遵义市2020年中考数学试题及答案

遵义市2020年中考数学试题及答案

遵义市 2020 年中考数学试题及答案 1．﹣3 的绝对值是（ ） A．﹣3 B．3 C．±3 D． 2．在文化旅游大融合的背景下，享受文化成为旅游业的新趋势．今年“五一”假期，我 市为游客和市民提供了丰富多彩的文化享受，各艺术表演馆美术馆、公共图书馆、群众 文化机构、非遗机构及文物机构累计接待游客 18.25 万人次，将 18.25 万用科学记数法 表示为（ ） A．1.825×105 B．1.825×106 C．1.825×107 D．1.825×108 3．一副直角三角板如图放置，使两三角板的斜边互相平行，每块三角板的直角顶点都 在另一三角板的斜边上，则∠1 的度数为（ ） A．30° B．45° C．55° D．60° 4．下列计算正确的是（ ） A．x2+x＝x3 B．（﹣3x）2＝6x2 C．8x4÷2x2＝4x2 D．（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣2y2 5．某校 7 名学生在某次测量体温（单位：℃）时得到如下数据：36.3，36.4，36.5，36.7， 36.6，36.5，36.5，对这组数据描述正确的是（ ） A．众数是 36.5 B．中位数是 36.7 C．平均数是 36.6 D．方差是 0.4 6．已知 x1，x2 是方程 x2﹣3x﹣2＝0 的两根，则 x12+x22 的值为（ ） A．5 B．10 C．11 D．13 7．如图，把一块长为 40cm，宽为 30cm 的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形， 然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒 的底面积为 600cm2，设剪去小正方形的边长为 xcm，则可列方程为（ ） A．（30﹣2x）（40﹣x）＝600 B．（30﹣x）（40﹣x）＝600 C．（30﹣x）（40﹣2x）＝600 D．（30﹣2x）（40﹣2x）＝600 8．新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头．骄 傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来．当它一觉醒来，发现乌龟 已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点．用 S1、S2 分别表示乌龟和兔子赛跑的 路程，t 为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（ ） A． B． C． D． 9．如图，在菱形 ABCD 中，AB＝5，AC＝6，过点 D 作 DE⊥BA，交 BA 的延长线于点 E，则线段 DE 的长为（ ） A．12 5 B． 18 5 C．4 D． 24 5 10．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算 tan15°时，如 图．在 Rt△ACB 中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长 CB 使 BD＝AB，连接 AD，得 ∠D＝15°，所以 tan15°    1 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 AC CD         ．类比这种方 法，计算 tan22.5°的值为（ ） A． 2 1 B． 2 ﹣1 C． 2 D． 1 2 11．如图， △ ABO 的顶点 A 在函数 y＝ k x （x＞0）的图象上，∠ABO＝90°，过 AO 边的 三等分点 M、N 分别作 x 轴的平行线交 AB 于点 P、Q．若四边形 MNQP 的面积为 3， 则 k 的值为（ ） A．9 B．12 C．15 D．18 12．抛物线 y＝ax2+bx+c 的对称轴是直线 x＝﹣2．抛物线与 x 轴的一个交点在点（﹣4， 0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有（ ）①4a ﹣b＝0；②c≤3a；③关于 x 的方程 ax2+bx+c＝2 有两个不相等实数根；④b2+2b＞4ac． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 13．计算 12- 3 的结果是______. 14．如图，直线 y＝kx+b（k、b 是常数 k≠0）与直线 y＝2 交于点 A（4，2），则关于 x 的不等式 kx+b＜2 的解集为_____． 15．如图，对折矩形纸片 ABCD 使 AD 与 BC 重合，得到折痕 MN，再把纸片展平．E 是 AD 上一点，将 △ ABE 沿 BE 折叠，使点 A 的对应点 A′落在 MN 上．若 CD＝5，则 BE 的长是_____． 16．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BAC＝45°，AD⊥BC 于点 D，延长 AD 交⊙O 于点 E，若 BD＝4，CD＝1，则 DE 的长是_____． 17．计算： （1）sin30°﹣（π﹣3.14）0+（﹣ 1 2 ）﹣2； （2）解方程； 1 3 2 2 3x x   ． 18．化简式子 2 2 2 4 4x x xxx x       ，从 0，1，2 中取一个合适的数作为 x 的值代入 求值． 19．某校为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门．如图为该测温门截面示意图， 已知测温门 AD 的顶部 A 处距地面高为 2.2m，为了解自己的有效测温区间．身高 1.6m 的小聪做了如下实验：当他在地面 N 处时测温门开始显示额头温度，此时在额头 B 处 测得 A 的仰角为 18°；在地面 M 处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头 C 处测 得 A 的仰角为 60°．求小聪在地面的有效测温区间 MN 的长度．（额头到地面的距离以 身高计，计算精确到 0.1m，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32） 20．如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 是⊙O 上一点，∠CAB 的平分线 AD 交 BC 于点 D， 过点 D 作 DE∥BC 交 AC 的延长线于点 E． （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）过点 D 作 DF⊥AB 于点 F，连接 BD．若 OF＝1，BF＝2，求 BD 的长度． 21．遵义市各校都在深入开展劳动教育，某校为了解七年级学生一学期参加课外劳动时 间（单位：h）的情况，从该校七年级随机抽查了部分学生进行问卷调查，并将调查结 果绘制成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图． 课外劳动时间频数分布表 劳动时间分组 频数 频率 0≤t＜20 2 0.1 20≤t＜40 4 m 40≤t＜60 6 0.3 60≤t＜80 a 0.25 80≤t＜100 3 0.15 解答下列问题： （1）频数分布表中 a＝ ，m＝ ；将频数分布直方图补充完整； （2）若七年级共有学生 400 人，试估计该校七年级学生一学期课外劳动时间不少于 60h 的人数； （3）已知课外劳动时间在 60h≤t＜80h 的男生人数为 2 人，其余为女生，现从该组中 任选 2 人代表学校参加“全市中学生劳动体验”演讲比赛，请用树状图或列表法求所选 学生为 1 男 1 女的概率． 22．为倡导健康环保，自带水杯已成为一种好习惯，某超市销售甲，乙两种型号水杯， 进价和售价均保持不变，其中甲种型号水杯进价为 25 元/个，乙种型号水杯进价为 45 元/个，下表是前两月两种型号水杯的销售情况： 时间 销售数量（个） 销售收入（元）（销售收入＝售价×销售数量） 甲种型号 乙种型号 第一月 22 8 1100 第二月 38 24 2460 （1）求甲、乙两种型号水杯的售价； （2）第三月超市计划再购进甲、乙两种型号水杯共 80 个，这批水杯进货的预算成本不 超过 2600 元，且甲种型号水杯最多购进 55 个，在 80 个水杯全部售完的情况下设购进 甲种号水杯 a 个，利润为 w 元，写出 w 与 a 的函数关系式，并求出第三月的最大利润． 23．如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 E 为对角线 AC 上一动点（点 E 与点 A， C 不重合），连接 DE，作 EF⊥DE 交射线 BA 于点 F，过点 E 作 MN∥BC 分别交 CD， AB 于点 M、N，作射线 DF 交射线 CA 于点 G． （1）求证：EF＝DE； （2）当 AF＝2 时，求 GE 的长． 24．如图，抛物线 y＝ax2+ 9 4 x+c 经过点 A（﹣1，0）和点 C （0，3）与 x 轴的另一交 点为点 B，点 M 是直线 BC 上一动点，过点 M 作 MP∥y 轴，交抛物线于点 P． （1）求该抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在一点 Q，使得△QCO 是等边三角形？若存在，求出点 Q 的坐 标；若不存在，请说明理由； （3）以 M 为圆心，MP 为半径作⊙M，当⊙M 与坐标轴相切时，求出⊙M 的半径． 参考答案 1．B 【解析】 试题分析：当 a 是负有理数时，a 的绝对值是它的相反数﹣a，所以﹣3 的绝对值是 3．故选 B． 考点：绝对值． 2．A 【解析】 【分析】 科学记数法的形式是： 10 na  ，其中1 a ＜10，n 为整数．所以 1.825a  ，n 取决于原 数小数点的移动位数与移动方向，n 是小数点的移动位数，往左移动，n 为正整数，往右移 动， n 为负整数.本题小数点往左移动到 1 的后面，所以 5.n  【详解】 解：18.25 万 4 518.25 10 1.825 10 .    故选 A． 【点睛】 本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较大的数，关键是在理解科学记数法的基础上 确定好 ,a n 的值，同时掌握小数点移动对一个数的影响． 3．B 【解析】 【分析】 根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】 解：如图 ∵AB∥CD， ∴∠1＝∠D＝45°， 故选：B． 【点睛】 本题考查了平行线的性质以及直角三角板的各角度数，解答关键是根据利用平行线的性质找 到相应角度之间的关系. 4．C 【解析】 【分析】 根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题． 【详解】 解：x2+x 不能合并，故选项 A 错误；  2 23 9x x  ，故选项 B 错误； 8x4÷2x2＝4x2，故选项 C 正确； （x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣4y2，故选项 D 错误； 故选：C． 【点睛】 本题考查的是合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，平方差公式，掌握以上知识是解题 的关键． 5．A 【解析】 【分析】 根据众数、中位数的概念求出众数和中位数，根据平均数和方差的计算公式求出平均数和方 差即可得出答案． 【详解】 解：A、7 个数中 36.5 出现了三次，次数最多，即众数为 36.5，故符合题意； B、将 7 个数按从小到大的顺序排列为：36.3，36.4，36.5，36.5，36.5，36.6，36.7，第 4 个 数为 36.5，即中位数为 36.5，故不符合题意； C、平均数＝ 1 7 ×（36.3+36.4+36.5+36.5+36.5+36.6+36.7）＝36.5，故不符合题意； D、方差 2 2 2 2 21= [(36.3 36.5) (36.4 36.5) 3 (36.5 36.5) (36.6 36.5) (36.7 36.5) 1]= 07 7      - - - - - ， 故不符合题意． 故选：A． 【点睛】 本题考查了数据分析，熟练掌握众数、中位数的概念及平均数和方差的计算方法是解题的关 键． 6．D 【解析】 【分析】 利用根与系数的关系得到 1 2 1 23, 2,x x x x    再利用完全平方公式得到 2 2 2 1 2 1 2 1 2( ) 2 ,x x x x x x    然后利用整体代入的方法计算． 【详解】 解：根据题意得 1 2 1 23, 2,x x x x    所以 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2( ) 2 3 2 ( 2) 13.x x x x x x         故选：D． 【点睛】 本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，以及完全平方公式的变形，掌握以上知识是 解题的关键． 7．D 【解析】 【分析】 设剪去小正方形的边长是 xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，根据 长方形的面积公式结合纸盒的底面积是 600cm2，即可得出关于 x 的一元二次方程，此题得 解． 【详解】 解：设剪去小正方形的边长是 xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm， 根据题意得：（40﹣2x）（30﹣2x）＝600． 故选：D． 【点睛】 本题考查的是一元二次方程的应用，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 8．C 【解析】 【分析】 分别分析乌龟和兔子随时间变化它们的路程变化情况，即直线的斜率的变化．问题便可解答． 【详解】 对于乌龟，其运动过程可分为两段：从起点到终点乌龟没有停歇，其路程不断增加；最后同 时到达终点，可排除 B，D 选项 对于兔子，其运动过程可分为三段：据此可排除 A 选项 开始跑得快，所以路程增加快；中间睡觉时路程不变；醒来时追赶乌龟路程增加快． 故选：C 【点睛】 本题考查了函数图象的性质进行简单的合情推理，对于一个函数，如果把自变量与函数的每 一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的 图象． 9．D 【解析】 【分析】 利用菱形的面积等于两对角线之积的一半，求解菱形的面积，再利用等面积法求菱形的高 DE 即可． 【详解】 解：记 AC 与 BD 的交点为 O ， 菱形 ABCD , 6,AC  , 3, ,AC BD OA OC OB OD     5,AB  2 25 3 4, 8,OB BD      菱形的面积 1 6 8 24,2     ,DE AB  菱形的面积 ,AB DE  5 24,DE  24 .5DE  故选 D． 【点睛】 本题考查的是菱形的性质，菱形的面积公式，勾股定理．理解菱形的对角线互相垂直平分和 学会用等面积法是解题关键． 10．B 【解析】 【分析】 作 Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长 CB 到 D，使 BD＝AB，连接 AD，根据 构造的直角三角形，设 AC＝x，再用 x 表示出 CD，即可求出 tan22.5°的值. 【详解】 解：作 Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延长 CB 到 D，使 BD＝ AB，连接 AD，设 AC＝x，则：BC＝x，AB＝ 2x ，CD＝ 1+ 2 x ，  22.5 = = 2 1 1+ 2 AC x Ctan ta D x n D    故选：B. 【点睛】 本题考查解直角三角形，解题的关键是根据阅读构造含 45°的直角三角形，再作辅助线得 到 22.5°的直角三角形. 11．D 【解析】 【分析】 由 , / / / /AN NM OM NQ PM OB  得到相似三角形，利用相似三角形的性质得到三角形 之间的面积关系，利用反比例函数系数的几何意义可得答案． 【详解】 解： , / / / / ,AN NM OM NQ PM OB  , ,ANQ AMP AMP AOB   ∽ ∽ 2 1 ,4 ANQ AMP S AN S AM          四边形 MNQP 的面积为 3， 1 ,3 4 ANQ ANQ S S     1,ANQS  4,AMPS  ,AMP AOB ∽ 2 4 ,9 AMP AOB S AM S AO         9,AOBS  2 18.AOBk S   故选 D． 【点睛】 本题考查的是相似三角形的判定与性质，反比例函数系数的几何意义，掌握以上知识是解题 的关键． 12．C 【解析】 【分析】 ①由对称轴 2x   即可判断； ②将 c≤3a 转化为 1x   时所对应的函数值，由对称性转化为 3x   时所对应的函数值， 即可判断； ③根据图象所体现的最大值即可判断； ④根据图象的最值结合对称轴即可判断． 【详解】 ①因为对称轴为 2x   ，所以 22 b a    ，即 4 0b a  ，故①正确； ②由①知 4b a ，所以 1x   时， 4 3y a b c a a c c a        ； 因为抛物线与 x 轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，所以 3x   时， 0y  又因为 1x   与 3x   关于抛物线的对称轴 2x   对称，所以 3 0c a  ，即 3c a ，故 ②错误； ③由图可知 y＝ax2+bx+c 的最大值为 3，所以当 ax2+bx+c＝2 时有两个不相等的实数根；故 ③正确； ④由图可知： 24 34 ac b a   ，即 2 4 12b ac a   ， 又 4b a 且 0a  ，所以 2 4 2b ac b  = 12 8 4 0a a a     ， 所以 2 4 2 0b ac b   ，即 2 2 4b b ac  ，故④正确； 故选：C． 【点睛】 本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟知以上知识点的应用是解题的关键． 13． 【解析】 【分析】 二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并． 【详解】 12 3 2 3 3 3    . 【点睛】 考点：二次根式的加减法． 14．x＜4 【解析】 【分析】 结合函数图象，写出直线 y kx b  在直线 y＝2 下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】 解：∵直线 y＝kx+b 与直线 y＝2 交于点 A（4，2）， ∴x＜4 时，y＜2， ∴关于 x 的不等式 kx+b＜2 的解集为：x＜4． 故答案为：x＜4． 【点睛】 本题考查的是利用函数图像解不等式，理解函数图像上的点的纵坐标的大小对图像的影响是 解题的关键． 15．10 3 3 【解析】 【分析】 在 Rt △ A'BM 中，利用轴对称的性质与锐角三角函数求出∠BA′M=30°，再证明∠ABE=30° 即可解决问题． 【详解】 解：∵将矩形纸片 ABCD 对折一次，使边 AD 与 BC 重合，得到折痕 MN， ∴AB=2BM，∠A′MB=90°，MN∥BC． ∵将 △ ABE 沿 BE 折叠，使点 A 的对应点 A′落在 MN 上． ∴A′B=AB=2BM． 在 Rt △ A′MB 中，∵∠A′MB=90°， ∴sin∠MA′B= BM BA ＝ 1 2 ， ∴∠MA′B=30°， ∵MN∥BC， ∴∠CBA′=∠MA′B=30°， ∵∠ABC=90°， ∴∠ABA′=60°， ∴∠ABE=∠EBA′=30°， 5,AB CD  5 10 3 .cos30 33 2 ABBE    故答案为：10 3 3 ． 【点睛】 本题考查了矩形的性质，翻折变换，锐角三角函数的定义，平行线的性质，熟练掌握并灵活 运用翻折变换的性质是解题的关键． 16． 41 5 2  【解析】 【分析】 连结 OB，OC，OA，过 O 点作 OF⊥BC 于 F，作 OG⊥AE 于 G，根据圆周角定理可得 ∠BOC=90°， 根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可得 DG，AG，可求 AD，再根据相 交弦定理可求 DE． 【详解】 解：如图,连结 OB,OC,OA,过 O 点作 OF⊥BC 于 F,作 OG⊥AE 于 G, ∵⊙O 是△ABC 的外接圆,∠BAC=45°, ∴∠BOC=90°， ∵BD=4，CD=1， ∴BC=4+1=5， ∴OB=OC= 5 2 2 , ∴ 5 2 5,2 2OA OF BF   . ∴ 3 2DF BD BF   , 在 Rt△AGO 中, 2 2 41 2AG OA OG   , ∴ 41 5 2AD AG GD    . ∴ AD DE BD CD   , ∴ 4 1 41-5 241 2 DE   . 故答案为 41-5 2 . 【点睛】 考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，能正确构 造辅助线求出 AD 的长是解题关键． 17．（1） 7 2 ；（2）x＝3 【解析】 【分析】 （1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分 式方程的解． 【详解】 解：（1）原式＝ 1 2 －1＋4 ＝ 7 2 （2）去分母得：2x﹣3＝3x﹣6， 解得：x＝3， 经检验 x＝3 是分式方程的解． 【点睛】 本题考查实数的混合运算和解分式方程，考查学生的运算能力，解题的关键是掌握实数的运 算法则和解分式方程的方法． 18．化简结果： 1 ,2x  当 1x  时，原式= 1. 【解析】 【分析】 先把分式中能分解因式的先分解因式，把除法转化为乘法，约分后代入求值即可． 【详解】 解： 2 2 2 4 4x x xxx x         2 2 2 4 4x x x x x x        22 2 2 x x x x x    1 ,2x   0, 2,x x   当 1x  时，上式 1 1.1 2    【点睛】 本题考查的是分式的化简求值，注意代入时一定要注意使原分式有意义，掌握以上的知识是 解题的关键． 19．MN 的长度约为 1.5m． 【解析】 【分析】 延长 BC 交 AD 于 E，利用锐角三角函数求解 ,BE CE ，即可得到答案． 【详解】 解：如图，延长 BC 交 AD 于 E， 结合题意得：四边形 DEBN，四边形 MCBN 都为矩形，  BE=DN，DE=NB=MC＝1.6，BC=MN, 90 ,AEB   2.2, 18 ,AD ABE    2.2 1.6 0.6,AE AD DE      由 tan ,AEABE BE   0.6 1.88,0.32BE   60 ,ACE   由 tan AEACE CE   得： 0.6 0.35,1.732CE   1.88 0.35 1.53 1.5.BC     1.5MN  米． 【点睛】 本题考查的是利用锐角三角函数的意义解直角三角形，掌握三角函数的含义是解题的关键． 20．（1）见解析；（2） 2 3 【解析】 【分析】 （1）连接 OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而 OD∥AE， 由 DE∥BC 得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定 理得出答案； （2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由 OF＝1，BF＝2 得出 OB 的值， 进而得出 AF 和 BA 的值，然后证明 △ DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求 得 BD2 的值，求算术平方根即可得出 BD 的值． 【详解】 解：（1）连接 OD，如图： ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ADO， ∵AD 平分∠CAB， ∴∠DAE＝∠OAD， ∴∠ADO＝∠DAE， ∴OD∥AE，  AB 为⊙O 的直径， 90 ,ACB   ∵DE∥BC， ∴∠E＝ ACB ∠ 90°， ∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°， ∴DE 是⊙O 的切线； （2）∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵OF＝1，BF＝2， ∴OB＝3， ∴AF＝4，BA＝6． ∵DF⊥AB， ∴∠DFB＝90°， ∴∠ADB＝∠DFB， 又∵∠DBF＝∠ABD， ∴△DBF∽△ABD， ∴ BD BF BA BD  ， ∴BD2＝BF•BA＝2×6＝12． ∴BD＝ 2 3. 【点睛】 本题考查的是圆的基本性质，圆周角定理，切线的判定，同时考查了相似三角形的判定与性 质．（1）中判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”，有 切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”；（2）中能得△DBF∽△ABD 是解题关键． 21．（1）5,0.2，直方图图形见解析；（2）160 人；（3）树状图见解析， 3 5 【解析】 【分析】 （1）根据频数分布表所给数据即可求出 a，m；进而可以补充完整频数分布直方图； （2）根据样本估计总体的方法即可估计该校七年级学生一学期课外劳动时间不少于 60h 的 人数； （3）根据题意画出用树状图即可求所选学生为 1 男 1 女的概率． 【详解】 解：（1）a＝（2÷0.1）×0.25＝5，m＝4÷20＝0.2， 补全的直方图如图所示： 故答案为：5，0.2； （2）400×（0.25+0.15）＝160（人） 则该校七年级学生一学期课外劳动时间不少于 60h 的人数大概有 160 人． （3）课外劳动时间在 60h≤t＜80h 的人数总共 5 人，男生有 2 人，则女生有 3 人，根据题 意画出树状图， 由树状图可知： 共有 20 种等可能的情况，其中 1 男 1 女有 12 种， 故所选学生为 1 男 1 女的概率为：P＝ 12 20 ＝ 3 5 ． 【点睛】 本题考查了频数分布直方图、用样本估计总体、求事件概率的知识点，熟练掌握这些知识点 的概念及计算方法是解题的关键． 22．（1）甲、乙两种型号水杯的销售单价分别为 30 元、55 元；（2）w＝﹣5a+800，第三月 的最大利润为 550 元． 【解析】 【分析】 （1）设甲种型号的水杯的售价为每个 x 元，乙种型号的水杯每个 y 元，根据题意列出方程 组求解即可， （2）根据题意写出利润W 关于 a 的一次函数关系式，列不等式组求解 a 的范围，从而利用 一次函数的性质求利润的最大值． 【详解】 解：（1）设甲种型号的水杯的售价为每个 x 元，乙种型号的水杯每个 y 元，则 22 8 1100 38 24 2460 x y x y      ① ② ① 3  ②得： 28 840,x  30,x  把 30x  代入①得： 55,y  30,55 x y   答：甲、乙两种型号水杯的销售单价分别为 30 元、55 元； （2）由题意得：甲种水杯进了 a 个，则乙种水杯进了 80 a 个， 所以：     30 25 55 45 80 5 800,W a a a        又  25 45 80 2600 55 a a a       ① ② 由①得： 50a  ， 所以不等式组的解集为：50 55,a  其中 a 为正整数，所以 50,51,52,53,54,55.a  5 0,k   ＜ W 随 a 的增大而减小， 当 50a  时，第三月利润达到最大，最大利润为： 5 50 800 550W      元． 【点睛】 本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式组的应用，掌握以上知识是 解题的关键． 23．（1）见解析；（2） 5 2 3 【解析】 【分析】 （1）根据正方形的性质以及 EF⊥DE，证明△DME≌△ENF 即可； （2）根据勾股定理计算出 DF，根据平行线的性质得到 DC DG AF FG  ，计算出 DG，FG 的值， 利用特殊角的锐角三角函数计算出 DE 的值，最后证明△DGE∽△AGF，利用相似比列出方 程即可求出 GE 的值． 【详解】 （1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，且 MN∥BC， ∴四边形 ANMD 是矩形，∠BAC=45°， ∴∠ANM=∠DMN=90°，EN=AN=DM， ∴∠DEM+∠EDM=90°， ∵EF⊥DE， ∴∠DEM+∠FEN=90°， ∴∠EDM=∠FEN， ∴在△DME 与△ENF 中 ∠DME=∠ENF=90°，DM=EN，∠EDM=∠FEN， ∴△DME≌△ENF（ASA）， ∴EF＝DE； （2）∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB∥DC，∠DAB=90°， ∴DF= 2 2 2 5AD AF  ， ∴ DC DG AF FG  ，即 4 2 2 5 DG DG   ，解得：DG= 4 5 3 ， ∴FG=DF-DG= 2 5 3 ， 又∵DE=EF，EF⊥DE， ∴△DEF 是等腰直角三角形， ∴∠EDF=45°，DE=EF= 2sin 45 2 5 102DF     ， ∴∠GAF=∠GDE=45°， 又∵∠DGE=∠AGF， ∴△DGE∽△AGF， ∴ DE GE AF GF  ，即 10 2 2 5 3 GE ，解得： 5 2 3GE  ， ∴ 5 2 3GE  ． 【点睛】 本题考查了正方形的性质以及相似三角形的性质及判定，第（1）问的解题关键是证明 △DME≌△ENF，第（2）问的解题关键是通过相似三角形的性质列出方程． 24．（1）y＝﹣ 3 4 x2+ 9 4 x+3；（2）不存在，理由见解析；（3）⊙M 的半径为 9 4 或 8 3 【解析】 【分析】 （1）已知抛物线 y＝ax2+ 9 4 x+c 经过点 A(﹣1,0)和点 C(0,3)，利用待定系数法即可求得抛物 线解析式； （2）在抛物线上找到一点 Q，使得 △ QCO 是等边三角形，过点 Q 作 OM⊥OB 于点 M，过 点 Q 作 QN⊥OC 于点 N，根据 △ QCO 是等边三角形，求得 Q 点坐标，再验证 Q 点是否在抛 物线上； （3）分两种情况①当⊙M 与 y 轴相切，如图所示，令 M 点横坐标为 t，PM=t，将 PM 用 t 表示出来，列出关于 t 的一元二次方程，求得 t，进而求得半径；②⊙M 与 x 轴相切，过点 M 作 MN⊥OB 于 N，如图所示，令 M 点横坐标为 m，因为 PN=2MN，列出关于 m 的一元 二次方程，即可求出 m，进而求得⊙M 的半径． 【详解】 （1）∵抛物线 y＝ax2+ 9 4 x+c 经过点 A(﹣1,0)和点 C(0,3) ∴ 9 04 3 a c c       解得 3 4 3 a c      ∴该抛物线的解析式为：y＝﹣ 3 4 x2+ 9 4 x+3 故答案为：y＝﹣ 3 4 x2+ 9 4 x+3 （2）在抛物线上找到一点 Q，使得 △ QCO 是等边三角形，过点 Q 作 OM⊥OB 于点 M，过 点 Q 作 QN⊥OC 于点 N ∵ △ QCO 是等边三角形，OC=3 ∴CN= 3 2 ∴NQ= 2 2 2 23 3 33 ( )2 2CQ CN    即 Q( 3 3 2 , 3 2 ) 当 x= 3 3 2 时，y＝﹣ 3 4 ×( 3 3 2 )2+ 9 4 × 3 3 2 +3= 27 3 33 8 16  ≠ 3 2 ∴Q( 3 3 2 , 3 2 )不在抛物线上 y＝﹣ 3 4 x2+ 9 4 x+3 故答案为：不存在，理由见解析 （3）①⊙M 与 y 轴相切，如图所示 ∵y＝﹣ 3 4 x2+ 9 4 x+3 当 y=0 时，﹣ 3 4 x2+ 9 4 x+3=0 解得 x1=-1，x2=4 ∴B(4,0) 令直线 BC 的解析式为 y=kx+b 4 0 3 k b b     解得 3 4 3 k b      ∴直线 BC 的解析式为 3 34y x   令 M 点横坐标为 t ∵MP∥y 轴，⊙M 与 y 轴相切 ∴t=﹣ 3 4 t2+ 9 4 t+3- 3( 3)4 t  解得 t= 8 3 ⊙M 的半径为 8 3 ②⊙M 与 x 轴相切，过点 M 作 MN⊥OB 于 N，如图所示 令 M 点横坐标为 m ∵PN=2MN ∴ 23 9 33 2( 3)4 4 4m m m      解得 m=1 或 m=4（舍去） ∴⊙M 的半径为： 3 3 93 34 4 4m      故答案为：⊙M 的半径为 9 4 或 8 3 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，是二次函数的综合题，涉及了二次函数与几何问 题，二次函数与圆的问题，其中考查了圆切线的性质．