2020九年级数学下册 第三章 圆

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2020九年级数学下册 第三章 圆

课时作业(二十一)‎ ‎[第三章 *3 垂径定理]‎ 一、选择题 ‎1.如图K-21-1,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为M,则下列结论不一定成立的是(  )‎ 图K-21-1‎ A.CM=DM B.= C.∠ACD=∠ADC D.OM=MD ‎2.如图K-21-2,⊙O的半径为5,AB为弦,半径OC⊥AB,垂足为E,若OE=3,则AB的长是(  )‎ ‎   ‎ 图K-21-2‎ A.4 B.‎6 C.8 D.10‎ ‎3.绍兴是著名的桥乡,如图K-21-3是石拱桥的示意图,桥顶到水面的距离CD为‎8 m,桥拱半径OC为‎5 m,则水面宽AB为()‎ 9‎ 图K-21-3‎ A.‎4 m B.‎5 m C.‎6 m D.‎‎8 m ‎4.2018·临安区如图K-21-4,⊙O的半径OA=6,以A为圆心,OA长为半径的弧交⊙O于点B,C,则BC的长为(  )‎ ‎  ‎ 图K-21-4‎ A.6 B.‎6 C.3 D.3 ‎5.如图K-21-5,正方形ABCD的四个顶点均在⊙O上,⊙O的直径为分米,若在这个圆内随意抛一粒豆子,则豆子落在正方形ABCD内的概率是()‎ 图K-21-5‎ A. B. C. D.2π ‎6.如图K-21-6,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,以点C为圆心、CA长为半径的圆与AB交于点D,则AD的长为(  )‎ 图K-21-6‎ A. B. C. D. ‎7.2018·安顺已知⊙O的直径CD=‎10 cm,AB是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足为M,且AB=‎8 cm,则AC的长为()‎ A.‎2 cm B.‎4 cm C.‎2 cm或‎4 cm D.‎2 cm或‎4 cm 二、填空题 ‎8.过⊙O内一点M的最长的弦长为‎10 cm,最短的弦长为‎8 cm,那么OM的长为________.‎ ‎9.如图K-21-7,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点P在第一象限内,⊙P与x轴交于点O,A,点A的坐标为(6,0),⊙P的半径为,则点P的坐标为________.‎ 9‎ 图K-21-7‎ ‎10.如图K-21-8所示,AB,AC,BC都是⊙O的弦,OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,N,如果MN=3,那么BC=________.‎ 图K-21-8‎ ‎11.如图K-21-9,将半径为2的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为________.‎ 图K-21-9‎ ‎12.小敏利用课余时间制作了一个脸盆架,如图K-21-10是它的截面图,垂直放置的脸盆与架子的交点为A,B,AB=‎40 cm,脸盆的最低点C到AB的距离为‎10 cm,则该脸盆的半径为________cm.‎ ‎   ‎ 图K-21-10‎ 三、解答题 ‎13.2018·浦东新区二模如图K-21-11,已知AB是圆O的直径,弦CD交AB于点E,∠CEA=30°,OE=4,DE=5 ,求弦CD的长及圆O的半径.‎ 图K-21-11‎ 9‎ ‎14.如图K-21-12,已知O是∠EPF的平分线上的一点,以O为圆心的圆和∠EPF的两边分别交于点A,B和C,D.‎ 求证:(1)∠OBA=∠OCD;‎ ‎(2)AB=CD.‎ 图K-21-12‎ ‎15.一个半圆形桥洞截面如图K-21-13所示,圆心为O,直径AB是河底线,弦CD是水位线,CD∥AB,且CD=‎16 m,OE⊥CD于点E.已测得sin∠DOE=.‎ ‎(1)求半径OD;‎ ‎(2)根据需要,水面要以每小时‎0.5 m的速度下降,则经过多长时间才能将水排干?‎ 图K-21-13‎ 探索存在题如图K-21-14,在半径为5的扇形AOB中,∠AOB=90°,C是弧AB上的一个动点(不与点A,B重合),OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为D,E.‎ ‎(1)当BC=6时,求线段OD的长.‎ ‎(2)在△DOE中,是否存在长度保持不变的边?如果存在,请指出并求其长度;如果不存在,请说明理由.‎ 图K-21-14‎ 9‎ 9‎ 详解详析 ‎【课时作业】‎ ‎[课堂达标]‎ ‎1.[答案] D ‎2.[解析] C 连接OA,如图.‎ ‎∵OC⊥AB,OA=5,OE=3,‎ ‎∴AE===4,‎ ‎∴AB=2AE=8.故选C.‎ ‎3.[解析] D 连接OA,∵桥拱半径OC为‎5 m,∴OA=‎5 m.∵CD=‎8 m,∴OD=8-5=3(m),∴AD==‎4 m,∴AB=2AD=2×4=8(m).‎ ‎4.[解析] A 设OA与BC相交于点D,连接AB,OB.∵AB=OA=OB=6,∴△OAB是等边三角形.又根据垂径定理可得,OA垂直平分BC,∴OD=AD=3,‎ 在Rt△BOD中,由勾股定理得BD==3 ,∴BC=6 .故选A.‎ ‎5.[答案] A ‎6.[解析] C ∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,‎ ‎∴AB===5.‎ 过点C作CM⊥AB,交AB于点M,‎ 则M为AD的中点.‎ ‎∵S△ABC=AC·BC=AB·CM,且AC=3,BC=4,AB=5,∴CM=.‎ 在Rt△ACM中,根据勾股定理,得AC2=AM2+CM2,即9=AM2+()2,‎ 解得AM=,∴AD=2AM=.故选C.‎ ‎7.[解析] C 连接AC,AO.∵⊙O的直径CD=‎10 cm,AB⊥CD,AB=‎8 cm,∴AM=AB=×8=4(cm),OD=OC=‎5 cm.当点C的位置如图(1)所示时,∵OA=‎5 cm,AM=‎4 cm,CD⊥AB,∴OM==‎3 cm,∴CM=OC+OM=5+3=8(cm),∴AC===4 (cm).当点C的位置如图(2)所示时,同理可得OM=‎3 cm,∵OC=‎5 cm,∴MC=5-3=2(cm).在Rt△AMC中,AC===2 (cm).综上所述,AC的长为‎4 cm或‎2 cm.故选C.‎ 9‎ ‎8.[答案] ‎‎3 cm ‎[解析] 由题意作图,如图所示,AB为过点M最长的弦,CD为过点M最短的弦,连接OD,‎ 则OM===3(cm).‎ ‎9.[答案] (3,2)‎ ‎[解析] 过点P作PD⊥x轴于点D,连接OP.‎ ‎∵A(6,0),PD⊥OA,∴OD=3.‎ 在Rt△OPD中,∵OP=,OD=3,∴PD===2,∴P(3,2).‎ ‎10.[答案] 6‎ ‎[解析] 由AB,AC都是⊙O的弦,OM⊥AB,ON⊥AC,根据垂径定理可知M,N分别为AB,AC的中点,∴BC=2MN=6.‎ ‎11.[答案] 2 ‎ ‎[解析] 过点O作OD⊥AB于点D,连接OA.‎ ‎∵OD⊥AB,∴AD=BD.由折叠的性质可知OD=OA=1,在Rt△OAD中,AD===,∴AB=2AD=2 .故答案为2 .‎ ‎12.[答案] 25‎ ‎[解析] 如图,设圆的圆心为O,连接OA,OC,OC与AB交于点D,设⊙O的半径为R cm.由题意得OC⊥AB,∴AD=DB=AB=‎20 cm.在Rt△AOD中,∵∠ADO=90°,∴OA2=OD2+AD2,即R2=202+(R-10)2,解得R=25.故答案为25.‎ ‎13.解:如图,过点O作OM⊥CD于点M,连接OD,‎ ‎∵∠CEA=30°,∴∠OEM=∠CEA=30°.‎ 在Rt△OEM中,∵OE=4,‎ ‎∴OM=OE=2,EM=OE·cos30°=4×=2 .‎ 9‎ ‎∵DE=5 ,‎ ‎∴DM=DE-EM=3 .‎ ‎∵OM过圆心,OM⊥CD,∴CD=2DM=6 .‎ ‎∵在Rt△DOM中,OM=2,DM=3 ,‎ ‎∴OD===.‎ 故弦CD的长为6 ,⊙O的半径为.‎ ‎14.证明:(1)过点O作OM⊥AB,ON⊥CD,垂足分别为M,N.‎ ‎∵PO平分∠EPF,OM⊥AB,ON⊥CD,‎ ‎∴OM=ON.‎ 在Rt△OMB和Rt△ONC中,‎ OM=ON,OB=OC,‎ ‎∴Rt△OMB≌Rt△ONC(HL),‎ ‎∴∠OBA=∠OCD.‎ ‎(2)由(1)得Rt△OMB≌Rt△ONC,∴BM=CN.‎ ‎∵OM⊥AB,ON⊥CD,‎ ‎∴AB=2BM,CD=2CN,∴AB=CD.‎ ‎15.[解析] (1)由OE⊥CD,根据垂径定理求出DE,解Rt△DOE可求半径OD;‎ ‎(2)在Rt△DOE中,由勾股定理求出OE,再用OE除以水面下降的速度,即可求出时间.‎ 解:(1)∵OE⊥CD于点E,CD=16 m,‎ ‎∴ED=CD=8 m.‎ 在Rt△DOE中,‎ ‎∵sin∠DOE==,∴OD=10 m.‎ ‎(2)在Rt△DOE中,OE===6(m),6÷0.5=12(时),故水面以每小时‎0.5 m的速度下降,经过12小时才能将水排干.‎ ‎[素养提升]‎ ‎[解析] (1)根据垂径定理可得BD=BC,然后只需利用勾股定理即可求出线段OD的长;(2)连接AB,如图,利用勾股定理可求出AB的长,根据垂径定理可得D和E分别是线段BC和AC的中点,根据三角形中位线定理就可得到DE=AB,即DE的长度保持不变.‎ 解:(1)∵OD⊥BC,∴BD=BC=×6=3.‎ 在Rt△ODB中,OB=5,BD=3,‎ ‎∴OD==4,‎ 即线段OD的长为4.‎ 9‎ ‎(2)存在,DE的长度保持不变.‎ 连接AB,如图,‎ ‎∵∠AOB=90°,OA=OB=5,‎ ‎∴AB==5 .‎ ‎∵OD⊥BC,OE⊥AC,‎ ‎∴D,E分别是线段BC和AC的中点,‎ ‎∴DE是△CBA的中位线,‎ ‎∴DE=AB=.‎ 9‎
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