九年级数学上册 244 弧长和扇形面积教学 新版新人教版

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24.4 　弧长和扇形面积 知识点一 知识点二 知识点三 知识点一 知识点二 知识点三 例 1 　 一圆弧所对的圆心角为 150 ° , 它所对的弧长等于半径为 5 cm 的圆的周长 , 则该弧所在圆的半径为 ( 　　 ) A.24 cm B.12 cm C.6 cm D.30 cm 解析 : 先用弧长公式表示出弧长 , 代入相关数据求出 r 的值即可 . 由题意得 , l= 2π × 5 = 10π, 则 10π = , 解得 r= 12 . 答案 : B 知识点一 知识点二 知识点三 解答这类问题时 , 一般根据弧长公式直接求解或根据公式变形求解 . 知识点一 知识点二 知识点三 知识点二 扇形的面积公式 半径为 r 的圆中 , 圆心角为 n ° 的扇形的面积为 名师解读 : 根据扇形的面积公式和弧长公式 , 已知 S 扇形 , l , n , r 四个量中的任意两个 , 都可以求出另外的两个量 . 知识点一 知识点二 知识点三 例 2 　 如果扇形所含的圆心角为 150 ° , 弧长为 5π, 那么扇形的面积是 ( 　　 ) A.5π B.10π C.15π D.30π 答案 : C 知识点一 知识点二 知识点三 在计算扇形的面积时 , 要根据情况选用合适的公式 , 当已知扇形的半径和圆心角时 , 选用公式 S 扇形 = ; 当已知扇形的弧长和半径时 , 选用公式 S 扇形 = lr. 知识点一 知识点二 知识点三 知识点三 圆锥的母线、侧面积和全面积 圆锥的母线 : 连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线 . 圆锥的侧面展开图 : 圆锥的侧面展开图是一个扇形 . 设圆锥的母线长为 l , 底面圆的半径为 r , 那么这个扇形的半径为 l , 扇形的弧长为 2π r , 因此 , 圆锥的侧面积为 π rl , 圆锥的全面积为 π r ( r+l ) . 名师解读 : 圆锥的全面积也称圆锥的表面积 , 计算时分别求出侧面积和底面积 , 然后相加即可 . 知识点一 知识点二 知识点三 例 3 　 已知圆锥的高为 4 , 底面半径为 2, 求 : (1) 圆锥的全面积 ; (2) 圆锥侧面展开图的圆心角 . 分析 : (1) 首先求得底面周长 , 即侧面展开图的扇形弧长 , 然后根据扇形的面积公式即可求得侧面积 , 即圆锥的侧面积 , 再求得圆锥的底面积 , 侧面积与底面积的和就是全面积 . (2) 利用弧长公式可得圆锥侧面展开图圆心角的角度 , 把相关数值代入即可求解 . 知识点一 知识点二 知识点三 知识点一 知识点二 知识点三 已知圆锥的母线长、底面圆的半径、圆锥侧面展开图的圆心角中的任何两个 , 都可以求出第三个量 , 并且可以求圆锥的全面积 . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点一 扇形面积公式的灵活运用 例 1 　 如图 , 以四边形 ABCD 各顶点为圆心 , 以 1 为半径画圆 , 则图形中扇形 ( 阴影 ) 部分的面积之和是 ( 　　 ) 拓展点一 拓展点二 拓展点三 解析 : 由于四边形内角和为 360 ° , 因此图中阴影部分的面积刚好为一个完整的圆的面积 . 如图所示 , ∵ 四边形 ABCD 中 , ∠ A+ ∠ B+ ∠ C+ ∠ D= 360 ° , ∴ S 阴影 = π × 1 2 = π . 答案 : B 拓展点一 拓展点二 拓展点三 解答这类问题的关键是把几个扇形拼成一个完整的图形 ( 圆 ), 然后直接利用圆的面积公式来求 , 本题也可以利用四个扇形的面积和求解 . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点二 与圆锥侧面积有关的问题 例 2 　 如图 , 已知扇形 OAB 的圆心角为 90 ° , 半径为 4 厘米 , 用这个扇形卷成圆锥的侧面 , 求该圆锥的侧面积及圆锥的高 . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点一 拓展点二 拓展点三 解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系 :(1) 圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径 ;(2) 圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长 . 正确记忆这两个关系是解题的关键 . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点三 利用弧长公式求运动路线的长 例 3 　 将边长为 8 的正方形 ABCD 的四边沿直线 l 向右滚动 ( 不滑动 ), 当正方形滚动两周时 , 正方形的顶点 A 所经过的路线的长是 ( 　　 ) 拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点一 拓展点二 拓展点三 正确确定 A 所经过的路线是解题的关键 .