2009年北京市东城区中考数学二模试卷

2009年北京市东城区中考数学二模试卷

‎7 2009年北京市东城区中考数学二模试卷 一、选择题(8个小题，每小题4分，共32分)‎ 下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．‎ ‎1．4的平方根是( )‎ A．2 B．－‎2 ‎C．±2 D．16‎ ‎2．下列图形中，是轴对称图形的是( )‎ A．直角三角形 B．平行四边形 C．梯形 D．等边三角形 ‎3．在反比例函数的图象上的一个点的坐标是( )‎ A． B．(－2，1) C．(2，1) D．(－2，2)‎ ‎4．如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值( )‎ A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．缩小6倍 D．不变 ‎5．学校篮球集训队9名队员进行定点投篮训练，将9名队员在1分钟投进篮筐的球数由小到大排序后为6、7、8、8、9、9、9、10、12，这组数据的众数和中位数分别是( )‎ A．9.9 B．9，‎8 ‎C．9，8.5 D．8，9‎ ‎6．如图，扇形OAB是一个圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为1，则这个圆锥的底面半径为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎ ‎ 第6题图 第7题图 ‎7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于( )‎ A． B． C． D．‎ ‎8．如图①是长方形纸带，∠DEF＝20°，将纸带沿EF折叠成图②，再沿BF折叠成图③，则图③中的∠CFE的度数是( )‎ A．110° B．120° C．140° D．150°‎ 第8题图 二、填空题(4个小题，每小题4分，共16分)‎ ‎9．若分式的值为零，则x的值等于________．‎ ‎10．若，则的值为________．‎ ‎11．如图，宽为‎2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“‎2”‎和“‎8”‎(单位：cm)，则该圆的半径为________cm．‎ ‎ ‎ 第11题图 第12题图 ‎12．如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L形模板如图放置，则矩形ABCD的周长为________．‎ 三、解答题(5个小题，每小题5分，共25分)‎ ‎13．计算：．‎ ‎14．已知x2－9＝0，求代数式x2(x＋1)－x(x2－1)－x－7的值．‎ ‎15．解方程：x2＋2x－2＝0．‎ ‎16．化简：．‎ ‎17．已知关于x的一元二次方程x2－mx－3＝0，‎ ‎(1)若x＝－1是这个方程的一个根，求m的值；‎ ‎(2)对于任意的实数m，判断方程的根的情况，并说明理由．‎ 四、解答题(2个小题，每小题5分，共10分)‎ ‎18．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD．‎ ‎(1)请再写出图中另外一对相等的角；‎ ‎(2)若AC＝6，BC＝9，试求AD的长．‎ 第18题图 ‎19．在一个不透明的口袋里，装着只有颜色不同的白、红、黑三种颜色的小球各一个．甲先从袋中随机摸出一球，看清颜色后放回，乙再从袋中随机摸出一球．‎ ‎(1)画树状图(或列表)，表示甲、乙摸球的所有可能结果．‎ ‎(2)求乙摸到与甲相同颜色球的概率．‎ 五、解答题(3个小题，每小题5分，共15分)‎ ‎20．某校把一块沿河的三角形废地(如图)开辟为生物园，已知∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，AB＝‎24m．为便于浇灌，学校在点C处建了一个蓄水池，利用管道从河中取水．已知每铺设‎1m管道费用为50元，求铺设管道的最低费用(精确到1元)．‎ 第20题图 ‎21．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F，且CE＝CF．‎ ‎(1)求证：DE是⊙O的切线；‎ ‎(2)若AB＝6，BD＝3，求AE和BC的长．‎ 第21题图 ‎22．请设计一种方案：把正方形ABCD剪两刀，使剪得的三块图形能够拼成一个三角形，画出必要的示意图．‎ ‎(1)使拼成的三角形是等腰三角形．(图①)‎ ‎(2)使拼成的三角形既不是直角三角形也不是等腰三角形．(图②)‎ ‎①‎ ‎②‎ 第22题图 六、解答题(3个小题，共22分)‎ ‎23．(本题满分7分)点A、B、C在同一直线上，在直线AC的同侧作△ABE和△BCF，连结AF，CE．取AF、CE的中点M、N，连结BM，BN，MN．‎ ‎(1)若△ABE和△FBC是等腰直角三角形，且∠ABE＝∠FBC＝90°(如图①)，则△MBN是________三角形．‎ ‎(2)在△ABE和△BCF中，若BA＝BE，BC＝BF，且∠ABE＝∠FBC＝α，(如图②)，则△MBN是________三角形，且∠MBN＝________．‎ ‎(3)若将(2)中的△ABE绕点B旋转一定角度(如图③)，其他条件不变，那么(2)中的结论是否成立?若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明．‎ 第23题图 ‎24．(本题满分7分)定义{a，b，c}为函数y＝ax2＋bx＋c的“特征数”．如：函数y＝x2－2x＋3的“特征数”是{1，－2，3}，函数y＝2x＋3的“特征数”是{0，2，3}，函数y＝－x的“特征数”是{0，－1，0}．‎ ‎(1)将“特征数”是的函数图象向下平移2个单位长度，得到一个新函数，这个新函数的解析式是________．‎ ‎(2)在(1)中，平移前后的两个函数分别与y轴交于A、B两点，与直线x＝分别交于D、C两点，判断以A、B、C、D四点为顶点的四边形形状，请说明理由并计算其周长．‎ ‎(3)若(2)中的四边形与“特征数”是{1，的函数图象的有交点，求满足条件的实数b的取值范围．‎ 第24题图 ‎25．(本题满分8分)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AB＝10，AD＝6，DC＝8，BC＝12，点E在底边BC上，点F在AB上．‎ ‎(1)若EF平分直角梯形ABCD的周长，设BE的长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积．‎ ‎(2)是否存在线段EF将直角梯形ABCD的周长和面积同时平分?若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由．‎ ‎(3)若线段EF将直角梯形ABCD的周长分为1∶2两部分，将△BEF的面积记为S1，五边形AFECD的面积记为S2，且S1∶S2＝k，求出k的最大值．‎ 第25题图 答 案 ‎7．2009年北京市东城区中考数学二模试卷 一、选择题 ‎1.C 2．D 3．C 4．D 5．A 6．B 7．C 8．B 二、填空题 ‎9．1 10． 11. 12．8‎ 三、解答题 ‎13．解：原式 ‎＝－2‎ ‎14．解：原式＝x3＋x2－x3＋x－x－7‎ ‎＝x2－7．‎ ‎∵x2－9＝0，‎ ‎∴x2＝9．‎ ‎∴原式＝9－7＝2．‎ ‎15．解：(x＋1)2＝3，‎ x＋1＝±.‎ ‎∴x1＝－1＋，x2＝－1－.‎ ‎16．解：原式 ‎．‎ ‎17．解：(1)∵x＝－1是方程的一个根，‎ ‎∴1＋m－3＝0‎ 解得m＝2‎ ‎(2)方程为x2－mx－3＝0‎ Δ＝b2－‎4ac＝m2＋12‎ ‎∵对于任意实数m，m2≥0，∴m2＋12＞0．‎ ‎∴对于任意的实数m，方程有两个不相等的实数根．‎ 四、解答题 ‎18．(1)∠ACB＝∠CAD(或∠BAC＝∠ADC)‎ ‎(2)∵∠B＝∠ACD，又∠ACB＝∠CAD，‎ ‎∴△ABC∽△DCA．‎ ‎，即AC2＝BC·AD．‎ ‎∵AC＝6，BC＝9，‎ ‎∴62＝9·AD，‎ 解得AD＝4．‎ ‎19．(1)树状图如图：‎ 第19题答图 所有可能的结果有(白，白)、(白，红)、(白，黑)、(红，白)、(红，红)、(红，黑)、(黑，白)、(黑，红)、(黑，黑)．‎ ‎(2)P(甲、乙颜色相同)．‎ 五、解答题 ‎20．解：过C点作CD⊥AB于点D．‎ 由∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，得∠ABC＝30°．‎ 又AB＝24，得．‎ 在Rt△CDA中，‎ ‎，‎ ‎∴CD＝AC·sin∠CAD＝12．‎ ‎∴铺设管道的最低费用＝50·CD≈519元．‎ 第20题答图 ‎21．证明：(1)连结OC，‎ ‎∵AE⊥CD，CF⊥AB，‎ 又∵CE＝CF，‎ ‎∴∠1＝∠2．‎ ‎∵OA＝OC，‎ ‎∴∠2＝∠3．‎ ‎∴∠1＝∠3．‎ ‎∴OC∥AE．‎ ‎∴OC⊥CD．‎ ‎∴DE是⊙O的切线．‎ 第21题答图 ‎(2)解：∵AB＝6，‎ ‎．‎ 在Rt△OCD中，OC＝3，OD＝OB＋BD＝6，‎ ‎∴∠D＝30°，∠COD＝60°．‎ 在Rt△ADE中，AD＝AB＋BD＝9，‎ ‎．‎ 在△OBC中，‎ ‎∵∠COD＝60°，OB＝OC，‎ ‎∴BC＝OB＝3．‎ ‎22．解：答案不唯一．‎ ‎(1)‎ ‎(2)‎ 第22题答图 六、解答题 ‎23．解：(1)等腰直角．‎ ‎(2)等腰，a ．‎ ‎(3)结论仍然成立．‎ 证明：在△ABF和△EBC中，‎ ‎∴△ABF≌△EBC．‎ ‎∴AF＝CE．∠AFB＝∠ECB．‎ ‎∵M，N分别是AF、CE的中点，‎ ‎∴FM＝CN．‎ ‎∴△MFB≌NCB．‎ ‎∴BM＝BN．∠MBF＝∠NBC．‎ ‎∴∠MBN＝∠MBF＋∠FBN＝∠FBN＋∠NBC＝∠FBC＝a ．‎ 第23题答图 ‎24．解：(1)．‎ ‎(2)由题意可知向下平移两个单位长度得，‎ ‎∴AD∥BC，AB＝2．‎ ‎∵x＝，∴AB∥CD．‎ ‎∴四边形ABCD为平行四边形．‎ 得C点坐标为(，0)，‎ ‎∴D(，2)．‎ 由勾股定理可得BC＝2．‎ ‎∵四边形ABCD为平行四边形，AB＝2，BC＝2‎ ‎∴四边形ABCD为菱形．‎ ‎∴周长为8．‎ ‎①‎ ‎②‎ 第24题答图 ‎(3)二次函数为：，‎ 化为顶点式为：，‎ ‎∴二次函数的图象不会经过点B和点C．‎ 设二次函数的图象与四边形有交点，当二次函数的图象经过点A时，‎ 将A(0，1)代入二次函数，解得，(不合题意，舍去)．‎ 当二次函数的图象经过点D时，将D(，2)代入二次函数，解得，(不合题意，舍去)．所以实数b的取值范围：．‎ ‎25．解：(1)由已知得梯形周长＝36，高＝8，面积＝72．由题意，BF＝18－x．过点F作FG ⊥BC于点G，过点A作AK⊥BC于点K，则△BFG ∽△BAK．‎ 可得．‎ ‎．‎ ‎(2)不存在 由(1)，‎ 整理得：(x－9)2＝－9，此方程无解．‎ 不存在线段EF将直角梯形ABCD的周长和面积同时平分．‎ 第25题答图 ‎(3)由已知易知，线段EF将直角梯形ABCD的周长分为1∶2两部分，只能是FB＋BE与FA＋AD＋DC＋CE的比是1∶2．‎ ‎，‎ 要使k取最大值，只需S1取最大值．‎ 与(1)同理，，‎ 当x＝6时，S1取最大值．此时，‎ ‎∴k的最大值是．‎