决胜2020中考数学压轴题全揭秘上专题03一元二次方程及应用试题

决胜2020中考数学压轴题全揭秘上专题03一元二次方程及应用试题

专题03一元二次方程及应用 ‎【考点1】一元二次方程的根的求值问题 ‎【例1】（2019•兰州）x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2a+4b＝（　　）‎ A．﹣2 B．﹣3 C．﹣1 D．﹣6‎ ‎【答案】A ‎【解析】把x＝1代入方程x2+ax+2b＝0得1+a+2b＝0，‎ 所以a+2b＝﹣1，‎ 所以2a+4b＝2（a+2b）＝2×（﹣1）＝﹣2．‎ 故选：A．‎ 点睛:本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．‎ ‎【变式1-1】（2019•遂宁）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a的值为（　　）‎ A．0 B．±1 C．1 D．﹣1‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，‎ ‎∴a2﹣1＝0，且a﹣1≠0，‎ 则a的值为：a＝﹣1．‎ 故选：D．‎ 点睛:此题主要考查了一元二次方程的解，注意二次项系数不能为零．‎ ‎【变式1-2】（2019•甘肃）若一元二次方程x2﹣2kx+k2＝0的一根为x＝﹣1，则k的值为（　　）‎ A．﹣1 B．0 C．1或﹣1 D．2或0‎ ‎【答案】A ‎【解析】把x＝﹣1代入方程得：1+2k+k2＝0，‎ 解得：k＝﹣1，‎ 故选：A．‎ 点睛:此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．‎ ‎【考点2】配方法解一元二次方程 ‎【例2】（2019•南通）用配方法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（　　）‎ A．（x+4）2＝﹣9 B．（x+4）2＝﹣7 C．（x+4）2＝25 D．（x+4）2＝7‎ ‎【答案】D ‎【解析】方程x2+8x+9＝0，整理得：x2+8x＝﹣9，‎ 配方得：x2+8x+16＝7，即（x+4）2＝7，‎ 故选：D．‎ 点睛:此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．‎ ‎【变式2-1】（2019•金华）用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果正确的是（　　）‎ A．（x﹣3）2＝17 B．（x﹣3）2＝14 C．（x﹣6）2＝44 D．（x﹣3）2＝1‎ ‎【答案】A ‎【解析】用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果为（x﹣3）2＝17，‎ 故选：A．‎ 点睛:此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．‎ ‎【考点3】因式分解法解一元二次方程 ‎【例3】（2019•桂林）一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝0的根是　 　．‎ ‎【答案】x1＝3，x2＝2‎ ‎【解析】x﹣3＝0或x﹣2＝0，‎ 所以x1＝3，x2＝2．‎ 故答案为x1＝3，x2＝2．‎ 点睛:本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．‎ ‎【变式3-1】（2019•十堰）对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m﹣3）＝24，则m＝　 　．‎ ‎【答案】﹣3或4‎ ‎【解析】根据题意得[（m+2）+（m﹣3）]2﹣[（m+2）﹣（m﹣3）]2＝24，‎ ‎（2m﹣1）2﹣49＝0，‎ ‎（2m﹣1+7）（2m﹣1﹣7）＝0，‎ ‎2m﹣1+7＝0或2m﹣1﹣7＝0，‎ 所以m1＝﹣3，m2＝4．‎ 故答案为﹣3或4．‎ 点睛:本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．‎ ‎【变式3-2】（2019•扬州）一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的根是　 ．‎ ‎【答案】x1＝2，x2＝1．‎ ‎【解析】x（x﹣2）＝x﹣2，‎ x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，‎ ‎（x﹣2）（x﹣1）＝0，‎ x﹣2＝0，x﹣1＝0，‎ x1＝2，x2＝1，‎ 故答案为：x1＝2，x2＝1．‎ 点睛:本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．‎ ‎【考点4】一元二次方程的判别式问题 ‎【例4】（2019•铁岭）若关于x的一元二次方程ax2﹣8x+4＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是　 ．‎ ‎【答案】a＜4且a≠0　‎ ‎【解析】由题意可知：△＝64﹣16a＞0，‎ ‎∴a＜4，‎ ‎∵a≠0，‎ ‎∴a＜4且a≠0，‎ 故答案为：a＜4且a≠0‎ 点睛:本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．‎ ‎【变式4-1】（2019•宁夏）已知一元二次方程3x2+4x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围　 ．‎ ‎【答案】k．‎ ‎【解析】∵方程3x2+4x﹣k＝0有两个不相等的实数根，‎ ‎∴△＞0，即42﹣4×3×（﹣k）＞0，‎ 解得k，‎ 故答案为：k．‎ 点睛:本题考查根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．‎ ‎【变式4-2】（2019•黄石）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有实数根．‎ ‎（1）求m的取值范围；‎ ‎（2）若该方程的两个实数根为x1、x2，且|x1﹣x2|＝4，求m的值．‎ ‎【解析】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有实数根，‎ ‎∴△＝（﹣6）2﹣4×1×（4m+1）≥0，‎ 解得：m≤2．‎ ‎（2）∵方程x2﹣6x+（4m+1）＝0的两个实数根为x1、x2，‎ ‎∴x1+x2＝6，x1x2＝4m+1，‎ ‎∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝42，即32﹣16m＝16，‎ 解得：m＝1．‎ 点睛:本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合|x1﹣x2|＝4，找出关于m的一元一次方程．‎ ‎【考点5】一元二次方程的根与系数的关系问题 ‎【例5】（2019•十堰）已知于x的元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2．‎ ‎（1）求a的取值范围；‎ ‎（2）若x12+x22﹣x1x2≤30，且a为整数，求a的值．‎ ‎【答案】(1) a＜2；(2) ﹣1，0，1．‎ ‎【解析】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2，‎ ‎∴△＞0，即（﹣6）2﹣4（2a+5）＞0，‎ 解得a＜2；‎ ‎（2）由根与系数的关系知：x1+x2＝6，x1x2＝2a+5，‎ ‎∵x1，x2满足x12+x22﹣x1x2≤30，‎ ‎∴（x1+x2）2﹣3x1x2≤30，‎ ‎∴36﹣3（2a+5）≤30，‎ ‎∴a，∵a为整数，‎ ‎∴a的值为﹣1，0，1．‎ 点睛:本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，利用根的判别式求得k的取值范围是解题的关键，注意方程根的定义的运用．‎ ‎【变式5-1】（2019•绥化）已知关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有实数根．‎ ‎（1）求k的取值范围；‎ ‎（2）若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，当x1+x2+x1x2＝4时，求k的值．‎ ‎【答案】(1) k的取值范围为k ‎(2) k的值为1．‎ ‎【解析】（1）当k＝0时，原方程为﹣3x+1＝0，‎ 解得：x，‎ ‎∴k＝0符合题意；‎ 当k≠0时，原方程为一元二次方程，‎ ‎∵该一元二次方程有实数根，‎ ‎∴△＝（﹣3）2﹣4×k×1≥0，‎ 解得：k．‎ 综上所述，k的取值范围为k．‎ ‎（2）∵x1和x2是方程kx2﹣3x+1＝0的两个根，‎ ‎∴x1+x2，x1x2．‎ ‎∵x1+x2+x1x2＝4，‎ ‎∴4，‎ 解得：k＝1，‎ 经检验，k＝1是分式方程的解，且符合题意．‎ ‎∴k的值为1．‎ 点睛:本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的定义、解一元一次方程以及解分式方程，解题的关键是：（1）分k＝0及k≠0两种情况，找出k的取值范围；（2）利用根与系数的关系结合x1+x2+x1x2＝4，找出关于k的分式方程．‎ ‎【考点6】一元二次方程的增长率问题 ‎【例6】（2019•大连）某村2016年的人均收入为20000元，2018年的人均收入为24200元 ‎（1）求2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率；‎ ‎（2）假设2019年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2019年村该村的人均收入是多少元？‎ ‎【答案】(1) 2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为10%‎ ‎(2) 预测2019年村该村的人均收入是26620元 ‎【解析】（1）设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为x，‎ 根据题意得：20000（1+x）2＝24200，‎ 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．‎ 答：2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为10%．‎ ‎（2）24200×（1+10%）＝26620（元）．‎ 答：预测2019年村该村的人均收入是26620元．‎ 点睛:本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．‎ ‎【变式6-1】（2019•贺州）2016年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2018年，家庭年人均纯收入达到了3600元．‎ ‎（1）求该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率；‎ ‎（2）若年平均增长率保持不变，2019年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到4200元？‎ ‎【答案】(1) 该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20%‎ ‎(2) 2019年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到4200元 ‎【解析】（1）设该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，‎ 依题意，得：2500（1+x）2＝3600，‎ 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．‎ 答：该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20%．‎ ‎（2）3600×（1+20%）＝4320（元），‎ ‎4320＞4200．‎ 答：2019年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到4200元．‎ 点睛:本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．‎ ‎【考点7】一元二次方程的面积问题 ‎【例7】（2019•徐州）如图，有一块矩形硬纸板，长30cm，宽20cm．在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2？‎ ‎【答案】当剪去正方形的边长为cm时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2．‎ ‎【解析】设剪去正方形的边长为xcm，则做成无盖长方体盒子的底面长为（30﹣2x）cm，宽为（20﹣2x）cm，高为xcm，‎ 依题意，得：2×[（30﹣2x）+（20﹣2x）]x＝200，‎ 整理，得：2x2﹣25x+50＝0，‎ 解得：x1，x2＝10．‎ 当x＝10时，20﹣2x＝0，不合题意，舍去．‎ 答：当剪去正方形的边长为cm时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2．‎ 点睛:本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．‎ ‎【变式7-1】（2019•襄阳）改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（AD）16m ‎，宽（AB）9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112m2，则小路的宽应为多少？‎ ‎【答案】小路的宽应为1m．‎ ‎【解析】设小路的宽应为xm，‎ 根据题意得：（16﹣2x）（9﹣x）＝112，‎ 解得：x1＝1，x2＝16．‎ ‎∵16＞9，‎ ‎∴x＝16不符合题意，舍去，‎ ‎∴x＝1．‎ 答：小路的宽应为1m．‎ 点睛:本题考查一元二次方程的应用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键．‎ ‎【考点8】一元二次方程的销售问题 ‎【例8】（2019•东营）为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？‎ ‎【答案】这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公司每天可获利32000元．‎ ‎【解析】设降价后的销售单价为x元，则降价后每天可售出[300+5（200﹣x）]个，‎ 依题意，得：（x﹣100）[300+5（200﹣x）]＝32000，‎ 整理，得：x2﹣360x+32400＝0，‎ 解得：x1＝x2＝180．‎ ‎180＜200，符合题意．‎ 答：这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公司每天可获利32000元．‎ 点睛:本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．‎ ‎【变式8-1】（2019•‎ 安顺）安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：‎ ‎（1）求y与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？‎ ‎【答案】商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元．‎ ‎【解析】（1）设一次函数解析式为：y＝kx+b 当x＝2，y＝120；当x＝4，y＝140；‎ ‎∴，‎ 解得：，‎ ‎∴y与x之间的函数关系式为y＝10x+100；‎ ‎（2）由题意得：‎ ‎（60﹣40﹣x）（10 x+100）＝2090，‎ 整理得：x2﹣10x+9＝0，‎ 解得：x1＝1．x2＝9，‎ ‎∵让顾客得到更大的实惠，‎ ‎∴x＝9，‎ 答：商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元．‎ 点睛:本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用；由题意列出方程组或方程是解题的关键．‎ ‎1．（2019•滨州）用配方法解一元二次方程x2﹣4x+1＝0时，下列变形正确的是（　　）‎ A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝5 C．（x+2）2＝3 D．（x﹣2）2＝3‎ ‎【答案】D ‎【解析】x2﹣4x+1＝0，‎ x2﹣4x＝﹣1，‎ x2﹣4x+4＝﹣1+4，‎ ‎（x﹣2）2＝3，‎ 故选：D．‎ 点睛:本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．‎ ‎2．（2019•营口）若关于x的方程kx2﹣x0有实数根，则实数k的取值范围是（　　）‎ A．k＝0 B．k且k≠0 C．k D．k ‎【答案】C ‎【解析】当k≠0时，△＝1+4k1+3k≥0，‎ ‎∴k，‎ ‎∴k且k≠0，‎ 当k＝0时，‎ 此时方程为﹣x0，满足题意，‎ 故选：C．‎ 点睛:本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解根的判别式，本题属于基础题型．‎ ‎3．（2019•丹东）等腰三角形一边长为2，它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的两个实数根，则k的值是（　　）‎ A．8 B．9 C．8或9 D．12‎ ‎【答案】B ‎【解析】当等腰三角形的底边为2时，‎ 此时关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的有两个相等实数根，‎ ‎∴△＝36﹣4k＝0，‎ ‎∴k＝9，‎ 此时两腰长为3，‎ ‎∵2+3＞3，‎ ‎∴k＝9满足题意，‎ 当等腰三角形的腰长为2时，‎ 此时x＝2是方程x2﹣6x+k＝0的其中一根，‎ ‎∴4﹣12+k＝0，‎ ‎∴k＝8，‎ 此时另外一根为：x＝4，‎ ‎∵2+2＝4，‎ ‎∴不能组成三角形，‎ 综上所述，k＝9，‎ 故选：B．‎ 点睛:本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质，本题属于中等题型．‎ ‎4．（2019•包头）已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，则m的值是（　　）‎ A．34 B．30 C．30或34 D．30或36‎ ‎【答案】A ‎【解析】当a＝4时，b＜8，‎ ‎∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，‎ ‎∴4+b＝12，‎ ‎∴b＝8不符合；‎ 当b＝4时，a＜8，‎ ‎∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，‎ ‎∴4+a＝12，‎ ‎∴a＝8不符合；‎ 当a＝b时，‎ ‎∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，‎ ‎∴12＝2a＝2b，‎ ‎∴a＝b＝6，‎ ‎∴m+2＝36，‎ ‎∴m＝34；‎ 故选：A．‎ 点睛:本题考查一元二次方程根与系数的关系；根据等腰三角形的性质进行分类讨论，结合韦达定理和三角形三边关系进行解题是关键．‎ ‎5．（2019•荆州）若一次函数y＝kx+b的图象不经过第二象限，则关于x的方程x2+kx+b＝0的根的情况是（　　）‎ A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 ‎ C．无实数根 D．无法确定 ‎【答案】A ‎【解析】∵一次函数y＝kx+b的图象不经过第二象限，‎ ‎∴k＞0，b≤0，‎ ‎∴△＝k2﹣4b＞0，‎ ‎∴方程有两个不相等的实数根．‎ 故选：A．‎ 点睛:本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．‎ ‎6．（2019•遵义）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2﹣2的值是（　　）‎ A．10 B．9 C．8 D．7‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵x1为一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根，‎ ‎∴x12﹣3x1+1＝0，‎ ‎∴x12＝3x1﹣1，‎ ‎∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3x1﹣1+3x2+x1x2﹣2＝3（x1+x2）+x1x2﹣3，‎ 根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝1，‎ ‎∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3×3+1﹣3＝7．‎ 故选：D．‎ 点睛:本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．‎ ‎7．（2019•鸡西）某校“研学”‎ 活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【答案】C ‎【解析】设这种植物每个支干长出x个小分支，‎ 依题意，得：1+x+x2＝43，‎ 解得：x1＝﹣7（舍去），x2＝6．‎ 故选：C．‎ 点睛:本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．‎ ‎8．（2019•朝阳）一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根的情况是（　　）‎ A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 ‎ C．没有实数根 D．无法判断 ‎【答案】A ‎【解析】∵△＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）＝5＞0，‎ ‎∴方程有两个不相等的两个实数根．‎ 故选：A．‎ 点睛:本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．‎ ‎9．（2019•湘潭）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝（　　）‎ A．4 B．2 C．1 D．﹣4‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，‎ ‎∴△＝（﹣4）2﹣4×1×c＝16﹣4c＝0，‎ 解得：c＝4．‎ 故选：A．‎ 点睛:本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，由方程有两个相等的实数根结合根的判别式得出关于c的一元一次方程是解题的关键．‎ ‎10．（2019•资阳）a是方程2x2＝x+4的一个根，则代数式4a2﹣2a的值是　　．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】∵a是方程2x2＝x+4的一个根，‎ ‎∴2a2﹣a＝4，‎ ‎∴4a2﹣2a＝2（2a2﹣a）＝2×4＝8．‎ 故答案为：8．‎ 点睛:此题主要考查了一元二次方程的解，正确将原式变形是解题关键．‎ ‎11.（2019•济宁）已知x＝1是方程x2+bx﹣2＝0的一个根，则方程的另一个根是　　．‎ ‎【答案】﹣2‎ ‎【解析】∵x＝1是方程x2+bx﹣2＝0的一个根，‎ ‎∴x1x22，‎ ‎∴1×x2＝﹣2，‎ 则方程的另一个根是：﹣2，‎ 故答案为﹣2．‎ 点睛:此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，得出两根之积求出另一根是解决问题的关键．‎ ‎12．（2019•抚顺）若关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是　 　．‎ ‎【答案】k≠0且k≤1‎ ‎【解析】由题意可知：△＝4﹣4k≥0，‎ ‎∴k≤1，‎ ‎∵k≠0，‎ ‎∴k≠0且k≤1，‎ 故答案为：k≠0且k≤1；‎ 点睛:本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．‎ ‎13．（2019•青海）某种药品原价每盒60元，由于医疗政策改革，价格经过两次下调后现在售价每盒48.6元，则平均每次下调的百分率为　 　．‎ ‎【答案】10%‎ ‎【解析】设平均每次降价的百分比是x，根据题意得：‎ ‎60（1﹣x）2＝48.6，‎ 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去），‎ 答：平均每次降价的百分比是10%；‎ 故答案为：10%．‎ 点睛:本题考查了一元二次方程的应用，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．‎ ‎14．某市为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁、三保障”的住房保障工作，去年已投入5亿元资金，并计划投入资金逐年增长，明年将投入7.2亿元资金用于保障性住房建设，则这两年投入资金的年平均增长率为　 　．‎ ‎【答案】20%‎ ‎【解析】设这两年中投入资金的平均年增长率是x，由题意得：‎ ‎5（1+x）2＝7.2，‎ 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意舍去）．‎ 答：这两年中投入资金的平均年增长率约是20%．‎ 故答案是：20%．‎ 点睛:本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1+年平均增长率）年数＝增长后的量．‎ ‎15．（2019•呼和浩特）用配方法求一元二次方程（2x+3）（x﹣6）＝16的实数根．‎ ‎【答案】x1，x2．‎ ‎【解析】原方程化为一般形式为2x2﹣9x﹣34＝0，‎ x2x＝17，‎ x2x17，‎ ‎（x）2，‎ x±，‎ 所以x1，x2．‎ 点睛:本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．‎ ‎16．（2019•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．‎ ‎（1）若a为正整数，求a的值；‎ ‎（2）若x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，求a的值．‎ ‎【解析】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根，‎ ‎∴△＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，‎ 解得：a＜3，‎ ‎∵a为正整数，‎ ‎∴a＝1，2；‎ ‎（2）∵x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，‎ ‎∵x12+x22﹣x1x2＝16，‎ ‎∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝16，‎ ‎∴[2（a﹣1）]2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16，‎ 解得：a1＝﹣1，a2＝6，‎ ‎∵a＜3，‎ ‎∴a＝﹣1．‎ 点睛:本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，先判断出a的取值范围，再由根与系数的关系得出方程组是解答此题的关键．‎ ‎17（2019•贵港）为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册．‎ ‎（1）求这两年藏书的年均增长率；‎ ‎（2）经统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？‎ ‎【解析】（1）设这两年藏书的年均增长率是x，‎ ‎5（1+x）2＝7.2，‎ 解得，x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去），‎ 答：这两年藏书的年均增长率是20%；‎ ‎（2）在这两年新增加的图书中，中外古典名著有（7.2﹣5）×20%＝0.44（万册），‎ 到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是：100%＝10%，‎ 答：到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%．‎ 点睛:本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答，这是一道典型的增长率问题．‎ ‎18．（2019•南京）某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50m，宽40m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3：2．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？‎ ‎【解析】设扩充后广场的长为3xm，宽为2xm，‎ 依题意得：3x•2x•100+30（3x•2x﹣50×40）＝642000‎ 解得x1＝30，x2＝﹣30（舍去）．‎ 所以3x＝90，2x＝60，‎ 答：扩充后广场的长为90m，宽为60m．‎ 点睛:题考查了列二元一次方程解实际问题的运用，总价＝单价×数量的运用，解答时找准题目中的数量关系是关键．‎ ‎19．（2019•长沙）近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》，鼓励教师参与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次．‎ ‎（1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；‎ ‎（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？‎ ‎【解析】（1）设增长率为x，根据题意，得 ‎2（1+x）2＝2.42，‎ 解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1＝10%．‎ 答：增长率为10%．‎ ‎（2）2.42（1+0.1）＝2.662（万人）．‎ 答：第四批公益课受益学生将达到2.662万人次．‎ 点睛:本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．‎ ‎20．（2019•衡阳）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．‎ ‎（1）求k的取值范围；‎ ‎（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值．‎ ‎【解析】（1）根据题意得△＝（﹣3）2﹣4k≥0，‎ 解得k；‎ ‎（2）k的最大整数为2，‎ 方程x2﹣3x+k＝0变形为x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，‎ ‎∵一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，‎ ‎∴当x＝1时，m﹣1+1+m﹣3＝0，解得m；‎ 当x＝2时，4（m﹣1）+2+m﹣3＝0，解得m＝1，‎ 而m﹣1≠0，‎ ‎∴m的值为．‎ 点睛:本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． ‎