第8章 第1节 电流、电阻与欧姆定律-2021年初中物理竞赛及自主招生大揭秘专题突破

第8章 第1节 电流、电阻与欧姆定律-2021年初中物理竞赛及自主招生大揭秘专题突破

第八讲 电 路 第一节 电流、电阻与欧姆定律 一、电流 1．电流的定义 导体中的自由电荷定向移动时，就形成了电流。电流用符号 I 表示，电流的大小可以用单位时 间内通过导体某一横截面的电荷量来表示。定义式为 qI t  ，注意 q 是通过导体横截面的所有的电荷 电量的总和。在国际单位制中，电流的单位是安培，符号为“ A ”，1 A 1 C / s ，电流有方向，规 定导体中正电荷定向移动的方向为电流的方向，负电荷定向移动的方向与电流的方向相反。电流的 方向表示的是电流的流向。 2．电流的微观表达式 电流的定义式为 qI t  ，但并不能说电流随 q 的增大而增大、随通电时间 t 的增长而变小。从微 观上说，电流大小和导体内部自由电荷的电荷量、定向移动速度、导体单位体积的自由电荷数以及 导体横截面积都有关系。 例 1 已知某导体单位体积内的自由电荷数为 n ，自由电荷的定向移动速度为 v ，自由电荷的电 荷量为 q ，导体的横截面积为 S 。试证明电流的微观表达式： I nSqv 。 分析与解 求解电流的大小，可以利用电流的定义式 qI t  ，只要能求出通过导体横截面的电荷 量与时间的比值即可。如图 8.1 所示，在导体上取两个横截面 A 和 B ，设自由电荷从截面 A 定向运 动到截面 B 所用时间为 t ，则 A ， B 截面的距离为 l vt ， A ， B 截面 以 内 所 含 的 自 由 电 荷 数 为 N nSl nSvt  ， 这 些 电 荷 的 电 荷 量 qN qnSvtQ   。显然，在时间 t 内，这些电荷恰好全部通过 A 截面，因 此通过导体的电流为 Q qnSvtI nSqvt t    ，得证。 当导体两端没有电压时，自由电荷处于无规则运动状态，无规则运动的速度约为 510 m / s ，而 加上电压后，自由电荷定向移动的速度仅约为 310 m / s ，可见，自由电荷的定向移动速度是非常小 的，远不及电流的传播速度(光速)。 二、电阻 1．电阻的定义 电阻是表示导体对电流阻碍作用的物理量，用 R 表示，电阻的定义式为 UR I  ，电阻的单位为 欧姆，符号为“  ”，1 1 V / A  。对同一导体，不论导体两端电压U 和通过导体的电流 I 如何变 化，其比值 U I 都相同，即电阻 R 是一个只跟导体本身性质(导体的材料、横截面积和长度)有关的量， 与所加的电压和通过的电流无关。 2．电阻定律 一段导体的电阻跟它的长度 L 成正比，跟它的横截面积 S 成反比，这就是电阻定律。表达式为 LR S  在公式 LR S  中， 为导体材料的电阻率，是反映材料导电性能的物理量，电阻率在数值上等 于该材料制成的长为1 m 、横截面积为 21 m 的导体的电阻值。电阻率大，表示材料的导电性能差。 电阻率的单位符号为“ m ”。 电阻率只和导体的材料以及温度有关。金属导体电阻率的数量级为 710 m   ，且金属导体电阻 率随温度的升高而增大。某些合金的电阻率受温度影响很小，根据这一特点可制成标准电阻；某些 材料的电阻率随温度升高而减小，如半导体和绝缘体。 当温度降低到绝对零度附近时，某些金属、合金等材料的电阻率会突然减小到零，这种现象叫 做超导现象，处于这种状态的导体叫做超导体。 3．超导现象 例 2 一粗细均匀的镍铬丝，截面直径为 d ，电阻为 R 。把它拉制成直径为 10 d 的均匀细丝后， 它的电阻变为( )。 A． 1000 R B． 100 R C．100R D．10000R 分析与解 将导体直径拉制成 10 d 后，导体的横截面积将变为原来的 1 100 ，而导体体积不变，导 体长度将变为原来的 100 倍，根据 LR S  ，导体电阻将变为原来的 10000 倍，选项 D 正确。 例 3 (上海第 30 届大同杯初赛)如图 8.2 所示， 1R 和 2R 是材料、厚度相同的正方形导体板，但 1R 的尺寸比 2R 的尺寸大，在导体两端加相同的电压，通过两导体的电流方向如图 8.2 所示，则下列说 法中正确的是( )。 A． 1R 中的电流小于 2R 中的电流 B． 1R 中的电流等于 2R 中的电流 C． 1R 比 2R 中自由电荷定向移动的速率大 D． 1R 比 2R 中自由电荷定向移动的速率小 分析与解 设正方形导体板的边长为 a ，厚度为 d ，电阻率为  ，则电阻 l aR S ad    d  ，可 见 1 2R R ，导体两端加相同电压时电流相等，选项 B 正确。再根据电流的微观表达式 I nSqv ，由 于导体为相同材料，因此 n ，q 相同，电流 I 相同，导体横截面积 S 越大，自由电荷定向移动的速度 越小，选项 D 正确。本题正确选项为 BD． 三、欧姆定律 1．欧姆定律的内容 导体中的电流 I 跟导体两端的电压U 成正比，跟导体的电阻 R 成反比，这就是部分电路的欧姆 定律。数学表达式为 UI R  。 欧姆定律适用于金属导电和电解液导电，对气体导电不适用。 2．导体的伏安特性图线 (1)在直角坐标系中，用横坐标表示导体两端的电压U ，用纵坐标表示通过导体的电流 I ，则导 体中的电流随电压变化的函数图线为导体的伏安特性图线。 (2)对于电阻一定的导体，它的伏安特性图线是过坐标原点的直线，如图 8.3 中的 a ，b 直线，直线的斜率等于电阻的倒数，即 Ik R  ，直线斜率大则电 阻小。 (3)电阻随外界条件(如温度)变化而变化的导体，其伏安特性图线是曲线。 这里值得注意的是，导体的电阻等于电压与电流的比值： UR I  ，并不等于 U I   ，所以在由伏安特 性曲线求阻值时，不能由曲线的斜率或斜率的倒数求解。 例 4 研究某导体的伏安特性曲线，通电后其电流 I 与所加电压U 的变化图线如图 8.4 所示，P 为图线上一点，PQ 为U 轴的垂线，PM 为 I 轴的垂线，则下列说法中正 确的是( )。 A．随着所加电压的增大，该电阻的阻值增大 B．随着所加电压的增大，该电阻的阻值减小 C．对应 P 点，电阻的阻值为 1 2 UR I  D．对应 P 点，电阻的阻值为 1 1 2 UR I I   分析与解 在利用导体的伏安特性曲线求解电阻问题时，要透彻理解欧姆定律的内涵及图线所 表达的物理意义，充分挖掘图线中隐含的条件，并一定要将“物理量的比值( /U I )”与“物理量的 变化量的比值 ( / )U I  ”的含义区分开。伏安特性为曲线时，P 点对应的阻值并不等于过 P 点的切 线的斜率，而是等于 P 点的横坐标 1U 与 P 点纵坐标 2I 的比值，即等于 OP 连线斜率的倒数，所以选 项 C 正确。当电压逐渐增加时，曲线上的点与 O 点连线的斜率逐渐减小，所以电阻逐渐增大，选项 A 正确。本题选 AC。 练习题 1．下列关于电阻率的叙述，错误的是( )． A．当温度极低时，超导材料的电阻率会突然减小到零 B．常用的导线是用电阻率较小的铝、铜材料做成的 C． 材料的电阻率取决于导体的电阻、横截面积和长度 D．材料的电阻率随温度的变化而变化 2．一根阻值为 R 的均匀电阻丝，长为 L ，横截面积为 S ，设温度不变，在下列哪些情况下其电 阻值仍为 R ？( ) A． L 不变， S 增大一倍 B． S 不变， L 增大一倍 C． L 和 S 都缩为原来的 1 2 D． L 和横截面的半径都增大一倍 3．关于欧姆定律，下面说法中不正确的是( )。 A．由关系式 UR I  可知，导体的电阻跟导体两端的电压成正比，跟导体的电流强度成反比 B．关系式 UR I  表明使导体通过一定的电流所需的电压越高，则导体的电阻越大 C．由公式 UI R  可知，导体中的电流强度跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比 D．由关系式U IR 可知，对于一个确定的导体来说，如果通过的电流越大，那么导体两端的 电压也越大 4．(上海第 28 届大同杯初赛)通过横截面积为 S 的铜导线的电流为 I ，设导线内单位体积的自由 电子数为 n ，电子的电荷量为 e ，此时电子定向移动的速率为 v ，则在 t 时间内，通过导线横截面 的电子数为( ) A． nSv t B． nv t C． I t Se  D． I t e  5．(上海第 27 届大同杯初赛)每种金属导体中单位体积的自由电子数都有确定的值。两段长度之 比为 2：1、横截面积之比为 1：3 的镍铬合金丝并联在某电路中，则两根电阻丝内电子定向移动的 平均速度之比为( )。 A．1：2 B．3：1 C．2：3 D．1：1 6．某一探测器因射线照射，内部气体电离，在时间t 内有 n 个二价正离子到达阴极，有 2n 个电 子到达探测器的阳极，则探测器电路中的电流为( )。 A．0 B． 2ne t C． 3ne t D． 4ne t 7．某导体的伏安特性曲线如图 8.5 所示， P 为图线上一点， PN 为图线的切线， P ， N 两点的 坐标如图所示，则下列说法中正确的是( )。 A．随着所加电压的增大，该电阻的阻值增大 B．随着所加电压的增大，该电阻的阻值减小 C．对应 P 点，电阻的阻值为 1 2 UR I  D．对应 P 点，电阻的阻值为 1 2 1 UR I I   8．如图 8.6 所示，一块长方体的均匀导电材料，其长、宽、高的比为 3：2：1，那么分别沿其 长的方向通电、沿其宽的方向通电和沿其高的方向通电时的电阻值之比为________。 9．两种材料不同的电阻丝，长度之比为 1：5，截面积之比为 2：3，电阻之比为 2：5，则材料 的电阻率之比为________。 10．如图 8.7 所示的图线所对应的是两个导体：(1) 1 2:R R  ________；(2)若两个导体中的电流 相等(不为零)，电压之比 1 2:U U  ________，(3)若两个导体中的电压相等(不为零)，电流强度之比 1 2:I I  ________。 11．某导线的电阻为16  ，将它对折起来使用，它的电阻变为________  ，如果将它均匀地拉 长到原来的 2 倍，则它的电阻为________  。 12．已知电子的电量为 e ，若氢原子的核外电子绕核做半径为 r 的匀速圆周运动，线速度大小为 v ，则电子的转动周期为________；电子绕核的运动可等效为环形电流，则电子运动的等效电流为 ________。 13．实验表明，某些材料当温度降到某一定值时，其 电阻率突然降为零，这种现象叫做________，这种材料称 为超导材料，材料电阻率降为零的温度称为临界温度，其 值与材料有关，则在图 8.8 所示的电阻—温度曲线图中， 临界温度最高的样品为________号(填“Ⅰ”“Ⅱ”或“Ⅲ”)， 在实际应用中最有利用价值的样品为________号(填“Ⅰ”“Ⅱ”或“Ⅲ”)。 14．如图 8.9 所示，相距 40 km 的 A ，B 两地架两条输电线， 电阻共为800  ，如果在 A ，B 间的某处发生短路，这时接在 A 处的电压表示数为10 V ，电流表的示数为 40 mA ，求发生短路 处距 A 处有多远。 15．有一根导线长为 1 mL  ，横截面积 3 21 10 mS   ，它是由电阻率不均匀的材料组成的，从 一端到另一端，电阻率  随导体长度 l 的变化规律为 0 kl   ，试求这段导线的电阻( 0 1 m    ， 0.5 k   )。 参考答案 1．C。电阻率是导体材料的一种特性，只与导体材料的种类、温度有关，与导体的长短、横截 面积无关。 2．C。结合公式 LR S  ，可知选项 C 正确。 3．A。导体电阻只和导体的材料、长短、粗细有关，与导体两端电压和通过的电流无关，所以 选项 A 的说法错误。 4．AD。 t 时间内通过导体横截面的电荷量 q I t  ，则 t 时间内通过的电子数 eN q I t e   ， 结合电子的微观表达式 I nSev ，亦可得 N nSv t  。 5．A。由电阻公式 LR S  ，可知两导体电阻之比 1 1 2 2 2 1 6R L S R L S    ，两导体并联，通过它们的电 流之比 1 2 2 1 1 6 I R I R   ，再由电流的微观表达式 SevI n ，可得 Iv nSe  ，因此 1 1 2 2 v I v I  2 1 1 2 S S   。 6．D。正离子与负离子定向移动形成的电流方向相同： 1 2 2 2 4q q n e n e neI t t t       7．AC。导体的电阻等于导体两端的电压U 与电流 I 的比值，反映在U I 图线上，是图线上某 点与坐标原点连线的斜率，由题给图线可知，随着电流的增大，导体电阻逐渐增大。对应 P 点，电 阻的阻值为 1 2 UR I  。 8.9：4：1。在电阻公式 LR S  中，L 为沿着电流方向的长度，S 为垂直于电流方向的面积，则 沿长方体长的方向通电时电阻 1 3 2 1R    ，沿长方体宽的方向通电时电阻 2 2 3 1R    ，沿长方体高的 方向通电时电阻 3 1 3 2R    ，则 1 2 3: : 9 : 4 :1R R R  。 9.4：3。略。 10．(1)3：1；(2)3：1；(3)1：3，提示： I U 图像斜率的倒数表示电阻的阻值。 11.4，64。提示：对折后，长度减半，横截面积加倍；均匀拉长一倍后，横截面积减半。 12． 2πr v ， 2π ev r 。电子转动周期等于轨道圆周长与线速度大小的比值， 2πrT v  ，电子每经过一 个周期，就通过轨道上某点一次，因此在一个周期的时间内通过的电荷量为 e ，则 2π e evI T r   。 13．超导现象，Ⅰ，Ⅰ。提示：由于低温不易获得，实际应用中临界温度较高的样品最有利用 价值。 14．设发生短路处与 A 处的距离为 x ，根据欧姆定律，可得短路后导线的电阻 x UR I   250  ， 又 2 x xR S   ，短路前的总电阻 2 800 LR S    总 ，解得 12.5 kmx  。 15．已知电阻定律公式 LR S  ，本题遇到的困难是电阻率  不是常量，无法直接代入公式计算。 考虑到  与 l 是线性关系，因此可取平均电阻率进行计算，则  0 0 2 kL    ，有 0 0[ ( )] 1250 2 kL LLR S S       