华东师大版九年级数学上册全册单元检测题（共5单元附答案）

华东师大版九年级数学上册全册单元检测题（共5单元附答案）

1 第 21 章检测题 (时间：100 分钟 满分：120 分) 一、精心选一选(每小题 3 分，共 30 分) 1．(2019·盐城)若 x－2 有意义，则 x 的取值范围是( A ) A．x≥2 B．x≥－2 C．x＞2 D．x＞－2 2．(2019·河南)下列计算正确的是( D ) A．2a＋3a＝6a B．(－3a)2＝6a2 C．(x－y)2＝x2－y2 D．3 2 － 2 ＝2 2 3．设实数 a，b 在数轴上对应的位置如图所示，化简 a2 ＋|a＋b|的结果是( D ) A.－2a＋b B．2a＋b C．－b D．b 4．(聊城中考)计算(5 1 5 －2 45 )÷(－ 5 )的结果为( A ) A．5 B．－5 C．7 D．－7 5．在根式① a2＋b2 ；② x 5 ；③ x2－xy ；④ 27abc 中，最简二次根式是( C ) A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 6．已知 n 是一个正整数， 180n 是整数，则 n 的最小值是( B ) A．3 B．5 C．15 D．25 7．当 1＜a＜2 时，代数式 （a－2）2 ＋|1－a|的值是( B ) A．－1 B．1 C．2a－3 D．3－2a 8．已知实数 x，y 满足|x－4|＋ y－8 ＝0，则以 x，y 的值为两边长的等腰三角形的 周长是( B ) A.20 或 16 B．20 C．16 D．以上选项都不正确 9．若 （x－4）（5－x） ＝ x－4 · 5－x ，则 x 可取的整数值有( B ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 10．(2019·随州)“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：2＋ 3 2－ 3 ＝ （2＋ 3）（2＋ 3） （2－ 3）（2＋ 3） ＝7＋4 3 ，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简 一些有特点的无理数，如：对于 3＋ 5 － 3－ 5 ，设 x＝ 3＋ 5 － 3－ 5 ，易知 3＋ 5 > 3－ 5 ，故 x＞0，由 x2 ＝( 3＋ 5 － 3－ 5 )2 ＝3＋ 5 ＋3－ 5 － 2 （3＋ 5）（3－ 5） ＝2，解得 x＝ 2 ，即 3＋ 5 － 3－ 5 ＝ 2 ，根据以上方法， 化简 3－ 2 3＋ 2 ＋ 6－3 3 － 6＋3 3 后的结果为( D ) A．5＋3 6 B．5＋ 6 C．5－ 6 D．5－3 6 二、细心填一填(每小题 3 分，共 15 分) 11．(2019·黄冈)计算( 3 )2＋1 的结果是__4__． 12．(2019·菏泽)已知 x＝ 6 ＋ 2 ，那么 x2－2 2 x 的值是__4__． 13．我们赋予“※”一个实际含义，规定 a※b＝ a · b ＋ a b ，计算 3※5＝ 2 __6 5 15 __． 14．(2019·枣庄)观察下列各式： 1＋1 12＋1 22 ＝1＋ 1 1×2 ＝1＋(1－1 2 )， 1＋1 22＋1 32 ＝1＋ 1 2×3 ＝1＋(1 2 －1 3 )， 1＋1 32＋1 42 ＝1＋ 1 3×4 ＝1＋(1 3 －1 4 )， …… 请利用你发现的规律，计算： 1＋1 12＋1 22 ＋ 1＋1 22＋1 32 ＋ 1＋1 32＋1 42 ＋…＋ 1＋ 1 20182＋ 1 20192 其结果为 __20182018 2019 __． 15．(莱芜中考)如图，正三角形和矩形具有一条公共边，矩形内有一个正方形，其四个 顶点都在矩形的边上，正三角形和正方形的面积分别是 2 3 和 2，则图中阴影部分的面积 是__2__． 三、用心做一做(共 75 分) 16．(8 分)计算： (1) 2 ( 2 ＋ 1 2 )－ 18－ 8 2 ； (2) (大连中考)( 3 ＋2)2－ 48 ＋2－2. 解：2 解：29 4 17．(9 分)若 a，b，c 是△ABC 的三边，化简： （a－b－c）2 －|b－c－a|＋ （c－a－b）2 . 解：－a＋3b－c 18．(9 分)已知 a＝2 3－b ＋ 3b－9 ＋2，求 ab－1 a＋b ÷ a · b 的值． 解：∵ 3－b≥0， 3b－9≥0， ∴b＝3，∴a＝2，∴ab＝6，a＋b＝5，∴原式＝ 5 5 ÷ 2 × 3 ＝1 2 6 3 19．(9 分)(2019·襄阳)先化简，再求值：( x x－1 －1)÷x2＋2x＋1 x2－1 ，其中 x＝ 2 －1. 解：原式＝( x x－1 －x－1 x－1 )÷x2＋2x＋1 x2－1 ＝ 1 x－1 ×（x＋1）（x－1） （x＋1）2 ＝ 1 x＋1 ，当 x＝ 2 －1 时，原式＝ 1 2－1＋1 ＝ 2 2 20．(9 分)已知矩形的长 a＝1 2 32 ，宽 b＝1 3 18 . (1)求矩形的周长； (2)求与矩形等面积的正方形的周长，并比较与矩形周长的大小关系． 解：(1)矩形周长＝2(a＋b)＝6 2 (2)设正方形边长为 x，由 x2＝1 2 32 ×1 3 18 ，得 x＝2，∴正方形的周长＝8＜6 2 ， ∴正方形的周长小于矩形的周长 21．(10 分)已知 a＝ 2 －1，b＝ 2 ＋1. 求：(1)a2b＋ab2 的值；(2)b a ＋a b 的值． 解：∵ab＝1，a＋b＝2 2 ，∴(1)a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝2 2 (2)b a ＋a b ＝（a＋b）2 ab －2＝(2 2 )2－2＝6 4 22．(10 分)已知 9＋ 11 与 9－ 11 的小数部分分别为 a，b，求 ab－3a＋4b－7 的值． 解：∵3＜ 11 ＜4，∴9＋ 11 的小数部分为 11 －3，即 a＝ 11 －3，9－ 11 的小 数部分为 4－ 11 ，即 b＝4－ 11 ，∴ab－3a＋4b－7＝( 11 －3)(4－ 11 )－3( 11 － 3)＋4(4－ 11 )－7＝－5 23．(11 分)在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如 3 5 ， 2 3 ， 2 3＋1 一样的式 子，其实我们还可以将其进一步化简： 3 5 ＝ 3× 5 5× 5 ＝3 5 5 ；(一) 2 3 ＝ 2×3 3×3 ＝ 6 3 ；(二) 2 3＋1 ＝ 2×（ 3－1） （ 3＋1）（ 3－1） ＝2（ 3－1） （ 3）2－12 ＝ 3 －1；(三) 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 2 3＋1 还可以用以下方法化简： 2 3＋1 ＝ 3－1 3＋1 ＝（ 3）2－12 3＋1 ＝（ 3＋1）（ 3－1） 3＋1 ＝ 3 －1.(四) 请用不同的方法化简 2 5＋ 3 . (1)①参照(三)式得 2 5＋ 3 ＝__________； ②参照(四)式得 2 5＋ 3 ＝__________； (2)化简： 1 3＋1 ＋ 1 5＋ 3 ＋ 1 7＋ 5 ＋…＋ 1 2n＋1＋ 2n－1 . 解：(1)① 2（ 5－ 3） （ 5＋ 3）（ 5－ 3） ＝ 2（ 5－ 3） （ 5）2－（ 3）2 ＝ 5 － 3 ② 5－3 5＋ 3 ＝ （ 5）2－（ 3）2 5＋ 3 ＝（ 5＋ 3）（ 5－ 3） 5＋ 3 ＝ 5 － 3 (2)原式＝ 3－1 2 ＋ 5－ 3 2 ＋…＋ 2n＋1－ 2n－1 2 ＝ 3－1＋ 5－ 3＋…＋ 2n＋1－ 2n－1 2 ＝－1＋ 2n＋1 2 5 第 22 章检测题 (时间：100 分钟 满分：120 分) 一、精心选一选(每小题 3 分，共 30 分) 1．若(n－2)xn2－2＋x－1＝0 是一元二次方程，则 n 的值为( C ) A．2 或－2 B．2 C．－2 D．0 2．(2019·怀化)一元二次方程 x2＋2x＋1＝0 的解是( C ) A．x1＝1，x2＝－1 B．x1＝x2＝1 C．x1＝x2＝－1 D．x1＝－1，x2＝2 3．(2019·湘西州)一元二次方程 x2－2x＋3＝0 根的情况是( C ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 4．(2019·滨州)用配方法解一元二次方程 x2－4x＋1＝0 时，下列变形正确的是( D ) A．(x－2)2＝1 B．(x－2)2＝5 6 C．(x＋2)2＝3 D．(x－2)2＝3 5．(2019·自贡)关于 x 的一元二次方程 x2－2x＋m＝0 无实数根，则实数 m 的取值范围 是( D ) A．m＜1 B．m≥1 C．m≤1 D．m＞1 6．(2019·通辽)一个菱形的边长是方程 x2－8x＋15＝0 的一个根，其中一条对角线长 为 8，则该菱形的面积为( B ) A．48 B．24 C．24 或 40 D．48 或 80 7．(2019·广东)已知 x1，x2 是一元二次方程 x2－2x＝0 的两个实数根，下列结论错误 的是( D ) A．x1≠x2 B．x1 2－2x1＝0 C．x1＋x2＝2 D．x1·x2＝2 8．(2019·广西)扬帆中学有一块长 30 m，宽 20 m 的矩形空地，计划在这块空地上划 出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为 x m， 则可列方程为( D ) A.(30－x)(20－x)＝3 4 ×20×30 B．(30－2x)(20－x)＝1 4 ×20×30 C．30x＋2×20x＝1 4 ×20×30 D．(30－2x)(20－x)＝3 4 ×20×30 9．某商店购进一种商品，单价为 30 元．试销中发现这种商品每天的销售量 P(件)与每 件的销售价 x(元)满足关系：P＝100－2x.若商店在试销期间每天销售这种商品获得 200 元 的利润，根据题意，下面所列方程正确的是( A ) A．(x－30)(100－2x)＝200 B．x(100－2x)＝200 C．(30－x)(100－2x)＝200 D．(x－30)(2x－100)＝200 10．如果关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个实数根，且其中一个根为另一个 根的三倍，则称这样的方程为“3 倍根方程”，以下说法不正确的是( B ) A．方程 x2－4x＋3＝0 是 3 倍根方程 B．若关于 x 的方程(x－3)(mx＋n)＝0 是 3 倍根方程，则 m＋n＝0 C．若 m＋n＝0 且 m≠0，则关于 x 的方程(x－3)(mx＋n)＝0 是 3 倍根方程 D．若 3m＋n＝0 且 m≠0，则关于 x 的方程 x2＋(m－n)x－mn＝0 是 3 倍根方程 二、细心填一填(每小题 3 分，共 15 分) 11．(2019·资阳)a 是方程 2x2＝x＋4 的一个根，则代数式 4a2－2a 的值是__8__． 12．(2019·西藏)一元二次方程 x2－x－1＝0 的根是__x1＝1＋ 5 2 ，x2＝1－ 5 2 __． 13．(2019·吉林)若关于 x 的一元二次方程(x＋3)2＝c 有实数根，则 c 的值可以为__5(答 7 案不唯一，只要 c≥0 即可)__(写出一个即可). 14．(2019·宜宾)某产品每件的生产成本为 50 元，原定销售价为 65 元，经市场预测， 从现在开始的第一季度销售价格将下降 10%，第二季度又将回升 5%.若要使半年以后的销售 利润不变，设每个季度平均降低成本的百分率为 x，根据题意可列方程是__65×(1－ 10%)×(1＋5%)－50(1－x)2＝65－50__． 15．(2019·宁夏)你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法 呢！以方程 x2＋5x－14＝0 即 x(x＋5)＝14 为例加以说明．数学家赵爽(公元 3～4 世纪)在 其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图(如下面左图)中大正方形的面积是(x ＋x＋5)2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即 4×14＋52，据此易 得 x＝2.那么在下面右边三个构图(矩形的顶点均落在边长为 1 的小正方形网格格点上)中， 能够说明方程 x2－4x－12＝0 的正确构图是__②__．(只填序号) 三、用心做一做(共 75 分) 16．(8 分)解下列方程： (1)(徐州中考)2x2－x－1＝0; (2)(x－2)2＝(2x＋5)2. 解：x1＝－1 2 ，x2＝1 解：x1＝－1，x2＝－7 17．(9 分)(2019·呼和浩特)用配方法求一元二次方程(2x＋3)(x－6)＝16 的实数根． 解：原方程化为一般形式为 2x2－9x－34＝0，x2－9 2 x＝17，x2－9 2 x＋81 16 ＝17＋81 16 ， (x－9 4 )2＝353 16 ，x－9 4 ＝± 353 4 ，所以 x1＝9＋ 353 4 ，x2＝9－ 353 4 18．(9 分)(2019·大连)某村 2016 年的人均收入为 20000 元，2018 年的人均收入为24200 元． (1)求 2016 年到 2018 年该村人均收入的年平均增长率； (2)假设 2019 年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测 2019 年村该村的人均收入是多少元？ 解：(1)设 2016 年到 2018 年该村人均收入的年平均增长率为 x，根据题意得 20000(1 ＋x)2＝24200，解得 x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(不合题意，舍去)，答：2016 年到 2018 年该 村人均收入的年平均增长率为 10% (2)24200×(1＋10%)＝26620(元)，答：预测 2019 年村 该村的人均收入是 26620 元 19．(9 分)(2019·衡阳)关于 x 的一元二次方程 x2－3x＋k＝0 有实数根． (1)求 k 的取值范围； 8 (2)如果 k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程(m－1)x2＋x＋m－3＝0 与方程 x2－ 3x＋k＝0 有一个相同的根，求此时 m 的值． 解：(1)根据题意得Δ＝(－3)2－4k≥0，解得 k≤9 4 (2)k 的最大整数为 2，方程 x2－ 3x＋k＝0 变形为 x2－3x＋2＝0，解得 x1＝1，x2＝2，∵一元二次方程(m－1)x2＋x＋m－3＝0 与方程 x2－3x＋k＝0 有一个相同的根，∴当 x＝1 时，m－1＋1＋m－3＝0，解得 m＝3 2 ；当 x＝2 时，4(m－1)＋2＋m－3＝0，解得 m＝1，而 m－1≠0，∴m 的值为3 2 20．(9 分)(2019·南京)某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长 50 m，宽 40 m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为 3∶2.扩充区域的扩建费用每平方米 30 元，扩 建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米 100 元．如果计划总费用 642000 元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？ 解：设扩充后广场的长为 3x m，宽为 2x m，依题意得 3x·2x·100＋30(3x·2x－50×40) ＝642000，解得 x1＝30，x2＝－30(舍去).所以 3x＝90，2x＝60，答：扩充后广场的长为 90 m，宽为 60 m 21．(10 分)(2019·鄂州)已知关于 x 的方程 x2－2x＋2k－1＝0 有实数根． (1)求 k 的取值范围； (2)设方程的两根分别是 x1，x2，且x2 x1 ＋x1 x2 ＝x1·x2，试求 k 的值． 解：(1)∵原方程有实数根，∴b2－4ac≥0，∴(－2)2－4(2k－1)≥0，∴k≤1 (2)∵x1， x2 是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得 x1＋x2＝2，x1 ·x2 ＝2k－1，又 ∵x2 x1 ＋x1 x2 ＝x1·x2，∴x1 2＋x2 2 x1·x2 ＝x1·x2，∴(x1＋x2)2－2x1 x2 ＝(x1 ·x2)2，∴22－2(2k－1) ＝(2k－1)2 ，解得 k1＝ 5 2 ，k2＝－ 5 2 .∵k≤1，∴k＝－ 5 2 9 22．(10 分)某批发商以每件 50 元的价格购进 800 件 T 恤，第一个月以单价 80 元销售， 售出了 200 件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出 200 件，批发商为增加销售量，决定 降价销售，根据市场调查，单价每降低 1 元，可多售出 10 件，但最低单价应高于购进的价 格；第二个月结束后，批发商将对剩余的 T 恤一次性清仓销售，清仓时单价为 40 元，设第 二个月单价降低 x 元． (1)填表(不需化简)： 时 间 第一个月 第二个月 清仓时 单 价(元) 80 40 销售量(件) 200 (2)如果批发商希望通过销售这批 T 恤获利 9000 元，那么第二个月的单价应是多少元？ 解：(1)第二个月上面从下到下依次填：80－x；200＋10x；清仓时的下面填：800－200 －(200＋10x) (2)依题意得 80×200＋(80－x)(200＋10x)＋40[800－200－(200＋10x)] －50×800＝9000，解得 x1＝x2＝10，当 x＝10 时，80－x＝70＞50，即第二个月的单价应是 70 元 23．(11 分)(2019·重庆)某文明小区 50 平方米和 80 平方米两种户型的住宅，50 平方 米住宅套数是 80 平方米住宅套数的 2 倍．物管公司月底按每平方米 2 元收取当月物管费， 该小区全部住宅都入住且每户均按时全额缴纳物管费． (1)该小区每月可收取物管费 90000 元，问该小区共有多少套 80 平方米的住宅？ (2)为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司 5 月初推出活动一：“垃圾分类送礼 物”，50 平方米和 80 平方米的住户分别有 40%和 20%参加了此次括动．为提离大家的积扱 性，6 月份准备把活动一升级为活动二：“拉圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一．经调 査与测算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活动二的住户会大幅增加，这样，6 月份参加活动的 50 平方米的总户数在 5 月份参加活动的同户型户数的基础上将增加 2a%， 每户物管费将会减少 3 10 a%；6 月份参加活动的 80 平方米的总户数在 5 月份参加活动的同户 型户数的基础上将增加 6a%，每户物管费将会减少 1 4 a%.这样，参加活动的这部分住户 6 月 份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少 5 18 a%，求 a 的值． (1)解：设该小区有 x 套 80 平方米住宅，则 50 平方米住宅有 2x 套，由题意得：2(50×2x ＋80x)＝90000，解得 x＝250，答：该小区共有 250 套 80 平方米的住宅 (2)参与活动一：50 平方米住宅每户所交物管费为 100 元，有 500×40%＝200(户)参与 活动一，80 平方米住宅每户所交物管费为 160 元，有 250×20%＝50(户)参与活动一；参与 活动二：50 平方米住宅每户所交物管费为 100(1－ 3 10 a%)元，有 200(1＋2a%)户参与活动二； 10 80 平方米住宅每户所交物管费为 160(1－1 4 a%)元，有 50(1＋6a%)户参与活动二．由题意得 100(1－ 3 10 a%)·200(1＋2a%)＋160(1－1 4 a%)·50(1＋6a%)＝[200(1＋2a%)×100＋50(1＋ 6a%)×160](1－ 5 18 a%)，令 t＝a%，化简得 t(2t－1)＝0，∴t1＝0(舍去)，t2＝1 2 ，∴a＝50， 答：a 的值为 50 第 23 章检测题 (时间：100 分钟 满分：120 分) 一、精心选一选(每小题 3 分，共 30 分) 1．(2019·黄冈)已知点 A 的坐标为(2，1)，将点 A 向下平移 4 个单位长度，得到的点 A′的坐标是( D ) A．(6，1) B．(－2，1) C．(2，5) D．(2，－3) 2．(2019·西藏)如图，在△ABC 中，D，E 分别为 AB，AC 边上的中点，则△ADE 与△ABC 的面积之比是( A ) A．1∶4 B．1∶3 C．1∶2 D．2∶1 11 第 2 题图 第 5 题图 第 6 题图 第 7 题图 3．已知 x∶y＝3∶2，则下列各式中不正确的是( D ) A．x＋y y ＝5 2 B．x－y y ＝1 2 C． x x＋y ＝3 5 D． x y－x ＝3 1 4．(重庆中考)要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为 5 cm，6 cm 和 9 cm，另一个三角形的最短边长为 2.5 cm，则它的最长边为( C ) A．3 cm B．4 cm C．4.5 cm D．5 cm 5．(2019·赤峰)如图，D，E 分别是△ABC 边 AB，AC 上的点，∠ADE＝∠ACB，若 AD＝2， AB＝6，AC＝4，则 AE 的长是( C ) A．1 B．2 C．3 D．4 6．(2019·盘锦)如图，点 P(8，6)在△ABC 的边 AC 上，以原点 O 为位似中心，在第一 象限内将△ABC 缩小到原来的1 2 ，得到△A′B′C′，点 P 在 A′C′上的对应点 P′的的坐 标为( A ) A．(4，3) B．(3，4) C．(5，3) D．(4，4) 7．(绍兴中考)学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置 BD 绕 O 点旋转到 AC 位置， 已知 AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为 B，D，AO＝4 m，AB＝1.6 m，CO＝1 m，则栏杆 C 端应下 降的垂直距离 CD 为( C ) A．0.2 m B．0.3 m C．0.4 m D．0.5 m 8．(2019·海南)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4.点 P 是边 AC 上一动 点，过点 P 作 PQ∥AB 交 BC 于点 Q，D 为线段 PQ 的中点，当 BD 平分∠ABC 时，AP 的长度为( B ) A． 8 13 B．15 13 C．25 13 D．32 13 第 8 题图 第 9 题图 第 10 题图 9．(2019·贵港)如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 边上，DE∥BC，∠ACD＝ ∠B，若 AD＝2BD，BC＝6，则线段 CD 的长为( C ) A．2 3 B．3 2 C．2 6 D．5 12 10．(2019·鸡西)如图，在平行四边形 ABCD 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，过点 A 作边 BC 的垂线 AF 交 DC 的延长线于点 E，点 F 是垂足，连接 BE，DF，DF 交 AC 于点 O.则下列结 论：①四边形 ABEC 是正方形；②CO∶BE＝1∶3；③DE＝ 2 BC；④S 四边形 OCEF＝S△AOD，正确的 个数是( D ) A.1 B．2 C．3 D．4 二、细心填一填(每小题 3 分，共 15 分) 11．(2019·淮安)如图，l1∥l2∥l3，直线 a，b 与 l1，l2，l3 分别相交于点 A，B，C 和 点 D，E，F.若 AB＝3，DE＝2，BC＝6，则 EF＝__4__． 第 11 题图 第 13 题图 第 14 题图 第 15 题图 12．(2019·抚顺)如果把两条直角边长分别为 5，10 的直角三角形按相似比3 5 进行缩小， 得到的直角三角形的面积是__9__． 13．(2019·百色)如图，△ABC 与△A′B′C′是以坐标原点 O 为位似中心的位似图形， 若点 A(2，2)，B(3，4)，C(6，1)，B′(6，8)，则△A′B′C′的面积为__18__． 14．(岳阳中考)《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步， 股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为 5 步，股 (长直角边)长为 12 步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答 案是__60 17 __步． 15．(2019·宜宾)如图，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，且点 A，C，E 在同一直线上， AD 与 BE，BC 分别交于点 F，M，BE 与 CD 交于点 N.下列结论正确的是__①③④__(写出所有 正确结论的序号). ①AM＝BN；②△ABF≌△DNF；③∠FMC＋∠FNC＝180°；④ 1 MN ＝ 1 AC ＋ 1 CE . 三、用心做一做(共 75 分) 16．(8 分)(原创题)已知线段 a，b，c 满足a 3 ＝b 2 ＝c 6 ，且 a＋2b＋c＝26. (1)判断 a，2b，c，b2 是否成比例； (2)若实数 x 为 a，b 的比例中项，求 x 的值． 解：(1)成比例 (2)x＝±2 6 13 17．(9 分)如图，已知 AB∥CD，AD，BC 相交于点 E，F 为 EC 上一点，且∠EAF＝∠C. 求证：AF2＝FE·FB. 解：∵AB∥CD，∴∠C＝∠B.又∵∠EAF＝∠C，∴∠EAF＝∠B.又∵∠AFE＝∠BFA，∴△ AFE∽△BFA，∴AF EF ＝FB AF ，∴AF2＝FE·FB 18．(9 分)(安徽中考)如图，在由边长为 1 个单位长度的小正方形组成的 10×10 网格 中，已知点 O，A，B 均为网格线的交点． (1)在给定的网格中，以点 O 为位似中心，将线段 AB 放大为原来的 2 倍，得到线段 A1B1(点 A，B 的对应点分别为 A1，B1)，画出线段 A1B1； (2)将线段 A1B1 绕点 B1 逆时针旋转 90°得到线段 A2B1，画出线段 A2B1； (3)以 A，A1，B1，A2 为顶点的四边形 AA1B1A2 的面积是____个平方单位． 题图 答图 解：(1)如图所示，线段 A1B1 即为所求 (2)如图所示，线段 A2B1 即为所求 (3)由图可 得，四边形 AA1B1A2 为正方形，∴四边形 AA1B1A2 的面积是( 22＋42 )2＝( 20 )2＝20.故答案 为：20 19．(9 分)(陕西中考)周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测 量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点 A，在他们所在的岸边选择了点 B，使得 AB 与河岸垂直，并在 B 点竖起标杆 BC，再在 AB 的延长线上选择点 D，竖起标杆 DE， 使得点 E 与点 C，A 共线．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得 BC＝1 m，DE＝1.5 m，BD＝8.5 m．测 量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽 AB. 14 解：∵BC∥DE，∴△ABC∽△ADE，∴BC DE ＝AB AD ，∴ 1 1.5 ＝ AB AB＋8.5 ，∴AB＝17(m)，经 检验，AB＝17 是分式方程的解，答：河宽 AB 的长为 17 米 20．(9 分)(2019·张家界)如图，在平行四边形 ABCD 中，连结对角线 AC，延长 AB 至点 E，使 BE＝AB，连结 DE，分别交 BC，AC 交于点 F，G. (1)求证：BF＝CF； (2)若 BC＝6，DG＝4，求 FG 的长． (1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC， ∴△EBF∽△EAD，∴BF AD ＝EB EA ＝1 2 ，∴BF＝1 2 AD＝1 2 BC，∴BF＝CF (2)解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，∴△FGC∽△DGA，∴FG DG ＝FC AD ，即FG 4 ＝1 2 ，解得 FG＝2 21．(10 分)(眉山中考)如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 BC 延长线上一点，连结 DE，过 顶点 B 作 BF⊥DE，垂足为 F，BF 分别交 AC 于点 H，交 CD 于点 G. (1)求证：BG＝DE； (2)若点 G 为 CD 的中点，求HG GF 的值． 解：(1)∵BF⊥DE，∴∠GFD＝90°，∵∠BCG＝90°，∠BGC＝∠DGF，∴∠CBG＝∠CDE， 在△BCG 和△DCE 中， ∠CBG＝∠CDE， BC＝DC， ∠BCG＝∠DCE， ∴△BCG≌△DCE(ASA)，∴BG＝DE (2)设 CG＝1， ∵G 为 CD 的中点，∴GD＝CG＝1，由(1)可知：△BCG≌△DCE(ASA)，∴CG＝CE＝1，∴由勾 股定理可知：DE＝BG＝ 5 .∵∠DFG＝∠DCE，∠FDG＝∠CDE，∴△DFG∽△DCE，∴CE DE ＝GF GD ， ∴GF＝ 5 5 .∵AB∥CG，∴△ABH∽△CGH，∴AB CG ＝BH GH ＝2 1 ，∴BH＝2 3 5 ，GH＝1 3 5 ，∴ HG GF ＝5 3 22．(10 分)(2019·梧州)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝3，AF 平分∠DAC，分别 交 DC，BC 的延长线于点 E，F；连结 DF，过点 A 作 AH∥DF，分别交 BD，BF 于点 G，H. 15 (1)求 DE 的长； (2)求证：∠1＝∠DFC. (1)解：∵矩形 ABCD 中，AD∥CF，∴∠DAF＝∠AFC，∵AF 平分∠DAC，∴∠DAF＝∠CAF， ∴∠FAC＝∠AFC，∴AC＝CF，∵AB＝4，BC＝3，∴AC＝ AB2＋BC2 ＝ 32＋42 ＝5，∴CF＝5， ∵AD∥CF，∴△ADE∽△FCE，∴AD CF ＝DE CE ，设 DE＝x，则3 5 ＝ x 4－x ，解得 x＝3 2 ，∴DE＝3 2 (2)∵AD∥FH，AH∥DF，∴四边形 ADFH 是平行四边形，∴AD＝FH＝3，∴CH＝2，BH＝5， ∵AD∥BH，∴△ADG∽△HBG，∴DG BG ＝AD BH ，∴ DG 5－DG ＝3 5 ，∴DG＝15 8 ，∵DE＝3 2 ，∴DE DG ＝ DC DB ＝4 5 ，∴EG∥BC，∴∠1＝∠AHC，又∵DF∥AH，∴∠AHC＝∠DFC，∴∠1＝∠DFC 23．(11 分)(东营中考)(1)某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图①， 在△ABC 中，点 O 在线段 BC 上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝3 3 ，BO∶CO＝1∶3， 求 AB 的长．经过社团成员讨论发现，过点 B 作 BD∥AC，交 AO 的延长线于点 D，通过构造 △ABD 就可以解决问题(如图②)． 请回答：∠ADB＝________，AB＝________； (2)请参考以上解决思路，解决问题：如图③，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交 于点 O，AC⊥AD，AO＝3 3 ，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO∶OD＝1∶3，求 DC 的长． 题图 答图 解：(1)∵BD∥AC，∴∠ADB＝∠OAC＝75°.∵∠BOD＝∠COA，∴△BOD∽△COA，∴OD OA ＝ OB OC ＝1 3 .又∵AO＝3 3 ，∴OD＝1 3 AO＝ 3 ，∴AD＝AO＋OD＝4 3 .∵∠BAD＝30°，∠ADB ＝75°，∴∠ABD＝180°－∠BAD－∠ADB＝75°＝∠ADB，∴AB＝AD＝4 3 .故答案为：75°； 4 3 (2)过点 B 作 BE∥AD 交 AC 于点 E，如图所示．∵AC⊥AD，BE∥AD，∴∠DAC＝∠BEA ＝90°.∵∠AOD＝∠EOB，∴△AOD∽△EOB，∴BO DO ＝EO AO ＝BE DA .∵BO∶OD＝1∶3，∴EO AO ＝BE DA ＝1 3 .∵AO＝3 3 ，∴EO＝ 3 ，∴AE＝4 3 .∵∠ABC＝∠ACB＝75°，∴∠BAC＝30°，AB ＝AC，∴AB＝2BE.在 Rt△AEB 中，BE2＋AE2＝AB2，即(4 3 )2＋BE2＝(2BE)2，解得 BE＝4，∴ 16 AB＝AC＝8，AD＝12.在 Rt△CAD 中，AC2＋AD2＝CD2，即 82＋122＝CD2，解得 CD＝4 13 第 24 章检测题 (时间：100 分钟 满分：120 分) 一、精心选一选(每小题 3 分，共 30 分) 1．(大庆中考)2cos 60°＝( A ) A．1 B． 3 C． 2 D．1 2 2．河堤横断面如图所示，堤高 BC＝5 米，迎水坡 AB 的坡比为 1∶ 3 (坡比是坡面的铅 直高度 BC 与水平宽度 AC 之比)，则 AC 的长是( A ) A．5 3 米 B．10 2 米 C．15 米 D．10 米 第 2 题图 第 3 题图 第 6 题图 3．(2019·宜昌)如图，在 5×4 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，△ABC 17 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则 sin ∠BAC 的值为( D ) A．4 3 B．3 4 C．3 5 D．4 5 4．在△ABC 中，若 sin A＝ 3 2 ，tan B＝1，则这个三角形是( A ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 5．式子 2cos30°－tan45°－ （1－tan60°）2 的值是( B ) A．2 3 －2 B．0 C．2 3 D．2 6．如图，在矩形 ABCD 中，DE⊥AC 于 E，设∠ADE＝α，且 cos α＝3 5 ，AB＝4，则 AC 的长为( C ) A．3 B．16 5 C．20 3 D．16 3 7．(2019·益阳)南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动 中对此开展测量活动．如图，在桥外一点 A 测得大桥主架与水面的交汇点 C 的俯角为α，大 桥主架的顶端 D 的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离 AB＝a，则此时大桥主架顶 端离水面的高 CD 为( C ) A．a sin α＋a sin β B．a cos α＋a cos β C．a tan α＋a tan β D． a tan α ＋ a tan β 第 7 题图 第 8 题图 第 10 题图 8．(2019·营口)如图，在四边形 ABCD 中，∠DAB＝90°，AD∥BC，BC＝1 2 AD，AC 与 BD 交于点 E，AC⊥BD，则 tan ∠BAC 的值是( C ) A．1 4 B． 2 4 C． 2 2 D．1 3 9．(绵阳中考)一艘在南北航线上的测量船，于 A 点处测得海岛 B 在点 A 的南偏东 30° 方向，继续向南航行 30 海里到达 C 点时，测得海岛 B 在 C 点的北偏东 15°方向，那么海岛 B 离 此 航 线 的 最 近 距 离 是 ( 结 果 保 留 小 数 点 后 两 位 )( 参 考 数 据 ： 3 ≈1.732 ， 2 ≈1.414)( B ) A．4.64 海里 B．5.49 海里 C．6.12 海里 D．6.21 海里 10．(2019·重庆)如图，AB 是垂直于水平面的建筑物．为测量 AB 的高度，小红从建筑 物底端 B 点出发，沿水平方向行走了 52 米到达点 C，然后沿斜坡 CD 前进，到达坡顶 D 点处， DC＝BC.在点 D 处放置测角仪，测角仪支架 DE 高度为 0.8 米，在 E 点处测得建筑物顶端 A 点的仰角∠AEF 为 27°(点 A，B，C，D，E 在同一平面内).斜坡 CD 的坡度(或坡比)i＝1∶2.4， 那么建筑物 AB 的高度约为(参考数据 sin 27°≈0.45，cos 27°≈0.89，tan 27°≈ 0.51)( B ) A．65.8 米 B．71.8 米 C．73.8 米 D．119.8 米 二、细心填一填(每小题 3 分，共 15 分) 18 11．若α为锐角，cos α＝3 5 ，则 sin α＝__4 5 __，tan α＝__4 3 __． 12．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，tan A＝ 5 12 ，△ABC 的周长为 18，则 S△ABC＝__54 5 __． 13．在△ABC 中，若|2cos A－1|＋( 3 －tan B)2＝0，则∠C＝__60°__． 14．(2019·天门)如图，为测量旗杆 AB 的高度，在教学楼一楼点 C 处测得旗杆顶部的 仰角为 60°，在四楼点 D 处测得旗杆顶部的仰角为 30°，点 C 与点 B 在同一水平线上．已 知 CD＝9.6 m，则旗杆 AB 的高度为__14.4__m. 第 14 题图 第 15 题图 15．(2019·辽阳)某数学小组三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设 在一段笔直的公路旁且距公路 100 米的点 A 处，如图所示，直线 l 表示公路，一辆小汽车由 公路上的 B 处向 C 处匀速行驶，用时 5 秒，经测量，点 B 在点 A 北偏东 45°方向上，点 C 在点 A 北偏东 60°方向上，这段公路最高限速 60 千米/小时，此车__没有超速__(填“超速” 或“没有超速”).(参考数据： 3 ≈1.732) 三、用心做一做(共 75 分) 16．(8 分)解下列各题： (1)先化简，再求代数式(1 x ＋x＋1 x )÷x＋2 x2＋x 的值，其中 x＝ 3 cos30°＋1 2 ； 解：x＝2，原式＝x＋1＝3 (2)已知α是锐角，且 sin (α＋15°)＝ 3 2 .计算 8 －4cos α－(π－3.14)0＋tan α＋(1 3 )－1 的值． 解：α＝45°，原式＝3 17．(9 分)(2019·十堰)如图，拦水坝的横断面为梯形 ABCD，AD＝3 m，坝高 AE＝DF＝ 6 m，坡角α＝45°，β＝30°，求 BC 的长． 解：由图得，AE，DF 为高，则四边形 AEFD 是矩形，有 AE＝DF＝6，AD＝EF＝3，∵坡角 α＝45°，β＝30°，∴BE＝AE＝6，CF＝ 3 DF＝6 3 ，∴BC＝BE＋EF＋CF＝6＋3＋6 3 ＝9＋6 3 ，答：BC 的长(9＋6 3 )m 18．(9 分)(2019·梧州)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，D 为 BC 上一点，AB＝5，BD ＝1，tan B＝3 4 . (1)求 AD 的长； (2)求 sin α的值． 19 题图 答图 解：(1)∵tan B＝3 4 ，可设 AC＝3x，得 BC＝4x，∵AC2＋BC2＝AB2，∴(3x)2＋(4x)2＝52， 解得 x＝－1(舍去)或 x＝1，∴AC＝3，BC＝4，∵BD＝1，∴CD＝3，∴AD＝ CD2＋AC2 ＝3 2 (2)如图，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，∵tan B＝3 4 ，可设 DE＝3y，则 BE＝4y，∵BE2＋DE2 ＝BD2，∴(4y)2＋(3y)2＝12，解得 y＝－1 5 (舍)或 y＝1 5 ，∴DE＝3 5 ，∴sin α＝DE AD ＝ 1 10 2 19．(9 分)(2019·遵义)某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造．如图是风景秀美 的观景山，从山脚 B 到山腰 D 沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从 D 到 A 修建 电动扶梯，经测量，山高 AC＝154 米，步行道 BD＝168 米，∠DBC＝30°，在 D 处测得山顶 A 的仰角为 45°.求电动扶梯 DA 的长(结果保留根号). 题图 答图 解：作 DE⊥BC 于 E，则四边形 DECF 为矩形，∴FC＝DE，DF＝EC，在 Rt△DBE 中，∠DBC ＝30°，∴DE＝1 2 BD＝84，∴FC＝DE＝84，∴AF＝AC－FC＝154－84＝70，在 Rt△ADF 中， ∠ADF＝45°，∴AD＝ 2 AF＝70 2 ，答：电动扶梯 DA 的长为 70 2 米 20．(9 分)(宜宾中考)某游乐场一转角滑梯如图所示，滑梯立柱 AB，CD 均垂直于地面， 点 E 在线段 BD 上，在 C 点测得点 A 的仰角为 30°，点 E 的俯角也为 30°，测得 B，E 间的 距离为 10 米，立柱 AB 高 30 米．求立柱 CD 的高．(结果保留根号) 题图 答图 解：如图，作 CH⊥AB 于 H，则四边形 HBDC 为矩形，∴BD＝CH，由题意得，∠ACH＝30°， ∠CED＝30°，设 CD＝x 米，则 AH＝(30－x)米，在 Rt△AHC 中，HC＝ AH tan ∠ACH ＝ 3 (30 －x)，则 BD＝CH＝ 3 (30－x)，∴ED＝ 3 (30－x)－10，在 Rt△CDE 中，CD DE ＝tan ∠CED， 即 x 30 3－ 3x－10 ＝ 3 3 ，解得 x＝15－5 3 3 ，答：立柱 CD 的高为(15－5 3 3 )米 21．(10 分)(2019·随州)在一次海上救援中，两艘专业救助船 A，B 同时收到某事故渔 20 船的求救讯息，已知此时救助船 B 在 A 的正北方向，事故渔船 P 在救助船 A 的北偏西 30° 方向上，在救助船 B 的西南方向上，且事故渔船 P 与救助船 A 相距 120 海里． (1)求收到求救讯息时事故渔船 P 与救助船 B 之间的距离； (2)若救助船 A，B 分别以 40 海里/小时、30 海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往 事故渔船 P 处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达． 题图 答图 解：(1)如图所示：作 PC⊥AB 于 C，则∠PCA＝∠PCB＝90°，由题意得 PA＝120 海里， ∠A＝30°，∠BPC＝45°，∴PC＝1 2 PA＝60 海里，△BCP 是等腰直角三角形，∴BC＝PC＝60 海里，PB＝ 2 PC＝60 2 海里，答：收到求救讯息时事故渔船 P 与救助船 B 之间的距离为 60 2 海里 (2)∵PA＝120 海里，PB＝60 2 海里，救助船 A，B 分别以 40 海里/小时、30 海里/小 时的速度同时出发，∴救助船 A 所用的时间为120 40 ＝3(小时)，救助船 B 所用的时间为60 2 30 ＝2 2 (小时)，∵3＞2 2 ，∴救助船 B 先到达 22．(10 分)(2019·鄂州)为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学 楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度 AB，他站在距离教 学楼底部 E 处 6 米远的地面 C 处，测得宣传牌的底部 B 的仰角为 60°，同时测得教学楼窗 户 D 处的仰角为 30°(A，B，D，E 在同一直线上).然后，小明沿坡度 i＝1∶1.5 的斜坡从 C 走到 F 处，此时 DF 正好与地面 CE 平行． (1)求点 F 到直线 CE 的距离(结果保留根号)； (2)若小明在 F 处又测得宣传牌顶部 A 的仰角为 45°，求宣传牌的高度 AB(结果精确到 0.1 米， 2 ≈1.41， 3 ≈1.73). 题图 答图 解：(1)过点 F 作 FG⊥EC 于 G，依题意知 FG∥DE，DF∥GE，∠FGE＝90°，∴四边形 DEGF 是矩形，∴FG＝DE，在 Rt△CDE 中，DE＝CE·tan ∠DCE＝6×tan 30°＝2 3 (米)，∴点 F 到地面的距离为 2 3 米 (2)∵斜坡 CF 的坡度为 i＝1∶1.5，∴在 Rt△CFG 中，CG＝1.5FG ＝2 3 ×1.5＝3 3 ，∴FD＝EG＝3 3 ＋6.在 Rt△BCE 中，BE＝CE·tan ∠BCE＝6×tan 60°＝6 3 .∴AB＝AD＋DE－BE＝3 3 ＋6＋2 3 －6 3 ＝6－ 3 ≈4.3 (米)，答：宣传 牌的高度约为 4.3 米 23．(11 分)(赤峰中考)阅读下列材料： 21 如图①，在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b，c，可以得到：S△ABC＝1 2 ab sin C＝1 2 ac sin B＝1 2 bc sin A．证明：过点 A 作 AD⊥BC，垂足为 D.在 Rt△ABD 中，sin B ＝AD c ，∴AD＝c·sin B，∴S△ABC＝1 2 a·AD＝1 2 ac sin B，同理：S△ABC＝1 2 ab sin C，S△ABC ＝1 2 bc sin A，∴S△ABC＝1 2 ab sin C＝1 2 ac sin B＝1 2 bc sin A. (1)通过上述材料证明： a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C ； (2)运用(1)中的结论解决问题：如图②，在△ABC 中，∠B＝15°，∠C＝60°，AB＝20 3 ， 求 AC 的长度； (3)如图③，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择 A，B，C 三个测量点，在 B 点 测得 A 在北偏东 75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶 18 km 到达 C 点，测得 A 在北偏 西 45°方向上，根据以上信息，求 A，B，C 三点围成的三角形的面积．(本题参考数值：sin 15°≈0.3，sin 120°≈0.9， 2 ≈1.4，结果取整数) 解：(1)∵1 2 ab sin C＝1 2 ac sin B，∴b sin C＝c sin B，∴ b sin B ＝ c sin C ，同理 得， a sin A ＝ c sin C ，∴ a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C (2)由题意，得∠B＝15°，∠C＝60°， AB＝20 3 ，∴ AB sin C ＝ AC sin B ，即 20 3 sin 60° ＝ AC sin 15° ，∴ 20 3 3 2 ＝ AC 0.3 ，∴AC＝40×0.3 ＝12 (3)由题意，得∠ABC＝90°－75°＝15°，∠ACB＝90°－45°＝45°，∠A＝180° －15°－45°＝120°，由 a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C ，得 18 sin 120° ＝ AC sin 15° ，∴AC＝6 km，∴S△ABC＝1 2 AC×BC×sin ∠ACB＝1 2 ×6×18×0.7≈38(km2) 22 第 25 章检测题 (时间：100 分钟 满分：120 分) 一、精心选一选(每小题 3 分，共 30 分) 1．(2019·广西)下列事件为必然事件的是( B ) A．打开电视机，正在播放新闻 B．任意画一个三角形，其内角和是 180° C．买一张电影票，座位号是奇数号 D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 2．(2019·海南)某路口的交通信号灯每分钟红灯亮 30 秒，绿灯亮 25 秒，黄灯亮 5 秒， 当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是( D ) A．1 2 B．3 4 C． 1 12 D． 5 12 3．(2019·泰州)小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如表： 抛掷次数 100 200 300 400 500 正面朝上的频数 53 98 156 202 244 若抛掷硬币的次数为 1000，则“正面朝上”的频数最接近( C ) A．20 B．300 C．500 D．800 23 4．(镇江中考)小明将如图所示的转盘分成 n(n 是正整数)个扇形，并使得各个扇形的面 积都相等，然后他在这些扇形区域内分别标连续偶数数字 2，4，6，…，2n(每个区域内标 注 1 个数字，且各区域内标注的数字互不相同)，转动转盘 1 次，当转盘停止转动时，若事 件“指针所落区域标注的数字大于 8”的概率是5 6 ，则 n 的取值为( C ) A．36 B．30 C．24 D．18 5．有三张正面分别写有数字－1，1，2 的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片 背面朝上洗匀后，随机抽取一张，以其正面的数字作为 a 的值，然后再从剩余的两张卡片中 随机抽取一张，以其正面的数字作为 b 的值，则点(a，b)在第二象限的概率是( B ) A．1 6 B．1 3 C．1 2 D．2 3 6．(武汉中考)一个不透明的袋中有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字 1，2， 3，4.随机抽取一张卡片，然后放回，再随机抽取一张卡片，则两次抽取的卡片上数字之积 为偶数的概率是( C ) A．1 4 B．1 2 C．3 4 D．5 6 7．(2019·柳州)小李与小陈做猜拳游戏，规定每人每次至少要出一个手指，两人出拳 的手指数之和为偶数时小李获胜，那么，小李获胜的概率为( A ) A．13 25 B．12 25 C． 4 25 D．1 2 8．(2019·随州)如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 BC 的中点，BD，AE 交于点 O，若 随机向平行四边形 ABCD 内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为( B ) A． 1 16 B． 1 12 C．1 8 D．1 6 9．(2019·荆门)投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为 a，b.那么 方程 x2＋ax＋b＝0 有解的概率是( D ) A．1 2 B．1 3 C． 8 15 D．19 36 10．(2019·德州)甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字1 4 ，1 2 ，1 的卡片， 乙中有三张标有数字 1，2，3 的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则： 从甲中任取一张卡片，将其数字记为 a，从乙中任取一张卡片，将其数字记为 b.若 a，b 能 使关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋1＝0 有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜．则 乙获胜的概率为( C ) A．2 3 B．5 9 C．4 9 D．1 3 24 二、细心填一填(每小题 3 分，共 15 分) 11．(2019·遵义)小明用 0～9 中的数字给手机设置了六位开机密码，但他把最后一位 数字忘记了，小明只输入一次密码就能打开手机的概率是__ 1 10 __． 12．(2019·扬州)扬州某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行质量抽检的结果如下： 抽取的毛绒玩 具数 n 20 50 100 200 500 1000 1500 2000 优等品的频数 m 19 47 91 184 462 921 1379 1846 优等品的频率 m n 0.950 0.940 0.910 0.920 0.924 0.921 0.919 0.923 从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是__0.92__．(精确 到 0.01) 13．(2019·重庆)一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数．连续 掷两次骰子，在骰子向上的一面上，第二次出现的点数是第一次出现的点数的 2 倍的概率是 __ 1 12 __． 14．(2019·娄底)如图，随机闭合开关 S1，S2，S3 中的两个，能让灯泡发光的概率是__2 3 __． 15．(娄底中考)从 2018 年高中一年级学生开始，湖南省全面启动高考综合改革，学生 学习完必修课程后，可以根据高校相关专业的选课要求和自身兴趣、志向、优势，从思想政 治、历史、地理、物理、化学、生物 6 个科目中，自主选择 3 个科目参加等级考试．学生 A 已选物理，还从思想政治、历史、地理 3 个文科科目中选 1 科，再从化学、生物 2 个理科科 目中选 1 科．若他选思想政治、历史、地理的可能性相等，选化学、生物的可能性相等，则 选修地理和生物的概率为__1 6 __． 三、用心做一做(共 75 分) 16．(8 分)在一个不透明的袋子中，装有 9 个大小和形状一样的小球，其中 3 个红球， 3 个白球，3 个黑球，它们已在口袋中被搅匀，现在有一个事件：从口袋中任意摸出 n 个球， 在这 n 个球中，红球、白球、黑球至少各有一个． (1)当 n 为何值时，这个事件必然发生？ (2)当 n 为何值时，这个事件不可能发生？ (3)当 n 为何值时，这个事件可能发生？ 解：(1)当 n＝7 或 8 或 9 时，这个事件必然发生 (2)当 n＝1 或 2 时，这个事件不可能 发生 (3)当 n＝3 或 4 或 5 或 6 时，这个事件可能发生 17．(9 分)(2019·玉林)某校有 20 名同学参加市举办的“文明环保，从我做起”征文 比赛，成绩分别记为 60 分，70 分，80 分，90 分，100 分，为方便奖励，现统计出 80 分， 90 分，100 分的人数，制成如图不完整的扇形统计图，设 70 分所对扇形圆心角为α. 25 (1)若从这20份征文中，随机抽取一份，则抽到试卷的分数为低于80分的概率是__2 5 __； (2)当α＝108°时，求成绩是 60 分的人数； (3)设 80 分为唯一众数，求这 20 名同学的平均成绩的最大值． 解：(1)低于 80 分的征文数量为 20×(1－30%－20%－10%)＝8，则抽到试卷的分数为低 于 80 分的概率是 8 20 ＝2 5 ，故答案为：2 5 (2)当α＝108°时，成绩是 70 分的人数为 20×108 360 ＝6(人)，则成绩是 60 分的人数 20－6－20×(10%＋20%＋30%)＝2(人) (3)∵80 分的人数为：20×30%＝6(人)，且 80 分为成绩的唯一众数，所以当 70 分的人数为 5 人时， 这个班的平均数最大，∴最大值为：(20×10%×100＋20×20%×90＋20×30%×80＋5×70 ＋3×60)÷20＝78.5(分) 18．(9 分)(淮安中考)一只不透明袋子中装有三只大小、质地都相同的小球，球面上分 别标有数字 1，－2，3，搅匀后先从中任意摸出一个小球(不放回)，记下数字作为点 A 的横 坐标，再从余下的两个小球中任意摸出一个小球，记下数字作为点 A 的纵坐标． (1)用画树状图或列表等方法列出所有可能出现的结果； (2)求点 A 落在第四象限的概率． 解：(1)列表得： 1 －2 3 1 (1，－2) (1，3) －2 (－2，1) (－2，3) 3 (3，1) (3，－2) (2)由表可知，共有 6 种等可能结果，其中点 A 落在第四象限的有 2 种结果，所以点 A 落在第四象限的概率为2 6 ＝1 3 18．(9 分)已知在一个不透明的口袋中有 4 个形状、大小、材质完全相同的球，其中 1 个红色球，3 个黄色球． (1)从口袋中随机取出一个球(不放回)，接着再取出一个球，请用画树状图或列表的方 法求取出的两个都是黄色球的概率； (2)小明往该口袋中又放入红色球和黄色球若干个，一段时间后他记不清具体放入红色 球和黄色球的个数，只记得放入一种球的个数比另一种的个数多 1，且从口袋中取出一个黄 色球的概率为2 3 ，请问小明又放入该口袋中红色球和黄色球各多少个？ 解：(1)图表略，P(两个都是黄色球)＝ 6 12 ＝1 2 (2)①若小明又放入红色球 m 个，则黄 色球(m＋1)个，∴袋中球的总数为 5＋2m，于是有 4＋m 5＋2m ＝2 3 ，则 m＝2；②若小明又放入红 26 色球(m＋1)个，则黄色球 m 个，∴ 3＋m 5＋2m ＝2 3 ，则 m＝－1(舍去).故小明又放入该口袋中 2 个红色球和 3 个黄色球 19．(9 分)(2019·孝感)一个不透明的袋子中装有四个小球，上面分别标有数字－2， －1，0，1，它们除了数字不同外，其它完全相同． (1)随机从袋子中摸出一个小球，摸出的球上面标的数字为正数的概率是__1 4 __； (2)小聪先从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点 M 的横坐标； 然后放回搅匀，接着小明从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为点 M 的纵坐标．如图， 已知四边形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A(－2，0)，B(0，－2)，C(1，0)，D(0，1)，请 用画树状图或列表法，求点 M 落在四边形 ABCD 所围成的部分内(含边界)的概率． 解：(1)在－2，－1，0，1 中正数有 1 个，∴摸出的球上面标的数字为正数的概率是1 4 ， 故答案为：1 4 (2)列表如下： －2 －1 0 1 －2 (－2，－2) (－1，－2) (0，－2) (1，－2) －1 (－2，－1) (－1，－1) (0，－1) (1，－1) 0 (－2，0) (－1，0) (0，0) (1，0) 1 (－2，1) (－1，1) (0，1) (1，1) 由表知，共有 16 种等可能结果，其中点 M 落在四边形 ABCD 所围成的部分内(含边界) 的有：(－2，0)，(－1，－1)，(－1，0)，(0，－2)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，0) 这 8 个，所以点 M 落在四边形 ABCD 所围成的部分内(含边界)的概率为1 2 20．(10 分)(2019·广州)某中学抽取了 40 名学生参加“平均每周课外阅读时间”的调 查，由调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图． 频数分布表 组别 时间/小时 频数/人数 A 组 0≤t＜1 2 B 组 1≤t＜2 m C 组 2≤t＜3 10 D 组 3≤t＜4 12 E 组 4≤t＜5 7 27 F 组 t≥5 4 题图 答图 请根据图表中的信息解答下列问题： (1)求频数分布表中 m 的值； (2)求 B 组，C 组在扇形统计图中分别对应扇形的圆心角度数，并补全扇形统计图； (3)已知 F 组的学生中，只有 1 名男生，其余都是女生，用列举法求以下事件的概率： 从 F 组中随机选取 2 名学生，恰好都是女生． 解：(1)m＝40－2－10－12－7－4＝5 (2)B 组的圆心角＝360°× 5 40 ＝45°，C 组的圆 心角＝360°×10 40 ＝90°.补全扇形统计图如图所示 (3)画树状图如图： 共有 12 个等可能的结果，恰好都是女生的结果有 6 个，∴恰好都是女生的概率为 6 12 ＝ 1 2 21．(10 分)某校九年级举行毕业典礼，需要从九(1)班的 2 名男生 1 名女生、九(2)班 的 1 名男生 1 名女生共 5 人中选出 2 名主持人． (1)用树状图或列表法列出所有可能的情形； (2)求 2 名主持人来自不同班级的概率； (3)求 2 名主持人恰好是 1 男 1 女的概率． 解：(1)图表略 (2)P(不同班级)＝3 5 (3)P(1 男 1 女)＝3 5 23．(11 分)如图是甲、乙两个可以自由转动的均匀的转盘，甲转盘被分成 3 个面积相 等的扇形，乙转盘被分成 4 个面积相等的扇形，每一个扇形都标有相应的数字，同时转动两 个转盘，当转盘停止后，设甲转盘中指针所指区域内的数字为 m，乙转盘中指针所指区域内 的数字为 n(若指针指在边界线上时，重转一次，直到指针都指向一个区域为止). (1)请你用画树状图或列表的方法求出|m＋n|＞1 的概率； 28 (2)直接写出点(m，n)落在函数 y＝－1 x 图象上的概率． 解：(1)图表略，所有等可能的结果有 12 种，其中|m＋n|＞1 的情况有 5 种，所以|m＋n|＞ 1 的概率为 P1＝ 5 12 (2)点(m，n)在函数 y＝－1 x 上的概率为 P2＝ 3 12 ＝1 4