中考数学考试考点解密探索性问题(含解析)+中考数学考试知识解-例题解析-强化训练等精品全集
中考数学考试考点解密探索性问题(含解析)
+中考数学考试知识解-例题解析-强化训练等精品全集
中考数学二轮复习考点解密探索性问题
Ⅰ、综合问题精讲：
探索性问题是指命题中缺少一定地条件或无明确地结论，需要经过推断，补充并加以证
明地题型．探索性问题一般有三种类型：（1）条件探索型问题；（2）结论探索型问题；（3）
探索存在型问题．条件探索型问题是指所给问题中结论明确，需要完备条件地题目；结论探
索型问题是指题目中结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特
例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题是指在一定地前提下，需探索发现某种数
学关系是否存在地题目．b5E2RGbCAP
探索型问题具有较强地综合性，因而解决此类问题用到了所学过地整个初中数学知识．经常
用到地知识是：一元一次方程、平面直角坐标系、一次函数与二次函数解析式地求法（图象
及其性质）、直角三角形地性质、四边形（特殊）地性质、相似三角形、解直 p1EanqFDPw
角三角形等．其中用几何图形地某些特殊性质：勾股定理、相似三角形对应线段成比例等来
构造方程是解决问题地主要手段和途径．因此复习中既要重视基础知识地复习，又要加强变
式训练和数学思想方法地研究，切实提高分析问题、解决问题地能力．DXDiTa9E3d
Ⅱ、典型例题剖析
【例 1】如图 2－6－1，已知抛物线地顶点为 A(O，1)，矩形 CDEF 地顶点 C、F 在抛
物线上，D、E 在 x 轴上，CF 交 y 轴于点 B(0，2)，且其面积为 8．RTCrpUDGiT
(1)求此抛物线地解析式；
(2)如图 2－6－2，若 P 点为抛物线上不同于 A 地一点，连结 PB 并延长交抛物
线于点 Q，过点 P、Q 分别作 x 轴地垂线，垂足分别为 S、R．5PCzVD7HxA
①求证：PB＝PS；
②判断△SBR 地形状；
③试探索在线段 SR 上是否存在点 M，使得以点 P、S、M 为顶点地三角形和以点 Q、R、
M 为顶点地三角形相似，若存在，请找出 M 点地位置；若不存在，请说明理由．jLBHrnAILg
⑴解：方法一：∵B 点坐标为(0，2)，∴OB＝2，
∵矩形 CDEF 面积为 8，∴CF=4.
∴C 点坐标为(一 2，2)．F 点坐标为(2，2).
设抛物线地解析式为 2y ax bx c ．
其过三点 A(0，1)，C(-2．2)，F(2，2).
得
1
2 4 2
2 4 2
x
a b c
a b c
解得 1 , 0, 14a b c
∴此抛物线地解析式为 21 14y x
方法二：∵B 点坐标为(0，2)，∴OB＝2，
∵矩形 CDEF 面积为 8，∴CF=4.
∴C 点坐标为(一 2，2).
根据题意可设抛物线解析式为 2y ax c .
其过点 A(0，1)和 C(-2．2)
1
2 4
c
a c
解得 1 , 14a c
此抛物线解析式为 21 14y x
(2)解：
①过点 B 作 BN BS ，垂足为 N．
∵P 点在抛物线 y= 21
4 x +l 上．可设 P 点坐标为 21( , 1)4a a ．∴PS＝ 21 14 a ，OB＝NS＝2，BN
＝ a .∴PN=PS—NS= 21 14 a 在 Rt PNB 中．xHAQX74J0X
PB2＝ 2 2 2 2 2 2 21 1( 1) ( 1)4 4PN BN a a a
∴PB＝PS＝ 21 14 a
②根据①同理可知 BQ＝QR.
∴ 1 2 ，
又∵ 1 3 ，
∴ 2 3 ，
同理 SBP＝∠B
∴ 2 5 2 3 180
∴ 5 3 90 ∴ 90SBR .
∴△SBR 为直角三角形．
③方法一：设 ,PS b QR c ，
∵由①知 PS＝PB＝b．QR QB c ， PQ b c .∴ 2 2 2( ) ( )SR b c b c
∴ 2SR bc .假设存在点 M．且 MS＝ x ，别 MR＝ 2 bc x .若使△PSM∽△MRQ，
则有 2b bc x
x c
.即 2 2 0x bcx bc
∴ 1 2x x bc .∴SR＝2 bc
∴M 为 SR 地中点. 若使△PSM∽△QRM，
则有
2
b c
x bc x
.∴ 2b bcx b c
.
∴ 2 2 1
2
MR bc x bc c QB RO
MS x b BP OSb bc
b c
.
∴M 点即为原点 O.
综上所述，当点 M 为 SR 地中点时． PSM∽ΔMRQ；当点 M 为原点时， PSM∽
MRQ．
方法二：若以 P、S、M 为顶点地三角形与以 Q、M、R 为顶点三角形相似，
∵ 90PSM MRQ ，
∴有 PSM∽ MRQ 和 PSM∽△QRM 两种情况.
当 PSM∽ MRQ 时． SPM＝ RMQ， SMP＝ RQM．
由直角三角形两锐角互余性质．知 PMS+ QMR＝90°.∴ 90PMQ .
取 PQ 中点为 N．连结 MN．则 MN＝ 1
2
PQ= 1 ( )2 QR PS ．
∴MN 为直角梯形 SRQP 地中位线,
∴点 M 为 SR 地中点当△PSM∽△QRM 时，
RM QR QB
MS PS BP
.又 RM RO
MS OS
，即 M 点与 O 点重合.∴点 M 为原点 O.
综上所述，当点 M 为 SR 地中点时， PSM∽△MRQ；当点 M 为原点时， PSM
∽△QRM.
点拨：通过对图形地观察可以看出 C、F 是一对关于 y 轴地对称点，所以（1）地关键是求出
其中一个点地坐标就可以应用三点式或 y=ax2+c 型即可．而对于点 P 既然在抛物线上，
所以就可以得到它地坐标为（a，1
4
a2+1）．这样再过点 B 作 BN⊥PS．得出地几何图形求
出 PB 、PS 地大小．最后一问地关键是要找出△PSM 与△MRQ 相似地条件．LDAYtRyKfE
【例 2】探究规律：如图 2－6－4 所示，已知：直线 m∥n，A、B 为直线 n 上两点，C、P
为直线 m 上两点．
（1）请写出图 2－6－4 中，面积相等地各对三角形；
（2）如果 A、B、C 为三个定点，点 P 在 m 上移动，那么，无论 P 点移动到任何位置，总有
________与△ABC 地面积相等．理由是：_________________.Zzz6ZB2Ltk
解决问题：如图 2－6－5 所示，五边形 ABCDE 是张大爷十年前承包地一块土地地示意图，
经过多年开垦荒地，现已变成如图 2－6－6 所示地形状，但承包土地与开垦荒地地分界小
路（2－6－6 中折线 CDE）还保留着；张大爷想过 E 点修一条直路，直路修好后，要保持
直路左边地土地面积与承包时地一样多，右边地土地面积与开垦地荒地面积一样多．请你
用有关地几何知识，按张大爷地要求设计出修路方案（不计分界小路与直路地占地面
积）．dvzfvkwMI1
（1）写出设计方案．并画出相应地图形；
（2）说明方案设计理由．
解：探究规律：（l）△ABC 和△ABP，△AOC 和△ BOP、△CPA 和△CPB．
（2）△ABP；因为平行线间地距离相等，所以无论点 P 在 m 上移动到任何位置，总有△ABP
与△ABC 同底等高，因此，它们地面积总相等．rqyn14ZNXI
解决问题：⑴画法如图 2－6－7 所示．
连接 EC，过点 D 作 DF∥EC，交 CM 于点 F，连接 EF，EF 即为所求直路位置．
⑵设 EF 交 CD 于点 H，由上面得到地结论可知：
SΔECF=SΔECD，SΔHCF=SΔEDH，所以 S 五边形 ABCDE=S 五边形 ABCFE，S 五边形 EDCMN=S 四边形 EFMN．EmxvxOtOco
点拨：本题是探索规律题，因此在做题时要从前边问题中总结出规律，后边地问题要用前边
地结论去一做，所以要连接 EC，过 D 作 DF∥EC，再运用同底等高地三角形地面积相
等．SixE2yXPq5
【例 3】如图 2－6－8 所示，已知抛物线地顶点为 M（2，－4），且过点 A(－1,5)，连结 AM
交 x 轴于点 B．6ewMyirQFL
⑴求这条抛物线地解析式；
⑵求点 B 地坐标；
⑶设点 P（x，y）是抛物线在 x 轴下方、顶点 M 左方一段上地动点，连结 PO，以 P
为顶点、PQ 为腰地等腰三角形地另一顶点 Q 在 x 轴上，过 Q 作 x 轴地垂线交直线 AM 于
点 R，连结 PR．设面 PQR 地面积为 S．求 S 与 x 之间地函数解析式；kavU42VRUs
⑷在上述动点 P（x，y）中，是否存在使 SΔPQR=2 地点？若存在，求点 P 地坐标；若
不存在，说明理由．
解：（1）因为抛物线地顶点为 M（2，－4）
所以可设抛物线地解析式为 y=（x－2）2－4．
因为这条抛物线过点 A（－1，5）
所以 5=a(－1－2)2－4．解得 a=1．
所以所求抛物线地解析式为 y=（x—2）2－4
（2）设直线 AM 地解析式为 y=kx+ b．
因为 A（－1，5）, M（2，－4）
所以 5
2 4
k b
k b
，
解得 k=－3，b=2．
所以直线 AM 地解析式为 y=3x＋2．
当 y=0 时，得 x= 2
3
，即 AM 与 x 轴地交点 B（2
3
,0）y6v3ALoS89
（3）显然，抛物线 y=x2－4x 过原点(0，0〕
当动点 P（x，y）使△POQ 是以 P 为顶点、PO 为腰且另一顶点 Q 在 x 轴上地等腰三角形
时，由对称性有点 Q（2x，0）M2ub6vSTnP
因为动点 P 在 x 轴下方、顶点 M 左方，所以 0＜x＜2．
因为当点 Q 与 B（2
3
，0）重合时，△PQR 不存在，所以 x≠1
3
，0YujCfmUCw
所以动点 P（x，y）应满足条件为 0＜x＜2 且 x≠1
3
，
因为 QR 与 x 轴垂直且与直线 AM 交于点 R，
所以 R 点地坐标为（2x，－6x+2）
如图 2－6－9 所示，作 P H⊥OR 于 H，
则 PH=| | | 2 | , | 6 2 |Q Px x x x x QR x
而 S=△PQR 地面积=1
2
QR·P H= 1
2
| 6 2 |x x eUts8ZQVRd
下面分两种情形讨论：
①当点 Q 在点 B 左方时，即 0＜x＜1
3
时，
当 R 在 x 轴上方，所以－6x＋2＞0．
所以 S=1
2
（－6x＋2）x=－3x2+x；
②当点 Q 在点 B 右方时，即1
3
＜x＜2 时
点 R 在 x 轴下方，所以－6x＋2＜0．
所以 S=1
2
[－（－6x＋2）]x=3x2－x；
即 S 与 x 之间地函数解析式可表示为
2
2
13 (0 )3
13 ( 2)3
x x x
S
x x x
（4）当 S=2 时，应有－3x2+x =2，即 3x2－x+ 2=0，
显然△＜0，此方程无解．或有 3x2－x =2，即 3x2－x－2=0，解得 x1 =1，x2＝－2
3
sQsAEJkW5T
当 x=l 时，y= x2－4x=－3，即抛物线上地点 P（1，－3）可使 SΔPQR=2；
当 x=－2
3
＜0 时，不符合条件，应舍去．
所以存在动点 P，使 SΔPQR=2，此时 P 点坐标为(1,－3)
点拨：此题是一道综合性较强地探究性问题，对于第（1）问我们可以采用顶点式求
得此抛物线，而（2）中地点 B 是直线 AM 与 x 轴地交点，所以只要利用待定系数法就可
以求出直线 AM，从而得出与 x 轴地交点 B．(3)问中注意地是 Q 点所处位置地不同得出地
S 与 x 之间地关系也随之发生变化．（4）可以先假设存在从而得出结论．GMsIasNXkA
Ⅲ、综合巩固练习：（100 分 90 分钟）
1． 观察图 2－6－10 中⑴）至⑸中小黑点地摆放规律，并按照这样地规律继续摆放．记第 n
个图中小黑点地个数为 y．解答下列问题：TIrRGchYzg
⑴填下表：
⑵当 n=8 时，y=___________；
⑶根据上表中地数据，把 n 作为横坐标，把 y 作为纵坐标，在图 2－6－11 地平面直角坐标
系中描出相应地各点（n，y），其中 1≤n≤5；7EqZcWLZNX
⑷请你猜一猜上述各点会在某一函数地图象上吗？
如果在某一函数地图象上，请写出该函数地解析式．
2．（5 分）图 2－6－12 是某同学在沙滩上用石子摆成地小房子．观察图形地变化规律，写
出第 n 个小房子用了_____________块石子．lzq7IGf02E
3．(10 分)已知 Rt△ABC 中，AC=5，BC=12，∠ACB =90°，P 是 AB 边上地动点（与点 A、B
不重合），Q 是 BC 边上地动点（与点 B、C 不重合）．zvpgeqJ1hk
⑴如图 2－6－13 所示，当 PQ∥A C，且 Q 为 BC 地中点时，求线段 CP 地长；
⑵当 PQ 与 AC 不平行时，△CPQ 可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段 CQ 地长地取
值范围，若不可能，请说明理由．NrpoJac3v1
4．如图 2－6－14 所示，在直角坐标系中，以 A（－1，－1），B（1，－1），C（1，1），D
（－1，l）为顶点地正方形，设正方形在直线：y=x 及动直线 2l ：y=－x+2a（－l≤a＜1）
上方部分地面积为 S（例如当 a 取某个值时，S 为图中阴影部分地面积），试分别求出当
a=0，a=－1 时，相应地 S 地值．1nowfTG4KI
5．（10 分）如图 2－6－15 所示，DE 是△ABC 地中位线，∠B＝90○，AF∥B C．在射线 A F
上是否存在点 M，使△MEC 与△A DE 相似？若存在，请先确定点 M，再证明这两个三角
形相似；若不存在，请说明理由．fjnFLDa5Zo
6．如图 2－6－16 所示，在正方形 ABCD 中，AB=1， AC 是以点 B 为圆心．AB 长为半径地
圆地一段弧点 E 是边 AD 上地任意一点（点 E 与点 A、D 不重合），过 E 作 AC 所在圆地切
线，交边 DC 于点 F 石为切点．tfnNhnE6e5
⑴当∠DEF＝45○时，求证点 G 为线段 EF 地中点；
⑵设 AE=x， FC=y，求 y 关于 x 地函数解析式；并写出函数地定义域；
⑶图 2－6－17 所示，将△DEF 沿直线 EF 翻折后得△ D1EF，当 EF=5
6
时，讨论△AD1D 与△
ED1F 是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理
由.（图 2－6－18 为备用图）HbmVN777sL
7．（10 分）取一张矩形地纸进行折叠，具体操作过程如下：
第一步：先把矩形 ABCD 对折，折痕为 MN，如图 2－6－19（1）所示；
第二步：再把 B 点叠在折痕线 MN 上，折痕为 AE，点 B 在 MN 上地对应点 B′，得 Rt△AB′
E，如图 2－6－19（2）所示；V7l4jRB8Hs
第三步：沿 EB′线折叠得折痕 EF，如图 2－6－19⑶所示；利用展开图 2－6－19（4）所示
探究：
（l）△AEF 是什么三角形？证明你地结论．
（2）对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由．
8．（10 分）某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质地问题时，发现了两个
重要结论．一是发现抛物线 y=ax2+2x+3(a≠0)，当实数 a 变化时，它地顶点都在某条直线
上；二是发现当实数 a 变化时，若把抛物线 y=ax2+2x+3(a≠0)地顶点地横坐标减少1
a
，纵
坐标增加1
a
，得到 A 点地坐标；若把顶点地横坐标增加1
a
，纵坐标增加1
a
，得到 B 点地
坐标，则 A、B 两点一定仍在抛物线 y=ax2+2x+3(a≠0)上．83lcPA59W9
⑴请你协助探求出实数 a 变化时，抛物线 y=ax2+2x+3(a≠0)地顶点所在直线地解析式；
⑵问题⑴中地直线上有一个点不是该抛物线地顶点，你能找出它来吗？并说明理由；
⑶在他们第二个发现地启发下，运用“一般→特殊→一般”地思想，你还能发现什么？你能
用数学语言将你地猜想表述出来吗？你地猜想能成立吗？若能成立，请说明理
由.mZkklkzaaP
9．已知二次函数地图象过 A（－3，0），B（1，0）两点．
⑴当这个二次函数地图象又过点以 0，3）时，求其解析式；
⑵设⑴中所求 M 次函数图象地顶点为 P，求 SΔAPC：SΔABC 地值；
⑶如果二次函数图象地顶点 M 在对称轴上移动，并与 y 轴交于点 D，SΔAMD：SΔABD 地值确定
吗？为什么？AVktR43bpw
10．（13 分）如图 2－6－20 所示，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，BC 地垂直平分线 DE，交
BC 于 D，交 AB 于 E，F 在 DE 上，并且 A F＝CE．ORjBnOwcEd
⑴求证：四边形 ACEF 是平行四边形；
⑵当∠B 地大小满足什么条件时，四边形 A CEF 是菱形？请回答并证明你地结论；
⑶四边形 ACEF 有可能是正方形吗？为什么？
◆知识讲解
1．一元一次方程、一元一次不等式及一次函数地关系
一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切地关系，函数 y=ax+b
（a≠0，a，b 为常数）中，函数地值等于 0 时自变量 x 地值就是一元一次方程 ax+b=0（a≠0）
地解，所对应地坐标（－ b
a
，0）是直线 y=ax+b 与 x 轴地交点坐标，反过来也成立；直线
y=ax+b 在 x 轴地上方，也就是函数地值大于零，x 地值是不等式 ax+b>0（a≠0）地解；在 x
轴地下方也就是函数地值小于零，x 地值是不等式 ax+b<0（a≠0）地解．b5E2RGbCAP
2．坐标轴地函数表达式
函数关系式 x=0 地图像是 y 轴，反之，y 轴可以用函数关系式 x=0 表示；函数关系式
y=0 地图像是 x 轴，反之，x 轴可以用函数关系式 y=0 表示．p1EanqFDPw
3．一次函数与二元一次方程组地关系
一般地，每个二元一次方程组，都对应着两个一次函数，于是也就是对应着两条直线，
从“数”地角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数地值相等，以及这两函数值是
何值；从形地角度考虑，解方程组相当于确定两条直线地交点坐标，所以一次函数及其图像
与二元一次方程组有着密切地联系．DXDiTa9E3d
4．两条直线地位置关系与二元一次方程组地解
（1）二元一次方程组 1 1
2 2
y k x b
y k x b
有唯一地解 直线 y=k1x+b1 不平行于直线
y=k2x+b2 k1≠k2．
（2）二元一次方程组 1 1
2 2
y k x b
y k x b
无解 直线 y=k1x+b1∥直线 y=k2x+b2 k1=k2，
b1≠b2．
（3）二元一次方程组 1 1
2 2
y k x b
y k x b
有无数多个解 直线 y=k1x+b1 与 y=k2x+b2 重合
k1=k2，b1=b2．
◆例题解析
例 1 （2006，长河市）我市某乡 A，B 两村盛产柑橘，A村有柑橘 200t，B村有柑
橘 300t．现将这些柑橘运到 C，D 两个冷藏仓库，已知 C仓库可储存 240t，D仓库可储
存 260t；从 A 村运往 C，D 两处地费用分别为每吨 20 元和 25 元，从 B 村运往 C，D 两处地
费用分别为每吨 15 元和 18 元，设从 A 村运往 C 仓库地柑橘重量为 xt，A，B两村运往两仓
库地柑橘运输费用分别为 yA 元和 yB 元．RTCrpUDGiT
（1）请填写下表，并求出 yB，yA 与 x 之间地函数关系式；
C D 总计
A xt 200t
B 300t
总计 240t 260t 500t
（2）试讨论 A，B 两村中，哪个村地运费较少；
（3）考虑到 B 村地经济承受能力，B 村地柑橘运费不得超过 480 元．在这种情况下，
请问怎样调运，才能使两村运费之和最小？求出这个最小值．5PCzVD7HxA
【分析】（1）根据运输地吨数及运费单价可写出 y，y 与 x 之间地函数关系．
（2）欲比较 yA 与 yB 地大小，应先讨论 yA=yB 地大小，应先讨论 yA=yB 或 yA>yB 或 yA
yB 时，－5x+5000>3x+4680，x<40；
当 yA40．
∴当 x=40 时，yA=yB 即两村运费相等；当 0≤x<40 时，yA>yB 即 B 村运费较少；当 400）与双曲线 y= 4
x
交于 A（x1，y1），B（x2，y2）
两点，则 2x1y2－7x2y1 地值等于_______．y6v3ALoS89
3．如图 3 所示，L 甲，L 乙分别表示甲走路与乙骑自行车（在同一条路上）行走地路程 s 与时
间 t 地关系，观察图像并回答下列问题：M2ub6vSTnP
（1）乙出发时，与甲相距______km；
（2）走了一段路后，乙地自行车发生故障，停下来修理，修车为_____h；
（3）乙从出发起，经过_____h 与甲相遇；
（4）甲行走地路程 s 与时间 t 之间地函数关系式_______；
（5）如果乙自行车不出现故障，那么乙出发后经过______h 与甲相遇，相遇处离乙地
出发点____km．并在图中标出其相遇点．0YujCfmUCw
4．直线 y=－x+a 与直线 y=x+b 地交点坐标为（m，8），则 a+b=______．
5．已知一次函数 y=2x－a 与 y=3x－b 地图像相交于 x 轴原点外一点，则 a
a b =_____．
6．已知关于 x 地一次函数 y=mx+2m－7 在－1≤x≤5 上地函数值总是正数，则 m 地取值范围
是_______．eUts8ZQVRd
7．若 A（x1，y1），B（x2，y2）为一次函数 y=3x－1 图像上地两个不同地点，且 x1>x2，则 y1
与 y2 地大小关系是_______．sQsAEJkW5T
8．（2008，绍兴）如图 4 所示，已知函数 y=x+b 和 y=ax+3 地图像交点为 P，则不等式 x+b>ax+3
地解集为________．GMsIasNXkA
图 4 图 5 图 6
二、选择题
9．函数 y1=x+1 与 y2=ax+b（a≠0）地图像如图 5 所示，这两个函数图像地交点在 y 轴上，
那么使 y1，y2 地值都大于零地 x 地取值范围是（ ）TIrRGchYzg
A．x>－1 B．x<2 C．10地解集是（ ）
7EqZcWLZNX
A．x>0 B．x>2 C．x>－3 D．－30，则 a
地值等于（ ）NrpoJac3v1
A． 1 5
2
B．－1 C． 1 5
2
D．1
14．如图，一次函数 y=kx+6 地图像经过 A，B 两点，则 kx+b>0 地解集是（ ）
A．x>0 B．x<2
C．x>－3 D．－340），在新地销售方法和原来地销售方法中，应选哪种方
法购买花钱较少？并说说理由．IAg9qLsgBX
21．（2004，河北省）光华农机租赁公司共有 50 台联合收割机，其中甲型 20 台，乙型 30
台．现将这 50 台联合收割机派往 A，B 两地区收割小麦，其中 30 台派往 A 地区，20台派
往 B 地区．WwghWvVhPE
两地区与该农村租赁公司商定地每天地租赁价格见下表：
每台甲型收割机地租金 每台乙型收割机地租金
A 地区 1800 元 1600 元
B 地区 1600 元 1200 元
（1）设派往 A 地区 x 台乙型联合收割机，租赁公司这 50 台联合收割机一天获得地租金
为 y（元），求 y 与 x 之间地函数关系式，并写出 x 地取值范围；asfpsfpi4k
（2）若使农机租赁公司这 50 台联合收割机一天获得地租金总额不低于 79600 元，说
明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来；ooeyYZTjj1
（3）如果要使这 50 台联合收割机每天获得地租金最高，请你为光华租赁公司提出一条
合理建议．
答案:
1．－37 7．y1>y2 8．x>1
9．D 10．C 11．D 12．C 13．D 14．C 15．D
16．（1）p=300× 4.6
12
t ，即 p=115t．
（2）300× 4.95
16
t ≤w≤300× 4.95
15
t
即1485
16
t ≤w≤99t．
（3）115t－99t≤8000，t≤500．
即最多 500 元能收回改装设备地成本．
液化气燃料地出租车对城市健康发展更有益（感想略）．
17．（1）设安排生产 A 种产品 x 件，则生产 B 种产品（80－x）件，依题意得
5 2.5(80 ) 290,
1.5 3.5(80 ) 212,
x x
x x
解得 34≤x≤36．
因为 x 为整数，所以 x 只能取 34 或 35 或 36．
该工厂现有地原料能保证生产，有三种生产方案：
方案一：生产 A 种产品 34 件，B 种产品 46 件；
方案二：生产 A 种产品 35 件，B 种产品 45 件；
方案三：生产 A 种产品 36 件，B 种产品 44 件．
（2）设生产 A 种产品 x 件，则生产 B 种产品（80－x）件，y 与 x 地关系为：y=120x+200
（80－x），即 y=－80x+16000（x=34，35，36）．PgdO0sRlMo
因为 y 随 x 地增大而减小，所以 x 取最大值时，y 有最小值．
当 x=36 时，y 地最小值是
y=－80×36+16000=13120．
即第三种方案总成本最低，最低生产成本是 13120 元．
18．（1）对于二次函数 y=x2－mx+
2 1
2
m
∵△=（－m）2－4×1×
2 1
2
m =－m2－2<0
∴此函数图像与 x 轴没有交点．
对于二次函数 y=x2－mx－
2 2
2
m
∵△=（－m）2+4×1×
2 1
2
m =3m2+4>0
∴此函数图像与 x 轴有两个不同地交点
故图像经过 A，B 两点地二次函数为
y=x2－mx－
2 2
2
m ．
（2）B（3，0）
（3）将 A（－1，0）代入 y=x2－mx－
2 2
2
m 得 m2－2m=0，m=0 或 m=2
若 m=0，则当 x<0 时，y 随 x 增大而减小；
若 m=2，则当 x<1 时，y 随 x 增大而减小．
19．（1）设函数关系式为 y=kx+b，由题意得，
33 295,
48 985.
k b
k b
解得 k=46，b=－1223，
∴该函数关系式为 y=46x－1223．
（2）由（1）知 2005 年地年 GDP 为 46×（48+4）－1223=1169（亿元）
∵1169－985=184（亿元）
∴2005 年市区相应可以新增加 GDP184 亿元．
（3）设连续两年建设用地总量分别为 x1 万亩和 x2 万亩，相应年 GDP 分别为 y1 亿元和
y2 亿元，满足 y2－y1=1．3cdXwckm15
则 y1=46x1－1223 ③
y2=46x2－1223 ④
④－③得 y2－y1=46（x2－x1）
即 46（x2－x1）=1，
∴x2－x1= 1
46 ≈0.022（万亩）．
即年 GDP 每增加 1 亿元，需增加建设用地约 0．022 万亩．
20．（1）设这家文具店 A 型毛笔地零售价为每支 x 元，B 型毛笔地零售价为每支 y 元，则根
据题意得：
20 15 25( 0.6) 145
20 20( 0.4) 15 5( 0.6) 129
x y y
x x y y
解之得： 2
3
x
y
答：这家文具 A 型毛笔地零售价为每支 2 元，B 型毛笔地零售价为每支 3 元．
（2）如果按原来地销售方法购买 a 支 A 型毛笔共需 m 元，则 m=20×2+（a－20）×（2
－0.4）=1.6a+8；如果按新地销售方法购买 a 支 A 型毛笔共需 n 元，则 n=a×2×90%=1.8a，于
是 n－m=1.8a－（1.6a+8）=0.2a－8；h8c52WOngM
∵a>40，∴0.2a>8，∴n－m>0．可见，当 a>40 时，用新地方法购买地 A 型毛笔花钱多．
答：用原来地方法购买花钱较少．
21．（1）若派往 A 地区地乙型收割机为 x 台，则派往 A 地区地甲型收割机为（30－x）；派
往 B 地区地乙型收割机为（30－x）台，派往 B 地区地甲型收割机为（x－10）台，v4bdyGious
∴y=1600x+1800（30－x）+1200（30－x）+1600（x－10）=200x+74000．（10≤x≤30，x
为正整数）J0bm4qMpJ9
（2）由题意得 200x+74000≥79600
解得 x≥28 由于 10≤x≤30
∴x 取 28，29，30
∴有 3 种不同分配方案（略）．
（3）由于一次函数 y=200x+7400 地值 y 是随 x 地增大而增大，所以，当 x=30 时，y 取最
大值，如果要使农机租赁公司这 50 台联合收割机每天获得租金最高，只需 x=30 时，
y=6000+74000=80000．建议：农机租赁公司将 30 台乙型收割机全部派往 A 地区；20台甲
型收割机全部派往 B 地区，可使公司获得地租金最高．XV
中考数学基础题 1
一、选择题:下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的。每小题 3 分，
共 30 分.）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1.四个数-3.14，0，1，2 中为负数的是（ ）
（A）-3.14 （B）0 （C）1 （D）2
2.在下列四个图案中，不是．．中心对称图形的是（ ）
3.2015 年初，一列 CRH5 型高速车组进行了“300 000 公里正线运营考核”.标志
着中国高铁车从“中 国制造”到“中国创新”的飞跃.将数 300 000 用科学记数
法表示为( ).
A.3×106 B. 3×105 C.0.3×106 D. 30×104
4.左下图所示的几何体是由若干个大小相同的小立方块搭成， 则这个几何体的
左视图．．．是（ ）
5.如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为 E，∠1=50°，则∠2 的度数是（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
6.两名同学进行了 10 次三级蛙跳测试，经计算，他们的平均成绩相同，若要比
较这两名同学的成绩哪一位更稳定，通常还需要比较他们的成绩的（ ）
（A）众数 （B）中位数 （C）方差 （D）以上都不对
7. 已知⊙O 的半径是 5，直线l 是⊙O 的切线，在点 O 到直线l 的距离是（ ）
（A）2.5 （B）3 （C）5 （D）10
8. 不等式组
xx
x
12
31
的解集是（ ）
A. 1x B. 2x C. 21 x D. 21 x
9.已知 2 是关于 x 的方程 2 2 3 0x mx m 的一个根，并且这个方程的两个根恰
好是等腰三角形 ABC 的两条边长，则三角形 ABC 的周长为（ ）
（A）10 （B）14 （C）10或 14 （D）8 或 10
10.如图，Rt△AOB 中，AB⊥OB，且 AB=OB=3，设直线 x=t 截此三角形所得阴影部
分的面积为 S，则 S 与 t 之间的函数关系的图象为下列选项中的（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分.）
11.一个角的度数是 20°，则它的补角的度数为 .
12.分解因式： 2 6mx my = .
13. 已知一元二次方程 x²+4x+a=0 有两个实数根,则 a 的取值范围
是 .
14.内角和与外角和相等的多边形的边数为 ．
15. 如图，在一张正方形纸片上剪下一个半径为 r 的圆形和一个半径为R 的扇形，
使之恰好围成图中所示的圆锥，则 R 与 r 之间的关系是 ．
16. 王宇用火柴棒摆成如图所示的三个“中”字形图案，依次规律，第 n 个
“中”字形图案
需要 根火柴棒．
第 16 题
2018 年中考数学基础题 2
班级： 姓名： 座号： 评分：
一、选择题:下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的。每小题 3 分，
共 30 分.）
1．4 的平方根是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．16
2．2015 年广东省人口数超过 105 000 000，将 105 000 000 这个数用科学记数
法表示为（ ）A．0.105×109 B．1.05×109 C．1.05×108
D．105×106
3．化简 ÷ 的结果是（ ）
A．m B．
m
1 C．m﹣1 D．
4．下列图形中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知点 P（﹣1，4）在反比例函数 的图象上，则 k 的值是（ ）
A． B． C．4 D．﹣4
6．如图所示的几何体是由七个相同的小正方体组合而成的，它的俯视图是
（ ）
A． B． C．
D．
7．如图，在菱形 ABCD 中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线 AC 等于（ ）
A．20 B．15 C．10 D．5
8．小红上学要经过两个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红
希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，△ABC 为⊙O 的内接三角形，∠BOC=80°，则∠A 等于（ ）
A．80° B．60° C．50° D．40°
10．如图，在平行四边形 ABCD 中，AD=8，点 E，F 分别是 BD，CD 的中点，则 EF
等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）
11．把多项式 2x2﹣8 分解因式得：2x2﹣8= ．
12．在函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是 ．
13．某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由 1000 元降到了
810 元．则平均每月降价的百分率为 .
14．如果关于 x 的方程 x2﹣2x+k=0（k 为常数）有两个不相等的实数根，那么 k
的取值范围是 ．
15. 不等式组 的解集是 ．
16．矩形纸片 ABCD 中，AB=3cm，BC=4cm，现将纸片折叠压平，
使 A 与 C 重合，设折痕为 EF，则重叠部分△AEF 的面积等于 ．
第 9 题
第 7 题
三、解答题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分）
17．计算：（﹣ ）-1﹣| ﹣1|+2sin60°+（π﹣4）0．
18．先化简，再求代数式 的值，其中 a = 33 ．
19. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐
标分别为 A(1，4)，B(4，2)，C(3，5)（每个方
格的边长均为 1 个单位长度）.
（1）请画出△A1B1C1，使△A1B1C1 与△ABC 关于 x
轴对称；
（2）将△ABC 绕点 O 逆时针旋转 90°，画出旋转后
得到的△A2B2C2，并直接写出点 B 旋转到点 B2
所经过的路径长.
2018 年中考数学基础题 3
班级： 姓名： 座号： 评分：
一、选择题:（每小题 4 分，共 40 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．
是符合题意的
1．下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
第 19 题图
3
2
9
6
3
4
2 aaa
2．函数 y=﹣x2﹣4x﹣3 图象顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（2，1）
3. 二次函数 y=3x2-1 中一次项系数是 （ ）
A.3 B.1 C.-1 D.0
4. 下列方程，是一元二次方程的是( )
A．x2＋3x－1＝0 B．y2-5x＝1 C．2x＋1＝0 D．1
x
＋x2＝1
5. 将抛物线 y=3x2 平移而得到抛物线 y=3(x+2)2-3，正确的方法是（ ）
A.先向左平移 2 个单位再向上平移 3 个单位；
B.先向左平移 2 个单位再向下平移 3 个单位；
C.先向右平移 2 个单位再向上平移 3 个单位；
D.先向右平移 2 个单位再向下平移 3 个单位.
6. 将方程 x 2 - 4x- 1=0 的左边变成平方的形式是( )
A. (x- 2) 2 =1 B. (x- 4) 2 =1 C. (x- 2) 2 =5 D. (x- 1) 2 =4
7. 如图，AB 和 CD 都是⊙0 的直径，∠AOC=50°，则∠C 的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．50°
（第 7 题图） （第 8 题图）
8. 如图， AB 是 O⊙ 的弦，半径OC AB 于点 D，且 6cmAB ， 4cmOD .
则 DC 的长为（ ）
A.5 cm B. 3 cm C.2 cm D.1 cm
9. 若关于 x 的一元二次方程 2( 1) 2 2 0k x x 有两个不相等的实数根，
则 k 的取值范围是（ ）.
A. 1
2k B. 1
2k C. 1
2k 且 k ≠1 D. 1
2k 且 k ≠1
O
B
C
D
A
10. 直线 y=ax+b 与抛物线 y=ax2+bx-ab 在同一坐标系里的大致图象正确的是
（ ）
二、填空题(每小题 4 分，共 24 分)
11． 已知点 P1（a﹣1，1）和 P2（2，b﹣1）关于原点对称，则（a+b）2015 的值
为 ．
12. 关于 x 的方程(m－3)x
2 7m - －x=5 是一元二次方程，则 m=_________.
13. 方程（x﹣1）（x + 2）=0 的根是 ．
14. 一 元 二 次 方 程 032 mxx 有 两 个 相 等 的 实 数 根 ， 则 m 的 值
是 .
15. 如图，将 Rt △ ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转 90°， 得到△ A B C ，
若 60B ，则∠1 的度数是 。
16.某小区 2013 年屋顶绿化面积为 2250 平方米，计划 2015 年屋顶绿化面积要达
到 3560 平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同设为 x ，那么所列的方程
是_____ ．
三、简答题(每小题 6 分，共 36 分)
17.解方程： x﹣2=x（x﹣2） 18 化简：
4x
2
4x
2
16x
4
2
．
19 因式分解（1）（x﹣1）（x﹣3）+1． (2)（x2+4）2﹣16x2．
（20）.解方程组： 21．计算： ．
2018 年中考数学基础题 4
班级： 姓名： 评分：
一、选择题:下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的。每小题 3 分，
共 30 分.）
1．有理数
5
1 的绝对值为（ ）
A．
5
1 B． 5 C．
5
1 D．5
2．我们虽然把地球称为“水球”，但可利用淡水资源匮乏．我国淡水总量仅约
为 899000 亿米 3，用科学记数法表示这个数为（ ）
A．0.899×104 亿米 3 B．8.99×105 亿米 3C．8.99×104 亿米 3 D．89.9×104
亿米 3
3．下列物体中，俯视图为矩形的是（ ）．
4．计算：3 2 2 =（ ）
A．3 B． 22 C． 2 D．4 2
5．已知等腰三角形的一个底角等于 30°，则这个等腰三角形的顶角等于（ ）
A、150° B、120° C、75° D、30°
6．如图，在菱形 ABCD 中，AB=3，∠ABC=60°，则对角线 AC=（ ）．
A．12 B． 9 C． 6 D． 3
7．如图，直线 AB∥CD，∠A＝70，∠C＝40，则∠E 等于（ ）
A．30° Ｂ．40° C．60° Ｄ．70°
8．袋子内有 3 个红球和 2 个蓝球，它们只有颜色上的区别，从袋子中随机地取
A
C
B
D
E
第 7 题
第 6 题
出一个球，取出红球的概率是（ ）
A．
5
2 B．
3
2 C．
5
3 D．
2
3
9．点 P（﹣2，1）关于 x 轴对称的点的坐标是（ ）
A（﹣2，﹣1） B．（2，﹣1） C．（2，1） D．（1，﹣2）
10．二次函数 cbxaxy 2 的图象如图所示，则一次函数 baxy 与反比例
函数
xy c 在同一平面直角坐标系中的大致图象为（ ）
A B C
D
二、填空题（本大题 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）请将下列各题的正确答案
填写在答题卡相应的位置上．
11．分解因式： mm 42 2 ＝___ ___．
12．已知正比例函数 )0( kkxy ，点（2，﹣3）在函数
上，则 k ．
13．如图，AB 为⊙O 的直径，CD 为⊙O 的一条弦，
CD⊥AB，垂足为 E，已知 CD=6，AE=1，
则⊙O 的半径为 ．
14．在学校艺术节文艺汇演中，甲、乙两个舞蹈队队员的身高的方差分别是 S 甲
2=1.5，S 乙
2=2.5，那么身高更整齐的是 队（填“甲”或“乙”）．
15．不等式组
123
01
x
x 的解集是 ．
16．如图，三个小正方形的边长都为 1，则图中阴影部分面积的和是 _______
（结果保留π）．
三、解答题（一）（本大题 3 小题，每小题 6 分，共 18 分）
第 13 题图
17．计算： 60sin6272)12( 10
2018 年中考数学基础题 5
班级： 姓名： 座号： 评分：
一、选择题:下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的。每小题 2 分，
共 40 分.）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1．﹣3 的相反数是（ ）
A． B． C．3 D．﹣3
2．（3 分）在下列运算中，计算正确的是（ ）
A．a3•a2=a6 B．a8÷a2=a4 C．（a2）3=a6 D．a2+a2=a4
3．在以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称图形是
（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示几何体的正视图是（ ）
A． B． C． D．
5．两个相似三角形的相似比是 1：2，其中较小三角形的周长为 6cm，则较大的
三角形的周长为（ ）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
6．数据 5，7，5，8，6，13，5 的中位数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．5 的相反数是 （ ）
A ． 5 B ． 1
5
C ． 5
D． 1
5
8．下列 x 的值中能使式子 6x 有意义的是（ ）
A． 1x B． 3x C． 5x
D． 7x
9．吸烟有害健康．据中央电视台 2012 年 5 月 30 日报道，全世界每年因吸烟引
起的疾病致死的人数大约为 600 万，数据600 万用科学记数法表示为（ ）
A ． 66 10 B ． 560 10 C ． 56 10
D． 70.6 10
10．下列运算正确的是（ ）
A． 532 aaa B． 832 )( aa C． aaa 23 D． 222 baba
11．不等式 063 x 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
12．如图 1 的几何体的主视图是（ ）
13．下列说法不正确的是（ ）
A．选举中，人们通常最关心的数据是众数．
B．从 1、2、3、4、5 中随机取一个数，取得奇数的可能性比较大．
C．某游艺活动的中奖率是 60%，说明参加该活动 10 次就有 6 次会获奖．
D．数据 3、5、4、1、 2 的中位数是 3．
14．如图，△ABC 内接于⊙O，AD 是⊙O 的直径，∠ABC＝25°，则∠CAD 的度数
是（ ）
A．25° B． 60° C．65° D．75°
0 1 212
A．
1 1 22 0
B．
0 1 212
C．
1 1 22 0
D．
图 1A. B. C. D.
A
D
B
O C
15．若菱形两条对角线的长分别为 6 和 8，则这个菱形的周长为（ ）
A．20 B．16 C．12 D． 10
16．如图，在△ABC 中，DE∥BC，若 1
3
AD
AB
，则 的值为（ ）
A．1：9 B．1：8 C． 1：4 D．1：2
17．如图，已知∠ABC=90°，AB=πr，AB=2BC，半径为 r 的⊙O 从点 A 出发，沿
A→B→C 方向滚动到点 C 时停止．则在此运动过程中，圆心 O 运动的总路程为
（ ）
A．2πr B．3πr C． D．
18．一个圆锥的侧面积是底面积的 3 倍，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角为
（ ）
A．60° B．90° C．120° D．180°
19．若实数 a、b、c 满足 a+b+c=0，且 a＜b＜c，则函数 y=ax+c 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
20．如图，在△ABC 中，AB=AC=5，CB=8，分别以 AB、AC 为直径作半圆，则图中
阴影部分面积是（ ）
A
． B．
25π﹣24 C．25π﹣12 D．
二、填空题（本题共 10 题，每小题 3 分，共 30 分）
1．据中新社报道：2012 年我国粮食产量将达到 570000000000 千克，用科学记
数法表示这个粮食产量为 _________ 千克．
2．若二次根式 有意义，则 x 的取值范围是 ．
3．分解因式：2x2﹣4xy+2y2= _________ ．
4．如图，边长为 1 的正方形网格中，点 A、B、C 在格点上，则 sin∠CAB= ．
5．已知圆锥的底面直径和母线长都是 10cm，则圆锥的侧面积为 ．
6．因式分解 x3_ x9 =_ ．
7．如图所示，直线 a∥b，直线 c 与直线 a，b 分别相交于点 A、点 B，AM⊥b，
垂足为点 M，若∠l=58°，则∠2= ___________ ．
8．如图 4，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 E，如果 AB=26，CD=24，那么
sin∠OCE=_ ．
9. 已知关于 x 的一元二次方程 01321 2 xxk 有两个不相等的实数根，
则 k 的取值范围为 ．
10．已知一次函数 y＝kx+b,当 0≤x≤2 时,对应的函数值 y 的取值范围是-4≤y
≤8,则 kb 的值为
三、解答题（本题共 5 题，每小题 6 分，共 30 分）
1．（6 分）计算： ．
第 7 题图
第 8 题
2．解不等式组： 并把解集在数轴上表示出来．
3．先化简，再求值：（1﹣ ）• ，其中 a= ﹣1．
4 如图，点 B、E、C、F 在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证：∠A=∠D．
5 如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为 D．求作∠ABC 的平分线，分别
交 AD，AC 于 P，Q 两点；并证明 AP=AQ．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不
写作法）
中考数学----类比探究题练习（1）
1. 如图 1，在四边形 ABCD 中，AB=CD，E，F 分别是 BC，AD 的中点，连接 EF 并
延长，与 BA，
CD 的延长线分别交于点 M，N，则∠BME=∠CNE（简要证明）．
（1）如图 2，在四边形 ADBC 中，AB 与 CD 相交于点 O，AB=CD，E，F 分别是 BC，
AD 的中点，连接 EF，分别交 CD，AB 于点 M，N，判断△OMN 的形状，并说明理由．
（2）如图 3，在△ABC 中， ，点 D 在 AC 边上，且 AB=CD．E，F 分别是
BC，AD 的中点，连接 EF 并延长，与 BA 的延长线交于点 G，连接 DG，若∠EFC=60°，
判断△AGD 形状，并说明理由
2、小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题作如下探究：
（1）问题情境：如图 1，四边形 ABCD 中，AD∥BC，E 为 CD 边的中点，连接 AE
并延长，交 BC 的延长线于点 F，求证： （S 表示面积）．
（2）问题迁移：如图 2，在已知锐角∠AOB 内有一个定点 P，过点 P 任意作一条
直线，分别交射线 OA，OB 于点 M，N．小明在直线 MN 绕着点 P 旋转的过程中发
现，△MON 的面积存在最小值，请问当直线 MN 在什么位置时，△MON 的面积最小？
并说明理由．
（3）实际应用：如图 3，若在道路 OA，OB 之间有一村庄 Q 发生疫情，防疫部门
计划以公路 OA，OB 和经过防疫站 P 的一条直线 MN 为隔离线，建立一个面积最小
的三角形隔离区△MON．若测得
∠AOB=66°，∠POB=30°，OP=4km，试求△MON 的面积．
（参考数据：sin66°≈0.91，tan66°≈2.25， ）
3、问题发现：如图 1，在 Rt△ABC 中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，点 D 为 BC 的
中点，以 CD 为一边作正方形 CDEF，点 E 恰好与点 A 重合，则线段 BE 与 AF 的数
量关系为 ；
(2)拓展探究：在(1)的条件下，如果正方形 CDEF 绕点 C 旋转，连接 BE，CE，AF，
线段 BE 与 AF 的数量关系有无变化？请仅就图 2 的情形给出证明；
(3)问题解决：当正方形 CDEF 旋转到 B，E，F 三点共线时，直接写出线段 AF 的
长．
4、(1)问题发现：如图 1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点 A，D，E 在同一
直线上，连接 BE.
填 空 ： ① ∠ AEB 的 度 数 为 ； ② 线 段 AD ， BE 之 间 的 数 量 关 系
为 ；
(2)拓展探究：如图 2，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，
点 A，D，E 在同一直线上，CM 为△DCE 中 DE 边上的高，连接 BE，请判断∠AEB
的度数及线段 CM，AE，BE 之间的数量关系，并说明理由；
(3)解决问题：如图 3，在正方形 ABCD 中，CD＝ 2，若点 P 满足 PD＝1，且∠BPD
＝90°，请直接写出点 A 到 BP 的距离．
5、我们定义：如图 1，在△ABC 中，把 AB 绕点 A 顺时针旋转α(0°<α<180°)
得到 AB′，把 AC 绕点 A 逆时针旋转β得到 AC′，连接 B′C′.当α＋β＝180°
时，我们称△AB′C′是△ABC 的“旋补三角形”，△AB′C′边 B′C′上的中线
AD 叫做△ABC 的“旋补中线”，点 A 叫做“旋补中心”．
特例感知：(1)在图 2，图 3 中，△AB′C′是△ABC 的“旋补三角形”，AD 是△
ABC 的“旋补中线”．
①如图 2，当△ABC 为等边三角形时，AD 与 BC 的数量关系为 AD＝ BC；
②如图 3，当∠BAC＝90°，BC＝8 时，则 AD 长为 ；
猜想论证：(2)在图 1 中，当△ABC 为任意三角形时，猜想 AD 与 BC 的数量关系，
并给予证明；
拓展应用：(3)如图 4，在四边形 ABCD 中，∠C＝90°，∠D＝150°，BC＝12，
CD＝2 3，DA＝6.在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？
若存在，给予证明，并求△PAB 的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．
图 4
中考数学----类比探究题练习（1）答案 1、解题思路
2、解题思路
3、解：（1）BE＝ 2AF；(2)无变化．理由如下：在 Rt△ABC 中，AB＝AC＝2，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴sin∠ABC＝AC
BC＝ 2
2 . 在正方形 CDEF 中，∠FEC＝1
2∠
FED＝45°，
在 Rt△CEF 中，sin∠FEC＝CF
CE＝ 2
2 ，∴CF
CE＝AC
BC. ∵∠FCE＝∠ACB＝45°，
∴∠FCE－∠ACE＝∠ACB－∠ACE. ∴∠FCA＝∠ECB.∴△ACF∽△BCE.
∴BE
AF
＝BC
AC
＝ 2.∴BE＝ 2AF. ∴线段 BE 与 AF 的数量关系无变化．
(3) 3－1 或 3＋1. 提示：分两种情况讨论：①当点 E 在线段 BF 上时，如图 2
由(1)知，CF＝EF＝CD＝ 2.在 Rt△BCF 中，CF＝ 2，BC＝2 2，根据勾股定理
得 BF＝ 6，
∴BE＝BF－EF＝ 6－ 2. 由(2)知，BE＝ 2AF，∴AF＝ 3－1.
②当点 E 在线段 BF 的延长线上时，如图 3，∵△ABC，△CFE 为等腰直角三角形．
易证：△ACF∽△BCE.∴BE
AF
＝BC
AC
＝ 2.∴BE＝ 2AF.由(1)知，CF＝EF＝CD＝ 2.
在 Rt△BCF 中，CF＝ 2，BC＝2 2，根据勾股定理得，BF＝ 6，
∴BE＝BF＋EF＝ 6＋ 2.由(2)知，BE＝ 2AF，∴AF＝ 3＋1.
即当正方形 CDEF 旋转到 B，E，F 三点共线时候，线段 AF 的长为 3－1 或 3＋
1.
4、解：（1） 60°；AD＝BE； (2)∠AEB＝90°，AE＝2CM＋BE.理由：
∵△ACB 和△CDE 均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，CD＝
CE，
∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，即∠ACD＝∠BCE.∴△ACD≌△BCE(SAS)．∴AD
＝BE，
∠BEC＝∠ADC＝135°.∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝135°－45°＝90°.
在等腰直角三形 DCE 中，CM 为斜边 DE 上的高，∴CM＝DM＝ME，∴DE＝2CM.
∴AE＝DE＋AD＝2CM＋BE； （3） 3－1
2 或 3＋1
2 .
提示：∵PD＝1，∠BPD＝90°.∴BP 是以点 D 为圆心，以 1 为半径的⊙D 的切线，
点 P 为切点．
第一种情况：如图 4，过点 A 作 AP 的垂线，交 BP 于点 P′，可证△APD≌△AP′
B，PD＝P′B＝1.∵CD＝ 2，∴BD＝2，BP＝ 3，∴AM＝1
2
PP′＝1
2
(PB－BP′)＝ 3－1
2
.
第二种情况，如图 5，可得 AM＝1
2
PP′＝1
2
(PB＋BP′)＝ 3＋1
2
.
5、解：（1）1
2
；4； (2)①猜想：AD＝1
2
BC.证明：如上图 3，延长 AD 至点 E，使
DE＝AD.
∵AD 是△ABC 的“旋补中线”，∴B′D＝C′D.∴四边形 AB′EC′是平行四边形．
∴EC′∥B′A，EC′＝B′A.∴∠AC′E＋∠B′AC′＝180°.
由定义可知∠B′AC′＋∠BAC＝180°，B′A＝BA，AC＝AC′，
∴∠AC′E＝∠BAC，EC′＝BA.∴△AC′E≌△CAB(SAS)．∴AE＝BC.∵AD＝1
2
AE，
∴AD＝1
2
BC.
(3)存在．以 AD 为边向四边形 ABCD 的内部作等边△PAD，连接 PB，PC，延长 BP
交 AD 于点 F，
则有∠ADP＝∠APD＝60°，PA＝PD＝AD＝6.∵∠CDA＝150°，∴∠CDP＝90°.
过点 P 作 PE⊥BC 于点 E，易知四边形 PDCE 为矩形．∴CE＝PD＝6.
∴tan∠DPC＝CD
PD＝2 3
6 ＝ 3
3 .∴∠DPC＝30°，∠EPC＝60°.∴BE＝12－6＝6＝
CE.
又 PE⊥BC，∴PC＝PB，∠BPE＝∠CPE＝60°.∴∠APD＋∠BPC＝60°＋120°＝
180°.
又 PA＝PD，PB＝PC，∴△PDC 是△PAB 的“旋补三角形”．∵∠BPE＝60°，∠DPE
＝90°，
∴∠DPF＝30°.∴BF⊥AD，AF＝1
2
AD＝3，PF＝3 3.
在 Rt△PBE 中，PB＝ PE2＋BE2＝ CD2＋BE2＝ （2 3）2＋62＝4 3，
∴BF＝PB＋PF＝7 3.在 Rt△ABF 中，AB＝ （7 3）2＋32＝2 39.
∵△PDC 是△PAB 的“旋补三角形”，∴△PAB 的“旋补中线”长为 1
2
AB＝ 39.
中考数学模拟试卷（6）
一、选择题（每题 3 分，共 30 分）
1．下列运算正确的是（ ）
A．x2+x3=x5 B．（x2）3=x6 C．（x﹣2）2=x2﹣4 D．x•x﹣1=0
2．下列美丽的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
3．如图，直角边长为 2 的等腰直角三角形与边长为 3 的等边三角形在同一水平线上，等
腰直角三角形沿水平线从左向右匀速穿过等边三角形时，设穿过时间为 t，两图形重合部分
的面积为 S，则 S 关于 t 的图象大致为（ ）
A． B ．
C． D．
4．如图，甲、乙、丙三个图形都是由大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方
形中的数字表示该位置小正方体的个数．其中主视图相同的是（ ）
A．仅有甲和乙相同 B．仅有甲和丙相同 C．仅有乙和丙相同 D．甲、乙、丙都相同
5．某校男子篮球队的年龄分布如图所示，则根据图中信息可知这些队员年龄的众数、中位
数分别是（ ）
第 5 题 第 6 题
A．15，14.5 B．14，15 C．15，15.5 D．15，15
6．如图，在⊙O 中，圆心 O 到弦 AB 的距离 OD= 3
6
AB，则弦 AB 所对圆心角的度数为（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
7．若关于 x 的分式方程 4 12 2
ax
x x
有解，则 a 的值为（ ）
A．a≠1 B．a≠2 C．a≠﹣1 且 a≠﹣2 D．a≠1 且 a≠2
8.如图，直线 y=﹣x+5 与双曲线 ky x
（x＞0）相交于 A，B 两点，与 x 轴交于点 C，过点
B 作 BD⊥x 轴于点 D，△BDC 的面积是 1
2
，则 k 的值为（ ） A．3.5 B．4
C．5 D．6
第 8 题 第 10 题
9．足球比赛规定：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分，中超联赛某足球队已经
进行了 7 场比赛，得了 13 分，该队获胜的场数可能是（ ）
A．2 场或 3 场 B．2 场或 3 场或 4 场 C．3 场或 4 场 D．3 场或 4 场或 5 场
10．如图，Rt△ACB 中，∠ACB=90°，∠ABC 的平分线 BE 和∠BAC 的外角平分线 AD 相交于
点 P，分别交 AC 和 BC 的延长线于 E，D．过 P 作 PF⊥AD 交 AC 的延长线于点 H，交 BC 的延
长线于点 F，连接 AF 交 DH 于点 G．则下列结论：①∠APB=45°；②PF=PA；③BD﹣AH=AB；
④DG=AP+GH．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题（每题 3 分，共 30 分）
11．我国 2018 年出境旅游超过 1.2 亿人次，城乡居民生活水平有新的提高，数据 1.2 亿人
次用科学记数法表示
为 人次．
12．函数 y= 1
2 1x
自变量 x 的取值范围为 ．
13．如图，OP 为∠AOB 内的一条射线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是 C，D，请添加一个条
件 ，
△COP≌△DOP（填一个即可）．
14．元旦晚会上，九年级（1）班 43 名同学和 7 名老师每人写了一张同种型号的新年贺卡，
放进一个纸箱里充分摇匀后，小红从纸箱里任意摸出一张贺卡，恰好是老师写的贺卡的概率
是 ．
15．关于 x 的两个不等式 3
2
x a ＜1 与 1﹣3x＞0 的解集相同，则 a= ．
16．某超市“端午节”对顾客实行优惠，规定：一次性购物满 50 元，全部货款打九折；超
过 200 元，超过部分打八折．李叔叔两次购物，第一次付款 40 元，第二次付款 162 元，若
这两次购物合并成一次性付款可节省 元．
17．如图，已知一块圆心角为 270°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不
计），圆锥底 面圆的直径是 60cm，则这块扇形铁皮的半径是 cm．
第 13 题 第 17 题 第 19
题
18．正方形 ABCD 的面积为 18，△ABE 是等边三角形，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD+PE 的
和最小，则这个最小值为 ．
19．如图，P 为正方形 ABCD 的边 BC 上一点，连接 AP，过点 B 作 BQ⊥AP，交 CD 于点 Q，将
△BQC 沿 BQ 所在的直线对折得到△BQC′，延长 QC′，交 BA 的延长线于点 M，当 AB=3，BP=2PC
时，QM= ．
20．如图，动点 M 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第 1 次从原点运动到点（2，
1），第 2 次运动到点（3，0），第 3 次运动到点（4，2），…，按这样的运动规律，经过第
2017 次运动后，动点 M 的坐标是 ．
三、解答题（满分 60 分）
21．（5 分）先化简，再求值： 5 32 2 2 4
xx x x
，然后从﹣2，2，3 中选取一个你认
为合适的数作为 x 的值代入求值．
22．（6 分）如图，在方格纸中，每个小正方形的边长都为 1 个单位长度，△ABC 与△A1B1C1
呈中心对称．
（1）若将△ABC 绕某一点 O 旋转 180°可得到△A1B1C1，请直接在图上标出此点 O；
（2）作出将△A1B1C1 沿直线 DE 方向向上平移 5 个单位长度得到的△A2B2C2；
（3）要使△A2B2C2 与△CC1C2 重合，则△A2B2C2 绕点 C2 顺时针方向旋转 度，并计算出
△A2B2C2 扫过的面积．
23．（6 分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，
点 B 的坐标为（3，0），与 y 轴交于点 C（0，﹣3），P 是直线 BC 下方抛物线上的一个动点．
（1）求二次函数解析式；（2）当点 P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大？求出此
时点 P 的坐标．
24．（7 分）“六一”儿童节前夕，薪黄县教育局准备给留守儿童赠送一批学习用品，先对浠
泉镇浠泉小学的留守儿童人数进行抽样统计，发现各班留守儿童人数分别为 6 名，7 名，8
名，10 名，12 名这五种情形，并将统计结果绘制成了如图所示的两份不完整的统计图：
请根据上述统计图，解答下列问题：
（1）该校有多少个班级？并补充条形统计图；
（2）该校平均每班有多少名留守儿童？留守儿童人数的众数是多少？
（3）若该镇所有小学共有 60 个教学班，请根据样本数据，估计该镇小学生中，共有多少名
留守儿童．
25．（8 分）爸爸和小芳驾车去郊外登山，欣赏美丽的达子香（兴安杜鹃），到了山下，爸爸
让小芳先出发 6min，然后他再追赶，待爸爸出发 24min 时，妈妈来电话，有急事，要求立
即回去．于是爸爸和小芳马上按原路下山返回（中间接电话所用时间不计），二人返回山下
的时间相差 4min，假设小芳和爸爸各自上、下山的速度是均匀的，登山过程中小芳和爸爸
之间的距离 s（单位：m）关于小芳出发时间 t（单位：min）的函数图象如图，请结合图象
信息解答下列问题：
（1）小芳和爸爸上山时的速度各是多少？
（2）求出爸爸下山时 CD 段的函数解析式；
（3）因山势特点所致，二人相距超过 120m 就互相看不见，求二人互相看不见的时间有多少
分钟？
26．（8 分）如图，正方形 ABCD 和正方形 DEFG 有一共同顶点 D，将正方形 DEFG 绕点 D 旋转，
B，E，F 三点在一条直线上，AH⊥BE 于点 H，如图①，易证：BE﹣EF=2AH（不需证明）．
（1）继续旋转正方形 DEFG，其他条件不变，如图②，猜想线段 BE，EF，AH 之间有怎样的
数量关系？并给予证明；
（2）若将题中的条件改为 AD=2AB，DE=2EF，H 为 BF 中点，如图③，其他条件不变时，线段
BE，EF，AH 之间又有怎样的数量关系？猜想其结论，不需证明．
27．（10 分）“兴佳果业”采购苹果和芒果共 500 斤，苹果和芒果的进货价分别为 4 元/斤和
8 元/斤，进货所用资金不超过 3520 元，且购进芒果的重量不少于购进苹果重量的 3 倍，经
营者将所进水果加价 25%进行销售．
（1）求共有多少种进货方案（水果重量取整数）？
（2）获利最多的方案是哪种？最多获利多少元？
（3）由于保存不当，这两种水果共有 180 斤（苹果有 a 斤且为整数）受到影响，品质下降，
经营者为维护良好商誉，将这 180 斤水 果按进货价的五折销售，在（2）的条件下，请分析
这两种水果的总体盈亏情况．
28．（10 分）如图，矩形 AOBC 的两条边 OA，OB 的长是方程 x2﹣18x+80=0 的两根，其中 OA
＜OB，沿直线 AD 将矩形折叠，使点 C 与 y 轴上的点 E 重合．
（1）求 A，B 两点的坐标；
（2）求直线 AD 的解析式；
（3）若点 P 在 y 轴上，平面内是否存在点 Q，使以 A，D，P，Q 为顶点的四边形为矩形？若
存在，请直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
中考数学模拟试卷（6）参考答案与试题解析[来 XK]
一、选择题（每题 3 分，共 30 分）
1．下列运算正确的是（ ）
A．x2+x3=x5 B．（x2）3=x6 C．（x﹣2）2=x2﹣4 D．x•x﹣1=0
【解答】解：A、两项不是同类项，所以不能合并，故 A 错误，
C、根据完全平方公式的展开式，应该为三项，故 C 错误，
D、是同底数幂相乘，底数不变，指数相加，所以指数应该为 0 次，除了 0 以外，任何数的
0 次幂都为 1，故 D 错误；
B、考查幂的乘方运算，底数不变，指数相乘．故正确；故选 B．
2．下列美丽的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【解答】解：第一个图形是轴对称图形，是中心对称图形；第二个图形是轴对称图形，不是
中心对称图形；
第三个图形是轴对称图形，是中心对称图形；第四个图形是轴对称图形，是中心对称图形．
共有 3 个图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故选 C．
3．如图，直角边长为 的等腰直角三角形与边长为 3 的等边三角形在同一水平线上，等腰
直角三角形沿水平线从左向右匀速穿过等边三角形时，设穿过时间为 t，两图形重合部分的
面积为 S，则 S 关于 t 的图象大致为（ ）
A． B ．
C． D．
【解答】解：根据题意可得，等腰直角三角形斜边为 2，斜边上的高为 1，而等边三角形的
边长为 3，高为 3 3
2
，
故等腰直角三角形沿水平线从左向右匀速穿过等边三角形时，出现等腰直角三角形完全处于
等边三角形内部的情况，故两图形重合部分的面积先增大，然后不变，再减小，S 关于 t 的
图象的中间部分为水平的线段，故 A，D 选项错误；当 t=0 时，S=0，故 C 选项错误，B 选项
正确；故选：B．
4．如图，甲、乙、丙三个图形都是由大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方
形中的数字表示该位置小正方体的个数．其中主视图相同的是（ ）
A．仅有甲和乙相同 B．仅有甲和丙相同 C．仅有乙和丙相同 D．甲、乙、丙都相同
【解答】解：根据分析可知，甲的主视图有 2 列，每列小正方数形数目分别为 2，2；乙的
主视图有 2 列，每列小正方数形数目分别为 2，1；丙的主视图有 2 列，每列小正方数形数
目分别为 2，2；
则主视图相同的是甲和丙．故选：B．
5．某校男子篮球队的年龄分布如图所示，则根据图中信息可知这些队员年龄的众数、中位
数分别是（ ）
A．15，14.5 B．14，15 C．15，15.5 D．15，15
【解答】解：15 出现了 8 次，出现的次数最多，则众数是 15；
该足球队共有队员 2+6+8+3+2+1=22（人），
则第 11 名和第 12 名的平均年龄即为年龄的中位数，即中位数为 15 岁，故选 D．
6．若关于 x 的分式方程 = +1 有解，则 a 的值为（ ）
A．a≠1 B．a≠2 C．a≠﹣1 且 a≠﹣2 D．a≠1 且 a≠2
【解答】解：分式方程整理得： = ，
去分母得：ax=x+2，即（a﹣1）x=2，
当 a﹣1≠0，即 a≠1 时，解得：x= ，
由分式方程无解，得到 ≠2，即 a≠2，
则 a 的值为 a≠1 且 a≠2．
故选 D
7．如图，在⊙O 中，圆心 O 到弦 AB 的距离 OD= AB，则弦 AB 所对圆心角的度数为（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
【解答】解：连接 OA、OB．
∵OD⊥AB，∴AD=DB，
∵OD= AB，∴OD= AB，
∴tan∠OAB= ，∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴∠AOB=120°，故选 C．
8．如图，直线 y=﹣x+5 与双曲线 y= （x＞0）相交于 A，B 两点，与 x 轴交于点 C，过点 B
作 BD⊥x 轴于点 D，
△BDC 的面积是 ，则 k 的值为（ ）
A．3.5 B．4 C．5 D．6
【解答】解：令直线 y=﹣x+5 与 y 轴的交点为点 E，如图所示．
令直线 y=﹣x+5 中 y=0，则 0=﹣x+5，解得：x=5，令 x=0，则 y=5，即 OC=5，OE=5，
∴∠OCB=45°，
∵BD⊥x 轴于点 D，∴BD=CD，
∵△BDC 的面积是 ，
∴ DC•BD= ，解得：BD=1．
结合题意可知点 B 的纵坐标为 1，
当 y=1 时，有 1=﹣x+5，解得：x=4，
∴点 B 的坐标为（4，1），∴k=4×1=4．故选 B．
9．足球比赛规定：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分，中超联赛某足球队已经
进行了 7 场比赛，
得了 13 分，该队获胜的场数可能是（ ）
A．2 场或 3 场 B．2 场或 3 场或 4 场 C．3 场或 4 场 D．3 场或 4 场或 5 场
【解答】解：设该队胜 x 场、平 y 场，则负（7﹣x﹣y）场，
根据题意得：3x+y=13，∴y=13﹣3x．
当 x=0 时，y=13，此时 x+y=13＞7（舍去）．
当 x=1 时，y=10，此时 x+y=11＞7（舍去）；
当 x=2 时，y=7，此时 x+y=9＞7（舍去）；
当 x=3 时，y=4，此时 x+y=7 符合题意；
当 x=4 时，y=1，此时 x+y=5＜7 符合题意．[来]
综上所述：该队获胜的场数可能是 3 场或 4 场．故选 C．
10．如图，Rt△ACB 中，∠ACB=90°，∠ABC 的平分线 BE 和∠BAC 的外角平分线 AD 相交于
点 P，分别交 AC 和 BC 的延长线于 E，D．过 P 作 PF⊥AD 交 AC 的延长线于点 H，交 BC 的延
长线于点 F，连接 AF 交 DH 于点 G．则下列结论：①∠APB=45°；②PF=PA；③BD﹣AH=AB；
④DG=AP+GH．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【解答】解：①∵∠ABC 的角平分线 BE 和∠BAC 的外角平分线，∴∠ABP= ∠ABC，
∠CAP= （90°+∠ABC）=45°+ ∠ABC，
在△ABP 中，∠APB=180°﹣∠BAP﹣∠ABP，
=180°﹣（45°+ ∠ABC+90°﹣∠ABC）﹣ ∠ABC，
=180°﹣45°﹣ ∠ABC﹣90°+∠ABC﹣ ∠ABC，
=45°，故本小题正确；
②∵PF⊥AD，∠APB=45°（已证），
∴∠APB=∠FPB=45°，
∵∵PB 为∠ABC 的角平分线，
∴∠ABP=∠FBP，
在△ABP 和△FBP 中， ，
∴△ABP≌△FBP（ASA），∴AB=BF，AP=PF；故②正确；
③∵∠ACB=90°，PF⊥AD，
∴∠FDP+∠HAP=90°，∠AHP+∠HAP=90°，∴∠AHP=∠FDP，
∵PF⊥AD，∴∠APH=∠FPD=90°，
在△AHP 与△FDP 中，
，
∴△AHP≌△FDP（AAS），∴DF=AH，
∵BD=DF+BF，∴BD=AH+AB，
∴BD﹣AH=AB，故③小题正确；
④∵PF⊥AD，∠ACB=90°，∴AG⊥DH，
∵AP=PF，PF⊥AD，∴∠PAF=45°，∴∠ADG=∠DAG=45°，∴DG=AG，
∵∠PAF=45°，AG⊥DH，
∴△ADG 与△FGH 都是等腰直角三角形，∴DG=AG，GH=GF，[]∴DG=GH+AF，
∵AF＞AP，∴DG=AP+GH 不成立，故本小题错误，
综上所述①②③正确．
故选 A．
二、填空题（每题 3 分，共 30 分）
11．我国 2016 年出境旅游超过 1.2 亿人次，城乡居民生活水平有新的提高，数据 1.2 亿人
次用科学记数法表示为 1.2×108 人次．
【解答】解：将 1.2 亿用科学记数法表示为 1.2×108．故答案为：1.2×108．
12．函数 y= 自变量 x 的取值范围为 x＞ ．
【解答】解：根据题意得：2x﹣1≥0 且 2x﹣1≠0，即 2x﹣1＞0，解得：x＞ ．故答案为 x
＞ ．
13.如图，OP 为∠AOB 内的一条射线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是 C，D，请添加一个条件
OC=OD ，
使△COP≌△DOP（填一个即可）．
【解答】解：∵PC⊥OA，PD⊥OB，∴∠OCP=∠ODP=90°，
∵OP=OP，∴当 OC=OD 时，根据 HL 可得△COP≌△DOP，故答案为：OC=OD．
14．元旦晚会上，九年级（1）班 43 名同学和 7 名老师每人写了一张同种型号的新年贺卡，
放进一个纸箱里充分摇匀后，小红从纸箱里任意摸出一张贺卡，恰好是老师写的贺卡的概率
是 ．
【解答】解：∵43 名同学和 7 名老师每人写了一张同种型号的新年贺卡，
∴新年贺卡的总数是 43+7=50（张），又∵有 7 名老师，∴小红摸到老师写的贺卡的概率是 ；
故答案为： ．
15．关于 x 的两个不等式 ＜1 与 1﹣3x＞0 的解集相同，则 a= 1 ．
【解答】解：由 ＜1 得：x＜ ，
由 1﹣3x＞0 得：x＜ ，
由两个不等式的解集相同，得到 = ，解得：a=1．故答案为：1．
16．某超市“端午节”对顾客实行优惠，规定：一次性购物满 50 元，全部货款打九折；超
过 200 元，超过部分打八折．李叔叔两次购物，第一次付款 40 元，第二次付款 162 元，若
这两次购物合并成一次性付款可节省 6 元．
【解答】解：设第二次所购物品的价值为 x 元．
由题意 0.9x=162，x=180，
180+40=220＞200，
220﹣200=20，20×0.8=16，
200×0.9=180，
∴两次购物合并成一次性付款，实际付款 180+16=196 元，40+162﹣196=6，
答：若这两次购物合并成一次性付款可节省 6 元．
故答案为 6．
17．如图，已知一块圆心角为 270°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不
计），圆锥底面圆的直径是 60cm，则这块扇形铁皮的半径是 40 cm．
【解答】解：∵圆锥的底面直径为 60cm，
∴圆锥的底面周长为 60πcm，∴扇形的弧长为 60πcm，
设扇形的半径为 r，则 =60π，解得：r=40cm，
故答案为 40．
18．正方形 ABCD 的面积为 18，△ABE 是等边三角形，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD+PE 的
和最小，则这个最小值为 3 或 3+3 ．
【解答】解：①点 E 在正方形 ABCD 内，如图 1，连接 BD，与 AC 交于点 F．
∵点 B 与 D 关于 AC 对称，∴PD=PB，
∴PD+PE=PB+PE=BE 最小．
∵正方形 ABCD 的面积为 18，∴AB=3 ．
又∵△ABE 是等边三角形，∴BE=AB=3 ．
②点 E 在正方形 ABCD 外，如图 2，连接 DE 交 AC 于 P，则 PE+PD=DE 最小，
连接 BD，过 B 作 BF⊥DE 于 F，
∵四边形 ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，
∴∠EAB=60°，∠BAD=90°，AE=AB=AD，∴∠AED=∠ADE=15°，
∴∠BED=45°，∠BDE=30°，
∵正方形 ABCD 的面积为 18，∴AB=3 ，∴BE=3 ，BD= 6，
∴EF=BF=3，DF= BD=3 ，∴DE=3+3 ，
∴PD+PE 的和最小值为 3 或 3+3 ．
故答案为：3 或 3+3 ．
19．如图，P 为正方形 ABCD 的边 BC 上一点，连接 AP，过点 B 作 BQ⊥AP，交 CD 于点 Q，将
△BQC 沿 BQ 所在的直线对折得到△BQC′，延长 QC′，交 BA 的延长线于点 M，当 AB=3，BP=2PC
时，QM= ．
【解答】过点 Q 作 QH⊥AB 于 H，如图．
∵四边形 ABCD 是正方形，∴QH=BC=AB=3．
∵BP=2PC，∴BP=2，PC=1，
∴BQ=AP= = = ，∴BH= =2．
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴DC∥AB，∴∠CQB=∠QBA．
由折叠可得∠C′QB=∠CQB，
∴∠QBA=∠C′QB，∴MQ=MB．
设 QM=x，则有 MB=x，MH=x﹣2．
在 Rt△MHQ 中，[来源:学_科_网 Z_X_X_K]
根据勾股定理可得 x2=（x﹣2）2+32，解得 x= ．
∴QM 的长为 ；
故答案为： ．
20．如图，动点 M 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第 1 次从原点运动到点（2，
1），第 2 次运动到点（3，0），第 3 次运动到点（4，2），…，按这样的运动规律，经过第
2017 次运动后，动点 M 的坐标是（2522，1）．
【解答】解：动点 M 第 1 次从原点运动到点（2，1），第 2 次运动到点（3，0），第 3 次运动
到点（4，2），
第 4 次运动到点（5，0）…，
纵坐标为分别为 1，0，2，0，…，每 4 次一个循环，
∵2017÷4=504 余 1，
∴经过第 2017 次运动后，动点 M 的纵坐标为 1，
∵每 4 次运动，横坐标增加 5，
∴经过第 2017 次运动后，动点 M 的横坐标为 504×5+2=2522，
∴经过第 2017 次运动后，动点 M 的坐标是：（2522，1），
故答案为：（2522，1）．
三、解答题（满分 60 分）
21．（5 分）先化简，再求值：（x﹣2﹣ ）÷ ，然后从﹣2，2，3 中选取一个你认
为合适的数作为 x 的值代入求值．
【 解 答 】 解 ： （ x ﹣ 2 ﹣ ） ÷
= = =2x+6，
当 x=2 时，原式=2×2+6=10．
22．（6 分）如图，在方格纸中，每个小正方形的边长都为 1 个单位长度，△ABC 与△A1B1C1
呈中心对称．
（1）若将△ABC 绕某一点 O 旋转 180°可得到△A1B1C1，请直接在图上标出此点 O；
（2）作出将△A1B1C1 沿直线 DE 方向向上平移 5 个单位长度得到的△A2B2C2；
（3）要使△A2B2C2 与△CC1C2 重合，则△A2B2C2 绕点 C2 顺时针方向旋转 90 度，并计算出△
A2B2C2 扫过的面积．
【解答】解：（1）如图，点 O 为所作；
（2）如图，△A2B2C2 为所作；
（3）把△A2B2C2 绕点 C2 顺时针方向旋转 90°可得到△CC1C2，
△A2B2C2 扫过的面积=S 扇形 C1C2B2+S△C2CC1= + •5•2= π+5．
23．（6 分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，
点 B 的坐标为（3，0），与 y 轴交于点 C（0，﹣3），P 是直线 BC 下方抛物线上的一个动点．
（1）求二次函数解析式；（2）当点 P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大？求出此
时点 P 的坐标．
【解答】解：（1）将点 B（3，0）、C（0，﹣3）代入 y=x2+bx+c 中，
得： ，解得： ，∴该二次函数的表达式为 y=x2﹣2x﹣3．
（2）∵点 B（3，0），点 C（0，﹣3），∴直线 BC：y=x﹣3．
过 P 作 PD∥y 轴，交 BC 于 D，如图 1 所示．
设 P（a，a2﹣2a﹣3），则点 D（a，a﹣3），
当 y=0 时，x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴点 A（﹣1，0）．
则 S 四边形 ABPC=S△ABC+S△PBC = •AB•OC+ •OB•DP= ×4×3+ 3×[a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）]=﹣ （a
﹣ ）2+ ，
∵﹣ ＜0，0＜a＜3，∴当 a= 时，四边形 ABPC 的面积取最大值，最大值为 ，
此时点 P 的坐标为（ ，﹣ ）．
24．（7 分）“六一”儿童节前夕，薪黄县教育局准备给留守儿童赠送一批学习用品，先对浠
泉镇浠泉小学的留守儿童人数进行抽样统计，发现各班留守儿童人数分别为 6 名，7 名，8
名，10 名，12 名这五种情形，并将统计结果绘制成了如图所示的两份不完整的统计图：
请根据上述统计图，解答下列问题：
（1）该校有多少个班级？并补充条形统计图；
（2）该校平均每班有多少名留守儿童？留守儿童人数的众数是多少？
（3）若该镇所有小学共有 60 个教学班，请根据样本数据，估计该镇小学生中，共有多少名
留守儿童．
【解答】解：（1）该校的班级数是：2÷12.5%=16（个）．
则人数是 8 名的班级数是：16﹣1﹣2﹣6﹣2=5（个）．
；
（2）每班的留守儿童的平均数是： （1×6+2×7+5×8+6×10+12×2）=9（人），众数是
10 名；
（3）该镇小学生中，共有留守儿童 60×9=540（人）．
答：该镇小学生中共有留守儿童 540 人．
25．（8 分）爸爸和小芳驾车去郊外登山，欣赏美丽的达子香（兴安杜鹃），到了山下，爸爸
让小芳先出发 6min，然后他再追赶，待爸爸出发 24min 时，妈妈来电话，有急事，要求立
即回去．于是爸爸和小芳马上按原路下山返回（中间接电话所用时间不计），二人返回山下
的时间相差 4min，假设小芳和爸爸各自上、下山的速度是均匀的，登山过程中小芳和爸爸
之间的距离 s（单位：m）关于小芳出发时间 t（单位：min）的函数图象如图，请结合图象
信息解答下列问题：
（1）小芳和爸爸上山时的速度各是多少？
（2）求出爸爸下山时 CD 段的函数解析式；
（3）因山势特点所致，二人相距超过 120m 就互相看不见，求二人互相看不见的时间有多少
分钟？
【解答】解：（1）小芳上山的速度为 120÷6=20（m/min），
爸爸上山的速度为 120÷（21﹣6）+20=28（m/min）．
答：小芳上山的速度为 20m/min，爸爸上山的速度为 28m/min．
（2）∵（28﹣20） ×（24+6﹣21）=72（m），
∴点 C 的坐标为（30，72）；
∵二人返回山下的时间相差 4min，44﹣4=40（min），
∴点 D 的坐标为（40，192）．
设爸爸下山时 CD 段的函数解析式为 y=kx+b，
将 C（30，72）、D（40，192）代入 y=kx+b，
，解得： ．
答：爸爸下山时 CD 段的函数解析式为 y=12x﹣288（24≤x≤40）．
（3）设 DE 段的函数解析式为 y=mx+n，
将 D（40，192）、E（44，0）代入 y=mx+n，
，解得： ，
∴DE 段的函数解析式为 y=﹣48x+2112（40≤x≤44）．
当 y=12x﹣288＞120 时，34＜x≤40；
当 y=﹣48x+2112＞120 时，40≤x＜41.5．
41.5﹣34=7.5（min）．
答：二人互相看不见的时间有 7.5 分钟．
26．（8 分）如图，正方形 ABCD 和正方形 DEFG 有一共同顶点 D，将正方形 DEFG 绕点 D 旋转，
B，E，F 三点在一条直线上，AH⊥BE 于点 H，如图①，易证：BE﹣EF=2AH（不需证明）．
（1）继续旋转正方形 DEFG，其他条件不变，如图②，猜想线段 BE，EF，AH 之间有怎样的
数量关系？并给予证明；
（2）若将题中的条件改为 AD=2AB，DE=2EF，H 为 BF 中点，如图③，其他条件不变时，线段
BE，EF，AH 之间又有怎样的数量关系？猜想其结论，不需证明．
【解答】解：（1）结论：BE+EF=2AH．
理由：如图②中，作 AM⊥AE 交 EB 的延长线于 M．
∵四边形 ABCD、四边形 DEFG 都是正方形，
∴AD=AB， ∠AEM=45°，∠DAB=∠EAM=90°，
∴∠DAE=∠BAM，∠M=∠AEM=45°，
∴AE=AM，
∵AH⊥EM，∴EM=2AH，
在△DAE 和△BAM 中，
，
∴△DAE≌△BAM，
∴DE=EF=BM，
∴BE+EF=BE+BM=EM=2AH．
（2）结论：BE﹣EF=2AH．
理由：如图③中，在 BH 上取一点 M，使得 BM=EF．
∵∠DEB=∠DAB=90°，易证∠EDA=∠ABM，
∵ = =2，
∴ = ，
∴△ADE∽△ABM，
∴∠EAD=∠MAB，
∴∠EAM=∠DAB=90°，
∵HF=HM，EF=BM，
∴EH=HM，
∴EM=2AH，
∴BE﹣EF=BE﹣BM=EM=2AH，
∴BE﹣EF=2AH．
27．（10 分）“兴佳果业”采购苹果和芒果共 500 斤，苹果和芒果的进货价分别为 4 元/斤和
8 元/斤，进货所用资金不超过 3520 元，且购进芒果的重量不少于购进苹果重量的 3 倍，经
营者将所进水果加价 25%进行销售．
（1）求共有多少种进货方案（水果重量取整数）？
（2）获利最多的方案是哪种？最多获利多少元？
（3）由于保存不当，这两种水果共有 180 斤（苹果有 a 斤且为整数）受到影响，品质下降，
经营者为维护良好商誉，将这 180 斤水果按进货价的五折销售，在（2）的条件下，请分析
这两种水果的总体盈亏情况．
【解答】解：（1）设购进苹果 x 斤，则购进芒果（500﹣x）斤，
根据题意得： ，解得：120≤x≤125．
∵x 为整数，∴x=120、121、122、123、124 或 125，
∴共有 6 种进货方案．
（2）设获利 w 元，
根据题意得：w=25%×4x+25%×8（500﹣x）=﹣x+1000．
∵k=﹣1＜0，∴w 随 x 值的增大而减小，
∴当 x=120 时，w 取最大值，最大值为 880，
∴当购进苹果 120 斤、芒果 380 斤时，获利最大，最大利润为 880 元．
（3）设获得的利润为 y 元，
根据题意得：y=25%×4×（120﹣a）﹣0.5×4a+25%×8[380﹣（120﹣a）]﹣0.5×8（120
﹣a）=3a+160，
∵k=3＞0，∴y 值随 a 值的增大而增大．
∵0＜a＜120 且 a 为整数，
∴160＜y＜520，
∴无论 a 为何值，销售完这两种水果，“兴佳果业”获利超过 160 元、不足 520 元．
28．（10 分）如图，矩形 AOBC 的两条边 OA，OB 的长是方程 x2﹣18x+80=0 的两根，其中 OA
＜OB，沿直线 AD 将矩形折叠，使点 C 与 y 轴上的点 E 重合．
（1）求 A，B 两点的坐标；（2）求直线 AD 的解析式；
（3）若点 P 在 y 轴上，平面内是否存在点 Q，使以 A，D，P，Q 为顶点的四边形为矩形？若
存在，请直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：
（1）解方程 x2﹣18x+8 0=0 可得 x=8 或 x=10，
∵OA，OB 的长是方程 x2﹣18x+80=0 的两根，且 OA＜OB，∴OA=8，OB=10，
∴A（﹣8，0），B（0，10）；
（2）由折叠性质可得 DE=CE，AE=AC=OB=10，
在 Rt△AOE 中，OE= = =6，
∴BE=OB﹣OE=10﹣6=4，
设 BD=x，则 CD=DE=8﹣x，
在 Rt△BDE 中，由勾股定理可得 DE2=BE2+BD2，
∴（8﹣x）2=42+x2，解得 x=3，∴D（﹣3，10），
设直线 AD 解析式为 y=kx+b，
∴ ，解得 ，∴直线 AD 解析式为 y=2x+16；
（3）当点 P 在 x 轴上方时，
若 AP 为对角线，则有 DP⊥DA，如图 1，连接 AP、DQ 交于点 F，则 F 为 AP、DQ 的中点，
∴∠BDP+∠CDA=∠CDA+∠CAD=90 °，
∴∠BDP=∠CAD，且∠PBD=∠DCA，
∴△BPD∽△CDA，
∴ = ，即 = ，解得 BP= ，∴OP=10﹣ = ，
∴P（0， ），且 A（﹣8，0），∴F（﹣4， ），
设 Q（x，y），且 D（﹣3，10），
∴ =﹣4， = ，解得 x=﹣5，y=﹣ ，
∴Q（﹣5，﹣ ）；
若 AD 为对角线时，设 AD 的中点为 M，则有 PM= AD，
∵A（﹣8，0），D（﹣3，10），∴AD 的中点 M（﹣ ，5），
∴ = ，解得 y=6 或 y=4，
设 Q（x，y），当 P（0，6）时，则有 =﹣ ， =5，解得 x=﹣11，y=4，
当 P（0，4）时，则理可求得 x=﹣11，y=6，
∴Q（﹣11，4）或（﹣11，6）；
当点 P 在 x 轴下方时，则有 AP⊥AD，如图 2，连接 DP、AQ 交于点 G，则 G 为 AQ、DP 的中点，
同理可证得△AOP∽△ACD，则 = ，即 = ，解得 OP=4，
∴P（0，﹣4），且 D（﹣3，10），∴G（﹣ ，3），
设 Q（x，y），且 A（﹣8，0），
∴ =﹣ ， =3，解得 x=5，y=6，
∴Q（5，6）；
综上可知存在满足条件的点 Q，其坐标为（﹣5，﹣ ）或（5，6）或（﹣11，4）或（﹣11，
6）．
