扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题

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扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题

扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测 高三数学试题 ‎ 2013.01‎ 全卷分两部分:第一部分为所有考生必做部分(满分160分,考试时间120分钟),第二部分为选修物理考生的加试部分(满分40分,考试时间30分钟).‎ 注意事项:‎ 1. 答卷前,请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方.‎ ‎2.第一部分试题答案均写在答题卷相应位置,答在其它地方无效.‎ ‎3.选修物理的考生在第一部分考试结束后,将答卷交回,再参加加试部分的考试.‎ 第 一 部 分 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应的位置上)‎ ‎1.若集合,,则M∩N= ▲ . ‎ ‎2.将复数(是虚数单位)写成,则 ▲ . ‎ ‎3.已知向量,若,则k等于 ▲ . ‎ ‎4.已知函数,则 ▲ . ‎ ‎5.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6),骰子朝上的面的点数分别为,,则的概率为 ▲ . ‎ ‎6.设满足约束条件,则的最大值是 ▲ . ‎ ‎7.如图所示的流程图,若输出的结果是15,则判断框中的横线上可以填入的最大整数为 ▲ .‎ ‎8.已知圆的圆心为抛物线的焦点,又直线与圆相切,则圆的标准方程为 ▲ .‎ ‎9.设是两条不同的直线,、是两个不同的平面,则下列四个命题 ‎①若,则, ②若,则,‎ ‎③若 ④若,则,‎ 其中正确的命题序号是 ▲ .‎ ‎10.在中,角所对边的长分别为,且,则 ▲ . ‎ ‎11.已知函数()在区间上取得最小值4,则 ▲ . ‎ ‎12. 如图所示:矩形的一边在轴上,另两个顶点、在函数的图像上,若点的坐标为),矩形的周长记为,则 ▲ .‎ ‎13.已知椭圆的离心率,A、B是椭圆的左、右顶点,P是椭圆上不同于A、B的一点,直线PA、PB斜倾角分别为、,则= ▲ . ‎ ‎14.数列满足,,且 =2,则的最小值为 ▲ . ‎ 二、解答题:(本大题共6道题,计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎15.(本小题满分14分)‎ 已知向量,,函数.‎ ‎(Ⅰ)求的最大值,并求取最大值时的取值集合;‎ ‎(Ⅱ)已知、、分别为内角、、的对边,且,,成等比数列,角为锐角,且,求的值.‎ ‎16.(本小题满分14分)‎ 如图,在四棱锥中,⊥平面, 于。‎ ‎(Ⅰ)证明:平面⊥平面;‎ ‎(Ⅱ)设为线段上一点,若,求证:平面 ‎17.(本小题满分15分)‎ 已知数列的前项和为.‎ ‎(Ⅰ)若数列是等比数列,满足, 是,的等差中项,求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)是否存在等差数列,使对任意都有?若存在,请求出所有满足条件的等差数列;若不存在,请说明理由.‎ ‎18.(本小题满分15分)‎ 轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动.如图,助跑道ABC是一段抛物线,某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为‎1米的平台上E处,飞行的轨迹是一段抛物线CDE(抛物线CDE与抛物线ABC在同一平面内),D为这段抛物线的最高点.现在运动员的滑行轨迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系,轴在地面上,助跑道一端点A(0,4),另一端点C(3,1),点B(2,0),单位:米.‎ ‎(Ⅰ)求助跑道所在的抛物线方程;‎ ‎(Ⅱ)若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C处有相同的切线,为使运动员安全和空中姿态优美,要求运动员的飞行距离在‎4米到‎6米之间(包括‎4米和‎6米),试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围?‎ ‎(注:飞行距离指点C与点E的水平距离,即这两点横坐标差的绝对值.)‎ ‎19.(本小题满分16分)‎ 如图,已知椭圆方程为,圆方程为,过椭圆的左顶点A作斜率为直线与椭圆和圆分别相交于B、C. ‎ ‎(Ⅰ)若时,恰好为线段AC的中点,试求椭圆的离心率;‎ ‎(Ⅱ)若椭圆的离心率=,为椭圆的右焦点,当时,求的值;‎ ‎(Ⅲ)设D为圆上不同于A的一点,直线AD的斜率为,当时,试问直线BD是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.‎ ‎20.(本小题满分16分)‎ 记函数的导函数为,已知.‎ ‎(Ⅰ)求的值.‎ ‎(Ⅱ)设函数,试问:是否存在正整数使得函数有且只有一个零点?若存在,请求出所有的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎(Ⅲ)若实数和(,且)满足:,试比较与的大小,并加以证明.‎ 第二部分(加试部分)‎ ‎21.B 选修4 - 2:矩阵与变换(本题满分10分)‎ 若矩阵有特征值,,它们所对应的特征向量分别为和,求矩阵.‎ ‎ …………………10分 ‎21.C. 选修4 - 4:坐标系与参数方程 (本题满分10分)‎ 已知椭圆:与正半轴、正半轴的交点分别为,动点是椭圆上任一点,求面积的最大值。‎ ‎22.(本题满分10分)‎ 在四棱锥中,侧面底面,,底面是直角梯形,,,,.设为侧棱上一点,,试确定的值,使得二面角为45°.‎ ‎23.(本题满分10分)‎ 已知数列是等差数列,且是展开式的前三项的系数.‎ ‎(Ⅰ)求展开式的中间项;‎ ‎(Ⅱ)当时,试比较与的大小.‎ 扬州市2012—2013学年度第一学期期末检测试题 高 三 数 学 参 考 答 案 ‎ 2013.01‎ 第 一 部 分 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应的位置上)‎ ‎1.;2.;3.;4.;5.; 6.;7.49; 8.;‎ ‎9.③④;10.;11.;12. 216;13.;14.‎ 二、解答题:(本大题共6道题,计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎15.(本小题满分14分)‎ 解:(Ⅰ)‎ ‎.……… 3分 故,此时,得,‎ ‎∴取最大值时的取值集合为. ………………… 7分 ‎(Ⅱ),,,‎ ‎,. …………………………… 10分 由及正弦定理得于是 ‎. ……………………………………14分 ‎16.(本小题满分14分)‎ ‎(Ⅰ)证:因为平面,‎ 平面,…………………2分 又,是平面内的两条相交直线,‎ 平面, …………………4分 而平面,所以平面⊥平面 …………………6分 ‎(Ⅱ)证:,,和为平面内 两相交直线,平面, …………………8分 连接,平面,, …………………10分 ‎⊥平面,平面,,‎ 又共面,, …………………12分 又平面,平面,平面 …………………14分 ‎17.(本小题满分15分)‎ 解:(Ⅰ)设等比数列的首项为,公比为,‎ 依题意,有即……3分 由 得 ,解得或.‎ 当时,不合题意舍;‎ 当时,代入(2)得,所以, . …………………7分 ‎(Ⅱ)假设存在满足条件的数列,设此数列的公差为,则 方法1: ,得 对恒成立,‎ 则 …………………10分 解得或此时,或.‎ 故存在等差数列,使对任意都有.其中,‎ 或. …………………15分 方法2:令,,得,‎ 令,得, …………………9分 ‎①当时,得或,‎ 若,则,,,对任意都有;‎ 若,则,,,不满足.‎ ‎…………………12分 ‎②当时,得或,‎ 若,则,,,对任意都有;‎ 若,则,,,不满足.‎ 综上所述,存在等差数列,使对任意都有.其中,或. …………………15分 ‎18.(本小题满分15分)‎ 解:(Ⅰ)设助跑道所在的抛物线方程为,‎ 依题意: …………………3分 解得,,,,‎ ‎∴助跑道所在的抛物线方程为. …………………7分 ‎(Ⅱ)设飞行轨迹所在抛物线为(),‎ 依题意:得解得…………………9分 ‎∴,‎ 令得,,∵,∴,…11分 当时,有最大值为,‎ 则运动员的飞行距离, ………………13分 飞行过程中距离平台最大高度,‎ 依题意,,得,‎ 即飞行过程中距离平台最大高度的取值范围为在‎2米到‎3米之间.………………15分 ‎19.(本小题满分16分)‎ 解:(Ⅰ)当时,点C在轴上,且,则,由点B在椭圆上,‎ 得, …………………2分 ‎∴,,∴. …………………4分 ‎(Ⅱ)设椭圆的左焦点为,由椭圆定义知,,‎ ‎∴,则点B在线段的中垂线上,∴,…………6分 又,∴,,∴,‎ 代入椭圆方程得=,∴=.…………9分 ‎(Ⅲ)法一:由得,‎ ‎∴,或,‎ ‎∵,∴,则.……11分 由得,‎ 得,或,同理,得,,……13分 当时,,,‎ ‎,∴ BD⊥AD,∵为圆,‎ ‎∴ ∠ADB所对圆的弦为直径,从而直线BD过定点(a,0). ……………16分 法二:直线过定点, …………………10分 证明如下:‎ 设,,则:‎ ‎,‎ 所以,又 所以三点共线,即直线过定点。. …………………16分 ‎20.(本小题满分16分)‎ 解:(Ⅰ),由得. …………………3分 ‎(Ⅱ),,………………5分 ‎∵,令得,‎ 当时,,是增函数;‎ 当时,,是减函数.‎ ‎∴当时,有极小值,也是最小值,,……7分 当时,;‎ 当时(可取体验),.‎ 当时,,函数有两个零点;‎ 当时,,函数有两个零点;‎ 当时,,函数有且只有一个零点,‎ 综上所述,存在使得函数有且只有一个零点. …………………9分 ‎(Ⅲ),∵,∴,‎ 得, …………………11分 则,‎ 当时,,设,‎ 则(当且仅当时取等号),‎ ‎∴在上是减函数,‎ 又∵,∴,∴,∴.…………………14分 当时,,设,‎ 则(当且仅当时取等号),‎ ‎∴在上是增函数,‎ 又∵,∴,∴,∴.‎ 综上所述,当时 ,当时………………………………16分 第二部分(加试部分)‎ ‎21.B 选修4 - 2:矩阵与变换(本题满分10分)‎ 解.设,由 …………………3分 得,即,,‎ 所以 …………………10分 ‎21.C. 选修4 - 4:坐标系与参数方程 (本题满分10分)‎ 解:依题意,,,直线:,即 设点的坐标为,则点到直线的距离是 ‎, …………………4分 当时,, …………………6分 所以面积的最大值是 …………………10分 ‎22.(本题满分10分)‎ 解:因为侧面底面,平面平面,,‎ 所以平面,所以,即三直线两两互相垂直。‎ 如图,以为坐标原点,分别为轴建立直角坐标系,‎ 则平面的一个法向量为, …………………2分 ‎,所以 ‎,设平面的一个法向量为,由,,‎ 得,‎ 所以 …………………6分 所以,即 注意到,解得. …………………10分 ‎23.(本题满分10分)‎ 解:(Ⅰ)依题意,,,由可得(舍去),或 …………………2分 所以展开式的中间项是第五项为:;…………………4分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,‎ 当时,‎ 当时,‎ 猜测:当时, …………………6分 以下用数学归纳法加以证明:‎ ‎①时,结论成立,‎ ‎②设当时,,‎ 则时,‎ 由可知,‎ 即 综合①②可得,当时, …………………10分
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