人教版九年级数学上册第二十二章二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质课件

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人教版九年级数学上册第二十二章二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质课件

第二十二章 二次函数 人教版 九年级数学上册 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 导入新课 复习引入 y=a(x-h)2+k a>0 a<0 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性 极值 向上 向下 (h ,k) (h ,k) x=h x=h 当xh时, y随着x的增大而增大. 当xh时, y随着x的增大而减小. x=h时,y最小=k x=h时,y最大=k 抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的. 顶点坐标 对称轴 最值 y=-2x2 y=-2x2-5 y=-2(x+2)2 y=-2(x+2)2-4 y=(x-4)2+3 y=-x2+2x y=3x2+x-6 (0,0) y轴 0 (0,-5) y轴 -5 (-2,0) 直线x=-2 0 (-2,-4) 直线x=-2 -4 (4,3) 直线x=4 3 ? ? ? ? ? ? 讲授新课 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质一 探究归纳 我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质,能否利用这些 知识来讨论 的图象和性质?21 6 212y x x   问题1 怎样将 化成y=a(x-h)2+k的形式? 21 6 212y x x   21 6 212y x x  配方可得 2 2 21 ( 12 6 6 42)2 x x     21 ( 12 42)2 x x   2 2 21 [( 12 6 ) 6 42]2 x x     21 [( 6) 6]2 x   21 ( 6) 3.2 x   想一想:配方的方法及 步骤是什么? 配 方 2162 1 2  xxy 你知道是怎样配方的吗? (1)“提”:提出二次项系数; (2)“配”:括号内配成完全平方; (3)“化”:化成顶点式. 提示:配方后的 表达式通常称为 配方式或顶点式. 3)6(2 1 2  xy 问题2 你能说出 的对称轴及顶点坐标吗?21 ( 6) 32y x   答:对称轴是直线x=6,顶点坐标是(6,3). 问题3 二次函数 可以看作是由 怎样平移得到的? 21 ( 6) 32y x   21 2y x 答:平移方法1: 先向上平移3个单位,再向右平移6个单位得到的; 平移方法2: 先向右平移6个单位,再向上平移3个单位得到的. 问题4 如何画二次函数 的图象?21 6 212y x x   … … … …9876543x 先利用图形的对称性列表 21( 6) 32y x   7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 5 10 x y 5 10 然后描点画图, 得到图象如右图. O 问题5 结合二次函数 的图象,说出 其性质. 21 6 212y x x   5 10 x y 5 10 x=6 当x<6时,y随x的增大而减小; 当x>6时,y随x的增大而增大. O 例1 画出函数 的图象,并说明这个 函数具有哪些性质. 21 5 2 2y x x    x ··· -2 -1 0 1 2 3 4 ··· y ··· ···-6.5 -4 -2.5 -2 -2.5 -4 -6.5 解: 函数 通过配方可得 , 先列表: 21 5 2 2y x x    21 ( 1) 22y x    典例精析 2 x y -2 0 4-2-4 -4 -6 -8 然后描点、连线,得到图象如下图. 由图象可知,这个函数 具有如下性质: 当x<1时,函数值y随x 的增大而增大; 当x>1时,函数值y随x 的增大而减小; 当x=1时,函数取得最大 值,最大值y=-2. 求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标. 22 8 7y x x   22( 4 4) 8 7x x     22( 4 ) 7x x   22( 2) 1.x   因此,二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直 线x=2,顶点坐标为(2,-1). 解: 练一练 将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k二 我们如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c(a≠0) 化成顶点式y=a(x-h)2+k? y=ax²+bx+c ca b a bxa bxa                   22 2 22 2 2 2 2 2 b b ba x x ca a a                   ca b a bxa       42 22 归纳总结 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 一般地,二次函数y=ax2+bx+c的可以通过配方化成 y=a(x-h)2+k的形式,即 2 2 2 4( ) .2 4 b ac by ax bx c a x a a       因此,抛物线y=ax2+bx+c 的顶点坐标是: 对称轴是:直线 24( , ).2 4 b ac b a a  .2 bx a   (1) (2) x y O x y O 如果a>0,当x< 时,y 随x的增大而减小;当 x> 时,y随x的增大 而增大. 如果a<0,当x< 时,y 随x的增大而增大;当 x> 时,y随x的增大 而减小. 2 bx a   2 bx a   2 b a  2 b a  2 b a  2 b a  例2 已知二次函数y=-x2+2bx+c,当x>1时,y的值 随x值的增大而减小,则实数b的取值范围是( ) A.b≥-1 B.b≤-1 C.b≥1 D.b≤1 解析:∵二次项系数为-1<0,∴抛物线开口向下,在对称轴 右侧,y的值随x值的增大而减小,由题设可知,当x>1时,y的 值随x值的增大而减小,∴抛物线y=-x2+2bx+c的对称轴应在直 线x=1的左侧而抛物线y=-x2+2bx+c的对称轴 , 即b≤1,故选择D . 2 ( 1) bx b   D 填一填 顶点坐标 对称轴 最值 y=-x2+2x y=-2x2-1 y=9x2+6x-5 (1,3) x=1 最大值1 (0,-1) y轴 最大值-1 最小值-6( ,-6)1 3  直线x= 1 3  二次函数字母系数与图象的关系三 合作探究 问题1 一次函数y=kx+b的图象如下图所示,请根据 一次函数图象的性质填空: x y O y=k1x+b1 x y O y=k2x+b2y=k3x+b3 k1 ___ 0 b1 ___ 0 k2 ___ 0 b2 ___ 0 > > < < k3 ___ 0 b3 ___ 0 < > x y O 2 22 bx a  1 12 bx a   问题2 二次函数 的图象如下图所示, 请根据二次函数的性质填空: 2y ax bx c   a1 ___ 0 b1___ 0 c1___ 0 a2___ 0 b2___ 0 c2___ 0 > > > > < = 开口向上,a>0 对称轴在y轴 左侧,x<0 对称轴在y轴 右侧,x>0 1 1 02 bx a   < 2 2 02 bx a   > x=0时,y=c. x y O 4 42 bx a  3 32 bx a   a3___ 0 b3___ 0 c3___ 0 a4___ 0 b4___ 0 c4___ 0 < = > < > < 开口向下,a<0 对称轴是y轴, x=0 对称轴在y轴 右侧,x>0 1 1 =02 bx a   2 2 02 bx a   > x=0时, y=c. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系 字母符号 图象的特征 a>0 开口_____________________ a<0 开口_____________________ b=0 对称轴为_____轴 a、b同号 对称轴在y轴的____侧 a、b异号 对称轴在y轴的____侧 c=0 经过原点 c>0 与y轴交于_____半轴 c<0 与y轴交于_____半轴 向上 向下 y 左 右 正 负 例3 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下 列结论:①abc>0;②2a-b<0;③4a-2b+c<0; ④(a+c)2<b2. 其中正确的个数是 (  ) A.1   B.2    C.3   D.4 D 由图象上横坐标为 x=-2的点在第三象限 可得4a-2b+c<0,故③正确; 由图象上x=1的点在第四象限得a+b+c<0,由图象上x=- 1的点在第二象限得出 a-b+c>0,则(a+b+c)(a-b+c)<0, 即(a+c)2-b2<0,可得(a+c)2<b2,故④正确. 【解析】由图象开口向下可得a<0,由对称轴在 y轴左侧可得b<0,由图象与y轴交于正半轴可得 c>0,则abc>0,故①正确; 由对称轴x>-1可得2a-b<0,故②正确; 1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表: x -1 0 1 2 3 y 5 1 -1 -1 1 A.y轴 B.直线x= C. 直线x=2 D.直线x= 则该二次函数图象的对称轴为( )D 当堂练习 5 2 3 2 O y x –1 –2 3 2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象如图所示,则下列结论: (1)a、b同号; (2)当x=–1和x=3时,函数值相等; (3) 4a+b=0; (4)当y=–2时,x的值只能取0; 其中正确的是 . 直线x=1 (2) 3.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,x=-1 是对称轴,有下列判断:①b-2a=0;②4a-2b+c<0; ③a-b+c= -9a;④若(-3,y1),( ,y2)是抛物线上 两点,则y1>y2.其中正确的是( )2 3 A.①②③   B.①③④ C.①②④  D.②③④ x y O 2 x=-1 B 4.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标:      2 2 (1) 2 12 13; (2) 5 80 319; 1(3) 2 2 ;2 (4) 1 2 . y x x y x x y x x y x x                 直线x=3  3, 5 直线x=8  8, 1 直线x=1.25 5 9, 4 8     直线x= 0.5 1 9, 2 4     
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