2008年北京市朝阳区中考数学一模试卷

2008年北京市朝阳区中考数学一模试卷

‎23 2008年北京市朝阳区中考数学一模试卷 第Ⅰ卷(机读卷 共32分)‎ 一、选择题(共8个小题，每小题4分，共32分)‎ ‎1．－4的倒数是( )‎ A．4 B．－‎4 ‎C． D．‎ ‎2．下列各式计算正确的是( )‎ A．3x－2x＝1 B．(x2)3＝x5‎ C．x3·x＝x4 D．(a＋b)(b－a)＝a2－b2‎ ‎3．人体中红细胞的直径约为‎0.0000077m，将数字0.0000077用科学记数法表示为( )‎ A．7.7×10－5 B．7.7×10－6‎ C．77×10－7 D．0.77×10－5‎ ‎4．要比较两位同学在五次体育测验中谁的成绩比较稳定，应选用的统计量是( )‎ A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 ‎5．函数中，自变量x的取值范围是( )‎ A．x≥－2且x≠0 B．x≥－2‎ C．x＞－2且x ≠0 D．x＞－2‎ ‎6．某校准备在八年级(1)班的10名团员中选2名作为“奥运志愿者”，其中团员晶晶被选中的概率为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎7．下列所给的正方体的四个展开图中，是中心对称图形的有( )‎ 第7题图 A．①②③ B．①②④‎ C．②③④ D．①②③④‎ ‎8．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c，OA＝OC，下列关系式中正确的是( )‎ 第8题图 A．ac＋1＝b B．ab＋1＝c C．bc＋1＝a D．ab＋c＝0‎ 第Ⅱ卷(非机读卷 共88分)‎ 二、填空题(共4个小题，每小题4分，共16分)‎ ‎9．因式分解ax2－10ax＋‎25a＝________．‎ ‎10．下面是按一定规律排列的北京2008奥运会28项比赛项目中的五项比赛项目的图标(如图)，按此规律画出的第2008个图标应该是________．(请在横线上写出符合题意的比赛项目名称)‎ 第10题图 ‎11．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，以点C为圆心、CA长为半径的圆交AB于点D，若AC＝6，则的长为_______．‎ 第11题图 ‎12．已知等腰三角形ABC内接于半径为5的⊙O中，如果底边BC的长为8，那么底角的正切值是________．‎ 三、解答题(共13个小题，共72分)‎ ‎13．(5分)计算2－1＋－4sin60°－(－)0．‎ ‎14．(5分)已知a2－a－1＝0，求代数式的值．‎ ‎15．(5分)解方程．‎ ‎16．(5分)为了让学生知道更多的奥运知识，某中学举行了一次奥运知识竞赛．为了解这次竞赛的成绩情况，抽取部分学生成绩(成绩取整数，满分为100分)作为样本，绘制了如下的直方图，请结合此图回答下列问题：‎ ‎(1)此样本抽取了多少名学生的成绩?‎ ‎(2)此样本数据的中位数落在哪一个范围内?‎ ‎(3)若这次竞赛成绩80分以上(不含80分)的学生可获奖，请估计获奖人数占参赛总人数的百分比是多少．‎ 第16题图 ‎17．(5分)如图，某场馆门前台阶的总高度CB为‎0.9m，为了方便残疾人通行，该场馆决定将其中一个门的门前台阶改造成供轮椅通行的斜坡，并且设计斜坡的倾斜角∠A为8°，请计算从斜坡起点A到台阶最高点D的距离(即斜坡AD的长)．‎ ‎(结果精确到‎0.1m，参考数据：sin8°≈0.14，cos8°≈0.99，tan8°≈0.14)‎ 第17题图 ‎18．(5分)如图，在矩形ABCD中，以点B为圆心、BC长为半径画弧，交AD于点E，连结BE，过点C作CF⊥BE，垂足为F．猜想线段BF与图中现有的哪一条线段相等．‎ 先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明．‎ 结论：BF＝________．‎ 第18题图 ‎19．(5分)列方程(组)解应用题．‎ 某新建公园的绿化给公园周边的环境带来了明显的改善．下面的条形统计图是近几年来这个新建公园绿地面积的变化图，请你根据图中所给的数据解答下列问题：‎ ‎(1)求这个公园2005年底至2007年底这两年绿地面积的年平均增长率；‎ ‎(2)根据这个平均增长率，请你预测2008年底这个公园的绿地面积将达到多少万平方米．‎ 第19题图 ‎20．(5分)如图，在矩形ABCD中，AD＝‎8cm，AB＝‎6cm，点A处有一动点E以‎1cm／s的速度由点A向点B运动，同时点C处也有一动点F以‎2cm／s的速度由点C向点D运动，设运动的时间为xs，四边形EBFD的面积为ycm2，求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围．‎ 第20题图 ‎21．(5分)已知a、b是关于x的一元二次方程kx2＋2(k－3)x＋k＋3＝0的两个实数根，其中k为非负整数，点A(a，b)是一次函数y＝(k－2)x＋m与反比例函数的图象的交点，且m、n为常数．‎ ‎(1)求k的值；‎ ‎(2)求一次函数与反比例函数的解析式．‎ ‎22．(5分)已知：如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，垂足为M，AB＝4，CD＝2，点E在AB的延长线上，且tanE＝．‎ ‎(1)求证：DE是⊙O的切线．‎ ‎(2)将△ODE平移，平移后所得的三角形记为△．求当点与点C重合时，△与⊙O重合部分的面积．‎ 第22题图 ‎23．(7分)我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，则称这个四边形为等平方和四边形．‎ ‎(1)写出一个你所学过的特殊四边形中是等平方和四边形的图形的名称：________．‎ ‎(2)如图①，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，垂足为O．‎ 求证：AD2＋BC2＝AB2＋DC2，即四边形ABCD是等平方和四边形．‎ 第23题图①‎ ‎(3)如果将图①中的△AOD绕点O按逆时针方向旋转角a (0°＜a ＜90°)后得到图②，那么四边形ABCD能否成为等平方和四边形?若能，请证明；若不能，请说明理由．‎ 第23题图②‎ ‎24．(7分)如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，则有结论EF＝BE＋FD成立．‎ 第24题图 ‎(1)如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF是∠BAD的一半，那么结论EF＝BE＋FD是否仍然成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由．‎ ‎(2)若将(1)中的条件改为：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，延长BC到点E，延长CD到点F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，则结论EF＝BE＋FD是否仍然成立?若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．‎ ‎25．(8分)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C(0，3)，过点C作x轴的平行线，与抛物线交于点D，抛物线的顶点为M，直线y＝x＋5经过D、M两点．‎ ‎(1)求此抛物线的解析式；‎ ‎(2)连结AM、AC、BC，试比较∠MAB和∠ACB的大小，并说明你的理由．‎ 答 案 ‎23．2008年北京市朝阳区中考数学一模试卷 一、选择题 ‎1．D 2．C 3．B 4．D 5．A 6．B 7．B 8．A 二、填空题 ‎9．a(x－5)2 10．体操 11．2p 12．2或 三、解答题 ‎13．解：原式．‎ ‎14．解：∵a2－a－1＝0，∴a2－a＝1．．‎ ‎15．解：方程两边同时乘(x＋1)(x－1)，得x(x－1)－3＝(x＋1)(x－1)．x2－x－3＝x2－1，x＝－2．经检验：x＝－2是原方程的解．‎ ‎16．解：(1)52＋23＋15＋10＝100，故此样本抽取了100名学生的成绩．‎ ‎(2)中位数落在80.5～90.5这个范围内．‎ ‎(3)(23＋52)÷100＝75％，估计获奖人数占参赛总人数的75％．‎ ‎17．解：过点D作DE⊥AB于点E．∵∠B＝90°，CD∥AB，∴DE＝CB＝0.9．在Rt△ADE中，．‎ 故斜坡AD的长约为‎6.4m．‎ 第17题答图 ‎18．结论：BF＝AE．‎ 第18题答图 证明：在矩形ABCD中，∵AE∥BC，∴∠1＝∠2．‎ ‎∵CF⊥BE，∴∠BFC＝90°．∴∠A＝∠BFC＝90°．‎ 由题意得，BC＝BE．在△AEB和△FBC中，‎ ‎∴△AEB≌△FBC(AAS)．∴BF＝AE．‎ ‎19．解：(1)设这两年绿地面积年平均增长率为x．‎ 依题意，得90(1＋x)2＝108.9．‎ 解得x1＝0.1，x2＝－2.1(不合题意，舍去)．‎ ‎∴x＝0.1＝10％．‎ 故这两年绿地面积年平均增长率为10％．‎ ‎(2)108.9(1＋10％)＝119.79．‎ 故预测2008年底这个公园的绿地面积将达到119.79万平方米．‎ ‎20．解：依题意，得AE＝x，CF＝2x．‎ 在矩形ABCD中，AB∥DC,AB＝CD＝6，AD＝8，‎ ‎∴BE＝6－x，DF＝6－2x．‎ ‎∴四边形EBFD的面积．‎ 即y＝－12x＋48．‎ 自变量x的取值范围是0≤x＜3．‎ ‎21．解：(1)依题意，得[2(k－3)]2－4k(k＋3)≥0且k≠0．‎ 解得k≤1且k≠0．‎ ‎∵k为非负整数，∴k＝1．‎ ‎(2)当k＝1时，原方程化为x2－4x＋4＝0．‎ 解得x1＝x2＝2．‎ ‎∴A(2，2)．‎ 把A(2，2)和k＝1代入y＝(k－2)x＋m，得m＝4．‎ ‎∴一次函数的解析式是y＝－x＋4．‎ 把A(2，2)代入，得n＝4．‎ ‎∴反比例函数的解析式是．‎ ‎22．(1)证明：∵弦CD⊥直径AB，AB＝4，CD．‎ ‎，．‎ 在Rt△OMD中，，‎ ‎∴∠DOM＝60°．‎ 在Rt△DME中，∴∠E＝30°．‎ ‎∴∠ODE＝90°．又∵OD是⊙O的半径，‎ ‎∴DE是⊙O的切线．‎ 第22题答图①‎ 第22题答图②‎ ‎(2)解：∵∠ODE＝90°，OD＝2，∠E＝30°，∴DE＝2．‎ 在Rt△ODM中，OM＝1．‎ 又∵，AM＝3，‎ ‎∴在Rt△ACM中，‎ 由勾股定理得AC＝2，‎ ‎∴AC＝DE＝．‎ ‎∵点与点C重合，‎ ‎∴平移后的与AC重合．‎ 设交⊙O于点F，连结OF、OC、AF，‎ 由平移的性质得△ODE≌△，‎ ‎∴∠＝∠E＝30°．∴∠AOF＝2∠＝60°．‎ 由平移的性质可知FC∥AO．‎ 在Rt△FCD中，可求得FC＝2，∠CFO＝∠FOA＝60°．‎ ‎∴△FOC为等边三角形．∵FC＝OA＝2，∴S△AFO＝S△AFC．‎ ‎．‎ ‎23．(1)菱形或正方形；‎ ‎(2)证明：∵AC⊥BD，‎ ‎∴∠AOD＝∠BOC＝∠AOB＝∠DOC＝90°．‎ ‎∴OA2＋OD2＝AD2,OB2＋OC2＝BC2,‎ OA2＋OB2＝AB2,OD2＋OC2＝DC2．‎ ‎∴AD2＋BC2＝AB2＋DC2．‎ 即四边形ABCD是等平方和四边形．‎ ‎(3)解：四边形ABCD是等平方和四边形．‎ 证明：原梯形记为，依题意旋转后得四边形ABCD，连结AC、BD，相交于点．‎ ‎∵∥BC，∴△∽△COB．‎ ‎．‎ ‎∵＝OA,＝OD,‎ ‎．‎ ‎∵∠＝∠＝a ,‎ ‎∴∠AOC＝∠DOB＝180°－a ．‎ 又，∴△AOC∽△DOB．‎ ‎∴∠1＝∠2．又∵∠3＝∠4,‎ ‎∴∠AD＝∠AOD＝90°．‎ 第23题答图 由(2)的结论得AD2＋BC2＝AB2＋DC2．‎ 即四边形ABCD是等平方和四边形．‎ ‎24．解：(1)结论EF＝BE＋FD成立．‎ 延长EB到G，使BG＝FD，连结AG．如图①．‎ ‎∴∠ABG＝∠D＝90°，且AB＝AD，‎ ‎∴△ABG≌△ADF．∴AG＝AF且∠1＝∠2．∵，∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝．‎ ‎∴∠GAE＝∠EAF．‎ 又AE＝AE，∴△AEG≌△AEF．‎ ‎∴EG＝EF．‎ ‎∴EF＝BE＋BG＝BE＋FD．‎ 第24题答图①‎ ‎(2)结论EF＝BE＋FD不成立，‎ 应当是EF＝BE－FD．‎ 在BE上截取BG，使BG＝FD，连结AG．‎ 如图②．‎ ‎∵∠B＋∠ADC＝180°,‎ ‎∠ADF＋∠ADC＝180°,‎ ‎∴∠B＝∠ADF．∵AB＝AD,∴△ABG≌△ADF．‎ ‎∴AG＝AF且∠1＝∠2．‎ ‎∵，∴．‎ ‎∴∠GAE＝∠EAF．‎ ‎∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG＝EF．‎ ‎∴EF＝BE－BG＝BE－FD．‎ 第24题答图②‎ ‎25．解：(1)∵CD∥x轴且点C(0，3)，∴设点D的坐标为(x，3)．‎ ‎∵直线y＝x＋5经过D点，‎ ‎∴3＝x＋5，得x＝－2．即点D(－2，3)．‎ 根据抛物线的对称性可设顶点M的坐标为(－1，y)．‎ 又∵直线y＝x＋5经过M点，∴y＝－1＋5，得y＝4．即M(－1，4)．‎ ‎∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)2＋4．‎ ‎∵点C(0，3)在抛物线上，‎ ‎∴3＝a＋4，得a＝－1．‎ 即抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3．‎ 第25题答图 ‎(2)作BP⊥AC于点P，MN⊥AB于点N．由(1)中的抛物线y＝－x2－2x＋3可得点A(－3，0)，B(1，0)，∴AB＝4，AO＝CO＝3，AC＝3．∴∠PAB＝45°．‎ ‎∴∠ABP＝45°．‎ ‎∴ PA＝PB＝2．‎ ‎∴ PC＝AC－PA＝．‎ 在Rt△PBC中，．‎ ‎∵M(－1,4),∴MN＝4,AN＝2．‎ Rt△ANM中，．‎ ‎∴∠BCP＝∠NAM．‎ 即∠ACB＝∠MAB．‎