浙江中考数学专题训练——解答题3

浙江中考数学专题训练——解答题3

浙江中考数学专题训练——解答题3‎ ‎1．（1）计算：2sin30°+（2﹣π）0﹣；‎ ‎（2）解方程：2x2+x﹣6＝0．‎ ‎2．先化简，再求值：，其中a ＝－1．‎ ‎3．如图，已知△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DE＝DF．试说明AB＝AC的理由．‎ ‎4．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0），与y轴交于C点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点D．抛物线顶点为H．‎ ‎（1）求抛物线的解析式．‎ ‎（2）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在直线AD上是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）点P为直线AD上方抛物线的对称轴上一动点，连接PA，PD．当S△PAD＝3，若在x轴上存在以动点Q，使PQ+QB最小，若存在，请直接写出此时点Q的坐标及PQ+QB的最小值．‎ ‎5．如图，在锐角△ABC中，BC＝10，AC＝11，△ABC的面积为33，点P是射线CA上一动点，以BP为直径作圆交线段AC于点E，交射线BA于点D，交射线CB于点F．‎ ‎（1）当点P在线段AC上时，若点E为中点，求BP的长．‎ ‎（2）连结EF，若△CEF为等腰三角形，求所有满足条件的BP值．‎ ‎（3）将DE绕点D顺时针旋转90°，当点E的对应点E'恰好落在BC上时，记△DBE'的面积为S1，△DPE的面积S2，则的值为　 　．（直接写出答案即可）‎ ‎6．如图，在 Rt△AOB 中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，线段 OA’绕点 O 顺时针旋转ɑ角（0≤ɑ≤180°），OA’交边 AB 于点 F.‎ ‎（1）当旋转ɑ角度后，A’点恰好落在 AB 上，记为 C 点，求 CB 的长度；‎ ‎（2）当 OA’绕点 O 旋转与 AB 平行时，记为 OG，连接 CG，交 OB 于 E，分别求出 OE 长度和∠COB 的正弦值；‎ ‎（3）在旋转过程中，请直接写出的最大值．‎ ‎7．已知二次函数 y＝（x－a－2）（x+a）+3．‎ ‎（1）求该二次函数的图象的对称轴．‎ ‎（2）对于该二次函数图象上的两点 P（x1，y1）、Q（x2，y2）．‎ ‎①当 x≥m 时，y 随 x 的增大而增大，写出一个符合条件的 m 值；‎ ‎②当 m≤x2≤m+2，当 x1≤﹣1 时，均有 y1≥y2，求 m 的取值范围；‎ ‎（3）当二次函数过（0，3）点时，且与直线 y=kx+2 交于 A、B 两点，其中有一交点的横坐标 x0 满足 1＜x0＜3， 求 k 的取值范围．‎ ‎8．如图 1，在矩形 ABCD 中，点 E 以 lcm/s 的速度从点 A 向点 D 运动，运动时间为 t（s），连结 BE，过点 E 作 EF⊥BE，交 CD 于 F，以 EF 为直径作⊙O．‎ ‎（1）求证：∠1＝∠2；‎ ‎（2）如图 2，连结 BF，交⊙O 于点 G，并连结 EG．已知 AB＝4，AD＝6．‎ ‎①用含 t 的代数式表示 DF 的长 ‎②连结 DG，若△EGD 是以 EG 为腰的等腰三角形，求 t 的值；‎ ‎（3）连结 OC，当 tan∠BFC＝3 时，恰有 OC∥EG，请直接写出 tan∠ABE 的值．‎ ‎9．如图，在锐角△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作⊙O的切线DE交边BC于点E，连结BD．‎ ‎（1）求证：∠ABD＝∠CDE．‎ ‎（2）若AC＝28，tanA＝2，AD：DC＝1：3，求DE的长．‎ ‎10．如图，直角坐标系中，抛物线y＝a（x﹣4）2﹣16（a＞0）交x轴于点E，F（E在F的左边），交y轴于点C，对称轴MN交x轴于点H；直线y＝x+b分别交x，y轴于点A，B．‎ ‎（1）写出该抛物线顶点D的坐标及点C的纵坐标（用含a的代数式表示）．‎ ‎（2）若AF＝AH＝OH，求证：∠CEO＝∠ABO．‎ ‎（3）当b＞﹣4时，以AB为边作正方形，使正方形的另外两个顶点一个落在抛物线上，一个落在抛物线的对称轴上，求所有满足条件的a及相应b的值．（直接写出答案即可）‎ 参考答案 ‎1．（1）-1；（2）x1＝，x2＝﹣2．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据三角形函数中30°的正弦值为，任何一个数的零指数幂（0除外）是1，有理数的负指数幂是它正指数幂的倒数即可求解.‎ ‎(2)利用因式分解中“十字相乘法”即可把一元二次方程分解为（2x-3）（x+2）=0即可求解.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）原式＝2×+1﹣3‎ ‎＝1+1﹣3‎ ‎＝﹣1；‎ ‎（2）（2x﹣3）（x+2）＝0，‎ ‎2x﹣3＝0或x+2＝0，‎ 所以x1＝，x2＝﹣2．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查的是实数的综合应用和一元二次方程解法“十字相乘法”，掌握这个两个知识点是解题的关键.‎ ‎2．，．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据混合运算的法则把原分式化为最简形式，再把a=-1代入进行计算即可．‎ ‎【详解】‎ 解：原式＝＝‎ 当a ＝-1时，原式＝．‎ ‎3．见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，D是BC的中点，所以Rt△DBE≌Rt△DCF，根据全等三角形的性质可知∠B＝∠C，则AB＝AC．‎ ‎【详解】‎ 解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，‎ ‎∴△DBE与△DCF是直角三角形．‎ ‎∵在Rt△DBE与Rt△DCF中，‎ ‎，‎ ‎∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），‎ ‎∴∠B＝∠C，‎ ‎∴AB＝AC．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的是全等三角形的判定、等腰三角形的判定，判定两个三角形是全等三角形有以下方法：ASA、AAS、SAS、SSS、HL.‎ ‎4．（1）（2）（0，）或（2，）或（﹣2，﹣）（3）（2.5，0）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）把A（﹣1，0）和B（3，0），代入到抛物线的解析式，即可解答 ‎（2）存在，分三种情况讨论，①EF可由AC平移得到，C、E为对应点，A、F为对应点，再把F点代入直线AD的解析式为y＝x+，即可解答②如图2所示，此时点F与点D重合，即可解答③如图3所示，根据平移的规律，得知点F的横坐标为﹣2，‎ 代入解析式即可解答 ‎（3）如图4所示，过点B作AD的平行线交抛物线的对称轴于点N，过点P作PH垂直于BN，与x轴的交点即为点Q，设直线BN的解析式为y＝x+b，过点B（3，0），求出BN的解析式，再利用解析式算出M,N的值，再算出PQ+QB＝PQ+QH，当P、Q、H三点共线时，PQ+QB最小，即为PH，即可解答 ‎【详解】‎ ‎（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0），‎ ‎∴，‎ 解得，，‎ ‎∴抛物线的解析式为：；‎ ‎（2）存在，分三种情况讨论，‎ ‎①如图1所示，‎ ‎∵四边形ACEF为平行四边形，‎ ‎∴EF可由AC平移得到，C、E为对应点，A、F为对应点，‎ ‎∵C（0，），点E的横坐标为1，‎ ‎∴向右平移了一个单位，‎ ‎∵A（﹣1，0），‎ ‎∴F的横坐标为0，‎ ‎∵直线AD的解析式为y＝x+，‎ ‎∴当x＝0时，y＝，‎ ‎∴F（0，）．‎ ‎②如图2所示，‎ 此时点F与点D重合，‎ ‎∴F（2，）．‎ ‎③如图3所示，‎ 根据平移的规律，得知点F的横坐标为﹣2，‎ 当x＝﹣2时，y＝﹣，‎ ‎∴F（﹣2，﹣）．‎ 综上所述：点F的坐标为（0，）或（2，）或（﹣2，﹣）．‎ ‎（3）如图4所示，过点B作AD的平行线交抛物线的对称轴于点N，过点P作PH垂直于BN，与x轴的交点即为点Q，‎ 设直线BN的解析式为y＝x+b，过点B（3，0），‎ 解得b＝﹣，‎ ‎∴直线BN的解析式为y＝x﹣，‎ ‎∵抛物线的对称轴为直线x＝1，‎ ‎∴N（1，﹣1），‎ 设直线AD与抛物线的对称轴的交点为点M，‎ ‎∴M（1，1），‎ ‎∵S△ADP＝PM•（xD﹣xA）•＝3，‎ ‎∴PM＝2，‎ ‎∴P（1，3），‎ ‎∵tan∠ABN＝，‎ ‎∴QB＝QH，‎ ‎∴PQ+QB＝PQ+QH，‎ ‎∴当P、Q、H三点共线时，PQ+QB最小，即为PH，‎ ‎∵PN＝4，∠NPH＝∠ABN，‎ ‎∴PH＝．‎ ‎∴PQ+QB的最小值为，‎ 此时点Q（2.5，0）．‎ ‎【点睛】‎ 此题为抛物线的综合题，利用了轴对称性质，三角函数值，平行四边形的性质，解题关键在于把已知点代入解析式 ‎5．（1）；（2）或10或2；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先利用面积求高BE，再由勾股定理求AB、AE、CE，再根据全等三角形判定和性质求得PB；‎ ‎（2）△CEF为等腰三角形，可以分三种情况：①CF＝EF，过F作FG⊥AC于点G，连接PF，利用相似三角形性质即可得到答案；②EF＝CE，过E作EG⊥CB于G，连接EF、BP，利用全等三角形判定和性质即可；③CE＝CF，利用全等三角形判定、性质和勾股定理即可；‎ ‎（3）过点E作EM⊥DP于点M，过E′作E′G⊥AC于点G，作E′N⊥AB于点N，过D作DF⊥AC于点F，作DH⊥E′G于点H，依次证明：DFGH是矩形，△DEF≌△DE′H（AAS），△E′DN≌△EDM（AAS），再运用由相似三角形性质和解直角三角形知识即可．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）如图1，连接BE、DE，∴BP为直径，‎ ‎∴∠BEC＝∠BEA＝90°‎ ‎∵BC＝10，AC＝11，△ABC的面积为33，‎ ‎∴AC•BE＝33‎ ‎∴BE＝6‎ ‎∴CE＝＝8‎ ‎∴AE＝AC﹣CE＝3‎ ‎∴AB＝＝3‎ ‎∵点E为中点 ‎∴∠ABE＝∠PBE ‎∵BE＝BE ‎∴△ABE≌△PBE（ASA）‎ ‎∴BP＝AB＝3；‎ ‎（2）∵△CEF为等腰三角形，可以分三种情况：‎ ‎①CF＝EF，如图2，过F作FG⊥AC于点G，连接PF，‎ ‎∵BP是直径 ‎∴∠BFP＝∠CFP＝∠CGF＝∠CEB＝90°‎ ‎∴EG＝CG＝CF＝4‎ ‎∵FG∥BE ‎∴△CFG∽△CBE∽△CPF ‎∴＝＝，＝‎ ‎∴，即CF＝5，‎ ‎∴＝，即CP＝，‎ ‎∴EP＝CE﹣CP＝8﹣＝，‎ ‎∴BP＝＝＝；‎ ‎②EF＝CE，如图3，过E作EG⊥CB于G，连接EF、BP，则CG＝GF ‎∴∠EFG＝∠C ‎∵＝‎ ‎∴∠BPE＝∠EFG ‎∴∠C＝∠BPE ‎∵∠CEB＝∠PEB＝90°，BE＝BE ‎∴△CBE≌△PBE（AAS）‎ ‎∴BP＝BC＝10‎ ‎③CE＝CF，如图4，连接EF、BP、BE、AF，‎ ‎∵BP为直径 ‎∴∠AFB＝∠AEB＝90°‎ ‎∵∠C＝∠C ‎∴△CEB≌△CFP（ASA）‎ ‎∴CP＝CB＝10‎ ‎∴PE＝2‎ ‎∴BP＝＝＝2‎ 综上所述，满足条件的BP值为：或10或．‎ ‎（3）如图5，过点E作EM⊥DP于点M，过E′作E′G⊥AC于点G，作E′N⊥AB于点N，过D作DF⊥AC于点F，作DH⊥E′G于点H，‎ ‎∵DF⊥AC，DH⊥E′G，E′G⊥AC ‎∴∠DFE＝∠DHE′＝∠E′GF＝90°‎ ‎∴DFGH是矩形，‎ ‎∴GH＝DF FG＝DH∠FDH＝90°‎ ‎∴∠EDF+∠EDH＝90°‎ ‎∵∠EDH+∠E′DH＝90°‎ ‎∴∠EDF＝∠E′DH ‎∵DE＝DE′‎ ‎∴△DEF≌△DE′H（AAS）‎ ‎∴DF＝DH，EF＝E′H ‎∵DF∥BE ‎∴＝＝，设AF＝m，则：DF＝DH＝GH＝FG＝2m，EF＝E′H＝3﹣m，‎ ‎∴E′G＝m+3，AG＝3m，CG＝CA﹣AG＝11﹣3m，‎ ‎∵tan∠C＝＝＝＝，即：4E′G＝3CG，‎ ‎∴4（m+3）＝3（11﹣3m），解得：m＝，‎ EF＝3﹣＝，DF＝2×＝，‎ ‎∵BP是直径，‎ ‎∴∠E′DN+∠E′DP＝90°，‎ ‎∵∠E′DP+∠EDM＝90°‎ ‎∴∠E′DN＝∠EDM ‎∴△E′DN≌△EDM（AAS）‎ ‎∴E′N＝EM ‎∴＝＝＝tan∠BPD ‎∵‎ ‎∴∠BED＝∠BPD ‎∵DF∥BE ‎∴∠BED＝∠EDF ‎∴∠BPD＝∠EDF ‎∴tan∠BPD＝tan∠EDF＝＝‎ ‎∴＝，‎ 故答案为：．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了圆的性质、相似三角形判定和性质、全等三角形判定和性质、勾股定理、解直角三角形、三角形面积等，涉及知识点较多，难度较大，特别是第（3）问要合理添辅助线构造全等三角形和相似三角形．‎ ‎6．（1）CB=；（2）OE=，；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1） 过O作AB的垂线交AB于D，根据面积法求出AD，从而可求出CB；‎ ‎（2）平行得△CEB△OEG， 过C作CH⊥OB,可求长度和∠的正弦值；‎ ‎（3）由图像易知当OA'⊥AB时，FO最短，此时取得最大值为​‎ ‎【详解】‎ 解：（1） 过O作AB的垂线交AB于D，‎ ‎∵，‎ ‎∴OD=，‎ ‎∴AD=CD=，‎ ‎ CB=；‎ ‎（2）∵OG∥AB,‎ ‎∴∠B=∠BOG，‎ ‎∵∠BEC=∠OEG,‎ ‎∴以△CEB∽△GEO，‎ ‎∴,‎ ‎∴BE=,‎ ‎∵OB=EB+EO=4，‎ ‎∴OE+=4,‎ 解得OE=，‎ 过C作CH⊥OB,则△BCH∽△BAO，‎ ‎∴=，‎ ‎∴CH=,‎ ‎∴； ‎ ‎（3）由图像易知当OA'⊥AB时，FO最短，此时取得最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了旋转的性质，勾股定理，垂线段最短，以及相似三角形的判断与性质.‎ 熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.‎ ‎7．（1）x=1；（2）①m值可以为2；②-1≤m≤1；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先把原二次函数化成y=（x-1）2-a2-2a+2，由此可得该二次函数的图象的对称轴；‎ ‎（2）①根据二次函数的开口方向和对称轴可知y随x的增大而增大时，x的取值范围，从而可得符合条件的m值；‎ ‎②首先得出当x1=-1，y1=y2时，x2=3，然后根据当x1≤-1时，均有y1≥y2，可得一个不等式组，解出即可；‎ ‎（3）首先根据二次函数过（0，3）点，求出a的值，于是可得该二次函数的解析式，然后计算出直线x=1，直线x=3与二次函数y=x2-2x+3的交点坐标，得到直线DE的解析式为y=2，k1=0，设DF所在直线解析式为y=k2x+2，把（3，6）代入得k2=即可得出结论.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为y=（x-a-2）（x+a）+3，‎ ‎∴y=（x-1）2-a2-2a+2，‎ ‎∴该二次函数的图象的对称轴为x=1；‎ ‎（2）①∵该二次函数开口向上，对称轴为x=1，‎ ‎∴x≥1时，y随x的增大而增大，‎ ‎∴m≥1的数都可以，‎ 因此符合条件的m值可以为2；‎ ‎②∵该二次函数的图象的对称轴为x=1，‎ ‎∴当x1=-1，y1=y2时，x2=3，‎ ‎∴当x1≤-1时，均有y1≥y2，‎ 则-1≤x2≤3，‎ ‎∴，‎ 解得-1≤m≤1；‎ ‎（3）当二次函数过（0，3）点时，‎ 则有3=（0-1）2-a2-2a+2，‎ 解得a=0或-2，‎ ‎∴该二次函数的解析式为y=x2-2x+3，‎ 如图：‎ ‎ 直线x=1，直线x=3分别与二次函数y=x2-2x+3交E、F两点，‎ 易得E（1，2），F（3，6），‎ 直线y=kx+2与y轴交于D点，D（0，2），‎ ‎∵二次函数y=x2-2x+3与直线y=kx+2交于A、B两点，其中有一交点的横坐标满足1＜x0＜3，‎ 直线y=kx+2与二次函数y=x2-2x+3的EF间有一交点，‎ 直线DE的解析式为y=2，k1=0，设DF所在直线的解析式为y=k2x+2，把（3，6）代入得k2=，‎ ‎∴k1

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