中考数学三轮真题集训冲刺知识点32矩形菱形与正方形pdf含解析

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中考数学三轮真题集训冲刺知识点32矩形菱形与正方形pdf含解析

1 / 46 一、选择题 1.(2019·苏州)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O,AC=4,BD=16 将△ABO 沿点 A 到点 C 的方向平移,得到△A'B'O'.当点 A '与点 C 重合时,点 A 与点 B'之问的距离为( ) A.6 B.8 C.10 D.12 【答案】C 【解析】∵四边形 ABCD 是菱形,∴AC⊥BD,AO=OC 1 2 = AC=2,OB=OD 1= 2 BD=8,∵△ABO 沿 点 A 到点 C 的方向平移,得到△A'B'O',点 A'与点 C 重合,∴O'C=OA=2,O'B'=OB=8,∠CO'B'=90°, ∴AO'=AC+O'C=6,∴AB' = O'B'2 + AO'2 = 82 + 62 = 10,故选 C. 2.(2019·温州)如图,在矩形 ABCD 中,E 为 AB 中点,以 BE 为边作正方形 BEFG,边 EF 交 CD 于点 H, 在边 BE 上取点 M 使 BM=BC,作 MN∥BG 交 CD 于点 L,交 FG 于点 N.欧几里得在《几何原本》中利用 该图解释了(a+b)(a-b)=a2-b2.现以点 F 为圆心,FE 为半径作圆弧交线段 DH 于点 P,连结 EP,记 △EPH 的面积为 S1,图中阴影部分的面积为 S2.若点 A,L,G 在同一直线上,则 1 2 S S 的值为 ( ) A. 2 2 B. 2 3 C. 2 4 D. 2 6 【答案】C 【解析】如图,连接 ALGL,PF.由题意:S 矩形 AMLD=S 阴=a2﹣b2,PH= 22-ab,∵点 A,L,G 知识点 32——矩形、菱形与正方形 2 / 46 在同一直线上,AM∥GN,∴△AML∽△GNL,∴ = ,∴ = ,整理得 a=3b,∴ = = = ,故选 C. 3.(2019·绍兴)正方形 ABCD 的边 AB 上有一动点 E,以 EC 为边作矩形 ECFG,且边 FG 过点 D,在 点 E 从点 A 移动到点 B 的过程中,矩形 ECFG 的面积( ) A.先变大后变小 B.先变小后变大 C.一直变大 D.保持不变 【答案】D 【解析】∵四边形 ABCD 和四边形 ECFG 是矩形, ∴∠B=∠F=∠BCD=∠ECF=90°, 又∵∠BCE+∠ECD=∠ECD+∠FCD=90°, ∴∠BCE=∠FCD,∴△BCE∽△FCD; ∴ BC CF EC = CD ,∴BC•CD=FC• CE,∴矩形 AEFG 与矩形 ABCD 的面积相等,故选 D. 4. (2019·烟台)如图,面积为 24 的□ABCD 中,对角线 BD 平分∠ABC ,过点 D 作 DE ⊥ BD 交 BC 的延长线于点 E, DE = 6 ,则sin ∠DCE 的值为( ). A. 24 25 B. 4 5 C. 3 4 D. 12 25 【答案】A 【解析】连接 AC,交 BD 于点 F,过点 D 作 DM CE⊥ ,垂足为 M, F A D B C M E 第 4题答图 3 / 46 因为四边形 ABCD 是平行四边形, 所以 F 是 BD 的中点,AD//BC, 所以 DBC ADB∠=∠, 因为 BD 是 ABC∠ 的平分线, 所以 ABD DBC∠=∠, 所以 ABD ADB∠=∠, 所以 AB AD= , 所以□ABCD 是菱形, 所以 AC BD⊥ , 又因为 DE BD⊥ , 所以 AC//DE, 因为 AC//DE,F 是 BD 的中点, 所以 C 是 BE 的中点, 所以 1 32CF DE= = , 因为四边形 ABCD 是菱形, 所以 26AC FC= = , 2ABCD AC BDS ×=菱形 , 所以 2 2 24 86 ABCDSBD AC ×= = =菱形 , 所以 1 42BF BD= = , 在 Rt△BFD 中,由勾股定理得 225BC BF CF= +=, 因为四边形 ABCD 是菱形, 所以 5DC BC= = , 因为 ABCDS BC DM= ×菱形 所以 24 5 ABCDSDM BC = =菱形 , 在 Rt△DCM 中, 24sin 25 DMDCE∠ = DC = . 5.(2019·江西)如图,由 10 根完全相同的小棒拼接而成,请你再添 2 根与前面完全相同的小 棒,拼接后的图形恰好有 3 个菱形的方法共有( ) A.3 种 B.4 种 C.5 种 D.6 种 4 / 46 【答案】B 【解题过程】具体拼法有 4 种,如图所示: 6.(2019·株洲)对于任意的矩形,下列说法一定正确的是( ) A.对角线垂直且相等 B.四边都互相垂直 C.四个角都相等 D.是轴对称图形,但不是中心对称图形 【答案】C 【解析】根据矩形的性质可知,矩形的对角线相等但不一定垂直,所以选项 A 是错误的;矩形相邻的边 互相垂直,对边互相平行,所以选项 B 是错误的;矩形的四个角都是直角,所以四个角都相等是正确的; 矩形既是轴对称图形,又是中心对称图形,所以选项 D 是错误的;故选 C. 7.(2019·娄底)顺次连接菱形四边中点得到的四边形是( ) A 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 【答案】C 【解析】如图:菱形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、AD 的中点, ∴EH∥FG∥BD,EH=FG= 1 2 BD;EF∥HG∥AC,EF=HG= 1 2 AC, 故四边形 EFGH 是平行四边形, 5 / 46 又∵AC⊥BD, ∴EH⊥EF,∠HEF=90° ∴四边形 EFGH 是矩形. 故选 C. 8.(2019·安徽)如图,在正方形 ABCD 中,点 E、F 将对角线 AC 三等分,且 AC=12.点 P 在正方形 的边上,则满足 PE+PF=9 的点 P 的个数是( ) A. 0 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解题过程】如图,作点 F 关于 CD 的对称点 F/,连接 PF/、PF,则 PE+PF=EF/,根据两点之间线段 最知可知此时 PE+PF 的值最小.过点 E 作 EH⊥FF/,垂足为点 H,FF’交 CD 于点 G,易知△EHF、△ CFG 是等腰直角三角形,∴EH=FH=FG=F’G= 2 2 EF=2 2 ,∴EF’= 22'EH F H+ = ( ) ( )22 22 62+ =4 5 <9.根据正方形的对称性可知正方形 ABCD 的每条边上都有一点 P 使得 PE+ PF 最小值.连接 DE、DF,易求得 DE+DF=4 10 >9,CE+CF=12>0,故点 P 位于点 B、D 时,PE +PF>9,点 P 位于点 A、C 时,PE+PF>9,∴该正方形每条边上都有 2 处点使得 PE+PF=9,共计 点 P 有 8 处. 9.(2019·无锡)下列结论中,矩形具有而菱形不一定具有的性质是( ) A.内角和为 360° B.对角线互相平分 C.对角线相等 D.对角线互相垂直 【答案】C 【解析】本 题 考 查 了 矩形 的 性 质 、菱 形 的 性 质 ,矩 形 的 对 角 线 相 等 且 平 分 ,菱 形 的 对 角 线 垂 直 且 平 分 , 所 以 矩 形 具 有 而 菱 形 不 具 有 的 为 对 角 线 相 等 , 故 选 C. 10. (2019·泰安)如图,矩形 ABCD 中,AB=4,AD=2,E 为 AB 的中点,F 为 EC 上一动点,P 为 DF 中点,连 接 PB,则 PB 的最小值是( ) A.2 B.4 C.2 D. 2 2 H P F' A B C D E F G 6 / 46 【答案】D 【解析】∵F 为 EC 上一动点,P 为 DF 中点,∴点 P 的运动轨迹为△DEC 的中位线 MN,∴MN∥EC,连接 ME,则四边形 EBCM 为正方形,连接 BM,则 BM⊥CE,易证 BM⊥MN,故此时点 P 与点 M 重合,点 F 与 点 C 重合,BP 取到最小值,在 Rt△BCP 中,BP= 22BC CP+ = 22. 11.(2019·眉山)如图,在矩形 ABCD 中 AB=6,BC=8,过对角线交点 O 作 EF⊥AC 交 AD 于点 E,交 BC 于点 F,则 DE 的长是( ) A.1 B. 7 4 C.2 D.12 5 【答案】B 【解析】连接 CE,∵四边形 ABCD 是矩形,∴∠ADC=90°,OC=OA,AD=BC=8,DC=AB=6,∵ EF⊥AC,OA=OC,∴ AE=CE,在 Rt△DEC 中,DE2+DC2=CE2,即 DE2+36=(8-DE)2,解得:x= 7 4 , 故选 B. 12.(2019·攀枝花)下列说法错误的是( ) A.平行四边形的对边相等 B.对角线相等的四边形是矩形 C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D.正方形既是轴对称图形、又是中心对称图形 【答案】B 【解析】对角线相等的四边形不一定是矩形,如等腰梯形.故选 B. 7 / 46 13.(2019·攀枝花)如图,在正方形 ABCD 中,E 是 BC 边上的一点,BE=4,EC=8,将正方形边 AB 沿 AE 折叠到 AF,延长 EF 交 DC 于 G。连接 AG,现在有如下四个结 论:①∠EAG=45°;②FG=FC; ③FC∥AG;④S △ GFC=14.其中结论正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】由题易知 AD=AB=AF,则 Rt△ADG≌Rt△AFG(HL). ∴GD=GF,∠DAG=∠GAF. 又∵∠FAE=∠EAB, ∴∠EAG=∠GAF+∠FAE= 1 2 (∠BAF+∠FAD)= 1 2 ∠BAD=45°,所以①正确; 设 GF=x,则 GD=GF=x. 又∵BE=4,CE=8,∴DC=BC=12,EF=BE=4. ∴CG=12-x, EG=4+x. 在 Rt△ECG 中,由勾股定理可得 82+(12-x)2=(4+x)2 ,解得 x=6. ∴FG=DG=CG=6,又∠FGC≠60°,∴△FGC 不是等边三角形,所以②错误; 连接 DF,由①可知△AFG 和△ADC 是对称型全等三角形,则 FD⊥AG. 又∵FG=DG=GC, ∴△DFC 为直角三角形,∴FD⊥CF,∴FC∥AG,∴③成立; ∵EC=8,∴S△ECG= 1 2 EC·CG=24, 又∵ FCG ECG S S   = FG EG = 3 5 , ∴S△FCG= 3 5 S△ECG= 72 5 . ∴④错误, 故正确结论为①③,选 B. 【知识点】正方形的性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理;等高不同底的三角形面积比 G F DA B CE G F DA B CE 8 / 46 14.(2019·金华)将一张正方形纸片按如图步骤,通过折叠得到图④,再沿虚线剪去一个角,展开铺 平后得到图⑤,其中 FM、GN 是折痕,若正方形 EFGH 与五边形 MCNGF 面积相等,则 FM GF 的值是( ) A. 52 2 − B. 21− C. 1 2 D. 2 2 【答案】A. 【解析】连接 EG,FH 交于点 O,由折叠得 △ OGF 是等腰直角三角形,OF= 2 2 GF.∵正方形 EFGH 与 五边形 MCNGF 面积相等,∴(OF+FM)2=GF+ 1 4 GF= 5 4 GF2,∴ 2 2 GF+FM= 5 2 GF,∴ FM= 5 2 GF- 2 2 GF,∴ FM GF = 52 2 − .故选 A. 15. (2019·台州)如图,有两张矩形纸片 ABCD 和 EFGH,AB=EF=2cm,BC=FG=8cm,把纸片 ABCD 交 叉 叠放在纸片 EFGH 上,使重叠部分为平行四边形时,且点 D 与点 G 重合,当两张纸片交叉所成的角α 最 小时,tanα 等于( ) A. 1 4 B. 1 2 C. 8 17 D. 8 15 【答案】D 【解析】当点 B 与点 E 重合时,重叠部分为平行四边形且α 最小,∵两张矩形纸片全等,∴重叠部分为菱形, ⑤④③②① H D G N C F M BA E xH D G N C F M B O A E 9 / 46 设 FM=x,∴EM=MD=8-x,EF=2,在 Rt△EFM 中,EF2+FM2=EM2,即 22+x2=(8-x)2,解之得:x=15 4 ,∴ tanα = EF FM = 8 15 ,故选 D. 16. (2019·台州)如图是用 8 块 A 性瓷砖(白色四边形)和 8 块 B 型瓷砖(黑色三角形)不重叠,无空隙拼接 而 成的一个正方形图案,图案中 A 型瓷砖的总面积与 B 型瓷砖的总面积之比为( ) A. 2 :1 B3:2 C. 3 :1 D. 2 :2 第 16 题图 【答案】A 【解析】如图,是原图的 1 8 ,过点 E 作 EK⊥AC,作 EF⊥BC,∴易证△AEK,△BEF 为等腰直角三角形,设 AK 为 x, 则 EK = CF = DF = x,AE = BD = 2 x, ∴ KC = EF = ( )2 +1 x, ∴ ( ) ( ) 211= 2 1 2 = 2 +122S EF DC x x x⋅ =⋅+⋅阴影 , ( ) ( ) ( ) 211 1 1= 2 1 2 2 2 = 2+222 2 2S EF BD AC EK x x x x x⋅+ ⋅=⋅+⋅+⋅+⋅空白 ,∴ ( ) ( ) 2 2 2+ 2 =2 21 xS S x = + 空白 阴影 , 故选 A. 10 / 46 17.(2019·重庆 A 卷)下列命题正确的是( ) A.有一个角是直角的平行四边形是矩形 B.四条边相等的四边形是矩形 C.有一组邻边相等的平行四边形是矩形 D.对角线相等的四边形是矩形 【答案】A. 【解析】根据矩形的定义,易知选项 A 正确,另外,对角线互相平分且相等的四边形是矩形;三个角是 直角的四边形是矩形;对角线相等的平行四边形是矩形. 18.(2019·德州)如图,正方形 ABCD,点 F 在边 AB 上,且 AF:FB=1:2,CE⊥DF,垂足为 M, 且交 AD 于点 E,AC 与 DF 交于点 N,延长 CB 至 G,使 BG= BC,连接 CM.有如下结论:①DE= AF;②AN= AB;③∠ADF=∠GMF;④S△ANF:S 四边形 CNFB=1:8.上述结论中,所有正确 结论的序号是( ) A.①② B.①③ C.①②③ D.②③④ 【答案】C 【解析】∵四边形 ABCD 是正方形,∴AD=AB=CD=BC,∠CDE=∠DAF=90°,∵CE⊥DF,∴∠ DCE+∠CDF=∠ADF+∠CDF=90°,∴∠ADF=∠DCE,在 △ ADF 与△DCE 中, , ∴△ADF≌△DCE(ASA), ∴ DE=AF;故 ① 正确;∵AB∥CD,∴ = ,∵AF:FB=1:2, ∴AF:AB=AF:CD=1:3,∴ = ,∴ = ,∵ AC= AB,∴ = ,∴ AN= AB; 故 ② 正确; 作 GH⊥CE 于 H,设 AF=DE=a,BF=2a,则 AB=CD=BC=3a,EC= a,由 △ CMD∽△CDE, 可得 CM= a,由△GHC∽△CDE,可得 CH= a,∴CH=MH= CM,∵GH⊥CM,∴ GM=GC,∴∠GMH=∠GCH,∵∠FMG+∠GMH=90°,∠DCE+∠GCM=90°,∴∠FEG=∠ 11 / 46 DCE,∵∠ADF=∠DCE, ∴∠ADF=∠GMF;故 ③ 正确,设△ANF 的面积为 m,∵AF∥CD,∴ = = ,△AFN∽△ CDN,∴△ADN 的面积为 3m,△DCN 的面积为 9m,∴△ADC 的面积=△ABC 的面积=12m,∴S△ ANF:S 四边形 CNFB=1:11,故 ④ 错误,故选 C. 19.(2019·遂宁)如图,四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,△BPC 是等边三角形,连接 DP 并延长交 CB 的延长线于点 H,连接 BD 交 PC 于点 Q,下列结论: ①∠BPD=135°;②△BDP∽△HDB③DQ;BQ=1:2;④S△BDP= 4 13 − ,其中正确的有 ( ) A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④ 【答案】D 【解析】由正方形 ABCD 可得∠BCD=90°,BC=DC,由△BPC 是等边三角形可得∠BCP =∠BPC=60°,BC=PC,∴∠DCP=30°,PC=DC,∴∠DPC=75°,∴∠BPD=135°,①正确;∵正方形 ABCD, ∴∠CBD=45°,∴∠HBD=135°=∠BPD,∵公共角 BDP,∴△BDP∽△HDB 成立,②正确;如图,过 Q 作 QM ⊥BC于M,反向延长交AD于N,则 Rt△CMQ中 ,∠ BCQ=60° ,设 CM=x,则 QM= x3 ,Rt△BMQ中 ,∠ QBM=45°, 则 BM=QM= x3 ,因为正方形边长为 1,所 以 x3 +x=1,∴ x= 2 1-3 ,∴ MQ= x3 = 2 33− ,NQ=1-MQ= 2 1-3 , ∴DQ;BQ=NQ:MQ= 3 3 ,∴③错误; 如图,过点 D 作 BP 的延长线的垂线于点 E,由①知∠BPD=135°,∴∠EPD=45° ,∴ PE=DE,设 PE=DE=a, 则 PB=a,BD= a2 ,∴Rt△BDE 中,由勾股定理可求得 222 2)1 )(( =++ aa ,∴ 2 31±−=a ,∵a>0, 12 / 46 所以 2 31+−=a ∴S△BDP= 4 13 − ,故④正确;故选 D. 二、填空题 1.(2019·温州)三个形状大小相同的菱形按如图所示方式摆放,已知∠AOB=∠AOE=90°,菱形的较 短对角线长为 2cm.若点 C 落在 AH 的延长线上,则△ABE 的周长为 cm. 【答案】12+8 2 【解析】连接 AC、IC,AC 交 OI 于点 M、BO 于点 N,IC 交 BO 于点 P.设∠AHO=α,则∠COB=∠IOB=α,. ∵点 C 落在 AH 的延长线上,∴A、H、C 三点共线.∵图中的三个菱形是形状大小相同的,∴∠CBO=∠CAO, 又∵∠BNC=∠ANO,∴∠BCA=∠AOB=90°.∵BC∥IO,∴∠CMO=∠BCA=90°.∵CO=HO,∴∠HOM=∠COM=2 α,∴α+2α+α=90°,则α=22.5°,即∠BOI=22.5°,∠PIO=67.5°.作∠QIO=∠BOI=22.5°,交 BO 于点Q,则∠PIQ=45°,∴PI=PN=1,IQ=QO = 2 ,PO=1+ 2 ,BO=2+2 2 ,∴AB= 2 BO=2 2 +4,BE=2BO=4+4 2 ,∴△ABE 的周长为 2AB+BE=(4 2 +8)+(4+4 2 )=12+8 2 . 故填:12+8 2 . 2.(2019·绍兴).把边长为 2 的正方形纸片 ABCD 分割成如图的四块,其中点 O 为正方形的中心, 点 E,F 分别是 AB,AD 的中点,用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形 MNPQ(要求这四块纸片 不 重叠无缝隙),则四边形 MNPQ 的周长是 . 13 / 46 【答案】10 或 8+2 2 或 6+2 2 【解析】通过动手操作可得如图所示,再根据周长的定义即可求解. 图 1 的周长为 1+2+3+2 2 =6+2 2 ;图 2 的周长为 1+4+1+4=10; 图 3 的周长为 3+5+ 2 + =8+2 2 . 故四边形 MNPQ 的周长是 6+2 2 或 10 或 8+2 2 . 故答案为:6+2 2 或 10 或 8+2 2 . 3.(2019·杭州)如图,把某矩形纸片 ABCD 沿 EF,GH 折叠(点 E,H 在 AD 边上.点 F,G 在 BC 边上), 使点 B 和点 C 落在 AD 边上同一点 P 处,A 点的对称点为 A'点,D 点的对称点为 D'点,若∠FPG-90°, △A'EP 的面积为 4,△D'PH 的面积为 1,则矩形 ABCD 的面积等于__________. 【答案】2(5+3 5 ) 【解析】∵四边形 ABC 是矩形,∴AB=CD,AD=BC,设 AB=CD=x,由翻折可知:PA′=AB=x,PD′=CD=x, ∵△A′EP 的面积为 4,△ D′PH 的面积为 1,∴ A′E=4D′H,设 D′H=a,则 A′E=4a,∵ △ A′EP∽△D′ H G DP A' A B E F C D' 14 / 46 PH,∴ = ,∴ = ,∴x2=4a2,∴x=2a 或-2a(舍弃),∴PA′=PD′=2a,∵ •a•2a=1, ∴a=1,∴x=2,∴AB=CD=2,PE= =2 5 ,PH= = 5 ,∴AD=4+2 + +1=5+3 ,∴ 矩形 ABCD 的面积=2(5+3 5 ).故答案为 2(5+3 5 ). 4.(2019·青岛) 如图,在正方形纸片 ABCD 中,E 是 CD 的中点,将正方形纸片折叠,点 B 落在统 段 AE 上的点 G 处,折痕为 AF. 若 AD=4cm ,则 CF 的长是为 cm. 【答案】6-2 5 【解析】由勾股定理得 AE=2 5 ,根据题意得 GE=2-4 5 ,设 BF=xcm,则 FC=(4-x)cm,所以(2 5 -4)2+x2=22+(4-x)2,解得 x=2 5 -2,所以 CF=6-2 5 . 5.(2019·淮安)如图,在矩形 ABCD 中,AB=3,BC=2,H 是 AB 的中点,将△CBH 沿 CH 折叠, 点 B 落在矩形内点 P 处,连接 AP,则 tan∠HAP= . 第 5 题图 【答案】4 【解析】如图所示,连接 PB 交 CH 于点 O. 第 5 题答图 ∵H 是 AB 的中点, 15 / 46 ∴HB= 2 1 AB= 2 3 . ∵将△CBH 沿 CH 折叠,点 B 落在矩形内点 P 处, ∴HP=HB,PB=2BO= 5 12 2 5 32 2)2 3( 22 3 22 22 =×= + × ×=⋅× HC BCHB . ∵HP=HB= 2 1 AB, ∴△APB 是直角三角形, ∴tan∠HAP= PA PB = 22 PBAB PB − = 22 )5 12(3 5 12 − = 5 9 5 12 =4. 6. (2019·泰安)如图,矩形 ABCD 中,AB=3 6 ,BC=12,E 为 AD 中点,F 为 AB 上一点,将△AEF 沿 EF 折 叠后,点 A 恰好落到 CF 上的点 G 处,则折痕 EF 的长是________. 【答案】2 15 【解析】连接 CE,∵点 E 是 AD 的中点,∴AE=ED=EG,∠EGC=∠D,∴△EGC≌△EDC,∴GC=AB= 36,设 AF=GF=x,∴FB= 36-x,在 Rt△FBC 中,FB2+BC2=FC2,即( 36-x)2+122=(x+ 36)2,解 之,得:x= 26,在 Rt△AFE 中,EF= 22=2 15AE AF+ . 7.(2019·潍坊)如图,在矩形 ABCD 中,AD=2.将∠A 向内翻折,点 A 在 BC 上,记为 A′,折痕为 16 / 46 DE.若将∠B 沿 EA′向内翻折,点 B 恰好落在 DE 上,记为 B′,则 AB=. 【答案】 3 【解析】由翻折可得∠AED=∠A′ED=∠A′EB=60°, ∴∠ADE=∠A′DE=∠A′DC=30°. ∴A′D 平分∠EDC, ∵A′B′⊥ DE,A′C⊥DC, ∴A′C=A′B′. ∵A′B′=A′B ∴A′C=A′B, ∵BC=AD=2 ∴A′C=1. 在 Rt△A′DC 中, tan30°= '3 3 A C DC = . ∴DC= 3 . ∴AB= 3 . 8.(2019·天津)如图,正方形纸片 ABCD 的边长为 12,E 是边 CD 上一点,连接 AE,折叠该纸片, 使点 A 落在 AE 上的 G 点,并使折痕经过点 B,得到折痕 BF,点 F 在 AD 上,若 DE=5,则 GE 的长为 【答案】 13 49 【解析】由正方形 ABCD 可得 Rt△ADE,由于 AD=12,DE=5,由勾股定理可得 AE=13。因为折叠可知, BF 垂直平分 AG,所 以 ∠ABF=∠DAE,又因为 AB=AD,∠BAD=∠DAE=90°,可以证明△ABF≌△DAE, 17 / 46 得出 AF=DE=5,设 BF,AE 交于点 M,根 据 sin∠FAM=sin∠EAD 可得 AM= 13 60 ,由于折叠可知 MG=AM= 13 60 ,从而可求得 GE=13- 13 60 - 13 60 = 13 49 . 9.(2019·湖州)七巧板是我国祖先的一项卓越创造,被誉为“东方魔板”.由边长为 4 2 的正方形 ABCD 可以制作一副如图 1 所示的七巧板,现将这副七巧板在正方形 EFGH 内拼成如图 2 所示的“拼 搏兔”造型(其中点 Q、R 分别与图 2 中的点 E、G 重合,点 P 在边 EH 上),则“拼搏兔”所在正 方形 EFGH 的边长是_____. 【答案】 4 5 . 【解析】如答图,延长 ET 交 GH 于点 N,延长 GJ 交 EF 于点 M,连接 MN,则 M、N 分别为 EF、GH 的中点.由图 1 可知 AC=8,从而 ET=2=TK=KM,TM=4,在 Rt△ETM 中,由勾股定理,得 EM= 22 + 42 = 2 5 ,从而 EF=2EM= 4 5 ,因此答案为 4 5 . 三、解答题 1.(2019 山东省德州市,24,12)(1)如图 1,菱形 AEGH 的顶点 E、H 在菱形 ABCD 的边上,且∠ BAD=60°,请直接写出 HD:GC:EB 的结果(不必写计算过程) (2)将图 1 中的菱形 AEGH 绕点 A 旋转一定角度,如图 2,求 HD:GC:EB; (3)把图 2 中的菱形都换成矩形,如图 3,且 AD:AB=AH:AE=1:2,此时 HD:GC:EB 的结 果与(2)小题的结果相比有变化吗?如果有变化,直接写出变化后的结果(不必写计算过程);若无 变化,请说明理由. 【解题过程】(1)连接 AG, ∵菱形 AEGH 的顶点 E、H 在菱形 ABCD 的边上,且∠BAD=60°, ∴∠GAE=∠CAB=30°,AE=AH,AB=AD, ∴A,G,C 共线,AB﹣AE=AD﹣AH, ∴HD=EB, 18 / 46 延长 HG 交 BC 于点 M,延长 EG 交 DC 于点 N,连接 MN,交 GC 于点 O,则 GMCN 也为菱形, ∴GC⊥MN,∠NGO=∠AGE=30°, ∴ =cos30°= , ∵GC=2OG, ∴ = , ∵HGND 为平行四边形, ∴HD=GN, ∴HD:GC:EB=1: :1. (2)如图 2,连接 AG,AC, ∵△ADC 和△AHG 都是等腰三角形, ∴AD:AC=AH:AG=1: ,∠DAC=∠HAG=30°, ∴∠DAH=∠CAG, ∴△DAH∽△CAG, ∴HD:GC=AD:AC=1: , ∵∠DAB=∠HAE=60°, ∴∠DAH=∠BAE, 在△DAH 和△BAE 中, ∴△DAH≌△BAE(SAS) ∴HD=EB, ∴HD:GC:EB=1: :1. 19 / 46 (3)有变化. 如图 3,连接 AG,AC, ∵AD:AB=AH:AE=1:2,∠ADC=∠AHG=90°, ∴△ADC∽△AHG, ∴AD:AC=AH:AG=1: , ∵∠DAC=∠HAG, ∴∠DAH=∠CAG, ∴△DAH∽△CAG, ∴HD:GC=AD:AC=1: , ∵∠DAB=∠HAE=90°, ∴∠DAH=∠BAE, ∵DA:AB=HA:AE=1:2, ∴△ADH∽△ABE, ∴DH:BE=AD:AB=1:2, ∴HD:GC:EB=1: :2 2.(2019·遂宁)如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,延长 BC 到 E,使 CE=BC,连接 AE 交 CD 于点 F,点 F 是 CD 的中点. 求证:(1)△ADF≌△ECF; (2)四边形 ABCD 是平行四边形 20 / 46 . 解 :( 1)证明:∵AD∥BC, ∴∠DAF=∠CEF,∠ADF=∠ECF, ∵点 F 是 CD 的中点, ∴DF=CF, ∴△ADF≌△ECF; (2)∵△ADF≌△ECF ∴AD=CE, ∵CE=BC, ∴AD=BC, ∵AD∥BC, ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 3.(2019 山东滨州,24,13 分)如图,矩形 ABCD 中,点 E 在边 CD 上,将△BCE 沿 BE 折叠,点 C 落在 AD 边上的点 F 处,过点 F 作 FG∥CD 交 BE 于点 G,连接 CG. (1)求证:四边形 CEFG 是菱形; (2)若 AB=6,AD=10,求四边形 CEFG 的面积. 【解题过程】(1)证明:由题意可得, △BCE≌△BFE,∴∠BEC=∠BEF,FE=CE.………………………………………2 分 ∵FG∥CE,∴∠FGE=∠CEB,∴∠FGE=∠FEG,∴FG=FE,…………………3 分 ∴FG=EC,………………………………………………………………………………4 分 ∴四边形 CEFG 是平行四边形.………………………………………………………5 分 又∵CE=FE,∴四边形 CEFG 是菱形.………………………………………………6 分 (2)∵矩形 ABCD 中,AB=6,AD=10,BC=BF,………………………………7 分 ∴∠BAF=90°,AD=BC=BF=10, ∴AF=8,∴DF=2. 21 / 46 设 EF=x,则 CE=x,DE=6-x,……………………………………………………8 分 ∵FDE=90°, ∴22+(6-x)2=x2, 解得 x= ,……………………………………………………………………………12 分 ∴CE= , ∴四边形 CEFG 的面积是:CE•DF= ×2= .…………………………………13 分 4.(2019 年浙江省绍兴市,第 24 题,14 分 )如图,矩形 ABCD 中,AB=a,BC=b,点 M,N 分别在 边 AB,CD 上,点 E,F 分别在 BC,AD 上,MN,EF 交于点 P,记 k =MN∶EF. (1)若 a∶b 的值是 1,当 MN⊥EF 时,求 k 的值. (2)若a ∶b 的值是 2 1 ,求 k 的最大值和最小值. (3)若 k 的值是 3,当点 N 是矩形的顶点,∠M PE=60°,MP=EF=3PE 时,求 a ∶b 的值. 【思路分析】(1)因 为 a∶b的值是 1,从而可得四边形 ABCD 是正方形;可过 M作 MQ⊥CD,FH⊥BC, 由题意可证明△FHE≌ △M QN,从而可得 MN=EF,从而可求出 k 的值. (2)由 a ∶b 的值是 2 1 ,可 得 b=2a,要 求 k 的最大值和最小值,只要求出 MN 和 EF 的取值范围, 由题意可知 MN 的取值范围是 2a≤MN≤ 5 a,EF 的取值范围是 a≤EF≤ 5 a.所以要求 k 的最大值,则 MN 取最长,EF 最短;要求 k 的最小值,则 MN 取最短,EF 最长从而可求出 k 的最大值和最小值. (3)连接 FN,ME.由 k=3,MP=EF=3PE,得 MN EF PM PE = =3,得 PN PM = PF PE =2,由△PNF∽ △PME,得 PN PM = PF PE =2,ME∥NF,设 PE=2m,则 PF=4m,MP=6m,NP=12m,再分两种情 形: ① 如图 2 中,当点 N 与点 D 重合时,点 M 恰好与 B 重合. ② 如图 3 中,当点 N 与 C 重合,分 别求解即可. 22 / 46 【解题过程】 23 / 46 5.(2019·嘉兴)小波在复习时,遇到一个课本上的问题,温故后进行了操作、推理与拓展. (1)温故:如图 1,在△ABC 中,AD⊥BC 于点 D,正方形 PQMN 的边 QM 在 BC 上,顶点 P,N 分别在 AB,AC 上,若 BC=6,AD=4,求正方形 PQMN 的边长. (2)操作:能画出这类正方形吗?小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作:如图 2, 任意画△ABC,在 AB 上任取一点 P',画正方形 P'Q'M'N',使 Q',M'在 BC 边上,N'在△ABC 内,连结 BN'并延长交 AC 于点 N,画 NM⊥BC 于点 M,NP⊥NM 交 AB 于点 P,PQ⊥BC 于点 Q,得到四边形 PPQMN.小 波把线段 BN 称为“波利亚线”. (3)推理:证明图 2 中的四边形 PQMN 是正方形. (4)拓展:在(2)的条件下,在射线 BN 上截取 NE=NM,连结 EQ,EM(如图 3). 当 tan∠NBM= 时,猜想∠QEM 的度数,并尝试证明. 请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题. 24 / 46 【解题过程】温故:∵PN//BC,∴△APN∽△ABC,∴ PN AE BC AD = ,即 4 64 PN PN−= ,解得 PN= 12 5 (2)推理:由画法可得∠QMN=∠ PNM=∠PQM=∠ ' ''QM N=90°. ∴四边形 PQMN 为矩形,MM// ''MN. ∴△ ''BM N ∽△BNM, ∴ '' 'M N BN MN BN = 同理可得 '' 'P N BN PN BN = ∴ '' 'M N PN MN PN = ∵ ''MN= 'PN ∴MN=PN ∴四边形 PQMN 为正方形. (3)拓展:猜想∠QEM=90°,理由如下:由 tan∠NBM= MN BM = 3 4 ,可设 MN=3k,BM=4k. 则 BN=5k,BQ=k,BE=2k, ∴ BQ BE = 2 k k = 1 2 , BE BM = 2 4 k k = 1 2 , ∴ BQ BE = BE BM ∵∠QBE=∠EBM ∴△QBE∽△BEM. ∴∠BEQ=∠BME. ∵NE=NM,∴∠NEM=∠NME 25 / 46 ∵∠BME+∠EMN=90°,∴∠BEQ+∠NEM=90°. ∴∠QEM=90°. 6.(2019 浙江省杭州市,21,10 分)(本题满分 10 分) 如 图.已知正方形 ABCD 的边长为 1,正方形 CEFG 的面积为 S1,点 E 在 DC 边上,点 G 在 BC 的延长线.设以线段 AD 和 DE 为邻边的矩形的面积为 S2.且 S1=S2. (1)求线段 CE 的长. (2)若点 H 为 BC 边的中点,连接 HD,求证:HD=HG. 【解题过程】(1)设正方形 CEFG 的边长为 a, ∵正方形 ABCD 的边长为 1,∴DE=1-a, ∵S1=S2,∴a2=1×(1-a), 解得, (舍去), ,即线段 CE 的长是 ; (2)证明:∵点 H 为 BC 边的中点,BC=1,∴CH=0.5,∴DH= = , ∵CH=0.5,CG= ,∴HG= ,∴HD=HG. 7.(2019 山东烟台,22,9 分) 如图,在矩形 ABCD 中,CD = 2, AD = 4 ,点 P 在 BC 上,将ABP 沿 AP 折叠,点 B 恰好落 在对角线 AC 上的 E 点,O 为 AC 上一点, O 经过点 A,P. (1)求证:BC 是 O 的切线. (2)在边 CB 上截取 CF=CE,点 F 是线段 BC 的黄金分割点吗?请说明理由. H G F DA B C E 26 / 46 【解题过程】 (1)证明:连接 OP, 因为四边形 ABCD 为矩形, 所以 90B∠= °, 因为△APE 是由△ABP 折叠得到, 所以△APE≌△ABP, 所以 BAP EAP∠=∠, 因为OA OP= , 所以 APO EAP∠=∠, 所以 BAP APO∠=∠, 所以 AB//OP, 所以 90OPC B∠ =∠=°, 所以OP BC⊥ , 所以 BC 是 O 的切线. (2)解:点 F 是线段 BC 的黄金分割点,理由如下: 设 CF=x,则 CE=x, 因为四边形 ABCD 为矩形, 所以 90D∠= °, 2, 4AB CD BC AD= = = = , 因为△APE 是由△ABP 折叠得到, 所以△APE≌△ABP, 所以 2AE AB= = , 所以 2AC AE EC x=+=+, 在 Rt△ADC 中,由勾股定理得, 222AC CD AD= + ,即 2 22(2 ) 2 4x+=+,解得 25 2x =−−(舍去)或 25 2x = − , 所以 25 2FC = − , 因为 25 2 5 1 42 FC BC −−= = , 所以点 F 是线段 BC 的黄金分割点. A B D C O P E F 第 7 题答图 27 / 46 8.(2019山东省青岛市,23,10分)问题提出: 如图,图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L”形纸片,图②是一张a×b的方格纸(a×b的方 格纸指边长分别为a,b的矩形,被分成a×b个边长为1的小正方形,其中a≥2,b≥2,且a,b为正整数), 把图①放置在图②中,使它恰好盖住图②中的三个小正方形,共有多少种不同的放置方法? 问题探究: 为探究规律,我们采用一般问题特殊化的策略,先从最简单的情形入手,再逐次递进,最后得出一般性 的结论. 探究一: 把图①放置在2×2的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有多少种不同的放置方法? 如图③,对于2×2的方格纸,要用图①盖住其中的三个小正方形,显然有4种不同的放置方法. 探究二: 把图①放置在3×2的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有多少种不同的放置方法? 如图④,在3×2的方格纸中,共可以找到2个位置不同的2×2方格,依据探究一的结论可知,把图①放 置在3×2的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有2×4=8种不同的放置方法. 探究三: 把图①放置在a×2的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有多少种不同的放置方法? 如图⑤,在a×2的方格纸中,共可以找到 个位置不同的2×2方格,依据探究一的结论可知,把图 ①放置在a×2的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有 种不同的放置方法. 28 / 46 探究四: 把图①放置在a×3的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有多少种不同的放置方法? 如图⑥,在a×3的方格纸中,共可以找到 个位置不同的2×2方格,依据探究一的结论可知,把图 ①放置在a×3的方格纸中使它恰好盖住其中的三个小正方形共有 种不同的放置方法. …… 问题解决: 把图①放置在a×b的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有多少种不同的放置方法?(仿 照前面的探究方法,写出解答过程,不需画图.) 问题拓展: 如 图 ,图 ⑦是一个由4个棱长为1的小立方体构成的几何体,图⑧是一个长、宽、高分别为a,b,c(a≥2, b≥2,c≥2,且a,b,c是正整数)的长方体,被分成了a×b×c个棱长为1的小立方体,在图⑧的不同 位置共可以找到 个图⑦这样的几何体. 【解题过程】解:探究三: 根据探究二, 2a × 的方格纸中,共可以找到 ( 1)a − 个位置不同的 22× 方格, 根据探究一结论可知,每个 22× 方格中有 4 种放置方法,所以在 2a × 的方格纸中,共可以找到 ( 1) 4 (4 4)aa−×= − 种不同的放置方法; 故答案为 1a − , 44a − ; 探究四: 与探究三相比,本题矩形的宽改变了,可以沿用上一问的思路:边长为 a ,有 ( 1)a − 条边长为 2 的线段, 同理,边长为 3,则有 31 2−=条边长为 2 的线段, 所以在 3a × 的方格中,可以找到 2( 1) (2 2)aa−= − 个位置不同的 22× 方格, 根据探究一,在在 3a × 的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有 (2 2) 4 (8 8)aa− ×= − 种不 29 / 46 同的放置方法. 故答案为 2a − 2 ,8a − 8 ; 问题解决: 在 a ×b 的方格纸中,共可以找到 (a −1)(b −1) 个位置不同的 2× 2 方格, 依照探究一的结论可知,把图①放置在 a ×b 的方格纸中,使它恰好盖住其中的三个小正方形,共有 4(a −1)(b −1) 种不同的放置方法; 问题拓展: 发现图⑦示是棱长为 2 的正方体中的一部分,利用前面的思路, 这个长方体的长宽高分别为 a 、 b 、 c ,则分别可以找到(a −1) 、 (b −1) 、 (c −1) 条边长为 2 的线段, 所以在 a ×b× c 的长方体共可以找到 (a −1)(b −1)(c −1) 位置不同的 2× 2× 2 的正方体, 再根据探究一类比发现,每个 2× 2× 2 的正方体有 8 种放置方法, 所以在 a ×b× c 的长方体中共可以找到8(a −1)(b −1)(c −1) 个图⑦这样的几何体; 故答案为8(a −1)(b −1)(c −1) . 9.(2019山东省青岛市,21,8分)如图,在口ABCD中对角线AC与BD相交于点O,点E,F分别为OB, OD的中点,延长AE至G,使EG=AE,连接CG. (1)求证:△ABE≌△CDF ; (2)当AB与AC满足什么数量关系时,四边形EGCF是矩形?请说明理由. 【解题过程】(1)证明:四边形 ABCD 是平行四边形, AB CD∴=, //AB CD ,OB OD= ,OA OC= , ABE CDF∴∠ = ∠ , 点 E , F 分别为OB ,OD 的中点, 1 2BE OB∴= , 1 2DF OD= , BE DF∴= , 在 ABE∆ 和 CDF∆ 中, AB CD BAE CDF BE DF = ∠=∠  = , ()ABE CDF SAS∴∆ ≅ ∆ ; 30 / 46 (2)解:当 AC = 2AB 时,四边形 EGCF 是矩形;理由如下:  AC = 2OA , AC = 2AB , ∴ AB = OA, E 是 OB 的中点, ∴ AG ⊥ OB , ∴∠OEG = 90° , 同理:CF ⊥ OD , ∴ AG / /CF , ∴EG / /CF , EG = AE , OA = OC , ∴OE 是 ∆ACG 的中位线, ∴OE / /CG , ∴EF / /CG , ∴四边形 EGCF 是平行四边形, ∠OEG = 90° , ∴四边形 EGCF 是矩形. 10.(2019 江西省,13,6 分)(2)如图,四边形 ABCD 中,AB=CD,AD=BC,对角线 AC、BD 相 交于点 O,且 OA=OD. 求证:四边形 ABCD 是矩形. 【思路分析】(2)先利用两组对边分别相等证明四边形是平行四边形,再利用对角线相等证明四边形是 矩形. 【解题过程】解:(2)∵AB=CD,AD=BC,∴四边形 ABCD 是平行四边形,∴AC、BD 互相平分, 又∵OA=OD,∴AC=BD,∴四边形 ABCD 是矩形. 11.(2019·娄底)如图(13),点 E、F、G、H 分别在矩形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA(不包括 端 点)上运动,且满足 AE=CG,AH=CF. (1)求证:△AEH≌△CGF; (2)试判断四边形 EFGH 的形状,并说明理由. 31 / 46 (3)请探究四边形 EFGH 的周长的一半与矩形 ABCD 一条对角线长的大小关系,并说明理由. 【解题过程】 (1)证明:∵四边形 ABCD 为矩形, ∴ ∠A=∠C=90°, 又∵AE=CG,AH=CF, ∴△AEH≌△CGF (SAS) (2)四边形 EFGH 是平行四边形. 理由:由(1)中△AEH≌△CGF 得 HE=FG, ∵在矩形 ABCD 中有∠B=∠D=90°,AB=CD,BC=AD,且有 AE=CG,AH=CF, ∴HD=BF,BE=DG ∴△BEF≌△DGH ∴EF=GH, ∴四边形 EFGH 为平行四边形 (两组对边分别相等的四边形是平行四边形) (3)四边形 EFGH 的周长的一半大于或等于矩形 ABCD 一条对角线长. 理由如下: 如图 13-1, 连结BD,设 AE=CG=a,AH=CF=b,结合矩形 ABCD 中,AB=CD,BC=AD,不妨设 HD=BF=c,BE=DG=d. 由勾股定理得 22HE a b= + , 22HG c d= + , ( ) ( )22BD a d b c= + ++ ; ∴( ) ( ) ( ) ( )( )222 222 22 2 2HE HG BD a b c d a d b c+ − = ++ + − + ++ ( )( ) ( )222 2 222 2 222 22 22abcd abcd abcd adbc=+++ + + + − +++ + + ( )( ) ( )222 22 a b c d ad bc= + +−+ 又∵ ( )( )( ) ( ) ( )2 2222 2 2222222222222a b c d ad bc a c a d b c b d a d b c abcd+ + −+=+ ++ − ++ ( )222 2 2 20a c b d abcd ac bd=+− =−≥ ∴( )2 2 0HE HG BD+ −≥ ∴HE+HG≥BD 又∵四边形 EFGH 为平行四边形,四边形 ABCD 为矩形; 32 / 46 ∴四边形 EFGH 的周长的一半大于或等于矩形 ABCD 一条对角线长,当 E、F、G、H 为矩形 ABCD 的 四边中点时,四边形 EFGH 的周长的一半等于矩形 ABCD 一条对角线长. 12.(2019·益阳)如图,在 Rt△ABC 中,M 是斜边 AB 的中点,以 CM 为直径作⊙O 交 AC 于点 N, 延长 MN 至 D,使 ND=MN,连接 AD、CD,CD 交圆 O 于点 E. (1)判断四边形 AMCD 的形状,并说明理由; (2)求证:ND=NE; (3)若 DE=2,EC=3,求 BC 的长. 【解题过程】解:(1)四边形 AMCD 是菱形,理由如下: ∵M 是 Rt△ABC 中 AB 的中点, ∴CM=AM. ∵CM 为⊙O 的直径, ∴∠CMM=90, ∴MD⊥AC, ∴AN=CN. 又∵ND=MN, ∴四边形 AMCD 是菱形. (2)∵四边形 CEM 为⊙O 的圆内接四边形, ∴∠CEN+∠CMN=180°. 又∵∠CEN+∠DEN=180°, ∴∠CMN=∠DEN. ∵四边形 AMCD 是菱形, ∴CD=CM, ∴∠CDM=∠CMN. ∴∠DEN=∠CDM, ∴ND=NE. (3)∵∠CMN=∠DEN,∠MDC=∠EDN, ∴△MDC∽△EDN, 33 / 46 ∴ DN DC DE MD = . 设 ND=x,则 MD=2x, ∴ x x 5 2 2 = , 解得 x=5 或 x=-5(不合题意,舍去), ∴MN= 5 . ∵MN 为△ABC 的中位线, ∴BC=2MN, ∴BC=2 5 . 13.(2019·长沙)(8 分)如图,正方形 ABCD,点 E,F 分别在 AD,CD 上,且 DE=CF,AF 与 BE 相交于 点 G. (1)求证:BE=AF; (2)若 AB=4,DE=1,求 AG 的长. 【解题过程】(1)证明:∵四边形 ABCD 是正方形,∴∠BAE=∠ADF=90°,AB=AD=CD,∵ DE=CF,∴ AE=DF, 在△BAE 和△ADF 中,AB=AD、∠BAE=∠ADF、AE=DF,∴△BAE≌△ADF(SAS), ∴ BE=AF;( 2)解: 由(1)得 :△ BAE≌△ADF,∴ ∠EBA=∠FAD,∴ ∠GAE+∠AEG=90°,∴∠AGE=90° ,∵AB=4,DE=1, ∴AE=3,∴BE= 22AB AE+ =5,在 Rt△ABE 中, 1 2 AB×AE= 1 2 BE×AG,∴AG= 34 5 × =12 5 . 14.(2019·陇南)阅读下面的例题及点拨,并解决问题: 例题:如图 ① ,在等边△ABC 中,M 是 BC 边上一点(不含端点 B,C),N 是△ABC 的外角∠ACH 的平分线上一点,且 AM=MN.求证:∠AMN=60°. 点拨:如图 ② ,作∠CBE=60°,BE 与 NC 的延长线相交于点 E,得等边△BEC,连接 EM.易证: △ABM≌△EBM(SAS),可得 AM=EM,∠1=∠2;又 AM=MN,则 EM=MN,可得∠3=∠4;由 ∠3+∠1=∠4+∠5=60°,进一步可得∠1=∠2=∠5,又因为∠2+∠6=120°,所以∠5+∠6=120°, 即:∠AMN=60°. 问题:如图 ③ ,在正方形 A1B1C1D1 中,M1 是 B1C1 边上一点(不含端点 B1,C1),N1 是正方形 A1B1C1D1 的外角∠D1C1H1 的平分线上一点,且 A1M1=M1N1.求证:∠A1M1N1=90°. 34 / 46 解:延长 A1B1 至 E,使 EB1=A1B1,连接 EM1C、EC1,如图所示: 则 EB1=B1C1,∠EB1M1 中=90°=∠A1B1M1, ∴△EB1C1 是等腰直角三角形, ∴∠B1EC1=∠B1C1E=45°, ∵N1 是正方形 A1B1C1D1 的外角∠D1C1H1 的平分线上一点, ∴∠M1C1N1=90°+45°=135°, ∴∠B1C1E+∠M1C1N1=180°, ∴E、C1、N1,三点共线, 在△A1B1M1 和△EB1M1 中, , ∴△A1B1M1≌△EB1M1(SAS), ∴A1M1=EM1,∠1=∠2, ∵A1M1=M1N1, ∴EM1=M1N1, ∴∠3=∠4, ∵∠2+∠3=45°,∠4+∠5=45°, ∴∠1=∠2=∠5, ∵∠1+∠6=90°, ∴∠5+∠6=90°, ∴∠A1M1N1=180°﹣90°=90°. 35 / 46 15.(2019·衢州)已知,如图,在菱形ABCD中,点E.F分别在边BC,CD上,且BE=DF,连接AE,AF. 求证:AE=AF. 证明:∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=AD.∠B-∠D. ∵BE=DF,∴△ABE≌△ADF.∴AE=CF. 16.(2019·宁波)如图,矩形 EFGH 的顶点 E,C 分别在菱形 ABCD 的边 AD,BC 上,顶点 F,H 在菱形 ABCD 的 对角线 BD 上. (1)求证:BG=DE; (2)若 E 为 AD 中点,FH=2,求菱形 ABCD 的周长. 解:(1)在矩形 EFGH 中,EH=FG,EH∥FG,∠GFH=∠EHF.∠BFG=180°-∠GFH,∠DHE=180°-∠ EHF,∠BFG=∠DHE,在菱形 ABCD 中,AD∥BC,∠GBF=∠EDH,△BGF≌△DEH(AAS),BG=DE; (2) 如图,连接 EG,在菱形 ABCD 中,AD∥BC,AD=BC,∵E 为 AD 中点,AE=ED,BG=DE,∴AE=BG,∴四 边形 ABGE 是平行四边形,∴AB=EG,在矩形 EFGH 中,EG=FH=2,AB=2,∴菱形周长为 8. 17.(2019·株洲)如图所示,已知正方形 OEFG 的顶点 O 为正方形 ABCD 对角线 AC、BD 的交 点, 连接 CE、DG. (1)求证:△DOG≌△COE; 36 / 46 (2)若 DG⊥BD,正方形 ABCD 的边长为 2,线段 AD 与线段 OG 相交于点 M,AM= 1 2 ,求正 方形 OEFG 的边长. 【解题过程】(1)证明:如图, ∵正方形 OEFG ∴GO=EO,∠GOE=90°, ∵正方形 ABCD ∴OD=OC,∠DOC=90° ∴∠GOE=∠DOC, ∴∠GOE-∠DOE=∠DOC-∠DOE, 即∠DOG=∠COE, ∴△DOG≌△COE; (2)∵DG⊥BD,AC⊥BD, ∴DG∥AC, ∴∠GDM=∠OAM, ∵∠DMG=∠AMO, ∴△GDM∽△OAM, ∴ AM AO DM DG = 37 / 46 ∵AD=2,AM= 1 2 ∴DM=1.5, ∵AO= 2 , ∴GD=3 2 , ∴Rt△OGD 中, OG2=OD2+DG2 ∴OG= 2 5 ∴正方形 OEFG 的边长为 2 5 18.(2019·湖州)如图,已知在△ABC 中,D,E,F 分别是 AB,BC,AC 的中点,连结 DF,EF,BF. (1)求证:四边形 BEFD 是平行四边形; (2)若∠AFB=90°,AB=6,求四边形 BEFD 的周长. 解:(1)∵D,E,F 分别是 AB,BC,AC 的中点, ∴EF∥AB,DF∥BC. ∴四边形 BEFD 是平行四边形. (2)∵∠AFB=90°,AB=6,D 点是 AB 的中点, ∴DF=DB= 1 2 AB=3. ∴平行四边形 BEFD 是菱形. ∴BE=EF=DF=BD=3. ∴四边形 BEFD 的周长为 4DF=12. 19.(2019·攀枝花)如图,在 △ ABC 中,CD 是 AB 边上的高,BE 是 AC 边上的中线,且 BD=CE.求 证: (1)点 D 在 BE 的垂直平分线上;(2)∠BEC=3∠ABE. 解:(1)连接 DE. ∵CD 是 AB 边上的高, ∴CD⊥AB. ∴∠ADC=90°. ∵AE=CE. E A B C D E A B C D 38 / 46 ∴DE= 1 2 AC=CE=AE. ∵BD=CE, ∴DE=BD. ∴点 D 在线段 BE 的垂直平分线上. (2)∵BD=DE, ∴∠ADE=2∠ABE=2∠DEB. ∵DE=AE, ∴∠A=2∠ABE. ∴∠BEC=∠ABE+∠A=3∠ABE. 20.(2019·凉山)如图,正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 0,E 是 OC 上一点,连接 EB.过点 A 作 AM⊥BE,垂足为 M,AM 与 BD 相交于点 F.求证:OE = OF. 证明:在正方形 ABCD 中,∵AC⊥BD,AM⊥BE,∴∠AOF=∠BOE=∠AME=90°,∴∠FAO+∠AEB= ∠EBO+∠AEB=90°,∴∠FAO=∠EBO,∵AC=BD,OA= 2 1 AC,OB= 2 1 BD,∴OA=OB,∴△AOF≌△ BOE(AAS), ∴ OE = OF. 21.(2019·枣庄)如图,BD 是菱形 ABCD 的对角线,∠CBD=75°. (1)请用尺规作图法,作 AB 的垂直平分线 EF,垂足为 E,交 AD 与 F(不要求写作法,保留作图痕迹); (2)在(1)条件下,连接 BF,求∠DBF 的度数. 解:(1)如图所示,即为所求的图形 (2)连接 BF,∵EF 垂直平分 AB,∴FA=FB,∴设∠A=∠ABF=x,则∠DFB=∠A+∠ABF=2x,在菱形 ABCD 中,AD∥BC ,AD =AB ,∵∠CBD=75°,∴∠ADB=∠CBD=75°,在△ABD 中,∵AD = AB ,∴∠ABD=∠ADB=75°,∴∠DBF=75°-x,在△BDF 中,∠DFB=2x,∠ADB=75°,∠DBF =75°-x,∠DFB+∠ADB+∠DBF=180°,∴x=30°,∴∠DBF=45° 39 / 46 22.(2019·枣庄)在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC 于点 D. (1)如图 1,点 M,N 分别在 AD,AB 上,且∠BMN=90°,当∠AMN=30°,AB=2 时,求线段 AM 的长; (2)如图 2,点 E,F 分别在 AB,AC 上,且∠EDF=90°,求证:BE=AF; (3)如图 3,点 M 在 AD 的延长线上,点 N 在 AC 上,且∠BMN=90°,求证:AB+AN= 2 AM. 解:(1)在△ABC 中,AB=AC,AD⊥BC 于点 D,∴BD=DC,∠BAD= 1 2 ∠BAC,∵∠BAC=90°,∴∠BAD =45°,在 Rt△ABD 中,∠BAD+∠ABD=90°,∴∠ABD=∠BAD=45°,∴AD=BD,∵AB=2,∴AD= BD= 2 2 AB= 2 ,∵∠BMN=90°,∠AMN=30°,∴∠BMD=60°,在 Rt△BMD 中,MD= tan BD BMD∠ = 6 3 ,∴AM=AD-MD= 2 - 6 3 ; (2)∵AD⊥BC,∴∠BDE+∠EDA=90°,∵∠EDF=90°,∴∠EDA+∠ADF=90°,∴∠BDE=∠ADF,在 △ABC 中,∠BAC=90°,∴∠B+∠C=90°,∵AD⊥BC,∴∠DAC+∠C=90°,∴∠B=∠DAF,∵AD= BD,∴△BED≌△AFD(ASA),∴BE=AF; (3)过点 M 作 ME⊥AB 于点 E,作 MF⊥AC 于点 F,∴∠MEB=∠MFN=90°,∵AM 平分∠BAC,∴ME= MF,在四边形 AEMF 中,∵∠BAC=∠MEB=∠MFN=90°,∴四边形 AEMF 是矩形,∠EMF=90°,∴∠ EMN+∠NMF=90°,∵∠BMN=90°,∴∠BME+∠EMN=90°,∴∠BME=∠NMF, ∴△BME≌△ 40 / 46 NMF(ASA),∴BE=NF,在矩形 AEMF 中,ME=MF, ∴矩形 AEMF 是正方形,∴AE=AF= 2 2 AM,∴ AB+AN=AE+AF=2× 2 2 AM= 2 AM. 23.(2019·潍坊)如图 1,菱形 ABCD 的顶点 A,D 在直线 l 上,∠BAD=60°,以点 A 为旋转中心将菱 形 ABCD 顺时针旋转 α(0°<α<30°),得到菱形 AB′C′D′.B′C′交对角线 AC 于点 M,C′D′交直线 l 于点 N, 连接 MN. (1)当 MN∥B′D′时,求 α 的大小. (2)如图 2,对角线 B′D′交 AC 于点 H,交直线 l 于点 G,延长 C′B′交 AB 于点 E,连接 EH.当△HEB′ 的周长为 2 时,求菱形 ABCD 的周长. 解:(1)∵MN∥B′D′ ∴ ' '' ' '' MB C B ND C D = 又∵C′B′=C′D′ ∴MB′=ND′ 在△AB′M 和△AD′N 中 AB′=AD′,∠AB′M=∠AD′N,B′M=D′N ∴△AB′M≌△AD′N ∴∠B′AM=∠D′AN 又∵∠D′AN=α ∴∠B′AM=α ∴∠B′AM=∠BAB′= 1 2 ∠BAC= 1 4 ∠BAD=15° 即 α=15° (2)在△AB′E 和△AD′G 中, 41 / 46 ∠AB′E=∠AD′G,∠EAB′=∠GAD′,AB′=AD′ ∴△AB′E≌△AD′G ∴EB′=GD′,AE=AG 在△AHE 和△AHG 中, AE=AG,∠EAH=∠GAH,AH=AH ∴△AHE≌△AHG ∴EH=GH ∵△HEB′的周长为 2 ∴EH+EB′+B′H=2 ∴GH+GD′+B′H=2 ∴B′D′=BD=2 ∴菱形 ABCD 的周长为 8. 24.(2019·泰安)如图,四边形 ABCD 是正方形,△EFC 是等腰直角三角形,点 E 在 AB 上,且∠CEF=90°,FG ⊥AD,垂足为点 G. (1)试判断 AG 与 FG 是否相等?并给出证明; (2)若点 H 为 CF 的中点,GH 与 DH 垂直吗?若垂直,给出证明;若不垂直,说明理由. 解:(1)AG=FG.证明如下: 在 BC 边上取 BM=BE,连接 EM,AF,∵四边形 ABCD 是正方形,∴AB=BC,AE=CM,∵∠CEF=90°,∴ ∠AEF+∠BEC=90°,∵∠BEC+∠BCE=90°,∴∠AEF=∠BCE,又∵CE=EF,∴△AEF≌MCE,∴∠ EAF=∠EMC=135°,又∵∠BAD=90°,∴∠DAF=45°,又∵FG⊥AD,∴AG=FG. (2)DH⊥GH.证明如下: 延长 GH 交 CD 于点 Q,∵四边形 ABCD 是正方形,∴AD⊥CD,∵FG⊥AD,∴FG∥CD,∴∠GFH=∠DCH, 又∵∠GHF=∠CHQ,FH=CH,∴△FGH≌△CQH,∴GH=HQ,FG=CQ,∴AG=CQ,∴DG=DQ,∴△ DGQ 是等腰三角形,∴DH⊥GH. 42 / 46 25.(2019·聊城)在菱形 ABCD 中,点 P 是 BC 边上一点,连接 AP,点 E,F 是 AP 上的两点,连接 DE,BF,使得 ∠AED=∠ABC,∠ABF=∠BPF. 求证:(1)△ABF≌△DAE;(2)DE=BF+EF. 解:(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,AD∥BC,∴∠BPA=∠DAE.在△ABP和△DAE中,又∵∠ABC =∠AED,∴∠BAF=∠ADE.∵∠ABF=∠BPF 且∠BPA=∠DAE,∴∠ABF=∠DAE,又∵AB=DA, ∴△ABF≌△DAE(ASA); (2)∵△ABF≌△DAE,∴AE=BF,DE=AF,∵AF=AE+EF=BF+EF,∴DE=BF+EF. 26.(2019·滨州)如图,矩形 ABCD 中,点 E 在边 CD 上,将△BCE 沿 BE 折叠,点 C 落在 AD 边 上 的点 F 处,过点 F 作 FG∥CD 交 BE 于点 G,连接 CG. (1)求证:四边形 CEFG 是菱形; (2)若 AB=6,AD=10,求四边形 CEFG 的面积. 解:(1)证明:由题意可得, △BCE≌△BFE,∴∠BEC=∠BEF,FE=CE. ∵FG∥CE,∴∠FGE=∠CEB,∴∠FGE=∠FEG,∴FG=FE, 43 / 46 ∴FG=EC,………………………………………………………………………………4 分 ∴四边形 CEFG 是平行四边形.………………………………………………………5 分 又∵CE=FE,∴四边形 CEFG 是菱形.………………………………………………6 分 (2)∵矩形 ABCD 中,AB=6,AD=10,BC=BF,………………………………7 分 ∴∠BAF=90°,AD=BC=BF=10, ∴AF=8,∴DF=2. 设 EF=x,则 CE=x,DE=6-x,……………………………………………………8 分 ∵FDE=90°, ∴22+(6-x)2=x2, 解得 x= ,……………………………………………………………………………12 分 ∴CE= , ∴四边形 CEFG 的面积是:CE•DF= ×2= .…………………………………13 分 27.(2019·岳阳)如图,在菱形 ABCD 中,点 E、F 分别为 AD、CD 边上的点,DE=DF.求证:∠1= ∠2. 证明:∵四边形 ABCD 为菱形, ∴AD=CD. ∵∠D=∠D,DE=DF, ∴△ADF≌△CDE. ∴∠1=∠2. 28.(2019·岳阳)操作体验:如图,在矩形 ABCD 中,点 E、F 分别在边 AD、BC 上,将矩形 ABCD 沿直线 EF 折叠,使点 D 恰好与点 B 重合,点 C 落在点 C′处.点 P 为直线 EF 上一动点(不与 E、F 重合),过点 P 分别作直线 BE、BF 的垂线,垂足分别为点 M 和点 N,以 PM、PN 为邻边构造平行四边 形 PMQN. (1)如图 1,求证:BE=BF; (2)特例感知:如图 2,若 DE=5,CF=2,当点 P 在线段 EF 上运动时,求平行四边形 PMQN 的周长; (3)类比探究:若 DE=a,CF=b. 44 / 46 ①如图 3,当点 P 在线段 EF 的延长线上运动时,试用含 a、b 的式子表示 QM 与 QN 之间的数量关系, 并证明; ②如图 4,当点 P 在线段 FE 的延长线上运动时,请直接用含 a、b 的式子表示 QM 与 QN 之间的数量关 系.(不要求写证明过程) 解 :( 1)证明:∵AD∥BC, ∴∠DEF=∠BFE. 由折叠可知:∠BEF=∠DEF ∴∠BFE=∠BEF. ∴BE=BF. (2)延长 NP 交 AD 于点 G. 由折叠可知:BE=DE=5, ∵BF=BE, ∴BF=DE. ∵AD=BC, ∴AE=CF=2. 在 Rt△ABE 中, AB= 2 2 225 2 21BE AE− = −= . ∵AB∥CD,PN⊥BC, ∴PN⊥AD. 即 PG⊥AD. ∵∠BEF=∠DEF,PM⊥BE, ∴PM=PG. ∴PM+PN=NG=AB. 45 / 46 □PNQM 的周长=2(PM+PN)=2AB= 2 21 . (3)①QN-QM= 22ab− . 证明:延长 PN 交 AD 于点 H. 由(2)可知 BE=DE=a,AE=CF=b, ∴ 2 2 22AB BE AE a b= −=−. ∵∠BEP=∠DEP,PM⊥BE,PH⊥AD, ∴PM=PH. ∴PM-PN=HN=AB= 22ab− . ∵四边形 PNQM 是平行四边形, ∴QM=PN,QN=PM. ∴QN-QM= 22ab− . ②QM-QN = 22ab− . 29.(2019·怀化)已知:如图,在 ABCD 中,AE⊥BC,CF⊥AD,E,F 分别为垂足. (1)求证:△ABE≌ △CDF; (2)求证:四边形 AECF 是矩形. 证明:(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AB=CD,∠B=∠D. ∵AE⊥BC,CF⊥AD, ∴∠AEB=∠CFD=90°, 46 / 46 ∴△ABE≌ △CDF(AAS). (2)∵△ABE≌ △CDF, ∴BE=DF, ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AD∥BC,AD=BC, ∴AF∥CE,AF=CE, ∴四边形 AECF 是平行四边形. ∵AE⊥BC, ∴∠AEC=90°, ∴四边形 AECF 是矩形.
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