2020-2021学年新初三数学上册知识点讲解 点和圆、直线和圆的位置关系

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2020-2021学年新初三数学上册知识点讲解 点和圆、直线和圆的位置关系

2020-2021 学年新初三数学上册知识点讲解 点和圆、直线和圆的位置关系 专题 06 点和圆、直线和圆的位置关系专题详解 .........................................................................................................1 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 ..............................................................................................................................2 知识框架 .............................................................................................................................................................................2 一、基础知识点 ...............................................................................................................................................................3 知识点 1 圆的确定 .............................................................................................................................................................. 3 知识点 2 点和圆的位置关系 ........................................................................................................................................... 3 知识点 3 三角形的外接圆 ................................................................................................................................................ 4 知识点 4 反证法................................................................................................................................................................... 4 知识点 5 直线与圆的位置关系 ....................................................................................................................................... 5 知识点 6 切线的判定与性质 ........................................................................................................................................... 6 知识点 7 切线长定理 ......................................................................................................................................................... 7 知识点 8 三角形内切圆 ..................................................................................................................................................... 8 二、方法与思路 ............................................................................................................................................................ 11 方法 1 切线的证明技巧 ................................................................................................................................................... 11 方法 2 利用切线的性质求角度 ..................................................................................................................................... 19 方法 3 利用切线的性质求线段长 ................................................................................................................................ 23 方法 4 利用切线的性质证明 ......................................................................................................................................... 28 方法 5 切线与勾股定理(方程思想) ....................................................................................................................... 30 方法 6 切割线图构矩形 ................................................................................................................................................... 33 方法 7 双切线图................................................................................................................................................................. 36 三、典型题型 ................................................................................................................................................................. 39 题型 1 点与圆的位置关系(d 与 r) .......................................................................................................................... 39 题型 2 直线与圆的位置关系(d 与 r) ..................................................................................................................... 40 题型 3 切线的性质与判定 .............................................................................................................................................. 40 题型 4 切线长定理 ............................................................................................................................................................ 41 题型 5 三角形的内心和外心 ......................................................................................................................................... 42 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 知识框架 { 基础知识点 { 圆的确定 点和圆的位置关系 三角形的外接圆 反证法 直线与圆的位置关系 切线的判定与性质 切线长定理 三角形内切圆 圆与圆的位置关系 方法与思路 { 切线的证明技巧 { 连半径,证垂直(有公共点) { 角度转换 全等证直角 利用平行转化角 勾股定理逆定理 作垂直,证半径(无公共点) { 利用角平分线的性质 利用全等 利用矩形性质 利用切线的性质求角度 { 直径所对圆周角是直角转化角 圆心角、圆周角的性质转化角 内接四边形的性质转化角 特殊数量关系转化角 利用切线的性质求线段长 { 连切点,构直角三角形 作垂线,构矩形 利用直径,构直角三角形 利用特殊角,构特殊三角形 利用切线的性质证明 { 证角度关系 证线段关系 切线与勾股定理(方程思想) { 单勾股 双勾股 切割线图构矩形 双切线图 典型题型 { 点与圆的位置关系(d 与 r) 直线与圆的位置关系(d 与 r) 切线的性质与判定 切线长定理 三角形的内心和外心 一、基础知识点 知识点 1 圆的确定 1)经过一个已知点 A 可画无数个圆。 2)经过已知两点 A,B 作圆,可画无数个,它们的圆心在线段 AB 的垂直平分线上 3)经过同一直线上三个点 A、B、C 的圆是不存在的。 4)经过不再同一直线上的三个点 A、B、C 可画一个圆,而且只能作一个圆。 例 1.过一点可以作 个圆,过两点可以作 个圆,过三点可以作 个圆。 【答案】:无数;无数;1 个或 0 个 【解析】:经过 1 点,可以画无数个圆; 经过 2 点,可以画无数个圆,圆心在两点连线的垂直平分线上; 经过不在同一直线上的 3 点可以画 1 个圆;经过在同一直线上的 3 点,圆不存在 例 2.已知 A、B、C 是平面内三点,AB=3,BC=3,AC=6,下列说法正确的是( ) A.可以画一个圆,使 A、B、C 都在圆上 B.可以画一个圆,使 A、B 在圆上,C 在圆外 C.可以画一个圆,使 A、C 在圆上,B 在圆外 D.可以画一个圆,使 B、C 在圆上,A 在圆内 BC 【答案】:B 【解析】:∵AB=3,BC=3,AC=6 ∴A、B、C 三点在同一条直线上,具体位置关系如下图所示: A.错误,三点在同一条直线上,不可能画圆; B.正确,使 A、B 在圆上,则圆心在 AB 的垂直平分线上,点 C 在圆外; C.错误,使 A、C 在圆上,则圆心在 AC 的垂直平分线上,点 B 在圆内; D.错误,使 B、C 在圆上,则圆心在 BC 的垂直平分线上,点 A 在圆外。 知识点 2 点和圆的位置关系 1)点和圆的位置关系有 3 种:圆外、圆上、圆内 2)设O 的半径为 r,点 P 到圆心的距离 OP=d,则: P 在圆外⟺d>r P 在圆上⟺d=r P 在圆内⟺d0,则 ax>bx 用反证法,假设 a>0,则 axr⟺无交点 例 1.已知,圆的直径为 13cm,直线到圆心的距离为 d,当 d=8cm 时,直线与圆 ,当 d=6.5cm 时, 直线与圆 ,当 d 小于 6.5cm 时,直线与圆 。 【答案】:相离;相切;相交 【解析】:∵圆的直径为 13cm ∴圆的半径 r=6.5cm 当距离 d>r 时,相离;当 d=r 时,相切;当 d<r 时,相交 例 2.已知O 的直径为 10cm,如果圆心 O 到直线푙的距离为 4cm,求直线푙与O 有几个交点? 【答案】:2 个 【解析】:∵O 的直径为 10cm ∴O 的半径 r=5cm ∵d=4cm,d<r ∴直线与O 相交 ∴有 2 个交点 知识点 6 切线的判定与性质 1)切线的性质:圆的切线垂直于过切点的半径 2)证圆的切线有两种方法: ①连半径,证垂直,即已知半径,证明直线与这条半径垂直 ②作垂线,证半径,即作出圆心到直线的垂线,证明垂线段长等于半径 注:已知圆的切线时,作过切点的半径是常用的辅助线,因为圆的切线垂直于过切点的半径。 例 1.如图,AB 是O 的直径,BC 是O 的弦,D 为 BA 延长线上一点,∠B=25°,当∠D 等于多少度时, CD 与O 相切。 【答案】:40° 【解析】:如下图,连接 CO ∵CD 与O 相切 ∴CD⊥CO,∠DCO=90° ∵∠B=25°,OB=OC=r ∴∠OCB=∠B=25° ∴∠D=180°-90°-25°-25°=40° 例 2.已知 AB 是O 的直径,BC 是O 的切线,切点为 B,OC 平行于弦 AD,求证:DC 是O 的切线。 【答案】:见解析 【解析】:如图,连接 OD ∵CB 是O 的切线 ∴∠CBO=90° ∵AD∥CO ∴∠DAO=∠COB,∠ADO=∠DOC ∵AO=OD=r ∴∠OAD=∠ODA ∴∠DAO=∠COB=∠ADO=∠DOC ∵CO=CO,OD=OB=r ∴△COD≌△COB ∴∠CDO=∠CBO=90° ∴DC 是O 的切线 知识点 7 切线长定理 1)经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段叫作这点到圆的切线长。 2)从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 如上图,若 PA、PB 是O 的切线,点 A、B 为切点,则: ①PA=PB;②∠APO=∠BPO;③PO 是 AB 的垂直平分线 例 1.如图,PA,PB 分别切O 于 A、B 两点,直线 OP 交O 于 D、E 两点,交 AB 于点 C。若∠APB=50°, 求∠OAC 的度数。 【答案】:25° 【解析】:∵PA、PB 是O 的切线,∠APB=50° ∴∠APO=∠BPO=25°,∠OAP=90°,∠OCA=90° ∴∠AOC=65° ∴∠OAC=25° 例 2.如图,PA 和 PB 是O 的切线,点 A 和点 B 是切点,AC 是O 的直径,已知∠P=40°,求∠ACB 的大 小。 【答案】:70° 【解析】:如图,连接 OP,OB ∵PA、PB 是O 的切线,∠APB=40° ∴∠APO=∠BPO=20°,∠OAP=∠OBP=90° ∴∠AOP=∠BOP=70° ∴∠COB=40° ∵OC=OB=r ∴∠OCB=∠OBC ∴∠OCB=70° 知识点 8 三角形内切圆 1)与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫作 三角形的内心。 2)内心特点:内心到三角形三边的距离相等 3)三角形四心: ①外心:三角形外接圆的圆心,三边垂直平分线的交点。 ②内心:三角形内切圆的圆心,三内角角平分线的交点。 ③重心:三条中线的交点。 ④垂心:三条高的交点。 例 1.如图,O 为 Rt△ABC 的内切圆,切点为 D,E,F,半径为 r,∠C=90°,AB,BC,AC 的长分别 为 c,a,b,求 r。 【答案】:푎+푏−푐 2 【解析】:如图,连接 OD,OF ∵点 D、F 是内切圆与△ABC 的切点 ∴OD⊥CB,OF⊥AC,AE=AF,CF=CD,BD=BE ∴四边形 OFCD 为正方形 ∴CF=CD=r ∴AE=AF=b-r,BE=BD=a-r ∵AE+BE =AB =c ∴b-r+a-r=c ∴r=푎+푏−푐 2 例 2.如图,在△ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4,I 为△ABC 的内心,IE⊥AB 于 E,求 IE,AE,BI 的长度。 【答案】:IE=1,AE=2,BI=√10 【解析】:如图,连接 AI,CI,过点 I 作 BC 的垂线,交 BC 于点 N,过点 I 作 AC 的垂线,交 AC 于点 M ∵点 I 是△ABC 的内心 ∴点 I 到△ABC 的三边距离相等,即 IE=IN=IM,设 IE=h ∵∠C=90°,AC=3,BC=4 ∴AB=5,푆△퐴퐵퐶 = 1 2 ∙ 3 ∙ 4 = 6 又∵푆△퐴퐵퐶 = 푆△퐴퐵퐼 + 푆△퐴퐶퐼 + 푆△퐵퐶퐼 ∴6=1 2 ∙ 5 ∙ h + 1 2 ∙ 3 ∙ h + 1 2 ∙ 4 ∙ h,解得:h=1 ∵IM=IN,∠ACB=∠IMC=∠INC=90° ∴四边形 IMCN 为正方形 ∴MC=NC=IM=1 ∴AE=AM=2,NB=3 在 Rt△INB 中,根据勾股定理,IB=√10 二、方法与思路 方法 1 切线的证明技巧 一、连半径,证垂直(有公共点) 解题技巧:已知直线与圆的公共点,连接关于该点的半径,只需证这个半径垂直于直线即可证明为切线。 (1)角度转换 解题技巧:利用圆和几何中的性质,进行角度转化,最终证明出半径与直线的夹角为直角。 例 1.如图,已知O 是△ABC 的外接圆,且 AB=BC=CD,AB∥CD,连接 BD。证:BD 是O 的切线。 【答案】:见解析 【解析】:如图,连接 OB ∵AB=BC=CD ∴∠A=∠ACB,∠CBD=∠D ∵AB∥CD ∴∠ABC=∠BCD ∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°,∠CBD+∠D+∠BCD=190° ∴∠A+∠ACB=∠CBD+∠D ∴∠A=∠ACB=∠CBD=∠D 以下步骤证明 BO 平分∠ABC(根据 24.1 中的方法 6,是可以直接得出等腰三角形 BAC 中,BO 是三线合一 的,即 BO 是∠ABC 的平分线),此题我们用全等再次证明,连接 OA,OC ∵OA=OC=r,OB=OB,AB=BC ∴△AOB≌△COB,∴∠ABO=∠CBO 证明结束,继续本体证明 ∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°,∴∠A+∠OBC=90°,∴∠CBD+∠OBC=90°,即∠OBD=90° ∴BD 是O 的切线 例 2.如图,已知 BC 是⊙ O的直径,AC 切⊙ O于点 C,AB 交⊙ O于点 D,点 E 为 AC 中点,连接 DE。 求证:ED 是⊙ O的切线。 【答案】:见解析 【解析】:如图,连接 OD、CD ∵BC 是O 的直径 ∴∠BDC=90°,∴∠ADC=90°,∴△ADC 是直角三角形 ∵点 E 是 AC 的中点 ∴DE=AE=EC,∴∠EDC=∠ECD ∵DO=OC=r,∴∠ODC=∠DCO ∵AC 是O 的切线 ∴∠OCA=90°,即∠DCO+∠DCE=90° ∴∠ODC+∠EDC=90°,即∠EDO=90° ∴DE 是O 的切线 (2)全等证直角 解题技巧:证全等得出角度关系,证明直角 例3.如图,在Rt△ABC 中,∠BAC=90°,BD是角平分线,以点D为圆心,DA为半径的⊙D与AC相交于 点E。求证:BC是⊙D的切线; 【答案】:见解析 【解析】:如图,过点D作DH⊥BC交BC于点H ∵BD是∠ABC的角平分线 ∴∠ABD=∠HBD 在△ABD与△HBD中 { ∠퐵퐴퐷 = ∠퐵퐻퐷 = 90° ∠퐴퐵퐷 = ∠퐻퐵퐷 퐵퐷 = 퐵퐷 ∴△ABD≌△HBD ∴DH=AD=r ∴BC为⊙D的切线 例4.如图,PA是⊙O的切线,A是切点,AC是直径,AB是弦,连接PB、PC,PC交AB于点E,且PA=PB。 求证:PB是⊙O的切线 【答案】:见解析 【解析】:如下图,连接OB,OP ∴OB=OA=r 在△AOP与△BOP中 { 퐴푂 = 퐵푂 푂푃 = 푂푃 퐴푃 = 퐵푃 ∴△AOP≌△BOP ∵A是切点 ∴∠OAP=90°=∠OBP ∴PB是⊙O的切线 (3)利用平行转化角 解题技巧:利用平行中的角度关系,转化角度,进而推导出直角。 例5.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD⊥CD,AC=AB,⊙O为△ABC的外接圆。求证:AD是⊙O 的切线 【答案】:见解析 【解析】:如下图,连接AO并延长,交CB于点M ∵⊙O为△ABC的外接圆 ∴点O是三角形的内心,即垂直平分线的交点 ∴AE是CB的垂直平分线,AM⊥CB ∵AD∥CB ∴AM⊥AD ∴AD是⊙O的切线 例 6.如图,已知在△ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径作⊙O。交 BC 于点 D,交 AC 于点 E,过点 D 作 DF⊥AC 于点 F。证明:DF 是⊙ O的切线。 【答案】:见解析 【解析】:如题,连接 OD ∵OB=OD,AB=AC ∴∠ODB=∠B=∠C ∴OD∥AC ∵DF⊥AC,即∠AFD=90° ∴∠ODF=90° ∴DF 是O 的切线 (4)勾股定理的逆定理 解题技巧:已知三角形三边关系,利用勾股定理的逆定理,可以推导出直角。 例 7.如图,AB 是O 的直径,点 P 为 AB 延长线上一点,点 C 为O 上一点,PC=8,PB=4,AB=12。求 证:PC 是O 的切线。 【答案】:见解析 【解析】:如图,连接 OC ∵AB=12,∴r=6,∴AO=OB=OC=6 ∵PB=4,∴PO=10 在三角形 OCP 中,OC=6,CP=8,OP=10 满足勾股定理的逆定理 ∴∠OCP=90° ∴CP 是O 的切线 例 8.如图,点 P 是O 的直径 AB 的延长线上的一点,点 Q 是O 上一点,且满足푃푄2 = 푃퐴 ∙ 푃퐵,求证: PQ 与O 相切。 【答案】:见解析 【解析】:如图,连接 QO 푃푄2 = 푃퐴 ∙ 푃퐵 =(PO+AO)∙ (푃푂 − 푂퐵) =(PO+OQ)∙ (푃푂 − 푂푄) =푃푂2 − 푂푄2 ∴PQ、PO、OQ 三边长满足勾股定理的逆定理 ∴∠OQP=90° ∴QP 是O 的切线 二、作垂线,证半径(无公共点) 解题技巧:不知直线与圆的交点,过圆心作直线的垂线,证明垂线段长度 d 等于半径 r 即可。 (1)利用角平分线的性质 解题技巧:角平分线上的点到两边的距离相等,利用这个性质,易于证明 d=r。 例 1.如图,△ABC 中,AB=AC,D 为 BC 的中点,以 D 为圆心的圆与 AB 相切于点 E,求证:AC 与O 相切 【答案】:见解析 【解析】:如图,连接 DE,过点 D 作 AC 的垂线角 AC 于点 F ∵AB=AC,D 是 BC 的中点 ∴AD 是∠BAC 的角平分线 ∵AB 是O 的切线 ∴DE⊥AB ∵DF⊥AC ∴DF=DE ∴AC 是O 的切线 (2)利用全等 解题技巧:通过全等得出边之间的长度关系,推导出垂线段 d=r 证切线。 例 2.如图,同心圆 O,大圆的弦 AB=CD,且 AB 是小圆的切线,切点为 E,求证:CD 是小圆的切线。 【答案】:见解析 【解析】:如图,连接 OE,OA,OC,过点 O 作 CD 垂线交 CD 于点 F 设大圆半径为 R,小圆半径为 r ∵AB 是小圆的切线,∴∠OEA=90°,OE=r 根据垂径定理,AE=1 2 퐴퐵,CF=1 2 퐶퐷 ∵AB=CD,∴AE=CF ∵AO=CO=R,∠OEA=∠OFC=90° ∴△OEA≌△OFA ∴OF=OE=r ∴CD 是小圆的切线 例 3.如图,四边形 ABCD 中,∠A=∠ABC=90°,AD+BC=CD,求证:以 AB 为直径的圆与 CD 相切。 【答案】:见解析 【解析】:如图,取 AB 的中点 O,则 AO=OB=r,连接 OD 并延长角 BC 反向延长线与点 E,过点 O 作 DC 的垂线交于点 F。 ∵∠A=∠ABC=90°,∴∠A=∠ABE=90° ∵∠AOD=∠EOB,AO=OB=r ∴△AOD≌△BOE ∴EB=AD,∠E=∠ADO ∵AD+BC=DC ∴EC=DC ∴∠ODF=∠E=∠ADO ∵∠A=∠OFD=90°,OD=OD ∴△ADO≌△FDO ∴OF=OA=r ∴以 AB 为直径的圆与 CD 相切 (3)利用矩形性质 解题技巧:作垂线构造出矩形或证明四边形是矩形,利用矩形对边相等的性质推导出 d=r。 例 4.如图,点 O 为正方形 ABCD 的对角线 AC 上一点,以 O 为圆心,OA 为半径的O 与 BC 相切于 M 点,求证:CD 是O 的切线。 【答案】:见解析 【解析】:如图,连接 OM,过点 O 作 DC 的垂线,交 DC 于点 N ∵BC 是O 的切线,∴∠OMC=90°,OM=r ∵四边形 ABCD 是矩形,∴∠MCN=90° ∵ON⊥DC,∴∠ONC=90° ∴四边形 OMCN 是矩形 ∵四边形 ABCD 是正方形 ∴∠MCO=45°,∴∠MOC=45°,∴OM=MC ∴矩形 OMCN 是正方形 ∴ON=OM=r ∴CD 是O 的切线 例5.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,⊙O分别与边AB,AD,DC相切,切点分别为E,G, F,其中E为边AB的中点。求证:BC与⊙O相切。 【答案】:见解析 【解析】:连接OG,OE.作OH⊥BC交BC于H. ∵AB⊥BC,AD∥BC ∴∠A=∠B=90° ⊙O与AB相切于点E,O与AD相切于点G ∴∠OEA=∠OGA=90°,OE=OG=r ∴四边形OEAG是正方形 ∴AE=OG=r ∵E为AB的中点 ∴AE=EB ∴EB=OG=r ∵∠B=∠OEB=∠OHB=90°,OE=EB=r ∴四边形OEBH为正方形, ∴OH=EB=r 即BC与⊙O相切 方法 2 利用切线的性质求角度 解题技巧:已知切线,连接过切点的半径,构造出直角,再利用圆有关的性质转化角度求进而角。 一、直径所对圆周角是直角转化角 例 1.如图,△ABC 是O 的内接三角形,过点 A 的切线交 BC 的延长线与点 P,若∠B=34°,求∠CAP 的大小。 【答案】:34° 【解析】:如图,连接 AO 并延长,交O 于点 D,连接 DC ∵AP 是O 的切线 ∴∠OAP=90° ∵AD 是直径,∴∠ACD=90° ∵∠B=34°,∴∠D=34° ∴∠DAC=56° ∴∠CAP=34° 例 2.如图,AB 是O 的直径,点 C 是O 外的一点,CB 与O 相切于点 B,AC 交O 于点 D,点 E 是 优弧퐵퐴퐷̂上的一点(不与 A,B,D 重合),若∠C=48°,求∠AED 的大小。 【答案】:48°或 132° 【解析】:如图,连接 DB,点 E 存在如图所示两种情况 ∵CB 是O 的切线,∴∠ABC=90° ∵AB 是O 的直径,∴∠ADB=∠CDB=90° ∵∠C=48°,∴∠CBD=52° ∴∠DBA=48° ∵四边形 A퐸1퐷퐵是内接四边形 ∴∠A퐸1D=180°-∠ABD=132° ∵四边形 A퐸1D퐸2是内接四边形 ∴∠A퐸2퐷=180°-∠A퐸1D=48° 二、圆心角、圆周角的性质转化角 例 1.如图,BE 是O 的直径,点 A 和点 D 是O 上的两点,过点 A 作O 的切线交 BE 的延长线于点 C,若∠ADE=25°,求∠C。 【答案】:40° 【解析】:如图,连接 AO ∵AC 是O 的切线 ∴∠OAC=90° ∵∠ADE=25°,∴∠AOE=50° ∴∠ACO=40° 例 2.如图,PA,PB 切O 于 A,B 两点,C 为优弧퐴퐶퐵̂上一点,已知∠BCA=50°,求∠APB 的大小。 【答案】:80° 【解析】:连接 OB、OA ∵PB、PA 是O 的切线 ∴∠OBP=∠OAP=90° ∵∠BCA=50° ∴∠POA=100° 在四边形 BPAO 中,∠BPA=360°-100°-90°-90°=80° 三、内接四边形的性质转化角 例 1.如图,AB 是O 的直径,点 C 在O 上,过点 C 的切线与 BA 的延长线交于点 D,且∠D=40°,点 E 是퐴퐶퐵̂上的一点(不与点 A,C,B 重合),求∠BEC 的大小。 【答案】:115°或 65° 【解析】:连接 AC,OC,如下图,点 E 存在 2 处 ∵DC 是O 的切线,∴∠OCD=90° ∵∠D=40°,∴∠COD=50° ∴∠COB=130°,∴∠CAB=65° ∵四边形 CAB퐸1是内接四边形,∴∠C퐸1퐵=180°-∠CAB=115° ∵四边形 C퐸2퐵퐸1是内接四边形,∴∠C퐸2퐵=180°-∠C퐸1퐵=65° 例 2.如图,点 C 是O 的直径 BA 的延长线上一点,CD 切O 于点 D,若∠DEB=110°,求∠C 的大小。 【答案】:50° 【解析】:如图,连接 AD、OD ∵CD 是O 的切线,∴∠CDO=90° ∵四边形 ADEB 是内接四边形,∠E=110° ∴∠DAO=70° ∵OA=OD=r ∴∠ADO=∠DAO=70° ∴∠CDA=20° ∴∠DCA=∠DAO-∠CDA=70°-20°=50° 四、特殊数量关系转化角 例 1.如图,四边形 ABCD 是平行四边形,点 O 为 BC 的延长线上的一点,经过 A,C,D 三点的O 恰好 与 AB 相切,求∠OCD 的大小。 【答案】:30° 【解析】:如图,连接 AO,∠CD 于点 E ∵AB 是O 的切线,∴∠BAO=90° ∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AB∥CD,AD∥BC,∴∠AEC=∠CEO=90°,∠DCO=∠ADC 设∠DCO=x,则∠ADC=x ∴∠AOC=2x 在△CEO 中,∠ECO+∠COE+∠CEO=180°,即 x+2x+90°=180° 解得:x=30° ∴∠DCO=30° 例 2.如图,菱形 ABOC 的边 AB 与O 相切于点 D,若点 D 是 AB 的中点,求∠A 的大小。 【答案】:120° 【解析】:连接 AO,OD ∵AB 是O 的切线,∴OD⊥AB ∵点 D 是 AB 的中点,∴AD 是△OAB 的中线 ∴OB=AO ∵四边形 ABOC 是菱形 ∴AB=OB ∴△ABO 是正三角形,∴∠OAB=60° ∴∠BAC=120° 方法 3 利用切线的性质求线段长 一、连切点,构直角三角形 解题技巧:过圆心连接切点,构造直角三角形,运用勾股定理计算求线段长。 例 1.如图,BC 是O 的直径,AD 是O 的切线,切点为 D,AD 与 CB 的延长线交于点 A,∠C=30°, AB=2,求 AD 的长。 【答案】:2√3 【解析】:连接 DO ∵AD 是O 的切线,∴∠ADO=90° ∵∠C=30°,OD=OC=r ∴∠ODC=∠C=30° ∴在△ADC 中,∠A=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-30°-30°=30° ∴△AOD 是含有 30°的直角三角形 设半径为 r,则 DO=r,OB=r,OA=2r 又∵OA=AB+OB=2+r=2r 解得:r=2 ∴OD=2,AO=4,AD=2√3 例 2.如图,在△ABC 中,AB=6,BC=3,AC=3√3,以 C 为圆心的圆与 AB 相切于点 D,求C 的半径。 【答案】:3 2 √3 【解析】:连接 AD ∵AB 是O 的切线,∴∠CDA=∠CDB=90° ∵AB=6,BC=3,AC=3√3,三边满足勾股定理的逆定理 ∴∠ACB=90°,且∠A=30°,∠B=60° ∴在 Rt△BCD 中,∠CDB=90°,∠B=60°,∠DCB=30°,BC=3 ∴DB=3 2 ,DC=3 2 √3 = 푟 二、作垂线,构矩形 解题技巧:圆心连切点,可构造出一个直角,继续作垂线,又可构造出一个直角,从而构造出矩形。再利 用矩形对边相等等性质求解计算。 例 1.如图,AB 是O 的直径,ED 与O 相切于点 C,AD 交O 于点 F,若 AC 平分∠BAD,且 CD=4, AF=2,求O 的半径。 【答案】:√17 【解析】:连接 OC,OD,过点 O 作 AD 的垂线交 AD 于点 H ∵CE 是O 的切线,∴∠OCD=90° ∵AC 是∠BAD 的角平分线,∴∠OAC=∠DAC ∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA ∴∠OCA=∠CAD,∴OC∥AD ∴∠D=90° ∵OH⊥AD,∴四边形 OHDC 是矩形 ∴OH=CD=4 ∵OA=OF=r,∴△OAF 是等腰三角形 ∵AF=2,∴AG=HF=1 ∴在 Rt△OAG 中,根据勾股定理 OA=√17 例 2.如图,AB 为O 的直径,CE 与O 相切于 E,AC⊥CE 宇 C,AC 交O 于 M,若 AM=2CM=2,求 CE 的长。 【答案】:√3 【解析】:连接 OE,OM,过点 O 作 AC 的垂线交 AC 于点 N ∵CE 是O 的切线,∴∠OEC=90° ∵AC⊥CE,ON⊥AC ∴四边形 OECN 是矩形 ∵OA=OM,ON⊥AM,AM=2 ∴AN=NM=1 ∵MC=1,∴NC=2=OE=r=OM 在 Rt△MON 中,MO=2,MN=1,∴NO=√3 = 퐶퐸 三、利用直径,构直角三角形 解题技巧:连直径所对圆周角,构造直角三角形,利用直角三角形勾股定理求边。 例 1.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,点 D 是 AB 的中点,以 CD 为直径作O 分别 与 AC,BC 交于点 E,F,过点 F 的切线 FG 交 AB 于点 G,求 FG 的长。 【答案】:12 5 【解析】:如图,连接 OD,DF ∵∠ACB=90°,AC=6,BC=8,∴AB=10 ∵点 D 是 AB 的中点,∴AD=DB=DC=5 ∵CD 是直径,∴∠CFD=90° ∴DF 是等腰△CDB 的中线,点 F 是 CB 的中点 ∵店 D 是 AB 的中点,∴DF 是△ABC 的中位线,DF=3 易知△FDG∽△BDF ∴퐹퐺 퐹퐷 = 퐹퐵 퐵퐷 解得:FG=12 5 例 2.如图,AB 是O 的直径,弦 CD 垂直平分半径 OA,AB=6,求 BC 的长。 【答案】:3√3 【解析】:如图,连接 AC,BC ∵AB=6,CE 垂直平分 OA ∴AE=EO=3 2 ,OB=3=CO,∠CEO=90° ∴在 RT△CEO 中,∠ECO=30°,∠COE=60° 同理,∠ACE=30°,∠CAE=60° ∴△ACO 是正三角形 ∴AC=AO=3 ∵AB 是直径,∴∠ACB=90° ∴BC=3√3 四、利用特殊角,构特殊三角形 解题技巧:特殊三角形主要指:①45°、45°、90°三角形,三边之比为 1:1:√2; ②30°、60°、90°三角形,三边之比为:1:√3:2。 要对着两种三角形边之间的关系烂熟于心。 例 1.如图,点 C 是O 的直径 BC 的延长线上的一点,CA 与O 相切于点 A,连接 AB。若 AB=AC, CD=2,求O 的半径。 【答案】:2 【解析】:如图,连接 AO ∵AB=AC,∴∠B=∠C ∵OA=OB=r,∴∠B=∠OAB ∵∠AOC=∠B+∠BAO,∴∠AOC=2∠B=2∠C ∵AC 是O 的切线,∴∠OAC=90° ∴∠AOC+∠C=90°,∴∠C=30°,∠AOC=60° 设O 的半径为 r,则 OA=OD=r ∵DC=2,∴OC=r+2 ∵△AOC 是直角三角形,且∠C=30°,∴2AO=OC,即:2r=r+2 解得:r=2 方法 4 利用切线的性质证明 一、证角度关系 解题技巧:“遇切线,连过亲切点的半径”,利用圆的有关性质转化线段与角度之间的关系。 例 1.如图,PA,PB 分别切O 于 A,B 两点,过劣弧퐴퐵̂ 上的一点 C 作O 的切线分别交 PA,PB 于点 D,E,求证:∠DOE=90°-1 2 ∠P 【答案】:见解析 【解析】:如图,连接 OA,OC,OB ∵AP、DC 是O 的切线,∴∠OAD=∠OCD=90° 又∵OD=OD,OA=OC ∴△ODA≌△ODC,∴∠AOD=∠COD 同理,∠COE=∠EOB ∴∠DOE=1 2 ∠퐴푂퐵 ∵在四边形 APBO 中,∠P+∠PBO+∠BOA+∠PAO=360°,∴∠P+∠AOB=180° ∴1 2 (∠P+∠AOB)=90°,1 2 ∠P+∠DOE=90° ∴∠DOE=90°-1 2 ∠P 例 2.如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,点 D 是 AC 的中点,过 A,B,D 三点作O,交 CB 的延长线于 点 E,过点 E 作O 的切线交 AC 的延长线于点 F,求证:∠CEF+2∠F=90°。 【答案】:见解析 【解析】:如图,连接 DE,AE ∵∠ABC=90°,∴∠ABE=90° ∴AE 是直径,AE 过圆心 O ∴∠ADE=90° ∵点 D 是 AC 的中点,∴△ACE 是等腰三角形,AE=ED,∠AED=∠DEC,∠EAD=∠DCE ∵EF 是O 的切线,∴∠FEO=90° ∴在△AEF 中,∠F+∠FAE=90° ∵在△AED 中,∠DEA+∠DAE=90° ∴∠DEA=∠F,∴2∠F=∠CEA ∵∠CEA+∠CEF=90° ∴∠CEF+2∠F=90° 二、证线段关系 解题技巧:在圆中证线段关系,主要是平行关系和垂直关系,实质上还是通过基础图形转化角度来实现。 例 1.如图,△ABC 内接于O,AB 为O 的直径,∠ACB 的平分线交O 于 D,过 D 作O 的切线交 CA 的延长线于 E。求证:DE∥AB。 【答案】:见解析 【解析】:如图,连接 OD,BD ∵ED 是O 的切线,∴∠ODE=90° ∵AB 是O 的直径,∴∠ACB=90° ∵CD 是∠ACB 的角平分线,∴∠ACD=∠DCB=45° ∴∠ABD=∠ACD=45° ∵OD=OB,∴∠ODB=∠OBC=45° ∴∠BOD=90° ∴∠BOD=∠ODB=90° ∴AB∥ED 例 2.如图,△ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径的O 交 BC 于点 D,过 D 作O 的切线交 AC 于 E,求 证:DE⊥AC。 【答案】:见解析 【解析】:如图,连接 OD ∵ED 是O 的切线,∴∠EDO=90° ∵AC=AB,∴∠C=∠B ∵OD=OB=r,∴∠B=∠ODB ∵∠CDE+∠EDO+∠ODB=180°,∴∠CDE+∠EDO+∠C=180° ∴AC∥DO 方法 5 切线与勾股定理(方程思想) 解题技巧:连切线,构造直角。剩下内容,与上一章方法 4 相同,利用方程思想结合勾股定理解题。 一、单勾股 例 1.如图,△ABC 中,AB=AC,O 为 AB 上一点,以 O 为圆心,OB 为半径的O 与 AC 切于点 E,与 BC 交于点 D,过 D 作O 的切线交 AC 于点 F,O 的半径为 3,CF=1。求 DC,AB 的长。 【答案】:DC=√10,AB=8 【解析】:如图连接 OE,OD ∵AC,DF 是O 的切线,∴∠AEO=∠ODF=90° ∵AB=AC,∴∠B=∠C ∵OB=OD=r,∴∠B=∠ODB,∴∠C=∠ODB ∴OD∥EF,∴∠EOD=90° ∴四边形 OEFD 是矩形,∠EFD=90° ∵EF=3,∴OD=EF=3=OE=DF=r ∵FC=1,∴在 Rt△DFC 中,DC=√10 设 AE=x,则 AC=x+3+1=x+4 ∵AB=AC,∴AO=x+4-r=x+1 在 Rt△AEO 中,푂퐸2 + 퐴퐸2 = 퐴푂2,即:32 + 푥2 = (푥 + 1)2 解得:x=4 ∴AB=AC=x+4=8 例 2.如图,在O 中,AB 为直径,퐴퐶̂ = 퐵퐶̂ ,弦 CF 与 OB 交于点 E,过点 F,A 分别作O 的切线交于 点 H,且 HF 与 AB 的延长线交于点 D。若 OA=2OE=4,求 AH 的长。 【答案】:AH=12 【解析】:如图,连接 OC,OF ∵DH,AH 是O 的切线 ∴∠OFD=∠OAH=90°,AH=FH ∵퐴퐶̂ = 퐵퐶̂ ,∴点 C 是퐵퐴̂ 的中点 ∵AB 是直径,∴CO⊥AB ∵OC=OF=r,∴∠OCE=∠OFE ∵∠ECO+∠CEO=90°,∠DFE+∠EFO=90°,∠DEF=∠CEO ∴∠DEF=∠DFE,∴DE=DF 设 DF=x,则 DO=x+2,FO=4 ∴在 Rt△DFO 中,푂퐹2 + 퐷퐹2 = 퐷푂2,即:42 + 푥2 = (푥 + 2)2 解得:x=3 设 FH=y,则 AH=y 在 Rt△DAH 中,퐷퐴2 + 퐴퐻2 = 퐷퐻2,即:92 + 푦2 = (3 + 푦)2 解得:y=12 ∴AH=12 二、双勾股 例 1.如图,△ABC 中,∠C=90°,点 C 在 AC 上,以 OA 为半径的O 交 AB 于点 D,E 为 BC 上一点, 且 DE=BE,连接 OD。若 AC=3,BC=4,OA=1,求 DE。 【答案】:DE=19 8 【解析】:如图,连接 OE ∵DE=EB,∴∠EDB=∠B ∵OA=OD=r,∴∠A=∠ODA ∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90° ∴∠ADO+∠EDB=90°,∴∠ODE=90° 设 EB=x,则 ED=x,CE=4-x 在 Rt△COE 中,푂퐸2 = 푂퐶2 + 퐶퐸2,即푂퐸2 = 22 + (4 − 푥)2 在 Rt△ODE 中,푂퐸2 = 푂퐷2 + 퐷퐸2,即푂퐸2 = 12 + 푥2 即:푂퐸2 = 22 + (4 − 푥)2 = 푂퐸2 = 12 + 푥2 解得:x=19 8 ∴DE=19 8 例 2.如图,AB 是O 的直径,D 是O 上的一点,BC 为O 的切线(切点为 B), OC∥AD,BA,CD 的 延长线交于点 E。若 EA=1,DA=2,DB=2ED,求O 的半径。 【答案】:√3 + 1 【解析】:如图,连接 OD,设 DB 与 OC 交于点 F ∵AB 是O 的直径,∴∠ADB=90° ∵OC∥AD,∴∠DFC=90° ∴根据垂径定理,DF=FB ∵FC=FC,∠DFC=∠CFB ∴△CFD≌△CFB ∴∠DCF=∠FCB,DC=CB ∵OD=OB ∴△COD≌△COB ∵CB 是O 的切线 ∴∠CDO=∠CBO=90° 设 OA=x 在 Rt△OED 中,퐷퐸2 = 푂퐸2 − 퐷푂2,即퐷퐸2 = (푥 + 1)2 − 푥2 在 Rt△ADB 中,퐷퐵2 = 퐴퐵2 − 퐷퐴2,即퐷퐵2 = (2푥)2 − 22 ∵DB=2DE,∴퐷퐵2 = 4퐷퐸2,即:(2푥)2 − 22 = 4[(푥 + 1)2 − 푥2] 解得:x=√3 + 1 方法 6 切割线图构矩形 解题技巧:如下图,AB 是O 的直径,CD 是O 的切线,AD⊥CD,AD 与O 交于点 E,连接 BE,连 接 OC 与 EB 交于点 G。过点 O 作 AD 的垂直线,交 AD 于点 F,过点 C 作 AB 的垂线,交 AB 于点 H。 则: ①OC∥AD(构造矩形 OFDC); ②AC 平分∠BAD,퐶퐸̂ = 퐶퐵̂ (△COH≌△OAE); ③OF=CD=EG=BG=CH,BH=DE=CG,OG=EF=AF=OH; ④AD+DE=AB, AE+AB=2AH=2AD; 以上几条结论主要通过构造矩形、构造全等,证垂直平分和全等,并结合圆的性质、勾股定理解决。 证明:∵AD⊥CD,DC 是O 的切线,作 OF⊥AD ∴∠FDC=∠DCO=∠OFD=90° ∴四边形 OFDC 是矩形(构造出矩形) ∴OC∥AD,OF=CD,∠FOC=90°,①得证; ∵∠FOA+∠FAO=90°,∠FOA+∠COB=90° ∴∠FAO=∠COH ∵∠AFO=∠CHO=90°,AO=OC=r ∴△COH≌△OAE ∴CH=OF=CD,∴AC 是∠BAD 的角平分线 ∴∠EAC=∠CAB,∴CE=CB,퐶퐸̂ = 퐶퐵̂ ,②全部得证; ∵AB 是O 的直径,∴BE⊥AD ∴BE∥CD ∴四边形 EGCD 和四边形 EGOF 是矩形(构造出 2 个小矩形) ∴EG=OF=CD,OC⊥BE ∵EC=CB,∴CO 是 EB 的垂直平分线 ∴EG=GB ∴OF=CD=EG=BG=CH 易证△COH≌△BOG,∴OH=OG ∴BH=CG=DE ∵OF⊥AE,且 OE=OA=r ∴OF 是 AE 的垂直平分线 ∴AF=EF ∴OG=EF=AF=OH,③全部得证; 易证△ADC≌△AHC,∴AG=AD ∴AD+DE=AB,AE+AB=2AH=2AD,④全部得证。 例 1.如图,已知 AB 是O 的直径,CD 是O 的切线,切点为点 D,퐴퐷̂ = 퐷퐸̂ ,BE⊥CD 于点 C,若 CD=4,BE=6,求 BD 的长。 【答案】:4√5 【解析】:如下图,过点 D 作 AB 的垂线,交 AB 于点 F,过点 O 作 CB 的垂线,交 AB 于点 G,连接 OE ∵CD 是O 的切线,DC⊥BC,OG⊥BC ∴∠ODC=∠DCG=∠CGO=90° ∴四边形 CDOG 是矩形 ∴OG=CD=4,∠DOG=90° ∵퐴퐷̂ = 퐷퐸̂ ∴∠ABD=∠DCE,∴BD 是∠ABC 的角平分线 ∵DF⊥AB,DC⊥BC ∴DF=DC=OG=4 ∵∠DOF+∠ODF=90°,∠DOF+∠GOB=90° ∴∠DOF=∠GOB ∵OD=OB,∠DFO=∠OGB=90° ∴△FDO≌△GOB,∴DF=OG=4 ∵OG⊥BE,OB=OE=r,BE=6 ∴OG 是 BE 的垂直平分线,EG=GB=3 ∴OF=3,∴OD=5=CG ∴CE=2,CB=2+3+3=8 ∴在 Rt△DCB 中,BD=4√5 例 2.如图,AC 是O 的直径,CD 是O 的弦,点 B 在O 上,且퐵퐷̂ = 퐵퐴̂ ,BE⊥CD 于点 E。 (1)求证:BE 是O 的切线; (2)若 AD=4,EC=1,求 BD 的长。 【答案】:(1)见解析 (2)BD=2√5 【解析】:(1)如下图,连接 BO 并延长,交 AD 于点 F,连接 AB,OD ∵퐵퐷̂ = 퐵퐴̂ ∴AB=BD ∵OA=OD=r,OB=OB ∴△OBA≌△OBD ∴∠OBA=∠OBD ∵BA=BD ∴BO⊥AD,即 OF⊥AD ∵BE⊥CD,AC 是O 的直径 ∴∠BFD=∠BED=∠EDF=90° ∴四边形 BEDF 是矩形 ∴∠EBF=90°,BF=ED,BE=FD ∴BE 是O 的切线 (2)∵AD=4 ∴根据垂径定理,AF=FD=2,∴BE=2 设 OF=x,则 CD=2x ∴ED=2x+1,∴BO=2x+1-x=x+1=AO ∴在 Rt△AOF 中,퐴퐹2 + 푂퐹2 = 퐴푂2,即22 + 푥2 = (푥 + 1)2 解得:x=3 2 ∴CD=3,∴ED=4 在 Rt△BED 中,BD=2√5 方法 7 双切线图 解题技巧:图中有多条切线时,常考虑切线长定理,同时结合角度的转化和中位线定理进行推导,基础图 形如下: 如图,AC 是O 的直径,PA、PB 是O 的切线,交O 于点 A、B,PB 与 AC 的延长线交于点 D,有 如下结论: ①PA=PB,OP⊥AB,퐴퐹̂ = 퐵퐹̂ ,AE=BE,∠APO=∠BPO=∠CAB=∠CBD; ②OE∥BC 且 2OE=BC(OE 是△ABC 的中位线); 证明:∵AP、BP 是O 的切线 ∴根据切线长定理有如下结论 PA=PB,AP⊥AB,且 AE=BE,则퐴퐹̂ = 퐵퐹̂ ,∠APO=∠BPO ∵∠CAB+∠EAP=90°,∠EAP+∠APO=90° ∴∠CAB=∠APO ∵AC 是O 的直径 ∴∠ABC=90° ∵∠CBD+∠ABP=90°,∠ABP+∠BPO=90° ∴∠APD=∠BPO=∠CAB=∠CBD,①全部得证 ∵OE⊥AB,CB⊥AB,点 O 是 AC 的中点 ∴OE 是△ABC 的中位线 ∴OE∥BC 且 2OE=BC,②得证 例 1.如图,CA,CD 是是O 的切线,切点分别为 A,D,AB 是O 的直径,连接 AD。 (1)求证:∠C=2∠BAD; (2)若 AC=8,AB=12,求 AD 的长。 【答案】:(1)见解析 (2)AD=48 5 【解析】:(1)如图,连接 CO 交 AD 于点 M ∵CA、CD 是O 的切线 ∴根据切线长定理:∠CMA=90°,AM=MD,CA=CD,∠CAO=∠CDO=90°,∠ACO=∠DCO ∵∠DAO+∠CAD=90°,∠CAD+∠ACO=90° ∴∠DAO=∠ACO ∴∠ACD=2∠DAO (2)易知△ACM∽△OCA ∵AB=12,∴AO=6 ∵AC=8,∴CO=10 ∴퐴푀 퐴퐶 = 퐴푂 푂퐶 ,∴AM=24 5 ∴AD=48 5 例 2.如图,在△ABC 中,AB=AC,点 M 为△ABC 的内心,点 O 在 AB 上,O 经过 B,M 两点。 (1)求证:AM 与O 相切; (2)过点 A 作 AE 与O 相切于另一点 E,若 AB=10,BC=16,求 EM 的长。 【答案】:(1)见解析 (2)EM==16 3 【解析】:(1)如下图,连接 AM,BM,延长 AM 交 BC 于点 D ∵点 M 是△ABC 的内心 ∴AM 是∠BAC 的角平分线 ∵AB=AC ∴AD⊥BC ∵点 M 是△ABC 的内心 ∴∠ABM=∠MAD ∵∠AOM=2∠ABM ∴∠AOM=∠ABC ∴OM∥BD ∴OM⊥AD ∴AM 是O 的切线 (2)如上图,连接 OE,EM 与 AO 的交点为点 F 根据切线长定理:EM⊥AO,且 EF=FM ∵点 M 是△ABC 的内心 ∴DM=FM=FE=x ∵AB=10,∴AC=10 ∵BC=16,∴BD=DC=8=BF ∴AD=6,AM=6-x,FA=10-8=2 在 Rt△AFM 中,퐴퐹2 + 퐹푀2 = 퐴푀2,即22 + 푥2 = 퐴푀2 ∴22 + 푥2 = (6-x)2 解得:x=8 3 ∴EM=16 3 三、典型题型 题型 1 点与圆的位置关系(d 与 r) 解题技巧:点的圆的位置关系,一般用 d 与 r 的大小来判定。判断位置关系,关键点就是求解出点与圆心的 距离,然后和 r 比较来判断位置关系。 例 1.如图,已知矩形 ABCD 的边 AB=3,BC=4。 (1)以点 A 为圆心,4 为半径作A,则点 B,C,D 与A 的位置关系如何? (2)若以点 A 为圆心作A,是 B,C,D 三点中至少有一点在A 内,且至少有一点在A 外,求A 的半径 r 的取值范围。 【答案】:(1)B 在圆内,C 在圆外,D 在圆上; (2)3<r<5 【解析】:(1)r=4 ∵AB=3<r,∴点 B 在圆内; ∵AC=5>r,∴点 C 在圆外; ∵AD=4=r,∴点 D 在圆上 (2)∵AB=3,AD=4,AC=5 要使一点在圆内,则这点必定是点 B,即 r>3 要使一点在圆外,则这点必定是点 C,即 r<5 ∴3<r<5 例 2.如图,坐标原点在O’上,点 O’的坐标为(1,1),试判断点 P(-1,1),点 Q(1,0),点 R(2, 2)与O’的位置关系。 【答案】:点 P 在圆外,点 Q 在圆内,点 R 在圆上 【解析】:r=OO’=√2 ∵O’P=2>r,∴点 P 在圆外; ∵O’Q=1<r,∴点 Q 在圆内; ∵O’R=√2=r,∴点 R 在圆上 题型 2 直线与圆的位置关系(d 与 r) 解题技巧:直线和圆的位置有三种:相交、相切和相离,判断方法有两种: 方法一:根据直线与圆的交点个数判定:{ 两个交点:相交 一个交点:相切 无交点:相离 方法二:根据直线和圆心距离d与半径r大小关系判定:{ d<r,相交 d = r,相切 d>r,相离 例1.圆的直径是13cm,如果圆心与直线上某一点的距离是6.5cm,那么该直线和圆的位置关系是( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相切 【答案】:D 【解析】:圆的直径为13cm,则半径为6.5cm,存在两种情况,如下图: 如图一,则直线与圆心的距离为6.5,则为相切关系 如图二,则直线与圆心的距离小于6.5,则为相交关系 综上得,答案为D 例2.已知⊙O的半径等于8cm,圆心O到直线l的距离为9cm,则直线l与⊙O的公共点的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.无法确定 【答案】:A 【解析】:∵圆心与直线距离d=9>半径r=8 ∴直线与圆的位置关系为相离 ∴交点个数为0个,选A 题型 3 切线的性质与判定 解题技巧:切线的性质:切点与圆心的连线与切线垂直 切线的判定:①连接圆心与切点,证与切线垂直;②过圆心作垂线,证长度为 r 例 1.如图,AB 是O 的弦,AD 的延长线与过点 B 的O 的切线交于点 C,若∠A=20°,求∠C 的大小。 【答案】:50° 【解析】:如下图,连接 OB ∵OA=OB=r,∠A=20° ∴∠ABO=20° ∵BC 是O 的切线 ∴∠OBC=90° ∴∠C=50° 例 2.如图,已知 AB 是O 的直径,BC 是O 的切线,切点为 B,OC 平行于弦 AD,求证:DC 是O 的 切线。 【答案】:见解析 【解析】:如下图,连接 OD ∵AD∥OC ∴∠DAO=∠COB,∠ADO=∠DOC ∵AO=OD=r ∴∠DAO=∠COB=∠ADO=∠DOC ∵OD=OB=r,OC=OC ∴△ODC≌△OBC ∵BC 是O 的切线,∴∠OBC=90° ∴∠ODC=90° ∴DC 是O 的切线 题型 4 切线长定理 解题技巧:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹 角,且使得左右两边的图形完全对称。 例 1.如图,PA,PB,CD 切O 于点 A,B,E,若 AC=2,BD=3,PA=5,求 CD 的长和△PCD 的周长。 【答案】:CD=5,△PCD 的周长=10 【解析】:根据切线长定理,DE=DB,EC=AC ∴DE=3,EC=2,∴CD=5 ∵△PCD 的周长=PC+PD+CD=PC+CE+PD+ED=PA+PB 又∵PA=5 ∴△PCD 的周长=5+5=10 例 2.如图,CA,CB 是O 的切线,切点分别是 A,B,若果O 的半径为 2√3,AB=6,求∠ACB 的大 小。 【答案】:60° 【解析】:如下图,连接 OA,OB,连接 OC 与 AB 交于点 D ∵CA,CB 是O 的切线 ∴根据切线长定理:AB⊥OC,且 AD=DB ∵半径为 2√3,即 OB=2√3 ∵AB=6,∴BD=3 ∴在 Rt△ODB 中,OB=2√3,BD=3,则 OD=√3 ∴∠OBD=30°,∠BOD=60° ∴∠BCO=30° ∴∠ACB=60° 题型 5 三角形的内心和外心 解题方法:此类题型,需要抓住三角形内心和外心的特点。 ①三角形内心:三角形内切圆圆心,即三角形角平分线的交点,内心到三边的距离相等 ②三角形外心:三角形外接圆圆心,即三角形垂直平分线交点,外心到三顶点距离相等。 例 1.已知一个三角形的三边长分别为 5、7、8,则其内切圆的半径为( ) A.√3 2 B.3 2 C.√3 D.2√3 【答案】:C 【解析】:如图 1,设 AB=5,AC=7,BC=8,作 BC 的垂线 AD 交 BC 于点 D。如图 2,连接内切圆圆心与 三条切线的切点 OE,OF,OG 设 DC 长为 x,则 BD=(8-x) 在直角三角形 ABD 与直角三角形 ADC 中,满足:√퐴퐵2 − 퐵퐷2 = √퐴퐶2 − 퐶퐷2,即: √52 − (8 − x)2 = √72 − 푥2 解得:x=11 2 在直角三角形 ADC 中,根据勾股定理,AD=√72 − ( 11 2 )2 =5√3 2 ∴푆△퐴퐵퐶 = 1 2 × 8 × 5√3 2 =10√3 在图 2 中,设圆心 O 到三边的距离为 h ∵푆△퐴퐵퐶 = 푆△퐴퐵푂 + 푆△퐴푂퐶 + 푆△푂퐵퐶 ∴10√3 = 1 2 × 5 × ℎ + 1 2 × 7 × ℎ + 1 2 × 8 × ℎ 化简得:10√3 = 10ℎ 解得:h=√3 例 2.如图,△ABC 内接与⊙O,AB=AC,CO 的延长线交 AB 于点 D 求证:AO 平分∠BAC; 【答案】:见解析 【解析】:∵⊙O 是△ABC 的外接圆 ∴点 O 是△ABC 角平分线的交点 ∴AO 平分∠BAC 例3.如图,△ABC的内切圆与三边分别相切于点D、E、F 则下列等式:①∠EDF=∠B;②2∠EDF=∠A+∠C;③2∠A=∠FED+∠EDF ;④∠AED+∠BFE+ ∠CDF=180°,其中成立的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】:B 【解析】:如下图,连接OE,OF,OD,OA,OB,OC ∵圆 O 是三角形 ABC 的内切圆 ∴OE⊥AB,OF⊥BC,OD⊥AC ∴∠BEO=∠OFB=90° ∴在四边形 BEOF 中∠B+∠EOF=180° ∵2∠EDF=∠EOF ∴∠B+2∠EDF=180° ∵∠A+∠C+∠B=180° ∴∠A+∠C=2∠EDF ∴②正确 同理,①、③错误 在△AOE 与△AOD 中 { ∠퐴퐸푂 = ∠퐴퐷푂 = 90° 퐸푂 = 푂퐷 퐴푂 = 퐴푂 ∴△AED≌△ADO ∴AE=AD 同理,BE=BF,DC=FC ∵∠AED+∠ADE+∠BAC=∠FDC+∠DFC+∠FCD=∠EFB+∠FEB+∠EBF=180° ∴∠AED+∠ADE+∠FDC+∠DFC+∠EFB+∠FEB=180°×3-(∠BAC+∠FCD+∠EBF) ∴2(∠AED+∠BFE+∠CDF)=360° ∠AED+∠BFE+∠CDF=180° ∴④正确
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