初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第30讲 从创新构造入手

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第30讲 从创新构造入手

1 第三十讲 从创新构造入手 有些数学问题直接求解比较困难，可通过创造性构造转化问题而使问题获解． 所谓构造法，就是综合运用各种知识和方法，依据问题的条件和结论给出的信息，把问题作 适当的加工处理．构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而沟通解题思路的方 法．构造法是一种创造性思维，是建立在对问题结构特点的深刻认识基础上的． 构造法的基本形式是以已知条件为“原料”，以所求结论为“方向”，构造一种新的数学 形式，初中阶段常用的构造解题的基本方法有： 1．构造方程； 2．构造函数； 3．构造图形； 4．对于存在性问题，构造实例； 5．对于错误的命题，构造反例； 6．构造等价命题等． 【例题求解】 【例 1】 设 1a 、 2a 、 1b 、 2b 都为实数， 21 aa  ，满足 ))(())(( 22122111 babababa  ， 求证： 1))(())(( 22211211  babababa ． 思路点拨 可以从展开已知等式、按比例性质变形已知等式等角度尝试．仔细观察已知等式 特点， 、 可看作方程 1))(( 21  bxbx 的两根，则 ))((1))(( 2121 axaxbxbx  ， 通过构造方程揭示题设条件与结论的内在规律，解题思路新颖而深刻． 注：一般说来，构造法包含下述两层意思：利用抽象的普遍性，把实际问题转化为数学模型； 利用具体问题的特殊性，给所解决的问题设计一个框架，强调数学应用的数学建模是前一层 意思的代表，而后一层意思的“框架”含义更为广泛，如方程、函数、图形、“抽屉”等． 【例 2】 求代数式 13422 22  xxxx 的最小值． 思路点拨 用一般求最值的方法很难求出此代数式的最小值． 222222 )30()2()10()1(13422  xxxxxx ，于是问题转化为：在 x 轴上求一点 C(1，0)，使它到两点 A(一 1，1)和 B(2，3)的距离和(CA+CB)最小，利用对称性 可求出 C 点坐标．这样，通过构造图形而使问题获解． 2 【例 3】 已知 b 、 c 为整数，方程 05 2  cbxx 的两根都大于 1 且小于 0，求 和 c 的值． 思路点拨 利用求根公式，解不等式组求出 、 的范围，这是解本例的基本思路，解法繁 难．由于二次函数与二次方程有深刻的内在联系，构造函数，令 cbxxy  25 ，从讨论抛 物线与 x 轴交点在 1 与 0 之间所满足的约束条件入手． 【例 4】 如图，在矩形 ABCD 中，AD= a ，AB= b ，问：能否在 Ab 边上找一点 E，使 E 点 与 C、D 的连线将此矩形分成三个彼此相似的三角形?若能找到，这样的 E 点有几个?若不能 找到，请说明理由． 思路点拨 假设在 AB 边上存在点 E，使 Rt△ADE∽Rt△BEC∽Rt△ECD，又设 AE= ，则 BC BE AE AD  ，即 a xb x a  ，于是将问题转化为关于 x 的一元二次方程是否有实根，在一定条 件下有几个实根的研究，通过构造方程解决问题． 【例 5】 试证：世界上任何 6 个人，总有 3 人彼此认识或者彼此不认识． 思路点拨 构造图形解题，我们把“人”看作“点”，把 2 个人之间的关系看作染成颜色的 线段．比如 2 个人彼此认识就把连接 2 个人的对应点的线段染成红色；2 个人彼此不认识， 就把相应的线段染成蓝色，这样，有 3 个人彼此认识就是存在一个 3 边都是红色的三角形， 否则就是存在一个 3 边都是蓝色的三角形，这样本题就化作： 已知有 6 个点，任何 3 点不共线，每 2 点之间用线段连结起来，并染上红色或蓝色， 并且一条边只能染成一种颜色．证明：不管怎么染色，总可以找出三边同色的三角形． 注：“数缺形时少直观，形缺少时难入微”数形互助是一种重要的思想方法，主要体现在： (1)几何问题代数化； (2)利用图形图表解代数问题； (3)构造函数，借用函数图象探讨方程的解． 利用代数法解几何题，往往是以较少的量的字母表示相关的几何量，根据几何图形性质 列出代数式或方程(组)，再进行计算或证明． 特别地，证明几何存在性的问题可构造方程，利用一元二次方程必定有解的的的代数模型 求证；应用为韦达定理，讨论几何图形位置的可能性． 有些问题可通过改变形式或换个说法，构造等价命题或辅助命题，使问题清晰且易于把 握． 3 对于存在性问题，可根据问题要求构造出一个满足条件的结论对象，即所谓的存在性 问题的“构造性证明”． 学历训练 1．若关于 x 的方程 012)1( 22  mxxm 的所有根都是比 1 小的正实数，则实数 m 的取值范 围是 ． 2．已知 a 、 b 、 c 、 d 是四个不同的有理数，且 1))((  daca ， 1))((  dbcb ，那么 ))(( cbca  的值是 ． 3．代数式 9)12(4 22  xx 的最小值为 ． 4．A、B、C、D、E、F 六个足球队单循环赛，已知 A、B、C、D、E 五个队已经分别比赛 了 5、4、3、2、1 场，则还未与 B 队比赛的球队是 ． 5．若实数 、 满足 122  baba ，且 22 baabt  ，则t 的取值范围是 ． 6．设实数分别 s 、 分别满足 019919 2  ss ， 019992  tt ，并且 1st ，求 t sst 14  的 值． 7．已知实数 、 、 满足 0))((  cbaca ，求证： )(4)( 2 cbaacb  ． 8．写出 10 个不同的自然数，使得它们中的每个是这 10 个数和的一个约数，并说明写出的 10 个自然数符合题设条件的理由． 9．求所有的实数 x ，使得 xxxx 111  ． 10．若是不全为零且绝对值都小于 106 的整数．求证： 2110 132  cba ． 11．已知关于 的方程 kxx  1322 有四个不同的实根，求 k 的取值范围． 12．设 10  zyx ，， 0，求证 1)1()1()1(  xzzyyx ． 13．从自然数 l，2，3，…354 中任取 178 个数，试证：其中必有两个数，它们的差为 177． 14．已知 、 、 、 、 e 是满足 8 edcba ， 162222  edcba 的实数，试 确定 的最大值． 15．如图，已知一等腰梯形，其底为 和 ，高为 h ． (1)在梯形的对称轴上求作点 P，使从点 P 看两腰的视角为直角； (2)求点 P 到两底边的距离； (3)在什么条件下可作出 P 点? 4 参考答案 5 6