北京市2008-2019年中考数学分类汇编一次函数与反比例函数综合pdf含解析

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北京市2008-2019年中考数学分类汇编一次函数与反比例函数综合pdf含解析

第 1页(共 19页) 2008~2019 北京中考数学分类(一次函数与反比例函数综合) 一.解答题(共 11 小题) 1.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l:y=kx+1(k≠0)与直线 x=k,直线 y=﹣k 分别交于 点 A,B,直线 x=k 与直线 y=﹣k 交于点 C. (1)求直线 l 与 y 轴的交点坐标; (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点,记线段 AB,BC,CA 围成的区域(不含边界) 为 W. ① 当 k=2 时,结合函数图象,求区域 W 内的整点个数; ② 若区域 W 内没有整点,直接写出 k 的取值范围. 2.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y=4x+4 与 x 轴,y 轴分别交于点 A,B,抛物线 y=ax2+bx ﹣3a 经过点 A,将点 B 向右平移 5 个单位长度,得到点 C. (1)求点 C 的坐标; (2)求抛物线的对称轴; (3)若抛物线与线段 BC 恰有一个公共点,结合函数图象,求 a 的取值范围. 3.在平面直角坐标系 xOy 中,函数 y= (x>0)的图象 G 经过点 A(4,1),直线 l:y= +b 与图象 G 交于点 B,与 y 轴交于点 C. (1)求 k 的值; (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记图象 G 在点 A,B 之间的部分与线段 OA, OC,BC 围成的区域(不含边界)为 W. ① 当 b=﹣1 时,直接写出区域 W 内的整点个数; ② 若区域 W 内恰有 4 个整点,结合函数图象,求 b 的取值范围. 4.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,函数 y= (x>0)的图象与直线 y=x﹣2 交于点 A (3,m). (1)求 k、m 的值; (2)已知点 P(n,n)(n>0),过点 P 作平行于 x 轴的直线,交直线 y=x﹣2 于点 M, 过点 P 作平行于 y 轴的直线,交函数 y= (x>0)的图象于点 N. ① 当 n=1 时,判断线段 PM 与 PN 的数量关系,并说明理由; ② 若 PN≥PM,结合函数的图象,直接写出 n 的取值范围. 第 2页(共 19页) 5.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,过点 A(﹣6,0)的直线 l1 与直线 l2:y=2x 相交于 点 B(m,4). (1)求直线 l1 的表达式; (2)过动点 P(n,0)且垂于 x 轴的直线与 l1,l2 的交点分别为 C,D,当点 C 位于点 D 上方时,写出 n 的取值范围. 6.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y=kx+b(k≠0)与双曲线 y= 的一个交点为 P(2,m), 与 x 轴、y 轴分别交于点 A,B. (1)求 m 的值; (2)若 PA=2AB,求 k 的值. 7.如图在平面直角坐标系 xOy 中,函数 y= (x>0)的图象与一次函数 y=kx﹣k 的图象 的交点为 A(m,2). (1)求一次函数的解析式; (2)设一次函数 y=kx﹣k 的图象与 y 轴交于点 B,若点 P 是 x 轴上一点,且满足△PAB 的面积是 4,直接写出 P 点的坐标. 第 3页(共 19页) 8.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一次函数 y=﹣2x 的图象与反比例函数 y= 的图象 的一个交点为 A(﹣1,n). (1)求反比例函数 y= 的解析式; (2)若 P 是坐标轴上一点,且满足 PA=OA,直接写出点 P 的坐标. 9.已知反比例函数 y= 的图象经过点 A(﹣ ,1). (1)试确定此反比例函数的解析式; (2)点 O 是坐标原点,将线段 OA 绕 O 点顺时针旋转 30°得到线段 OB.判断点 B 是否 在此反比例函数的图象上,并说明理由; (3)已知点 P(m, m+6)也在此反比例函数的图象上(其中 m<0),过 P 点作 x 轴 的垂线,交 x 轴于点 M.若线段 PM 上存在一点 Q,使得△OQM 的面积是 ,设 Q 点的 纵坐标为 n,求 n2﹣2 n+9 的值. 10.如图,A、B 两点在函数 y= (x>0)的图象上. (1)求 m 的值及直线 AB 的解析式; (2)如果一个点的横、纵坐标均为整数,那么我们称这个点是格点.请直接写出图中阴 影部分(不包括边界)所含格点的个数. 第 4页(共 19页) 11.已知:关于 x 的一元二次方程 mx2﹣(3m+2)x+2m+2=0(m>0). (1)求证:方程有两个不相等的实数根; (2)设方程的两个实数根分别为 x1,x2(其中 x1<x2).若 y 是关于 m 的函数,且 y=x2 ﹣2x1,求这个函数的解析式; (3)在(2)的条件下,结合函数的图象回答:当自变量 m 的取值范围满足什么条件时, y≤2m. 第 5页(共 19页) 2008~2019 北京中考数学分类(一次函数与反比例函数综合) 参考答案与试题解析 一.解答题(共 11 小题) 1.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l:y=kx+1(k≠0)与直线 x=k,直线 y=﹣k 分别交于 点 A,B,直线 x=k 与直线 y=﹣k 交于点 C. (1)求直线 l 与 y 轴的交点坐标; (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点,记线段 AB,BC,CA 围成的区域(不含边界) 为 W. ① 当 k=2 时,结合函数图象,求区域 W 内的整点个数; ② 若区域 W 内没有整点,直接写出 k 的取值范围. 【解答】解:(1)令 x=0,y=1, ∴直线 l 与 y 轴的交点坐标(0,1); (2)由题意,A(k,k2+1),B( ,﹣k),C(k,﹣k), ① 当 k=2 时,A(2,5),B(﹣ ,﹣2),C(2,﹣2), 在 W 区域内有 6 个整数点:(0,0),(0,﹣1),(1,0),(1,﹣1),(1,1),(1,2); ② 当 k>0 时,区域内必含有坐标原点,故不符合题意; 当 k<0 时,W 内点的横坐标在 k 到 0 之间,故﹣1≤k<0 时 W 内无整点; 当﹣2≤k<﹣1 时,W 内可能存在的整数点横坐标只能为﹣1,此时边界上两点坐标为 M (﹣1,﹣k)和 N(﹣1,﹣k+1),MN=1; 当 k 不为整数时,其上必有整点,但 k=﹣2 时,只有两个边界点为整点,故 W 内无整点; 当 k≤﹣2 时,横坐标为﹣2 的边界点为(﹣2,﹣k)和(﹣2,﹣2k+1),线段长度为﹣ k+1>3,故必有整点. 综上所述:﹣1<k<0 或 k=﹣2 时,W 内没有整数点; 2.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y=4x+4 与 x 轴,y 轴分别交于点 A,B,抛物线 y=ax2+bx ﹣3a 经过点 A,将点 B 向右平移 5 个单位长度,得到点 C. (1)求点 C 的坐标; (2)求抛物线的对称轴; (3)若抛物线与线段 BC 恰有一个公共点,结合函数图象,求 a 的取值范围. 【解答】解:(1)与 y 轴交点:令 x=0 代入直线 y=4x+4 得 y=4, 第 6页(共 19页) ∴B(0,4), ∵点 B 向右平移 5 个单位长度,得到点 C, ∴C(5,4); (2)与 x 轴交点:令 y=0 代入直线 y=4x+4 得 x=﹣1, ∴A(﹣1,0), ∵点 B 向右平移 5 个单位长度,得到点 C, 将点 A(﹣1,0)代入抛物线 y=ax2+bx﹣3a 中得 0=a﹣b﹣3a,即 b=﹣2a, ∴抛物线的对称轴 x=﹣ =﹣ =1; (3)∵抛物线 y=ax2+bx﹣3a 经过点 A(﹣1,0)且对称轴 x=1, 由抛物线的对称性可知抛物线也一定过 A 的对称点(3,0), ① a>0 时,如图 1, 将 x=0 代入抛物线得 y=﹣3a, ∵抛物线与线段 BC 恰有一个公共点, ∴﹣3a<4, a>﹣ , 将 x=5 代入抛物线得 y=12a, ∴12a≥4, a≥ , ∴a≥ ; ② a<0 时,如图 2, 将 x=0 代入抛物线得 y=﹣3a, ∵抛物线与线段 BC 恰有一个公共点, ∴﹣3a>4, a<﹣ ; ③ 当抛物线的顶点在线段 BC 上时,则顶点为(1,4),如图 3, 将点(1,4)代入抛物线得 4=a﹣2a﹣3a, 解得 a=﹣1. 第 7页(共 19页) 综上所述,a≥ 或 a<﹣ 或 a=﹣1. 3.在平面直角坐标系 xOy 中,函数 y= (x>0)的图象 G 经过点 A(4,1),直线 l:y= +b 与图象 G 交于点 B,与 y 轴交于点 C. (1)求 k 的值; (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记图象 G 在点 A,B 之间的部分与线段 OA, OC,BC 围成的区域(不含边界)为 W. ① 当 b=﹣1 时,直接写出区域 W 内的整点个数; 第 8页(共 19页) ② 若区域 W 内恰有 4 个整点,结合函数图象,求 b 的取值范围. 【解答】解:(1)把 A(4,1)代入 y= 得 k=4×1=4; (2) ① 当 b=﹣1 时,直线解析式为 y= x﹣1, 解方程 = x﹣1 得 x1=2﹣2 (舍去),x2=2+2 ,则 B(2+2 , ), 而 C(0,﹣1), 如图 1 所示,区域 W 内的整点有(1,0),(2,0),(3,0),有 3 个; ② 如图 2,直线 l 在 OA 的下方时,当直线 l:y= +b 过(1,﹣1)时,b=﹣ , 且经过(5,0), ∴区域 W 内恰有 4 个整点,b 的取值范围是﹣ ≤b<﹣1. 如图 3,直线 l 在 OA 的上方时, ∵点(2,2)在函数 y= (x>0)的图象 G, 当直线 l:y= +b 过(1,2)时,b= , 当直线 l:y= +b 过(1,3)时,b= , ∴区域 W 内恰有 4 个整点,b 的取值范围是 <b≤ . 综上所述,区域 W 内恰有 4 个整点,b 的取值范围是﹣ ≤b<﹣1 或 <b≤ . 第 9页(共 19页) 4.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,函数 y= (x>0)的图象与直线 y=x﹣2 交于点 A (3,m). (1)求 k、m 的值; (2)已知点 P(n,n)(n>0),过点 P 作平行于 x 轴的直线,交直线 y=x﹣2 于点 M, 过点 P 作平行于 y 轴的直线,交函数 y= (x>0)的图象于点 N. ① 当 n=1 时,判断线段 PM 与 PN 的数量关系,并说明理由; ② 若 PN≥PM,结合函数的图象,直接写出 n 的取值范围. 第 10页(共 19页) 【解答】解:(1)将 A(3,m)代入 y=x﹣2, ∴m=3﹣2=1, ∴A(3,1), 将 A(3,1)代入 y= , ∴k=3×1=3, (2) ① 当 n=1 时,P(1,1), 令 y=1,代入 y=x﹣2, x﹣2=1, ∴x=3, ∴M(3,1), ∴PM=2, 令 x=1 代入 y= , ∴y=3, ∴N(1,3), ∴PN=2 ∴PM=PN, ② P(n,n),n>0 点 P 在直线 y=x 上, 过点 P 作平行于 x 轴的直线,交直线 y=x﹣2 于点 M, M(n+2,n), ∴PM=2, 第 11页(共 19页) ∵PN≥PM, 即 PN≥2, ∵PN=| ﹣n|, | |≥2 ∴0<n≤1 或 n≥3 5.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,过点 A(﹣6,0)的直线 l1 与直线 l2:y=2x 相交于 点 B(m,4). (1)求直线 l1 的表达式; (2)过动点 P(n,0)且垂于 x 轴的直线与 l1,l2 的交点分别为 C,D,当点 C 位于点 D 上方时,写出 n 的取值范围. 【解答】解:(1)∵点 B 在直线 l2 上, ∴4=2m, ∴m=2,点 B(2,4) 设直线 l1 的表达式为 y=kx+b, 第 12页(共 19页) 由题意 ,解得 , ∴直线 l1 的表达式为 y= x+3. (2)由图象可知 n<2. 6.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y=kx+b(k≠0)与双曲线 y= 的一个交点为 P(2,m), 与 x 轴、y 轴分别交于点 A,B. (1)求 m 的值; (2)若 PA=2AB,求 k 的值. 【解答】解:∵y= 经过 P(2,m), ∴2m=8, 解得:m=4; (2)点 P(2,4)在 y=kx+b 上, ∴4=2k+b, ∴b=4﹣2k, ∵直线 y=kx+b(k≠0)与 x 轴、y 轴分别交于点 A,B, ∴A(2﹣ ,0),B(0,4﹣2k), 如图,点 A 在 x 轴负半轴,点 B 在 y 轴正半轴时, ∵PA=2AB, ∴AB=PB,则 OA=OC, ∴ ﹣2=2, 解得 k=1; 当点 A 在 x 轴正半轴,点 B 在 y 轴负半轴时, = , 解得,k=3. ∴k=1 或 k=3 第 13页(共 19页) 7.如图在平面直角坐标系 xOy 中,函数 y= (x>0)的图象与一次函数 y=kx﹣k 的图象 的交点为 A(m,2). (1)求一次函数的解析式; (2)设一次函数 y=kx﹣k 的图象与 y 轴交于点 B,若点 P 是 x 轴上一点,且满足△PAB 的面积是 4,直接写出 P 点的坐标. 【解答】解:(1)将 A(m,2)代入 y= (x>0)得, m=2, 则 A 点坐标为 A(2,2), 将 A(2,2)代入 y=kx﹣k 得,2k﹣k=2, 解得 k=2,则一次函数解析式为 y=2x﹣2; (2)∵一次函数 y=2x﹣2 与 x 轴的交点为 C(1,0),与 y 轴的交点为 B(0,﹣2), S△ABP=S△ACP+S△BPC, ∴ ×2CP+ ×2CP=4, 解得 CP=2, 则 P 点坐标为(3,0),(﹣1,0). 第 14页(共 19页) 8.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一次函数 y=﹣2x 的图象与反比例函数 y= 的图象 的一个交点为 A(﹣1,n). (1)求反比例函数 y= 的解析式; (2)若 P 是坐标轴上一点,且满足 PA=OA,直接写出点 P 的坐标. 【解答】解:(1)∵点 A(﹣1,n)在一次函数 y=﹣2x 的图象上. ∴n=﹣2×(﹣1)=2 ∴点 A 的坐标为(﹣1,2) ∵点 A 在反比例函数的图象上. ∴k=﹣2 ∴反比例函数的解析式是 y=﹣ . (2)方法一: ∵A(﹣1,2), ∴OA= = , ∵点 P 在坐标轴上, ∴当点 P 在 x 轴上时设 P(x,0), ∵PA=OA, ∴ = ,解得 x=﹣2; 第 15页(共 19页) 当点 P 在 y 轴上时,设 P(0,y), ∴ = ,解得 y=4; 当点 P 在坐标原点,则 P(0,0). ∴点 P 的坐标为(﹣2,0)或(0,4)或(0,0). 方法二:过点 A 作 AB⊥x 轴,AC⊥y 轴,如图, ① 当 P 在原点时,满足 PA=OA,则 P 点(0,0); ② 当 P 在 x 轴上时, ∵PA=OA,AB⊥OP,A 点坐标为(﹣1,2) ∴OB=1,OP=2OB=2, ∴P(﹣2,0), ③ 当 P 在 y 轴上时, ∵PA=OA,AC⊥OC,A 点坐标为(﹣1,2) ∴OC=2,OP=2OC=4, ∴P(0,4), ∴点 P 的坐标为(﹣2,0)或(0,4)或(0,0). 9.已知反比例函数 y= 的图象经过点 A(﹣ ,1). (1)试确定此反比例函数的解析式; (2)点 O 是坐标原点,将线段 OA 绕 O 点顺时针旋转 30°得到线段 OB.判断点 B 是否 在此反比例函数的图象上,并说明理由; (3)已知点 P(m, m+6)也在此反比例函数的图象上(其中 m<0),过 P 点作 x 轴 的垂线,交 x 轴于点 M.若线段 PM 上存在一点 Q,使得△OQM 的面积是 ,设 Q 点的 纵坐标为 n,求 n2﹣2 n+9 的值. 第 16页(共 19页) 【解答】解:(1)由题意得 1= ,解得 k=﹣ , ∴反比例函数的解析式为 y=﹣ ; (2)过点 A 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 C. 在 Rt△AOC 中,OC= ,AC=1, ∴OA= =2,∠AOC=30°, ∵将线段 OA 绕 O 点顺时针旋转 30°得到线段 OB, ∴∠AOB=30°,OB=OA=2, ∴∠BOC=60°. 过点 B 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 D. 在 Rt△BOD 中,BD=OB•sin∠BOD= ,OD= OB=1, ∴B 点坐标为(﹣1, ), 将 x=﹣1 代入 y=﹣ 中,得 y= , ∴点 B(﹣1, )在反比例函数 y=﹣ 的图象上. (3)由 y=﹣ 得 xy=﹣ , ∵点 P(m, m+6)在反比例函数 y=﹣ 的图象上,其中 m<0, ∴m( m+6)=﹣ , ∴m2+2 m+1=0, ∵PQ⊥x 轴,∴Q 点的坐标为(m,n). ∵△OQM 的面积是 , ∴ OM•QM= , ∵m<0,∴mn=﹣1, ∴m2n2+2 mn2+n2=0, ∴n2﹣2 n=﹣1, ∴n2﹣2 n+9=8. 第 17页(共 19页) 10.如图,A、B 两点在函数 y= (x>0)的图象上. (1)求 m 的值及直线 AB 的解析式; (2)如果一个点的横、纵坐标均为整数,那么我们称这个点是格点.请直接写出图中阴 影部分(不包括边界)所含格点的个数. 【解答】解:(1)由图象可知,函数 (x>0)的图象经过点 A(1,6), 可得 m=6. 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b. ∵A(1,6),B(6,1)两点在函数 y=kx+b 的图象上, ∴ , 解得 . ∴直线 AB 的解析式为 y=﹣x+7; (2)图中阴影部分(不包括边界)所含格点是(2,4),(3,3),(4,2)共 3 个. 11.已知:关于 x 的一元二次方程 mx2﹣(3m+2)x+2m+2=0(m>0). 第 18页(共 19页) (1)求证:方程有两个不相等的实数根; (2)设方程的两个实数根分别为 x1,x2(其中 x1<x2).若 y 是关于 m 的函数,且 y=x2 ﹣2x1,求这个函数的解析式; (3)在(2)的条件下,结合函数的图象回答:当自变量 m 的取值范围满足什么条件时, y≤2m. 【解答】(1)证明:∵mx2﹣(3m+2)x+2m+2=0 是关于 x 的一元二次方程, ∴△=[﹣(3m+2)]2﹣4m(2m+2)=m2+4m+4=(m+2)2. ∵当 m>0 时,(m+2)2>0,即△>0. ∴方程有两个不相等的实数根. (2)解:由求根公式,得 . ∴ 或 x=1. ∵m>0, ∴ . ∵x1<x2, ∴x1=1, . ∴y=x2﹣2x1= ﹣2×1= . 即 y= (m>0)为所求. (3)解:在同一平面直角坐标系中分别画出 y= (m>0)与 y=2m(m>0)的图象. 第 19页(共 19页) 由图象可得,当 m≥1 时,y≤2m. 声明:试 题解析著作权 属菁优网所有 ,未经书面同 意,不得复制 发布 日期:2020/1/19 10:00:56 ;用户: 金雨教育;邮 箱:309593466@qq.com ;学号: 335385
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