决胜2020中考数学压轴题全揭秘上专题08二次函数的图象性质与应用问题试题
专题 08 二次函数的图象性质与应用问题
【典例分析】
【考点 1】二次函数的图象与性质
【例 1】（2019·四川中考真题）二次函数 2y x ax b 的图象如图所示，对称轴为直线 2x ，下列结
论不正确的是（ ）
A． 4a
B．当 4b 时，顶点的坐标为 (2, 8)
C．当 1x 时， 5b
D．当 3x 时，y 随 x 的增大而增大
【答案】C
【解析】
【分析】
根据对称轴公式
2
bx a
和二次函数的性质，结合选项即可得到答案.
【详解】
解：∵二次函数 2y x ax b
∴对称轴为直线 22
ax
∴ 4a ，故 A 选项正确；
当 4b 时， 2 24 4 ( 2) 8y x x x
∴顶点的坐标为 (2, 8) ，故 B 选项正确；
当 1x 时，由图象知此时 0y
即1 4 0b
∴ 5b ，故 C 选项不正确；
∵对称轴为直线 2x 且图象开口向上
∴当 3x 时，y 随 x 的增大而增大，故 D 选项正确；
故选 C．
【点睛】
本题考查二次函数，解题的关键是熟练掌握二次函数.
【变式 1-1】
（2019·重庆中考真题）抛物线 23 6 2y x x 的对称轴是（ ）
A．直线 2x B．直线 2x C．直线 1x D．直线 1x
【答案】C
【解析】
【分析】
将抛物线的一般式配方成为顶点式，可确定顶点坐标及对称轴．
【详解】
解：∵ 2 23 6 2 3( 1) 5y x x x ，
∴抛物线顶点坐标为 (1,5) ，对称轴为 1x ．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质．抛物线 2( )y a x h k 的顶点坐标为（h，k），对称轴为 x＝h．
【变式 1-2】（2019·浙江中考真题）已知抛物线 22 4y x x c 与 x 轴有两个不同的交点.
(1)求 c 的取值范围；
(2)若抛物线 22 4y x x c 经过点 2,A m 和点 3,B n ，试比较 m 与 n 的大小，并说明理由.
【答案】(1) c 的取值范围是 2c ； (2) m n . 理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）由二次函数与 x 轴交点情况，可知△＞0；
（2）求出抛物线对称轴为直线 x=1，由于 A（2，m）和点 B（3，n）都在对称轴的右侧，即可求解；
【详解】
(1) 22 4 4 8 16 8b ac c c .
由题意，得 2 4 0b ac ，
∴16 8 0c
∴ c 的取值范围是 2c .
(2) m n . 理由如下:
∵抛物线的对称轴为直线 1x ，
又∵ 2 0a ，
∴当 1x 时， y 随 x 的增大而增大.
∵ 2 3 ，∴ m n .
【点睛】
本题考查二次函数图象及性质；熟练掌握二次函数对称轴，函数图象的增减性是解题的关键．
【考点 2】抛物线的平移与解析式的确定
【例 2-1】（2019·山东中考真题）将抛物线 2 6 5y x x 向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位
长度后，得到的抛物线解析式是（ ）
A． 2( 4) 6y x B． 2( 1) 3y x C． 2( 2) 2y x D． 2( 4) 2y x
【答案】D
【解析】
【分析】
由平移可知，抛物线的开口方向和大小不变，顶点改变，将抛物线化为顶点式，求出顶点，再由平移求出
新的顶点，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【详解】
解： 22 6 5 3 4y x x x ，即抛物线的顶点坐标为 3, 4 ，
把点 3, 4 向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度得到点的坐标为 4, 2 ，
所以平移后得到的抛物线解析式为 24 2y x ．
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故 a 不变，所以求平移后的抛物线
解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；
二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
【例 2-2】（2019·山西中考真题）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图 1)，它由五个高度不同，
跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图 2 所示，此钢拱(近似看成二次函
数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于 A，B 两点，拱高为 78 米(即最高点 O 到
AB 的距离为 78 米)，跨径为 90 米(即 AB=90 米)，以最高点 O 为坐标原点，以平行于 AB 的直线为 x 轴建立
平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为( )
A． 226
675y x B． 226
675y x C． 213
1350y x D． 213
1350y x
【答案】B
【解析】
【分析】
设抛物线解析式为 y=ax2，由已知可得点 B 坐标为(45，-78)，利用待定系数法进行求解即可.
【详解】
∵拱高为 78 米(即最高点 O 到 AB 的距离为 78 米)，跨径为 90 米(即 AB=90 米)，以最高点 O 为坐标原点，
以平行于 AB 的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，
∴设抛物线解析式为 y=ax2，点 B(45，-78)，
∴-78=452a，
解得：a= 26
675
，
∴此抛物线钢拱的函数表达式为 226
675y x ，
故选 B.
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.
【变式 2-1】（2019·西藏中考真题）把函数 21
2y x 的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数
21 1 12y x 的图象（ ）
A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位
B．向左平移1个单位，再向上平移1个单位
C．向右平移1个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位
【答案】C
【解析】
【分析】
根据抛物线顶点的变换规律作出正确的选项．
【详解】
抛物线 21
2y x 的顶点坐标是 0 0（ ，），抛物线线 21 1 12y x 的顶点坐标是 11（ ，），
所以将顶点 0 0（ ，）向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到顶点 11（ ，），
即将函数 21
2y x 的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数 21 1 12y x 的图象．
故选：C．
【点睛】
主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
【变式 2-2】（2019·江苏中考真题）已知二次函数的图象经过点 (2,2)P ，顶点为 (0,0)O 将该图象向右平移，
当它再次经过点 P 时，所得抛物线的函数表达式为__．
【答案】 21 ( 4)2y x ．
【解析】
【分析】
设原来的抛物线解析式为： 2y ax ．利用待定系数法确定函数关系式；然后利用平移规律得到平移后的解
析式，将点 P 的坐标代入即可．
【详解】
设原来的抛物线解析式为： 2y ax ( 0)a ，
把 (2,2)P 代入，得 2 4a ，
解得 1
2a ，
故原来的抛物线解析式是： 21
2y x ，
设平移后的抛物线解析式为： 21 ( )2y x b ，
把 (2,2)P 代入，得 212 (2 )2 b ，
解得 0b (舍去)或 4b ，
所以平移后抛物线的解析式是： 21 ( 4)2y x ，
故答案是： 21 ( 4)2y x ．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．利用待定系数法
确定原来函数关系式是解题的关键．
【变式 2-3】（2019·浙江中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线 ( 5)( 3)y x x 经过变换后得到抛物
线 ( 3)( 5)y x x ，则这个变换可以是（ ）
A．向左平移 2 个单位 B．向右平移 2 个单位
C．向左平移 8 个单位 D．向右平移 8 个单位
【答案】B
【解析】
【分析】
根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．
【详解】
y=（x+5）（x-3）=（x+1）2-16，顶点坐标是（-1，-16）．
y=（x+3）（x-5）=（x-1）2-16，顶点坐标是（1，-16）．
所以将抛物线 y=（x+5）（x-3）向右平移 2 个单位长度得到抛物线 y=（x+3）（x-5），
故选 B．
【点睛】
此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
【变式 2-4】（2019·四川中考真题）将抛物线 23) 2y x＝(﹣ ﹣ 向左平移_______个单位后经过点 (2 2)A ， ．
【答案】3
【解析】
【分析】
直接利用二次函数的平移规律结合二次函数图象上点的性质进而得出答案．
【详解】
解：∵将抛物线 23 2y x＝（﹣）﹣ 向左平移后经过点 2 2A（ ，），
∴设平移后解析式为： 23 2y x a＝（﹣ ）﹣ ，
则 22 2 3 2a＝（﹣ ）﹣ ，
解得： 3a＝ 或 1a＝﹣ （不合题意舍去），
故将抛物线 23 2y x＝（﹣）﹣ 向左平移 3 个单位后经过点 2 2A（ ，）．
故答案为：3．
【点睛】
考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．
【考点 3】二次函数的图象与字母系数的关系
【例 3】（2019·辽宁中考真题）已知二次函数 2 ( 0)y ax bx c a 的图象如图所示，现给出下列结论：
① 0abc ；②9 3 0a b c ；③ 2 4 8b ac a ；④5 0a b c ．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据图象可直接判断 a、c 的符号，再结合对称轴的位置可判断 b 的符号，进而可判断①；
抛物线的图象过点（3，0），代入抛物线的解析式可判断②；
根据抛物线顶点的位置可知：顶点的纵坐标小于－2，整理后可判断③；
根据图象可知顶点的横坐标大于 1，整理后再结合③的结论即可判断④.
【详解】
解：①由图象可知： 0a ， 0c ，由于对称轴 02
b
a
，∴ 0b ，∴ 0abc ，故①正确；
②∵抛物线过 (3,0) ，∴ 3x 时， 9 3 0y a b c ，故②正确；
③顶点坐标为：
24,2 4
b ac b
a a
.由图象可知：
24 24
ac b
a
，∵ 0a ，∴ 24 8ac b a ，即
2 4 8b ac a ，故③错误；
④由图象可知： 12
b
a
， 0a ，∴ 2 0a b ，
∵9 3 0a b c ，∴ 9 3c a b ，
∴5 5 9 3 4 2 2(2 ) 0a b c a b a b a b a b ，故④正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查了抛物线的图象与性质和抛物线的图象与其系数的关系，熟练掌握抛物线的图象与性质、灵活运
用数形结合的思想方法是解题的关键.
【变式 3-1】（2019·浙江中考真题）小飞研究二次函数 y=-(x-m)2-m+1(m 为常数)性质时如下结论：①这个
函数图象的顶点始终在直线 y=-x+1 上；②存在一个 m 的值，使得函数图象的顶点与 轴的两个交点构成等
腰直角三角形；③点 A(x1,y1)与点 B(x2,y2)在函数图象上，若 x1
2m，则 y1y2，故③错误；
∵-1<0, ∴在对称轴左侧 y 随 x 的增大而增大，
∴m≥2，故④正确.
故选 C.
【点睛】
本题考查了二次函数的图像与性质，勾股定理，二次函数与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的图像与性
质是解答本体的关键. 对于二次函数 y=a(x-h)2+k （a，b，c 为常数，a≠0），当 a>0 时，抛物线开口向上，
在对称轴的左侧 y 随 x 的增大而减小，在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而增大；当 a<0 时，抛物线开口向下，
在对称轴的左侧 y 随 x 的增大而增大，在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而减小.其顶点坐标是(h，k)，对称轴
为直线 x=h.
【变式 3-2】（2019·广西中考真题）已知抛物线 2 0y ax bx c a 的对称轴是直线 1x ，其部分图
象如图所示，下列说法中：① 0abc ；② 0a b c ；③ 3 0a c ；④当 1 3x- < < 时， 0y ，正
确的是_____（填写序号）．
【答案】①③④．
【解析】
【分析】
首先根据二次函数图象开口方向可得 0a＜ ，根据图象与 y 轴交点可得 0c＞ ，再根据二次函数的对称轴
b 12ax＝﹣ ＝ ，结合 a 的取值可判定出 b>0，根据 a,b,c 的正负即可判断出①的正误；把 1x＝﹣ 代入函数关
系式 2y ax bx c y a b c ＝ 中得 ＝ ﹣ ，再根据对称性判断出②的正误；把 2b a a b c＝﹣ 代入 ﹣ 中即可判
断出③的正误；利用图象可以直接看出④的正误．
【详解】
解：根据图象可得： 0 0a c＜ ， ＞ ，
对称轴： b 12ax＝﹣ ＝ ，
2b a ＝﹣ ，
0a ＜ ，
0b ＞ ，，
0abc ＜ ，故①正确；
把 1x＝﹣ 代入函数关系式 2y ax bx c y a b c ＝ 中得： ＝ ﹣ ，
由抛物线的对称轴是直线 1 3 0x＝，且过点（ ，），可得当 1 0x y＝﹣时， ＝ ，
0a b c ﹣ ＝ ，故②错误；
2b a ＝﹣ ，
a- -2a +c=0 （ ） ，
即：3 0a c ＝ ，故③正确；
由图形可以直接看出④正确．
故答案为①③④．
【点睛】
此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数 a 决定抛物线的开口方向，
当 0a＞ 时，抛物线向上开口；当 0a＜ 时，抛物线向下开口；②一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决
定对称轴的位置：当 a 与 b 同号时（即 0ab＜ ），对称轴在 y 轴左侧； 当 a 与 b 异号时（即 0ab＜ ），对
称轴在 y 轴右侧．（简称：左同右异）；③常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点，抛物线与 y 轴交于 0 c（ ， ）．
【考点 4】二次函数的应用
【例 4】（2019·辽宁中考真题）某商场销售一种商品的进价为每件 30 元，销售过程中发现月销售量 y（件）
与销售单价 x（元）之间的关系如图所示．
（1）根据图象直接写出 y 与 x 之间的函数关系式．
（2）设这种商品月利润为 W（元），求 W 与 x 之间的函数关系式．
（3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？
【答案】（1）y＝ 180(40 60)
3 300(60 90)
x x
x x
；（2）W＝
2
2
210 5400(40 60)
3 390 9000(60 90)
x x x
x x x
;（3）这种商品
的销售单价定为 65 元时，月利润最大，最大月利润是 3675．
【解析】
【分析】
（1）当 40≤x≤60 时，设 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b，当 60＜x≤90 时，设 y 与 x 之间的函数关系
式为 y=mx+n，解方程组即可得到结论；
（2）当 40≤x≤60 时，当 60＜x≤90 时，根据题意即可得到函数解析式；
（3）当 40≤x≤60 时，W=-x2+210x-5400，得到当 x=60 时，W 最大=-602+210×60-5400=3600，当 60＜x≤90
时，W=-3x2+390x-9000，得到当 x=65 时，W 最大=-3×652+390×65-9000=3675，于是得到结论．
【详解】
解：（1）当 40≤x≤60 时，设 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝kx+b，
将（40，140），（60，120）代入得 40 140
60 120
k b
k b
，
解得： 1
180
k
b
，
∴y 与 x 之间的函数关系式为 y＝﹣x+180；
当 60＜x≤90 时，设 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝mx+n，
将（90，30），（60，120）代入得 90 30
60 120
m n
m n
，
解得： 3
300
m
n
，
∴y＝﹣3x+300；
综上所述，y＝ 180(40 60)
3 300(60 90)
x x
x x
；
（2）当 40≤x≤60 时，W＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣x+180）＝﹣x2+210x﹣5400，
当 60＜x≤90 时，W＝（x﹣30）（﹣3x+300）＝﹣3x2+390x﹣9000，
综上所述，W＝
2
2
210 5400(40 60)
3 390 9000(60 90)
x x x
x x x
；
（3）当 40≤x≤60 时，W＝﹣x2+210x﹣5400，
∵﹣1＜0，对称轴 x＝ 210
2
＝105，
∴当 40≤x≤60 时，W 随 x 的增大而增大，
∴当 x＝60 时，W 最大＝﹣602+210×60﹣5400＝3600，
当 60＜x≤90 时，W＝﹣3x2+390x﹣9000，
∵﹣3＜0，对称轴 x＝ 390
6
＝65，
∵60＜x≤90，
∴当 x＝65 时，W 最大＝﹣3×652+390×65﹣9000＝3675，
∵3675＞3600，
∴当 x＝65 时，W 最大＝3675，
答：这种商品的销售单价定为 65 元时，月利润最大，最大月利润是 3675．
【点睛】
本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．根据题意分情况建立二次
函数的模型是解题的关键．
【变式 4-1】（2019·山东中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h (单位： m )与小球运动时
间t (单位： s )之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是 40m ；②小球抛出 3 秒
后，速度越来越快；③小球抛出 3 秒时速度为 0；④小球的高度 30h m 时， 1.5t s ．其中正确的是( )
A．①④ B．①② C．②③④ D．②③
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的图象中的信息判断即可．
【详解】
①由图象知小球在空中达到的最大高度是 40m ；故①错误；
②小球抛出 3 秒后，速度越来越快；故②正确；
③小球抛出 3 秒时达到最高点即速度为 0；故③正确；
④设函数解析式为： 23 40h a t ，
把 0,0O 代入得 20 0 3 40a ，解得 40
9a ，
∴函数解析式为 240 3 409h t ，
把 30h 代入解析式得， 24030 3 409 t ，
解得： 4.5t 或 1.5t ，
∴小球的高度 30h m 时， 1.5t s 或 4.5s ，故④错误；
故选 D．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是正确的理解题意
【变式 4-3】（2019·江苏中考真题）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场 ABCD，其中∠C＝120°．若
新建墙 BC 与 CD 总长为 12m，则该梯形储料场 ABCD 的最大面积是（ ）
A．18m2 B．18 3 m2 C． 24 3 m2 D． 45 3
2
m2
【答案】C
【解析】
【分析】
过点 C 作 CE⊥AB 于 E，则四边形 ADCE 为矩形，CD=AE=x，∠DCE=∠CEB=90°，则
∠BCE=∠BCD-∠DCE=30°，BC=12-x，由直角三角形的，性质得出 1 1BE BC 6 x2 2
得出
3 1 1AD CE 3BE 6 3 x,AB AE BE x 6 x x 62 2 2
，又梯形面积公式求出梯形 ABCD
的面积 S 与 x 之间的函数关系式，根据二次函数的性质求解.
【详解】
解：如图，过点 C 作 CE⊥AB 于 E，
则四边形 ADCE 为矩形，CD=AE=x，∠DCE=∠CEB=90°， 则∠BCE=∠BCD-∠DCE=30°，BC=12-x，
在 Rt△CBE 中，∵∠CEB=90°，
1 1BE BC 6 x2 2
3 1 1AD CE 3BE 6 3 x,AB AE BE x 6 x x 62 2 2
∴梯形 ABCD 面积
21 1 1 3 3 3 3 3S (CD AB) CE x x 6 6 3 x x 3 3x 18 32 2 2 2 8 88
2( 4) 24 3x
∴当 x=4 时，S 最大=24 3 ．
即 CD 长为 4 m 时，使梯形储料场 ABCD 的面积最大为 24 3 m2；
故选 C．
【点睛】
此题考查了梯性质、矩形的性质、含 30°角的直角三角形的性质、勾股定理、二次函数的运用,利用梯形的
面积建立二次函数是解题的关键
【变式 4-3】（2019·湖南中考真题）某政府工作报告中强调，2019 年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘
莲等特色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店 ,A B 两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A 种湘莲礼盒进
价 72 元/盒，售价 120 元/盒，B 种湘莲礼盒进价 40 元/盒，售价 80 元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每
天的销售总额为 2800 元，平均每天的总利润为 1280 元．
（1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？
（2）小亮调査发现，A 种湘莲礼盒售价每降 3 元可多卖 1 盒．若 B 种湘莲礼盒的售价和销量不变，当 A 种
湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？
【答案】（1）该店平均每天销售 A 礼盒 10 盒， B 种礼盒为 20 盒；（2）当 A 种湘莲礼盒降价 9 元/盒时，这
两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是 1307 元．
【解析】
【分析】
（1）根据题意，可设平均每天销售 A 礼盒 x 盒， B 种礼盒为 y 盒，列二元一次方程组即可解题
（2）根据题意，可设 A 种礼盒降价 m 元/盒，则 A 种礼盒的销售量为：（10 3
m ）盒，再列出关系式即可．
【详解】
解：（1）根据题意，可设平均每天销售 A 礼盒 x 盒， B 种礼盒为 y 盒，
则有 (120 72) (80 40) 1280
120 80 2800
x y
x y
，解得 10
20
x
y
故该店平均每天销售 A 礼盒 10 盒， B 种礼盒为 20 盒．
（2）设 A 种湘莲礼盒降价 m 元/盒，利润为W 元，依题意
总利润 (120 72) 10 8003
mW m
化简得 2 21 16 1280 ( 9) 13073 3W m m m
∵ 1 03a
∴当 9m 时，取得最大值为 1307，
故当 A 种湘莲礼盒降价 9 元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是 1307 元．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首
先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
【达标训练】
1．（2019·广西中考真题）如图，抛物线 2y ax bx c 的对称轴为直线 1x ，则下列结论中，错误的
是（ ）
A． 0ac B． 2 4 0b ac C． 2 0a b D． 0a b c
【答案】C
【解析】
【分析】
由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据对称轴及抛
物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
A、由抛物线的开口向下知 0a ，与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上，可得 0c ，因此 0ac ，故本选项正
确，不符合题意；
B、由抛物线与 x 轴有两个交点，可得 2 4 0b ac ，故本选项正确，不符合题意；
C、由对称轴为 12
bx a
，得 2a b ，即 2 0a b ，故本选项错误，符合题意；
D、由对称轴为 1x 及抛物线过 (3,0) ，可得抛物线与 x 轴的另外一个交点是 ( 1,0) ，所以 0a b c ，
故本选项正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系．会利用对称轴的范围求 2a 与 b 的关系，以及二次函数与方程之间
的转换，根的判别式的熟练运用．
2．（2019·内蒙古中考真题）二次函数 2y ax＝ 与一次函数 y ax a＝ 在同一坐标系中的大致图象可能是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由一次函数 y=ax+a 可知，一次函数的图象与 x 轴交于点（-1，0），即可排除 A、B，然后根据二次函数的开
口方向，与 y 轴的交点；一次函数经过的象限，与 y 轴的交点可得相关图象进行判断．
【详解】
解：由一次函数 y ax a＝ 可知，一次函数的图象与 x 轴交于点 10（ ，），排除 A B、 ；当 a 0＞ 时，二次函
数开口向上，一次函数经过一、三、四 象限，当 a 0＜ 时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象
限，排除 C ；
故选 D ．
【点睛】
本题主要考查一次函数和二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和一次函数的图象与系
数之间的关系．
3．（2019·浙江中考真题）二次函数 2( 1) 3y x 图象的顶点坐标是（ ）
A． (1,3) B． (1, 3) C． ( 1,3) D． ( 1, 3)
【答案】A
【解析】
【分析】
根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标.
【详解】
∵ 2( 1) 3y x ，
∴二次函数图像顶点坐标为： (1,3) .
故答案为：A.
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在 y=a（x-h）2+k 中，对称轴为
x=h，顶点坐标为（h，k）．
4．（2019·黑龙江中考真题）将抛物线 22y x 向上平移 3 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度，所得到
的抛物线为（ ）.
A． 22( 2) 3y x ； B． 22( 2) 3y x ；
C． 22( 2) 3y x ； D． 22( 2) 3y x .
【答案】B
【解析】
【分析】
根据抛物线图像的平移规律“左加右减，上加下减”即可确定平移后的抛物线解析式.
【详解】
解：将抛物线 22y x 向上平移 3 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度，得到的抛物线的解析式为
22 2 3y x ，
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的平移规律，熟练掌握其平移规律是解题的关键.
5．（2019·福建中考真题）若二次函数 y=|a|x2+bx+c 的图象经过 A(m,n)、B(0,y1)、C(3－m,n)、D( 2 , y2)、
E(2,y3)，则 y1、y2、y3 的大小关系是( ).
A．y1< y2< y3 B．y1 < y3< y2 C．y3< y2< y1 D．y2< y3< y1
【答案】D
【解析】
【分析】
由点 A（m，n）、C（3−m，n）的对称性，可求函数的对称轴为 x＝ 3
2
，再由 B（0，y1）、D（ 2 ，y2）、E（2，
y3）与对称轴的距离，即可判断 y2< y3< y1；
【详解】
解答：解：∵经过 A（m，n）、C（3−m，n），
∴二次函数的对称轴 x＝ 3
2
，
∵B（0，y1）、D（ 2 ，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离 B 最远，D 最近，
∵|a|＞0，
∴y2< y3< y1；
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数图象上点的特征是解题的关键．
6．（2019·辽宁中考真题）已知二次函数 2 ( 0)y ax bx c a 的图象如图所示，现给出下列结论：①
0abc ；② 9 3 0a b c ；③ 2 4 8b ac a ；④5 0a b c ．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据图象可直接判断 a、c 的符号，再结合对称轴的位置可判断 b 的符号，进而可判断①；
抛物线的图象过点（3，0），代入抛物线的解析式可判断②；
根据抛物线顶点的位置可知：顶点的纵坐标小于－2，整理后可判断③；
根据图象可知顶点的横坐标大于 1，整理后再结合③的结论即可判断④.
【详解】
解：①由图象可知： 0a ， 0c ，由于对称轴 02
b
a
，∴ 0b ，∴ 0abc ，故①正确；
②∵抛物线过 (3,0) ，∴ 3x 时， 9 3 0y a b c ，故②正确；
③顶点坐标为：
24,2 4
b ac b
a a
.由图象可知：
24 24
ac b
a
，∵ 0a ，∴ 24 8ac b a ，即
2 4 8b ac a ，故③错误；
④由图象可知： 12
b
a
， 0a ，∴ 2 0a b ，
∵9 3 0a b c ，∴ 9 3c a b ，
∴5 5 9 3 4 2 2(2 ) 0a b c a b a b a b a b ，故④正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查了抛物线的图象与性质和抛物线的图象与其系数的关系，熟练掌握抛物线的图象与性质、灵活运
用数形结合的思想方法是解题的关键.
7．（2019·四川中考真题）二次函数 2y ax bx c ＝ 的部分图象如图所示，有以下结论：①3 0a b﹣ ＝ ；②
2 4 0b ac﹣ ＞ ；③5 2 0a b c﹣ ＞ ；④ 4 3 0b c ＞ ，其中错误结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
①对称轴为 3
2x ，得 3b a＝ ；
②函数图象与 x 轴有两个不同的交点，得 2 4 0b ac＝ ﹣ ＞ ；
③当 1x＝- 时， 0a b c﹣ ＞ ，当 3x＝- 时，9 3 0a b c﹣ ＞ ，得5 2 0a b c﹣ ＞ ；
④由对称性可知 1x＝ 时对应的 y 值与 4x＝- 时对应的 y 值相等，当 1x＝ 时
0 4 3 3 3 3 3 3 3 0a b c b c b b c b a c a b c ＜ ， ＝ ＝ ＝（ ）＜
【详解】
解：由图象可知 0 0a c＜ ， ＞ ，对称轴为 3
2x ，
3
2 2
bx a
，
3 ,b a ，
①正确；
∵函数图象与 x 轴有两个不同的交点，
2 4 0b ac＝ ﹣ ＞ ，，
②正确；
当 1x＝﹣ 时， 0a b c- ＞ ，
当 3x＝- 时，9 3 0a b c﹣ ＞ ，
10 4 2 0a b c ﹣ ＞ ，
5 2 0a b c ﹣ ＞ ，
③正确；
由对称性可知 1x＝ 时对应的 y 值与 4x＝- 时对应的 y 值相等，
∴当 1x＝ 时 0a b c ＜ ，
3b a ＝ ，
4 3 3 3 3 3 3 3 0b c b b c b a c a b c ＝ ＝ ＝（ ）＜ ，
4 3 0b c ＜ ，
④错误；
故选：A．
【点睛】
考查二次函数的图象及性质；熟练掌握从函数图象获取信息，将信息与函数解析式相结合解题是关键．
8．（2019·广东中考真题）已知 2 ( 0)y ax bx c a 的图象如图，则 y ax b 和 cy x
的图象为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可以得到 a＜0，b＞0，c＜0，由此可以判定 y=ax+b 经过一、二、
四象限，双曲线 cy x
在二、四象限．
【详解】
根据二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，
可得 a＜0，b＞0，c＜0，
∴y=ax+b 过一、二、四象限，
双曲线 cy x
在二、四象限，
∴C 是正确的．
故选 C．
【点睛】
此题考查一次函数，二次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．
9．（2019·重庆中考真题）抛物线 23 6 2y x x 的对称轴是（ ）
A．直线 2x B．直线 2x C．直线 1x D．直线 1x
【答案】C
【解析】
【分析】
将抛物线的一般式配方成为顶点式，可确定顶点坐标及对称轴．
【详解】
解：∵ 2 23 6 2 3( 1) 5y x x x ，
∴抛物线顶点坐标为 (1,5) ，对称轴为 1x ．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质．抛物线 2( )y a x h k 的顶点坐标为（h，k），对称轴为 x＝h．
10．（2019·浙江中考真题）已知 ,a b 是非零实数， a b ，在同一平面直角坐标系中，二次函数
2
1y ax bx ＋ 与一次函数 2y ax b ＋ 的大致图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
采用赋值法，选取符合图形条件的未知数的值，再采用排除法即可确定答案.
【详解】
解答本题可采用赋值法. 取 2, 1a b ，可知 A 选项是可能的；取 2, 1a b ，可知 B 选项是可能的；
取 2, 1a b ，可知 C 选项是可能的，那么根据排除法，可知 D 选项是不可能的.
故选：D.
【点睛】
本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点．
11．（2019·四川中考真题）如图，二次函数 2y ax bx c 的图象经过点 ( )1,0A ， 5,0B ，下列说法
正确的是（ ）
A． 0c B． 2 4 0b ac
C． 0a b c D．图象的对称轴是直线 3x
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次函数的图像与性质即可求解.
【详解】
由图象可知图象与 y 轴交点位于 y 轴正半轴，故 c>0. A 选项错误；
函数图象与 x 轴有两个交点，所以 2 4b ac ＞0，B 选项错误；
观察图象可知 x＝－1 时 y=a－b＋c＞0，所以 a－b＋c＞0，C 选项错误；
根据图象与 x 轴交点可知，对称轴是（1,0）.（5,0）两点的中垂线， 1 5
2x ，
x＝3 即为函数对称轴，D 选项正确；
故选 D
【点睛】
此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知二次函数的图像.
12．（2019·浙江中考真题）在平面直角坐标系中，已知 a b¹ ，设函数 ( )( )y x a x b= + + 的图像与 x 轴有 M
个交点，函数 ( )( )1 1y ax bx= + + 的图像与 x 轴有 N 个交点，则（ ）
A． 1M N= - 或 1M N= + B． 1M N= - 或 2M N= +
C． M N= 或 1M N= + D． M N= 或 1M N= -
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据函数 ( )( )y x a x b= + + 的图像与 x 轴有 M 个交点解得 2M ，再对 a，b 分情况讨论，求得答案.
【详解】
对于函数 ( )( )y x a x b= + + ，当 0y 时，函数与 x 轴两交点为（－a，0）、（－b，0），
∵ a b¹ ，所以有 2 个交点，故 2M
对于函数 ( )( )1 1y ax bx= + +
① 0a b ，交点为 1 1( ,0),( ,0)a b
，此时 2N M N
② 0, 0a b ，交点为 1( ,0)b
，此时 1 1N M N
③ 0, 0b a ，交点为 1( ,0)a
，此时 1 1N M N
综上所述， M N= 或 1M N= +
故选 C.
【点睛】
本题考查二次函数与坐标轴的交点，解题的关键是分情况讨论 a，b.
13．（2019·四川中考真题）已知二次函数 ( 1)( 1) 3 7y x a x a a (其中 x 是自变量)的图象与 x 轴
没有公共点，且当 1x 时， y 随 x 的增大而减小，则实数 a 的取值范围是( )
A． 2a B． 1a C． 1 2a D． 1 2a
【答案】D
【解析】
【分析】
由抛物线与 x 轴没有公共点，可得 ，求得 2a ，求出抛物线的对称轴为直线 x a ，抛物线开口向
上，再结合已知当 1x 时， y 随 x 的增大而减小，可得 1a ，据此即可求得答案.
【详解】
( 1)( 1) 3 7y x a x a a 2 22 3 6x ax a a ，
抛物线与 x 轴没有公共点，
2 2( 2 ) 4( 3 6) 0a a a ，解得 2a ，
抛物线的对称轴为直线 2
2
ax a ，抛物线开口向上，
而当 1x 时， y 随 x 的增大而减小，
1a ，
实数 a 的取值范围是 1 2a ，
故选 D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与 x 轴交点问题，抛物线的对称轴，二次函数图象的增减性，熟练掌握和灵活运
用相关知识是解题的关键.
14．（2019·四川中考真题）已知抛物线 2 1y x 与 y 轴交于点 A，与直线 y kx （k 为任意实数）相交于
B，C 两点，则下列结论不正确的是（ ）
A．存在实数 k，使得 ABC 为等腰三角形
B．存在实数 k，使得 ABC 的内角中有两角分别为 30°和 60°
C．任意实数 k，使得 ABC 都为直角三角形
D．存在实数 k，使得 ABC 为等边三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
通过二次函数和正比例函数图象，等边三角形和直角三角形的判定可解答．
【详解】
解：A、如图 1，可以得 ABC C 为等腰三角形，正确；
B、如图 3， 30ACB ， 60ABC ，可以得 ABC 的内角中有两角分别为 30°和 60°，正确；
C、如图 2 和 3， 90BAC ，可以得 ABC 为直角三角形，正确；
D、不存在实数 k，使得 ABC 为等边三角形，不正确；
本题选择结论不正确的，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数和正比例函数图象，等边三角形和直角三角形的判定，正确画图是关键．
15．（2019·江苏中考真题）如图是王阿姨晚饭后步行的路程 s(单位：m)与时间 t(单位：min)的函数图象，
其中曲线段 AB 是以 B 为顶点的抛物线一部分.下列说法不正确的是( )
A．25min~50min，王阿姨步行的路程为 800m
B．线段 CD 的函数解析式为 32 400 25 50s t t （ ）
C．5min~20min，王阿姨步行速度由慢到快
D．曲线段 AB 的函数解析式为 23 20 1200 5 20s t t （ ） （ ）
【答案】C
【解析】
【分析】
直接观察图象可判断 A、C，利用待定系数法可判断 B、D，由此即可得答案.
【详解】
观察图象可知 5min~20min，王阿姨步行速度由快到慢，25min~50min，王阿姨步行的路程为 2000-1200=800m，
故 A 选项正确，C 选项错误；
设线段 CD 的解析式为 s=mt+n，将点(25，1200)、(50，2000)分别代入得
1200 25
2000 50
m n
m n
，解得： 32
400
m
n
，
所以线段 CD 的函数解析式为 32 400 25 50s t t （ ），故 B 选项正确；
由曲线段 AB 是以 B 为顶点的抛物线一部分，所以设抛物线的解析式为 y=a(x-20)2+1200，
把(5，525)代入得：525=a(5-20)2+1200，
解得：a=-3，
所以曲线段 AB 的函数解析式为 23 20 1200 5 20s t t （ ） （ ），故 D 选项正确，
故选 C.
本题考查了函数图象的应用问题，C 项的图象由陡变平，说明速度是变慢的，所以 C 是错误的．
【点睛】
本题考查了函数图象问题，涉及了待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式，读懂图象，正确把
握相关知识是解题的关键.
16．（2019·湖南中考真题）如图，在直角三角形 ABC 中， 90 ,C AC BC ， E 是 AB 的中点，过
点 E 作 AC 和 BC 的垂线，垂足分别为点 D 和点 F ，四边形 CDEF 沿着CA 方向匀速运动，点C 与点 A 重
合时停止运动，设运动时间为t ，运动过程中四边形 CDEF 与 ABC 的重叠部分面积为 S ．则 S 关于t 的
函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据已知条件得到 ABC 是等腰直角三角形，推出四边形 EFCD 是正方形，设正方形的边长为 a ，当移动
的距离 a 时，如图 1， 2 21ΔEE'H 2S a t 正方形的面积 的面积 ；当移动的距离 a 时，如图 2，
2 2 2
'
1 12 2 22 2AC HS S a t t at a ，根据函数关系式即可得到结论；
【详解】
解：∵在直角三角形 ABC 中， 90 ,C AC BC ，
∴ ABC 是等腰直角三角形，
∵ ,EF BC ED AC ，
∴四边形 EFCD 是矩形，
∵ E 是 AB 的中点，
∴ 1 1,2 2EF AC DE BC ，
∴ EF ED ，
∴四边形 EFCD 是正方形，
设正方形的边长为 a ，
如图 1 当移动的距离 a 时，
2 21ΔEE'H 2S a t 正方形的面积 的面积 ；
当移动的距离 a 时，如图 2，
2 2 2
'
1 12 2 22 2AC HS S a t t at a ，
∴ S 关于t 的函数图象大致为 C 选项，
故选：C．
【点睛】
本题考查动点问题的函数图象，正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是读懂题意，学会分类讨论
的思想，属于中考常考题型．
17．（2019·湖北中考真题）如图，若被击打的小球飞行高度 h （单位： m ）与飞行时间t （单位： s ）之
间具有的关系为 220 5h t t ，则小球从飞出到落地所用的时间为_____ s ．
【答案】4．
【解析】
【分析】
根据关系式，令 h=0 即可求得 t 的值为飞行的时间.
【详解】
解：依题意，令 0h 得：
∴ 20 20 5t t
得： (20 5 ) 0t t
解得： 0t （舍去）或 4t
∴即小球从飞出到落地所用的时间为 4s
故答案为 4．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．此题为数学建模题，关键在于读懂小球从飞出到落地即
飞行的高度为 0 时的情形，借助二次函数解决实际问题．此题较为简单.
18．（2019·黑龙江中考真题）二次函数 2( 6) 8y x 的最大值是__________．
【答案】8
【解析】
【分析】
二次函数的顶点式 2( )y a x h b 在 x=h 时有最值，a>0 时有最小值，a<0 时有最大值，题中函数
1 0a ，故其在 6x 时有最大值.
【详解】
解：∵ 1 0a ，
∴ y 有最大值，
当 6x 时， y 有最大值 8．
故答案为 8．
【点睛】
本题考查了二次函数顶点式求最值，熟练掌握二次函数的表达式及最值的确定方法是解题的关键.
19．（2019·甘肃中考真题）二次函数 2y ax bx c 的图象如图所示，若 4 2M a b ，N a b ﹣ ．则 M 、
N 的大小关系为 M _____ N ．(填“ ”、“ ”或“ ”)
【答案】<
【解析】
【分析】
由图像可知，当 1x 时， 0y a b c ，当 2x 时， 4 2 0y a b c ，然后用作差法比较即可.
【详解】
当 1x 时， 0y a b c ，
当 2x 时， 4 2 0y a b c ，
4 2M N a b a b
4 2 0a b c a b c ，
即 M N ，
故答案为：
【点睛】
本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，作差法比较代数式的大小，熟练掌握二次函数图像上点的坐标
满足二次函数解析式是解答本题的关键.
20．（2019·四川中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点 O 落在坐标原点，点 A、点 C
分别位于 x 轴，y 轴的正半轴，G 为线段OA上一点，将 OCG 沿 CG 翻折，O 点恰好落在对角线 AC 上的
点 P 处，反比例函数 12y x
经过点 B．二次函数 2 ( 0)y ax bx c a 的图象经过 (0,3)C 、G、A 三点，
则该二次函数的解析式为_______．（填一般式）
【答案】 21 11 32 4y x x
【解析】
【分析】
先由题意得到 5AC ，再设设OG PG x ，由勾股定理得到 2 2(4 ) 4x x ，解得 x 的值，最后将点
C、G、A 坐标代入二次函数表达式，即可得到答案.
【详解】
解：点 (0,3)C ，反比例函数 12y x
经过点 B，则点 (4,3)B ，
则 3OC ， 4OA ，
∴ 5AC ，
设OG PG x ，则 4GA x ， 5 3 2PA AC CP AC OC ，
由勾股定理得： 2 2(4 ) 4x x ，
解得： 3
2x ，故点 3( ,0)2G ，
将点 C、G、A 坐标代入二次函数表达式得：
3
9 3 04 2
14 4 0
c
a b c
a b c
，解得：
1a 2
11b 4
c 3
，
故答案为： 21 11 32 4y x x ．
【点睛】
本题考查求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法.
21．（2019·湖北中考真题）二次函数 22 4 5y x x 的最大值是__________．
【答案】7
【解析】
【分析】
将二次函数化为顶点式，即可求解.
【详解】
解： 222 4 5 2 1 7y x x x ，
即二次函数 2 4 5y x x 的最大值是 7，
故答案为：7．
【点睛】
本题考查的是二次函数的最大值，熟练掌握配方法求二次函数的最值是解题的关键.
22．（2019·浙江中考真题）某函数满足当自变量 1x 时，函数值 0y ；当自变量 0x 时，函数值 1y ，
写出一个满足条件的函数表达式_____.
【答案】 1y x 或 2 1y x 或 1y x 等.
【解析】
【分析】
由于题中没有指定是什么具体的函数，可以从一次函数，二次函数等方面考虑，只要符合题中的两个条件
即可．
【详解】
符合题意的函数解析式可以是 1y x 或 2 1y x 或 1y x 等，(本题答案不唯一)
故答案为如 1y x 或 2 1y x 或 1y x 等.
【点睛】
本题考查一次函数、二次函数的解析式，解题的关键是知道一次函数、二次函数的定义.
23．（2019·山东中考真题）如图，直线 1y x 与抛物线 2 4 5y x x 交于 A ， B 两点，点 P 是 y 轴上
的一个动点，当 PAB 的周长最小时， PABS _．
【答案】12
5
．
【解析】
【分析】
根据轴对称，可以求得使得 PAB 的周长最小时点 P 的坐标，然后求出点 P 到直线 AB 的距离和 AB 的长
度，即可求得 PAB 的面积，本题得以解决．
【详解】
联立得 2
1
4 5
y x
y x x
，
解得， 1
2
x
y
或 4
5
x
y
，
∴点 A 的坐标为 1,2 ，点 B 的坐标为 4,5 ，
∴ 2 25 2 4 1 3 2AB ，
作点 A 关于 y 轴的对称点 'A ，连接 'A B与 y 轴的交于 P ，则此时 PAB 的周长最小，
点 'A 的坐标为 1,2 ，点 B 的坐标为 4,5 ，
设直线 'A B的函数解析式为 y kx b ，
2
4 5
k b
k b
，得
3
5
13
5
k
b
，
∴直线 'A B的函数解析式为 3 13
5 5y x ，
当 0x 时， 13
5y ，
即点 P 的坐标为 130, 5
，
将 0x 代入直线 1y x 中，得 1y ，
∵直线 1y x 与 y 轴的夹角是 45，
∴点 P 到直线 AB 的距离是： 13 8 2 4 21 sin 455 5 2 5
，
∴ PAB 的面积是：
4 23 2 125
2 5
，
故答案为12
5
．
【点睛】
本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称﹣最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，利用
数形结合的思想解答．
24．（2019·吉林中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 2 82 03y ax ax a 与 y 轴交于
点 A ，过点 A 作 x 轴的平行线交抛物线于点 M ． P 为抛物线的顶点．若直线 OP 交直线 AM 于点 B ，
且 M 为线段 AB 的中点，则 a 的值为_____．
【答案】2
【解析】
【分析】
先根据抛物线解析式求出点 A 坐标和其对称轴，再根据对称性求出点 M 坐标，利用点 M 为线段 AB 中点，
得出点 B 坐标；用含 a 的式子表示出点 P 坐标，写出直线 OP 的解析式，再将点 B 坐标代入即可求解出 a 的
值．
【详解】
解：∵抛物线 2 82 03y ax ax a 与 y 轴交于点 A ，
∴ 80, 3A
，抛物线的对称轴为 1x
∴顶点 P 坐标为 81, 3 a
，点 M 坐标为 82, 3
∵点 M 为线段 AB 的中点，
∴点 B 坐标为 84, 3
设直线 OP 解析式为 y kx （ k 为常数，且 0k ）
将点 81, 3P a
代入得 8
3 a k
∴ 8
3y a x
将点 84, 3B
代入得 8 8 43 3 a
解得 2a
故答案为：2
【点睛】
考核知识点:抛物线与坐标轴交点问题.数形结合分析问题是关键.
25．（2019·湖南中考真题）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广
义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角
线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若 M、N 的坐标分别为 (0,1),(0, 1), P 是二次函
数 21
4y x 的图象上在第一象限内的任意一点，PQ 垂直直线 1y 于点 Q，则四边形 PMNQ 是广义菱形．其
中正确的是_____．（填序号）
【答案】①②④
【解析】
【分析】
①根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，①正确；
②平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，②错误；
③由给出条件无法得到一组对边平行，③错误；
④设点 21, 4P m m
，则 , 1Q m ，由勾股定理可得 21 14PQ MP m ，MP PQ 和 / /MN PQ ，所
以四边形 PMNQ 是广义菱形．④正确；
【详解】
①根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，①正确；
②平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，②错误；
③由给出条件无法得到一组对边平行，③错误；
④设点 21, 4P m m
，则 , 1Q m ，
∴
2
2 2 21 11 14 4MP m m m
， 21 14PQ m ，
∵点 P 在第一象限，
∴ 0m ，
∴ 21 14MP m ，
∴ MP PQ ，
又∵ / /MN PQ ，
∴四边形 PMNQ 是广义菱形．
④正确；
故答案为：①②④；
【点睛】
本题考查新定义，二次函数的性质，特殊四边形的性质；熟练掌握平行四边形，菱形，二次函数的图象及
性质，将广义菱形的性质转化为已学知识是求解的关键．
26．（2019·四川中考真题）如图，点 P 是双曲线C ： 4y x
（ 0x ）上的一点，过点 P 作 x 轴的垂线交
直线 AB ： 1 22y x 于点Q，连结OP ，OQ .当点 P 在曲线C 上运动,且点 P 在Q 的上方时，△ POQ 面
积的最大值是______.
【答案】3
【解析】
【分析】
令 PQ 与 x 轴的交点为 E，根据双曲线的解析式可求得点 A、B 的坐标，由于点 P 在双曲线上，由双曲线解析
式中 k 的几何意义可知△OPE 的面积恒为 2，故当△OEQ 面积最大时△ POQ 的面积最大.设 Q（a， 1 22 a ）
则 S△OEQ= 1
2
×a×（ 1 22 a ）= 21
4
a a = 21( 1) 12
a ，可知当 a=2 时 S△OEQ 最大为 1，即当 Q 为 AB 中点时
△OEQ 为 1，则求得△ POQ 面积的最大值是是 3.
【详解】
∵ 1 22y x 交 x 轴为 B 点，交 y 轴于点 A,
∴A（0，-2），B（4，0）
即 OB=4，OA=2
令 PQ 与 x 轴的交点为 E
∵P 在曲线 C 上
∴△OPE 的面积恒为 2
∴当△OEQ 面积最大时△ POQ 的面积最大
设 Q（a, 1 22 a ）
则 S△OEQ= 1
2
×a×（ 1 22 a ）= 21
4
a a = 21( 1) 12
a
当 a=2 时 S△OEQ 最大为 1
即当 Q 为 AB 中点时△OEQ 为 1
故△ POQ 面积的最大值是是 3.
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数几何图形面积问题，二次函数求最大值，解本题的关键是掌握反比例函
数中 k 的几何意义，并且建立二次函数模型求最大值.
27．（2019·江苏中考真题）某个函数具有性质：当 x >0 时， y 随 x 的增大而增大，这个函数的表达式可以
是____（只要写出一个符合题意的答案即可）
【答案】 2y x=
【解析】
【分析】
根据一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质写出一个满足条件的函数即可.
【详解】
某个函数具有性质：当 x >0 时， y 随 x 的增大而增大，这个函数的表达式可以是 2y x= ，
故答案为： 2y x= (答案不唯一).
【点睛】
本题考查了函数的性质，熟练掌握一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质是解本题的关键.
28．（2019·四川中考真题）在某市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现
实心球飞行高度 y（米）与水平距离 x（米）之间的关系为 21 2 5
12 3 3y x x ，由此可知该生此次实心
球训练的成绩为_______米．
【答案】10
【解析】
【分析】
根据铅球落地时，高度 0y＝ ，把实际问题可理解为当 0y＝ 时，求 x 的值即可．
【详解】
解：当 0y＝ 时， 21 2 5 012 3 3y x x ，
解得， 2x （舍去）， 10x ．
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用中，解析式中自变量与函数表达的实际意义；结合题意，选取函数或自变
量的特殊值，列出方程求解是解题关键．
29．（2019·湖北中考真题）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成
本为每条 40 元，当售价为每条 80 元时，每月可销售 100 条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据
市场调查反映：销售单价每降 1 元，则每月可多销售 5 条．设每条裤子的售价为 x 元( x 为正整数)，每月
的销售量为 y 条．
(1)直接写出 y 与 x 的函数关系式；
(2)设该网店每月获得的利润为 w 元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
(3)该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出 200 元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低
于 4220 元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？
【答案】(1) 5 500y x ；(2)当降价 10 元时，每月获得最大利润为 4500 元；(3)当销售单价定为 66 元
时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．
【解析】
【分析】
(1)直接利用销售单价每降 1 元，则每月可多销售 5 条得出 y 与 x 的函数关系式；
(2)利用销量×每件利润＝总利润进而得出函数关系式求出最值；
(3)利用总利润 4220 200 ，求出 x 的值，进而得出答案．
【详解】
解：(1)由题意可得： 100 5 80y x 整理得 5 500y x ；
(2)由题意，得：
40 5 500w x x
25 700 20000x x
25 70 4500x
∵ 5 0a ，
∴ w 有最大值，
即当 70x 时， 4500w 最大值 ，
∴应降价80 70 10 (元)
答：当降价 10 元时，每月获得最大利润为 4500 元；
(3)由题意，得：
25 70 4500 4220 200x
解之，得： 1 66x ， 2 74x ，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线 70x ，
∴当 66 74x 时，符合该网店要求
而为了让顾客得到最大实惠，故 66x ，
∴当销售单价定为 66 元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最
优方案，正确得出 w 与 x 之间的函数关系式是解题关键．
30．（2019·湖北中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线 2: 2 1( 0)C y ax x a 和直线 l:y=kx+b，
点 A(-3,-3)，B(1,-1)均在直线 l 上．
（1）若抛物线 C 与直线 l 有交点，求 a 的取值范围；
（2）当 a=-1，二次函数 2 2 1y ax x 的自变量 x 满足 m≤x≤m+2 时，函数 y 的最大值为-4，求 m 的值；
（3）若抛物线 C 与线段 AB 有两个不同的交点，请直接写出 a 的取值范围．
【答案】（1）a≤ 9
8
且 a≠0；（2）m=-3 或 m=3；（3） 4 9
9 8a 或 a≤-2；
【解析】
【分析】
（1）点 3, 3A ， 1, 1B 代入 y kx b ，求出 1 3
2 2y x ；联立 2 2 1y ax x 与 1 3
2 2y x ，
则有 22 3 1 0ax x ， 9 8 0a 即可求解；
（2）根据题意可得， 2 2 1y x x ，当 4y 时，有 2 2 1 4x x ， 1x 或 3x ；①在 1x
左侧， y 随 x 的增大而增大， 2 1x m 时， y 有最大值 -4， 3m ；
②在对称轴 1x 右侧， y 随 x 最大而减小， 3x m 时， y 有最大值 4 ；
（3）① 0a 时， 1x 时， 1y ，即 2a ；
② 0a 时， 3x 时， 3y ，即 4
9a ，直线 AB 的解析式为 1 3
2 2y x ，抛物线与直线联立：
2 1 32 1 2 2ax x x ， 9 2 04 a ，则 9
8a ，即可求 a 的范围.
【详解】
解：（1）点 3, 3A ， 1, 1B 代入 y kx b ，
1
3 3
k b
k b
，
1
2
3
2
k
b
，
1 3
2 2y x ；
联立 2 2 1y ax x 与 1 3
2 2y x ，则有 22 3 1 0ax x ，
抛物线C 与直线 l 有交点，
9 8 0a ，
a≤ 9
8
且 a≠0；
（2）根据题意可得， 2 2 1y x x ，
0a ，
抛物线开口向下，对称轴 1x ，
2m x m 时， y 有最大值，
∴当 4y 时，有 2 2 1 4x x ，
1x 或 3x ，
①在 1x 左侧， y 随 x 的增大而增大，
2 1x m 时， y 有最大值 4 ，
3m ；
②在对称轴 1x 右侧， y 随 x 最大而减小，
3x m 时， y 有最大值 4 ；
综上所述：m=-3 或 m=3；
（3）① 0a 时， 1x 时， 1y ，
即 2a ；
② 0a 时， 3x 时， 3y ，
即 4
9a ，
直线 AB 的解析式为 1 3
2 2y x ，
抛物线与直线联立： 2 1 32 1 2 2ax x x ，
2 3 1 02 2ax x ，
9 2 04 a ，
9
8a ，
a 的取值范围为 4 9
9 8a 或 a≤-2.
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的图象及性质；熟练掌握待定系数法求解析式，数形结合，分
类讨论函数在给定范围内的最大值是解题的关键．
31．（2019·浙江中考真题）有一块形状如图的五边形余料 ABCDE ， 6AB AE ， 5BC ，
90A B ， 135C ， 90E .要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一边在 AE 上，并使
所截矩形的面积尽可能大.
（1）若所截矩形材料的一条边是 BC 或 AE ，求矩形材料的面积；
（2）能否截出比（1）中面积更大的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值，如果不能，请
说明理由.
【答案】（1）S=30；（2）能， S 的最大值为 30.25.
【解析】
【分析】
（1）①若所截矩形材料的一条边是 BC，过点 C 作 CF⊥AE 于 F，得出 S1=AB•BC=6×5=30；
②若所截矩形材料的一条边是 AE，过点 E 作 EF∥AB 交 CD 于 F，FG⊥AB 于 G，过点 C 作 CH⊥FG 于 H，则四
边形 AEFG 为矩形，四边形 BCHG 为矩形，证出△CHF 为等腰三角形，得出 AE=FG=6，HG=BC=5，BG=CH=FH，
求出 BG=CH=FH=FG-HG=1，AG=AB-BG=5，得出 S2=AE•AG=6×5=30；
（2）在 CD 上取点 F，过点 F 作 FM⊥AB 于 M，FN⊥AE 于 N，过点 C 作 CG⊥FM 于 G，则四边形 ANFM 为矩形，
四边形 BCGM 为矩形，证出△CGF 为等腰三角形，得出 MG=BC=5，BM=CG，FG=DG，设 AM=x，则 BM=6-x，
FM=GM+FG=GM+CG=BC+BM=11-x，得出 S=AM×FM=x（11-x）=-x2+11x，由二次函数的性质即可得出结果．
【详解】
（1）①若所截矩形材料的一条边是 BC，如图 1 所示：
过点 C 作 CF⊥AE 于 F，S1=AB•BC=6×5=30；
②若所截矩形材料的一条边是 AE，如图 2 所示：
过点 E 作 EF∥AB 交 CD 于 F，FG⊥AB 于 G，过点 C 作 CH⊥FG 于 H，
则四边形 AEFG 为矩形，四边形 BCHG 为矩形，
∵∠C=135°，
∴∠FCH=45°，
∴△CHF 为等腰直角三角形，
∴AE=FG=6，HG=BC=5，BG=CH=FH，
∴BG=CH=FH=FG-HG=6-5=1，
∴AG=AB-BG=6-1=5，
∴S2=AE•AG=6×5=30；
（2）能；理由如下：
在 CD 上取点 F，过点 F 作 FM⊥AB 于 M，FN⊥AE 于 N，过点 C 作 CG⊥FM 于 G，
则四边形 ANFM 为矩形，四边形 BCGM 为矩形，
∵∠C=135°，
∴∠FCG=45°，
∴△CGF 为等腰直角三角形，
∴MG=BC=5，BM=CG，FG=DG，
设 AM=x，则 BM=6-x，
∴FM=GM+FG=GM+CG=BC+BM=11-x，
∴S=AM×FM=x（11-x）=-x2+11x=-（x-5.5）2+30.25，
∴当 x=5.5 时，S 的最大值为 30.25．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、矩形面积公式以及二次函数的应用等知识；熟练
掌握矩形的性质，证明三角形是等腰直角三角形是解题的关键．
32.（2019·浙江中考真题）已知函数 2y x bx c （b ， c 为常数）的图象经过点 2,4 .
（1）求b ， c 满足的关系式；
（2）设该函数图象的顶点坐标是 ,m n ，当b 的值变化时，求 n 关于 m 的函数解析式；
（3）若该函数的图象不经过第三象限，当 5 1x 时，函数的最大值与最小值之差为 16，求b 的值．
【答案】（1）c=2b（2） 22n b m （3）2 或 6
【解析】
【分析】
（1）把点 2,4 代入函数即可得到结论；
（2）根据顶点坐标即可求解；
（3）把函数化为
2 2
2 2 22 4
b by x bx b x b
，根据图像不经过第三象限进行分类讨论进行求解.
【详解】
（1）将点 2,4 代入 2y x bx c ，
得 2 0b c ，
∴ 2c b ；
（2）
2
bm ，
24
4
c bn ，
∴
28
4
b bn ，
∴ 2 22 = -4n b m m m ，
（3）
2 2
2 2 22 4
b by x bx b x b
，
对称轴
2
bx ，
当 0b 时， 0c ，函数不经过第三象限，则 0c = ；
此时 2y x= ，当 5 1x 时，函数最小值是 0，最大值是 25，
∴最大值与最小值之差为 25；（舍去）
当 0b 时， 0c ，函数不经过第三象限，则 0 ，
∴ 0 8b ，
∴ 4 02
bx ，
当 5 1x 时，函数有最小值
2
24
b b ，
当 5 22
b 时，函数有最大值1 3b ，
当 2 12
b 时，函数有最大值 25 3b ；
函数的最大值与最小值之差为 16，
当最大值1 3b 时，
2
1 3 2 164
bb b ，
∴ 6b 或 10b ，
∵ 4 8b ，
∴ 6b ；
当最大值 25 3b 时，
2
25 3 2 164
bb b ，
∴ 2b 或 18b ，
∵ 2 4b ，
∴ 2b ；
综上所述 2b 或 6b ；
【点睛】
此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质.
33．（2019·浙江中考真题）如图，已知二次函数 2 3y x ax 的图象经过点 2,3P .
（1）求 a 的值和图象的顶点坐标。
（2）点 ,Q m n 在该二次函数图象上.
①当 2m 时，求 n 的值；
②若Q到 y 轴的距离小于 2，请根据图象直接写出 n 的取值范围.
【答案】（1） 1,2 ；（2）① 11；② 2 11n .
【解析】
【分析】
（1）把点 P（-2，3）代入 y=x2+ax+3 中，即可求出 a；
（2）①把 m=2 代入解析式即可求 n 的值；
②由点 Q 到 y 轴的距离小于 2，可得-2＜m＜2，在此范围内求 n 即可.
【详解】
（1）解：把 2,3P 代入 2 3y x ax ，得 23 2 2 3a ，
解得 2a .
∵ 22 2 3 1 2y x x x ，
∴顶点坐标为 1,2 .
（2）①当 m=2 时，n=11，
②点 Q 到 y 轴的距离小于 2，
∴|m|＜2，
∴-2＜m＜2，
∴2≤n＜11.
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征是解题的关键．
34．（2019·江苏中考真题）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为 40 元（市场管理部门规定，该种玩
具每件利润不能超过 60 元），每天可售出 50 件．根据市场调查发现，销售单价每增加 2 元，每天销售量会
减少 1 件．设销售单价增加 x 元，每天售出 y 件．
（1）请写出 y 与 x 之间的函数表达式；
（2）当 x 为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润 2250 元？
（3）设超市每天销售这种玩具可获利 w 元，当 x 为多少时 w 最大，最大值是多少？
【答案】（1） 1 502y x （2）当 x 为 10 时，超市每天销售这种玩具可获利润 2250 元（3）当 x 为 20
时 w 最大，最大值是 2400 元
【解析】
【分析】
（1）根据题意列函数关系式即可；
（2）根据题意列方程即可得到结论；
（3）根据题意得到 21 30 24502w x ，根据二次函数的性质得到当 30x 时， w 随 x 的增大而增
大，于是得到结论．
【详解】
（1）根据题意得， 1 502y x ；
（2）根据题意得， 140 50 22502x x
，
解得： 1 50x ， 2 10x ，
∵每件利润不能超过 60 元，
∴ 10x ，
答：当 x 为 10 时，超市每天销售这种玩具可获利润 2250 元；
（3）根据题意得， 21 140 50 30 20002 2w x x x x 21 30 24502 x ，
∵ 1 02a ，
∴当 30x 时， w 随 x 的增大而增大，
∴当 20x = 时， 2400w 增大 ，
答：当 x 为 20 时 w 最大，最大值是 2400 元．
【点睛】
本题考查了一次函数、二次函数的应用，弄清题目中包含的数量关系是解题关键．
35．（2019·辽宁中考真题）2018 年非洲猪瘟疫情暴发后，专家预测，2019 年我市猪肉售价将逐月上涨，
每千克猪肉的售价 y1（元）与月份 x（1≤x≤12，且 x 为整数）之间满足一次函数关系，如下表所示．每
千克猪肉的成本 y2（元）与月份 x（1≤x≤12，且 x 为整数）之间满足二次函数关系，且 3 月份每千克猪
肉的成本全年最低，为 9 元，如图所示．
月份 x … 3 4 5 6 …
售价 y1/元 … 12 14 16 18 …
（1）求 y1 与 x 之间的函数关系式．
（2）求 y2 与 x 之间的函数关系式．
（3）设销售每千克猪肉所获得的利润为 w（元），求 w 与 x 之间的函数关系式，哪个月份销售每千克猪肉所
第获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）y1＝2x+6；（2）y2＝ 1
4
x2﹣ 3
2
x+ 45
4
；（3）w＝﹣ 1
4
x2+ 7
2
x﹣ 21
4
，7 月份销售每千克猪肉所第获
得的利润最大，最大利润是 77 元 7．
【解析】
【分析】
（1）设 1y 与 x 之间的函数关系式为 1y kx b ，将（3，12）（4，14）代入 1y 解方程组即可得到结论；
（2）由题意得到抛物线的顶点坐标为（3，9），设 2y 与 x 之间的函数关系式为： 2y ＝ 23 9a x （ ） ，将（5，
10）代入 2y ＝ 23 9a x （ ） 得 25 3 9a （ ） ＝10，解方程即可得到结论；
（3）由题意得到 w＝ 1y − 2y ＝2x＋6− 1
4
2x ＋ 3
2
x− 45
4
＝− 1
4
2x ＋ 7
2
x− 21
4
，根据二次函数的性质即可得到
结论．
【详解】
（1）设 y1 与 x 之间的函数关系式为 y1＝kx+b，
将（3，12）（4，14）代入 y1 得， 3 12
4 14
k b
k b
，
解得： 2
6
k
b
，
∴y1 与 x 之间的函数关系式为：y1＝2x+6；
（2）由题意得，抛物线的顶点坐标为（3，9），
∴设 y2 与 x 之间的函数关系式为：y2＝a（x﹣3）2+9，
将（5，10）代入 y2＝a（x﹣3）2+9 得 a（5﹣3）2+9＝10，
解得：a＝ 1
4
，
∴y2＝ 1
4
（x﹣3）2+9＝ 1
4
x2﹣ 3
2
x+ 45
4
；
（3）由题意得，w＝y1﹣y2＝2x+6﹣ 1
4
x2+ 3
2
x﹣ 45
4
＝﹣ 1
4
x2+ 7
2
x﹣ 21
4
，
∵﹣ 1
4
＜0，
∴w 由最大值，
∴当 x＝﹣
2
b
a
＝﹣
7
2
12 4
＝7 时，w 最大＝﹣ 1
4
×72+ 7
2
×7﹣ 21
4
＝7．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数求函数解析式、由相等关系得出利润的函数解析式、利
用二次函数的图象与性质是解题的关键．
36.（2019·辽宁中考真题）某网店销售一种儿童玩具，进价为每件 30 元，物价部门规定每件儿童玩具的
销售利润不高于进价的 60% ．在销售过程中发现，这种儿童玩具每天的销售量 y（件）与销售单价 x（元）
满足一次函数关系．当销售单价为 35 元时，每天的销售量为 350 件；当销售单价为 40 元时，每天的销售
量为 300 件．
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式．
（2）当销售单价为多少时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1） 10 700y x ；（2）当销售单价为 48 元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，
最大利润是 3960 元．
【解析】
【分析】
（1）设 y 与 x 之间的函数关系式为 y kx b ，根据题意得到方程组，于是得到结论；
（2）设利润为 w 元，列不等式得到 48x ，根据题意得到函数解析式
2 2( 10 700)( 30) 10 1000 21000 10( 50) 4000w x x x x x ，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】
（1）设 y 与 x 之间的函数关系式为 y kx b ，
根据题意得， 35 350
40 300
k b
k b
，
解得： 10
700
k
b
，
y 与 x 之间的函数关系式为 10 700y x ；
（2）设利润为 w 元，
30 (1 60%)x ，
48x ，
根据题意得， 2 2( 10 700)( 30) 10 1000 21000 10( 50) 4000w x x x x x ，
10 0a ，对称轴 50x ，
当 48x 时， 210 (48 50) 4000 3960w 最大 ，
答：当销售单价为 48 元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是 3960 元．
【点睛】
本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
37．（2019·甘肃中考真题）一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本
价 10 元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于 16 元/件，市场调查发
现，该产品每天的销售量 y （件 ) 与销售价 x （元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；
（2）求每天的销售利润 W（元 ) 与销售价 x （元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，
每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1） 40 10 16y x x （2） 225 225x ， 16x ，144 元
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求解可得 y 关于 x 的函数解析式；
（2）根据“总利润 每件的利润 销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进
一步求解可得．
【详解】
（1）设 y 与 x 的函数解析式为 y kx b ，
将 10,30 、 16,24 代入，得： 10 30
16 24
k b
k b
，
解得： 1
40
k
b
，
所以 y 与 x 的函数解析式为 y x 40 10 x 16 ；
（2）根据题意知， 2W x 10 y x 10 x 40 x 50x 400
2x 25 225 ，
a 1 0 ，
当 x 25 时， W 随 x 的增大而增大，
10 x 16 ，
当 x 16 时， W 取得最大值，最大值为 144，
答：每件销售价为 16 元时，每天的销售利润最大，最大利润是 144 元．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函
数解析式及二次函数的性质．
38．（2019·辽宁中考真题）小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为 6 元，当销售单价定为 8 元
时，每天可以销售 200 件．市场调查反映：销售单价每提高 1 元，日销量将会减少 10 件，物价部门规定：
销售单价不能超过 12 元，设该纪念品的销售单价为 x（元），日销量为 y（件），日销售利润为 w（元）．
（1）求 y 与 x 的函数关系式．
（2）要使日销售利润为 720 元，销售单价应定为多少元？
（3）求日销售利润 w（元）与销售单价 x（元）的函数关系式，当 x 为何值时，日销售利润最大，并求出
最大利润．
【答案】（1） 10 280y x ；（2）10 元；（3）x 为 12 时，日销售利润最大，最大利润 960 元
【解析】
【分析】
（1）根据题意得到函数解析式；
（2）根据题意列方程，解方程即可得到结论；
（3）根据题意得到 26 1 280 10 17 1210w x x x ，根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】
解：（1）根据题意得， 200 10 8 10 280y x x ，
故 y 与 x 的函数关系式为 10 280y x ；
（2）根据题意得， 6 10 280 720x x ，解得： 1 10x ， 2 24x （不合题意舍去），
答：要使日销售利润为 720 元，销售单价应定为 10 元；
（3）根据题意得， 26 10 280 10 17 1210w x x x ，
10 0 ，
∴当 17x 时，w 随 x 的增大而增大，
当 12x 时， 960w 最大 ，
答：当 x 为 12 时，日销售利润最大，最大利润 960 元．
【点睛】
此题考查了一元二次方程和二次函数的运用，利用总利润=单个利润×销售数量建立函数关系式，进一步利
用性质的解决问题，解答时求出二次函数的解析式是关键．
39．（2019·山东中考真题）某商店购进一批成本为每件 30 元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量
y（件）与销售单价 x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.
（1）求该商品每天的销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式；
（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于 50 元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获
得的利润 w（元）最大？最大利润是多少？
（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于 800 元，则每天的销售量最少应为多少件？
【答案】（1） 0.24R m ；（2） 50x 时，w 最大 1200 ；（3） 70x 时，每天的销售量为 20 件.
【解析】
【分析】
（1）将点（30，150）、（80，100）代入一次函数表达式，即可求解；
（2）由题意得 w=（x-30）（-2x+160）=-2（x-55）2+1250，即可求解；
（3）由题意得（x-30）（-2x+160）≥800，解不等式即可得到结论．
【详解】
（1）设 y 与销售单价 x 之间的函数关系式为：y=kx+b，
将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得：
100 30
70 45
k b
k b
＝
＝ ，
解得： 2
160
k
b
＝
＝ ，
故函数的表达式为：y=-2x+160；
（2）由题意得：w=（x-30）（-2x+160）=-2（x-55）2+1250，
∵-2＜0，故当 x＜55 时，w 随 x 的增大而增大，而 30≤x≤50，
∴当 x=50 时，w 由最大值，此时，w=1200，
故销售单价定为 50 元时，该超市每天的利润最大，最大利润 1200 元；
（3）由题意得：（x-30）（-2x+160）≥800，
解得：x≤70，
∴每天的销售量 y=-2x+160≥20，
∴每天的销售量最少应为 20 件．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次不等式的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确
利用销量×每件的利润=w 得出函数关系式是解题关键．
