初三数学试卷 2009

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文档介绍

初三数学试卷 2009

北京市西城区2009年抽样测试 初三数学试卷 2009.6‎ 考生须知 ‎1.本试卷共4页,共五道大题,25道小题,满分120分,考试时间120分钟。‎ ‎2.在试卷和答题卡上认真填写学校名称和姓名。‎ ‎3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。‎ ‎4.考试结束,请将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题(本题共32分,每小题4分)‎ ‎1.-5的绝对值等于 A.5 B.-‎5 ‎C. D.-‎ ‎2.27的平方根等于 A.3 B.‎3‎ C.±3 D.±3‎ ‎3.若两圆的半径分别为‎1cm和‎5cm,圆心距为‎4cm,则这两圆的位置关系是 A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 ‎4.用配方法将代数式a2+‎4a-5变形,结果正确的是 A.(a+2)2-1 B.(a+2)2-‎5 ‎C.(a+2)2+4 D.(a+2)2-9‎ ‎5.若圆锥的底面半径为‎3cm,母线为‎6cm,则圆锥的侧面积等于 A.36πcm2 B.27πcm‎2 ‎C.18πcm2 D.9πcm2‎ ‎6.如图,⊙O中,弦AB的长为2,OC⊥AB于C,OC=1.若从⊙O外一点P作⊙O的两条切线,切点恰好分别为A、B,则∠APB的度数等于 A.120° B.90° C.60° D.45°‎ ‎7.如图,菱形ABCD中,∠A=30°,AD=2,若菱形FBCE与菱形ABCD关于BC所在直线对称,则平行线AD与FE间的距离等于 A.2 B.‎3 ‎C.2 D.4‎ ‎8.已知关于x的一次函数y=(k-)x+,其中实数k满足0<k<1.当自变量x在1≤x≤2的范围内变化时,此函数的最大值为 A. B.‎2 ‎C.k D.2k-‎ 二、填空题(本题共16分,每小题4分)‎ ‎9.若分式的值为0,则x的值为________.‎ ‎10.如图,矩形ABCD中,两条对角线的交点为O,若OA=5,AB=6,则AD=________.‎ ‎11.在函数y=中,自变量x的取值范围是________.‎ ‎12.如图,在平面直角坐标系xOy中,B1(0,1),B2(0,3),B3(0,6),B4(0,10),…,以B1B2为对角线作第一个正方形A1B‎1C1B2,以B2B3为对角线作第二个正方形A2B‎2C2B3,以B3B4为对角线作第三个正方形A3B‎3C3B4,…,如果所作正方形的对角线BnBn+1都在y轴上,且BnBn+1的长度依次增加1个单位,顶点An都在第一象限内(n≥1,且n为整数),那么A1的纵坐标为________;用n的代数式表示An的纵坐标:________.‎ 三、解答题(本题共30分,每小题5分)‎ ‎13.先化简,再求值:,其中x=-3,y=2.‎ ‎14.解二元一次方程组 ‎15.已知关于x的一元二次方程2x2-7x+‎3m=0(其中m为实数)有实数根.‎ ‎(1)求m的取值范围;‎ ‎(2)若m为正整数,求此方程的根.‎ ‎16.如图,矩形ABCD中,E、F点分别在BC、AD边上,∠DAE=∠BCF.‎ 求证:△ABE≌△CDF.‎ ‎17.已知直线y=mx+n经过抛物线y=ax2+bx+c的顶点P(1,7),与抛物线的另一个交点为M(0,6),求直线与抛物线的解析式.‎ ‎18.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=‎2cm,∠A=60°.将△ABC沿AB 边所在直线向右平移,记平移后它的对应三角形为△DEF.‎ ‎(1)若将△ABC沿直线AB向右平移‎3cm,求此时梯形CAEF的面积;‎ ‎(2)若使平移后得到的△CDF是直角三角形,则△ABC平移的距离应为________cm.‎ 四、解答题(本题共20分,第19题6分,第20题5分,第21题5分,第22题4分)‎ ‎19.某地一商场贴出“五一”期间的促销海报,内容如图所示.某校一个课外实践活动小组的同学在商场促销活动期间,在该商场门口随机调查了参与促销活动的部分顾客抽奖的情况,以下是根据其中200人次的抽奖情况画出的统计图的一部分:‎ ‎ ‎ ‎(1)补全获奖情况频数统计图;‎ ‎(2)求所调查的200人次抽奖的中奖率;‎ ‎(3)如果促销活动期间商场每天约有2 000人次抽奖,请根据调查情况估计,该商场一天送出的购物券的总金额是多少元?‎ ‎20.列方程解应用题:‎ 某城市在道路改造过程中,需要铺设一条长为1 ‎500米的管道,为了尽量减少施工对交通造成的影响,实际施工时,工作效率比原计划提高了20%,结果提前2天完成了任务.求实际每天铺设了多少米管道.‎ ‎21.如图,等腰△ABC中,AC=BC,⊙O为△ABC的外接圆,D为上一点,CE⊥AD于E.‎ 求证:AE=BD+DE.‎ ‎22.以下两图是一个等腰Rt△ABC和一个等边△DEF,要求把它们分别分割成三个三角形,使分得的三个三角形互相没有重叠部分,并且△ABC中分得的三个小三角形和△DEF中分得的三个小三角形分别相似.请画出两个三角形中的分割线,标出分割得到的小三角形中两个角的度数.‎ ‎ ‎ 五、解答题(本题共22分,第23题7分,第24题8分,第25题7分)‎ ‎23.如图,正方形ABCD的边长为4,E为CD的中点,F为AD边上一点,且不与点D重合,AF=a.‎ ‎(1)判断四边形BCEF的面积是否存在最大或最小值,若存在,求出最大或最小值;若不存在,请说明理由;‎ ‎(2)若∠BFE=∠FBC,求tan∠AFB的值;‎ ‎(3)在(2)的条件下,若将“E为CD的中点”改为“CE=k·DE”,其中k为正整数,其它条件不变,请直接写出tan∠AFB的值.‎ ‎(用k的代数式表示)‎ ‎24.如图,抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A(0,1),与x轴的一个交点B的坐标为(2,0).点P在抛物线上,它的横坐标为2n(0<n<1),作PC⊥x轴于C,PC交射线AB于点D.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)用n的代数式表示CD、PD的长,并通过计算说明与的大小关系;‎ ‎(3)若将原题中“0<n<‎1”‎的条件改为“n>‎1”‎,其它条件不变,请通过计算说明(2)中的结论是否仍然成立.‎ ‎25.△ABC是等边三角形,P为平面内的一个动点,BP=BA,若0°<∠PBC<180°,且∠PBC平分线上的一点D满足DB=DA,‎ ‎(1)当BP与BA重合时(如图1),∠BPD=________°;‎ ‎(2)当BP在∠ABC的内部时(如图2),求∠BPD的度数;‎ ‎(3)当BP在∠ABC的外部时,请你直接写出∠BPD的度数,并画出相应的图形.‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ 北京市西城2009年抽样测试 初三数学试卷答案及评分参考 2009.6‎ 阅卷须知:‎ ‎1.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。‎ ‎2.若考生的解法与本解法不同,正确者可参照评分参考给分。‎ 一、选择题(本题共32分,每小题4分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 A D A D C B C C 二、填空题(本题共16分,每小题4分)‎ 题号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 ‎-2‎ ‎8‎ x≥2‎ ‎2‎ 三、解答题(本题共30分,每小题5分)‎ ‎13.解:‎ ‎……………………………………………………………1分 ‎…………………………………………………………………………2分 ‎…………………………………………………………………………3分 ‎.…………………………………………………………………………………4分 当x=-3,y=2时,x+y=-,x-y=-5,.‎ ‎……………………………………………………………………………………………5分 ‎14.解:‎ 由①得y=3x-7.③………………………………………………………………………1分 把③代入②,得5x+2(3x-7)=8.‎ 解得x=2.…………………………………………………………………………………3分 把x=2代入③,得y=-1.……………………………………………………………4分 ‎∴原方程组的解为……………………………………………………………5分 ‎15.解:(1)∵关于x的一元二次方程2x2-7x+‎3m=0(其中m为实数)有实数根,‎ ‎△=(-7)2-4×2×‎3m=49-‎24m,‎ ‎∴49-‎24m≥0.…………………………………………………………………1分 解得m≤.……………………………………………………………………2分 ‎(2)当m为正整数时,m=1或m=2.……………………………………………3分 当m=1时,原方程化为2x2-7x+3=0,解得x1=,x2=3;……………4分 当m=2时,原方程化为2x2-7x+6=0,解得x1=,x2=2.……………5分 ‎16.证明:如图1.‎ 图1‎ ‎∵矩形ABCD,‎ ‎∴AB=CD,………………………………………………………………………………1分 ‎∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°.…………………………………………………2分 ‎∵∠DAE=∠BCF,‎ ‎∴∠BAD-∠DAE=∠BCD-∠BCF,‎ 即∠BAE=∠DCF.………………………………………………………………………3分 在△ABE和△CDF中,‎ ‎………………………………………………………………………4分 ‎∴△ABE≌△CDF.………………………………………………………………………5分 ‎17.解:(1)∵直线y=mx+n经过点P(1,7)、M(0,6),‎ ‎……………………………………………………………………1分 解得 ‎∴直线的解析式为y=x+6.…………………………………………………2分 ‎∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点为P(1,7),‎ ‎∴ y=a(x-1)2+7.…………………………………………………………3分 ‎∵抛物线经过点M(0,6),‎ ‎∴a(0-1)2+7=6.解得a=-1.……………………………………………4分 ‎∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+6.………………………………………5分 ‎18.解:(1)如图2,作CG⊥AB于G.……………………………………………………1分 图2‎ ‎∵Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,∠A=60°,‎ ‎,CG=AC·sin 60°=(cm).…………………2分 ‎∵△DEF是将△ABC沿AB边所在直线向右平移‎3cm得到,‎ ‎∴AD=CF=BE=3(cm),AE=AB+BE=7(cm).‎ ‎ .…………………3分 ‎(2)△ABC平移的距离应为1或‎4cm.……………………………………………5分 四、解答题(本题共20分,第19题6分,第20题5分,第21题5分,第22题4分)‎ ‎19.解:(1)答案见右图;……………………………………………………………………2分 ‎(2)所调查的200人次抽奖的中奖率为.……………………4分 ‎(3)‎ ‎=13350(元).…………………………………………………………………6分 答:根据调查情况估计,该商场一天送出的购物券的总金额是13350元.‎ ‎20.解:设原计划每天铺设了x米管道.……………………………………………………1分 则实际每天铺设了(1+20%)x米管道.‎ 由题意得.…………………………………………………2分 整理,得.‎ 解得x=125.…………………………………………………………………………3分 经检验,x=125是原方程的解.……………………………………………………4分 所以(米).‎ 答:实际每天铺设了‎150米管道.………………………………………………………5分 ‎21.证明:如图3,在AE上截取AF=BD,连结CF、CD.‎ 图3‎ 在△ACF和△BCD中,‎ ‎………………………………………………………………1分 ‎∴△ACF≌△BCD.………………………………………………………………2分 ‎∴CF=CD.………………………………………………………………………3分 ‎∵CE⊥AD于E,‎ ‎∴EF=DE.………………………………………………………………………4分 ‎∴AE=AF+EF=BD+DE.……………………………………………………5分 ‎22.答案不唯一,以下四个答案供参考:‎ 答案一: 答案二:‎ ‎ ‎ 答案三: 答案四:‎ ‎ ‎ 说明:各图中第一对相似三角形画正确得2分,三对相似三角形全部画正确得4分 五、解答题(本题共22分,第23题7分,第24题8分,第25题7分)‎ ‎23.解:(1)如图4,S四边形BCEF=S正方形ABCD-S△ABF-S△DEF=‎ ‎=12-a.……………………………………………………1分 图4‎ ‎∵F为AD边上一点,且不与点D重合,‎ ‎∴0≤a<4.‎ ‎∴当点F与点A重合时,a=0,S四边形BCEF存在最大值12;…………………2分 S四边形BCEF不存在最小值.………………………………………………………3分 ‎(2)如图5,延长BC、FE交于点P.……………………………………………4分 图5‎ ‎∵正方形ABCD,‎ ‎∴AD∥BC.‎ ‎∴△DEF∽△CEP.‎ ‎∵E为CD的中点,‎ ‎,PE=2EF.‎ ‎∵∠BFE=∠FBC,‎ ‎∴PB=PF.‎ ‎∵AF=a,‎ ‎∴PC=DF=4-a,PB=PF=8-a,.‎ ‎∵Rt△DEF中,EF2=DE2+DF2,‎ 整理,得‎3a2-‎16a+16=0.‎ 解得a1=,a2=4.……………………………………………………………5分 ‎∵F点不与D点重合,‎ ‎∴a=4不成立,a=,.……………………………6分 ‎(3)tan∠AFB=2k+1.(k为正整数) ……………………………………………7分 ‎24.解:(1)如图6.‎ 图6‎ ‎∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A(0,1),经过(2,0)点,‎ ‎∴y=ax2+1,……………………………………………………………………1分 又‎4a+1=0.‎ 解得a=-.‎ ‎∴抛物线的解析式为y=-x2+1.…………………………………………2分 ‎(2)设直线AB的解析式为y=kx+b.‎ ‎∵A(0,1),B(2,0),‎ 解得 ‎∴直线AB的解析式为y=-x+1.…………………………………………3分 ‎∵点P在抛物线上,它的横坐标为2n(0<n<1),‎ ‎∴点P的坐标为(2n,1-n2),且点P在第一象限.‎ 又∵PC⊥x轴于C,PC交射线AB于点D,‎ ‎∴xD=OC=2n,yD=×2n+1=1-n,且点D在第一象限.‎ ‎∴CD=1-n.……………………………………………………………………4分 PD=yP-yD=(1-n2)-(1-n)=n-n2=n(1-n).………………………5分 ‎∵0<n<1,‎ ‎.‎ ‎,‎ ‎.……………………………………………………………………6分 ‎(3)当n>1时,P、D两点在第四象限,且P点在D点下方(如图7),yD>yp.‎ 点P的坐标为(2n,1-n2).‎ 图7‎ ‎∵xD=OC=2n,‎ ‎∴yD=-×2n+1=1-n.‎ ‎∵D点在第四象限,‎ ‎∴CD=-yD=n-1,‎ PD=yD-yP=(1-n)-(1-n2)=n(n-1).……………………………………7分 ‎∵n>1,‎ ‎.‎ ‎,‎ 仍然成立.…………………………………………………………8分 ‎25.解:(1)∠BPD=30°;……………………………………………………………………1分 ‎(2)如图8,连结CD.………………………………………………………………2分 图8‎ 解一:∵点D在∠PBC的平分线上,‎ ‎∴∠1=∠2.‎ ‎∵△ABC是等边三角形,‎ ‎∴BA=BC=AC,∠ACB=60°.‎ ‎∵BP=BA,‎ ‎∴BP=BC.‎ ‎∵BD=BD,‎ ‎∴△PBD≌△CBD.‎ ‎∴∠BPD=∠3.……………………………………………………………3分 ‎∵DB=DA,BC=AC,CD=CD,‎ ‎∴△BCD≌△ACD.‎ ‎∴∠3=∠4=∠ACB=30°.……………………………………………4分 ‎∴∠BPD=30°.……………………………………………………………5分 解二:∵△ABC是等边三角形,‎ ‎∴BA=BC=AC.‎ ‎∵DB=DA,‎ ‎∴CD垂直平分AB.‎ ‎∴∠3=∠4=∠ACB=30°.……………………………………………3分 ‎∵BP=BA,‎ ‎∴BP=BC.‎ ‎∵点D在∠PBC的平分线上,‎ ‎∴△PBD与△CBD关于BD所在直线对称.‎ ‎∴∠BPD=∠3.……………………………………………………………4分 ‎∴∠BPD=30°.……………………………………………………………5分 ‎(3)∠BPD=30°或150°.‎ 图形见图9、图10.…………………………………………………………………7分 说明:①两种情况各得1分;‎ ‎②图9中,BD在∠ABC内部或外部的情况只需画出一种即可.‎ 或 ‎ 图9 图10‎
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