2020年江苏省南京市中考数学二模试卷
2020年江苏省南京市中考数学二模试卷
一、单选题
1. 设a是最小的自然数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，a，b，c三个数的和为（ ）
A.−1 B.0 C.1 D.不存在
2. 已知点P(−1, m2+1)与点Q关于原点对称，则点Q一定在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3. 若不等式组1
k 有解，则k的取值范围是（ ）
A.k<2 B.k≥2 C.k<1 D.1≤k<2
4. 如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点(1, 1)和点(3, 0)．关于这个二次函数的描述：①a<0，b>0，c<0；②当x＝2时，y的值等于1；③当x>3时，y的值小于0．正确的是（ ）
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
5. 计算999−93的结果更接近（ ）
A.999 B.998 C.996 D.933
6. 如图，点P是⊙O外任意一点，PM、PN分别是⊙O的切线，M、N是切点．设OP与⊙O交于点K．则点K是△PMN的（ ）
A.三条高线的交点 B.三条中线的交点
C.三个角的角平分线的交点 D.三条边的垂直平分线的交点
二、填空题
−8的立方根是________．
计算：(−2x2y)3＝________．
因式分解：a3−ab2＝________．
如图，⊙O的半径为2，点A，B在⊙O上，∠AOB=90∘，则阴影部分的面积为________．
直线y=12x与双曲线y=kx在第一象限的交点为(a, 1)，则k=________．
已知方程x2−mx−3m＝0的两根是x1、x2，若x1+x2＝1，则x1x2＝________．
如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕图中某点顺时针旋转90∘得到，则旋转中心应该是________点．
如图，在四边形ABCD中，AD // BC，AD＝2，AB＝22，以点A为圆心，AD为半径的圆与BC相切于点E，交AB于点F，则DF的长为________．
平面直角坐标系中，原点O关于直线y=−43x+4对称点O1的坐标是________．
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定点O、P的距离是5，以点O为圆心，一定的长为半径画圆⊙O，过点P作⊙O的两条切线，切点分别是B、C，则线段BC的最大值是________．
三、解答题
先化简，再求值：x2−1x2−2x+1+x2−2xx−2÷x，其中x＝3．
（1）解不等式x3−x−12≤1，并把它的解集在数轴上表示出来；
（2）若关于x的一元一次不等式x≥a只有3个负整数解，则a的取值范围是________．
一个不透明箱子中有2个红球，1个黑球和1个白球，四个小球的形状、大小完全相同．
（1）从中随机摸取1个球，则摸到黑球的概率为________．
（2）小明和小贝做摸球游戏，游戏规则如下．
游戏规则
让小明先从箱子中随机摸取
个小球，记下颜色后放回箱子，
摇匀后再让小贝随机摸取一个小
球，记下颜色，若两人所摸小球的
颜色相同，则小明胜：反之，则小
贝胜
你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
某工厂有甲、乙两台机器加工同一种零件，已知一小时甲加工的零件数与一小时乙加工的零件数的和为36个，甲加工80个零件与乙加工100个零件的所用时间相等．求甲、乙两台机器每小时分别加工零件多少个？
如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC．
（1）用尺规作出圆心在直线BC上，且过A、C两点的⊙O；（注：保留作图痕迹，标出点O，并写出作法）
（2）若∠B＝30∘，求证：AB与（1）中所作⊙O相切．
现在正是草莓热销的季节，某水果零售商店分两批次从批发市场共购进草莓40箱，已知第一、二次进货价分别为每箱50元、40元，且第二次比第一次多付款700元．
（1）设第一、二次购进草莓的箱数分别为a箱、b箱，求a，b的值；
（2）若商店对这40箱草莓先按每箱60元销售了x箱，其余的按每箱35元全部售完．
①求商店销售完全部草莓所获利润y（元）与x（箱）之间的函数关系式；
②当x的值至少为多少时，商店才不会亏本．
（注：按整箱出售，利润＝销售总收入-进货总成本）
某长方体包装盒的表面积为146cm2，其展开图如图所示．求这个包装盒的体积．
如图，已知∠ABM＝30∘，AB＝20，C是射线BM上一点．
（1）在下列条件中，可以唯一确定BC长的是________；（填写所有符合条件的序号）
①AC＝13；②tan∠ACB=125；③△ABC的面积为126．
（2）在（1）的答案中，选择一个作为条件，画出示意图，求BC的长．
某商场经市场调查，发现进价为40元的某童装每月的销售量y（件）与售价x（元）的相关信息如下：
售价x（元）
60
70
80
90
…
销售量y（件）
280
260
240
220
…
（1）试用你学过的函数来描述y与x的关系，这个函数可以是________（填一次函数、反比例函数或二次函数），求这个函数关系式；
（2）售价为多少元时，当月的利润最大？最大利润是多少？
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计算
(1)如图①，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，在BC边上是否存在点P，使∠APD=90∘，若存在，请用直尺和圆规作出点P并求出BP的长．（保留作图痕迹）
(2)如图②，在△ABC中，∠ABC=60∘，BC=12，AD是BC边上的高，E，F分别为AB，AC的中点，当AD=6时，BC边上是否存在一点Q，使∠EQF=90∘，求此时BQ的长．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90∘，CA＝8，CB＝6，动点P从C出发沿CA方向，以每秒1个单位长度的速度向A点匀速运动，到达A点后立即以原来速度沿AC返回；同时动点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长度向点B匀速运动，当Q到达B时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q运动的时间为t秒(t>0)．
（1）当t为何值时，PQ // CB？
（2）在点P从C向A运动的过程中，在CB上是否存在点E使△CEP与△PQA全等？若存在，求出CE的长；若不存在，请说明理由；
（3）伴随着P、Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线DF交PQ于点D，交折线QB−BC−CP于点F．当DF经过点C时，求出t的值．
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参考答案与试题解析
2020年江苏省南京市中考数学二模试卷
一、单选题
1.
【答案】
A
【考点】
有理数的加法
【解析】
先根据自然数，整数，有理数的概念分析出a，b，c的值，再进行计算．
【解答】
∵ 最小的自然数是0，最大的负整数是−1，绝对值最小的有理数是0，
∴ a+b+c＝0+(−1)+0＝−1．
2.
【答案】
D
【考点】
关于原点对称的点的坐标
【解析】
根据关于原点对称，横纵坐标都互为相反数，进行计算即可．
【解答】
∵ 点P(−1, m2+1)与点Q关于原点对称，
∴ Q(1, −m2−1)，
∴ 点Q一定在第四象限，
3.
【答案】
A
【考点】
解一元一次不等式组
【解析】
根据不等式组的解集为两个不等式解集的公共部分，所以在有解的情况下，k的值必须小于2．
【解答】
因为不等式组1k 有解，根据口诀可知k只要小于2即可．
4.
【答案】
B
【考点】
二次函数图象与系数的关系
二次函数图象上点的坐标特征
【解析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】
①如图所示，抛物线开口方向向下，则a<0．
对称轴在y轴的右侧，则a、b异号，即b>0．
抛物线与y轴交于负半轴，则b<0．
综上所述，a<0，b>0，c<0．
故①正确；
②∵ 抛物线与x轴另一交点横坐标03时，y的值小于0，
故③正确；
5.
【答案】
A
【考点】
因式分解-提公因式法
【解析】
根据因式分解解答即可．
【解答】
999−93＝93(996−1)≈999，
6.
【答案】
C
【考点】
切线的性质
【解析】
连接OM、ON、MK、NK，根据切线长定理得出PM＝PN，易证得△POM≅△PON，得出OP是∠MPN的平分线，然后根据圆周角定理证得∠PMK=12∠MOK，∠PNK=12∠NOK，∠NMK=12∠NOK，∠MNK=12∠MOK，即可证得∠PMK＝∠NMK＝∠PNK＝∠MNK，从而证得结论．
【解答】
连接OM、ON、MK、NK，
∵ PM、PN分别是⊙O的切线，
∴ PM＝PN，
∴ ∠PMN＝∠PNM，
∵ OM＝ON易证△POM≅△PON，
∴ OP是∠MPN的平分线，
由圆周角定理可得∠PMK=12∠MOK，∠PNK=12∠NOK，∠NMK=12∠NOK，∠MNK=12∠MOK，
∴ ∠PMK＝∠NMK＝∠PNK＝∠MNK，
∴ 点K是△PMN的三个角的角平分线的交点，
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二、填空题
【答案】
−2
【考点】
立方根的实际应用
立方根的性质
【解析】
利用立方根的定义即可求解．
【解答】
解：∵ (−2)3=−8，
∴ −8的立方根是−2．
故答案为：−2.
【答案】
−8x6y3
【考点】
分式的乘除运算
【解析】
直接利用积的乘方运算法则计算得出答案．
【解答】
(−2x2y)3=−8x6y3．
【答案】
a(a+b)(a−b)
【考点】
提公因式法与公式法的综合运用
【解析】
观察原式a3−ab2，找到公因式a，提出公因式后发现a2−b2是平方差公式，利用平方差公式继续分解可得．
【解答】
a3−ab2＝a(a2−b2)＝a(a+b)(a−b)．
【答案】
π−2
【考点】
扇形面积的计算
【解析】
根据∠AOB=90∘，OA=OB可知△OAB是等腰直角三角形，根据S阴影=S扇形OAB−S△OAB即可得出结论．
【解答】
∵ ∠AOB=90∘，OA=OB，
∴ △OAB是等腰直角三角形．
∵ OA=2，
∴ S阴影=S扇形OAB−S△OAB=90π*22360−12×2×2=π−2．
【答案】
2
【考点】
函数的综合性问题
【解析】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
【解答】
此题暂无解答
【答案】
−3
【考点】
根与系数的关系
【解析】
根据根与系数的关系结合x1+x2＝1，可求出m的值，再将其代入x1x2＝−3m中即可求出结论．
【解答】
∵ 方程x2−mx−3m＝0的两根是x1、x2，
∴ x1+x2＝m，x1x2＝−3m，
又∵ x1+x2＝1，
∴ m＝1，
∴ x1x2＝−3m＝−3．
【答案】
M
【考点】
正方形的性质
旋转的性质
【解析】
根据以M为旋转中心，把正方形ABCD顺时针旋转90∘解答即可．
【解答】
若以M为旋转中心，把正方形ABCD顺时针旋转90∘，A点对应点为H，B点对应点为E，C点对应点为F，D点对应点为G，则可得到正方形EFGH．
【答案】
3π2
【考点】
切线的性质
弧长的计算
平行线的性质
【解析】
连接AE，根据圆的切线的性质可得AE⊥BC，解Rt△AEB可求出∠ABE，进而得到∠DAB，然后运用弧长公式就可求出DF的长度．
【解答】
连接AE，如图，
∵ AD为半径的圆与BC相切于点E，
∴ AE⊥BC，AE＝AD＝2．
在Rt△AEB中，
sin∠ABE=AEAB=222=22，
∴ ∠ABE＝45∘．
∵ AD // BC，
∴ ∠DAB+∠ABE＝180∘，
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∴ ∠DAB＝135∘，
∴ DF的长度为135π×2180=3π2；
【答案】
(9625, 7225)
【考点】
坐标与图形变化-对称
【解析】
由直线的解析式求得A、B的坐标，设O1O与直线y=−43x+4的交点为D，作O1E⊥x轴于E，根据题意OO1⊥AB，根据三角形面积公式求得OD的长，即可求得OO1的长，然后通过三角形相似求得OE的长，进一步根据勾股定理求得O1E的长，即可求得对称点O1的坐标．
【解答】
如图，∵ 原点O关于直线y=−43x+4对称点O1，
∴ OO1⊥AB，
设O1O与直线y=−43x+4的交点为D，作O1E⊥x轴于E，
由直线y=−43x+4可知A(3, 0)，B(0, 4)，
∴ OA＝3，OB＝4，
∴ AB＝5，
∵ S△AOB=12OA⋅OB=12AB⋅OD，
∴ OD=OA⋅OBAB=125，
∴ OO1=245，
∵ ∠ADO＝∠O1EO＝90∘，∠AOD＝∠EOO1，
∴ △AOD∽△O1OE，
∴ OO1OA=OEOD，即2453=OE125，
∴ OE=9625，
∴ O1E=O1O2−OE2=7225，
∴ 点O1的坐标是(9625, 7225)，
【答案】
5
【考点】
切线的性质
【解析】
首先说明点C、B在以OP为直径的圆上，根据直径是圆中最长的弦，即可解决问题．
【解答】
∵ PC、PB是⊙O的切线，
∴ ∠PCO＝∠PBO＝90∘，
∴ 点C、B在以OP为直径的圆上，
∵ BC是这个圆的弦，
∴ 当BC＝OP＝5时，BC的值最大（直径是圆中最长的弦）．
三、解答题
【答案】
原式=(x+1)(x−1)(x−1)2+x(x−2)x−2⋅1x=x+1x−1+1=2xx−1，
当x＝3时，原式=43−163−1=3．
【考点】
分式的化简求值
【解析】
原式第二项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的加法法则计算得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
【解答】
原式=(x+1)(x−1)(x−1)2+x(x−2)x−2⋅1x=x+1x−1+1=2xx−1，
当x＝3时，原式=43−163−1=3．
【答案】
∵ 2x−3(x−1)≤6，
∴ 2x−3x+3≤6，
解得x≥−3，
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
．
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