中考数学三轮真题集训冲刺知识点12一元二次方程pdf含解析

中考数学三轮真题集训冲刺知识点12一元二次方程pdf含解析

1 / 8 一、选择题 1．(2019·泰州) 方程 2x2+6x－1＝0 的两根为 x1、x2,则 x1+x2 等于( ) A.－6 B.6 C.－3 D.3 【答案】C 【解析】根据一元二次方程根与系数的关系,x1+x2＝ − 6 2 ＝－3,故选 C. 2．（2019·烟台）当b + c = 5 时，关于 x 的一元二次方程3x2 + bx − c = 0 的根的情况为（ ）． A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【解析】因为b + c = 5 ，所以 c = 5−b ，因为 ∆ = b2 − 4×3×c = b2 − 4×3×(5−b) = (b − 6)2 + 24 > 0 ， 所以该一元二次方程有两个不相等的实数根． 3．（2019·威海）已知 a，b 是方程 x2+x－3＝0 的两个实数根，则 a2－b+2019 的值是（ ） A.2023 B.2021 C.2020 D.2019 【答案】A 【解析】根据一元二次方程的解的定义，得 a2＋ a－ 3＝ 0，所以 a2＝ － a＋3，再利用根与系数的关， 得 a+b＝ － 1，然后利用整体代入方法计算．原 式 ＝ － a＋ 3－ b＋ 2019＝ －（ a＋ b）＋ 3＋ 2019 ＝ － （ － 1） ＋ 3＋ 2019＝ 202， 故 选 A. 4．（2019·盐城）关于 x 的一元二次方程 x2 +kx-2=0(k 为实数）根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 D. 不能确定 【答案】A 【解析】∵a=1，b=k，c=-2，∴△=b2-4ac=k2-4×1×(-2)=k2+8＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选 A． 5．（2019·山西）一元二次方程 x2－4x－1＝0 配方后可化为( ) A.(x+2)2＝3 B.(x+2)2＝5 C.(x－2)2＝3 D.(x－2)2＝5 【答案】D 【解析】原方程可化为:x2－4x＝1,x2－4x+4＝1+4,(x－2)2＝5,故选 D. 6．（2019·淮安）若关于 x 的一元二次方程 x2 + 2x − k = 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 （ ） A.k<-1 B.k>-1 C.k<1 D.k>1 【答案】B 【解析】∵关于 x 的一元二次方程 x2 + 2x − k = 0 有两个不相等的实数根， ∴△= 22 − 4×1×(−k) = 4 + 4k ＞0， ∴k＞-1. 知识点 12——一元二次方程 2 / 8 7．（2019·黄冈）若x1，x2是一元一次方程x2－4x－5＝0的两根，则x1·x2的值为 （ ） A.－5 B.5 C.－4 D.4 【答案】A 【解析】由根与系数的关系可知 x1·x2＝-5. 8. （2019·怀化）一元二次方程 x2+2x+1=0 的解是（ ） A.x1=1，x2=-1 B.x1=x2=1 C.x1=x2=-1 D.x1=-1，x2=2 【答案】C. 【解析】方程 x2+2x+1=0， 配方可得(x+1)2=0， 解得 x1=x2=-1. 故选 C. 9. （2019·滨州）用配方法解一元二次方程 x2－4x+1＝0 时，下列变形正确的是（ ） A．（x－2）2＝1 B．（x－2）2＝5 C．（x+2）2＝3 D．（x－2）2＝3 【答案】D 【解析】x2－4x+1=0，移项得 x2－4x=－1，两边配方得 x2－4x+4=－1+4，即（x－2）2=3．故选 D． 10. (2019·聊城)若关于 x 的一元二次方程(k－2)x2－2kx+k＝6 有实数根,则 k 的取值范围为 （ ） A.k≥0 B.k≥0 且 k≠2 C.k≥ 2 3 D.k≥ 2 3 且 k≠2 【答案】D 【解析】∵原方程是一元二次方程,∴k－2≠0,∴k≠2,∵其有实数根,∴(－2k)2－4(k－2)k≥0,解之得,k≥ 3 2 ,∴k 的取值范围为 k≥ 3 2 且 k≠2,故选 D. 11. （2019·潍坊）关于 x 的一元二次方程 x2 + 2mx + m2 + m = 0 的两个实数根的平方和为 12，则 m 的 值为（ ） A．m=－2 B．m=3 C．m=3 或 m=－2 D．m=3 或 m=2 【答案】A 【解析】由题意可得： x1 2 + x2 2 = (x1 + x2 )2 − 2x1x2 =12， 因为： 1 2 2 1 2 2,xx m xx m m +=−  = + 所以： 22( 2 ) 2( ) 12m mm− − +=， 解得：m1=3，m2=－2； 当 m=3 时 Δ=62－4×1×12＜0，所以 m=3 应舍去； 3 / 8 当 m=－2 时 Δ=(－4)2－4×1×2＞0，符合题意． 所以 m=－2，故选择 A． 12. （2019·淄博）若 x1 + x2 = 3, x1 2 + x2 2 = 5, 则以 x1, x2 为根的一元二次方程是（ ） A. x2 −3x + 2 = 0 B. x2 + 3x − 2 = 0 C. x2 + 3x + 2 = 0 D. x2 −3x − 2 = 0 【答案】A. 【解析】(x1 + x2 )2 = x1 2 + x2 2 + 2x1 ⋅ x2 , 又∵ x1 + x2 = 3, x1 2 + x2 2 = 5, ∴ 2x1 ⋅ x2 = (x1 + x2 )2 − (x1 2 + x2 2 ) = 9 −5 = 4, ∴ x1, x2 = 2 ， ∴以 x1, x2 为根的一元二次方程是 x2 −3x + 2 = 0 . 故选 A. 13.（2019·自贡）关于 x 的一元二次方程 x2-2x+m=0 无实数根，则实数 m 的取值范围是（ ） A.m＜1 B.m≥1 C.m≤1 D.m＞1 【答案】D. 【解析】∵方程无实数根， ∴△=(-2)2-4×1·m=4-4m＜0. 解得，m＞1. 故选 D. 14. （2019·金华）用配方法解方程 x2－6x－8＝0 时，配方结果正确的是（ ） A. (x − 3)2 =17 B. (x − 3)2 =14 C. (x − 6)2 = 44 D. (x − 3)2 =1 【答案】A． 【解析】解方程 x2－6x－8＝0，配方,得（x－3）2＝17，故选 A． 15. (2019·宁波) 能说明命题”关于 x 的方程 x2－4x+m＝0 一定有实数根”是假命题的反例为（ ） A.m＝－1 B.m＝0 C.m＝4 D.m＝5 【答案】D 【解析】方程的根的判别式 ∆ ＝(－4)2－4m＝16－4m,当 ∆ <0 时,方程无实数根,∴应使 16－4m<0,即 m>4, 可得原方程无实数根,四个选项中,只有 m＝5 符合条件,故选 D. 二、填空题 4 / 8 1．（2019·嘉兴）在 x2+ +4＝0 的括号中添加一个关于 x 的一次项，使方程有两个相等的实数 根． 【答案】 ±4x 【解析】根据一元二次方程有两个相等的实数根的条件可知，则△＝b2﹣4ac＝b2﹣16＝0，得 b＝±4, 故一次项为±4x，故答案为 ±4x . 2．(2019·泰州)若关于 x 的方程 x2+2x+m＝0 有两个不相等的实数根,则 m 的取值范围是________. 【答案】m<1 【解析】该方程的根的判别式 ∆ ＝22－4m＝4－4m,因为有两个不相等的实数根,∴4－4m>0,所以 m<1. 3．（2019·威海） 一元二次方程 3x2＝4－2x 的解是________. 【答案】 1 1 13 3x −+= ， 2 1 13 3x −−= 【解析】直接利用公式法解 一元二次方程得出答案．3x2＝4-2x 即 3x2+2x-4＝ 0，则△ b2-4ac ＝ 4-4×3×（ -4）＝52＞0， ∴ 2 56 6x −±= ∴ 1 1 13 3x −+= ， 2 1 13 3x −−= . 4．（2019·盐城）设 x1 、 x2 是方程 x2－3x + 2＝0 的两个根，则 x1 + x2 − x1 ⋅ x2 = ． 【答案】1 【解析】根据一元二次方程中根与系数的关系，由韦达定理可知 x1 x2 b 3 x1 x2 c 2aa += = ⋅==－ ， ，得 x1 + x2 − x1 ⋅ x2 =1. 5．（2019·青岛）若关于 x 的 一 元二欠方程 2x 2 -x+m ＝0 有两个相等的实数根，则 m 的值为 . 【答案】 1 8 【解析】本题考查一元二次方程根的判别式,因为一元二次方程有两个相等的实数根,所以△=(-1)2-4× 2m=1-8m=0,解得 m= 1 8 . 6．（2019·江西）设 x1 ， x2 是一元二次方程 x2 − x −1= 0 的两根，则 x1 + x2 + x1x2 = . 【答案】0 【解析】∵ x1 ， x2 是一元二次方程 x2 − x −1= 0 的两根， ∴ x1 + x2 = 1， x1x2 = -1， ∴ x1 + x2 + x1x2 =1+（-1）=0. 5 / 8 7．（2019·武汉） 抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过点 A（－3，0）、B（4，0）两点，则关于 x 的一元二次方程 a（x－1）2＋c＝b－bx 的解是___________． 【答案】x＝－2 或 5 【解析】∵抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过点 A（－3，0）、B（4，0）两点，∴y＝a（x＋3）（x－4）＝ax2－ 2ax－12a．∴b＝－2a，c＝－12a．∴一元二次方程为 a（x－1）2－12a＝－2a＋2ax，整理，得 ax2－3ax－ 10a＝0,∵a≠0，∴x2－3x－10＝0，解得 x1＝－2，x2＝5． 8.（2019·济宁）已知 x＝1 是方程 x2＋bx－2＝0 的一个根，则方程的另一个根是 ． 【答案】－2 【解析】方法 1：把 x＝1 代入得 1＋b－2＝0，解得 b＝1，所以方程是 x2 ＋x－2＝0，解得 x1＝1，x2＝ －2． 方法 2：设方程另一个根为 x1，由根与系数的关系知 1×x1＝－2．∴x1＝－2． 9．（2019·陇南）关于 x 的一元二次方程 x2+ x+1＝0 有两个相等的实数根，则 m 的取值 为 ． 【答案】4． 【解析】∵关于 x 的一元二次方程 x2+ m x+1=0 有两个相等的实数根，∴( m)2 − 4×1×1=0，解得， m=4， 故答案为：4． 10. (2019·泰安)已知关于 x 的一元二次方程 x2－(2k－1)x+k2+3＝0 有两个不相等的实数根,则实数 k 的 取值范围是________. 【答案】k< 11 4 − 【解析】∵关于 x 的一元二次方程 x2－(2k－1)x+k2+3＝0 有两个不相等的实数根,∴ ∆ ＝(2k－1)2－ 4(k2+3)>0,解之,得 k< 11 4 − . 11. (2019·枣庄)已知关于 x 的方程 ax2+2x－3＝0 有两个不相等的实数根,则 a 的取值范围是________. 【答案】a> − 1 3 且 a≠0 【解析】因为关于 x 的方程 ax2+2x－3＝0 有两个不相等的实数根,∴a≠0,且 22－4a(－3)>0,解之得,a> 1 3 − 且 a≠0. 12．（2019·娄底）已知方程 x2 + bx + 3 = 0 的一根为 5 + 2 ，则方程的另一根为___________． 【答案】 5 − 2 ． 【解析】设原方程的另一个根为 x1 ，则由一元二次方程根与系数的关系 1 2 cxx a = 得 ( )1 5 23x ×+ = 6 / 8 ∴ ( ) ( )( )1 35 23 52 52 5252 x − = = = − + + − ． 13. （2019·眉山） 设 a、b 是方程 x2+x-2019=0 的两个实数，根则（a-1）（b-1）的 值 为 ． 【答案】-2017 【解析】解：根据题意，得：a+b=-1，ab=-2019，∴（a-1）（b-1）=ab-（a+b）+1=-2019+1+1=-2017， 故答案为：-2017. 14. （2019·攀枝花）已知 x1、x2 是方程 x2－2x－1＝0 的两根，则 x1 2 + x2 2 ＝ 。 【答案】6 【解析】由一元二次方程根与系数的关系可得 x1＋x2＝2，x1x2＝－1，∴ x1 2 + x2 2 ＝（x1＋x2）2－2x1x2＝ 22＋2＝6． 三、解答题 1．（2019 年浙江省绍兴市，第 17 题，8 分 ） （2） x 为何值时，两个代数式 x2 +1,4x +1的值相等？ 【解题过程】 2．（2019 浙江省杭州市，21，10 分）(本题满分 10 分) 如 图.已知正方形 ABCD 的边长为 1，正方形 CEFG 的面积为 S1，点 E 在 DC 边上，点 G 在 BC 的延长线.设以线段 AD 和 DE 为邻边的矩形的面积为 S2.且 S1=S2. (1)求线段 CE 的长. (2)若点 H 为 BC 边的中点，连接 HD，求证:HD=HG. 【解题过程】（1）设正方形 CEFG 的边长为 a， ∵正方形 ABCD 的边长为 1，∴DE=1-a， ∵S1=S2，∴a2=1×（1-a）， 解得， （舍去）， ，即 线 段 CE 的 长是 ； （第 2题） H G F DA B C E 7 / 8 （2）证明：∵点 H 为 BC 边的中点，BC=1，∴CH=0.5，∴DH= = ， ∵CH=0.5，CG= ，∴HG= ，∴HD=HG． 3．（2019·衡阳）关于 x 的一元二次方程 x2－3x＋k＝0 有实数根. （1）求 k 的取值范围； （2）如果 k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m－1）x 2＋x＋m－3＝0 与方程 x2－3x＋k＝0 有 一个相同的根，求此时 m 的值. 解：(1)由一元二次方程 x2－3x＋k＝0 有实根，得判别式�＝9－4k≥0，�k≤ 9 4 . (2)k 的最大整数为 2，所以方程 x2－3x＋2＝0 的根为 1 和 2. ∵方程 x2－3x＋k＝0 与一元二次方程（m－1）x 2＋x＋m－3＝0 有一个相同根， ∴当 x＝1 时，方程为（m－1）＋1＋m－3＝0，解得 m＝ 3 2 ； 当 x＝2 时，方程为（m－1）×2 2＋2＋m－3＝0，解得 m＝1（不合题意）， 故 m＝ 3 2 . 4．（2019·常德）解方程： x2 − 3x －2＝0 【解题过程】解： x2 − 3x －2＝0，∵a＝1，b＝－3，c＝－2，∴△＝ b2 − 4ac ＝17，∴ 1 3 17 2x += ， 2 3 17 2x −= 5．（2019 安徽）解方程：（x﹣1）2=4. 【解题过程】解：（x﹣1）2=4，所以 x﹣1=2，或 x﹣1=﹣2，…………4 分 即 x=3，或 x=﹣1. ………………6 分 所以，原方程的解为 x1=3，x2=﹣1. ………………8 分 6. (2019·巴中)已知关于 x 的一元二次方程 x2+(2m+1)x+m2－1＝0 有两个不相等的实数根. ①求 m 的取值范围; ②设 x1,x2 是方程的两根且 x12+x22+x1x2－17＝0,求 m 的值. 解：① D＝(2m+1)2－4(m2－1)＝4m+5,因为原方程有两个不相等的实数根,所以 4m+5>0,m> - 5 4 ; ②由根与系数的关系,x1+x2＝－(2m+1),x1x2＝m2－1,所以原方程可化为(x1+x2)2－x1x2－17＝0,即(2m+1)2 －(m2－1)－17＝0,解之,得 m1＝ 5 3 ,m2＝－3,因为 m> - 5 4 ,所以 m＝ 5 3 . 7. （2019·无锡）解方程：（1） x2 − 2x −5 = 0 解： x2 − 2x −5 = 0 ，∵△＝4+20＝24＞0，∴x1 =1+ 6 ，x2 =1- 6 ． 8．（2019·滨州）用配方法解一元二次方程 x2－4x+1＝0 时，下列变形正确的是（ ） 8 / 8 A．（x－2）2＝1 B．（x－2）2＝5 C．（x+2）2＝3 D．（x－2）2＝3 【答案】D 【解析】x2－4x+1=0，移项得 x2－4x=－1，两边配方得 x2－4x+4=－1+4，即（x－2）2=3．故选 D． 9.（2019·遂宁）已知关于 x 的一元二次方程（a-1)x2-2x+a2-1=0 有一个根为 x=0，则 a 的值为 ( ) A. 0 B. ±1 C. 1 D.-1 【答案】D 【解析】当 x=0 时，a2-1=0，∴a= ±1，∵是一元二次方程，∴a≠1，∴a=-1,故选 D. 10.（2019·遂宁）若关于 x 的方程 x2-2x+k=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围为______. 【答案】k<1 【解析】由于方程有两个不相等的实数根，所以△>0,∴4-4k>0,∴k<1. 11．（2019山东省德州市，21，10） 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启 发，让人字样浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书 馆．据统计，第一个月进馆128 人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608 人次，若进 馆人次的月平均增长率相同． （1）求进馆人次的月平均增长率； （2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力补超过 500 人次，在进馆人次的月平均增长率的条件下， 校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由． 【解题过程】解：（1）设进馆人次的月平均增长率为 x，根据题意，得： 128＋128 (1＋x)＋128 (1 ＋x)2＝608 解得 x1＝0.5；x2＝－3.5（舍去）．答：进馆人次的月平均增长率为 50%． （2）第四个月进馆人数为 128(1＋ 1 2 )3＝432（人次），∵432＜500，∴校图书馆能接纳第四个月的 进馆人次．