2020-2021学年新初三数学上册知识点讲解 点和圆、直线和圆的位置关系
2020-2021 学年新初三数学上册知识点讲解 点和圆、直线和圆的位置关系
专题 06 点和圆、直线和圆的位置关系专题详解 .........................................................................................................1
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 ..............................................................................................................................2
知识框架 .............................................................................................................................................................................2
一、基础知识点 ...............................................................................................................................................................3
知识点 1 圆的确定 .............................................................................................................................................................. 3
知识点 2 点和圆的位置关系 ........................................................................................................................................... 3
知识点 3 三角形的外接圆 ................................................................................................................................................ 4
知识点 4 反证法................................................................................................................................................................... 4
知识点 5 直线与圆的位置关系 ....................................................................................................................................... 5
知识点 6 切线的判定与性质 ........................................................................................................................................... 6
知识点 7 切线长定理 ......................................................................................................................................................... 7
知识点 8 三角形内切圆 ..................................................................................................................................................... 8
二、方法与思路 ............................................................................................................................................................ 11
方法 1 切线的证明技巧 ................................................................................................................................................... 11
方法 2 利用切线的性质求角度 ..................................................................................................................................... 19
方法 3 利用切线的性质求线段长 ................................................................................................................................ 23
方法 4 利用切线的性质证明 ......................................................................................................................................... 28
方法 5 切线与勾股定理（方程思想） ....................................................................................................................... 30
方法 6 切割线图构矩形 ................................................................................................................................................... 33
方法 7 双切线图................................................................................................................................................................. 36
三、典型题型 ................................................................................................................................................................. 39
题型 1 点与圆的位置关系（d 与 r） .......................................................................................................................... 39
题型 2 直线与圆的位置关系（d 与 r） ..................................................................................................................... 40
题型 3 切线的性质与判定 .............................................................................................................................................. 40
题型 4 切线长定理 ............................................................................................................................................................ 41
题型 5 三角形的内心和外心 ......................................................................................................................................... 42
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
知识框架
{
基础知识点
{
圆的确定
点和圆的位置关系
三角形的外接圆
反证法
直线与圆的位置关系
切线的判定与性质
切线长定理
三角形内切圆
圆与圆的位置关系
方法与思路
{
切线的证明技巧
{
连半径，证垂直（有公共点）
{
角度转换
全等证直角
利用平行转化角
勾股定理逆定理
作垂直，证半径（无公共点） {
利用角平分线的性质
利用全等
利用矩形性质
利用切线的性质求角度
{
直径所对圆周角是直角转化角
圆心角、圆周角的性质转化角
内接四边形的性质转化角
特殊数量关系转化角
利用切线的性质求线段长
{
连切点，构直角三角形
作垂线，构矩形
利用直径，构直角三角形
利用特殊角，构特殊三角形
利用切线的性质证明 {
证角度关系
证线段关系
切线与勾股定理(方程思想) {
单勾股
双勾股
切割线图构矩形
双切线图
典型题型
{
点与圆的位置关系（d 与 r）
直线与圆的位置关系（d 与 r）
切线的性质与判定
切线长定理
三角形的内心和外心
一、基础知识点
知识点 1 圆的确定
1）经过一个已知点 A 可画无数个圆。
2）经过已知两点 A，B 作圆，可画无数个，它们的圆心在线段 AB 的垂直平分线上
3）经过同一直线上三个点 A、B、C 的圆是不存在的。
4）经过不再同一直线上的三个点 A、B、C 可画一个圆，而且只能作一个圆。
例 1.过一点可以作 个圆，过两点可以作 个圆，过三点可以作 个圆。
【答案】：无数；无数；1 个或 0 个
【解析】：经过 1 点，可以画无数个圆；
经过 2 点，可以画无数个圆，圆心在两点连线的垂直平分线上；
经过不在同一直线上的 3 点可以画 1 个圆；经过在同一直线上的 3 点，圆不存在
例 2.已知 A、B、C 是平面内三点，AB=3，BC=3，AC=6，下列说法正确的是（ ）
A.可以画一个圆，使 A、B、C 都在圆上
B.可以画一个圆，使 A、B 在圆上，C 在圆外
C.可以画一个圆，使 A、C 在圆上，B 在圆外
D.可以画一个圆，使 B、C 在圆上，A 在圆内 BC
【答案】：B
【解析】：∵AB=3，BC=3，AC=6
∴A、B、C 三点在同一条直线上，具体位置关系如下图所示：
A.错误，三点在同一条直线上，不可能画圆；
B.正确，使 A、B 在圆上，则圆心在 AB 的垂直平分线上，点 C 在圆外；
C.错误，使 A、C 在圆上，则圆心在 AC 的垂直平分线上，点 B 在圆内；
D.错误，使 B、C 在圆上，则圆心在 BC 的垂直平分线上，点 A 在圆外。
知识点 2 点和圆的位置关系
1）点和圆的位置关系有 3 种：圆外、圆上、圆内
2）设O 的半径为 r，点 P 到圆心的距离 OP=d，则：
P 在圆外⟺d>r
P 在圆上⟺d=r
P 在圆内⟺d
0，则 ax>bx
用反证法，假设 a>0，则 axr⟺无交点
例 1.已知，圆的直径为 13cm，直线到圆心的距离为 d，当 d=8cm 时，直线与圆 ，当 d=6.5cm 时，
直线与圆 ，当 d 小于 6.5cm 时，直线与圆 。
【答案】：相离；相切；相交
【解析】：∵圆的直径为 13cm
∴圆的半径 r=6.5cm
当距离 d＞r 时，相离；当 d=r 时，相切；当 d＜r 时，相交
例 2.已知O 的直径为 10cm，如果圆心 O 到直线푙的距离为 4cm，求直线푙与O 有几个交点？
【答案】：2 个
【解析】：∵O 的直径为 10cm
∴O 的半径 r=5cm
∵d=4cm，d＜r
∴直线与O 相交
∴有 2 个交点
知识点 6 切线的判定与性质
1）切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径
2）证圆的切线有两种方法：
①连半径，证垂直，即已知半径，证明直线与这条半径垂直
②作垂线，证半径，即作出圆心到直线的垂线，证明垂线段长等于半径
注：已知圆的切线时，作过切点的半径是常用的辅助线，因为圆的切线垂直于过切点的半径。
例 1.如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的弦，D 为 BA 延长线上一点，∠B=25°，当∠D 等于多少度时，
CD 与O 相切。
【答案】：40°
【解析】：如下图，连接 CO
∵CD 与O 相切
∴CD⊥CO，∠DCO=90°
∵∠B=25°，OB=OC=r
∴∠OCB=∠B=25°
∴∠D=180°－90°－25°－25°=40°
例 2.已知 AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，切点为 B，OC 平行于弦 AD，求证：DC 是O 的切线。
【答案】：见解析
【解析】：如图，连接 OD
∵CB 是O 的切线
∴∠CBO=90°
∵AD∥CO
∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠DOC
∵AO=OD=r
∴∠OAD=∠ODA
∴∠DAO=∠COB=∠ADO=∠DOC
∵CO=CO，OD=OB=r
∴△COD≌△COB
∴∠CDO=∠CBO=90°
∴DC 是O 的切线
知识点 7 切线长定理
1）经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段叫作这点到圆的切线长。
2）从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
如上图，若 PA、PB 是O 的切线，点 A、B 为切点，则：
①PA=PB；②∠APO=∠BPO；③PO 是 AB 的垂直平分线
例 1.如图，PA，PB 分别切O 于 A、B 两点，直线 OP 交O 于 D、E 两点，交 AB 于点 C。若∠APB=50°，
求∠OAC 的度数。
【答案】：25°
【解析】：∵PA、PB 是O 的切线，∠APB=50°
∴∠APO=∠BPO=25°，∠OAP=90°，∠OCA=90°
∴∠AOC=65°
∴∠OAC=25°
例 2.如图，PA 和 PB 是O 的切线，点 A 和点 B 是切点，AC 是O 的直径，已知∠P=40°，求∠ACB 的大
小。
【答案】：70°
【解析】：如图，连接 OP，OB
∵PA、PB 是O 的切线，∠APB=40°
∴∠APO=∠BPO=20°，∠OAP=∠OBP=90°
∴∠AOP=∠BOP=70°
∴∠COB=40°
∵OC=OB=r
∴∠OCB=∠OBC
∴∠OCB=70°
知识点 8 三角形内切圆
1）与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作
三角形的内心。
2）内心特点：内心到三角形三边的距离相等
3）三角形四心：
①外心：三角形外接圆的圆心，三边垂直平分线的交点。
②内心：三角形内切圆的圆心，三内角角平分线的交点。
③重心：三条中线的交点。
④垂心：三条高的交点。
例 1.如图，O 为 Rt△ABC 的内切圆，切点为 D，E，F，半径为 r，∠C=90°，AB，BC，AC 的长分别
为 c，a，b，求 r。
【答案】：푎+푏−푐
2
【解析】：如图，连接 OD，OF
∵点 D、F 是内切圆与△ABC 的切点
∴OD⊥CB，OF⊥AC，AE=AF，CF=CD，BD=BE
∴四边形 OFCD 为正方形
∴CF=CD=r
∴AE=AF=b－r，BE=BD=a－r
∵AE+BE =AB =c
∴b－r+a－r=c
∴r=푎+푏−푐
2
例 2.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，I 为△ABC 的内心，IE⊥AB 于 E，求 IE，AE，BI
的长度。
【答案】：IE=1，AE=2，BI=√10
【解析】：如图，连接 AI，CI，过点 I 作 BC 的垂线，交 BC 于点 N，过点 I 作 AC 的垂线，交 AC 于点 M
∵点 I 是△ABC 的内心
∴点 I 到△ABC 的三边距离相等，即 IE=IN=IM，设 IE=h
∵∠C=90°，AC=3，BC=4
∴AB=5，푆△퐴퐵퐶 = 1
2 ∙ 3 ∙ 4 = 6
又∵푆△퐴퐵퐶 = 푆△퐴퐵퐼 + 푆△퐴퐶퐼 + 푆△퐵퐶퐼
∴6=1
2 ∙ 5 ∙ h + 1
2 ∙ 3 ∙ h + 1
2 ∙ 4 ∙ h，解得：h=1
∵IM=IN，∠ACB=∠IMC=∠INC=90°
∴四边形 IMCN 为正方形
∴MC=NC=IM=1
∴AE=AM=2，NB=3
在 Rt△INB 中，根据勾股定理，IB=√10
二、方法与思路
方法 1 切线的证明技巧
一、连半径，证垂直（有公共点）
解题技巧：已知直线与圆的公共点，连接关于该点的半径，只需证这个半径垂直于直线即可证明为切线。
（1）角度转换
解题技巧：利用圆和几何中的性质，进行角度转化，最终证明出半径与直线的夹角为直角。
例 1.如图，已知O 是△ABC 的外接圆，且 AB=BC=CD，AB∥CD，连接 BD。证：BD 是O 的切线。
【答案】：见解析
【解析】：如图，连接 OB
∵AB=BC=CD
∴∠A=∠ACB，∠CBD=∠D
∵AB∥CD
∴∠ABC=∠BCD
∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，∠CBD+∠D+∠BCD=190°
∴∠A+∠ACB=∠CBD+∠D
∴∠A=∠ACB=∠CBD=∠D
以下步骤证明 BO 平分∠ABC（根据 24.1 中的方法 6，是可以直接得出等腰三角形 BAC 中，BO 是三线合一
的，即 BO 是∠ABC 的平分线），此题我们用全等再次证明，连接 OA，OC
∵OA=OC=r，OB=OB，AB=BC
∴△AOB≌△COB，∴∠ABO=∠CBO
证明结束，继续本体证明
∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，∴∠A+∠OBC=90°，∴∠CBD+∠OBC=90°，即∠OBD=90°
∴BD 是O 的切线
例 2.如图，已知 BC 是⊙ O的直径，AC 切⊙ O于点 C，AB 交⊙ O于点 D，点 E 为 AC 中点，连接 DE。
求证：ED 是⊙ O的切线。
【答案】：见解析
【解析】：如图，连接 OD、CD
∵BC 是O 的直径
∴∠BDC=90°，∴∠ADC=90°，∴△ADC 是直角三角形
∵点 E 是 AC 的中点
∴DE=AE=EC，∴∠EDC=∠ECD
∵DO=OC=r，∴∠ODC=∠DCO
∵AC 是O 的切线
∴∠OCA=90°，即∠DCO+∠DCE=90°
∴∠ODC+∠EDC=90°，即∠EDO=90°
∴DE 是O 的切线
（2）全等证直角
解题技巧：证全等得出角度关系，证明直角
例3.如图，在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AC相交于
点E。求证：BC是⊙D的切线；
【答案】：见解析
【解析】：如图，过点D作DH⊥BC交BC于点H
∵BD是∠ABC的角平分线
∴∠ABD=∠HBD
在△ABD与△HBD中
{
∠퐵퐴퐷 = ∠퐵퐻퐷 = 90°
∠퐴퐵퐷 = ∠퐻퐵퐷
퐵퐷 = 퐵퐷
∴△ABD≌△HBD
∴DH=AD=r
∴BC为⊙D的切线
例4.如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB、PC，PC交AB于点E，且PA＝PB。
求证：PB是⊙O的切线
【答案】：见解析
【解析】：如下图，连接OB，OP
∴OB=OA=r
在△AOP与△BOP中
{
퐴푂 = 퐵푂
푂푃 = 푂푃
퐴푃 = 퐵푃
∴△AOP≌△BOP
∵A是切点
∴∠OAP=90°=∠OBP
∴PB是⊙O的切线
（3）利用平行转化角
解题技巧：利用平行中的角度关系，转化角度，进而推导出直角。
例5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，AC＝AB，⊙O为△ABC的外接圆。求证：AD是⊙O
的切线
【答案】：见解析
【解析】：如下图，连接AO并延长，交CB于点M
∵⊙O为△ABC的外接圆
∴点O是三角形的内心，即垂直平分线的交点
∴AE是CB的垂直平分线，AM⊥CB
∵AD∥CB
∴AM⊥AD
∴AD是⊙O的切线
例 6.如图，已知在△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径作⊙O。交 BC 于点 D，交 AC 于点 E，过点 D 作
DF⊥AC 于点 F。证明：DF 是⊙ O的切线。
【答案】：见解析
【解析】：如题，连接 OD
∵OB=OD，AB=AC
∴∠ODB=∠B=∠C
∴OD∥AC
∵DF⊥AC，即∠AFD=90°
∴∠ODF=90°
∴DF 是O 的切线
（4）勾股定理的逆定理
解题技巧：已知三角形三边关系，利用勾股定理的逆定理，可以推导出直角。
例 7.如图，AB 是O 的直径，点 P 为 AB 延长线上一点，点 C 为O 上一点，PC=8，PB=4，AB=12。求
证：PC 是O 的切线。
【答案】：见解析
【解析】：如图，连接 OC
∵AB=12，∴r=6，∴AO=OB=OC=6
∵PB=4，∴PO=10
在三角形 OCP 中，OC=6，CP=8，OP=10 满足勾股定理的逆定理
∴∠OCP=90°
∴CP 是O 的切线
例 8.如图，点 P 是O 的直径 AB 的延长线上的一点，点 Q 是O 上一点，且满足푃푄2 = 푃퐴 ∙ 푃퐵，求证：
PQ 与O 相切。
【答案】：见解析
【解析】：如图，连接 QO
푃푄2 = 푃퐴 ∙ 푃퐵
=（PO+AO）∙ （푃푂 − 푂퐵）
=（PO+OQ）∙ （푃푂 − 푂푄）
=푃푂2 − 푂푄2
∴PQ、PO、OQ 三边长满足勾股定理的逆定理
∴∠OQP=90°
∴QP 是O 的切线
二、作垂线，证半径（无公共点）
解题技巧：不知直线与圆的交点，过圆心作直线的垂线，证明垂线段长度 d 等于半径 r 即可。
（1）利用角平分线的性质
解题技巧：角平分线上的点到两边的距离相等，利用这个性质，易于证明 d=r。
例 1.如图，△ABC 中，AB=AC，D 为 BC 的中点，以 D 为圆心的圆与 AB 相切于点 E，求证：AC 与O
相切
【答案】：见解析
【解析】：如图，连接 DE，过点 D 作 AC 的垂线角 AC 于点 F
∵AB=AC，D 是 BC 的中点
∴AD 是∠BAC 的角平分线
∵AB 是O 的切线
∴DE⊥AB
∵DF⊥AC
∴DF=DE
∴AC 是O 的切线
（2）利用全等
解题技巧：通过全等得出边之间的长度关系，推导出垂线段 d=r 证切线。
例 2.如图，同心圆 O，大圆的弦 AB=CD，且 AB 是小圆的切线，切点为 E，求证：CD 是小圆的切线。
【答案】：见解析
【解析】：如图，连接 OE，OA，OC，过点 O 作 CD 垂线交 CD 于点 F
设大圆半径为 R，小圆半径为 r
∵AB 是小圆的切线，∴∠OEA=90°，OE=r
根据垂径定理，AE=1
2 퐴퐵，CF=1
2 퐶퐷
∵AB=CD，∴AE=CF
∵AO=CO=R，∠OEA=∠OFC=90°
∴△OEA≌△OFA
∴OF=OE=r
∴CD 是小圆的切线
例 3.如图，四边形 ABCD 中，∠A=∠ABC=90°，AD+BC=CD，求证：以 AB 为直径的圆与 CD 相切。
【答案】：见解析
【解析】：如图，取 AB 的中点 O，则 AO=OB=r，连接 OD 并延长角 BC 反向延长线与点 E，过点 O 作 DC
的垂线交于点 F。
∵∠A=∠ABC=90°，∴∠A=∠ABE=90°
∵∠AOD=∠EOB，AO=OB=r
∴△AOD≌△BOE
∴EB=AD，∠E=∠ADO
∵AD+BC=DC
∴EC=DC
∴∠ODF=∠E=∠ADO
∵∠A=∠OFD=90°，OD=OD
∴△ADO≌△FDO
∴OF=OA=r
∴以 AB 为直径的圆与 CD 相切
（3）利用矩形性质
解题技巧：作垂线构造出矩形或证明四边形是矩形，利用矩形对边相等的性质推导出 d=r。
例 4.如图，点 O 为正方形 ABCD 的对角线 AC 上一点，以 O 为圆心，OA 为半径的O 与 BC 相切于 M
点，求证：CD 是O 的切线。
【答案】：见解析
【解析】：如图，连接 OM，过点 O 作 DC 的垂线，交 DC 于点 N
∵BC 是O 的切线，∴∠OMC=90°，OM=r
∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠MCN=90°
∵ON⊥DC，∴∠ONC=90°
∴四边形 OMCN 是矩形
∵四边形 ABCD 是正方形
∴∠MCO=45°，∴∠MOC=45°，∴OM=MC
∴矩形 OMCN 是正方形
∴ON=OM=r
∴CD 是O 的切线
例5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，⊙O分别与边AB，AD，DC相切，切点分别为E，G，
F，其中E为边AB的中点。求证：BC与⊙O相切。
【答案】：见解析
【解析】：连接OG，OE.作OH⊥BC交BC于H.
∵AB⊥BC，AD∥BC
∴∠A＝∠B＝90°
⊙O与AB相切于点E，O与AD相切于点G
∴∠OEA＝∠OGA＝90°，OE＝OG＝r
∴四边形OEAG是正方形
∴AE＝OG＝r
∵E为AB的中点
∴AE＝EB
∴EB＝OG＝r
∵∠B＝∠OEB＝∠OHB＝90°，OE＝EB＝r
∴四边形OEBH为正方形，
∴OH＝EB＝r
即BC与⊙O相切
方法 2 利用切线的性质求角度
解题技巧：已知切线，连接过切点的半径，构造出直角，再利用圆有关的性质转化角度求进而角。
一、直径所对圆周角是直角转化角
例 1.如图，△ABC 是O 的内接三角形，过点 A 的切线交 BC 的延长线与点 P，若∠B=34°，求∠CAP
的大小。
【答案】：34°
【解析】：如图，连接 AO 并延长，交O 于点 D，连接 DC
∵AP 是O 的切线
∴∠OAP=90°
∵AD 是直径，∴∠ACD=90°
∵∠B=34°，∴∠D=34°
∴∠DAC=56°
∴∠CAP=34°
例 2.如图，AB 是O 的直径，点 C 是O 外的一点，CB 与O 相切于点 B，AC 交O 于点 D，点 E 是
优弧퐵퐴퐷̂上的一点（不与 A，B，D 重合），若∠C=48°，求∠AED 的大小。
【答案】：48°或 132°
【解析】：如图，连接 DB，点 E 存在如图所示两种情况
∵CB 是O 的切线，∴∠ABC=90°
∵AB 是O 的直径，∴∠ADB=∠CDB=90°
∵∠C=48°，∴∠CBD=52°
∴∠DBA=48°
∵四边形 A퐸1퐷퐵是内接四边形
∴∠A퐸1D=180°－∠ABD=132°
∵四边形 A퐸1D퐸2是内接四边形
∴∠A퐸2퐷=180°－∠A퐸1D=48°
二、圆心角、圆周角的性质转化角
例 1.如图，BE 是O 的直径，点 A 和点 D 是O 上的两点，过点 A 作O 的切线交 BE 的延长线于点
C，若∠ADE=25°，求∠C。
【答案】：40°
【解析】：如图，连接 AO
∵AC 是O 的切线
∴∠OAC=90°
∵∠ADE=25°，∴∠AOE=50°
∴∠ACO=40°
例 2.如图，PA，PB 切O 于 A，B 两点，C 为优弧퐴퐶퐵̂上一点，已知∠BCA=50°，求∠APB 的大小。
【答案】：80°
【解析】：连接 OB、OA
∵PB、PA 是O 的切线
∴∠OBP=∠OAP=90°
∵∠BCA=50°
∴∠POA=100°
在四边形 BPAO 中，∠BPA=360°－100°－90°－90°=80°
三、内接四边形的性质转化角
例 1.如图，AB 是O 的直径，点 C 在O 上，过点 C 的切线与 BA 的延长线交于点 D，且∠D=40°，点
E 是퐴퐶퐵̂上的一点（不与点 A，C，B 重合），求∠BEC 的大小。
【答案】：115°或 65°
【解析】：连接 AC，OC，如下图，点 E 存在 2 处
∵DC 是O 的切线，∴∠OCD=90°
∵∠D=40°，∴∠COD=50°
∴∠COB=130°，∴∠CAB=65°
∵四边形 CAB퐸1是内接四边形，∴∠C퐸1퐵=180°－∠CAB=115°
∵四边形 C퐸2퐵퐸1是内接四边形，∴∠C퐸2퐵=180°－∠C퐸1퐵=65°
例 2.如图，点 C 是O 的直径 BA 的延长线上一点，CD 切O 于点 D，若∠DEB=110°，求∠C 的大小。
【答案】：50°
【解析】：如图，连接 AD、OD
∵CD 是O 的切线，∴∠CDO=90°
∵四边形 ADEB 是内接四边形，∠E=110°
∴∠DAO=70°
∵OA=OD=r
∴∠ADO=∠DAO=70°
∴∠CDA=20°
∴∠DCA=∠DAO－∠CDA=70°－20°=50°
四、特殊数量关系转化角
例 1.如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 O 为 BC 的延长线上的一点，经过 A，C，D 三点的O 恰好
与 AB 相切，求∠OCD 的大小。
【答案】：30°
【解析】：如图，连接 AO，∠CD 于点 E
∵AB 是O 的切线，∴∠BAO=90°
∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠AEC=∠CEO=90°，∠DCO=∠ADC
设∠DCO=x，则∠ADC=x
∴∠AOC=2x
在△CEO 中，∠ECO+∠COE+∠CEO=180°，即 x+2x+90°=180°
解得：x=30°
∴∠DCO=30°
例 2.如图，菱形 ABOC 的边 AB 与O 相切于点 D，若点 D 是 AB 的中点，求∠A 的大小。
【答案】：120°
【解析】：连接 AO，OD
∵AB 是O 的切线，∴OD⊥AB
∵点 D 是 AB 的中点，∴AD 是△OAB 的中线
∴OB=AO
∵四边形 ABOC 是菱形
∴AB=OB
∴△ABO 是正三角形，∴∠OAB=60°
∴∠BAC=120°
方法 3 利用切线的性质求线段长
一、连切点，构直角三角形
解题技巧：过圆心连接切点，构造直角三角形，运用勾股定理计算求线段长。
例 1.如图，BC 是O 的直径，AD 是O 的切线，切点为 D，AD 与 CB 的延长线交于点 A，∠C=30°，
AB=2，求 AD 的长。
【答案】：2√3
【解析】：连接 DO
∵AD 是O 的切线，∴∠ADO=90°
∵∠C=30°，OD=OC=r
∴∠ODC=∠C=30°
∴在△ADC 中，∠A=180°－∠ADC－∠C=180°－90°－30°－30°=30°
∴△AOD 是含有 30°的直角三角形
设半径为 r，则 DO=r，OB=r，OA=2r
又∵OA=AB+OB=2+r=2r
解得：r=2
∴OD=2，AO=4，AD=2√3
例 2.如图，在△ABC 中，AB=6，BC=3，AC=3√3，以 C 为圆心的圆与 AB 相切于点 D，求C 的半径。
【答案】：3
2 √3
【解析】：连接 AD
∵AB 是O 的切线，∴∠CDA=∠CDB=90°
∵AB=6，BC=3，AC=3√3，三边满足勾股定理的逆定理
∴∠ACB=90°，且∠A=30°，∠B=60°
∴在 Rt△BCD 中，∠CDB=90°，∠B=60°，∠DCB=30°，BC=3
∴DB=3
2
，DC=3
2 √3 = 푟
二、作垂线，构矩形
解题技巧：圆心连切点，可构造出一个直角，继续作垂线，又可构造出一个直角，从而构造出矩形。再利
用矩形对边相等等性质求解计算。
例 1.如图，AB 是O 的直径，ED 与O 相切于点 C，AD 交O 于点 F，若 AC 平分∠BAD，且 CD=4，
AF=2，求O 的半径。
【答案】：√17
【解析】：连接 OC，OD，过点 O 作 AD 的垂线交 AD 于点 H
∵CE 是O 的切线，∴∠OCD=90°
∵AC 是∠BAD 的角平分线，∴∠OAC=∠DAC
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA
∴∠OCA=∠CAD，∴OC∥AD
∴∠D=90°
∵OH⊥AD，∴四边形 OHDC 是矩形
∴OH=CD=4
∵OA=OF=r，∴△OAF 是等腰三角形
∵AF=2，∴AG=HF=1
∴在 Rt△OAG 中，根据勾股定理 OA=√17
例 2.如图，AB 为O 的直径，CE 与O 相切于 E，AC⊥CE 宇 C，AC 交O 于 M，若 AM=2CM=2，求
CE 的长。
【答案】：√3
【解析】：连接 OE，OM，过点 O 作 AC 的垂线交 AC 于点 N
∵CE 是O 的切线，∴∠OEC=90°
∵AC⊥CE，ON⊥AC
∴四边形 OECN 是矩形
∵OA=OM，ON⊥AM，AM=2
∴AN=NM=1
∵MC=1，∴NC=2=OE=r=OM
在 Rt△MON 中，MO=2，MN=1，∴NO=√3 = 퐶퐸
三、利用直径，构直角三角形
解题技巧：连直径所对圆周角，构造直角三角形，利用直角三角形勾股定理求边。
例 1.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点 D 是 AB 的中点，以 CD 为直径作O 分别
与 AC，BC 交于点 E，F，过点 F 的切线 FG 交 AB 于点 G，求 FG 的长。
【答案】：12
5
【解析】：如图，连接 OD，DF
∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB=10
∵点 D 是 AB 的中点，∴AD=DB=DC=5
∵CD 是直径，∴∠CFD=90°
∴DF 是等腰△CDB 的中线，点 F 是 CB 的中点
∵店 D 是 AB 的中点，∴DF 是△ABC 的中位线，DF=3
易知△FDG∽△BDF
∴퐹퐺
퐹퐷 = 퐹퐵
퐵퐷
解得：FG=12
5
例 2.如图，AB 是O 的直径，弦 CD 垂直平分半径 OA，AB=6，求 BC 的长。
【答案】：3√3
【解析】：如图，连接 AC，BC
∵AB=6，CE 垂直平分 OA
∴AE=EO=3
2
，OB=3=CO，∠CEO=90°
∴在 RT△CEO 中，∠ECO=30°，∠COE=60°
同理，∠ACE=30°，∠CAE=60°
∴△ACO 是正三角形
∴AC=AO=3
∵AB 是直径，∴∠ACB=90°
∴BC=3√3
四、利用特殊角，构特殊三角形
解题技巧：特殊三角形主要指：①45°、45°、90°三角形，三边之比为 1：1：√2；
②30°、60°、90°三角形，三边之比为：1：√3：2。
要对着两种三角形边之间的关系烂熟于心。
例 1.如图，点 C 是O 的直径 BC 的延长线上的一点，CA 与O 相切于点 A，连接 AB。若 AB=AC，
CD=2，求O 的半径。
【答案】：2
【解析】：如图，连接 AO
∵AB=AC，∴∠B=∠C
∵OA=OB=r，∴∠B=∠OAB
∵∠AOC=∠B+∠BAO，∴∠AOC=2∠B=2∠C
∵AC 是O 的切线，∴∠OAC=90°
∴∠AOC+∠C=90°，∴∠C=30°，∠AOC=60°
设O 的半径为 r，则 OA=OD=r
∵DC=2，∴OC=r+2
∵△AOC 是直角三角形，且∠C=30°，∴2AO=OC，即：2r=r+2
解得：r=2
方法 4 利用切线的性质证明
一、证角度关系
解题技巧：“遇切线，连过亲切点的半径”，利用圆的有关性质转化线段与角度之间的关系。
例 1.如图，PA，PB 分别切O 于 A，B 两点，过劣弧퐴퐵̂ 上的一点 C 作O 的切线分别交 PA，PB 于点
D，E，求证：∠DOE=90°－1
2
∠P
【答案】：见解析
【解析】：如图，连接 OA，OC，OB
∵AP、DC 是O 的切线，∴∠OAD=∠OCD=90°
又∵OD=OD，OA=OC
∴△ODA≌△ODC，∴∠AOD=∠COD
同理，∠COE=∠EOB
∴∠DOE=1
2
∠퐴푂퐵
∵在四边形 APBO 中，∠P+∠PBO+∠BOA+∠PAO=360°，∴∠P+∠AOB=180°
∴1
2
（∠P+∠AOB）=90°，1
2
∠P+∠DOE=90°
∴∠DOE=90°－1
2
∠P
例 2.如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，点 D 是 AC 的中点，过 A，B，D 三点作O，交 CB 的延长线于
点 E，过点 E 作O 的切线交 AC 的延长线于点 F，求证：∠CEF+2∠F=90°。
【答案】：见解析
【解析】：如图，连接 DE，AE
∵∠ABC=90°，∴∠ABE=90°
∴AE 是直径，AE 过圆心 O
∴∠ADE=90°
∵点 D 是 AC 的中点，∴△ACE 是等腰三角形，AE=ED，∠AED=∠DEC，∠EAD=∠DCE
∵EF 是O 的切线，∴∠FEO=90°
∴在△AEF 中，∠F+∠FAE=90°
∵在△AED 中，∠DEA+∠DAE=90°
∴∠DEA=∠F，∴2∠F=∠CEA
∵∠CEA+∠CEF=90°
∴∠CEF+2∠F=90°
二、证线段关系
解题技巧：在圆中证线段关系，主要是平行关系和垂直关系，实质上还是通过基础图形转化角度来实现。
例 1.如图，△ABC 内接于O，AB 为O 的直径，∠ACB 的平分线交O 于 D，过 D 作O 的切线交 CA
的延长线于 E。求证：DE∥AB。
【答案】：见解析
【解析】：如图，连接 OD，BD
∵ED 是O 的切线，∴∠ODE=90°
∵AB 是O 的直径，∴∠ACB=90°
∵CD 是∠ACB 的角平分线，∴∠ACD=∠DCB=45°
∴∠ABD=∠ACD=45°
∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBC=45°
∴∠BOD=90°
∴∠BOD=∠ODB=90°
∴AB∥ED
例 2.如图，△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 D，过 D 作O 的切线交 AC 于 E，求
证：DE⊥AC。
【答案】：见解析
【解析】：如图，连接 OD
∵ED 是O 的切线，∴∠EDO=90°
∵AC=AB，∴∠C=∠B
∵OD=OB=r，∴∠B=∠ODB
∵∠CDE+∠EDO+∠ODB=180°，∴∠CDE+∠EDO+∠C=180°
∴AC∥DO
方法 5 切线与勾股定理（方程思想）
解题技巧：连切线，构造直角。剩下内容，与上一章方法 4 相同，利用方程思想结合勾股定理解题。
一、单勾股
例 1.如图，△ABC 中，AB=AC，O 为 AB 上一点，以 O 为圆心，OB 为半径的O 与 AC 切于点 E，与
BC 交于点 D，过 D 作O 的切线交 AC 于点 F，O 的半径为 3，CF=1。求 DC，AB 的长。
【答案】：DC=√10，AB=8
【解析】：如图连接 OE，OD
∵AC，DF 是O 的切线，∴∠AEO=∠ODF=90°
∵AB=AC，∴∠B=∠C
∵OB=OD=r，∴∠B=∠ODB，∴∠C=∠ODB
∴OD∥EF，∴∠EOD=90°
∴四边形 OEFD 是矩形，∠EFD=90°
∵EF=3，∴OD=EF=3=OE=DF=r
∵FC=1，∴在 Rt△DFC 中，DC=√10
设 AE=x，则 AC=x+3+1=x+4
∵AB=AC，∴AO=x+4－r=x+1
在 Rt△AEO 中，푂퐸2 + 퐴퐸2 = 퐴푂2，即：32 + 푥2 = （푥 + 1）2
解得：x=4
∴AB=AC=x+4=8
例 2.如图，在O 中，AB 为直径，퐴퐶̂ = 퐵퐶̂ ，弦 CF 与 OB 交于点 E，过点 F，A 分别作O 的切线交于
点 H，且 HF 与 AB 的延长线交于点 D。若 OA=2OE=4，求 AH 的长。
【答案】：AH=12
【解析】：如图，连接 OC，OF
∵DH，AH 是O 的切线
∴∠OFD=∠OAH=90°，AH=FH
∵퐴퐶̂ = 퐵퐶̂ ，∴点 C 是퐵퐴̂ 的中点
∵AB 是直径，∴CO⊥AB
∵OC=OF=r，∴∠OCE=∠OFE
∵∠ECO+∠CEO=90°，∠DFE+∠EFO=90°，∠DEF=∠CEO
∴∠DEF=∠DFE，∴DE=DF
设 DF=x，则 DO=x+2，FO=4
∴在 Rt△DFO 中，푂퐹2 + 퐷퐹2 = 퐷푂2，即：42 + 푥2 = （푥 + 2）2
解得：x=3
设 FH=y，则 AH=y
在 Rt△DAH 中，퐷퐴2 + 퐴퐻2 = 퐷퐻2，即：92 + 푦2 = （3 + 푦）2
解得：y=12
∴AH=12
二、双勾股
例 1.如图，△ABC 中，∠C=90°，点 C 在 AC 上，以 OA 为半径的O 交 AB 于点 D，E 为 BC 上一点，
且 DE=BE，连接 OD。若 AC=3，BC=4，OA=1，求 DE。
【答案】：DE=19
8
【解析】：如图，连接 OE
∵DE=EB，∴∠EDB=∠B
∵OA=OD=r，∴∠A=∠ODA
∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°
∴∠ADO+∠EDB=90°，∴∠ODE=90°
设 EB=x，则 ED=x，CE=4－x
在 Rt△COE 中，푂퐸2 = 푂퐶2 + 퐶퐸2，即푂퐸2 = 22 + （4 − 푥）2
在 Rt△ODE 中，푂퐸2 = 푂퐷2 + 퐷퐸2，即푂퐸2 = 12 + 푥2
即：푂퐸2 = 22 + （4 − 푥）2
= 푂퐸2 = 12 + 푥2
解得：x=19
8
∴DE=19
8
例 2.如图，AB 是O 的直径，D 是O 上的一点，BC 为O 的切线（切点为 B）， OC∥AD，BA，CD 的
延长线交于点 E。若 EA=1，DA=2，DB=2ED，求O 的半径。
【答案】：√3 + 1
【解析】：如图，连接 OD，设 DB 与 OC 交于点 F
∵AB 是O 的直径，∴∠ADB=90°
∵OC∥AD，∴∠DFC=90°
∴根据垂径定理，DF=FB
∵FC=FC，∠DFC=∠CFB
∴△CFD≌△CFB
∴∠DCF=∠FCB，DC=CB
∵OD=OB
∴△COD≌△COB
∵CB 是O 的切线
∴∠CDO=∠CBO=90°
设 OA=x
在 Rt△OED 中，퐷퐸2 = 푂퐸2 − 퐷푂2，即퐷퐸2 = （푥 + 1）2
− 푥2
在 Rt△ADB 中，퐷퐵2 = 퐴퐵2 − 퐷퐴2，即퐷퐵2 = （2푥）2
− 22
∵DB=2DE，∴퐷퐵2 = 4퐷퐸2，即：（2푥）2
− 22 = 4[（푥 + 1）2
− 푥2]
解得：x=√3 + 1
方法 6 切割线图构矩形
解题技巧：如下图，AB 是O 的直径，CD 是O 的切线，AD⊥CD，AD 与O 交于点 E，连接 BE，连
接 OC 与 EB 交于点 G。过点 O 作 AD 的垂直线，交 AD 于点 F，过点 C 作 AB 的垂线，交 AB 于点 H。
则：
①OC∥AD（构造矩形 OFDC）；
②AC 平分∠BAD，퐶퐸̂ = 퐶퐵̂ （△COH≌△OAE）；
③OF=CD=EG=BG=CH，BH=DE=CG，OG=EF=AF=OH；
④AD+DE=AB， AE+AB=2AH=2AD；
以上几条结论主要通过构造矩形、构造全等，证垂直平分和全等，并结合圆的性质、勾股定理解决。
证明：∵AD⊥CD，DC 是O 的切线，作 OF⊥AD
∴∠FDC=∠DCO=∠OFD=90°
∴四边形 OFDC 是矩形（构造出矩形）
∴OC∥AD，OF=CD，∠FOC=90°，①得证；
∵∠FOA+∠FAO=90°，∠FOA+∠COB=90°
∴∠FAO=∠COH
∵∠AFO=∠CHO=90°，AO=OC=r
∴△COH≌△OAE
∴CH=OF=CD，∴AC 是∠BAD 的角平分线
∴∠EAC=∠CAB，∴CE=CB，퐶퐸̂ = 퐶퐵̂ ，②全部得证；
∵AB 是O 的直径，∴BE⊥AD
∴BE∥CD
∴四边形 EGCD 和四边形 EGOF 是矩形（构造出 2 个小矩形）
∴EG=OF=CD，OC⊥BE
∵EC=CB，∴CO 是 EB 的垂直平分线
∴EG=GB
∴OF=CD=EG=BG=CH
易证△COH≌△BOG，∴OH=OG
∴BH=CG=DE
∵OF⊥AE，且 OE=OA=r
∴OF 是 AE 的垂直平分线
∴AF=EF
∴OG=EF=AF=OH，③全部得证；
易证△ADC≌△AHC，∴AG=AD
∴AD+DE=AB，AE+AB=2AH=2AD，④全部得证。
例 1.如图，已知 AB 是O 的直径，CD 是O 的切线，切点为点 D，퐴퐷̂ = 퐷퐸̂ ，BE⊥CD 于点 C，若
CD=4，BE=6，求 BD 的长。
【答案】：4√5
【解析】：如下图，过点 D 作 AB 的垂线，交 AB 于点 F，过点 O 作 CB 的垂线，交 AB 于点 G，连接 OE
∵CD 是O 的切线，DC⊥BC，OG⊥BC
∴∠ODC=∠DCG=∠CGO=90°
∴四边形 CDOG 是矩形
∴OG=CD=4，∠DOG=90°
∵퐴퐷̂ = 퐷퐸̂
∴∠ABD=∠DCE，∴BD 是∠ABC 的角平分线
∵DF⊥AB，DC⊥BC
∴DF=DC=OG=4
∵∠DOF+∠ODF=90°，∠DOF+∠GOB=90°
∴∠DOF=∠GOB
∵OD=OB，∠DFO=∠OGB=90°
∴△FDO≌△GOB，∴DF=OG=4
∵OG⊥BE，OB=OE=r，BE=6
∴OG 是 BE 的垂直平分线，EG=GB=3
∴OF=3，∴OD=5=CG
∴CE=2，CB=2+3+3=8
∴在 Rt△DCB 中，BD=4√5
例 2.如图，AC 是O 的直径，CD 是O 的弦，点 B 在O 上，且퐵퐷̂ = 퐵퐴̂ ，BE⊥CD 于点 E。
（1）求证：BE 是O 的切线；
（2）若 AD=4，EC=1，求 BD 的长。
【答案】：（1）见解析
（2）BD=2√5
【解析】：（1）如下图，连接 BO 并延长，交 AD 于点 F，连接 AB，OD
∵퐵퐷̂ = 퐵퐴̂
∴AB=BD
∵OA=OD=r，OB=OB
∴△OBA≌△OBD
∴∠OBA=∠OBD
∵BA=BD
∴BO⊥AD，即 OF⊥AD
∵BE⊥CD，AC 是O 的直径
∴∠BFD=∠BED=∠EDF=90°
∴四边形 BEDF 是矩形
∴∠EBF=90°，BF=ED，BE=FD
∴BE 是O 的切线
（2）∵AD=4
∴根据垂径定理，AF=FD=2，∴BE=2
设 OF=x，则 CD=2x
∴ED=2x+1，∴BO=2x+1－x=x+1=AO
∴在 Rt△AOF 中，퐴퐹2 + 푂퐹2 = 퐴푂2，即22 + 푥2 = （푥 + 1）2
解得：x=3
2
∴CD=3，∴ED=4
在 Rt△BED 中，BD=2√5
方法 7 双切线图
解题技巧：图中有多条切线时，常考虑切线长定理，同时结合角度的转化和中位线定理进行推导，基础图
形如下：
如图，AC 是O 的直径，PA、PB 是O 的切线，交O 于点 A、B，PB 与 AC 的延长线交于点 D，有
如下结论：
①PA=PB，OP⊥AB，퐴퐹̂ = 퐵퐹̂ ，AE=BE，∠APO=∠BPO=∠CAB=∠CBD；
②OE∥BC 且 2OE=BC（OE 是△ABC 的中位线）；
证明：∵AP、BP 是O 的切线
∴根据切线长定理有如下结论
PA=PB，AP⊥AB，且 AE=BE，则퐴퐹̂ = 퐵퐹̂ ，∠APO=∠BPO
∵∠CAB+∠EAP=90°，∠EAP+∠APO=90°
∴∠CAB=∠APO
∵AC 是O 的直径
∴∠ABC=90°
∵∠CBD+∠ABP=90°，∠ABP+∠BPO=90°
∴∠APD=∠BPO=∠CAB=∠CBD，①全部得证
∵OE⊥AB，CB⊥AB，点 O 是 AC 的中点
∴OE 是△ABC 的中位线
∴OE∥BC 且 2OE=BC，②得证
例 1.如图，CA，CD 是是O 的切线，切点分别为 A，D，AB 是O 的直径，连接 AD。
（1）求证：∠C=2∠BAD；
（2）若 AC=8，AB=12，求 AD 的长。
【答案】：（1）见解析
（2）AD=48
5
【解析】：（1）如图，连接 CO 交 AD 于点 M
∵CA、CD 是O 的切线
∴根据切线长定理：∠CMA=90°，AM=MD，CA=CD，∠CAO=∠CDO=90°，∠ACO=∠DCO
∵∠DAO+∠CAD=90°，∠CAD+∠ACO=90°
∴∠DAO=∠ACO
∴∠ACD=2∠DAO
（2）易知△ACM∽△OCA
∵AB=12，∴AO=6
∵AC=8，∴CO=10
∴퐴푀
퐴퐶 = 퐴푂
푂퐶
，∴AM=24
5
∴AD=48
5
例 2.如图，在△ABC 中，AB=AC，点 M 为△ABC 的内心，点 O 在 AB 上，O 经过 B，M 两点。
（1）求证：AM 与O 相切；
（2）过点 A 作 AE 与O 相切于另一点 E，若 AB=10，BC=16，求 EM 的长。
【答案】：（1）见解析
（2）EM==16
3
【解析】：（1）如下图，连接 AM，BM，延长 AM 交 BC 于点 D
∵点 M 是△ABC 的内心
∴AM 是∠BAC 的角平分线
∵AB=AC
∴AD⊥BC
∵点 M 是△ABC 的内心
∴∠ABM=∠MAD
∵∠AOM=2∠ABM
∴∠AOM=∠ABC
∴OM∥BD
∴OM⊥AD
∴AM 是O 的切线
（2）如上图，连接 OE,EM 与 AO 的交点为点 F
根据切线长定理：EM⊥AO，且 EF=FM
∵点 M 是△ABC 的内心
∴DM=FM=FE=x
∵AB=10，∴AC=10
∵BC=16，∴BD=DC=8=BF
∴AD=6，AM=6－x，FA=10－8=2
在 Rt△AFM 中，퐴퐹2 + 퐹푀2 = 퐴푀2，即22 + 푥2 = 퐴푀2
∴22 + 푥2 = （6－x）2
解得：x=8
3
∴EM=16
3
三、典型题型
题型 1 点与圆的位置关系（d 与 r）
解题技巧：点的圆的位置关系，一般用 d 与 r 的大小来判定。判断位置关系，关键点就是求解出点与圆心的
距离，然后和 r 比较来判断位置关系。
例 1.如图，已知矩形 ABCD 的边 AB=3，BC=4。
（1）以点 A 为圆心，4 为半径作A，则点 B，C，D 与A 的位置关系如何？
（2）若以点 A 为圆心作A，是 B，C，D 三点中至少有一点在A 内，且至少有一点在A 外，求A
的半径 r 的取值范围。
【答案】：（1）B 在圆内，C 在圆外，D 在圆上；
（2）3＜r＜5
【解析】：（1）r=4
∵AB=3＜r，∴点 B 在圆内；
∵AC=5＞r，∴点 C 在圆外；
∵AD=4=r，∴点 D 在圆上
（2）∵AB=3，AD=4，AC=5
要使一点在圆内，则这点必定是点 B，即 r＞3
要使一点在圆外，则这点必定是点 C，即 r＜5
∴3＜r＜5
例 2.如图，坐标原点在O’上，点 O’的坐标为（1，1），试判断点 P（－1，1），点 Q（1，0），点 R（2，
2）与O’的位置关系。
【答案】：点 P 在圆外，点 Q 在圆内，点 R 在圆上
【解析】：r=OO’=√2
∵O’P=2＞r，∴点 P 在圆外；
∵O’Q=1＜r，∴点 Q 在圆内；
∵O’R=√2=r，∴点 R 在圆上
题型 2 直线与圆的位置关系（d 与 r）
解题技巧：直线和圆的位置有三种：相交、相切和相离，判断方法有两种：
方法一：根据直线与圆的交点个数判定：{
两个交点：相交
一个交点：相切
无交点：相离
方法二：根据直线和圆心距离d与半径r大小关系判定：{
d＜r，相交
d = r，相切
d＞r，相离
例1.圆的直径是13cm，如果圆心与直线上某一点的距离是6.5cm，那么该直线和圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
【答案】：D
【解析】：圆的直径为13cm，则半径为6.5cm，存在两种情况，如下图：
如图一，则直线与圆心的距离为6.5，则为相切关系
如图二，则直线与圆心的距离小于6.5，则为相交关系
综上得，答案为D
例2.已知⊙O的半径等于8cm，圆心O到直线l的距离为9cm，则直线l与⊙O的公共点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
【答案】：A
【解析】：∵圆心与直线距离d=9＞半径r=8
∴直线与圆的位置关系为相离
∴交点个数为0个，选A
题型 3 切线的性质与判定
解题技巧：切线的性质：切点与圆心的连线与切线垂直
切线的判定：①连接圆心与切点，证与切线垂直；②过圆心作垂线，证长度为 r
例 1.如图，AB 是O 的弦，AD 的延长线与过点 B 的O 的切线交于点 C，若∠A=20°，求∠C 的大小。
【答案】：50°
【解析】：如下图，连接 OB
∵OA=OB=r，∠A=20°
∴∠ABO=20°
∵BC 是O 的切线
∴∠OBC=90°
∴∠C=50°
例 2.如图，已知 AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，切点为 B，OC 平行于弦 AD，求证：DC 是O 的
切线。
【答案】：见解析
【解析】：如下图，连接 OD
∵AD∥OC
∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠DOC
∵AO=OD=r
∴∠DAO=∠COB=∠ADO=∠DOC
∵OD=OB=r，OC=OC
∴△ODC≌△OBC
∵BC 是O 的切线，∴∠OBC=90°
∴∠ODC=90°
∴DC 是O 的切线
题型 4 切线长定理
解题技巧：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹
角，且使得左右两边的图形完全对称。
例 1.如图，PA，PB，CD 切O 于点 A，B，E，若 AC=2，BD=3，PA=5，求 CD 的长和△PCD 的周长。
【答案】：CD=5，△PCD 的周长=10
【解析】：根据切线长定理，DE=DB，EC=AC
∴DE=3，EC=2，∴CD=5
∵△PCD 的周长=PC+PD+CD=PC+CE+PD+ED=PA+PB
又∵PA=5
∴△PCD 的周长=5+5=10
例 2.如图，CA，CB 是O 的切线，切点分别是 A，B，若果O 的半径为 2√3，AB=6，求∠ACB 的大
小。
【答案】：60°
【解析】：如下图，连接 OA，OB，连接 OC 与 AB 交于点 D
∵CA，CB 是O 的切线
∴根据切线长定理：AB⊥OC，且 AD=DB
∵半径为 2√3，即 OB=2√3
∵AB=6，∴BD=3
∴在 Rt△ODB 中，OB=2√3，BD=3，则 OD=√3
∴∠OBD=30°，∠BOD=60°
∴∠BCO=30°
∴∠ACB=60°
题型 5 三角形的内心和外心
解题方法：此类题型，需要抓住三角形内心和外心的特点。
①三角形内心：三角形内切圆圆心，即三角形角平分线的交点，内心到三边的距离相等
②三角形外心：三角形外接圆圆心，即三角形垂直平分线交点，外心到三顶点距离相等。
例 1.已知一个三角形的三边长分别为 5、7、8，则其内切圆的半径为（ ）
A.√3
2 B.3
2 C.√3 D.2√3
【答案】：C
【解析】：如图 1，设 AB=5，AC=7，BC=8，作 BC 的垂线 AD 交 BC 于点 D。如图 2，连接内切圆圆心与
三条切线的切点 OE，OF，OG
设 DC 长为 x，则 BD=（8－x）
在直角三角形 ABD 与直角三角形 ADC 中，满足：√퐴퐵2 − 퐵퐷2 = √퐴퐶2 − 퐶퐷2，即：
√52 − （8 − x）2
= √72 − 푥2
解得：x=11
2
在直角三角形 ADC 中，根据勾股定理，AD=√72 − （ 11
2
）2
=5√3
2
∴푆△퐴퐵퐶 = 1
2 × 8 × 5√3
2 =10√3
在图 2 中，设圆心 O 到三边的距离为 h
∵푆△퐴퐵퐶 = 푆△퐴퐵푂 + 푆△퐴푂퐶 + 푆△푂퐵퐶
∴10√3 = 1
2 × 5 × ℎ + 1
2 × 7 × ℎ + 1
2 × 8 × ℎ
化简得：10√3 = 10ℎ
解得：h=√3
例 2.如图，△ABC 内接与⊙O，AB=AC，CO 的延长线交 AB 于点 D
求证：AO 平分∠BAC；
【答案】：见解析
【解析】：∵⊙O 是△ABC 的外接圆
∴点 O 是△ABC 角平分线的交点
∴AO 平分∠BAC
例3.如图，△ABC的内切圆与三边分别相切于点D、E、F
则下列等式：①∠EDF＝∠B；②2∠EDF＝∠A＋∠C；③2∠A＝∠FED＋∠EDF ；④∠AED＋∠BFE＋
∠CDF＝180°，其中成立的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】：B
【解析】：如下图，连接OE，OF，OD，OA，OB，OC
∵圆 O 是三角形 ABC 的内切圆
∴OE⊥AB，OF⊥BC，OD⊥AC
∴∠BEO=∠OFB=90°
∴在四边形 BEOF 中∠B+∠EOF=180°
∵2∠EDF=∠EOF
∴∠B+2∠EDF=180°
∵∠A+∠C+∠B=180°
∴∠A+∠C=2∠EDF
∴②正确
同理，①、③错误
在△AOE 与△AOD 中
{
∠퐴퐸푂 = ∠퐴퐷푂 = 90°
퐸푂 = 푂퐷
퐴푂 = 퐴푂
∴△AED≌△ADO
∴AE=AD
同理，BE=BF，DC=FC
∵∠AED+∠ADE+∠BAC=∠FDC+∠DFC+∠FCD=∠EFB+∠FEB+∠EBF=180°
∴∠AED+∠ADE+∠FDC+∠DFC+∠EFB+∠FEB=180°×3－（∠BAC+∠FCD+∠EBF）
∴2（∠AED＋∠BFE＋∠CDF）=360°
∠AED＋∠BFE＋∠CDF=180°
∴④正确
