人教版九年级上册数学期中测试题附答案
人教版九年级上册数学期中测试题附答案
(时间：120分钟 满分：120分)
姓名：______ 班级：______ 分数：______
一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确的选项)
1．下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是 ( C )
A B C D
2．已知关于x的方程(a－3)x|a－1|＋x－1＝0是一元二次方程，则a的值是 ( A )
A．－1 B．2 C．－1或3 D．3
3．将抛物线y＝3x2＋1的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线是 ( B )
A．y＝3(x＋2)2－3 B．y＝3(x＋2)2－2
C．y＝3(x－2)2－3 D．y＝3(x－2)2－2
4．若关于x的一元二次方程(m－2)x2＋(2m＋1)x＋m－2＝0有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是 ( D )
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A．m＞ B．m＞且m≠2 C．－＜m＜2 D.＜m＜2
5．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C，当A1落在AB边上时，连接B1B，取BB1的中点D，连接A1D，则A1D的长度是 ( A )
A. B．2 C．3 D．2
第5题图 第6题图
6．抛物线y1＝ax2＋bx＋c与直线y2＝mx＋n的图象如图所示，下列判断：①abc<0；②c
0；④2a＋b<0；⑤当x<或x>6时，y1>y2.其中正确的个数有 ( B )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
7．一元二次方程(x＋3)2－x＝2(x2＋3)化成一般形式为 x2－5x－3＝0 ，方程根的情况为 有两个不相等的实数根 ．
8．已知抛物线的对称轴是x＝n，若该抛物线过A(－2，5)，
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B(4，5)两点，则n的值为__1__.
9．点(－2，－5)关于原点对称的点的坐标为__(2，5)__．
10．a，b为实数且(a2＋b2)2＋4(a2＋b2)＝5，则a2＋b2＝__1__.
11．函数y＝x2－4x＋3的图象的顶点及它和x轴的两个交点为顶点所构成的三角形面积为__1__平方单位．
12．如图，A(，1)，B(1，)，将△AOB绕点O旋转150°得到△A′OB′，则此时点A的对应点A′的坐标为__(－2，0)或(－1，－)__．
三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)
13．(1)解方程：3x2－x－1＝0；
解：∵a＝3，b＝－1，c＝－1，
∴b2－4ac＝(－1)2－4× 3×(－1)＝13＞ 0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝.
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(2)通过配方，写出抛物线y＝1＋6x－x2的开口方向、对称轴和顶点坐标．
解：y＝1＋6x－x2＝－(x－3)2＋10，开口向下，对称轴是直线x＝3，顶点坐标是(3，10)．
14．已知关于x的一元二次方程2x2－(2m2－1)x－m－4＝0有一个实数根为，求m的值以及此时方程的根．
解：把x＝代入方程2x2－(2m2－1)x－m－4＝0中，
得－3m2－m＋2＝0.
解关于m的方程，得m1＝－1，m2＝.
当m＝－1时，原方程化为2x2－x－3＝0，
解这个方程，得x1＝－1，x2＝；
当m＝时，原方程化为18x2＋x－42＝0，
解这个方程，得x3＝－，x4＝.
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15．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示．
(1)对称轴为直线__x＝1__；
(2)当x__≤1__时，y随x的增大而减小；
(3)求该二次函数解析式．
解：函数经过点(－1，0)，(3，0)，(0，－2)，
设该函数解析式为y＝a(x＋1)(x－3)．
将点(0，－2)代入得－3a＝－2，∴a＝.
∴函数的解析式为y＝x2－x－2.
16．如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕点A旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G.
(1)求证：EF＝BC；
(2)若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数．
(1)证明：∵∠CAF＝∠BAE，
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∴∠BAC＝∠EAF.又∵AB＝AE，AC＝AF，∴△BAC≌△EAF(SAS)，∴EF＝BC.
(2)解：∵AB＝AE，∠ABC＝65°，
∴∠BAE＝180°－65°×2＝50°，
∴∠FAG＝50°，又∵△BAC≌△EAF，
∴∠F＝∠C＝28°，∴∠FGC＝50°＋28°＝78°.
17．已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋3)x＋k2＝0有两个不相等的实数根x1，x2.
(1)求k的取值范围；
(2)若＋＝－1，求k的值．
解：(1)由题意得Δ＝(2k＋3)2－4k2>0，∴k>－.
(2)∵x1＋x2＝－(2k＋3)，x1x2＝k2，
∴＋＝＝＝－1，
∴k2－2k－3＝0，解得k1＝3，k2＝－1，
经检验k1＝3，k2＝－1都是原分式方程的根，由(1)得k>－
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，
∴k＝3.
四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
18．已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋k－1＝0有实数根，k为正整数．
(1)求k的值；
(2)当此方程有两个非零的整数根时，求关于x的二次函数y＝x2＋2x＋k－1的图象的对称轴和顶点坐标．
解：(1)Δ＝b2－4ac＝22－4(k－1)＝4－4k＋4＝8－4k≥0，
∴k≤2，又∵k是正整数，∴k＝1或2.
(2)当k＝1时，x2＋2x＝0，有一个根为零，不符合题意，舍去．
故k＝2时，此时二次函数的解析式为y＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2，
对称轴为直线x＝－1，顶点坐标为(－1，0)．
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19．(眉山中考)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(－3，2)，B(－1，4)，C(0，2)．
(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；
(2)平移△ABC，若A的对应点A2的坐标为(－5，－2)，画出平移后的△A2B2C2；
(3)若将△A2B2C2绕着某一点旋转可以得到△A1B1C，请直接写出旋转中心的坐标．
解：(1)如图；
(2)如图；
(3)旋转中心的坐标为(－1，0)．
20．如图，经过原点O的抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)与x轴交于另一点A，在第一象限内与直线y＝x交于点B(2，t)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M在抛物线上，且∠MBO＝
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∠ABO，求点M的坐标．
解：(1)抛物线解析式为y＝2x2－3x；
(2)连接AB，OM，设MB交y轴于点N，
∵B(2，2)，∴∠AOB＝∠NOB＝45°，△AOB≌△NOB(ASA)，∴ON＝OA＝，∴N，∴可设直线BN解析式为y＝kx＋，把B点坐标代入可得2＝2k＋，解得k＝，∴直线BN的解析式为y＝x＋，联立直线BN和抛物线解析式可得解得或∴M.
五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)
21．某社区决定把一块长50 m，宽30 m的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小、形状都相同的矩形)，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，其宽度不小于14 m，不大于26 m，设绿化区较长边为x m，活动区的面积为y m2，
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为了想知道出口宽度的取值范围，小明同学根据出口宽度不小于14 m，算出x≤18.
(1)求y关于x的函数解析式并直接写出自变量x的取值范围；
(2)求活动区的最大面积；
(3)预计活动区造价为50 元/m2，绿化区造价为40 元/m2，若社区的此项建造投资费用不得超过72 000元，求投资费用最少时活动区的出口宽度．
解：(1)根据题意，绿化区的宽为[30－(50－2x)]÷2＝x－10，
∴y＝50×30－4x(x－10)＝－4x2＋40x＋1 500.
∵4个出口宽度相同，其宽度不小于14 m，不大于26 m，∴12≤x≤18，∴y＝－4x2＋40x＋1 500(12≤x≤18)．
(2)y＝－4x2＋40x＋1 500＝－4(x－5)2＋1 600，
∵a＝－4<0，抛物线的开口向下，当12≤x≤18时，y随x的增大而减小，∴当x＝12时，y最大＝1 404，
答：活动区的最大面积为1 404 m2.
(3)设投资费用为w元，由题意得，
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w＝50(－4x2＋40x＋1 500)＋40×4x(x－10)
＝－40(x－5)2＋76 000，
∴当w＝72 000时，解得x1＝－5(不符合题意舍去)，x2＝15，
∵a＝－40<0，∴当x≥15时，w≤72 000，
又∵12≤x≤18，∴15≤x≤18，
∴当x＝18时，投资费用最少，
此时出口宽度为50－2x＝50－2×18＝14(m)，
答：投资费用最少时活动区的出口宽度为14 m.
22．抛物线y＝x2－6x＋5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为P.
(1)直接写出抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式_______；
(2)直接写出抛物线关于原点对称的抛物线的解析式_______；
(3)直接写出抛物线关于点B成中心对称的抛物线的解析式_______；
(4)已知点D(－1，0)，将△COD绕点M旋转180°后，点C，D
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的对应点E，F分别落在抛物线上，求点M的坐标．
解：(1)y＝－x2＋6x－5；
(2)易求A，P关于原点O对称的点A′(－1，0)，P′(－3，4)，设所求抛物线为y＝a(x＋3)2＋4，将A′(－1，0)代入解析式得a＝－1，
∴y＝－(x＋3)2＋4；
(3)构造全等易求点P(3，－4)关于点B(5，0)的对称点P′(7，4)，设
y＝a(x－7)2＋4，将B(5，0)代入得a＝－1，
∴y＝－(x－7)2＋4.
(4)易知四边形CDEF为平行四边形，∵C(0，5)，D(－1，0)，
由平移性质可设E(a，a2－6a＋5)，∴F(a＋1，a2－6a＋10)，
∴(a＋1)2－6(a＋1)＋5＝a2－6a＋10，∴a＝5，E(5，0)，F(6，5)，∴M.
六、(本大题共12分)
23．(1)如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F
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分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数；
(2)如图②，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN＝45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由；
(3)在图①中，连接BD，分别交AE，AF于点M，N，若EG＝4，GF＝6，BM＝3，求AG，MN的长．
解：(1)在Rt△ABE和Rt△AGE中，AB＝AG，AE＝AE，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE(HL)．∴∠BAE＝∠GAE.
同理，∠GAF＝∠DAF.∴∠EAF＝∠BAD＝45°.
(2)MN2＝ND2＋DH2.
理由：∠BAM＝∠DAH，∠BAM＋∠DAN＝45°，
∴∠HAN＝∠DAH＋∠DAN＝45°，∴∠HAN＝∠MAN.
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又∵AM＝AH，AN＝AN，∴△AMN≌△AHN，∴MN＝HN.
∵∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，
∴∠HDN＝∠HDA＋∠ADB＝90°，∴NH2＝ND2＋DH2，
∴MN2＝ND2＋DH2.
(3)由(1)知，BE＝EG，DF＝FG.设AG＝x，则CE＝x－4，CF＝x－6.
在Rt△CEF中，∵CE2＋CF2＝EF2，
∴(x－4)2＋(x－6)2＝102.
解这个方程，得x1＝12，x2＝－2(舍去)．
即AG＝12.
在Rt△ABD中，∴BD＝＝＝12.
在(2)中，MN2＝ND2＋DH2，BM＝DH.∴MN2＝ND2＋BM2.
如图，设MN＝a，则a2＝(12－3－a)2＋(3)2.
即a2＝(9－a)2＋(3)2，∴a＝5.即MN＝5.
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