北京市2008-2019年中考数学分类汇编一次函数与反比例函数综合pdf含解析

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第 1页（共 19页） 2008～2019 北京中考数学分类(一次函数与反比例函数综合) 一．解答题（共 11 小题） 1．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：y＝kx+1（k≠0）与直线 x＝k，直线 y＝﹣k 分别交于 点 A，B，直线 x＝k 与直线 y＝﹣k 交于点 C． （1）求直线 l 与 y 轴的交点坐标； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段 AB，BC，CA 围成的区域（不含边界） 为 W． ① 当 k＝2 时，结合函数图象，求区域 W 内的整点个数； ② 若区域 W 内没有整点，直接写出 k 的取值范围． 2．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y＝4x+4 与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B，抛物线 y＝ax2+bx ﹣3a 经过点 A，将点 B 向右平移 5 个单位长度，得到点 C． （1）求点 C 的坐标； （2）求抛物线的对称轴； （3）若抛物线与线段 BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围． 3．在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y＝ （x＞0）的图象 G 经过点 A（4，1），直线 l：y＝ +b 与图象 G 交于点 B，与 y 轴交于点 C． （1）求 k 的值； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象 G 在点 A，B 之间的部分与线段 OA， OC，BC 围成的区域（不含边界）为 W． ① 当 b＝﹣1 时，直接写出区域 W 内的整点个数； ② 若区域 W 内恰有 4 个整点，结合函数图象，求 b 的取值范围． 4．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y＝ （x＞0）的图象与直线 y＝x﹣2 交于点 A （3，m）． （1）求 k、m 的值； （2）已知点 P（n，n）（n＞0），过点 P 作平行于 x 轴的直线，交直线 y＝x﹣2 于点 M， 过点 P 作平行于 y 轴的直线，交函数 y＝ （x＞0）的图象于点 N． ① 当 n＝1 时，判断线段 PM 与 PN 的数量关系，并说明理由； ② 若 PN≥PM，结合函数的图象，直接写出 n 的取值范围． 第 2页（共 19页） 5．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，过点 A（﹣6，0）的直线 l1 与直线 l2：y＝2x 相交于 点 B（m，4）． （1）求直线 l1 的表达式； （2）过动点 P（n，0）且垂于 x 轴的直线与 l1，l2 的交点分别为 C，D，当点 C 位于点 D 上方时，写出 n 的取值范围． 6．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y＝kx+b（k≠0）与双曲线 y＝ 的一个交点为 P（2，m）， 与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B． （1）求 m 的值； （2）若 PA＝2AB，求 k 的值． 7．如图在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y＝ （x＞0）的图象与一次函数 y＝kx﹣k 的图象 的交点为 A（m，2）． （1）求一次函数的解析式； （2）设一次函数 y＝kx﹣k 的图象与 y 轴交于点 B，若点 P 是 x 轴上一点，且满足△PAB 的面积是 4，直接写出 P 点的坐标． 第 3页（共 19页） 8．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y＝﹣2x 的图象与反比例函数 y＝ 的图象 的一个交点为 A（﹣1，n）． （1）求反比例函数 y＝ 的解析式； （2）若 P 是坐标轴上一点，且满足 PA＝OA，直接写出点 P 的坐标． 9．已知反比例函数 y＝ 的图象经过点 A（﹣ ，1）． （1）试确定此反比例函数的解析式； （2）点 O 是坐标原点，将线段 OA 绕 O 点顺时针旋转 30°得到线段 OB．判断点 B 是否 在此反比例函数的图象上，并说明理由； （3）已知点 P（m， m+6）也在此反比例函数的图象上（其中 m＜0），过 P 点作 x 轴 的垂线，交 x 轴于点 M．若线段 PM 上存在一点 Q，使得△OQM 的面积是 ，设 Q 点的 纵坐标为 n，求 n2﹣2 n+9 的值． 10．如图，A、B 两点在函数 y＝ （x＞0）的图象上． （1）求 m 的值及直线 AB 的解析式； （2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出图中阴 影部分（不包括边界）所含格点的个数． 第 4页（共 19页） 11．已知：关于 x 的一元二次方程 mx2﹣（3m+2）x+2m+2＝0（m＞0）． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个实数根分别为 x1，x2（其中 x1＜x2）．若 y 是关于 m 的函数，且 y＝x2 ﹣2x1，求这个函数的解析式； （3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量 m 的取值范围满足什么条件时， y≤2m． 第 5页（共 19页） 2008～2019 北京中考数学分类(一次函数与反比例函数综合) 参考答案与试题解析 一．解答题（共 11 小题） 1．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：y＝kx+1（k≠0）与直线 x＝k，直线 y＝﹣k 分别交于 点 A，B，直线 x＝k 与直线 y＝﹣k 交于点 C． （1）求直线 l 与 y 轴的交点坐标； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段 AB，BC，CA 围成的区域（不含边界） 为 W． ① 当 k＝2 时，结合函数图象，求区域 W 内的整点个数； ② 若区域 W 内没有整点，直接写出 k 的取值范围． 【解答】解：（1）令 x＝0，y＝1， ∴直线 l 与 y 轴的交点坐标（0，1）； （2）由题意，A（k，k2+1），B（ ，﹣k），C（k，﹣k）， ① 当 k＝2 时，A（2，5），B（﹣ ，﹣2），C（2，﹣2）， 在 W 区域内有 6 个整数点：（0，0），（0，﹣1），（1，0），（1，﹣1），（1，1），（1，2）； ② 当 k＞0 时，区域内必含有坐标原点，故不符合题意； 当 k＜0 时，W 内点的横坐标在 k 到 0 之间，故﹣1≤k＜0 时 W 内无整点； 当﹣2≤k＜﹣1 时，W 内可能存在的整数点横坐标只能为﹣1，此时边界上两点坐标为 M （﹣1，﹣k）和 N（﹣1，﹣k+1），MN＝1； 当 k 不为整数时，其上必有整点，但 k＝﹣2 时，只有两个边界点为整点，故 W 内无整点； 当 k≤﹣2 时，横坐标为﹣2 的边界点为（﹣2，﹣k）和（﹣2，﹣2k+1），线段长度为﹣ k+1＞3，故必有整点． 综上所述：﹣1＜k＜0 或 k＝﹣2 时，W 内没有整数点； 2．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y＝4x+4 与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B，抛物线 y＝ax2+bx ﹣3a 经过点 A，将点 B 向右平移 5 个单位长度，得到点 C． （1）求点 C 的坐标； （2）求抛物线的对称轴； （3）若抛物线与线段 BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围． 【解答】解：（1）与 y 轴交点：令 x＝0 代入直线 y＝4x+4 得 y＝4， 第 6页（共 19页） ∴B（0，4）， ∵点 B 向右平移 5 个单位长度，得到点 C， ∴C（5，4）； （2）与 x 轴交点：令 y＝0 代入直线 y＝4x+4 得 x＝﹣1， ∴A（﹣1，0）， ∵点 B 向右平移 5 个单位长度，得到点 C， 将点 A（﹣1，0）代入抛物线 y＝ax2+bx﹣3a 中得 0＝a﹣b﹣3a，即 b＝﹣2a， ∴抛物线的对称轴 x＝﹣ ＝﹣ ＝1； （3）∵抛物线 y＝ax2+bx﹣3a 经过点 A（﹣1，0）且对称轴 x＝1， 由抛物线的对称性可知抛物线也一定过 A 的对称点（3，0）， ① a＞0 时，如图 1， 将 x＝0 代入抛物线得 y＝﹣3a， ∵抛物线与线段 BC 恰有一个公共点， ∴﹣3a＜4， a＞﹣ ， 将 x＝5 代入抛物线得 y＝12a， ∴12a≥4， a≥ ， ∴a≥ ； ② a＜0 时，如图 2， 将 x＝0 代入抛物线得 y＝﹣3a， ∵抛物线与线段 BC 恰有一个公共点， ∴﹣3a＞4， a＜﹣ ； ③ 当抛物线的顶点在线段 BC 上时，则顶点为（1，4），如图 3， 将点（1，4）代入抛物线得 4＝a﹣2a﹣3a， 解得 a＝﹣1． 第 7页（共 19页） 综上所述，a≥ 或 a＜﹣ 或 a＝﹣1． 3．在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y＝ （x＞0）的图象 G 经过点 A（4，1），直线 l：y＝ +b 与图象 G 交于点 B，与 y 轴交于点 C． （1）求 k 的值； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象 G 在点 A，B 之间的部分与线段 OA， OC，BC 围成的区域（不含边界）为 W． ① 当 b＝﹣1 时，直接写出区域 W 内的整点个数； 第 8页（共 19页） ② 若区域 W 内恰有 4 个整点，结合函数图象，求 b 的取值范围． 【解答】解：（1）把 A（4，1）代入 y＝ 得 k＝4×1＝4； （2） ① 当 b＝﹣1 时，直线解析式为 y＝ x﹣1， 解方程 ＝ x﹣1 得 x1＝2﹣2 （舍去），x2＝2+2 ，则 B（2+2 ， ）， 而 C（0，﹣1）， 如图 1 所示，区域 W 内的整点有（1，0），（2，0），（3，0），有 3 个； ② 如图 2，直线 l 在 OA 的下方时，当直线 l：y＝ +b 过（1，﹣1）时，b＝﹣ ， 且经过（5，0）， ∴区域 W 内恰有 4 个整点，b 的取值范围是﹣ ≤b＜﹣1． 如图 3，直线 l 在 OA 的上方时， ∵点（2，2）在函数 y＝ （x＞0）的图象 G， 当直线 l：y＝ +b 过（1，2）时，b＝ ， 当直线 l：y＝ +b 过（1，3）时，b＝ ， ∴区域 W 内恰有 4 个整点，b 的取值范围是 ＜b≤ ． 综上所述，区域 W 内恰有 4 个整点，b 的取值范围是﹣ ≤b＜﹣1 或 ＜b≤ ． 第 9页（共 19页） 4．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y＝ （x＞0）的图象与直线 y＝x﹣2 交于点 A （3，m）． （1）求 k、m 的值； （2）已知点 P（n，n）（n＞0），过点 P 作平行于 x 轴的直线，交直线 y＝x﹣2 于点 M， 过点 P 作平行于 y 轴的直线，交函数 y＝ （x＞0）的图象于点 N． ① 当 n＝1 时，判断线段 PM 与 PN 的数量关系，并说明理由； ② 若 PN≥PM，结合函数的图象，直接写出 n 的取值范围． 第 10页（共 19页） 【解答】解：（1）将 A（3，m）代入 y＝x﹣2， ∴m＝3﹣2＝1， ∴A（3，1）， 将 A（3，1）代入 y＝ ， ∴k＝3×1＝3， （2） ① 当 n＝1 时，P（1，1）， 令 y＝1，代入 y＝x﹣2， x﹣2＝1， ∴x＝3， ∴M（3，1）， ∴PM＝2， 令 x＝1 代入 y＝ ， ∴y＝3， ∴N（1，3）， ∴PN＝2 ∴PM＝PN， ② P（n，n），n＞0 点 P 在直线 y＝x 上， 过点 P 作平行于 x 轴的直线，交直线 y＝x﹣2 于点 M， M（n+2，n）， ∴PM＝2， 第 11页（共 19页） ∵PN≥PM， 即 PN≥2， ∵PN＝| ﹣n|， | |≥2 ∴0＜n≤1 或 n≥3 5．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，过点 A（﹣6，0）的直线 l1 与直线 l2：y＝2x 相交于 点 B（m，4）． （1）求直线 l1 的表达式； （2）过动点 P（n，0）且垂于 x 轴的直线与 l1，l2 的交点分别为 C，D，当点 C 位于点 D 上方时，写出 n 的取值范围． 【解答】解：（1）∵点 B 在直线 l2 上， ∴4＝2m， ∴m＝2，点 B（2，4） 设直线 l1 的表达式为 y＝kx+b， 第 12页（共 19页） 由题意 ，解得 ， ∴直线 l1 的表达式为 y＝ x+3． （2）由图象可知 n＜2． 6．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y＝kx+b（k≠0）与双曲线 y＝ 的一个交点为 P（2，m）， 与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B． （1）求 m 的值； （2）若 PA＝2AB，求 k 的值． 【解答】解：∵y＝ 经过 P（2，m）， ∴2m＝8， 解得：m＝4； （2）点 P（2，4）在 y＝kx+b 上， ∴4＝2k+b， ∴b＝4﹣2k， ∵直线 y＝kx+b（k≠0）与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B， ∴A（2﹣ ，0），B（0，4﹣2k）， 如图，点 A 在 x 轴负半轴，点 B 在 y 轴正半轴时， ∵PA＝2AB， ∴AB＝PB，则 OA＝OC， ∴ ﹣2＝2， 解得 k＝1； 当点 A 在 x 轴正半轴，点 B 在 y 轴负半轴时， ＝ ， 解得，k＝3． ∴k＝1 或 k＝3 第 13页（共 19页） 7．如图在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y＝ （x＞0）的图象与一次函数 y＝kx﹣k 的图象 的交点为 A（m，2）． （1）求一次函数的解析式； （2）设一次函数 y＝kx﹣k 的图象与 y 轴交于点 B，若点 P 是 x 轴上一点，且满足△PAB 的面积是 4，直接写出 P 点的坐标． 【解答】解：（1）将 A（m，2）代入 y＝ （x＞0）得， m＝2， 则 A 点坐标为 A（2，2）， 将 A（2，2）代入 y＝kx﹣k 得，2k﹣k＝2， 解得 k＝2，则一次函数解析式为 y＝2x﹣2； （2）∵一次函数 y＝2x﹣2 与 x 轴的交点为 C（1，0），与 y 轴的交点为 B（0，﹣2）， S△ABP＝S△ACP+S△BPC， ∴ ×2CP+ ×2CP＝4， 解得 CP＝2， 则 P 点坐标为（3，0），（﹣1，0）． 第 14页（共 19页） 8．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y＝﹣2x 的图象与反比例函数 y＝ 的图象 的一个交点为 A（﹣1，n）． （1）求反比例函数 y＝ 的解析式； （2）若 P 是坐标轴上一点，且满足 PA＝OA，直接写出点 P 的坐标． 【解答】解：（1）∵点 A（﹣1，n）在一次函数 y＝﹣2x 的图象上． ∴n＝﹣2×（﹣1）＝2 ∴点 A 的坐标为（﹣1，2） ∵点 A 在反比例函数的图象上． ∴k＝﹣2 ∴反比例函数的解析式是 y＝﹣ ． （2）方法一： ∵A（﹣1，2）， ∴OA＝ ＝ ， ∵点 P 在坐标轴上， ∴当点 P 在 x 轴上时设 P（x，0）， ∵PA＝OA， ∴ ＝ ，解得 x＝﹣2； 第 15页（共 19页） 当点 P 在 y 轴上时，设 P（0，y）， ∴ ＝ ，解得 y＝4； 当点 P 在坐标原点，则 P（0，0）． ∴点 P 的坐标为（﹣2，0）或（0，4）或（0，0）． 方法二：过点 A 作 AB⊥x 轴，AC⊥y 轴，如图， ① 当 P 在原点时，满足 PA＝OA，则 P 点（0，0）； ② 当 P 在 x 轴上时， ∵PA＝OA，AB⊥OP，A 点坐标为（﹣1，2） ∴OB＝1，OP＝2OB＝2， ∴P（﹣2，0）， ③ 当 P 在 y 轴上时， ∵PA＝OA，AC⊥OC，A 点坐标为（﹣1，2） ∴OC＝2，OP＝2OC＝4， ∴P（0，4）， ∴点 P 的坐标为（﹣2，0）或（0，4）或（0，0）． 9．已知反比例函数 y＝ 的图象经过点 A（﹣ ，1）． （1）试确定此反比例函数的解析式； （2）点 O 是坐标原点，将线段 OA 绕 O 点顺时针旋转 30°得到线段 OB．判断点 B 是否 在此反比例函数的图象上，并说明理由； （3）已知点 P（m， m+6）也在此反比例函数的图象上（其中 m＜0），过 P 点作 x 轴 的垂线，交 x 轴于点 M．若线段 PM 上存在一点 Q，使得△OQM 的面积是 ，设 Q 点的 纵坐标为 n，求 n2﹣2 n+9 的值． 第 16页（共 19页） 【解答】解：（1）由题意得 1＝ ，解得 k＝﹣ ， ∴反比例函数的解析式为 y＝﹣ ； （2）过点 A 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 C． 在 Rt△AOC 中，OC＝ ，AC＝1， ∴OA＝ ＝2，∠AOC＝30°， ∵将线段 OA 绕 O 点顺时针旋转 30°得到线段 OB， ∴∠AOB＝30°，OB＝OA＝2， ∴∠BOC＝60°． 过点 B 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 D． 在 Rt△BOD 中，BD＝OB•sin∠BOD＝ ，OD＝ OB＝1， ∴B 点坐标为（﹣1， ）， 将 x＝﹣1 代入 y＝﹣ 中，得 y＝ ， ∴点 B（﹣1， ）在反比例函数 y＝﹣ 的图象上． （3）由 y＝﹣ 得 xy＝﹣ ， ∵点 P（m， m+6）在反比例函数 y＝﹣ 的图象上，其中 m＜0， ∴m（ m+6）＝﹣ ， ∴m2+2 m+1＝0， ∵PQ⊥x 轴，∴Q 点的坐标为（m，n）． ∵△OQM 的面积是 ， ∴ OM•QM＝ ， ∵m＜0，∴mn＝﹣1， ∴m2n2+2 mn2+n2＝0， ∴n2﹣2 n＝﹣1， ∴n2﹣2 n+9＝8． 第 17页（共 19页） 10．如图，A、B 两点在函数 y＝ （x＞0）的图象上． （1）求 m 的值及直线 AB 的解析式； （2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出图中阴 影部分（不包括边界）所含格点的个数． 【解答】解：（1）由图象可知，函数 （x＞0）的图象经过点 A（1，6）， 可得 m＝6． 设直线 AB 的解析式为 y＝kx+b． ∵A（1，6），B（6，1）两点在函数 y＝kx+b 的图象上， ∴ ， 解得 ． ∴直线 AB 的解析式为 y＝﹣x+7； （2）图中阴影部分（不包括边界）所含格点是（2，4），（3，3），（4，2）共 3 个． 11．已知：关于 x 的一元二次方程 mx2﹣（3m+2）x+2m+2＝0（m＞0）． 第 18页（共 19页） （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个实数根分别为 x1，x2（其中 x1＜x2）．若 y 是关于 m 的函数，且 y＝x2 ﹣2x1，求这个函数的解析式； （3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量 m 的取值范围满足什么条件时， y≤2m． 【解答】（1）证明：∵mx2﹣（3m+2）x+2m+2＝0 是关于 x 的一元二次方程， ∴△＝[﹣（3m+2）]2﹣4m（2m+2）＝m2+4m+4＝（m+2）2． ∵当 m＞0 时，（m+2）2＞0，即△＞0． ∴方程有两个不相等的实数根． （2）解：由求根公式，得 ． ∴ 或 x＝1． ∵m＞0， ∴ ． ∵x1＜x2， ∴x1＝1， ． ∴y＝x2﹣2x1＝ ﹣2×1＝ ． 即 y＝ （m＞0）为所求． （3）解：在同一平面直角坐标系中分别画出 y＝ （m＞0）与 y＝2m（m＞0）的图象． 第 19页（共 19页） 由图象可得，当 m≥1 时，y≤2m． 声明：试 题解析著作权 属菁优网所有 ，未经书面同 意，不得复制 发布 日期：2020/1/19 10:00:56 ；用户： 金雨教育；邮 箱：309593466@qq.com ；学号： 335385