 EH 或边 HG 上的任意一点，则四条线段 PA、PB、PC、PD 不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段不能构成平行四边 形）．”若点 P 是边 EF 或边 FG 上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过 程； （3）如图②，当点 P 在抛物线对称轴上时，设点 P 的纵坐标 t 是大于 3 的常数，试问：是否存在一个正数 a，使得四条线段 PA、PB、PC、PD 与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能构成平行四边 形）？请说明理由． 45 （2010 浙江舟山）如图，在菱形 ABCD 中，AB=2cm， ∠BAD=60°，E 为 CD 边中点，点 P 从点 A 开始沿 AC 方向以每秒 2 3 cm 的速度运动，同时，点 Q 从 点 D 出发沿 DB 方向以每秒 1cm 的速度运动，当点 P 到达点 C 时，P，Q 同时停止运动，设运动的时间为 x 秒 （1） 当点 P 在线段 AO 上运动时． ①请用含 x 的代数式表示 OP 的长度； ②若记四边形 PBEQ 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2） 显然，当 x=0 时，四边形 PBEQ 即梯形 ABED，请问，当 P 在线段 AC 的其他位置时，以 P，B， E，Q 为顶点的四边形能否成为梯形？若能，求出所有满足条件的 x 的值；若不能，请说明理由． （ 2011 北 京）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，我 们把由两条射线 AE，BF 和以 AB 为 直 径 的半圆所组成的图形叫作图形 C． 已知 A（ 1 ， 0 ），B（1， 0 ），AE∥BF，且半圆与 y 轴的交点 D 在射线 AE 的反向延长线上． （1）求两条射线 AE，BF 所在直线的距离； （2）当一次函数 y x b  的图象与图形 C 恰好只有一个公共点时，写出 b 的取值范围；当一次函数 y=x+b 的图象与图形 C 恰好只有两个公共点时，写出 b 的取值范围； （3）已知□AMPQ（四个顶点 A、M、P、Q 按顺时针方向排列）的各顶点都在图形 C 上，且不都在两条射 线上，求点 M 的横坐标 x 的取值范围． Q E O A C D B P 46 1. （2011 广东珠海）如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝AB＝1，BC＝2．将点 A 折叠到 CD 边上，记折叠后 A 点对应的点为 P（P 与 D 点不重合），折痕 EF 只与边 AD、BC 相交，交点分别为 E、F．过点 P 作 PN∥BC 交 AB 于 N、交 EF 于 M，连结 PA、PE、AM，EF 与 PA 相交于 O． （1）指出四边形 PEAM 的形状（不需证明）； （2）记∠EPM＝a，△AOM、△AMN 的面积分别为 S1、S2． ① 求证：＝PA2． ② 设 AN＝x，y＝，试求出以 x 为自变量的函数 y 的解析式，并确定 y 的取值范围．