中考数学圆总复习教案+中考数学真题汇编精品大全
中考数学圆总复习
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中考数学圆总复习教案
第七章圆
课时 24．圆
【考点链接】
一、圆的有关概念
1.圆上各点到圆心的距离都等于.
2.圆是对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的；
圆又
是对称图形，是它的对称中心.
3.垂直于弦的直径平分，并且平分；平分弦（不是直径）
的垂直于弦，并且平分.
4.在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，
两条弦心距，两个圆周角中有一组量，那么它们所对应的其
余各组量都分别.
5.同弧或等弧所对的圆周角，都等于它所对的圆心角
的.
6.直径所对的圆周角是，90°所对的弦是.
二、与圆有关的位置关系
1.点与圆的位置关系共有三种：①，②，③；对应的点
到圆心的距离 d 和半径 r 之间的数量关系分别为：
①dr，②dr，③dr.
2.直线与圆的位置关系共有三种：①，②，③.
对应的圆心到直线的距离d和圆的半径 r之间的数量关
系分别为：
①dr，②dr，③dr.
3.圆与圆的位置关系共有五种：①，②，③，④，⑤；
两圆的圆心距 d 和两圆的半径 R、r（R≥r）之间的数量关系
分别为：①dR－r，②dR－r，③R－rdR＋r，④dR＋r，⑤dR
＋r.
4.圆的切线过切点的半径；经过的一端，并且这条的直
线是圆的切线.
5.从圆外一点可以向圆引条切线，相等，相等.
6.三角形的三个顶点确定个圆，这个圆叫做三角形的外
接圆，三角形的外接圆的圆心叫心，是三角形的交点，它到
相等。
7.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的，内切圆的圆
心是三角形的交点，叫做三角形的，它到相等.
三、与圆有关的计算
1.圆的周长为，1°的圆心角所对的弧长为，n°的圆心
角所对
的弧长为，弧长公式为.
2.圆的面积为，1°的圆心角所在的扇形面积为，n°的
圆心角所在的扇形面积为 S===.
3.圆柱的侧面积公式：S=.（其中为的半径，为的高）。
4.圆柱的全面积公式：S=+。
5.圆锥的侧面积公式：S=.（其中为的半径，为的长）。
6.圆锥的全面积公式：S=+。
【河北三年中考试题】
1.（2008 年，2 分）如图 3，已知⊙o 的半径为 5，点到
弦
的距离为 3，则⊙o 上到弦所在直线的距离为 2 的点有
（）
A．1 个 B．2 个 c．3 个 D．4 个
2.（2008 年，3 分）如图 7，与⊙o 相切于点，
的延长线交⊙o 于点，连结．若，
则．
3.（2009 年，2 分）如图 2，四个边长为 1 的小正方形
拼成一个大
正方形，A、B、o 是小正方形顶点，⊙o 的半径为 1，P
是⊙o 上
的点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB 等于（）
A．30°B．45°c．60°D．90°
4.（2009 年，8 分）图 10 是一个半圆形桥洞截面示意
图，圆心为 o，直径 AB 是河底线，弦 cD 是水位线，cD∥AB，
且 cD=24，oE⊥cD 于点 E．已测得 sin∠DoE=．
（1）求半径 oD；
（2）根据需要，水面要以每小时 0.5 的速度下降，
则经过多长时间才能将水排干？
5.（2010 年，2 分）如图 3，在 5×5 正方形网格中，一
条圆弧
经过 A，B，c 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）
A．点 PB．点 Qc．点 RD．点
6.（2010 年，3 分）某盏路灯照射的空间可以看成如图
9 所示
的圆锥，它的高 Ao=8 米，母线 AB 与底面半径 oB 的夹
角
为，，则圆锥的底面积是平方米（结果保留π）．
7.（2009 年，10 分）如图 13-1 至图 13-5，⊙o 均作无
滑动滚动，⊙o1、⊙o2、⊙o3、⊙o4 均表示⊙o 与线段 AB
或 Bc 相切于端点时刻的位置，⊙o 的周长为 c．
阅读理解：
（1）如图 13-1，⊙o 从⊙o1 的位置出发，沿 AB 滚动到
⊙o2 的位置，当 AB=c 时，⊙o 恰好自转 1 周．
（2）如图 13-2，∠ABc 相邻的补角是 n°，⊙o 在
∠ABc 外部沿 A-B-c 滚动，在点 B 处，必须由
⊙o1 的位置旋转到⊙o2 的位置，⊙o 绕点 B 旋
转的角∠o1Bo2=n°，⊙o 在点 B 处自转周．
实践应用：
（1）在阅读理解的（1）中，若 AB=2c，则⊙o 自
转周；若 AB=l，则⊙o 自转周．在
阅读理解的（2）中，若∠ABc=120°，则⊙o
在点 B 处自转周；若∠ABc=60°，则⊙o
在点 B 处自转周．
（2）如图 13-3，∠ABc=90°，AB=Bc=c．⊙o 从
⊙o1 的位置出发，在∠ABc 外部沿 A-B-c 滚动
到⊙o4 的位置，⊙o 自转周．
拓展联想：
（1）如图 13-4，△ABc 的周长为 l，⊙o 从与 AB 相切
于点 D 的位置出发，在△ABc 外部，按顺时针方向沿三角形
滚动，又回到与 AB 相切于点 D 的位置，⊙o 自转了多少周？
请说明理由．
（2）如图 13-5，多边形的周长为 l，⊙o 从与某边相切
于
点 D 的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多
边形滚动，又回到与该边相切于点 D 的位置，直接写
出⊙o 自转的周数．
8.（2010 年，10 分）
观察思考
某种在同一平面进行传动的机械装置如图14-1，图14-2
是它的示意图．其工作原理是：滑块 Q 在平直滑道 l 上
可以
左右滑动，在 Q 滑动的过程中，连杆 PQ 也随之运动，
并且
PQ 带动连杆 oP 绕固定点 o 摆动．在摆动过程中，两连
杆的接点 P 在以 oP 为半径的⊙o 上运动．数学兴趣小组为进
一步研
究其中所蕴含的数学知识，过点 o 作 oH⊥l 于点 H，并
测得
oH=4 分米，PQ=3 分米，oP=2 分米．
解决问题
（1）点 Q 与点 o 间的最小距离是分米；
点 Q 与点 o 间的最大距离是分米；
点 Q 在 l 上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间
的距离是分米．
（2）如图 14-3，小明同学说：“当点 Q 滑动到点 H 的位
置时，PQ 与⊙o 是相切的．”你认为他的判断对吗？
为什么？
（3）①小丽同学发现：“当点 P 运动到 oH 上时，点 P
到 l
的距离最小．”事实上，还存在着点 P 到 l 距离最大
的位置，此时，点 P 到 l 的距离是分米；
②当 oP 绕点 o 左右摆动时，所扫过的区域为扇形，
求这个扇形面积最大时圆心角的度数．
9.（2010 年，8 分）如图 11-1，正方形 ABcD 是一个 6
×6 网格电子屏的示意图，其中每个小正方形的边长为 1．位
于 AD 中点处的光点 P 按图 11-2 的程序移动．
（1）请在图 11-1 中画出光点 P 经过的路径；
（2）求光点 P 经过的路径总长（结果保留π）．
中考数学真题汇编:一次函数
一、选择题
1.给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x
2
；④y=3x，上述函数中符合条作“当 x＞1
时，函数值 y 随自变量 x增大而增大“的是（ ）
A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ②③
2.把函数 y=x 向上平移 3个单位，下列在该平移后的直线上的点是( )
A. B. C. D.
3.在平面直角坐标系中，过点（1,2）作直线 l，若直线 l 与两坐标轴围成的三角形面积为 4，
则满足条件的直线 l的条数是（ ）。
A.5 B.4 C.3 D.2
4.如果规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[2.3]=2，那么函数y=x﹣[x]的图象为（ ）
A. B.
C. D.
5.如图,函数 和 ( 是常数,且 )在同一平面直角坐标系
的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
6.如图,菱形 的边长是 4厘米, ,动点 以 1 厘米/秒的速度自 点出
发沿 方向运动至 点停止,动点 以 2 厘米/秒的速度自 点出发沿折线 运动
至 点停止若点 同时出发运动了 秒,记 的面积为 ,下面图象中能
表示 与 之间的函数关系的是( )
A. B.
C. D.
7.如图，直线 都与直线 l 垂直，垂足分别为 M，N，MN=1，正方形 ABCD 的边长为 ，
对角线 AC 在直线 l上，且点 C位于点 M 处，将正方形 ABCD 沿 l 向右平移，直到点 A 与点 N
重合为止，记点 C 平移的距离为 x，正方形 ABCD 的边位于 之间分的长度和为 y，则 y
关于 x的函数图象大致为（ ）
A. B. C. D.
10.如图，平面直角坐标系 中，点 的坐标为 ， 轴，垂足为 ，点
从原点 出发向 轴正方向运动，同时，点 从点 出发向点 运动，当点 到达点
时，点 、 同时停止运动，若点 与点 的速度之比为 ，则下列说法正确的是
( )
10 题 11 题
A. 线段 始终经过点 B. 线段 始终经过点
C. 线段 始终经过点 D. 线段 不可能始终经过某一定点
11.某通讯公司就上宽带网推出 A，B，C 三种月收费方式．这三种收费方式每月所需的费用
y（元）与上网时间 x（h）的函数关系如图所示，则下列判断错误的是（ ）
A. 每月上网时间不足 25 h 时，选择 A 方式最省钱
B. 每月上网费用为 60 元时，B 方式可上网的时间比 A 方式多
C. 每月上网时间为 35h 时，选择 B 方式最省钱
D. 每月上网时间超过 70h 时，选择 C 方式最省钱
二、填空题
12.将直线 向上平移 2个单位长度，平移后直线的解析式为________．
13.已知点 A（x1 ， y1)、B(x2 ， y2)在直线 y=kx+b 上，且直线经过第一、二、四象限，
当 x1＜x2时，y1与 y2的大小关系为________.
14.已知点 是直线 上一点，其横坐标为 .若点 与点 关于 轴对称，
则点 的坐标为________.
15.星期天，小明上午 8：00 从家里出发，骑车到图书馆去借书，再骑车回到家，他离家的
距离 y（千米）与时间 t（分钟）的关系如图所示，则上午 8：45 小明离家的距离是________
千米 。
16.某日上午，甲、乙两车先后从 A 地出发沿一条公路匀速前往 B 地，甲车 8 点出发，如图
是其行驶路程 s（千米）随行驶时间 t（小时）变化的图象．乙车 9 点出发，若要在 10 点至
11点之间（含10点和11点）追上甲车，则乙车的速度v（单位：千米/小时）的范围是________。
16 题 17 题 18 题 19 题
17.如图，直线 与 轴、 轴分别交于 A，B两点，C 是 OB 的中点，D 是 AB
上一点，四边形 OEDC 是菱形，则△OAE 的面积为________．
18.实验室里有一个水平放置的长方体容器，从内部量得它的高是 15cm，底面的长是 30cm，
宽是 20cm，容器内的水深为 xcm，现往容器内放入如图的长方体实心铁块（铁块一面平放在
容器底面），过定点 A 的三条棱长分别是 10cm,10cm,ycm（y<15），当铁块的顶部高出水面 2cm
时，x,y 满足的关系式是________。
19.如图，正比例函数 y=kx 与反比例函数 y= 的图象有一个交点 A(2，m)，AB⊥x轴于点 B，
平移直线 y=kx 使其经过点 B，得到直线 l，则直线 l对应的函数表达式是________ .
20.如图，一次函数 与 的图象相交于点 ，则关于 的不
等式组 的解集为________．
20 题 21 题
三、解答题
21.一辆汽车行驶时的耗油量为 0.1 升/千米，如图是油箱剩余油量 y（升）关于加满油后已
行驶的路程 x（千米）的函数图象。
（1）根据图像，直接写出汽车行驶 400 千米时，油箱内的剩余油量，并计算加满油时油箱
的油量。
（2）求 y 关于 x 的函数关系式，并计算该汽车在剩余油量 5 升时，已行驶的路程。
22.如图，在平面直角坐标系中，直线 过点 且与 轴交于点 ，把点
向左平移 2 个单位，再向上平移 4 个单位，得到点 .过点 且与 平行的直线交
轴于点 .
（1）求直线 的解析式；
（2）直线 与 交于点 ，将直线 沿 方向平移，平移到经过点 的位置结
束，求直线 在平移过程中与 轴交点的横坐标的取值范围.
23.为积极响应新旧动能转换.提高公司经济效益.某科技公司近期研发出一种新型高科技设
备，每台设备成本价为 30 万元,经过市场调研发现,每台售价为 40 万元时,年销售量为 600
台;每台售价为 45 万元时,年销售量为 550 台.假定该设备的年销售量 y(单位:台)和销售单
价 (单位:万元)成一次函数关系.
（1）求年销售量 与销售单价 的函数关系式;
（2）根据相关规定,此设备的销售单价不得高于 70 万元,如果该公司想获得 10000 万元的年
利润.则该设备的销售单价应是多少万元?
24.某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式.方式一：先购买会员证，每张会员证 100 元，
只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费 5 元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费 9
元.
设小明计划今年夏季游泳次数为 （ 为正整数）.
（1）根据题意，填写下表：
游泳次数 10 15 20 …
方式一的总费用（元） 150 175 ________ … ________
方式二的总费用（元） 90 135 ________ … ________
（2）若小明计划今年夏季游泳的总费用为 270 元，选择哪种付费方式，他游泳的次数比较
多？
（3）当 时，小明选择哪种付费方式更合算？并说明理由.
25.“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为 30 元/件，每天
销售量 （件）与销售单价 （元）之间存在一次函数关系，如图所示.
（1）求 与 之间的函数关系式；
（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于 240 件，当销售单价为多少元时，每天获取的
利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出 150 元给希望工程，为了保
证捐款后每天剩余利润不低于 3600 元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围.
中考数学真题汇编:一次函数
一、选择题
1.给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x
2
；④y=3x，上述函数中符合条作“当 x＞1
时，函数值 y 随自变量 x增大而增大“的是（ ）
A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ②③
【答案】B
2.把函数 y=x 向上平移 3个单位，下列在该平移后的直线上的点是( )
A. B. C. D.
【答案】D
3.在平面直角坐标系中，过点（1,2）作直线 l，若直线 l 与两坐标轴围成的三角形面积为 4，
则满足条件的直线 l的条数是（ ）。
A.5 B.4 C.3 D.2
【答案】C
4.如果规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[2.3]=2，那么函数y=x﹣[x]的图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
5.如图,函数 和 ( 是常数,且 )在同一平面直角坐标系
的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
6.如图,菱形 的边长是 4厘米, ,动点 以 1 厘米/秒的速度自 点出
发沿 方向运动至 点停止,动点 以 2 厘米/秒的速度自 点出发沿折线 运动
至 点停止若点 同时出发运动了 秒,记 的面积为 ,下面图象中能
表示 与 之间的函数关系的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
7.如图，直线 都与直线 l 垂直，垂足分别为 M，N，MN=1，正方形 ABCD 的边长为 ，
对角线 AC 在直线 l上，且点 C位于点 M 处，将正方形 ABCD 沿 l 向右平移，直到点 A 与点 N
重合为止，记点 C 平移的距离为 x，正方形 ABCD 的边位于 之间分的长度和为 y，则 y
关于 x的函数图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
8.如图，二次函数 y=ax2+bx 的图象开口向下，且经过第三象限的点 P．若点 P 的横坐标为-1，
则一次函数 y=（a-b）x+b 的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
9.一次函数 和反比例函数 在同一直角坐标系中大致图像是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
10.如图，平面直角坐标系 中，点 的坐标为 ， 轴，垂足为 ，点
从原点 出发向 轴正方向运动，同时，点 从点 出发向点 运动，当点 到达点
时，点 、 同时停止运动，若点 与点 的速度之比为 ，则下列说法正确的是
( )
A. 线段 始终经过点 B. 线段 始终经过点
C. 线段 始终经过点 D. 线段 不可能始终经过某一定点
【答案】B
11.某通讯公司就上宽带网推出 A，B，C 三种月收费方式．这三种收费方式每月所需的费用
y（元）与上网时间 x（h）的函数关系如图所示，则下列判断错误的是（ ）
A. 每月上网时间不足 25 h 时，选择 A 方式最省钱
B. 每月上网费用为 60 元时，B 方式可上网的时间比 A 方式多
C. 每月上网时间为 35h 时，选择 B 方式最省钱
D. 每月上网时间超过 70h 时，选择 C 方式最省钱
【答案】D
二、填空题
12.将直线 向上平移 2个单位长度，平移后直线的解析式为________．
【答案】
13.已知点 A（x1 ， y1)、B(x2 ， y2)在直线 y=kx+b 上，且直线经过第一、二、四象限，
当 x1＜x2时，y1与 y2的大小关系为________.
【答案】y1>y2
14.已知点 是直线 上一点，其横坐标为 .若点 与点 关于 轴对称，
则点 的坐标为________.
【答案】（ ， ）
15.星期天，小明上午 8：00 从家里出发，骑车到图书馆去借书，再骑车回到家，他离家的
距离 y（千米）与时间 t（分钟）的关系如图所示，则上午 8：45 小明离家的距离是________
千米。
【答案】1.5
16.某日上午，甲、乙两车先后从 A 地出发沿一条公路匀速前往 B 地，甲车 8 点出发，如图
是其行驶路程 s（千米）随行驶时间 t（小时）变化的图象．乙车 9 点出发，若要在 10 点至
11点之间（含10点和11点）追上甲车，则乙车的速度v（单位：千米/小时）的范围是________。
【答案】60≤v≤80
17.如图，直线 与 轴、 轴分别交于 A，B两点，C 是 OB 的中点，D 是 AB
上一点，四边形 OEDC 是菱形，则△OAE 的面积为________．
【答案】
18.实验室里有一个水平放置的长方体容器，从内部量得它的高是 15cm，底面的长是 30cm，
宽是 20cm，容器内的水深为 xcm，现往容器内放入如图的长方体实心铁块（铁块一面平放在
容器底面），过定点 A 的三条棱长分别是 10cm,10cm,ycm（y<15），当铁块的顶部高出水面 2cm
时，x,y 满足的关系式是________。
【答案】y= (0
0，请直接写出 x的取值范围．
19. （本题 9 分）如图，在菱形 ABCD中，∠BAD=60°，把菱形 ABCD绕点 A按逆时针方
向旋转α°，得到菱形 AB'C'D'．
（1）当α的度数为______时，射线 AB'经过点 C（此时射线 AD也经过点C'）；
（2）在（1）的条件下，求证：四边形 B'CC'D是等腰梯形．
20. （本题 9分）钓鱼岛自古就是中国的领土，中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展
常态化监视监测．一日，中国一艘海监船从 A点沿正北方向巡航，其航线距钓鱼岛（设
M，N为该岛的东西两端点）最近距离为 12海里（即 MC=12海里）．在 A点测得岛屿
的西端点 M在点 A的东北方向；航行 4海里后到达 B点，测得岛屿的东端点 N在点 B
的北偏东 60°方向，（其中 N，M，C在同一条直线上），求钓鱼岛东西两端点 MN之间
的距离．
21. （本题 10分）某商场经营某种品牌的童装，购进时的单价是 40元．根据市场调查，在
一段时间内，销售单价是 60元时，销售量是 100件，而销售单价每降低 1元，就可多
售出 10件．
（1）写出销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的函数关系式；
（2）写出销售该品牌童装获得的利润 w（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式；
（3）若童装厂规定该品牌童装销售单价不低于 56元，且商场要完成不少于 110件的销
售任务，则商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少
一、选择题(每小题 3分，共 24分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C D B C B B C
二、填空题(每小题 3分，共 21分)
题号 9 10 11 12 13 14 15
答案 4
8107.1
1
1
3
8
3
34
（6,4）
三、解答题（共 75分）
16.（1） 等式的基本性质……2 分 （2） ③；移项未变号……6 分 （3）
5
6
x ……8
分
17.解：（1）由两个统计图可知该校报名总人数是
160 160 400
40% 0.4
（人）．…………3 分
（2）选羽毛球的人数是 400 25% 100 （人）．
因为选排球的人数是 100 人，所以
100 25%
400
，
因为选篮球的人数是 40 人，所以
40 10%
400
，
即选排球、篮球的人数占报名的总人数分别是 25%和 10% ．……7 分
(3)补图. ………………9 分
18.解：（1）把 x=1,y=3代入
x
my ，m=1×3=3,∴
x
y 3
.…………………………2 分
把 x=1,y=
3
1
代入 kxy ，k=
3
1
。∴ xy
3
1
.…………………4 分
由
x
x 3
3
1
，解得：x=±3,∵点 A 在第一象限，∴x=3. 当 x=3 时， 13
3
1
y ，
∴点 A的坐标（3, 1）.……7 分 （2） -33.…………9 分
19.解：(1) 30°；…………3 分 （2）由题意知：菱形的边 AD=AB′，∴∠ADB′=∠AB′D，
∵∠CAC′= 30°，∴∠ADB′=∠AB′D=75°.由于菱形的对角线 AC=AC′，∴DC′=B′C.
在△ACC′中，可得∠ACC′=∠AC′C= 75°.∴∠ADB′=∠AC′C= 75°，∴B′D∥CC′.……7
分
由于直线 DC′、CB′交于点 A，所以 DC′与 CB′不平行. 所以四边形 B′CC′D是梯形.…8 分
∵DC′=B′C，∴四边形 B′CC′D是等腰梯形.……………………9 分
20.解：在 Rt△ACM 中，tan∠CAM= tan45°=
AC
CM
=1，∴AC=CM=12, …………………2
分
∴BC=AC-AB=12-4=8，在 Rt△BCN中，tan∠CBN= tan60°=
BC
CN
= 3 .
∴CN= 3 BC= 38 .……………………6 分 ∴MN= 38 -12.……………8 分
答：钓鱼岛东西两端点 MN之间的距离为（ 38 -12）海里.…………9 分
21.解：（1）由题意，得： 70010)60(10100 xxy ．
答： y 与 x之间的函数关系式是 70010 xy ．……………………2 分
（2）由题意，得： )70010)(40( xxw 28000110010 2 xx ．
答：w与 x之间的函数关系式是 28000110010 2 xxw ．……………………5 分
（3）由题意，得：
56
11070010
x
x
解得 5956 x ．…………7分
28000110010 2 xxw ， 2250)55(10 2 xw .
羽毛球
25%
体操 40%
25%
排球
10%
蓝球
人数
对称轴为 55
)10(2
1100
x ， 又 0a ， 5956 x 在对称轴右侧，w随 x增大而减小．
∴当 56x 时， 2240)7005610(40-56 ）（最大w .
答：这段时间商场最多获利 2240元．…………………10 分
22.（1）BD=2CE；……………2 分 （2）结论 BD=2CE仍然成立.……………3 分
证明：延长 CE、AB交于点 G. ∵∠1=∠2，∠1=∠3，∠2=∠4，
∴∠3=∠4. 又∵∠CEB=∠GEB=90°，BE=BE.
∴△CBE≌△GBE. ∴CE=GE，∴CG=2CE.…………5 分
∵∠D+∠DCG=∠G+∠DCG=90°. ∴∠D=∠G ， ∴sin∠D= sin∠G.
∴
CG
AC
BD
AB
. ∵AB=AC，∴BD=CG=2CE.…………8 分
（说明：也可以证明△DAB∽△GAC）.（3）2n.……10 分
23.解：（1）由题意得
.
2
5
2
5416
,0
2
5
ba
ba
解得：
.2
,
2
1
b
a
∴ .
2
52
2
1 2 xxy ……3
分
（2）设直线 AB为： bkxy ，则有
.
2
54
,0
bk
bk
解得
.
2
1
,
2
1
b
k
∴ .
2
1
2
1
xy
则：D（m，
2
52
2
1 2 mm ），C（m,
2
1
2
1
m ）,
CD=(
2
52
2
1 2 mm )－(
2
1
2
1
m )= 2
2
3
2
1 2 mm .
∴ CDmCDmS )4(
2
1)1(
2
1
= 5
2
1
×CD= 5
2
1
×（ 2
2
3
2
1 2 mm ）= 5
4
15
4
5 2 mm .………………5 分
∵ 0
4
5
∴当
2
3
m 时，S有最大值. 当
2
3
m 时，
4
5
2
1
2
3
2
1
2
1
2
1
m .
∴点 C（
4
5,
2
3
）.………………………………7 分
（3）满足条件的点 Q有四个位置，其坐标分别为（-2，
2
1
）,（1，1）,（3，2）,（5, 3）.
一．选择题（共 4 小题）
1．（2005•乌兰察布）如图：把△ABC沿 AB边平移到△A′B′C′地位置，它们地重叠部分（即
图中阴影部分）地面积是△ABC面积地一半，若 AB= ，则此三角形移动地距离 AA′是
（ ）
A． ﹣1 B． C．1 D．
2．（2007•临沂）如图，某厂有许多形状为直角梯形地铁皮边角料，为节约资源，现要按图
中所示地方法从这些边角料上截取矩形（阴影部分）片备用，当截取地矩形面积最大时，矩
形两边长 x、y应分别为（ ）b5E2RGbCAP
A．x=10，y=14 B．x=14，y=10 C．x=12，y=15 D．x=15，y=12
3．某电脑用户计划使用不超过 530元地资金购买单价为 70元地单片软件和 80元地盒装磁
盘，根据需要，软件至少买 3片，磁盘至少买 2盒，不相同地选购方式共有（ ）p1EanqFDPw
A．4种 B．5种 C．6种 D．7种
4．（2011•河北）如图，在矩形中截取两个相同地圆作为圆柱地上、下底面，剩余地矩形作
为圆柱地侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形地长和宽分别为 y和 x，则 y与 x地函数图象大
致是（ ）DXDiTa9E3d
A． B． C． D．
二．填空题（共 2小题）
5．二次函数 y=ax2+bx+c若满足 a﹣b+c=0，则其图象必经过点 _________ ．
6．（2011•重庆）某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型地盆景．甲种盆景由 15朵红花、
24朵黄花和 25朵紫花搭配而成，乙种盆景由 10朵红花和 12朵黄花搭配而成，丙种盆景由
10朵红花、18朵黄花和 25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了 2900朵红花，3750朵紫花，
则黄花一共用了 _________ 朵．RTCrpUDGiT
2013年 5月 402969905地初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共 4小题）
1．（2005•乌兰察布）如图：把△ABC沿 AB边平移到△A′B′C′地位置，它们地重叠部分（即
图中阴影部分）地面积是△ABC面积地一半，若 AB= ，则此三角形移动地距离 AA′是
（ ）5PCzVD7HxA
A． ﹣1 B． C．1 D．
考点： 相似三角形地判定与性质；平移地性质．
分析： 利用相似三角形面积地比等于相似比地平方先求出 A′B，再求 AA′
就可以了．
解答： 解：设 BC与 A′C′交于点 E，
由平移地性质知，AC∥A′C′
∴△BEA′∽△BCA
∴S△BEA′：S△BCA=A′B2：AB2=1：2
∵AB=
∴A′B=1
∴AA′=AB﹣A′B= ﹣1
故选 A．
点评： 本题利用了相似三角形地判定和性质及平移地性质：①平移不改
变图形地形状和大小；②经过平移，对应点所连地线段平行且相
等，对应线段平行且相等，对应角相等．
2．（2007•临沂）如图，某厂有许多形状为直角梯形地铁皮边角料，为节约资源，现要按图
中所示地方法从这些边角料上截取矩形（阴影部分）片备用，当截取地矩形面积最大时，矩
形两边长 x、y应分别为（ ）jLBHrnAILg
A．x=10，y=14 B．x=14，y=10 C．x=12，y=15 D．x=15，y=12
考点： 二次函数地应用．
专题： 应用题．
分析：
由直角三角形相似得 ，得 x= •（24﹣y），化简矩形面
积 S=xy地解析式为 S=﹣ （y﹣12）2+180，再利用二次函数地性
质求出 S 地最大值，以及取得最大值时 x、y地值．
解答： 解：以直角梯形地下底直角边端点为原点，两直角边方向为 x，y
轴建立直角坐标系，过点 D作 DE⊥x轴于点 E，
∵NH∥DE，
∴△CNH∽△CDE，
∴ = ，
∵CH=24﹣y，CE=24﹣8，DE=OA=20，NH=x，
∴ ，得 x= •（24﹣y），
∴矩形面积 S=xy=﹣ （y﹣12）2+180，
∴当 y=12时，S有最大值，此时 x=15．
故选 D．
点评： 本题考查地是直角梯形以及矩形地性质地相关知识点．
3．某电脑用户计划使用不超过 530元地资金购买单价为 70元地单片软件和 80元地盒装磁
盘，根据需要，软件至少买 3片，磁盘至少买 2盒，不相同地选购方式共有（ ）xHAQX74J0X
A．4种 B．5种 C．6种 D．7种
考点： 一元一次不等式组地应用．
专题： 应用题．
分析：
本题先由题意找出不等关系列出不等式组为得： ，
解出即可．
解答： 解：设买软件 x片，磁盘 y盒，x取正整数，
得：70x+80y≤530，
不相同地选购方式有（3，2），（3，3），（3，4），（4，2），（4，3），
（5，2），共 6种方案．
故选 C．
点评： 解决本题地关键是根据总价钱得到相应地关系式，易错点是得到整
数解地个数．
4．（2011•河北）如图，在矩形中截取两个相同地圆作为圆柱地上、下底面，剩余地矩形作
为圆柱地侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形地长和宽分别为 y和 x，则 y与 x地函数图象大
致是（ ）LDAYtRyKfE
A． B． C． D．
考点： 一次函数综合题；正比例函数地定义．
专题： 数形结合．
分析：
从 y﹣ 等于该圆地周长，即列方程式 ，再得到关于 y
地一次函数，从而得到函数图象地大体形状．
解答： 解：由题意
即 ，
所以该函数地图象大约为 A中函数地形式．
故选 A．
点评：
本题考查了一次函数地综合运用，从 y﹣ 等于该圆地周长，从而
得到关系式，即解得．
二．填空题（共 2小题）
5．二次函数 y=ax2+bx+c若满足 a﹣b+c=0，则其图象必经过点 （﹣1，0） ．
考点： 二次函数图象上点地坐标特征．
专题： 计算题．
分析： 把 x=﹣1代入 y=ax2+bx+c得到 y=a﹣b+c=0，即过（﹣1，0）点，
即可得到答案．
解答： 解：把 x=﹣1代入 y=ax2+bx+c得：y=a﹣b+c=0，
∴图象必过点：（﹣1，0），
故答案为：（﹣1，0）．
点评： 本题主要考查对二次函数图象上点地坐标特征地理解和掌握，能
根据已知 a﹣b+c=0得出过（﹣1，0）是解此题地关键．
6．（2011•重庆）某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型地盆景．甲种盆景由 15朵红花、
24朵黄花和 25朵紫花搭配而成，乙种盆景由 10朵红花和 12朵黄花搭配而成，丙种盆景由
10朵红花、18朵黄花和 25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了 2 900朵红花，3750朵紫花，
则黄花一共用了 4380 朵．Zzz6ZB2Ltk
考点： 三元一次方程组地应用．
专题： 应用题．
分析： 题中有两个等量关系：甲种盆景所用红花地朵数+乙种盆景所用红
花地朵数+丙种盆景所用红花地朵数=2900朵，甲种盆景所用紫花
地朵数+丙种盆景所用紫花地朵数=3750朵．据此可列出方程组，
设步行街摆放有甲、乙、丙三种造型地盆景分别有 x盆、y盆、z
盆，用含 x地代数式分别表示 y、z，即可求出黄花一共用地朵数．
解答： 解：设步行街摆放有甲、乙、丙三种造型地盆景分别有 x盆、y盆、
z盆．
由题意，有 ，
由①得，3x+2y+2z=580③，
由②得，x+z=150④，
把④代入③，得 x+2y=280，
∴2y=280﹣x⑤，
由④得 z=150﹣x⑥．
∴4x+2y+3z=4x+（280﹣x）+3（150﹣x）=730，
∴黄花一共用了：24x+12y+18z=6（4x+2y+3z）=6×730=4380．
故黄花一共用了 4380朵．
点评： 本题考查了三元一次方程组在实际生活中地应用．解题地关键是
发掘等量关系列出方程组，难点是将方程组中地其中一个未知数看
作常数，用含有一个未知数地代数式表示另外两个未知数，然后代
入所求黄花地代数式．
几何综合
东城区
27. 已知△ABC 中，AD 是 BAC 的平分线，且 AD=AB， 过点 C 作 AD 的垂线，交 AD
的延长线于点 H．
（1）如图 1，若 60BAC
①直接写出 B 和 ACB 的度数；
②若 AB=2，求 AC 和 AH 的长；
（2）如图 2，用等式表示线段 AH 与 AB+AC 之间的数量关系，并证明．
27. （1）① 75B ， 45ACB ；--------------------2
分
②作 DE⊥AC 交 AC 于点 E.
Rt△ADE 中，由 30DAC ，AD=2 可得 DE=1，AE 3 .
Rt△CDE 中，由 45ACD ，DE=1，可得 EC=1.
∴AC 3 1 .
Rt△ACH 中，由 30DAC ，可得 AH
3 3
2
； --------------4 分
（2）线段 AH 与 AB+AC 之间的数量关系：2AH=AB+AC
证明： 延长 AB 和 CH 交于点 F，取 BF 中点 G，连接 GH.
易证△ACH ≌△AFH.
∴ AC AF ,HC HF .
∴GH BC∥ .
∵ AB AD ，
∴ ABD ADB .
∴ AGH AHG .
∴ AG AH .
∴ 2 2 2 2AB AC AB AF AB BF AB BG AG AH . --------------7 分
西城区
27．正方形 ABCD的边长为 2，将射线 AB绕点 A顺时针旋转 ，所得射线与线段 BD交于
点M ，作CE AM 于点 E，点 N与点M 关于直线CE 对称，连接CN ．
（1）如图，当 0 45 时，
①依题意补全图．
②用等式表示 NCE 与 BAM 之间的数量关系：__________．
（2）当 45 90 时，探究 NCE 与 BAM 之间的数量关系并加以证明．
（3）当 0 90 时，若边 AD的中点为 F ，直接写出线段 EF 长的最大值．
【解析】（1）①补全的图形如图所示：
② 2NCE BAM ．
（2）
1 90
2
MCE BAM ，
连接CM ，
DAM DCM ，
DAQ ECQ ，
∴ 2NCE MCE DAQ ，
∴
1
2
DCM NCE ，
∵ BAM BCM ，
90BCM DCM ，
∴
1 90
2
NCE BAM ．
（3）∵ 90CEA ，
∴点 E在以 AC 为直径的圆上，
∴ max 1 2EF FO r ．
海淀区
27．如图，已知 60AOB ，点 P为射线OA上的一个动点，过点 P作 PE OB ，交OB
于点 E，点D在 AOB 内，且满足 DPA OPE ， 6DP PE .
（1）当DP PE 时，求DE 的长；
（2）在点 P的运动过程中，请判断是否存在一个定点M ，使得
DM
ME
的值不变？并证明你
的判断.
27．.解：
（1）作PF⊥DE交DE于 F .
∵ PE⊥ BO， 60AOB
，
∴ 30OPE
.
∴ 30DPA OPE
.
∴ 120EPD
. ……………1 分
∵DP PE , 6DP PE ,
∴ 30PDE
, 3PD PE .
∴
3cos30 3
2
DF PD .
∴ 2 3 3DE DF . ………………3 分
（2）当M 点在射线OA上且满足 2 3OM 时，
DM
ME
的值不变，始终为 1.理由如下：
………………
4分
当点 P与点M 不重合时，延长 EP到K使得 PK PD .
∵ ,DPA OPE OPE KPA ,
∴ KPA DPA .
∴ KPM DPM .
∵ PK PD ,PM是公共边,
∴ KPM△ ≌ DPM△ .
∴MK MD . ………………5 分
作ML⊥OE于L,MN⊥ EK 于 N .
∵ 2 3, 60MO MOL
，
∴ sin60 3ML MO . ………………6分
∵ PE⊥ BO ,ML⊥OE ,MN⊥ EK ，
∴四边形MNEL为矩形.
∴ 3EN ML .
∵ 6EK PE PK PE PD ,
∴ EN NK .
∵MN⊥ EK ,
∴MK ME .
∴ME MK MD ,即 1DM
ME
.
当点 P与点M 重合时，由上过程可知结论成立. ……………7 分
丰台区
27．如图，Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CA = CB，过点 C 在△ABC 外作射线 CE，且∠BCE =
，点 B 关于 CE 的对称点为点 D，连接 AD，BD，CD，其中 AD，BD 分别交射线 CE 于点 M，
N.
（1）依题意补全图形；
（2）当 = 30°时，直接写出∠CMA 的度数；
（3）当 0°< < 45°时，用等式表示线段 AM，CN 之间的数量关系，并证明．
27．解：（1）如图； …………………1 分
（2）45°； …………………2 分
（3）结论：AM= 2 CN． …………………3分
证明：作 AG⊥EC 的延长线于点 G．
∵点 B 与点 D 关于 CE 对称，
∴CE 是 BD 的垂直平分线．
∴CB=CD．
∴∠1=∠2= ．
∵CA=CB，∴CA=CD．∴∠3=∠CAD．
∵∠4=90°，
∴∠3=
1
2
（180°∠ACD）=
1
2
（180° 90° ）=45° ．
∴∠5=∠2+∠3= +45°- =45°．…………………5 分
∵∠4=90°，CE 是 BD 的垂直平分线，
∴∠1+∠7=90°，∠1+∠6=90°．
∴∠6=∠7．
∵AG⊥EC，
∴∠G=90°=∠8．
∴在△BCN 和△CAG 中，
∠8=∠G，
∠7=∠6，
BC=CA，
∴△BCN≌△CAG．
∴CN=AG．
∵Rt△AMG 中，∠G=90°，∠5=45°，
∴AM= 2 AG．
∴AM= 2 CN． …………………7分
（其他证法相应给分.）
石景山区
27．在正方形 ABCD 中，M 是 BC 边上一点，点 P 在射线 AM 上，将线段 AP 绕点 A 顺时针旋转
90°得到线段 AQ，连接 BP，DQ．
（1）依题意补全图 1；
（2）①连接DP，若点 P，Q，D 恰好在同一条直线上，求证：
2 2 22DP DQ AB ；
②若点 P，Q，C 恰好在同一条直线上，则 BP 与 AB 的数量关系为： ．
27．（1）补全图形如图 1. ………………… 1分
（2）①证明：
连接 BD，如图 2，
∵线段 AP绕点 A顺时针旋转 90°得到线段 AQ，
∴ AQ AP ， 90QAP °．
∵四边形 ABCD是正方形，
∴ AD AB ， 90DAB °．
∴ 1 2 ．
∴△ ADQ≌△ ABP． ………………… 3 分
∴DQ BP ， 3Q ．
∵在Rt QAP 中， 90Q QPA °，
∴ 3 90BPD QPA °．
∵在Rt BPD 中，
2 2 2DP BP BD ，
又∵DQ BP ，
2 22BD AB ，
∴
2 2 22DP DQ AB ． ………………… 5分
② BP AB ． ………………… 7分
证明：过点 A 作 AE⊥PQ 于 E ，连接 BE AC
图 1
图 2
∴AE 是△PAQ 的垂线
∵三△PAQ 是等腰直角三角形（已证）
∴AE 是等腰直角三角形 PAQ 的垂线，角平分线
∴∠AEP=90°，AE=PE
∵正方形 ABCD
∴∠ABC=90°
∠ACB=∠BAC=45°
∠AEP+∠ABC=180°
∴A ，B，C，E四点共圆
∴∠AEB=∠ACB=45°，∠CEB=∠BAC=45°
∴∠AEB=∠CEB=45°
∵BE=BE
∴△ABE≌△PBE (SAS)
∴BP=AB
朝阳区
27. 如图，在菱形 ABCD 中，∠DAB=60°，点 E 为 AB 边上一动点（与点 A，B 不重合），
连接 CE，将∠ACE 的两边所在射线 CE，CA 以点 C 为中心，顺时针旋转 120°，分别交
射线 AD 于点 F，G.
（1）依题意补全图形；
（2）若∠ACE=α，求∠AFC 的大小（用含α的式子表示）；
（3）用等式表示线段 AE、AF 与 CG 之间的数量关系，并证明．
27.（1）补全的图形如图所示.
……………………………………1 分
（2）解：由题意可知，∠ECF=∠ACG=120°.
∴∠FCG=∠ACE=α.
∵四边形 ABCD 是菱形，∠DAB=60°，
∴∠DAC=∠BAC= 30°. ……………………………………………2分
∴∠AGC=30°.
∴∠AFC =α+30°. …………………………3 分
（3）用等式表示线段 AE、AF 与 CG 之间的数量关系为 CGAFAE 3 .
证明：作 CH⊥AG 于点 H.
由（2）可知∠BAC=∠DAC=∠AGC=30°.
∴CA=CG. …………………………………………………5分
∴HG =
2
1
AG.
∵∠ACE =∠GCF，∠CAE =∠CGF，
∴△ACE≌△GCF. ……………………………6分
∴AE =FG.
在 Rt△HCG 中， .
2
3cos CGCGHCGHG
∴AG = 3 CG. …………………………………………7分
即 AF+AE= 3 CG.
燕山区
27．如图，抛物线 )0(2 acbxaxy 的顶点为 M ，直线 y=m 与抛物线交于点 A，B ，
若△AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上 A，B 两点之间的部分与线段 AB 围成的图形称
为该抛物线对应的准蝶形，线段 AB 称为碟宽，顶点 M 称为碟顶．
(1)由定义知，取 AB 中点 N，连结 MN，MN 与 AB 的关系是
(2)抛物线
2
2
1 xy 对应的准蝶形必经过 B(m，m),则 m= ，对应的碟宽 AB 是
(3)抛物线 )0(
3
542 aaaxy 对应的碟宽在 x 轴上，且 AB=6.
①求抛物线的解析式；
②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点 P（ px ， py ），使得∠APB
为锐角，若有，请求出 py 的取值范围.若没有，请说明理由.
,
备用图
27.解：(1)MN 与 AB 的关系是 MN⊥AB，MN=
2
1 AB
…………………………………2′
（2） m= 2 对应的碟宽是 4
…………………………………4′
(3) ①由已知，抛物线必过（3，0），代入 )0(
3
542 aaaxy
得， 0
3
549 aa
3
1
a
∴抛物线的解析式是 3
3
1 2 xy
…………………………………5′
② 由①知， 3
3
1 2 xy
的对称轴上 P（0，3），P（0，-3）时，
∠APB 为直角，
∴在此抛物线的对称轴上有这样的点 P，使得∠APB 为锐角，
py 的取值范围是 33 pp yy 或 …………………………………7′
门头沟区
27. 如图，在△ABC 中，AB=AC， 2A ，点 D是 BC 的中点， DE AB E 于点 ，
DF AC F 于点 .
（1） EDB _________°；（用含的式子表示）
（2）作射线 DM 与边 AB 交于点 M，射线 DM 绕点 D顺时针旋转180 2 ，与 AC 边交于
点 N．
①根据条件补全图形；
②写出 DM 与 DN 的数量关系并证明；
③用等式表示线段 BM CN、 与 BC之间的数量关系，
（用含的锐角三角函数表示）并写出解题思路.
27．（本小题满分 7 分）
（1） EDB ……………………………………………1分
（2）①补全图形正确 ……………………………………2 分
②数量关系：DM DN …………………………………3 分
∵ ,AB AC BD DC
∴DA 平分 BAC
∵ DE AB E 于点 ，DF AC F 于点
∴ DE DF ， MED NFD ……………………4分
∵ 2A
∴ 180 2EDF
∵ 180 2MDN
∴ MDE NDF
∴ MDE NDF△ ≌△ ……………………5分
∴ DM DN
③数量关系： sinBM CN BC ……………………6分
证明思路：
a.由 MDE NDF△ ≌△ 可得 EM FN
b. 由 AB AC 可得 B C ,进而通过 BDE CDF△ ≌△ ,可得 BE CF
进而得到 2BE BM CN
c.过 BDERt△ 可得 sin BE
BD
,最终得到 sinBM CN BC ……………7
分
大兴区
27．如图，在等腰直角△ABC 中，∠CAB=90°，
F 是 AB 边上一点，作射线 CF，
过点 B 作 BG⊥CF 于点 G，连接 AG．
（1）求证：∠ABG=∠ACF；
（2）用等式表示线段 CG，AG，BG 之间
的等量关系，并证明．
27.（1）证明 :
∵ ∠CAB=90°.
∵ BG⊥CF 于点 G，
∴ ∠BGF=∠CAB=90°.
∵∠GFB=∠CFA. ………………………………………………1 分
∴ ∠ABG=∠ACF. ………………………………………………2 分
（2）CG= 2 AG+BG. …………………………………………………3 分
证明：在 CG 上截取 CH=BG，连接 AH， …………………………4 分
∵ △ABC 是等腰直角三角形，
∴ ∠CAB=90°，AB=AC.
∵ ∠ABG=∠ACH.
∴ △ABG≌△ACH. …………………………………………………… 5 分
∴ AG =AH,∠GAB=∠HAC.
∴ ∠GAH=90°.
∴
2 2 2AG AH GH .
∴ GH= 2 AG. ………………………………………………………6 分
∴ CG=CH+GH= 2 AG+BG. ………………………………………7分
平谷区
27．在△ABC 中，AB=AC，CD⊥BC 于点 C，交∠ABC 的平分线于点 D，AE 平分∠BAC 交 BD 于
点 E，过点 E 作 EF∥BC 交 AC 于点 F，连接 DF．
（1）补全图 1；
（2）如图 1，当∠BAC=90°时，
①求证：BE=DE；
②写出判断 DF 与 AB 的位置关系的思路（不用写出证明过程）；
（3）如图 2，当∠BAC=α时，直接写出α，DF，AE 的关系．
27．解：（1）补全图 1；········································1
图 1 图 2
（2）①延长 AE，交 BC 于点 H．··················· 2
∵AB=AC， AE 平分∠BAC，
∴AH⊥BC 于 H，BH=HC．
∵CD⊥BC 于点 C，
∴EH∥CD．
∴BE=DE．·········································3
②延长 FE，交 AB 于点 G．
由 AB=AC，得∠ABC=∠ACB．
由 EF∥BC，得∠AGF=∠AFG．
得 AG=AF．
由等腰三角形三线合一得 GE=EF．········· 4
由∠GEB=∠FED，可证△BEG≌△DEF．
可得∠ABE=∠FDE．···························· 5
从而可证得 DF∥AB．·························· 6
（3） tan
2
DF α
AE
．································ 7
怀柔区
27.如图，在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC，点 D 是 BC 上任意一点，将线段 AD 绕点 A 逆时针
方向旋转 90°，得到线段 AE，连结 EC.
(1)依题意补全图形；
(2)求∠ECD 的度数；
(3)若∠CAE=7.5°，AD=1，将射线 DA 绕点 D 顺时针旋转 60°交 EC 的延长线于点 F，请写出
求 AF 长的思路．
27.
(1)如图 ………………………………………………1分
(2) ∵线段 AD 绕点 A 逆时针方向旋转 90°，得到线段 AE.
∴∠DAE=90°，AD=AE.
∴∠DAC+∠CAE =90°.
∵∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠DAC =90°.
∴∠BAD=∠CAE . …………………………………………………………………………2 分
又∵AB=AC,
∴△ABD≌△ACE.
∴∠B=∠ACE.
∵△ABC 中，∠A=90°，AB=AC,
∴∠B=∠ACB=∠ACE=45°.
∴∠ECD=∠ACB+∠ACE=90°. ……………………………………………………………4 分
(3)Ⅰ.连接 DE,由于△ADE 为等腰直角三角形，所以可求 DE= ；……………………5 分
Ⅱ.由∠ADF=60°,∠CAE=7.5°，可求∠EDC 的度数和∠CDF 的度数，从而可知 DF 的长；
…………………………………………………………………………………………………6 分
Ⅲ.过点 A 作 AH⊥DF 于点 H，在 Rt△ADH 中, 由∠ADF=60°，AD=1 可求 AH、DH 的长；
Ⅳ. 由 DF、DH 的长可求 HF 的长；
Ⅴ. 在 Rt△AHF 中, 由 AH 和 HF,利用勾股定理可求 AF 的长．…………………………7 分
延庆区
27．如图 1，正方形 ABCD 中，点 E是 BC 延长线上一点，连接 DE，过点 B 作 BF⊥DE 于点 F，
连接 FC．
（1）求证：∠FBC=∠CDF．
（2）作点 C 关于直线 DE 的对称点 G，连接 CG，FG．
①依据题意补全图形；
②用等式表示线段 DF，BF，CG 之间的数量关系并加以证明．
27.（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠DCB =90°．
∴∠CDF+∠E =90°．
∵BF⊥DE，
∴∠FBC+∠E =90°．
∴∠FBC =∠CDF ．……2 分
（2）①
图 1
……3 分
②猜想：数量关系为：BF=DF+CG．
证明：在 BF 上取点 M 使得 BM=DF 连接 CM．
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴BC=DC．
∵∠FBC =∠CDF，BM=DF，
∴△BMC≌△DFC．
∴CM=CF，∠1=∠2．
∴△MCF 是等腰直角三角形．
∴∠MCF =90°，∠4=45°． ……5 分
∵点 C 与点 G关于直线 DE 对称，
∴CF=GF，∠5=∠6．
∵BF⊥DE，∠4=45°，
∴∠5=45°，
∴∠CFG =90°，
∴∠CFG=∠MCF，
∴CM∥GF．
∵CM=CF，CF=GF，
∴CM=GF，
∴四边形 CGFM 是平行四边形，
∴CG=MF．
∴BF=DF+CG． ……7 分
顺义区
27. 如图，在正方形 ABCD 中，E 是 BC 边上一点，连接 AE，延长 CB 至点 F，使 BF=BE，过
点 F 作 FH⊥AE 于点 H，射线 FH 分别交 AB、CD 于点 M、N，交对角线 AC 于点 P，连接 AF．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：∠FAC=∠APF；
（3）判断线段 FM 与 PN 的数量关系，并加以证明．
27．（1）补全图如图所示． ………………………………………………………… 1 分
（2）证明∵正方形 ABCD，
∴∠BAC=∠BCA=45°，∠ABC=90°，
∴∠PAH=45°-∠BAE．
∵FH⊥AE．
∴∠APF=45°+∠BAE．
∵BF=BE，
∴AF=AE，∠BAF=∠BAE．
∴∠FAC=45°+∠BAF．
∴∠FAC=∠APF．…………………………… 4分
（3）判断：FM=PN． …………………………………… 5 分
证明：过 B 作 BQ∥MN 交 CD 于点 Q，
∴MN=BQ，BQ⊥AE．
∵正方形 ABCD，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°．
∴∠BAE=∠CBQ．
∴△ABE≌△BCQ．
∴AE=BQ．
∴AE=MN．
∵∠FAC=∠APF，
∴AF=FP．
∵AF=AE，
∴AE=FP．
∴FP=MN．
∴FM=PN．…………………………………………………………… 8 分
专题三 突破解答题之 2——函数与图象
⊙热点 1：函数图象与性质
1．已知反比例函数 y＝m－7
x
的图象的一支位于第一象限．
(1)判断该函数图象的另一支所在的象限，并求 m的取值范围；
(2)如图 Z3-8，O为坐标原点，点 A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点 B与点
A关于 x轴对称，若△OAB的面积为 6，求 m的值．
图 Z3-8
⊙热点 2：函数解析式的求法
2．(2018年四川宜宾)如图，已知反比例函数 y＝m
x
(m≠0)的图象经过点(1,4)，一次函数
y＝－x＋b的图象经过反比例函数图象上的点 Q(－4，n)．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)一次函数的图象分别与 x轴、y轴交于 A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点
为 P点，连接 OP，OQ，求△OPQ的面积．
图 Z3-9
⊙热点 3：代数几何综合题
3．(2018年湖南衡阳)如图 Z3-10，已知直线 y＝－2x＋4分别交 x轴、y轴于点 A、B，
抛物线过 A，B两点，点 P是线段 AB上一动点，过点 P作 PC⊥x轴于点 C，交抛物线于点
D.
(1)若抛物线的解析式为 y＝－2x2＋2x＋4，设其顶点为 M，其对称轴交 AB于点 N.
①求点 M，N的坐标；
②是否存在点 P，使四边形 MNPD为菱形？并说明理由；
(2)当点 P的横坐标为 1时，是否存在这样的抛物线，使得以 B，P，D为顶点的三角形
与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
图 Z3-10
⊙热点 4：函数探索开放题
4．(2018年山西)综合与探究
如图 Z3-11，抛物线 y＝1
3
x2－1
3
x－4与 x轴交于 A，B两点(点 A在点 B的左侧)，与 y轴
交于点 C，连接 AC，BC.点 P是第四象限内抛物线上的一个动点，点 P的横坐标为 m，过
点 P作 PM⊥x轴，垂足为点 M，PM交 BC于点 Q，过点 P作 PE∥AC交 x轴于点 E，交
BC于点 F.
(1)求 A，B，C三点的坐标；
(2)试探究在点 P运动的过程中，是否存在这样的点 Q，使得以 A，C，Q为顶点的三角
形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点 Q的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)请用含 m的代数式表示线段 QF的长，并求出 m为何值时 QF有最大值．
图 Z3-11
专题三 突破解答题之 2——函数与图象
【提升·专项训练】
1．解：(1)根据反比例函数的图象关于原点对称知，该函数图象的另一支在第三象限，
且 m－7＞0，则 m＞7.
(2)∵点 B与点 A关于 x轴对称，设 AB与 x轴交点为 C，若△OAB的面积为 6，∴△
OAC的面积为 3.
设 A
x，m－7
x ，则
1
2
x·m－7
x
＝3.解得 m＝13.
2．解：(1)反比例函数 y＝m
x
( m≠0)的图象经过点(1,4)，
∴4＝m
1
.解得 m＝4.故反比例函数的表达式为 y＝4
x
.
一次函数 y＝－x＋b的图象与反比例函数的图象相交于点 Q(－4，n)，
∴
n＝ 4
－4
，
n＝－－4＋b.
解得
n＝－1，
b＝－5.
∴一次函数的表达式 y＝－x－5.
(2)由
y＝4
x
，
y＝－x－5
解得
x＝－4，
y＝－1
或
x＝－1，
y＝－4.
∴点 P(－1，－4)．
在一次函数 y＝－x－5中，令 y＝0，得－x－5＝0，
解得 x＝－5.故点 A(－5,0)．
∴S△OPQ＝S△OPA－S△OAQ＝
1
2
×5×4－1
2
×5×1＝7.5.
3．解：(1)①如图 D113，
∵y＝－2x2＋2x＋4＝－2
x－1
2 2＋
9
2
，
∴顶点 M的坐标为
1
2
，
9
2 .
当 x＝1
2
时，y＝－2×1
2
＋4＝3，则点 N的坐标为
1
2
，3
.
②不存在．理由如下：MN＝9
2
－3＝3
2
.
设 P点坐标为(m，－2m＋4)，则 D(m，－2m2＋2m＋4)．
∴PD＝－2m2＋2m＋4－(－2m＋4)＝－2m2＋4m.
∵PD∥MN，∴当 PD＝MN时，四边形 MNPD为平行四边形，即－2m2＋4m＝3
2
.解得
m1＝
1
2
(舍去)，m2＝
3
2
.
此时 P点坐标为
3
2
，1
.
∵PN＝
1
2
－
3
2 2＋3－12＝ 5，∴PN≠MN.
∴平行四边形 MNPD不是菱形．
∴不存在点 P，使四边形 MNPD为菱形．
图 D113 图 D114
(2)存在．如图 D114，OB＝4，OA＝2，
则 AB＝ 22＋42＝2 5.
当 x＝1时，y＝－2x＋4＝2，则 P(1,2)．
∴PB＝ 12＋2－42＝ 5.
设抛物线的解析式为 y＝ax2＋bx＋4，
把 A(2,0)代入，得 4a＋2b＋4＝0，解得 b＝－2a－2.
∴抛物线的解析式为 y＝ax2－2(a＋1)x＋4.
当 x＝1时，y＝ax2－2(a＋1)x＋4＝a－2a－2＋4＝2－a，则 D(1,2－a)．
∴PD＝2－a－2＝－a.
∵DC∥OB，∴∠DPB＝∠OBA.
∴当
PD
BO
＝
PB
BA
时，△PDB∽△BOA，即
－a
4
＝
5
2 5
，
解得 a＝－2.此时抛物线的解析式为 y＝－2x2＋2x＋4.
当
PD
BA
＝
PB
BO
时，△PDB∽△BAO，即＝
－a
2 5
＝
5
4
，
解得 a＝－
5
2
.此时抛物线的解析式为 y＝－
5
2
x2＋3x＋4.
综上所述，满足条件的抛物线的解析式为 y＝－2x2＋2x＋4或 y＝－
5
2
x2＋3x＋4.
4．解：(1)当 y＝0，1
3
x2－1
3
x－4＝0，解得 x1＝－3，x2＝4.
∴A(－3,0)，B(4,0)．
当 x＝0，y＝1
3
x2－1
3
x－4＝－4，∴C(0，－4)．
(2)AC＝ 32＋42＝5，易得直线 BC的解析式为 y＝x－4.
设 Q(m，m－4)(0＜m＜4)，
①当 CQ＝CA时，m2＋(m－4＋4)2＝52，解得 m1＝
5 2
2
，
m2＝－
5 2
2
(舍去)，此时 Q点的坐标为
5 2
2
，
5 2
2
－4
.
②当 AQ＝AC时，(m＋3)2＋(m－4)2＝52，解得 m1＝1，m2＝0(舍去)，此时 Q点的坐标
为(1，－3)．
③当 QA＝QC时，(m＋3)2＋(m－4)2＝m2＋(m－4＋4)2，解得 m＝25
2
(舍去)．
综上所述，满足条件的 Q点的坐标为
5 2
2
，
5 2
2
－4
或(1，－3)．
(3)过点 F作 FG⊥PQ于点 G，如图 D115，
图 D115
则 FG∥x轴．
由 B(4,0)，C(0，－4)，得△OBC为等腰直角三角形，
∴∠OBC＝∠QFG＝45°.
∴△FQG为等腰直角三角形．
∴FG＝QG＝ 2
2
FQ.
∵PE∥AC，PG∥CO，
∴∠FPG＝∠ACO.
∵∠FGP＝∠AOC＝90°，
∴△FGP∽△AOC.
∴
FG
OA
＝
PG
CO
，即
FG
3
＝
PG
4
.
∴PG＝4
3
FG＝4
3
· 2
2
FQ＝2 2
3
FQ.
∴PQ＝PG＋GQ＝2 2
3
FQ＋ 2
2
FQ＝7 2
6
FQ.
∴FQ＝3 2
7
PQ.
设 P
m，1
3
m2－
1
3
m－4
(0＜m＜4)，则 Q(m，m－4)．
∴PQ＝m－4－
1
3
m2－
1
3
m－4
＝－
1
3
m2＋
4
3
m.
∴FQ＝3 2
7
－
1
3
m2＋
4
3
m
＝－
2
7
(m－2)2＋4 2
7
.
∵－
2
7
＜0，∴QF有最大值．
∴当 m＝2时，QF有最大值．
5．4 平 移
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．认识平移现象，理解平移的本质和平移的相关概念，能够利用平移作图．
2．掌握平移的特征．
【过程与方法】
在研究问题的过程中培养学生的直观感知能力和归纳能力．
【情感态度与价值观】
体验数学知识的观察猜想和验证过程，欣赏数学图形之美．体验数学的学习是一个观察、
猜想、归纳、验证的过程．
二、重难点目标
【教学重点】
平移的概念、平移特征．
【教学难点】
平移的要素、平移特征的归纳．
教学过程
环节 1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材 P28～P30的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，图形的这种移动叫做
平移.
2．平移的要素：(1)平移的方向；(2)平移的距离.
3．平移的性质：(1)平移后的新图形与原图形的形状和大小完全相同．
(2)连结各组对应点的线段平行(或在同一直线上)且相等.
4．平移作图的步骤：
(1)确定平移的方向和距离；
(2)对照具体的图形，确定图形的关键点；
(3)过关键点作与已知平移方向平行的线段(虚线)，并使这些平行线段的长度都等于平移
距离，从而确定关键点平移后的位置；
(4)顺次连结(实线)对应点，得到新的图形，就是已知图形的平移图形．
环节 2 合作探究，解决问题
活动 1 小组讨论(师生互学)
(一)探索平移的特征
幻灯片呈现：观察、阅读与思考教材 P28～P29的内容，可以发现平移的特征：
(1)把一个图形整体沿某一个方向移动，会得到一个新的图形．新图形与原图形的形状
和大小完全相同．
(2)新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点就是对应
点．连结各组对应点所得的线段平行(或在同一直线上)且相等．
简单地说：(1)平移不改变图形的形状和大小；(2)对应点的连线平行(或在同一直线上)
且相等．
(二)平移作图
【例 1】(教材 P29 例题)如图 1，平移三角形 ABC，使点 A移动到点 A′，画出平移后
的三角形 A′B′C′.
图 1
图 2
【互动探索】(引发学生思考)图形平移后的对应点有什么特征？作出点 B和点 C的对应
点 B′、C′，能确定三角形 A′B′C′吗？
【解答】(1)如图 2，连结 AA′，过点 B作 AA′的平行线 l，在 l上截取 BB′＝AA′，
则点 B′就是点 B的对应点．
(2)过点 C作 AA′的平行线 l′，在 l′上截取 CC′＝AA′，则点 C′就是点 C的对应
点．
(3)顺次连结点 A′、B′、C′，则三角形 A′B′C′即为所求作的三角形．
【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)平移的作图要注意两个方面：平移的方向和平移
的距离；(2)作直线型图形平移后的图形，关键是作出点平移后的对应点．
活动 2 巩固练习(学生独学)
1．下面生活中的物体的运动情况可以看成平移的是( B )
A．摆动的钟摆
B．在笔直的公路上行驶的汽车
C．随风摆动的旗帜
D．汽车玻璃上雨刷的运动
2．如图，共有 3个方格块，现在要把上面的方格块与下面的两个方格块合成一个长方
形的整体，则应将上面的方格块( C )
A．向右平移 1格，向下平移 3格
B．向右平移 1格，向下平移 4格
C．向右平移 2格，向下平移 4格
D．向右平移 2格，向下平移 3格
3．如图，经过平移，△ABC的边 AB移到了 EF，作出平移后的三角形．
解：如图，△EFG即为所求作的三角形．
活动 3 拓展延伸(学生对学)
【例 2】如图，在△ABC中，∠B＝90°，把△ABC沿 BC方向平移到△DEF的位置，若
AB＝4，BE＝3，GE＝2，求图中阴影部分的面积．
【互动探索】根据平移的性质得到 S△ABC＝S△DEF，则利用 S 梯形 ABEG＋S△GEC＝S 阴影＋S△GEC
得到 S 阴影＝S 梯形ABEG，然后根据梯形的面积公式求解．
【解答】∵△ABC沿 BC方向平移到△DEF的位置，
∴S△ABC＝S△DEF，
∴S 梯形ABEG＋S△GEC＝S 阴影＋S△GEC，
∴S 阴影＝S 梯形ABEG＝
1
2
×(4＋2)×3＝9.
【互动总结】(学生总结，老师点评)平移后的新图形与原图形的形状和大小完全相同．
环节 3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
平移
概念
性质
平移不改变图形的形状和大小
平移不改变直线的方向
一个图形和它经过平移后所得
的图形中，两组对应点的连线
平行或在同一直线上且相等
作图
练习设计
请完成本课时对应练习！
中考复习之函数的综合运用
知识考点：
会综合运用函数、方程、几何等知识解决与函数有关的综合题以及函数应用问题。
精典例题：
【例 1】如图，一次函数的图像经过第一、二、三象限，且与反比例函数的图像交于 A、
B 两点，与 y轴交于 C 点，与 x轴交于 D 点，OB＝ 10 ，tan∠DOB＝
3
1
。
（1）求反比例函数的解析式；
（2）设点 A 的横坐标为m，△ABO 的面积为 S，求 S与m之间的函数关系式；并写
出自变量m的取值范围。
（3）当△OCD 的面积等于
2
S
时，试判断过 A、B 两点的抛物线在 x轴上截得的线段长
能否等于 3？如果能，求出此时抛物线的解析式；如果不能，请说明理由。
解析：（1）
x
y 3
（2）A（m，
m
3
），直线 AB：
m
mx
m
y
31
，D（ 3m ，0）
)31(3
2
1
m
mSSS ADOBDO
易得： 30 m ，
m
mS
2
9 2
（ 30 m ）
（3）由
2
SS OCD 有
m
m
m
m
2
9
2
1
2
)3( 22
，解得 11 m ，
32 m （舍去）
∴A（1，3），过 A、B 两点的抛物线的解析式为 axaaxy 32)21(2 ，设抛物
线与 x轴两交点的横坐标为 1x 、 2x ，则
a
axx 21
21
，
a
axx 32
21
若 321 xx 有 932421 2
a
a
a
a
整理得 0147 2 aa ，由于△＝－12＜0 方程无实根
故过 A、B 两点的抛物线在 x轴上截得的线段长不能等于 3。
评注：解此题要善于利用反比例函数、一次函数、二次函数以及三角形面积等知识，并
注意挖掘问题中的隐含条件。
【例 2】某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品，据市场分析，若按每千克
50 元销售，一个月能售出 500 千克；销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10 千克，针对这
种水产品的销售情况，请解答以下问题：
（1）当销售单价定为每千克 55 元时，计算月销售量和月销售利润；
（2）设销售单价为每千克 x元，月销售利润为 y元，求 y与 x之间的函数关系式（不
必写出自变量 x的取值范围）；
（3）商店想在月销售成本不超过 10000 元的情况下，使得月销售利润达到 8000 元，
销售单价应定为多少？
（4）商店要想月销售利润最大，销售单价应定为多少元？最大月销售利润是多少？
解析：（1） 675010)5055(500)4055( （元）
（2） 10)50(500)40( xxy
40000140010 2 xx
（3）当 8000y 时， 801 x ， 602 x （舍去）
（4） 9000)70(10 2 xy ，销售单价定为 70 元时，月销售利润最大为 9000
元。
评注：本题是一道实际生活中经济效益的决策性应用问题，解答时要认真审题，从实际
问题中建立二次函数的解析式，然后应用其性质求解。
探索与创新：
【问题】如图，A（－8，0），B（2，0），以 AB 的中点 P 为圆心，AB 为直径作⊙P 与 y
轴的负半轴交于点 C。
（1）求经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；
（2）设 M 为（1）中抛物线的顶点，求顶点 M 的坐标和直线 MC 的解析式；
（3）判定（2）中的直线 MC 与⊙P 的位置关系，并说明
理由；
（4）过原点 O 作直线 BC 的平行线 OG，与（2）中的直
线 MC 交于点 G，连结 AG，求出 G 点的坐标，并证明 AG⊥
MC。
解析：（1） OBOAOC 2
， 4
2
3
4
1 2 xxy ；
（2）M（－3，
4
25
），直线 MC： 4
4
3
xy
（ 3）直线 MC 交 x 轴于 N（
3
16
， 0），易证
222 PNCNPC ，直线 MC 与⊙P 相切；
（4）直线 BC： 42 xy ，直线 OG： xy 2 ，由
4
4
3
2
xy
xy
解得：
G（
5
16
，
5
32
），∵BC∥OG，∴
GN
ON
CN
BN
，易证△NBC∽△NGA，有
NA
CN
CN
BN
∴
NA
CN
GN
ON
，又∠CNO＝∠ANG，∴△NOC∽△NGA，∴∠AGN＝∠CON＝900，故 AG⊥
MC。
评注：这是一道代数、几何横向联系的综合开放题，解这类问题的关键是运用数形结合
的思想方法，从数量关系与图形特征两个方面入手来解决。
跟踪训练：
一、选择题：
1、若抛物线 12 22 mmmxxy 的顶点在第二象限，则常数m的取值范围是（ ）
A、 1m 或 2m B、 01 m
C、 21 m D、 0m
2、抛物线 cbxaxy 2
（ a＞0）与 y轴交于 P，与 x轴交于 A（ 1x ，0），B（ 2x ，0）
两点，且 21 0 xx ，若 OPOBOA
3
1
2
1
，则b的值是（ ）
A、
3
2
B、
2
9
C、
2
3
D、
2
9
3、某商人将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元出售，每天可销售 100 件，现在他采用提高
售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高 2 元，其销量就要减少 10 件，
为了使每天所赚利润最多，该商人应将销价提高（ ）
A、8 元或 10 元 B、12 元 C、8 元 D、10 元
二、填空题：
1、函数 132 xaxaxy 的图像与 x轴有且只有一个交点，那么 a的值是 ，
与 x轴的交点坐标为 。
2、已知 M、N 两点关于 y轴对称，且点 M 在双曲线
x
y
2
1
上，点 N 在直线 3 xy 上，
设点 M（ a，b），则抛物线 xbaabxy )(2 的顶点坐标为 。
3、将抛物线 563 2 xxy 绕顶点旋转 1800，再沿对称轴平移，得到一条与直线
2 xy 交于点（2，m）的新抛物线，新抛物线的解析式为 。
4、已知抛物线 482 2 xxy 与 x轴交于 A、B 两点，顶点为 C，连结 AC、BC，点 A1、
A2、A3、… 1nA 把 AC n等分，过各分点作 x轴的平行线，分别交 BC 于 B1、B2、B3、… 1nB ，
线段 A1B1、A2B2、A3B3、…、 11 nn BA 的和为 。（用含 n的式子表示）
三、解答题：
1、汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，我们称这
段距离为“刹车距离”。刹车距离是分析事故的一个重要因素，在一个限速 40 千米／小时以
内的弯道上，甲、乙两车相向而行，发情况不对，同时刹车，但还是相碰了。事后现场测得
甲车的刹车距离为 12 米，乙车的刹车距离超过 10 米，但小于 12 米。查有关资料知：甲种
车的刹车距离 甲S （米）与车速 x（千米／小时）之间有下列关系， xxS 1.001.0 2 甲
；
乙种车的刹车距离 乙S （米）与车速 x（千米／小时）的关系如图所示。请你就两车的速度
方面分析相碰的原因。
2、如图，已知直线 l与 x轴交于点 P（－1，0），与 x轴所夹的锐角为 ，县 tan ＝
3
2
，
直线 l与抛物线 cbxaxy 2 )0( a 交于点 A（m，2）和点 B（－3， n）
（1）求 A、B 两点的坐标，并用含 a的代数式表示b和 c；
（2）设关于 x的方程 0
2
3362 aaxx 的两实数根为 1x 、 2x ，且 021 xx ，
2
2
1
x
x
，求此时抛物线的解析式；
（3）若点 Q 是由（2）所得的抛物线上一点，且在 x轴上方，当满足∠AOQ＝900时，
求点 Q的坐标及△AOQ外接圆的面积。
3、如图，抛物线 1C 经过 A、B、C 三点，顶点为 D，且与 x轴的另一个交点为 E。
（1）求抛物线 1C 的解析式；
（2）求四边形 ABDE 的面积；
（3）△AOB 与△BDA 是否相似，如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由。
（4）设抛物线 1C 的对称轴与 x轴交于点 F，另一条抛物线 2C 经过点 E（抛物线 1C 与
抛物线 2C 不重合），且顶点为 M（ a，b），对称轴与 x轴交于点 G，且以 M、G、E 为顶点
的三角形与以 D、E、F 为顶点的三角形全等，求 a、b的值（只须写出结果，不必写出解答
过程）。
4、如图，直线 3
3
3
xy 与 x轴、 y轴交于点 A、B，⊙M 经过原点 O 及 A、B 两
点。
（1）求以 OA、OB 两线段长为根的一元二次方程；
（2）C 是⊙M 上一点，连结 BC 交 OA 于点 D，若∠COD＝∠CBO，写出经过 O、C、A
三点的二次函数解析式；
（3）若延长 BC 到 E，使 DE＝2，连结 AE，试判断直线 EA 与⊙M 的位置关系，并说明
理由。
5、如图，P 为 x轴正半轴上一点，半圆 P 交 x轴于 A、B 两点，交 y轴于 C 点，弦 AE
分别交 OC、CB 于点 D、F，已知
CEAC 。
（1）求证：AD＝CD；
（2）若 DF＝
4
5
，tan∠ECB＝
4
3
，求经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；
（3）设 M 为 x轴负半轴上一点，OM＝
2
1
AE，是否存在过点 M 的直线，使该直线与（2）
中所得的抛物线的两个交点到 y轴距离相等？若存在，求出这条直线的解析式；若不存在，
请说明理由。
参考答案
一、选择题：BCD
二、填空题：
1、1 或 9，（－1，0）或（
3
1
，0）；2、（3，
2
9
）；3、 463 2 xxy ；4、 )1(2 n
三、解答题：
1、甲车速 30 千米／小时未超过限速；乙车速为 4840 乙V 超过限速。
2、（1）A（2，2），直线 l：
3
2
3
2
xy ，B（－3，
3
4
）
3
26)
3
2(2 axaaxy )0( a ，
3
26
3
2
ac
ab
（2）
3
5
2
1
6
1 2 xxy
（3）A（2，2），∠AOY＝∠YOQ＝450，直线 OQ： xy ，Q（－1，1），AQ＝ 10 ，
△AOQ外接圆面积＝
2
5
（平方单位）
3、（1） 322 xxy ；（2）9；（3）（5，4）、（5，－4）、（7，2）、（7，－2）、（1，
－4）、（－1，－2）、（－1，2）共 7 个点。
4、（1） 033)33(2 zz ；（2）C（
2
3
，
2
3
）， xxy
3
32
9
32 2
（3）直线 EA 与⊙M 相切。
5、（1）连结 AC；（2） 2
2
3
2
1 2 xxy ；（3）不存在
