初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第6讲 转化—可化为一元二次方程的方程

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第6讲 转化—可化为一元二次方程的方程

1 第六讲 转化—可化为一元二次方程的方程 数学(家)特有的思维方式是什么?若从量的方面考虑,通常运用符号进行形式化抽象, 在一个概念和公理体系内实施推理计算,若从“转化”这个侧面又该如何回答?匈牙利女数 学家路莎·彼得在《无穷的玩艺》一书中写道:“作为数学家的思维来说是很典型的,他们 往往不对问题进行正面攻击,而是不断地将它变形,直至把它转化为已经能够解决的问题.” 转化与化归是解分式方程和高次方程(次数高于二次的整式方程)的基本思想.解分式方 程,通过去分母和换元;解高次方程,利用因式分解和换元,转化为一元二次方程或一元一 次方程去求解. 【例题求解】 【例 1】 若 05 152 852 2 2    xx xx ,则 152 2  xx 的值为 . 思路点拨 视 xx 52 2  为整体,令 yxx 52 2 ,用换元法求出 y 即可. 【例 2】 若方程 xxp  2 有两个不相等的实数根,则实数 p 的取值范围是( ) A. 1p B. 0p C. 01  p D. 01  p 思路点拨 通过平方有理化,将无理方程根的个数讨论转化为一元二次方程实根个数的讨 论,但需注意注 02  xxp 的隐含制约. 注:转化与化归是一种重要的数学思想,在数学学习与解数学题中,我们常常用到下列不同 途径的转化:实际问题转化大为数学问题,数与形的转化,常量与变量的转化,一般与特殊 的转化等. 解下列方程: (1) 12 11 93 4 822 3 2 2 2 2      xx xx xx xx ; (2) 1)1998()1999( 33  xx ; (3) 42)1 13(1 13 2    x xxx xx . 2 按照常规思路求解繁难,应恰当转化,对于(1),利用倒数关系换元;对于(2),从 1)1998()1999(  xx 受到启示;对于(3),设 1 13   x xy ,则可导出 yx  、 xy 的结果. 注:换元是建立在观察基础上的,换元不拘泥于一元代换,可根据问题的特点,进行多元代 换. 【例 4】 若关于 x 的方程 x kx xx x x k 1 1 2 2    只有一个解(相等的解也算作一个),试求 k 的 值与方程的解. 思路点拨 先将分式方程转化为整式方程,把分式方程解的讨论转化为整式方程的解的讨 论,“只有一个解”内涵丰富,在全面分析的基础上求出 k 的值. 注:分式方程转化为整式方程不一定是等价转化,有可能产生增根,分式方程只有一个解, 可能足转化后所得的整式方程只有一个解,也可能是转化后的整式方程有两个解,而其中一 个是原方程的增根,故分式方程的解的讨论,要运用判别式、增根等知识全面分析. 【例 5】 已知关于 x 的方程 655)( 2  x axx ax 有两个根相等,求 a 的值. 思路点拨 通过换元可得到两个关于 x 的含参数 a 的一元二次方程,利用判别式求出 的 值. 注:运用根的判别式延伸到分式方程、高次方程根的情况的探讨,是近年中考、竞赛中一类 新题型,尽管这种探讨仍以一元二次方程的根为基础,但对转换能力、思维周密提出了较高 要求. 学历训练 1.若关于 的方程 011 1   x ax 有增根,则 的值为 ;若关于 的方程 12 2   x ax 曾 3 =一 1 的解为正数,则 a 的取值范围是 . 2.解方程 12 1 )10)(9( 1 )2)(1( 1 )1( 1 )1( 1  xxxxxxxx  得 . 3.已知方程 mxmx  2 123 有一个根是 2,则 m = . 4.方程 9 73 33 2 2    xx xx 的全体实数根的积为( ) A.60 B.一 60 C.10 D.一 10 5.解关于 x 的方程 111 2    x x x k x x 不会产生增根,则是的值是( ) A.2 B.1 C.不为 2 或一 2 D.无法确定 6.已知实数 满足 011 2 2  xx x x ,那么 xx 1 的值为( ) A.1 或一 2 B.一 1 或 2 C.1 D.一 2 7.(1)如表,方程 1、方程 2、方程 3、……,是按照一定规律排列的一列方程,解方程 1, 并将它的解填在表中的空格处; (2)若方程 11  bxx a ( ba  )的解是 1x =6, 2x =10,求 a 、b 的值.该方程是不是(1)中所 给的一列方程中的一个方程?如果是,它是第几个方程? (3)请写出这列方程中的第 n 个方程和它的解,并验证所写出的解适合第 n 个方程. 序号 方 程 方程的解 1 12 16  xx = = 2 13 18  xx =4 =6 3 14 110  xx =5 =8 … … … … 8.解下列方程: (1) 6 19 1 22 1 1 2 2 2 2      xx xx x xx ; (2) 0 813 1 82 1 811 1 222       xxxxxx ; (3) 120)4)(3)(2)(1(  xxxx ; (4) 1)1(3)1(2 2 2  xx x x . 9.已知关于 的方程 0 22 12 2 2 2    mxx mxx ,其中 m 为实数,当 m 为何值时,方程恰有 三个互不相等的实数根?求出这三个实数根. 4 10.方程 2 2 2121 xx xx  的解是 . 11.解方程 21 4 127 1 65 1 23 11 2222         xxxxxxxx 得 . 12.方程 8 7 3 2 9 8 2 1      x x x x x x x x 的解是 . 13.若关于 x 的方程 03 1 2 1 4 22  xxa 恰有两个不同的实数解,则实数 a 的取值范围 是 . 14.解下列方程: (1) 6)1)(43()76( 2  xxx ; (2) 222222 )243()672()43(  xxxxxx ; (3) 3)1( 22  x xx ; (4) 3 10 2 21  x x x . 15.当 a 取何值时,方程 2 2 1 2 2 1 2     xx ax x x x x 有负数解? 16.已知 01585 234  xxxx ,求 xx 1 的值. 17.已知:如图,四边形 ABCD 为菱形,AF⊥上 AD 交 BD 于 E 点,交 BC 于点 F. (1)求证:AD2= 2 1 DE×DB; (2) 过点 E 作 EG ⊥ AE 交 AB 于点 G , 若 线 段 BE 、 DE(BE0)的两个根,且菱形 ABCD 的面积为 36 ,求 EG 的长. 5 参考答案 6 7
查看更多

相关文章

您可能关注的文档