2009年广东省茂名市中考数学试卷(全解全析)

2009年广东省茂名市中考数学试卷(全解全析)

一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）‎ ‎1、（2009•茂名）下列四个数中，其中最小的数是（　　）‎ ‎ A、0 B、﹣4‎ ‎ C、﹣π D、‎‎2‎ 考点：实数大小比较。‎ 分析：根据负数小于一切正数，两个负数比较大小，两个负数绝对值大的反而小即可解答．‎ 解答：解：∵﹣4＜﹣π＜0＜‎2‎，‎ ‎∴给出的四个数中，其中最小的数是﹣4．‎ 故选B．‎ 点评：本题主要了考查实数的大小比较，只要利用正数、0大于负数即可解决问题，比较简单．‎ ‎2、（2009•茂名）下列运算正确的是（　　）‎ ‎ A、x2•x2=2x4 B、（x2）3=x8‎ ‎ C、x4÷x2=x2 D、x4•x2=x8‎ 考点：同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方。‎ 分析：根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项计算后利用排除法求解．‎ 解答：解：A、应为x2•x2=x4，故本选项错误；‎ B、应为（x2）3=x6，故本选项错误；‎ C、x4÷x2=x2，正确；‎ D、应为x4•x2=x6，故本选项错误．‎ 故选C．‎ 点评：本题考查同底数幂的乘法法则，除法法则，幂的乘方的性质，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．‎ ‎3、（2009•茂名）如图所示的四个立体图形中，左视图是圆的个数是（　　）‎ ‎ A、4 B、3‎ ‎ C、2 D、1‎ 考点：简单几何体的三视图。‎ 分析：左视图是从物体的左面看得到的视图．‎ 解答：‎ 解：圆柱的左视图是长方形；圆锥的左视图是三角形；圆台的左视图是等腰梯形；球的左视图是圆．故选D．‎ 点评：本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．‎ ‎4、（2009•茂名）已知一组数据：2，2，3，x，5，5，6的众数是2，则x是（　　）‎ ‎ A、5 B、4‎ ‎ C、3 D、2‎ 考点：众数。‎ 分析：众数又是指一组数据中出现次数最多的数据，根据定义就可以求出．‎ 解答：解：因为一组数据2，2，3，x，5，5，6的众数是2，‎ 根据众数的定义，2出现的次数最多，因为5已经出现了2次，所以2必出现3次．‎ 所以x是2．‎ 故选D．‎ 点评：本题比较容易，考查众数的知识．解题的关键是此题的众数是唯一的．‎ ‎5、（2009•茂名）已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是（　　）‎ ‎ A、四边形 B、五边形 ‎ C、六边形 D、七边形 考点：多边形内角与外角。‎ 分析：利用n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，结合方程即可求出答案．‎ 解答：解：根据多边形的内角和可得：（n﹣2）180°=540°，‎ 解得：n=5，则这个多边形是五边形．‎ 故选B．‎ 点评：本题比较容易，主要考查多边形的内角和公式．‎ ‎6、（2009•茂名）杨伯家小院子的四棵小树E、F、G、H刚好在其梯形院子ABCD各边的中点上，若在四边形EFGH种上小草，则这块草地的形状是（　　）‎ ‎ A、平行四边形 B、矩形 ‎ C、正方形 D、菱形 考点：平行四边形的判定；三角形中位线定理。‎ 专题：应用题。‎ 分析：根据中位线定理可知，四边形EFGH的对边平行且相等，所以四边形EFGH是平行四边形．‎ 解答：解：连接AC，BD．利用三角形的中位线定理可得EH∥FG，EH=FG．‎ ‎∴这块草地的形状是平行四边形．‎ 故选A．‎ 点评：本题考查的知识点为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．‎ ‎7、（2009•茂名）设从茂名到北京所需的时间是t，平均速度为v，则下面刻画v与t的函数关系的图象是（　　）‎ ‎ A、 B、‎ ‎ C、 D、‎ 考点：反比例函数的应用。‎ 专题：跨学科。‎ 分析：本题比较容易，考查根据实际问题确定函数的图象．因为从茂名到北京的路程不变，根据v=st（t＞0），可知v与t函数关系的图象是反比例函数，所以答案选择A．‎ 解答：解：根据题意可知v=st（t＞0，s是常数）．故选A．‎ 点评：现实生活正存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．‎ ‎8、（2009•茂名）分析下列命题：‎ ‎①四边形的地砖能镶嵌（密铺）地面；‎ ‎②不同时刻的太阳光照射同一物体，则其影长都是相等的；‎ ‎③若在正方形纸片四个角剪去的小正方形边长越大，则所制作的无盖长方体形盒子的容积越大．‎ 其中真命题的个数是（　　）‎ ‎ A、3 B、2‎ ‎ C、1 D、0‎ 考点：平行投影；多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）。‎ 分析：根据四边形内角和、相似以及长方体体积计算公式即可解答．‎ 解答：解：①、四边形的地砖能镶嵌（密铺）地面，因为任意四边形的内角和是360°，放在同一顶点4个能密铺，正确；‎ ‎②、不同时刻的太阳光照射同一物体，则其影长不都是相等的，因为光线入射角度不同，错误；‎ ‎③、若在正方形纸片四个角剪去的小正方形边长越大，则所制作的无盖长方体形盒子的容积越小，故错误．‎ ‎①为真命题②③为假命题，故选C．‎ 点评：本题需注意：任意四边形的内角和是360°，放在同一顶点4个能密铺；数学和实际生活是紧密相连的，要注意观察生活中的数学．‎ ‎9、（2009•茂名）如图，一把遮阳伞撑开时母线的长是2米，底面半径为1米，则做这把遮阳伞需用布料的面积是（　　）‎ ‎ A、4π平方米 B、2π平方米 ‎ C、π平方米 D、‎1‎‎2‎π平方米 考点：圆锥的计算。‎ 分析：圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．‎ 解答：解：根据圆锥与它的侧面展开图的关系可得：做这把遮阳伞需用布料的面积是‎1‎‎2‎lr=π×1×2=2πm2，故选B．‎ 点评：本题考查圆锥的侧面展开图计算公式．‎ ‎10、（2009•茂名）如图，把抛物线y=x2与直线y=1围成的图形OABC绕原点O顺时针旋转90°后，再沿x轴向右平移1个单位得到图形O1A1B1C1，则下列结论错误的是（　　）‎ ‎ A、点O1的坐标是（1，0） B、点C1的坐标是（2，﹣1）‎ ‎ C、四边形OBA1B1是矩形 D、若连接OC，则梯形OCA1B1的面积是3‎ 考点：二次函数图象与几何变换。‎ 分析：利用抛物线和平面直角坐标系的性质．‎ 解答：解：根据图形可知：点O的坐标是（0，0），点C的坐标是（1，1）．‎ 因为把抛物线y=x2与直线y=1围成的图形OABC绕原点O顺时针旋转90°后，再沿x轴向右平移1个单位得到图形O1A1B1C1，所以点O，C绕原点O顺时针旋转90°后，再沿x轴向右平移1个单位得到点O1的坐标是（1，0），点C1的坐标是（2，﹣1），所以选项A，B正确．根据点O（0，0），B（0，1），A1（2，1），B1（2，0）的坐标可得：四边形OBA1B1是矩形，选项C正确．‎ 根据点O（0，0），C（1，1），A1（2，1），B1（2，0）的坐标可得：梯形OCA1B1的面积等于‎1‎‎2‎（1+2）×1=‎3‎‎2‎≠3，所以选项D错误．‎ 故选D．‎ 点评：本题难度中等，考查抛物线的旋转、平移及平面直角坐标系的知识．‎ 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）‎ ‎11、（2009•茂名）方程‎1‎x+1‎‎=‎‎1‎‎2x的解是x= ．‎ 考点：解分式方程。‎ 专题：计算题。‎ 分析：由2x和x+1可得方程最简公分母为2x（x+1），去分母，转化为整式方程求解．‎ 解答：解：两边同乘2x（x+1），去分母，得2x=x+1，‎ 解得x=1，代入检验得2x（x+1）≠0，所以方程的解为x=1．‎ 点评：本题比较容易，考查解分式方程．解分式方程的基本思想是把分式方程转化为整式方程．具体方法是方程两边同时乘以最简公分母，在此过程中有可能会产生增根，增根是转化后的整式的根，不是原方程的根．‎ ‎12、（2009•茂名）如图，在两个同心圆中，三条直径把大圆分成六等份，若在这个圆面上均匀地撒一把豆子，则豆子落在阴影部分的概率是 ．‎ 考点：几何概率。‎ 分析：首先确定阴影的面积在整个轮盘中占的比例，根据这个比例即可求出豆子落在阴影部分的概率．‎ 解答：‎ 解：因为在两个同心圆中，三条直径把大圆分成六等份，利用整体思想，可知：阴影部分的面积是大圆面积的一半，因此若在这个圆面上均匀地撒一把豆子，则豆子落在阴影部分的概率是S阴影S大圆‎=‎‎1‎‎2‎．‎ 点评：确定阴影部分的面积与大圆的面积之间的关系是解题的关键．‎ ‎13、（2009•茂名）若实数x，y满足xy≠0，则m=x‎∣x∣‎+‎‎∣y∣‎y的最大值是 ．‎ 考点：实数的运算。‎ 分析：首先根据绝对值的定义去掉绝对值符号，然后注意讨论结果有正负之分．‎ 解答：解：因为x，y满足xy≠0，‎ 所以x‎∣x∣‎‎=±1，‎∣y∣‎y=±1‎，‎ 所以m=x‎∣x∣‎+‎‎∣y∣‎y的最大值是m=1+1=2．‎ 故答案为：2．‎ 点评：本题主要考查了实数的运算和绝对值的定义，也同时考查分类讨论思想．‎ ‎14、（2009•茂名）如图，甲，乙两楼相距20米，甲楼高20米，小明站在距甲楼10米的A处目测得点A与甲，乙楼顶B、C刚好在同一直线上，若小明的身高忽略不计，则乙楼的高度是 米．‎ 考点：相似三角形的应用。‎ 分析：由于两楼是平行的，△ABD和△ACE构成两个相似三角形，可以利用相似比解题．‎ 解答：解：根据题意，易得：△ABD∽△ACE，‎ 所以BDCE‎=‎ADAE，‎ 所以‎20‎CE‎=‎‎10‎‎10+20‎，‎ 解得：CE=60，所以乙楼的高度是60米．‎ 点评：本题难度中等，考查应用相似三角形的性质解决实际问题．‎ ‎15、（2009•茂名）我们常用的数是十进制数，而计算机程序处理数据使用的只有数码0和1‎ 的二进制数，这二者可以相互换算，如将二进制数1011换算成十进制数应为：1×23+0×22+1×21+1×20=11．按此方式，则将十进制数6换算成二进制数应为 ．‎ 考点：有理数的混合运算。‎ 专题：新定义。‎ 分析：学会仿照例子，将十进制数6换算成二进制数．‎ 解答：解：根据给出的将二进制数1011换算成十进制数应为：1×23+0×22+1×21+1×20=11的例子，‎ 可以得出6=4+2=1×22+1×21+0×20，所以将十进制数6换算成二进制数应为110．‎ 点评：本题难度中等，考查十进制数与二进制数的转化．‎ 三、解答题（共10小题，满分90分）‎ ‎16、（2009•茂名）化简或解方程组：‎ ‎（1）‎‎（‎3‎+‎2‎）•（‎3‎﹣‎2‎）•‎2‎+‎‎（‎8‎）‎‎﹣1‎ ‎（2）‎‎&x+2y=4①‎‎&x+y=1②‎ 考点：二次根式的混合运算；负整数指数幂；解二元一次方程组。‎ 专题：计算题。‎ 分析：（1）根据平方差公式和实数的负整数次幂的意义解答．‎ ‎（2）用加减法来解答．‎ 解答：解：（1）原式=（3﹣2）×‎2‎+‎‎1‎‎8‎ ‎=‎2‎+‎2‎‎4‎=‎5‎‎2‎‎4‎；‎ ‎（2）由①﹣②得：y=3，‎ ‎∴把y=3代入①得：x=﹣2，‎ ‎∴方程组的解为‎&x=﹣2‎‎&y=3‎．‎ 点评：解（1）时，要注意二次根式的乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．二次根式的运算结果要化为最简二次根式．（2）还可用代入法来解．‎ ‎17、（2009•茂名）如图，把一个转盘分成四等份，依次标上数字：1，2，3，4，若连续自由转动转盘二次，指针指向的数字分别记作a，b，把a，b作为点A的横、纵坐标．‎ ‎（1）求点A（a，b）的个数；‎ ‎（2）求点A（a，b）在函数y=x的图象上的概率．‎ 考点：列表法与树状图法；一次函数图象上点的坐标特征。‎ 分析：‎ 依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．‎ 解答：解：‎ ‎（1）列表得：‎ 因此，点A（a，b）的个数共有16个；‎ ‎（2）若点A在y=x上，则a=b，‎ 由（1）得P‎（a=b）‎‎=‎4‎‎16‎=‎‎1‎‎4‎，‎ 因此，点A（a，b）在函数y=x图象上的概率为‎1‎‎4‎．‎ 点评：列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎18、（2009•茂名）如图，方格中有一个△ABC，请你在方格内，画出满足条件A1B1=AB，B1C1=BC，∠A1=∠A的△A1B1C1，并判断△A1B1C1与△ABC是否一定全等．‎ 考点：作图—复杂作图；全等三角形的判定。‎ 专题：网格型。‎ 分析：根据题意画出不同的三角形再进行判断．判定全等三角形的方法有（SSS，AAS，ASA，SAS，HL）五种判定方法，但SSA不能判定三角形全等．‎ 解答：解：如图所示，‎ ‎△ABC与△A1B1C1不一定全等．‎ 点评：本题考查的是全等三角形的判定定理，判定三角形全等的方法有（SSS，AAS，ASA，SAS，HL）．‎ ‎19、（2009•茂名）某校在“书香满校园”的读书活动期间，学生会组织了一次捐书活动．如图（1）是学生捐图书给图书馆的条形图，图（2）是该学校学生人数的比例分布图，已知该校学生共有1000人．‎ ‎（1）求该校学生捐图书的总本数；‎ ‎（2）问该校学生平均每人捐图书多少本？‎ 考点：条形统计图；扇形统计图；算术平均数。‎ 分析：（1）先用该校学生总人数乘以各年级所占的百分比得各年级的具体人数，再乘以各年级的人均捐书的本书得各年级的捐书数，最后把三个年级的捐书数相加得捐书的总本数；‎ ‎（2）用捐书的总本数除以总人数得该校平均每人捐图书的本数．‎ 解答：解：‎ ‎（1）九年级捐书数为：1000×30%×4=1200（本）‎ 八年级捐书数为：1000×35%×6=2100（本）‎ 七年级捐书数为：1000×35%×2=700（本）‎ ‎∴捐书总本数为：1200+2100+700=4000（本）‎ 因此，该校学生捐图书的总本数为4000本．‎ ‎（2）4000÷1000=4（本）‎ 因此，该校平均每人捐图书4本．‎ 点评：条形图能清楚地表示出每个项目的具体数目，扇形图能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比．‎ ‎20、（2009•茂名）设x1，x2是关于x的方程x2﹣4x+k+1=0的两个实数根．试问：是否存在实数k，使得x1•x2＞x1+x2成立？请说明理由．‎ ‎（温馨提示：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时，则它的两个实数根是：x‎1，2‎‎=‎‎﹣b±‎b‎2‎‎﹣4ac‎2a）‎ 考点：根与系数的关系；根的判别式。‎ 专题：开放型。‎ 分析：方程有两个实数根，必须满足△=b2﹣4ac≥0，从而求出实数k的取值范围，再利用根与系数的关系，找出其矛盾，证明出不存在符合条件的实数k．‎ 解答：解：∵方程有实数根，‎ ‎∴b2﹣4ac≥0，‎ ‎∴（﹣4）2﹣4（k+1）≥0，‎ 即k≤3．‎ 解法一：又∵x=‎4±‎‎（﹣4）‎‎2‎‎﹣4（k+1）‎‎2‎=2±‎‎3﹣k，‎ ‎∴x1+x2=（2+‎3﹣k）+（2﹣‎3﹣k）=4．‎ x1•x2=（2+‎3﹣k）•（2﹣‎3﹣k）=k+1．‎ 若x1•x2＞x1+x2，‎ 即k+1＞4，∴k＞3．‎ 而这与k≤3相矛盾，‎ 因此，不存在实数k，使得x1•x2＞x1+x2成立．‎ 解法二：又∵x1+x2=‎﹣‎ba=4，‎ x1•x2=ca=k+1（以下同解法一）．‎ 点评：一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，且a≠0），根与系数的关系是：x1+x2=‎﹣‎ba，x1x2=ca，本题运用解法二更简便．‎ ‎21、（2009•茂名）某市石化乙烯厂某车间生产甲、乙两种塑料的相关信息如下表，请你解答下列问题：‎ ‎（1）设该车间每月生产甲、乙两种塑料各x吨，利润分别为y1元和y2元，分别求y1和y2与x的函数关系式（注：利润=总收入﹣总支出）；‎ ‎（2）已知该车间每月生产甲、乙两种塑料均不超过400吨，若某月要生产甲、乙两种塑料共700吨，求该月生产甲、乙塑料各多少吨，获得的总利润最大？最大利润是多少？‎ 考点：一次函数的应用；一元一次不等式组的应用。‎ 专题：图表型。‎ 分析：（1）因为利润=总收入﹣总支出，由表格可知，y1=（2100﹣800﹣200）x=1100x，y2=（2400﹣1100﹣100）x﹣20000=1200x﹣20000；‎ ‎（2）可设该月生产甲种塑料x吨，则乙种塑料（700﹣x）吨，总利润为W元，建立W与x之间的解析式，又因甲、乙两种塑料均不超过400吨，所以x≤400，700﹣x≤400，这样就可求出x的取值范围，然后再根据函数中y随x的变化规律即可解决问题．‎ 解答：解：（1）依题意得：y1=（2100﹣800﹣200）x=1100x，（3分）‎ y2=（2400﹣1100﹣100）x﹣20000=1200x﹣20000，（6分）‎ ‎（2）设该月生产甲种塑料x吨，则乙种塑料（700﹣x）吨，总利润为W元，依题意得：‎ W=1100x+1200（700﹣x）﹣20000=﹣100x+820000.7分 ‎∵‎&x≤400‎‎&700﹣x≤400‎解得：300≤x≤400.8分 ‎∵﹣100＜0，∴W随着x的增大而减小，∴当x=300时，W最大=790000（元）．9分 此时，700﹣x=400（吨）．‎ 因此，生产甲、乙塑料分别为300吨和400吨时总利润最大，最大利润为790000元． 10分 点评：本题需仔细分析表格中的数据，建立函数解析式，值得一提的是利用不等式组求自变量的取值范围，然后再利用函数的变化规律求最值这种方法．‎ ‎22、（2009•茂名）已知：如图，直径为OA的⊙M与x轴交于点O、A，点B、C把OA分为三等份，连接MC并延长交y轴于点D（0，3）‎ ‎（1）求证：△OMD≌△BAO；‎ ‎（2）若直线l：y=kx+b把⊙M的面积分为二等份，求证：‎3‎k+b=0．‎ 考点：三角形的外接圆与外心；直角三角形全等的判定。‎ 专题：证明题。‎ 分析：题目涉及的范围包括三角形，圆形和直线等知识，范围比较广，要细心分析，认真领会题目意思．‎ 解答：证明：‎ ‎（1）连接BM，∵B、C把OA三等分，∴∠1=∠5=60°，1分 又∵OM=BM，∴∠2=‎1‎‎2‎∠5=30°，2分 又∵OA为⊙M直径，∴∠ABO=90°，∴AB=‎1‎‎2‎OA=OM，∠3=60°，3分 ‎∴∠1=∠3，∠DOM=∠ABO=90°，4分 在△OMD和△BAO中，‎&∠1=∠3‎‎&OM=AB‎&∠DOM=∠ABO5分 ‎∴△OMD≌△BAO（ASA）．6分 ‎（2）若直线l把⊙M的面积分为二等份，‎ 则直线l必过圆心M，7分 ‎∵D（0，3），∠1=60°，‎ ‎∴OM=ODtan60°‎=‎3‎‎3‎=‎‎3‎，‎ ‎∴M（‎3‎，0）‎，8分 把M（‎3‎，0）代入y=kx+b得：‎3‎k+b=0.10分 点评：这种题目是在中考大题经常出现的综合性题，平时要多做类似的题目，练习多了也不算难．‎ ‎23、（2009•茂名）据茂名市某移动公司统计，该公司2006年底手机用户的数量为50万部，2008年底手机用户的数量达72万部．请你解答下列问题：‎ ‎（1）求2006年底至2008年底手机用户数量的年平均增长率；‎ ‎（2）由于该公司扩大业务，要求到2010年底手机用户的数量不少于103.98万部，据调查，估计从2008年底起，手机用户每年减少的数量是上年底总数量的5%，那么该公司每年新增手机用户的数量至少要多少万部？（假定每年新增手机用户的数量相同）‎ 考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用。‎ 专题：增长率问题。‎ 分析：（1）考查数量平均变化率问题，解题的关键是正确列出一元二次方程．原来的数量为a，设平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a×（1±x），再经过第二次调整就是a×（1±x）（1±x）=a（1±x）2．增长用“+”，下降用“﹣”；‎ ‎（2）设该公司每年新增手机用户的数量至少要y万部，则2009年手机用户数量=2008年手机用户数量﹣2009年手机用户减少的数量+新增手机用户的数量，即是72×（1﹣5%）+y，同样2010年的手机数量为：2009年手机用户数量×（1﹣5%）+y≥103.98，由此可以求出结果．‎ 解答：解：（1）设2006年底至2008年底手机用户的数量年平均增长率为x，‎ 依题意得50（1+x）2=72，‎ ‎∴1+x=±1.2，‎ ‎∴x1=0.2，x2=﹣2.2（不合题意，舍去），‎ ‎∴2006年底至2008年底手机用户的数量年平均增长率为20%；‎ ‎（2）设每年新增手机用户的数量为y万部，‎ 依题意得[72（1﹣5%）+y]（1﹣5%）+y≥103.98，‎ 即（68.4+y）•0.95+y≥103.98，‎ ‎68.4×0.95+0.95y+y≥103.98，‎ ‎64.98+1.95y≥103.98，‎ ‎1.95y≥39，‎ ‎∴y≥20（万部）．‎ ‎∴每年新增手机用户数量至少要20万部．‎ 点评：此题主要考查了增长率的问题．对于此类问题，同学们关键要搞清数量变化与变化率的关系．‎ ‎24、（2009•茂名）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=60°，BC=24，点P是BC边上的动点（点P与点B、C不重合），过动点P作PD∥BA交AC于点D．‎ ‎（1）若△ABC与△DAP相似，则∠APD是多少度？‎ ‎（2）试问：当PC等于多少时，△APD的面积最大？最大面积是多少？‎ ‎（3）若以线段AC为直径的圆和以线段BP为直径的圆相外切，求线段BP的长．‎ 考点：相似三角形的性质；圆周角定理；圆与圆的位置关系；解直角三角形。‎ 专题：动点型。‎ 分析：（1）当△ABC∽△DAP时，应有∠APD=∠A或∠APD=∠C，即∠APD为30°或60°．‎ ‎（2）设PC=x，由PD∥BA，得∠BAC=∠PDC=90°，∴AC=BC•cos60°=12，CD=x•cos60°=‎1‎‎2‎x，‎ ‎∴AD=12﹣‎1‎‎2‎x，而PD=x•sin60°=‎3‎‎2‎x，∴S△APD=‎1‎‎2‎PD•AD把PD，AD的值代入，得到S△APD=﹣‎3‎‎8‎（x﹣12）2+18‎3‎．‎ ‎∴PC等于12时，△APD的面积最大，最大面积是18‎3‎．‎ ‎（3）设以BP和AC为直径的圆心分别为O1、O2，过O2作O2E⊥BC于点E，设⊙O1的半径为x，则BP=2x，AC=12，‎ ‎∴O2C=6，∴CE=6•cos60°=3．∴由勾股定理得，O2E=‎6‎‎2‎‎﹣‎‎3‎‎2‎‎=3‎‎3‎，O1E=21﹣x，‎ 由于⊙O1和⊙O2外切，则圆心距O1O2=x+6．在Rt△O1O2E中，有O1O22=O2E2+O1E2，即（x+6）2=（21﹣x）2+（3‎3‎）2，求解得到x的值，进而求得BP的值．‎ 解答：解：（1）当△ABC与△DAP相似时，‎ ‎∠APD的度数是60°或30°．‎ ‎（2）设PC=x，‎ ‎∵PD∥BA，∠BAC=90°，‎ ‎∴∠PDC=90°，‎ 又∵∠C=60°，‎ ‎∴AC=24•cos60°=12，‎ CD=x•cos60°=‎1‎‎2‎x，‎ ‎∴AD=12﹣‎1‎‎2‎x，而PD=x•sin60°=‎3‎‎2‎x，‎ ‎∴S△APD=‎1‎‎2‎PD•AD=‎1‎‎2‎‎•‎‎3‎‎2‎x•（12﹣‎1‎‎2‎x）=﹣‎3‎‎8‎（x2﹣24x）‎ ‎=﹣‎3‎‎8‎（x﹣12）2+18‎3‎．‎ ‎∴PC等于12时，△APD的面积最大，最大面积是18‎3‎．‎ ‎（3）设以BP和AC为直径的圆心分别为O1、O2，过O2作O2E⊥BC于点E，‎ 设⊙O1的半径为x，则BP=2x，显然，AC=12，‎ ‎∴O2C=6，∴CE=6•cos60°=3，‎ ‎∴O2E=‎6‎‎2‎‎﹣‎‎3‎‎2‎‎=3‎‎3‎，O1E=24﹣3﹣x=21﹣x，‎ 又∵⊙O1和⊙O2外切，‎ ‎∴O1O2=x+6，‎ 在Rt△O1O2E中，有O1O22=O2E2+O1E2，‎ ‎∴（x+6）2=（21﹣x）2+（3‎3‎）2，‎ 解得：x=8，‎ ‎∴BP=2x=16．‎ 点评：本题利用了相似三角形的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的概念，勾股定理，三角形的面积公式，建立一元二次方程求解线段的长，有一定的综合性．‎ ‎25、（2009•茂名）已知：如图，直线l：y=‎1‎‎3‎x+b，经过点M（0，‎1‎‎4‎），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…，Bn（n，yn）（n为正整数）依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…An+1（xn+1，0），设x1=d（0＜d＜1）．‎ ‎（1）求b的值；‎ ‎（2）求经过点A1、B1、A2的抛物线的解析式（用含d的代数式表示）；‎ ‎（3）定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．探究：当d（0＜d＜1）的大小变化时，这组抛物线中是否存在美丽抛物线？若存在，请你求出相应的d的值．‎ 考点：二次函数综合题。‎ 专题：压轴题。‎ 分析：（1）把（0，‎1‎‎4‎）代入y=‎1‎‎3‎x+b中，可求出b的值；‎ ‎（2）由（1）可得函数解析式，y=‎1‎‎3‎x+‎1‎‎4‎，把（1，y1）代入一次函数式，可求出y1，根据图象可知，经过A1、B1、A2的二次函数的顶点就是B1，故其对称轴就是x=1，那么可设函数解析式为：y=a（x﹣1）2+‎7‎‎12‎，再把A1的值代入函数式，可求出a的值，那么就可得到二次函数的解析式；‎ ‎（3）存在．根据抛物线的对称性，可知所得直角三角形必是等腰直角三角形，斜边上的高等于斜边的一半，再由d的取值范围，可知斜边小于2，再把x=1，x=2，x=3…代入一次函数中，可求出相应y的值，看哪些小于1，即是所求，然后再求出d的相应数值．‎ 解答：解：‎ ‎（1）∵M（0，‎1‎‎4‎）在y=‎1‎‎3‎x+b上，‎ ‎∴‎1‎‎4‎=‎1‎‎3‎×0+b，‎ ‎∴b=‎1‎‎4‎；（2分）‎ ‎（2）由（1）得：y=‎1‎‎3‎x+‎1‎‎4‎，‎ ‎∵B1（1，y1）在l上，‎ ‎∴当x=1时，y‎1‎‎=‎1‎‎3‎×1+‎1‎‎4‎=‎‎7‎‎12‎，‎ ‎∴B‎1‎‎（1，‎7‎‎12‎）‎．（3分）‎ 解法一：‎ ‎∴设抛物线表达式为：y=a（x﹣1）2+‎7‎‎12‎（a≠0），（4分）‎ 又∵x1=d，‎ ‎∴A1（d，0），‎ ‎∴0=a（d﹣1）2+‎7‎‎12‎，‎ ‎∴a=﹣‎7‎‎12‎‎（d﹣1）‎‎2‎，（5分）‎ ‎∴经过点A1、B1、A2的抛物线的解析式为：‎ y=﹣‎7‎‎12‎‎（d﹣1）‎‎2‎（x﹣1）2+‎7‎‎12‎．（6分）‎ 解法二：‎ ‎∵x1=d，‎ ‎∴A1（d，0），A2（2﹣d，0），‎ ‎∴设y=a（x﹣d）•（x﹣2+d）（a≠0），（4分）‎ 把B‎1‎‎（1，‎7‎‎12‎）‎代入：‎7‎‎12‎=a（1﹣d）•（1﹣2+d），‎ 得a=﹣‎‎7‎‎12‎‎（d﹣1）‎‎2‎，（5分）‎ ‎∴抛物线的解析式为y=﹣‎7‎‎12‎‎（d﹣1）‎‎2‎（x﹣d）•（x﹣2+d）；（6分）‎ ‎（3）存在美丽抛物线．（7分）‎ 由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰直角三角形，‎ ‎∴此等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，‎ 又∵0＜d＜1，‎ ‎∴等腰直角三角形斜边的长小于2，‎ ‎∴等腰直角三角形斜边上的高必小于1，即抛物线的顶点的纵坐标必小于1．‎ ‎∵当x=1时，y‎1‎‎=‎1‎‎3‎×1+‎1‎‎4‎=‎7‎‎12‎＜1‎，‎ 当x=2时，y‎2‎‎=‎1‎‎3‎×2+‎1‎‎4‎=‎11‎‎12‎＜1‎，‎ 当x=3时，y‎3‎‎=‎1‎‎3‎×3+‎1‎‎4‎=1‎1‎‎4‎＞1‎，‎ ‎∴美丽抛物线的顶点只有B1、B2．（8分）‎ ‎①若B1为顶点，由B‎1‎‎（1，‎7‎‎12‎）‎，则d=1﹣‎7‎‎12‎=‎‎5‎‎12‎；（9分）‎ ‎②若B2为顶点，由B‎2‎‎（2，‎11‎‎12‎）‎，则d=1﹣[（2﹣‎11‎‎12‎）﹣1]=‎‎11‎‎12‎，‎ 综上所述，d的值为‎5‎‎12‎或‎11‎‎12‎时，存在美丽抛物线．（10分）‎ 点评：本题主要考查了利用了二次函数的对称性，以及等腰直角三角形的性质，要结合图形进行分析．‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：‎ zhjh；zcx；zhehe；wdxwwzy；hbxglhl；137-hui；HJJ；CJX；zhangCF；yu123；开心；lzhzkkxx；ZJX；lanyan；lanchong；智波；shenzigang；mmll852；lf2-9；csiya；lanyuemeng；hnaylzhyk；wenming；lihongfang；mama258；ELSA；wdxwzk；张长洪；wangcen。（排名不分先后）‎ ‎2011年2月19日