福建专版2020中考数学复习方案第五单元四边形课时训练28矩形

福建专版2020中考数学复习方案第五单元四边形课时训练28矩形

课时训练(二十八)　矩形 ‎(限时:40分钟)‎ ‎|夯实基础|‎ ‎1.[2019·重庆A卷]下列命题正确的是 (　　)‎ A.有一个角是直角的平行四边形是矩形 B.四条边相等的四边形是矩形 C.有一组邻边相等的平行四边形是矩形 D.对角线相等的四边形是矩形 ‎2.[2018·内江]如图K28-1,将矩形ABCD沿对角线BD折叠,点C落在点E处,BE交AD于点F,已知∠BDC=62°,则∠DFE的度数为 (　　)‎ 图K28-1‎ A.31° B.28° ‎ C.62° D.56°‎ ‎3.[2017·绵阳]如图K28-2,矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,过点O作BD的垂线分别交AD,BC于E,F两点.若AC=2‎3‎,∠AEO=120°,则FC的长度为 (　　)‎ 图K28-2‎ A.1 B.2 ‎ C.‎2‎ D.‎‎3‎ ‎4.[2019·眉山]如图K28-3,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E,交BC于点F,则DE的长是 (　　)‎ 图K28-3‎ A.1 B.‎7‎‎4‎ C.2 D.‎‎12‎‎5‎ ‎5.[2019·徐州]如图K28-4,矩形ABCD中,AC,BD交于点O,M,N分别为BC,OC的中点.若MN=4,则AC的长 8‎ 为　　　　. ‎ 图K28-4‎ ‎6.[2018·龙东地区]如图K28-5,在平行四边形ABCD中,添加一个条件　　　　,使平行四边形ABCD是矩形. ‎ 图K28-5‎ ‎7.[2019·仙桃]矩形的周长等于40,则此矩形面积的最大值是　　　　. ‎ ‎8.[2019·潍坊]如图K28-6,在矩形ABCD中,AD=2.将∠A向内翻折,点A落在BC上,记为A',折痕为DE.若将∠B沿EA'向内翻折,点B恰好落在DE上,记为B',则AB=　　　　. ‎ 图K28-6‎ ‎9.[2019·云南]如图K28-7,四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO=OC,BO=OD,且∠AOB=2∠OAD.‎ ‎(1)求证:四边形ABCD是矩形;‎ ‎(2)若∠AOB∶∠ODC=4∶3,求∠ADO的度数.‎ 图K28-7‎ 8‎ ‎|能力提升|‎ ‎10.[2019·台州]如图K28-8,有两张矩形纸片ABCD和EFGH,AB=EF=2 cm,BC=FG=8 cm,把纸片ABCD交叉叠放在纸片EFGH上,使重叠部分为平行四边形,且点D与点G重合,当两张纸片交叉所成的角α最小时,tanα等于 (　　)‎ 图K28-8‎ A.‎1‎‎4‎ B.‎1‎‎2‎ C.‎8‎‎17‎ D.‎‎8‎‎15‎ ‎11.[2019·桂林]将矩形ABCD按如图K28-9所示的方式折叠,BE,EG,FG为折痕,若顶点A,C,D都落在点O处,且点B,O,G在同一条直线上,同时点E,O,F在另一条直线上,则ADAB的值为 (　　)‎ 图K28-9‎ A.‎6‎‎5‎ B.‎2‎ C.‎3‎‎2‎ D.‎‎3‎ ‎12.[2018·江西]如图K28-10,在矩形ABCD中,AD=3,将矩形ABCD绕点A逆时针旋转,得到矩形AEFG,点B的对应点E落在CD上,且DE=EF,则AB的长为　　　　. ‎ 图K28-10‎ ‎13.[2019·天水]如图K28-11,在矩形ABCD中,AB=3,AD=5,点E在DC上,将矩形ABCD沿AE折叠,点D恰好落在BC边上的点F处,那么sin∠EFC的值为　　　　. ‎ 图K28-11‎ ‎14.[2019·龙东地区]如图K28-12,矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点P是矩形ABCD内一动点,且S△PAB=‎1‎‎2‎S△PCD,则PC+PD的最小值是　　　　. ‎ 图K28-12‎ 8‎ ‎|思维拓展|‎ ‎15.[2018·漳州一模]如图K28-13,在矩形ABCD中,点A在x轴上,点B的坐标为(1,0),且C,D两点在函数y=x+1(x≥0),‎‎-‎1‎‎2‎x+1(x<0)‎的图象上,若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是 (　　)‎ 图K28-13‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎3‎‎8‎ C.‎1‎‎4‎ D.‎‎1‎‎6‎ ‎16.[2019·杭州]如图K28-14,把某矩形纸片ABCD沿EF,GH折叠(点E,H在AD边上,点F,G在BC边上),使点B和点C落在AD边上同一点P处,A点的对称点为A'点,D点的对称点为D'点,若∠FPG=90°,△A'EP的面积为4,△D'PH的面积为1,则矩形ABCD的面积等于　　　　. ‎ 图K28-14‎ ‎17.[2018·临沂]将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°<α<360°),得到矩形AEFG.‎ ‎(1)如图K28-15,当点E在BD上时,求证:FD=CD.‎ ‎(2)当α为何值时,GC=GB?画出图形,并说明理由.‎ 图K28-15‎ 8‎ ‎【参考答案】‎ ‎1.A　[解析]根据矩形的定义,易知选项A正确,另外,对角线互相平分且相等的四边形是矩形;三个角是直角的四边形是矩形;对角线相等的平行四边形是矩形.‎ ‎2.D ‎3.A ‎4.B　[解析]连接CE,∵四边形ABCD是矩形,∴∠ADC=90°,OC=OA,AD=BC=8,DC=AB=6,∵EF⊥AC,OA=OC,∴AE=CE,在Rt△DEC中,DE2+DC2=CE2,即DE2+36=(8-DE)2,解得DE=‎7‎‎4‎,故选B.‎ ‎5.16‎ ‎6.答案不唯一,如∠ABC=90°或AC=BD等　[解析]判定一个平行四边形是矩形,常见的有两种思路,一是根据有一个角是直角的平行四边形是矩形;二是根据对角线相等的平行四边形是矩形.‎ ‎7.100‎ ‎8.‎‎3‎ ‎9.解:(1)证明:∵AO=OC,BO=OD,‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形.‎ ‎∵∠AOB是△AOD的外角,‎ ‎∴∠AOB=∠OAD+∠ADO.‎ 又∵∠AOB=2∠OAD,‎ ‎∴∠OAD=∠ADO.∴AO=OD.‎ ‎∵AC=AO+OC=2AO,BD=BO+OD=2OD,∴AC=BD,‎ ‎∴四边形ABCD是矩形.‎ ‎(2)设∠AOB=4x,则∠ODC=3x,∠ODC=∠OCD=3x.‎ 在△ODC中,∠DOC+∠OCD+∠CDO=180°,‎ ‎∴4x+3x+3x=180°,解得x=18°.‎ ‎∴∠ODC=3×18°=54°.‎ ‎∴∠ADO=90°-∠ODC=90°-54°=36°.‎ ‎10.D　[解析]当点B与点E重合时,重叠部分为平行四边形且α最小,‎ ‎∵两张矩形纸片全等,∴重叠部分为菱形,设FM=x,∴EM=MD=8-x,EF=2,‎ 在Rt△EFM中,EF2+FM2=EM2,即22+x2=(8-x)2,解得x=‎15‎‎4‎,∴tanα=EFFM=‎8‎‎15‎,故选D.‎ 8‎ ‎11.B　[解析]由折叠可得,AE=OE=DE,CG=OG=DG,‎ ‎∴E,G分别为AD,CD的中点,‎ 设CD=2a,AD=2b,则AB=2a=OB,DG=OG=CG=a,BG=3a,BC=AD=2b,‎ ‎∵∠C=90°,‎ ‎∴在Rt△BCG中,CG2+BC2=BG2,‎ 即a2+(2b)2=(3a)2,‎ ‎∴b2=2a2,‎ 即b=‎2‎a,‎ ‎∴ba=‎2‎,‎ ‎∴ADAB的值为‎2‎,‎ 故选B.‎ ‎12.3‎2‎　[解析]∵AD=EF=DE=3,∠D=90°,‎ ‎∴AE2=AD2+DE2=18,∴AE=AB=‎18‎=3‎2‎.‎ ‎13.‎4‎‎5‎　[解析]∵四边形ABCD为矩形,‎ ‎∴AD=BC=5,AB=CD=3,‎ ‎∵矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上的F处,‎ ‎∴AF=AD=5,EF=DE,‎ 在Rt△ABF中,BF=AF‎2‎-AB‎2‎=4,‎ ‎∴CF=BC-BF=5-4=1,‎ 设CE=x,则DE=EF=3-x,‎ 在Rt△ECF中,‎ ‎∵CE2+FC2=EF2,‎ ‎∴x2+12=(3-x)2,‎ 解得x=‎4‎‎3‎,‎ ‎∴EF=3-x=‎5‎‎3‎,‎ ‎∴sin∠EFC=CEEF=‎4‎‎5‎.‎ 故答案为:‎4‎‎5‎.‎ ‎14.4‎5‎　[解析]过点P作直线l∥AB,交AD于E,作点D关于直线l的对称点D1,连接CD1,∵S△PAB=‎1‎‎2‎S△PCD,∴AE=‎ 8‎ ‎1‎‎2‎DE,∴DE=4,AE=2.∵矩形ABCD中,AB=4,BC=6,∴CD=4,DD1=2DE=8,在Rt△CDD1中,由勾股定理得CD1=4‎5‎,∴PC+PD的最小值是4‎5‎.‎ ‎15.C　[解析]由题意可得B(1,0),把x=1代入y=x+1可得y=2,即C(1,2),‎ 把x=0代入y=x+1可得y=1,即图中阴影三角形的第3个顶点为(0,1),‎ 令-‎1‎‎2‎x+1=2,解得x=-2,即D(-2,2),‎ ‎∴矩形ABCD的面积S=3×2=6,‎ 阴影三角形的面积S'=‎1‎‎2‎×3×1=‎3‎‎2‎,‎ ‎∴所求概率P=S'‎S=‎1‎‎4‎.‎ 故选C.‎ ‎16.10+6‎5‎　[解析]∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴AB=CD,AD=BC,设AB=CD=x,由翻折可知:PA'=AB=x,PD'=CD=x,‎ ‎∵△A'EP的面积为4,△D'PH的面积为1,‎ 且△A'EP∽△D'PH,‎ ‎∴A'PD'H=2.‎ 设D'H=a,则A'P=2a,∴x=2a,‎ ‎∴PA'=PD'=2a,‎ ‎∵‎1‎‎2‎·a·2a=1,∴a=1(a=-1舍去),‎ ‎∴x=2,∴AB=CD=2,PE=‎2‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎=2‎5‎,PH=‎1‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎=‎5‎,‎ ‎∴AD=4+2‎5‎‎+‎‎5‎+1=5+3‎5‎,‎ ‎∴矩形ABCD的面积=2×(5+3‎5‎)=10+6‎5‎.故答案为10+6‎5‎.‎ ‎17.解:(1)证明:如图①,连接AF.‎ ‎①‎ 由四边形ABCD是矩形,结合旋转可得BD=AF,∠EAF=∠ABD.‎ ‎∵AB=AE,‎ ‎∴∠ABD=∠AEB,‎ ‎∴∠EAF=∠AEB,‎ 8‎ ‎∴BD∥AF,‎ ‎∴四边形BDFA是平行四边形,‎ ‎∴FD=AB.‎ ‎∵AB=CD,∴FD=CD.‎ ‎(2)当α=60°或300°时,GC=GB.理由:‎ 如图②,当点G位于BC的垂直平分线上,且在BC的右边时,易知点G也是AD的垂直平分线上的点,‎ ‎②‎ ‎∴DG=AG.‎ 又∵AG=AD,‎ ‎∴△ADG是等边三角形,‎ ‎∴∠DAG=60°,‎ ‎∴α=60°.‎ 如图③,当点G位于BC的垂直平分线上,且在BC的左边时,‎ ‎③‎ 同理,△ADG是等边三角形,‎ ‎∴∠DAG=60°.‎ 此时α=300°.‎ 综上所述,当α为60°或300°时,GC=GB.‎ 8‎