初三数学试卷 2009

初三数学试卷 2009

北京市西城区2009年抽样测试 初三数学试卷 2009．6‎ 考生须知 ‎1．本试卷共4页，共五道大题，25道小题，满分120分，考试时间120分钟。‎ ‎2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称和姓名。‎ ‎3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。‎ ‎4．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题(本题共32分，每小题4分)‎ ‎1．－5的绝对值等于 A．5 B．－‎5 ‎C． D．－‎ ‎2．27的平方根等于 A．3 B．‎3‎ C．±3 D．±3‎ ‎3．若两圆的半径分别为‎1cm和‎5cm，圆心距为‎4cm，则这两圆的位置关系是 A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 ‎4．用配方法将代数式a2＋‎4a－5变形，结果正确的是 A．(a＋2)2－1 B．(a＋2)2－‎5 ‎C．(a＋2)2＋4 D．(a＋2)2－9‎ ‎5．若圆锥的底面半径为‎3cm，母线为‎6cm，则圆锥的侧面积等于 A．36πcm2 B．27πcm‎2 ‎C．18πcm2 D．9πcm2‎ ‎6．如图，⊙O中，弦AB的长为2，OC⊥AB于C，OC＝1．若从⊙O外一点P作⊙O的两条切线，切点恰好分别为A、B，则∠APB的度数等于 A．120° B．90° C．60° D．45°‎ ‎7．如图，菱形ABCD中，∠A＝30°，AD＝2，若菱形FBCE与菱形ABCD关于BC所在直线对称，则平行线AD与FE间的距离等于 A．2 B．‎3 ‎C．2 D．4‎ ‎8．已知关于x的一次函数y＝(k－)x＋，其中实数k满足0＜k＜1．当自变量x在1≤x≤2的范围内变化时，此函数的最大值为 A． B．‎2 ‎C．k D．2k－‎ 二、填空题(本题共16分，每小题4分)‎ ‎9．若分式的值为0，则x的值为________．‎ ‎10．如图，矩形ABCD中，两条对角线的交点为O，若OA＝5，AB＝6，则AD＝________．‎ ‎11．在函数y＝中，自变量x的取值范围是________．‎ ‎12．如图，在平面直角坐标系xOy中，B1(0，1)，B2(0，3)，B3(0，6)，B4(0，10)，…，以B1B2为对角线作第一个正方形A1B‎1C1B2，以B2B3为对角线作第二个正方形A2B‎2C2B3，以B3B4为对角线作第三个正方形A3B‎3C3B4，…，如果所作正方形的对角线BnBn＋1都在y轴上，且BnBn＋1的长度依次增加1个单位，顶点An都在第一象限内(n≥1，且n为整数)，那么A1的纵坐标为________；用n的代数式表示An的纵坐标：________．‎ 三、解答题(本题共30分，每小题5分)‎ ‎13．先化简，再求值：，其中x＝－3，y＝2.‎ ‎14．解二元一次方程组 ‎15．已知关于x的一元二次方程2x2－7x＋‎3m＝0(其中m为实数)有实数根．‎ ‎(1)求m的取值范围；‎ ‎(2)若m为正整数，求此方程的根．‎ ‎16．如图，矩形ABCD中，E、F点分别在BC、AD边上，∠DAE＝∠BCF．‎ 求证：△ABE≌△CDF．‎ ‎17．已知直线y＝mx＋n经过抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点P(1，7)，与抛物线的另一个交点为M(0，6)，求直线与抛物线的解析式．‎ ‎18．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝‎2cm，∠A＝60°．将△ABC沿AB 边所在直线向右平移，记平移后它的对应三角形为△DEF．‎ ‎(1)若将△ABC沿直线AB向右平移‎3cm，求此时梯形CAEF的面积；‎ ‎(2)若使平移后得到的△CDF是直角三角形，则△ABC平移的距离应为________cm．‎ 四、解答题(本题共20分，第19题6分，第20题5分，第21题5分，第22题4分)‎ ‎19．某地一商场贴出“五一”期间的促销海报，内容如图所示．某校一个课外实践活动小组的同学在商场促销活动期间，在该商场门口随机调查了参与促销活动的部分顾客抽奖的情况，以下是根据其中200人次的抽奖情况画出的统计图的一部分：‎ ‎ ‎ ‎(1)补全获奖情况频数统计图；‎ ‎(2)求所调查的200人次抽奖的中奖率；‎ ‎(3)如果促销活动期间商场每天约有2 000人次抽奖，请根据调查情况估计，该商场一天送出的购物券的总金额是多少元?‎ ‎20．列方程解应用题：‎ 某城市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1 ‎500米的管道，为了尽量减少施工对交通造成的影响，实际施工时，工作效率比原计划提高了20％，结果提前2天完成了任务．求实际每天铺设了多少米管道．‎ ‎21．如图，等腰△ABC中，AC＝BC，⊙O为△ABC的外接圆，D为上一点，CE⊥AD于E．‎ 求证：AE＝BD＋DE．‎ ‎22．以下两图是一个等腰Rt△ABC和一个等边△DEF，要求把它们分别分割成三个三角形，使分得的三个三角形互相没有重叠部分，并且△ABC中分得的三个小三角形和△DEF中分得的三个小三角形分别相似．请画出两个三角形中的分割线，标出分割得到的小三角形中两个角的度数．‎ ‎ ‎ 五、解答题(本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分)‎ ‎23．如图，正方形ABCD的边长为4，E为CD的中点，F为AD边上一点，且不与点D重合，AF＝a．‎ ‎(1)判断四边形BCEF的面积是否存在最大或最小值，若存在，求出最大或最小值；若不存在，请说明理由；‎ ‎(2)若∠BFE＝∠FBC，求tan∠AFB的值；‎ ‎(3)在(2)的条件下，若将“E为CD的中点”改为“CE＝k·DE”，其中k为正整数，其它条件不变，请直接写出tan∠AFB的值．‎ ‎(用k的代数式表示)‎ ‎24．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为A(0，1)，与x轴的一个交点B的坐标为(2，0)．点P在抛物线上，它的横坐标为2n(0＜n＜1)，作PC⊥x轴于C，PC交射线AB于点D．‎ ‎(1)求抛物线的解析式；‎ ‎(2)用n的代数式表示CD、PD的长，并通过计算说明与的大小关系；‎ ‎(3)若将原题中“0＜n＜‎1”‎的条件改为“n＞‎1”‎，其它条件不变，请通过计算说明(2)中的结论是否仍然成立．‎ ‎25．△ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP＝BA，若0°＜∠PBC＜180°，且∠PBC平分线上的一点D满足DB＝DA，‎ ‎(1)当BP与BA重合时(如图1)，∠BPD＝________°；‎ ‎(2)当BP在∠ABC的内部时(如图2)，求∠BPD的度数；‎ ‎(3)当BP在∠ABC的外部时，请你直接写出∠BPD的度数，并画出相应的图形．‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ 北京市西城2009年抽样测试 初三数学试卷答案及评分参考 2009．6‎ 阅卷须知：‎ ‎1．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。‎ ‎2．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分。‎ 一、选择题(本题共32分，每小题4分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 A D A D C B C C 二、填空题(本题共16分，每小题4分)‎ 题号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 ‎－2‎ ‎8‎ x≥2‎ ‎2‎ 三、解答题(本题共30分，每小题5分)‎ ‎13．解：‎ ‎……………………………………………………………1分 ‎…………………………………………………………………………2分 ‎…………………………………………………………………………3分 ‎．…………………………………………………………………………………4分 当x＝－3，y＝2时，x＋y＝－，x－y＝－5，．‎ ‎……………………………………………………………………………………………5分 ‎14．解：‎ 由①得y＝3x－7．③………………………………………………………………………1分 把③代入②，得5x＋2(3x－7)＝8．‎ 解得x＝2．…………………………………………………………………………………3分 把x＝2代入③，得y＝－1．……………………………………………………………4分 ‎∴原方程组的解为……………………………………………………………5分 ‎15．解：(1)∵关于x的一元二次方程2x2－7x＋‎3m＝0(其中m为实数)有实数根，‎ ‎△＝(－7)2－4×2×‎3m＝49－‎24m，‎ ‎∴49－‎24m≥0．…………………………………………………………………1分 解得m≤．……………………………………………………………………2分 ‎(2)当m为正整数时，m＝1或m＝2．……………………………………………3分 当m＝1时，原方程化为2x2－7x＋3＝0，解得x1＝，x2＝3；……………4分 当m＝2时，原方程化为2x2－7x＋6＝0，解得x1＝，x2＝2．……………5分 ‎16．证明：如图1．‎ 图1‎ ‎∵矩形ABCD，‎ ‎∴AB＝CD，………………………………………………………………………………1分 ‎∠BAD＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°．…………………………………………………2分 ‎∵∠DAE＝∠BCF，‎ ‎∴∠BAD－∠DAE＝∠BCD－∠BCF，‎ 即∠BAE＝∠DCF．………………………………………………………………………3分 在△ABE和△CDF中，‎ ‎………………………………………………………………………4分 ‎∴△ABE≌△CDF．………………………………………………………………………5分 ‎17．解：(1)∵直线y＝mx＋n经过点P(1，7)、M(0，6)，‎ ‎……………………………………………………………………1分 解得 ‎∴直线的解析式为y＝x＋6．…………………………………………………2分 ‎∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为P(1，7)，‎ ‎∴ y＝a(x－1)2＋7．…………………………………………………………3分 ‎∵抛物线经过点M(0，6)，‎ ‎∴a(0－1)2＋7＝6．解得a＝－1．……………………………………………4分 ‎∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋6．………………………………………5分 ‎18．解：(1)如图2，作CG⊥AB于G．……………………………………………………1分 图2‎ ‎∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，∠A＝60°，‎ ‎，CG＝AC·sin 60°＝(cm)．…………………2分 ‎∵△DEF是将△ABC沿AB边所在直线向右平移‎3cm得到，‎ ‎∴AD＝CF＝BE＝3(cm)，AE＝AB＋BE＝7(cm)．‎ ‎ .…………………3分 ‎(2)△ABC平移的距离应为1或‎4cm．……………………………………………5分 四、解答题(本题共20分，第19题6分，第20题5分，第21题5分，第22题4分)‎ ‎19．解：(1)答案见右图；……………………………………………………………………2分 ‎(2)所调查的200人次抽奖的中奖率为．……………………4分 ‎(3)‎ ‎＝13350(元)．…………………………………………………………………6分 答：根据调查情况估计，该商场一天送出的购物券的总金额是13350元．‎ ‎20．解：设原计划每天铺设了x米管道．……………………………………………………1分 则实际每天铺设了(1＋20％)x米管道．‎ 由题意得．…………………………………………………2分 整理，得．‎ 解得x＝125．…………………………………………………………………………3分 经检验，x＝125是原方程的解．……………………………………………………4分 所以(米)．‎ 答：实际每天铺设了‎150米管道．………………………………………………………5分 ‎21．证明：如图3，在AE上截取AF＝BD，连结CF、CD．‎ 图3‎ 在△ACF和△BCD中，‎ ‎………………………………………………………………1分 ‎∴△ACF≌△BCD．………………………………………………………………2分 ‎∴CF＝CD．………………………………………………………………………3分 ‎∵CE⊥AD于E，‎ ‎∴EF＝DE．………………………………………………………………………4分 ‎∴AE＝AF＋EF＝BD＋DE．……………………………………………………5分 ‎22．答案不唯一，以下四个答案供参考：‎ 答案一： 答案二：‎ ‎ ‎ 答案三： 答案四：‎ ‎ ‎ 说明：各图中第一对相似三角形画正确得2分，三对相似三角形全部画正确得4分 五、解答题(本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分)‎ ‎23．解：(1)如图4，S四边形BCEF＝S正方形ABCD－S△ABF－S△DEF＝‎ ‎＝12－a．……………………………………………………1分 图4‎ ‎∵F为AD边上一点，且不与点D重合，‎ ‎∴0≤a＜4．‎ ‎∴当点F与点A重合时，a＝0，S四边形BCEF存在最大值12；…………………2分 S四边形BCEF不存在最小值．………………………………………………………3分 ‎(2)如图5，延长BC、FE交于点P．……………………………………………4分 图5‎ ‎∵正方形ABCD，‎ ‎∴AD∥BC．‎ ‎∴△DEF∽△CEP．‎ ‎∵E为CD的中点，‎ ‎，PE＝2EF．‎ ‎∵∠BFE＝∠FBC，‎ ‎∴PB＝PF．‎ ‎∵AF＝a，‎ ‎∴PC＝DF＝4－a，PB＝PF＝8－a，．‎ ‎∵Rt△DEF中，EF2＝DE2＋DF2，‎ 整理，得‎3a2－‎16a＋16＝0．‎ 解得a1＝，a2＝4．……………………………………………………………5分 ‎∵F点不与D点重合，‎ ‎∴a＝4不成立，a＝，．……………………………6分 ‎(3)tan∠AFB＝2k＋1．(k为正整数) ……………………………………………7分 ‎24．解：(1)如图6．‎ 图6‎ ‎∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为A(0，1)，经过(2，0)点，‎ ‎∴y＝ax2＋1，……………………………………………………………………1分 又‎4a＋1＝0．‎ 解得a＝－．‎ ‎∴抛物线的解析式为y＝－x2＋1．…………………………………………２分 ‎(2)设直线AB的解析式为y＝kx＋b．‎ ‎∵A(0，1)，B(2，0)，‎ 解得 ‎∴直线AB的解析式为y＝－x＋1．…………………………………………3分 ‎∵点P在抛物线上，它的横坐标为2n(0＜n＜1)，‎ ‎∴点P的坐标为(2n，1－n2)，且点P在第一象限．‎ 又∵PC⊥x轴于C，PC交射线AB于点D，‎ ‎∴xD＝OC＝2n，yD＝×2n＋1＝1－n，且点D在第一象限．‎ ‎∴CD＝1－n．……………………………………………………………………4分 PD＝yP－yD＝(1－n2)－(1－n)＝n－n2＝n(1－n)．………………………5分 ‎∵0＜n＜1，‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎．……………………………………………………………………6分 ‎(3)当n＞1时，P、D两点在第四象限，且P点在D点下方(如图7)，yD＞yp．‎ 点P的坐标为(2n，1－n2)．‎ 图7‎ ‎∵xD＝OC＝2n，‎ ‎∴yD＝－×2n＋1＝1－n．‎ ‎∵D点在第四象限，‎ ‎∴CD＝－yD＝n－1，‎ PD＝yD－yP＝(1－n)－(1－n2)＝n(n－1)．……………………………………7分 ‎∵n＞1，‎ ‎．‎ ‎，‎ 仍然成立．…………………………………………………………8分 ‎25．解：(1)∠BPD＝30°；……………………………………………………………………1分 ‎(2)如图8，连结CD．………………………………………………………………2分 图8‎ 解一：∵点D在∠PBC的平分线上，‎ ‎∴∠1＝∠2．‎ ‎∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴BA＝BC＝AC，∠ACB＝60°．‎ ‎∵BP＝BA，‎ ‎∴BP＝BC．‎ ‎∵BD＝BD，‎ ‎∴△PBD≌△CBD．‎ ‎∴∠BPD＝∠3．……………………………………………………………3分 ‎∵DB＝DA，BC＝AC，CD＝CD，‎ ‎∴△BCD≌△ACD．‎ ‎∴∠3＝∠4＝∠ACB＝30°．……………………………………………4分 ‎∴∠BPD＝30°．……………………………………………………………5分 解二：∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴BA＝BC＝AC．‎ ‎∵DB＝DA，‎ ‎∴CD垂直平分AB．‎ ‎∴∠3＝∠4＝∠ACB＝30°．……………………………………………3分 ‎∵BP＝BA，‎ ‎∴BP＝BC．‎ ‎∵点D在∠PBC的平分线上，‎ ‎∴△PBD与△CBD关于BD所在直线对称．‎ ‎∴∠BPD＝∠3．……………………………………………………………4分 ‎∴∠BPD＝30°．……………………………………………………………5分 ‎(3)∠BPD＝30°或150°．‎ 图形见图9、图10．…………………………………………………………………7分 说明：①两种情况各得1分；‎ ‎②图9中，BD在∠ABC内部或外部的情况只需画出一种即可．‎ 或 ‎ 图9 图10‎