2012年初三数学西城一模试题答案

2012年初三数学西城一模试题答案

北京市西城区2012年初三一模试卷 ‎ 数学答案及评分标准 2012. 5‎ 一、选择题（本题共32分，每小题4分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 A C B C B D B C 二、填空题（本题共16分，每小题4分）‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ x≥-2‎ ‎（各2分）‎ ‎4，4（各2分）‎ 三、解答题（本题共30分，每小题5分）‎ ‎13．解：原式= …………………………………………………………4分 ‎ ‎ =．…………………………………………………………………… 5分 ‎①②‎ ‎≥2x-4，‎ ‎14．解： ‎ ‎ 由①得．……………………………………………………………………1分 ‎ 由②得x≤． ……………………………………………………………………3分 ‎ ∴ 原不等式组的解集是-2< x≤．………………………………………………4分 ‎ ∴ 它的非负整数解为0，1，2．………………………………………………… 5分 ‎15.（1）证明：如图1.‎ ‎ ∵ ∠ABC=90º，D为AB延长线上一点，‎ ‎ ∴ ∠ABE=∠CBD=90º . …………………………………………………1分 ‎ 在△ABE和△CBD中,‎ 图1‎ ‎ ‎ ‎ ∴ △ABE≌△CBD. …………………… 2分 ‎ （2）解：∵ AB=CB，∠ABC=90º，‎ ‎ ∴ ∠CAB=45°. …….…………………… 3分 ‎ 又∵ ∠CAE=30º，‎ ‎ ∴ ∠BAE =15°. ……………………………………………………………4分 ‎ ∵ △ABE≌△CBD，‎ ‎ ∴ ∠BCD=∠BAE =15°. ……………………………………………………5分 ‎16. 解：原式= =. ..….….….….….……………………3分 ‎ ∵ ‎2a+b=0， ‎ ‎ ∴ . ……………………………………………………………………… 4分 ‎ ∴ 原式=. ‎ ‎ ∵ a不为0，‎ ‎ ∴ 原式=. ..….….….….……………………………………………………… 5分 ‎17. 解：（1）∵ 反比例函数 的图象经过点，‎ ‎ ∴ ，且m＞0.‎ ‎ ∵ AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为1， ‎ ‎ ∴ . ‎ ‎ 解得 . ……………………………………………………………… 1分 ‎ ∴ 点A的坐标为. ………………………………………………… 2分 ‎ ∴ . …………………………………………………………… 3分 ‎ （2）点C的坐标为(0,3)或(0,-1). ……………………………………………… 5分 ‎18．解：设甲工厂每天能加工件新产品，则乙工厂每天能加工1.5件新产品.‎ ‎ 依题意得 . ……………………………………………………2分 ‎ 解得. …………………………………………………………………… 3分 ‎ 经检验，是原方程的解，并且符合题意． …………………………… 4分 ‎ ∴ .‎ 图2‎ ‎ 捐款户数分组统计图1‎ ‎ 答: 甲工厂每天能加工40件新产品, 乙工厂每天能加工60件新产品. ……………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分）‎ ‎19．解：（1）2，50；…………………………………2分 ‎ （2），C组的户数为20. … 3分 ‎ 补图见图2． …………………………4分 ‎ （3）∵ ，‎ ‎ ∴ 根据以上信息估计，全社区捐款不少 ‎ 于300元的户数是180．‎ ‎ ……………………………… 5分 ‎20．解：（1）∵ 梯形ABCD中，AD∥BC，，，‎ ‎∴ ，． ‎ 在Rt△ABD中，∵，，‎ 图3‎ ‎∴ ． ‎ ‎∴ ．…… 2分 ‎（2）作于点E，于点F．（如图3） ‎ 在Rt△BCE中，∵ BC=2，，‎ ‎∴ ，．‎ ‎∵ ，‎ ‎∴ ．‎ ‎∴ ． …………………………………………… 3分 ‎∵ ，‎ ‎∴ ． …………………………… 4分 ‎ ∵ AD∥BC，，，‎ ‎∴ ． …………………………………………………… 5分 图4‎ ‎21．解：（1）作于点F，连结OD．（如图4）‎ ‎ ∵ ∠BAD=60°，‎ ‎∴ ∠BOD=2∠BAD =120°．……………1分 又∵OB=OD，‎ ‎ ∴ ．……………………… 2分 ‎∵ AC为⊙O的直径，AC=4，‎ ‎∴ OB= OD= 2．‎ 在Rt△BOF中，∵∠OFB=90°， OB=2，，‎ ‎∴ ，‎ ‎ 即点O到BD的距离等于1. ………………………………………… 3分 ‎（2）∵ OB= OD ，于点F，‎ ‎∴ BF=DF．‎ 由DE=2BE，设BE=2x，则DE=4x，BD=6x，EF=x，BF=3x．‎ ‎∵ ，‎ ‎ ∴ ， EF=．‎ 在Rt△OEF中，，‎ ‎∵ ，‎ ‎∴ ，． …………………………………… 4分 ‎∴ ．‎ ‎∴ ．‎ ‎∴ ．‎ ‎ ∴ ． ………………………………………………… 5分 ‎22．解：（1）135°；………………………………………………………………………… 2分 ‎（2）120°；………………………………………………………………………… 3分 ‎ ． ……………………………………………………………………… 5分 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）‎ ‎23．解：（1）∵ 关于x的一元二次方程的一个实数根为 2，‎ ‎ ∴ ．…………………………………………………… 1分 整理，得 ． …………………………………………………… 2分 ‎（2）∵ ，‎ ‎ 无论p取任何实数，都有≥0，‎ ‎∴ 无论p取任何实数，都有 ．‎ ‎ ∴ ． ………………………………………………………………… 3分 ‎ ∴ 抛物线与x轴有两个交点．………………………… 4分 图5‎ ‎ （3）∵ 抛物线与抛物线 的对称轴相同，都为直线，且开口大小相同，‎ 抛物线可由抛物线 沿y轴方向向上平移一个单位得到，‎ ‎（如图5所示，省略了x轴、y轴）‎ ‎ ∴ EF∥MN，EF=MN=1．‎ ‎ ∴ 四边形FEMN是平行四边形． ………………5分 图6‎ 由题意得 ．‎ 解得．………………………………………7分 ‎24．证明：（1）如图6．‎ ‎ ∵ 点B关于直线CH的对称点为D，‎ CH⊥AB于点H，‎ 直线DE交直线CH于点F，‎ ‎∴ BF=DF，DH=BH．…………………1分 ‎∴ ∠1=∠2．‎ 又∵ ∠EDA=∠A，∠EDA=∠1，‎ ‎∴ ∠A＝∠2．‎ ‎∴ BF∥AC．……………………………………………………………… 2分 ‎（2）取FD的中点N，连结HM、HN.‎ ‎ ∵ H是BD的中点，N是FD的中点，‎ 图7‎ ‎∴ HN∥BF．‎ 由（1）得BF∥AC，‎ ‎∴ HN∥AC，即HN∥EM．‎ ‎∵ 在Rt△ACH中，∠AHC=90°，‎ AC边的中点为M，‎ ‎∴ ．‎ ‎∴ ∠A＝∠3．‎ ‎∴ ∠EDA=∠3．‎ ‎∴ NE∥HM．‎ ‎∴ 四边形ENHM是平行四边形．……………………………………… 3分 ‎∴ HN=EM．‎ ‎∵ 在Rt△DFH中，∠DHF=90°，DF的中点为N，‎ ‎∴ ，即．‎ ‎∴ ． ………………………………………………………… 4分 ‎（3）当AB=BC时，在未添加辅助线和其它字母的条件下，原题图2中所有与BE相等的线段是EF和CE． （只猜想结论不给分）‎ ‎ 证明：连结CD．（如图8）‎ ‎ ∵ 点B关于直线CH的对称点为D，CH⊥AB于点H，‎ 图8‎ ‎∴ BC=CD，∠ABC＝∠5．‎ ‎ ∵ AB＝BC，‎ ‎∴ ，‎ ‎ AB＝CD．①‎ ‎∵ ∠EDA=∠A，‎ ‎∴ ，AE=DE．②‎ ‎∴ ∠ABC＝∠6=∠5．‎ ‎∵ ∠BDE是△ADE的外角，‎ ‎∴ ．‎ ‎∵ ，‎ ‎∴ ∠A＝∠4．③‎ ‎ 由①，②，③得 △ABE≌△DCE．………………………………………5分 ‎ ∴ BE= CE． ……………………………………………………………… 6分 ‎ 由（1）中BF=DF得 ∠CFE=∠BFC．‎ ‎ 由（1）中所得BF∥AC 可得 ∠BFC=∠ECF．‎ ‎ ∴ ∠CFE=∠ECF．‎ ‎ ∴ EF=CE．‎ ‎ ∴ BE=EF． ……………………………………………………………… 7分 ‎ ∴ BE=EF=CE． ‎ ‎（阅卷说明：在第3问中，若仅证出BE=EF或BE=CE只得2分）‎ 图9‎ ‎25．解：（1）∵ ，‎ ‎∴ 抛物线的对称轴为直线．‎ ‎∵ 抛物线与x轴交于 ‎ 点A、点B，点A的坐标为，‎ ‎∴ 点B的坐标为，OB＝3．…………… 1分 可得该抛物线的解析式为．‎ ‎∵ OB=OC，抛物线与y轴的正半轴交于点C，‎ ‎∴ OC=3，点C的坐标为．‎ 将点C的坐标代入该解析式，解得a=1．……2分 ‎∴ 此抛物线的解析式为．（如图9）…………………… 3分 ‎ （2）作△ABC的外接圆☉E，设抛物线的对称轴与x轴的交点为点F，设☉E与抛物线的对称轴位于x轴上方的部分的交点为点，点关于x轴的对称点为点，点、点均为所求点.（如图10）‎ ‎ 可知圆心E必在AB边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线上． ‎ ‎∵ 、都是弧AB所对的圆周角，‎ ‎∴ ，且射线FE上的其它点P都不满足．‎ 由（1）可知 ∠OBC=45°，AB=2，OF=2．‎ 可得圆心E也在BC边的垂直平分线即直线上．‎ ‎ ∴ 点E的坐标为．………………………………………………… 4分 ‎∴ 由勾股定理得 ．‎ ‎∴ ．‎ ‎∴ 点的坐标为．…………………………………………… 5分 由对称性得点的坐标为． ……………………………… 6分 ‎∴符合题意的点P的坐标为、.‎ ‎（3）∵ 点B、D的坐标分别为、，‎ 可得直线BD的解析式为，直线BD与x轴所夹的锐角为45°．‎ ‎∵ 点A关于∠AQB的平分线的对称点为，（如图11）‎ 若设与∠AQB的平分线的交点为M，‎ 则有 ，，，Q，B，三点在一条直线上．‎ ‎∵ ，‎ ‎∴ ‎ 作⊥x轴于点N．‎ ‎∵ 点Q在线段BD上， Q，B，三点在一条直线上，‎ ‎∴ ，．‎ ‎∴ 点的坐标为． ‎ ‎∵ 点Q在线段BD上，‎ ‎∴ 设点Q的坐标为，其中．‎ ‎∵ ，‎ ‎∴ 由勾股定理得 ．‎ 解得．‎ 经检验，在的范围内．‎ ‎∴ 点Q的坐标为． …………………………………………… 7分 图10‎ 图11‎ 此时．… 8分