初中数学中考总复习课件PPT:第13课时 二次函数的图象与性质【46张】

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初中数学中考总复习课件PPT:第13课时 二次函数的图象与性质【46张】

第一部分 夯实基础 提分多 第 三 单元 函数 第1 3 课时 二次函数的图象与性质 基础点 1 二次函数的定义 基础点巧练妙记 形如 (a , b , c 是常数, a≠0) 的函数.特别地,当 a≠0 , b = c = 0 时, y = ax 2 是二次函数的特殊形式 基础点 2 二次函数的图象与性质 1 . 根据函数解析式判断函数性质及图象 二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a ≠0) 判断 函数 性质 对称轴 直接运用公式 x = ① ________ 求解 注:还可利用 x = ( 其中 x 1 、 x 2 为 y 值相等的两个点对应的横坐标 ) 求解 二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a ≠0) 判断 函数 性质 顶点坐标 1. 直接运用顶点坐标公式 ② ________________ 求解; 2. 运用配方法将一般式转化为顶点式求解; 3. 将对称轴的 x 值代入函数表达式求得对应 y 值 二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a ≠0) 判断 函数 性质 增减性 a >0 时,在对轴左侧, y 随 x 的增大而 ③ ________ ;在对称轴右侧, y 随 x 的增大而 ④ ________ a <0 时,在对称轴 ⑤ ________ , y 随 x 的增大而增大;在对称轴 ⑥ ______ , y 随 x 的增大而减小 减小 增大 左侧 右侧 二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a ≠0) 判断 函数 性质 最值 a >0 时,当 x = ⑦ ______ 时, y 的最小值为 ; 离对称轴越近的点函数值越小 a <0 时, y 的最大值 为 ⑧ ________ ; 离对称轴越近的点函数值越大 二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a ≠0) 判断 函数 图象 a ,决定抛物线开口方向 a ⑨ _____0 开口向上 a <0 开口向下 a , b 决定抛物线的对称轴位置 b = 0 对称轴为 y 轴 a 、 b 同号 对称轴为 y 轴 ⑩ ____ 侧 a 、 b 异号 对称轴为 y 轴右侧 > 左 二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a ≠0) 判断 函数 图象 c ,决定抛物线与 y 轴交点的位置 c = 0 抛物线过原点 c >0 抛物线与 y 轴交于 ⑪ ______ 半轴 c <0 抛物线与 y 轴交于 ⑫ ______ 半轴 正 负 二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a ≠0) 判断 函数 图象 b 2 - 4 ac ,决定抛物线与 x 轴交点个数 b 2 - 4 ac = 0 与 x 轴有唯一交点 ( 顶点 ) b 2 - 4 ac >0 与 x 轴有 ⑬ ________ 交点 b 2 - 4 ac <0 与 x 轴没有交点 两个 二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a ≠0) 判断 特殊 关系 2 a + b - 与 1 比较 2 a - b - 与- 1 比较 b 2 - 4 ac 与 x 轴交点个数 二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a ≠0) 判断 特殊 关系 a + b + c 令 x = 1 ,看纵坐标 a - b + c 令 x = - 1 ,看纵坐标 4 a + 2 b + c 令 x = 2 ,看纵坐标 4 a - 2 b + c 令 x =- 2 ,看纵坐标 2 . 根据函数图象判断相关结论 a ⑭ ____ 0 b ⑮ ____0 c < 0 b 2 - 4 ac > 0 a ⑯ ____0 b = 0 c > 0 b 2 - 4 ac ⑰ ____0 a > 0 b ⑱ ____0 c ⑲ ____0 b 2 - 4 ac > 0 a < 0 b ____0 c < 0 b 2 - 4 ac ____0 > > > < < > = > 20 21 a > 0 b ㉒ ____ 0 c > 0 b 2 - 4 ac ㉓__0 a ㉔ ____ 0 b > 0 c ㉕ ____ 0 b 2 - 4 ac > 0 a ㉖ ____ 0 b ㉗ ____ 0 c = 0 b 2 - 4 ac > 0 a > 0 b ㉘____0 c=0 b 2 - 4 ac ㉙__0 > < > = < > = = 1 . 表达式的三种形式 (1) 一般式: y = ax 2 + bx + c ( a 、 b 、 c 为常数, a ≠0) ; (2) 顶点式: ____________( a 为常数, a ≠0 , ( h , k ) 为顶点坐标 ) ; (3) 交点式: _________________ ( a 为常数, a ≠0 , x 1 , x 2 为抛物线与 x 轴交点的横坐标 ) ; 基础点 3 二次函数表达式的确定 y = a ( x - h ) 2 + k y = a ( x - x 1 )( x - x 2 ) 顶点式 一般式 交点式 ,若顶点在原点,可设为 y = ax 2 . 配方 因式分解 (4) 三种表达式之间的关系 2 . 待定系数法求二次函数的表达式: (1) 对于二次函数 y = ax 2 + bx + c ,若系数 a 、 b 、 c 中有一个未知,则代入任意一点坐标;若有两个未知,则代入任意两点坐标;若三个都未知,根据下表所给的点坐标选择适当的表达式 已知 所设表达式 顶点+其他点 y = a ( x - h ) 2 + k 与 x 轴的两个交点+其他点 y = a ( x - x 1 )( x - x 2 ) 与 x 轴的一个交点+对称轴+其他点 任意三个点 y = ax 2 + bx + c (2) 联立方程 ( 组 ) ,求得系数或常数项;将所得系数或常数项代入表达式即可. 基础点 4 二次函数图象的平移 (1) 上加下减 : y = ax 2 + bx + c y = ax 2 + bx + c + m y = ax 2 + bx + c + n 向上平移 m 个单位 向下平移 m 个单位 (2) 左加右减 : 方法一: y = ax 2 + bx + c 化为 y = a ( x - h ) 2 + k 规律: 向右平移 m 个单位 y = a ( x - h-m ) 2 + k 向左平移 m 个单位 y = a ( x - h+m ) 2 + k 左 + 右 - 方法二: y = ax 2 + bx + c 左右平移时,给每一个 x 都加 m 或减 m . 向左平移 m 个单位 规律: 向右平移 m 个单位 y = a ( x+m ) 2 + b(x + m) + c y = a ( x - m ) 2 + b(x - m) + c 左 + 右 - 基础点 5 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 1 . 二次函数与一元二次方程的关系 (1) 抛物线与 x 轴有两个交点 ⇔ b 2 - 4 ac > 0 ⇔ 方程 ax 2 + bx + c = 0 有两个不相等的实数根; (2) 抛物线与 x 轴有一个交点 ⇔ b 2 - 4 ac = 0 ⇔ 方程 ax 2 + bx + c = 0 有两个相等的实数根; (3) 抛物线与 x 轴无交点 ⇔ b 2 - 4 ac < 0 ⇔ 方程 ax 2 + bx + c = 0 无实数根. 2. 二次函数与不等式的关系 (1) ax 2 + bx + c >0 的解集 ⇔ 函数 y = ax 2 + bx + c 的图象位于 x 轴上方对应的点的横坐标的取值范围; (2 )ax 2 + bx + c <0 的解集 ⇔ 函数 y = ax 2 + bx + c 的图象位于 x 轴下方对应的点的横坐标的取值范围.            练 提 分 必 抛物线 y = x 2 + 6 x + 8 与 x 轴交点坐标为 ______________________ ; 当 x 2 + 6 x + 8 = 0 时, x 的值为 ________ ; 当 x 2 + 6 x + 8>0 时, x 的取值范围为 _____________ ; x 2 + 6 x + 8<0 时, x 的取值范围为 ___________ . ( - 2 , 0) 或 ( - 4 , 0) - 2 或- 4 x < - 4 或 x > - 2 - 4< x < - 2 例 1  在探究二次函数图象性质的过程中, x 与 y 的对应值如下表: 重难点精讲优练 类型 1 二次函数的顶点坐标、对称轴与增减性 x … - 1 0 1 2 3 … y … 0 - 3 - 4 - 3 0 … (1) 表中二次函数表达式为 ______________ ; (2) 函数图象开口向 ________ ,顶点坐标为 ________ ,对称轴为 ________ ; (3) 当 x = ____ 时,函数取最小值,最小值为 ________ ; x … - 1 0 1 2 3 … y … 0 - 3 - 4 - 3 0 … y = x 2 - 2 x - 3 上 (1 ,- 4) x = 1 1 - 4 (4) 函数图象与 y 轴交点坐标为 __________ ,与 x 轴交点坐标为 _________________ ; (5) 画出此函数图象; (0 ,- 3) ( - 1 , 0) , (3 , 0) 例 1 题图 例 1 题解图 (6) 根据图象回答: x 取何值时, y > 0 ; x 取何值时, y < 0 ; x 取何值时, y 随 x 的增大而增大; x 取何值时, y 随 x 的增大而减小? 当 x <- 1 或 x > 3 时, y > 0 ;当- 1 < x < 3 时, y < 0 ;当 x > 1 时, y 随 x 的增大而增大;当 x < 1 时, y 随 x 的增大而减小. 练习 1  已知:抛物线 y = x 2 - 3kx + 2k + . (1) 当顶点在 y 轴上时, k 的值为 ________ ; (2) 当顶点在 x 轴上时, k 的值为 ________ ; (3) 当函数图象经过原点时, k 的值为 ________ ; (4) 当函数图象与 x 轴的两个交点在 y 轴的两侧时, k 的取值范围为 ________ . 0 解法提示: (1)∵ 抛物线 y = x 2 - 3 kx + 2 k + 顶点在 y 轴上, ∴ - 3 k = 0 ,解得 k = 0 ; (2)∵ 抛物线 y = x 2 - 3 kx + 2 k + 在 x 轴上, ∴ b 2 - 4 ac = 0 , ∴ ( - 3 k ) 2 - 4 × 1 × (2 k + ) = 0 , 解得 k = 1 或 k =- ; (3) 抛物线 y = x 2 - 3 kx + 2 k + 经过原点, ∴ 2 k + = 0 ,解得 x =- ; (4) 设抛物线 y = x 2 - 3 kx + 2 k + 的两个交点坐标为 ( x 1 , 0) , ( x 2 , 0) , ∵ 抛物线与 x 轴的两个交点在 y 轴的两侧 , ∴ x 1 x 2 < 0 , ∴ x 1 x 2 = = < 0 , 即 k <- . 变式拓展  已知:二次函数 y = x 2 + bx + c ( b , c 为常数 ) . (1) 当 b = 2 , c =- 3 时,求二次函数的最小值; (2) 当 c = b 2 时,若在自变量 x 的值满足 b ≤ x ≤ b + 3 的情况下,与其对应的函数值 y 的最小值为 21 ,求此时二次函数的解析式. 解: (1) 当 b = 2 , c =- 3 时,二次函数的解析式为 y = x 2 + 2 x - 3 ,即 y = ( x + 1) 2 - 4 , ∴当 x =- 1 时,二次函数取得最小值- 4 ; (2) 当 c = b 2 时,二次函数的解析式为 y = x 2 + bx + b 2 ,其图象是开口向上,对称轴为 x =- 的抛物线, ①若- < b ,即 b > 0 , ∴当 b ≤ x ≤b + 3 时, y 随 x 的增大而增大, ∴当 x = b 时, y 最小值 = b 2 + b · b + b 2 = 3 b 2 , ∴ 3 b 2 = 21 ,解得 b 1 =- ( 舍 ) , b 2 = . ∴ 二次函数解析式为 y = x 2 + x + 7 ; ②若 b ≤ - ≤ b + 3 ,即- 2≤ b ≤0 , ∴当 x =- 时, y 最小值 = ( - ) 2 + b ·( - ) + b 2 = b 2 , ∴ b 2 = 21 ,解得 b 1 =- 2 ( 舍 ) , b 2 = 2 ( 舍 ) ; ③若- > b + 3 ,即 b < -2 ∴当 b ≤ x ≤ b + 3 时, y 随 x 的增大而减小, ∴当 x = b + 3 时, y 最小值 = ( b + 3) 2 + b ( b + 3) + b 2 = 3 b 2 + 9 b + 9 ,∴ 3 b 2 + 9 b + 9 = 21 ,即 b 2 + 3 b - 4 = 0 ,解得 b 1 = 1( 舍 ) , b 2 =- 4 ,∴二次函数解析式为 y = x 2 - 4 x + 16 , 综上所述, b = 或 b =- 4 , ∴此时二次函数的解析式为 y = x 2 + x + 7 或 y = x 2 - 4 x + 16. 类型 2 二次函数图象与系数 a 、 b 、 c 的关系 例 2 题图 C 例 2  已知二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0) 的图象如图所示,给出以下四个结论: ① abc < 0 ; ② a + b + c < 0 ; ③ 4 a + c > 2 b ; ④ 2 a - b = 0 ; ⑤ m ( am + b ) + b < a ( m ≠ - 1) ,其中,正确结论的个数为 (    ) A . 2 个 B . 3 个 C . 4 个 D . 5 个 【 解析 】 ∵ 抛物线开口向下,∴ a < 0 ,∵抛物线的对称轴为直线 x =- =- 1 < 0 ,∴ b = 2 a ,∴ b < 0 ,∵抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方,∴ c > 0 ,∴ abc > 0 ,∴①错误;∵ x = 1 时, y < 0 ,∴ a + b + c < 0 ,∴②正确;∵抛物线的对称轴为直线 x =- 1 ,抛物线与 x 轴的一个交点在点 (0 , 0) 和 (1 , 0) 之间,∴抛物线与 x 轴的另一个交点在点 ( - 3 , 0) 和 ( - 2 , 0) 之间,∴当 x =- 2 时, y > 0 ,∴ 4 a - 2 b + c > 0 ,∴③正确;∵抛物线对称轴 x =- =- 1.∴ b = 2 a ,即 2 a - b = 0 ,∴④正确;∵抛物线的对称轴为直线 x =- 1 ,∴当 x =- 1 时, y 有最大值,∴ am 2 + bm + c < a - b + c ( m ≠ - 1) ,∴ m ( am + b ) < a - b ( m ≠ - 1) ,∴⑤正确;综上所述,正确的结论有②③④⑤ . A 练习 2  已知二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与 x 轴交于点 ( - 2 , 0) 、 ( x 2 , 0) ,且 1 < x 2 < 2 ,与 y 轴正半轴的交点在 (0 , 2) 下方,在下列结论中:① b < 0 ,② 4 a - 2 b + c = 0 ,③ 2 a - b + 1 < 0 ,④ b < a < c . 其中,正确的结论是 (    ) A . ①② B . ③④ C . ①②③ D . ①②④ 【 解析 】 画出图象如解图, ∵开口向下,∴ a <0,∵ x =- <0,∴ b <0,∴①正确;根据二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与 x 轴交于点(-2,0)、( x 2 ,0),且1< x 2 <2,与 y 轴的正半轴的交点在(0,2)的下方,把 x =-2代入得:4 a -2 b + c =0,∴②正确;由4 a -2 b + c =0得2 a - b =- 例 2 题解图 而0< c <2,∴-1<- <0,∴-1<2 a - b <0,∴2 a - b +1>0,∴③错误;∵图象与 x 轴两交点为(-2,0),( x 2 ,0),且1< x 2 <2,对称轴x=- =- ,则对称轴- <- <0,且 a <0,∴- a >- b ,∴a< b <0,由抛物线与 y 轴的正半轴的交点在(0,2)的下方,得 c >0,即 a < b <c,∴④错误;∴正确的结论为①②. 类型 3 二次函数与一元二次方程的关系 例 3  已知抛物线 y = ( x - m ) 2 - ( x - m ) ,其中 m 是常数. (1) 求证:不论 m 为何值,该抛物线与 x 轴一定有两个公共点; (2) 若该抛物线的对称轴为直线 x = . ① 求该抛物线的函数解析式; ② 把该抛物线沿 y 轴向上平移多少个单位长度后,得到的抛物线与 x 轴只有一个公共点 【 自主解答 】 (1) 证明 : ∵ y = ( x - m ) 2 - ( x - m ) = x 2 - (2 m + 1)x + m 2 + m , ∴ b 2 - 4 ac = [ - (2 m + 1)] 2 - 4×1×( m 2 + m ) = 4 m 2 + 4 m + 1 - 4 m 2 - 4 m = 1 > 0 , ∴不论 m 为何值,该抛物线与 x 轴一定有两个公共点; (2) 解:①∵ y = x 2 - (2 m + 1)x + m 2 + m 的对称轴为直线 x =- = , 抛物线对称轴为直线 x = , ∴ = , 解得 m = 2 , ∴抛物线解析式为 y = x 2 - 5 x + 6 ; ②设抛物线沿 y 轴向上平移 k 个单位长度后,得到的抛物线与 x 轴只有一个公共点,则平移后抛物线的解析式为 y = x 2 - 5 x + 6 + k . ∵ 抛物线 y = x 2 - 5 x + 6 + k 与 x 轴只有一个公共点, ∴ Δ = 5 2 - 4(6 + k ) = 0 , ∴ k = , 即把该抛物线沿 y 轴向上平移 个单位长度后,得到的抛物线与 x 轴只有一个公共点. 练习 3   (2017 张家界节选 ) 已知抛物线 c 1 的顶点为 A ( - 1 , 4) ,与 y 轴的交点为 D (0 , 3) . (1) 求 c 1 的解析式; (2) 若直线 l 1 : y = x + m 与 c 1 仅有唯一的交点,求 m 的值; (3) 若抛物线 c 1 关于 y 轴对称的抛物线记作 c 2 ,平行于 x 轴的直线记作 l 2 : y = n . 试结合图形回答:当 n 为何值时, l 2 与 c 1 和 c 2 共有:①两个交点;②三个交点;③四个交点. 解 : (1)∵ 抛物线 c 1 的顶点为 A ( - 1 , 4) , ∴设抛物线 c 1 的解析式为 y = a ( x + 1) 2 + 4 , ∵点 D (0 , 3) 在抛物线上, ∴ a (0 + 1) 2 + 4 = 3 , ∴ a =- 1 , 则抛物线 c 1 的解析式为 y =- ( x + 1) 2 + 4 , 即 y =- x 2 - 2 x + 3 ; (2) 由题意可得, 即 x 2 + 3 x + m - 3 = 0 , ∵直线与抛物线仅有唯一的交点, ∴ b 2 - 4 ac = 9 - 4( m - 3) = 0 ,解得 m = ; (3) 根据题意可得抛物线 c 1 : y =- ( x + 1) 2 + 4 关于 y 轴对称的抛物线 c 2 的解析式为: y =- ( x - 1) 2 + 4. ① 由图象可得当 n = 4 时,直线 y = 4 经过两抛物线顶点 ( - 1 , 4) , (1 , 4) ,此时直线 y = 4 与抛物线有两个交点; ②当 n = 3 时,直线 y = 3 ,经过两抛物线的交点 D (0 , 3) ,此时直线 y = 3 与抛物线有三个交点; ③当 n < 3 或 3 < n < 4 时,直线 y = n 与抛物线有四个交点.
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