中考数学一轮复习知识点+题型专题讲义23 圆（教师版）

中考数学一轮复习知识点+题型专题讲义23 圆（教师版）

专题 23 圆 考点总结 【思维导图】 【知识要点】 知识点一 与圆有关的概念 圆的概念：在一个平面内，线段 段 绕它固定的一个端点 旋转一周，另一个端点 段 所形成的图形叫圆．这 个固定的端点 叫做圆心，线段 段 叫做半径．以 点为圆心的圆记作⊙O，读作圆 O． 特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形． 确定圆的条件： ⑴ 圆心； ⑵ 半径， ⑶ 其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小． 补充知识： 1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆； 2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 3）半径相等的圆叫做等圆． 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦． 弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以 段 、 为端点的弧记作 段 ，读作弧 AB．在同圆或 等圆中，能够重合的弧叫做等弧． 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧， 小于半圆的弧叫做劣弧． 弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距． 弦心距、半径、弦长的关系：（考点） 圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角． 圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 三角形的外接圆 1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做 三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． 2）三角形外心的性质： ①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无 数个，这些三角形的外心重合. 3）锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图 1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形 外接圆半径等于斜边的一半，如图 2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图 3）. 图3 图2 图1 O C B A O C B A O C B A 圆内接四边形概念：如果一个四边形的所有顶点都在一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形。 弓形与扇形 弓形的概念：由弦及其所对的弧组成的图形。 扇形的概念：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。 【典型例题】 1．（2018·陆丰市民声学校中考模拟）如图，AB 是⊙O 直径，点 C，D 在⊙O 上，OD∥AC，下列结论错误 的是（ ） A．∠BOD=∠BAC B．∠BAD=∠CAD C．∠C=∠D D．∠BOD=∠COD 【答案】C 【详解】∵OD//AC， ∴∠BOD=∠BAC、∠D=∠CAD、∠C=∠COD，故 A 选项正确， ∵OA=OD， ∴∠D=∠BAD，∴∠BAD=∠CAD，故 B 选项正确， ∵OA=OC，∴∠BAD=∠C，∴∠BOD=∠COD，故 D 选项正确， 由已知条件无法得出∠C=∠D，故 C 选项错误， 故选 C. 2．（2018·北京中考模拟）有下列四种说法： ①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中，错误的 说法有（ ） A．1 种 B．2 种 C．3 种 D．4 种 【答案】B 【详解】 圆确定的条件是确定圆心与半径，是假命题，故此说法错误； 直径是弦，直径是圆内最长的弦，是真命题，故此说法正确； 弦是直径，只有过圆心的弦才是直径，是假命题，故此说法错误； ④半圆是弧，但弧不一定是半圆，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆，所 以半圆是弧．但比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圆，是真命题，故此说 法正确． 其中错误说法的是①③两个． 故选：B． 3．（2018·上海中考模拟）下列说法中，正确的个数共有（ ） （1）一个三角形只有一个外接圆； （2）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形； （3）在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等； （4）三角形的内心到该三角形三个顶点距离相等； A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 【详解】 （1）一个三角形只有一个外接圆，正确； （2）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，正确； （3）在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确； （4）三角形的内心是三个内角平分线的交点，到三边的距离相等，错误； 故选：C． 4．（2018·湖北中考模拟）有下列说法：①等弧的长度相等；②直径是圆中最长的弦；③相等的圆心角对的 弧相等；④圆中 90°角所对的弦是直径；⑤同圆中等弦所对的圆周角相等．其中正确的有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】B 【解析】试题解析： 同圆或等圆中，能够相互重合的弧叫等弧，所以长度相等，故正确； 连接圆上任意两点的线段叫做弦，所以直径是最长的弦，故正确； 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误； 圆中 90°圆周角所对的弦是直径，故错误； 弦所对的圆周角可在圆心一侧，也可在另一侧，这两个圆周角互补，但不一定相等，所以同圆中等弦所对 的圆周角也不一定相等，故错误. 综上所述，正确的结论有 2 个，故应选 B. 5．（2017·广东中考模拟）如图，在⊙O 中，AB 为直径，CD 为弦，已知∠ACD＝40°，则∠BAD 的度数为 （ ） A． 40 B． 45 C． 60 D．50 【答案】D 【解析】 解：∵在⊙O 中，AB 为直径， ∴∠ADB=90°， ∵∠B=∠ACD=40°， ∴∠BAD=90°﹣∠B=50°． 故选 D． 【考查题型汇总】 考查题型一 利用圆的半径相等进行相关计算 1．（2019·浙江省杭州第七中学中考模拟）如图，A、C、B 是⊙O 上三点，若∠AOC=40°，则∠ABC 的度 数是（ ）． A．10° B．20° C．40° D．80° 【答案】B 【解析】 根据同一弧所对的圆周角的度数等于它所对圆心角度数的一半,所以∠ACB 的度数等于∠AOB 的一半,故选 B 2．（2018·黑龙江中考模拟）如图，点 A、B、C 都在⊙O 上，若∠AOC=140°，则∠B 的度数是（ ） A．70° B．80° C．110° D．140° 【答案】C 【解析】 详解：作 段 对的圆周角∠APC，如图， ∵∠P= ∠AOC= ×140°=70° ∵∠P+∠B=180°， ∴∠B=180°﹣70°=110°， 故选：C． 3．（2019·四川省平昌中学中考模拟）如图，在⊙O 中，直径 CD⊥弦 AB，则下列结论中正确的是 ( ) A．AC=AB B．∠C= ∠BOD C．∠C=∠B D．∠A=∠BOD 【答案】B 【详解】 解：∵直径 CD⊥弦 AB， ∴弧 AD =弧 BD， ∴∠C= ∠BOD． 故选 B． 4．（2018·贵州中考模拟）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠B=60°，⊙O 的半径为 4，则 AC 的长等于（ ） A．4 B．6 C．2 D．8 【答案】A 【解析】 试题解析：连接 OA，OC，过点 O 作 OD⊥AC 于点 D， ∵∠AOC=2∠B，且∠AOD=∠COD= ∠AOC， ∴∠COD=∠B=60°； 在 Rt△COD 中，OC=4，∠COD=60°， ∴CD= OC=2 ， ∴AC=2CD=4 ． 故选 A． 5．（2019·云南中考模拟）如图，已知：在⊙O 中，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC 的度数为（ ） A．70° B．45° C．35° D．30° 【答案】C 【详解】 解：∵OA⊥BC，∠AOB=70°， ∴ AB = 段 ， ∴∠ADC= ∠AOB=35°． 故选 C． 6．（2019·广西中考模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点（A、B 除外），∠AOD＝136°，则∠C 的度数是（ ） A．44° B．22° C．46° D．36° 【答案】B 【详解】 ∵∠AOD＝136°，∴∠BOD＝44°，∴∠C＝22°，故选：B． 考查题型二 圆心角与圆周角的关系解题 1．（2019·武汉市第四十六中学中考模拟）如图，BE 是⊙O 的直径，半径 OA⊥弦 BC，点 D 为垂足，连 AE、 EC． （1）若∠AEC＝28°，求∠AOB 的度数； （2）若∠BEA＝∠B，EC＝3，求⊙O 的半径． 【答案】（1） ．（2）3. 【详解】 解： 连接 OC． 半径 OA ⊥ 弦 BC， 段 段 ， AOC AOB ， AOC AEC ， AOB ． BE 是 的直径， ECB 90 ， 段 段 AEC BEA ， BEA ， AEB AEC AEB AEC 80 ， AEB AEC 0 ， EC ， EB EC ， 的半径为 3． 2．（2018·吉林中考模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 是 AB 延长线上的点，CD 与⊙O 相切于点 D，连 结 BD、AD． （1）求证；∠BDC＝∠A． （2）若∠C＝45°，⊙O 的半径为 1，直接写出 AC 的长． 【答案】（1）详见解析；（2）1+ 【详解】 (1)证明：连结 OD ．如图， CD 与 相切于点 D， OD ⊥ CD ， BDC ＝ 90 °， AB 是 的直径， ADB ＝ 90° ，即 ＝ 90° ， ＝ BDC ， OA ＝ OD ， ＝ 段 ， BDC ＝ 段 ； （2）解：在 Rt △ ODC 中， ＝ ° ， ⸸ 段 段 3．（2019·苏州高新区实验初级中学中考模拟）已知：如图，在⊙O 中，弦 CD 垂直于直径 AB，垂足为点 E， 如果∠BAD＝30°，且 BE＝2，求弦 CD 的长． 【答案】 【详解】 解：连接 OD，设⊙O 的半径为 r，则 OE＝r﹣2， ∵∠BAD＝30°， ∴∠DOE＝60°， ∵CD⊥AB， ∴CD＝2DE，∠ODE＝30°， ∴OD＝2OE，即 r＝2（r﹣2），解得 r＝4； ∴OE＝4﹣2＝2， ∴DE＝ ⸸ ＝ ＝2 ， ∴CD＝2DE＝4 ． 知识点二 圆的基本性质  对称性 1. 圆是轴对称图形，对称轴是直径所在的直线 2. 圆是中心对称图形。  垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 常见辅助线做法（考点）： 1） 过圆心，作垂线，连半径，造 △ ，用勾股，求长度； 2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．  圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们 所对应的其余各组量分别相等  圆周角定理（考点） 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论 1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等． 推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90° 的圆周角所对的弦是直径． （在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角）  圆内接四边形 性质：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角． 【考查题型汇总】 考查题型三 运用垂径定理进行相关计算 1．（2019·苏州高新区第四中学校中考模拟）如图，等腰△ABC 内接于半径为 5 的⊙O，AB＝AC，tan∠ABC ＝ ．求 BC 的长． 【答案】BC＝6． 【详解】 连接 AO，交 BC 于点 E，连接 BO， ∵AB＝AC， ∴ 段 段 ， 又∵OA 是半径， ∴OA⊥BC，BC＝2BE， 在 Rt△ABE 中，∵tan∠ABC＝ ， ∴ 段 ， 设 AE＝x，则 BE＝3x，OE＝5﹣x， 在 Rt△BEO 中，BE2+OE2＝OB2， ∴(3x)2+(5﹣x)2＝52， 解得：x1＝0(舍去)，x2＝1， ∴BE＝3x＝3， ∴BC＝2BE＝6． 2．（2019·四川省平昌中学中考模拟）如图，⊙O 的半径 OD⊥弦 AB 于点 C，连结 AO 并延长交⊙O 于点 E， 连结 EC．若 AB＝8，CD＝2． （1）求 OD 的长． （2）求 EC 的长． 【答案】（1）5 （2） 【详解】 解：(1)设⊙O 半径为 r，则 OA＝OD＝r，OC＝r﹣2， ∵OD⊥AB， ∴∠ACO＝90°， AC＝BC＝ AB＝4， 在 Rt△ACO 中，由勾股定理得：r2＝42+（r﹣2）2， r＝5， ∴OD＝r＝5； (2)连接 BE，如图： 由(1)得：AE＝2r＝10， ∵AE 为⊙O 的直径， ∴∠ABE＝90°， 由勾股定理得：BE＝6， 在 Rt△ECB 中，EC＝ ＝ ＝2 ． 故答案为：(1)5；(2) . 13．（2019·广东中考模拟）如图，OD 是⊙O 的半径，AB 是弦，且 OD⊥AB 于点 C 连接 AO 并延长交⊙O 于点 E，若 AB＝8，CD＝2，求⊙O 半径 OA 的长． 【答案】r＝5 【详解】 解：∵OD⊥弦 AB，AB＝8， ∴AC＝ AB= 8 ＝4， 设⊙O 的半径 OA＝r， ∴OC＝OD﹣CD＝r﹣2， 在 Rt△OAC 中， r2＝（r﹣2）2+42， 解得：r＝5 考查题型四 利用垂径定理解决实际问题 1．（2018·山东中考模拟）某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道 圆形截面的半径．如图，若这个输水管道有水部分的水面宽 AB=16cm，水最深的地方的高度为 4cm，求这 个圆形截面的半径． 【答案】10cm 【解析】 解：过点 O 作 OC⊥AB 于 D，交⊙O 于 C，连接 OB， ∵OC⊥AB ∴BD= AB= ×16=8cm 由题意可知，CD=4cm ∴设半径为 xcm，则 OD=（x﹣4）cm 在 Rt△BOD 中， 由勾股定理得：OD2+BD2=OB2 （x﹣4）2+82=x2 解得：x=10． 答：这个圆形截面的半径为 10cm． 2．（2017·江西南昌二中中考模拟）用工件槽（如图 1）可以检测一种铁球的大小是否符合要求，已知工件 槽的两个底角均为 90°，尺寸如图（单位：cm）．将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图 1 所示的 A、 B、E 三个接触点，该球的大小就符合要求．图 2 是过球心 O 及 A、B、E 三点的截面示意图，求这种铁球 的直径． 【答案】20 ㎝． 【解析】 连接 OA、OE，设 OE 与 AB 交于点 P，如图 ∵AC=BD，AC⊥CD，BD⊥CD ∴四边形 ACDB 是矩形 ∵CD=16cm，PE=4cm ∴PA=8cm，BP=8cm， 在 Rt△OAP 中，由勾股定理得 OA2=PA2+OP2 即 OA2=82+（OA﹣4）2 解得：OA=10． 答：这种铁球的直径为 20cm． 3．（2018·山东中考模拟）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形 截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面． (1)请你用直尺和圆规作出这个输水管道的圆形截面的圆心(保留作图痕迹)； (2)若这个输水管道有水部分的水面宽 AB＝8 cm，水面最深地方的高度为 2 cm，求这个圆形截面的半径． 【答案】（1）详见解析；（2）这个圆形截面的半径是 5 cm. 【详解】 (1)如图，作线段 AB 的垂直平分线 l，与弧 AB 交于点 C，作线段 AC 的垂直平分线 l′与直线 l 交于点 O，点 O 即为所求作的圆心． (2)如图，过圆心 O 作半径 CO⊥AB，交 AB 于点 D， 设半径为 r，则 AD＝ AB＝4，OD＝r－2， 在 Rt△AOD 中，r2＝42＋(r－2)2，解得 r＝5， 答：这个圆形截面的半径是 5 cm. 考查题型五 圆心角、弧、弦的关系的应用 1．（2019·富顺县赵化中学校中考真题）如图，⊙ 中，弦 段 与 ⸸ 相交于点 , 段 ⸸ ,连接 段⸸ 、 . 求证：⑴ 段⸸ ； ⑵ 段 . 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【详解】 证明（1）∵AB=CD， ∴ 段 ⸸ ，即 段⸸ 段 段 ， ∴ 段⸸ ； （2）∵ 段⸸ ， ∴AD=BC， 又∵∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE， ∴△ADE≌△CBE（ASA）， ∴AE=CE． 2．（2018·上海中考模拟）已知：在⊙O 中，弦 AB=AC，AD 是⊙O 的直径． 求证：BD=CD． 【答案】见解析 【详解】 证明：∵AB=AC， ∴ 段 段∴∠ADB=∠ADC， ∵AD 是⊙O 的直径， ∴∠B=∠C=90°， ∴∠BAD=∠DAC， ∴ ⸸ ⸸∴BD=CD． 3．（2019·江西中考模拟）如图，正方形 ABCD 内接于⊙O，M 为弧 CD 的中点，连接 AM，BM，求证：AM ＝BM． 【答案】见解析. 【详解】 ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AD＝BC， ∴弧 AD=弧 BC， ∵M 为弧 CD 中点， ∴弧 MD=弧 MC， ∴弧 AM=弧 BM， ∴AM＝BM． 考查题型六 圆周角定理求角的度数 1．（2019·辽宁中考模拟）如图，AB 是⊙O 直径，若∠AOC＝140°，则∠D 的度数是（ ） A．20° B．30° C．40° D．70° 【答案】A 【详解】 ∵∠AOC＝140°， ∴∠BOC＝180°-∠AOC=40°， ∵∠BOC 与∠BDC 都对 段 段 ， ∴∠D＝ ∠BOC＝20°， 故选 A． 2．（2018·江苏中考真题）如图，AB 为△ADC 的外接圆⊙O 的直径，若∠BAD=50°，则∠ACD=_____°． 【答案】40 【详解】 连接 BD，如图， ∵AB 为△ADC 的外接圆⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠ABD=90°﹣∠BAD=90°﹣50°=40°， ∴∠ACD=∠ABD=40°， 故答案为：40． 3．（2019·江苏中考真题）如图， 段 是⊙ 的直径， 、 ⸸ 是⊙ 上的两点， 段 0° ，则 ⸸ _____ ° ． 【答案】 0【详解】 80° 段 80° 0° 0° ， ⸸ ＝ 0° ． 故答案为： 0 ． 4．（2019·黑龙江中考真题）如图，在⊙ 中，半径 段 垂直于弦 ，点 ⸸ 在圆上且 段⸸ 0 ，则 段的度数为_____． 【答案】 0 【详解】 段 ⊥ ， 段 段 ， 段 段⸸ ， 段⸸ 0 ， 段 0 ， 故答案为 0 ． 考查题型七 圆周角定理推论的应用 1．（2018·北京中考真题）如图，点 段 ， ， ， ⸸ 在 上， ⸸ ， 段⸸ 0° ， 段⸸ 0° ，则 段⸸ ________． 【答案】70° 【解析】 详解：∵ = ⸸ ， ∴ 段 段⸸ 0° ， ∴ 60BAD   ， ∵ 段⸸ 段⸸ 0° ，∴ 段⸸ 80° 段⸸ 段⸸ 0° ． 故答案为： 0°2．（2018·贵州中考真题）如图，AB 是⊙O 的直径，C、D 为半圆的三等分点，CE⊥AB 于点 E，∠ACE 的 度数为_____． 【答案】30° 【详解】 如图，连接 OC． ∵AB 是直径， 段 ⸸ ⸸ ， ∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°， ∵OA=OC， ∴△AOC 是等边三角形， ∴∠A=60°， ∵CE⊥OA， ∴∠AEC=90°， ∴∠ACE=90°﹣60°=30°． 故答案为 30° 3.（2019·湖南中考真题）如图，C、D 两点在以 AB 为直径的圆上， 段 ， 段⸸ 0 ° ，则 段⸸ _______． 【答案】1 【详解】 解：∵AB 为直径， ∴ 段⸸ 90 ° ， ∵ 段⸸ 0 ° ， ∴ 段⸸ 段 ． 故答案为 1． 考查题型八 利用圆内接四边形的性质定理求角的度数 1．（2019·吉林中考模拟）如图，四边形 段⸸ 是半圆的内接四边形， 段 是直径， ⸸ ．若 0° ， 则 段 的度数等于（ ） A． ° B． 0° C． ° D． 0°【答案】A 【详解】 连接 AC， ∵四边形 ABCD 是半圆的内接四边形， ∴∠DAB=180°-∠C=70°， ∵ ⸸ ， ∴∠CAB= ∠DAB=35°， ∵AB 是直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ABC=90°-∠CAB=55°， 故选 A． 2．（2019·四川中考真题）如图，正五边形 段⸸ 内接于⊙ ， 为 ⸸ 上的一点（点 不与点 ⸸ 重合），则 ⸸ 的度数为（ ） A． 0° B． ° C． 0° D． °【答案】B 【详解】 连接 CO、DO，正五边形内心与相邻两点的夹角为 72°，即∠COD=72°， 同一圆中，同弧或同弦所对应的圆周角为圆心角的一半， 故∠CPD= ° ° , 故选 B. 3．（2019·广东中考模拟）如图，△ABC 内接于⊙O，AC 是⊙O 的直径，∠ACB＝40°，点 D 是劣弧 上一 点，连结 CD、BD，则∠D 的度数是( ) A．50° B．45° C．140° D．130° 【答案】D 【详解】 ∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠ABC=90°， ∴∠A=90°-∠ACB=90°-40°=50°， ∵∠D+∠A=180°， ∴∠D=180°-50°=130°． 故选 D． 4．（2018·辽宁中考模拟）如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，若∠B=80°，则∠ADC 的度数是（ ） A．60° B．80° C．90° D．100° 【答案】D 【详解】 ∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠ADC=180°-∠B=180°-80°=100°. 故选 D. 知识点三 与圆有关的位置关系  点与圆的位置有三种： 位置关系 图形 定义 性质及判定 点在圆外 P r O 点在圆的外部 ′ ㄴ 点 在 的外部. 点在圆上 P r O 点在圆周上 ㄴ 点 在 的圆周上. 点在圆内 P r O 点在圆的内部 ′ ㄴ 点 在 的内部. 三点定圆的方法： 1）经过点 段 的圆：以点 段 以外的任意一点 为圆心，以 段 的长为半径，即可作出过点 段 的圆，这样的圆 有无数个． 2）经过两点 段 、 的圆：以线段 中垂线上任意一点 作为圆心，以 段 的长为半径，即可作出过点 段 、 的圆，这样的圆也有无数个． 3）经过三点时： 情况一：过三点的圆：若这三点 、 、 共线时，过三点的圆不存在； 情况二：若 段 、 、 三点不共线时，圆心是线段 与 的中垂线的交点，而这个交点 是唯一存在的， 这样的圆有唯一一个． 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆． 反证法：首先假设某命题结论不成立（即假设经过同一条直线上的三个点可以作一个圆），然后推理出与定 义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。 【考查题型汇总】 考查题型九 点与圆的位置关系 1．（2018·北京中考模拟）在平面直角坐标系 xOy 中，若点 P（4，3）在⊙O 内，则⊙O 的半径 r 的取值范 围是（ ） A．0＜r＜4 B．3＜r＜4 C．4＜r＜5 D．r＞5 【答案】D 【详解】∵O（0，0），P（3，4）， ∴OP=    2 23 0 4 0   ， ∵点 P(3,4)在⊙O 内，⊙O 的半径 r， ∴r>5， 故选 D. 2．（2017·辽宁中考模拟）矩形 ABCD 中，AB＝8， 3 5BC  ，点 P 在边 AB 上，且 BP＝3AP，如果圆 P 是以点 P 为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）． A．点 B、C 均在圆 P 外； B．点 B 在圆 P 外、点 C 在圆 P 内； C．点 B 在圆 P 内、点 C 在圆 P 外； D．点 B、C 均在圆 P 内． 【答案】C 【详解】 ∵AB=8，点 P 在边 AB 上，且 BP=3AP ∴AP=2， ∴根据勾股定理得出，r=PD= 2 2(3 5) 2 =7， PC= 2 2 2 2 2 26 (3 5) = 6 (3 5)PB BC    =9， ∵PB=6＜r，PC=9＞r ∴点 B 在圆 P 内、点 C 在圆 P 外,故选 C． 3．（2019·上海中考模拟）在直角坐标平面内，点 O 是坐标原点，点 A 的坐标是（3，2），点 B 的坐标是（3， ﹣4）．如果以点 O 为圆心，r 为半径的圆 O 与直线 AB 相交，且点 A、B 中有一点在圆 O 内，另一点在圆 O 外，那么 r 的值可以取（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【详解】 ∵点 A 的坐标是（3，2），点 B 的坐标是（3，﹣4）， ∴OA＝ + = ， OB＝ + ＝5， ∵以点 O 为圆心，r 为半径的圆 O 与直线 AB 相交，且点 A、B 中有一点在圆 O 内，另一点在圆 O 外， ∴ ＜r＜5， ∴r＝4 符合要求． 故选 B． 4．（2016·四川中考模拟）已知矩形 ABCD 的边 AB=15，BC=20，以点 B 为圆心作圆，使 A，C，D 三点至 少有一点在⊙B 内，且至少有一点在⊙B 外，则⊙B 的半径 r 的取值范围是（ ）. A．r＞15 B．15＜r＜20 C．15＜r＜25 D．20＜r＜25 【答案】C 【解析】 当 d＞r 时，点在圆外；当 d=r 时，点在圆上；当 d＜r 时，点在圆内．在直角△BCD 中 CD=AB=15，BC=20， 则 BD= 2 215 20 = 625 =25．由图可知 15＜r＜25，故选 C．  直线和圆的位置关系 位置关系：设 的半径为 ㄴ ，圆心 到直线 的距离为 ，则直线和圆的位置关系如下表： 位置 关系 图形 定义 性质及判定 相离 l O d r 直线与圆没有公共点 ′ ㄴ 直线 与 相离 相切 l O d r 直线与圆有唯一公共点，直线叫 做圆的切线，公共点叫做切点 ㄴ 直线 与 相切 相交 l O d r 直线与圆有两个公共点，直线叫 做圆的割线 ′ ㄴ 直线 与 相交 切线的性质及判定（重点） 切线的性质： 定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 切线的判定 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 三角形内切圆概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这 个三角形叫做圆的外切三角形． 【考查题型汇总】 考查题型十 直线与圆的位置关系的应用 1．（2019·吉林中考模拟）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4cm，以点 C 为圆心，以 2cm 长为半径作圆，试判断⊙C 与 AB 的位置关系． 【答案】相切 【详解】 作 CD⊥AB 于点 D， ∵∠B＝30°，BC＝4cm， ∴CD＝ 1 2 BC＝2cm， 即 CD 等于圆的半径． ∵CD⊥AB， ∴AB 与⊙C 相切． 2．（2014·福建中考模拟）如图，在△ABC 中，AB=AC=10，BC=16，⊙A 的半径为 7，判断⊙A 与直线 BC 的位置关系，并说明理由． 【答案】⊙A 与直线 BC 相交．理由见解析. 【解析】 ⊙A 与直线 BC 相交． 过 A 作 AD⊥BC，垂足为点 D． ∵AB=AC，BC=16， ∴BD= BC= ×16=8， 在 Rt△ABC 中，AB=10，BD=8， ∴AD= 段 ⸸ 0 8 ， ∵⊙O 的半径为 7， ∴AD＜r，⊙A 与直线 BC 相交． 考查题型十一 利用切线的判定定理判定直线为切线的方法 1．（2018·山东中考模拟）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，∠BAD=90°，点 E 在 BC 的延长线上，且 ∠DEC=∠BAC． （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）若 AC∥DE，当 AB=8，CE=2 时，求 AC 的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）AC 的长为 16 5 5 ． 【解析】 （1）如图，连接 BD， ∵∠BAD=90°， ∴点 O 必在 BD 上，即：BD 是直径， ∴∠BCD=90°， ∴∠DEC+∠CDE=90°． ∵∠DEC=∠BAC， ∴∠BAC+∠CDE=90°． ∵∠BAC=∠BDC， ∴∠BDC+∠CDE=90°， ∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE． ∵点 D 在⊙O 上， ∴DE 是⊙O 的切线； （2）∵DE∥AC． ∵∠BDE=90°， ∴∠BFC=90°， ∴CB=AB=8，AF=CF= 1 2 AC， ∵∠CDE+∠BDC=90°，∠BDC+∠CBD=90°， ∴∠CDE=∠CBD． ∵∠DCE=∠BCD=90°， ∴△BCD∽△DCE， ∴ BD CD CD CE  ， ∴ 8 2 CD CD  ， ∴CD=4． 在 Rt△BCD 中，BD= 2 2BC CD =4 5 ， 同理：△CFD∽△BCD， ∴ CF CD BC BD  ， ∴ 4 8 4 5 CF  ， ∴CF= 8 5 5 ， ∴AC=2AF= 16 5 5 ． 2．（2019·四川中考模拟）已知：如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，∠B＝30°，延长 BA 到 D，使∠BDC ＝30°． (1)求证：DC 是⊙O 的切线； (2)若 AB＝2，求 DC 的长． 【答案】（1）证明见解析；（2） 3 . 【解析】 （1）连接 OC． ∵OB=OC，∠B=30°， ∴∠OCB=∠B=30°， ∴∠COD=∠B+∠OCB=60°， ∵∠BDC=30°， ∴∠BDC+∠COD=90°，DC⊥OC， ∵BC 是弦， ∴点 C 在⊙O 上， ∴DC 是⊙O 的切线，点 C 是⊙O 的切点； （2）解：∵AB=2， ∴OC=OB= 2 AB =1， ∵在 Rt△COD 中，∠OCD=90°，∠D=30°， ∴DC= 3 OC= 3 . 考查题型十二 三角形内心的应用 1．（2018·河北中考真题）如图，点 I 为△ABC 的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB 平移使其顶点与 I 重合，则图中阴影部分的周长为（ ） A．4.5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【详解】连接 AI、BI， ∵点 I 为△ABC 的内心， ∴AI 平分∠CAB， ∴∠CAI=∠BAI， 由平移得：AC∥DI， ∴∠CAI=∠AID， ∴∠BAI=∠AID， ∴AD=DI， 同理可得：BE=EI， ∴△DIE 的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4， 即图中阴影部分的周长为 4， 故选 B． 2．（2019·台湾中考真题）如图，直角三角形 ABC 的内切圆分别与 AB 、 BC 相切于 D 点、 E 点，根据图 中标示的长度与角度，求 AD 的长度为何？（ ） A． 3 2 B． 5 2 C． 4 3 D． 5 3 【答案】D 【详解】 解：设 AD x ， ∵直角三角形 ABC 的内切圆分别与 AB 、 BC 相切于 D 点、 E 点， 1BD BE   ， 1AB x   ， 4AC AD CE x    ， 在 Rt ABC 中，   2 221 5 4x x    ，解得 5 3x  ， 即 AD 的长度为 5 3 ． 故选：D． 3．（2019·安徽中考模拟）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，点 I 是△ABC 的内心，∠AIC=124°，点 E 在 AD 的延长线上，则∠CDE 的度数为（ ） A．56° B．62° C．68° D．78° 【答案】C 【解析】 ∵点 I 是△ABC 的内心， ∴∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA， ∵∠AIC=124°， ∴∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB） =180°﹣2（∠IAC+∠ICA） =180°﹣2（180°﹣∠AIC） =68°， 又四边形 ABCD 内接于⊙O， ∴∠CDE=∠B=68°， 故选 C． 考察题型十三 利用切线长定理进行计算 1．（2019·河南中考模拟）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，以 AC 为直径的⊙O 与 AB 边交于点 D，过 点 D 作⊙O 的切线．交 BC 于点 E． （1）求证：BE=EC （2）填空：①若∠B=30°，AC=2 3 ，则 DB=______； ②当∠B=______度时，以 O，D，E，C 为顶点的四边形是正方形． 【答案】（1）见解析；（2）①3；②45. 【详解】 （1）证明：连接 DO． ∵∠ACB=90°，AC 为直径， ∴EC 为⊙O 的切线； 又∵ED 也为⊙O 的切线， ∴EC=ED， 又∵∠EDO=90°， ∴∠BDE+∠ADO=90°， ∴∠BDE+∠A=90° 又∵∠B+∠A=90°， ∴∠BDE=∠B， ∴BE=ED， ∴BE=EC； （2）解：①∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2 3 ， ∴AB=2AC=4 3 ， ∴BC= 2 2AB AC =6， ∵AC 为直径， ∴∠BDC=∠ADC=90°， 由（1）得：BE=EC， ∴DE= 1 2 BC=3， 故答案为 3； ②当∠B=45°时，四边形 ODEC 是正方形，理由如下： ∵∠ACB=90°， ∴∠A=45°， ∵OA=OD， ∴∠ADO=45°， ∴∠AOD=90°， ∴∠DOC=90°， ∵∠ODE=90°， ∴四边形 DECO 是矩形， ∵OD=OC， ∴矩形 DECO 是正方形． 故答案为 45． 2．（2019·陕西高新一中中考模拟）如图，在△ABC 中，∠C＝90°，点 D 是 AB 边上一点，以 BD 为直径的 ⊙O 与边 AC 相切于点 E，与边 BC 交于点 F，过点 E 作 EH⊥AB 于点 H，连接 BE (1)求证：EH＝EC； (2)若 AB＝4，sinA＝ 2 3 ，求 AD 的长． 【答案】（1）证明见解析（2） 6 5 【详解】 (1)如图，连接 OE， ∵AC 与⊙O 相切， ∴OE⊥AC，且 BC⊥AC， ∴OE∥BC ∴∠CBE＝∠OEB， ∵EO＝OB， ∴∠EBO＝∠OEB ∴∠CBE＝∠EBO，且 CE⊥BC，EH⊥AB， ∴CE＝EH (2)∵sinA＝ 2 3 = OE OA ， ∴设 OE＝2a，AO＝3a，(a≠0) ∴OB＝2a， ∵AB＝AO+OB＝3a+2a＝4 ∴a＝ 4 5 ， ∵AD＝AB﹣BD＝4﹣4a ∴AD＝ 4 5 . 3．（2019·山东中考模拟）如图，CD 是⊙O 的切线，点 C 在直径 AB 的延长线上． （1）求证：∠CAD=∠BDC； （2）若 BD= 2 3 AD，AC=3，求 CD 的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）CD=2． 【解析】 （1）证明：连接 OD，如图所示． ∵OB=OD， ∴∠OBD=∠ODB． ∵CD 是⊙O 的切线，OD 是⊙O 的半径， ∴∠ODB+∠BDC=90°． ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠OBD+∠CAD=90°， ∴∠CAD=∠BDC． （2）∵∠C=∠C，∠CAD=∠CDB， ∴△CDB∽△CAD， ∴ BD CD AD AC  ． ∵BD= 2 3 AD， ∴ 2 3 BD AD  ， ∴ 2= 3 CD AC ， 又∵AC=3， ∴CD=2． 考查题型十四 直角三角形周长、面积与内切圆半径的应用 1．（2019·四川中考真题）已知关于 x 的一元二次方程 2 ( 4) 4 0x k x k    . （1）求证：无论 k 为任何实数，此方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根为 1x 、 2x ，满足 1 2 1 1 3 4x x   ，求 k 的值； （3）若 Rt △ ABC 的斜边为 5，另外两条边的长恰好是方程的两个根 1x 、 2x ，求 Rt ABC 的内切圆半径. 【答案】（1）详见解析；（2）2；（3）1 【详解】 （1）证明：∵ 2 2 2( 4) 16 8 16 ( 4) 0k k k k k          ， 无论 k 为任何实数时，此方程总有两个实数根. （2）由题意得： 1 2 4x x k   ， 1 2 4x x k  ， 1 2 1 1 3 4x x   1 2 1 2 3 4 x x x x   即 4 3 4 4 k k   ， 解得： 2k  ； （3）解： 解方程得： 1 4x  ， 2x k 根据题意得： 2 2 24 5k  ，即 3k  设直角三角形 ABC 的内切圆半径为 r ，如图， 由切线长定理可得： (3 ) (4 ) 5r r    ， 直角三角形 ABC 的内切圆半径 r = 3 4 5 12    ； 2．（2017·江苏中考模拟）实践操作如图，∠△ABC 是直角三角形，∠ACB=90，利用直尺和圆规按下列要 求作图，并在图中标明相应的字母.(保留作图痕迹，不写作法) ①作∠BAC 的平分线，交 BC 于点 0 ②以点 0 为圆心，OC 为半径作圆.综合运用在你所作的图中， (1)直线 AB 与⊙0 的位置关系是 (2)证明:BA·BD=BC·BO; (3)若 AC=5,BC=12，求⊙0 的半径 【答案】实践操作，作图见解析；综合运用：（1）相切；（2）证明见解析；（3）10 3 【解析】 实践操作，如图所示： 综合运用： 综合运用： （1）AB 与⊙O 的位置关系是相切． ∵AO 是∠BAC 的平分线， ∴DO=CO， ∵∠ACB=90°， ∴∠ADO=90°， ∴AB 与⊙O 的位置关系是相切； （2）∵AB、AC 是切线 ∴∠BDO=∠BCA=90° 又∠DBC=∠CBA ∴ΔBDO∽ΔCBA ∴ BD BO BC BA  即： BD BA BO BC   （3）因为 AC=5，BC=12， 所以 AD=5，AB=13， 所以 DB=13﹣5=7， 设半径为 x ，则 OC=OD=x ，BO=（12﹣x）， x2+82=（12﹣x）2， 解得：x=10 3 ． 答：⊙O 的半径为10 3 ． 考查题型十五 圆内接四边形综合 1.（2016·浙江中考真题）如图，已知四边形 ABCD 内接于圆 O，连结 BD，∠BAD=105°，∠DBC=75°． （1）求证：BD=CD； （2）若圆 O 的半径为 3，求 的长． 【答案】（1）证明过程见解析；（2）π 【解析】 （1）∵四边形 ABCD 内接于圆 O， ∴∠DCB+∠BAD=180°， ∵∠BAD=105°， ∴∠DCB=180°﹣105°=75°， ∵∠DBC=75°， ∴∠DCB=∠DBC=75°， ∴BD=CD； （2）∵∠DCB=∠DBC=75°， ∴∠BDC=30°， 由圆周角定理，得， 的度数为：60°， 故 = = =π， 答： 的长为π． 2．（2017·江苏中考模拟）如图所示，⊙C 过原点，且与两坐标轴分别交于点 A，B 两点，点 A 的坐标为（0， 3），M 是第三象限内 上一点，∠BMO＝120°，求⊙C 的半径． 【答案】3. 【详解】 ∵四边形 ABMO 是圆内接四边形，∠BMO=120°， ∴∠BAO=60°， ∵AB 是⊙C 的直径， ∴∠AOB=90°， ∴∠ABO=90°-∠BAO=90°-60°=30°， ∵点 A 的坐标为（0，3）， ∴OA=3， ∴AB=2OA=6， ∴⊙C 的半径长= 段 =3  圆和圆的位置关系 圆和圆的位置关系的定义、性质及判定：设 、 的半径分别为 、 ㄴ （其中 ′ ㄴ ），两圆圆心距为 ，则两圆位置关系如下表： 位置关系 图形 定义 性质及判定 外离 R r O 2 O 1 两个圆没有公共点，并且每个 圆上的点都在另一个圆的外 部． ′ ㄴ 两 圆 外 离 外切 R r O 2 O 1 两个圆有唯一公共点，并且除 了这个公共点之外，每个圆上 的点都在另一个圆的外部． ㄴ 两 圆 外 切 相交 R O 2 O 1 两个圆有两个公共点． ㄴ ′ ′ ㄴ 两圆相交 内切 R r O 2 O 1 两个圆有唯一公共点，并且除 了这个公共点之外，一个圆上 的点都在另一个圆的内部． ㄴ 两 圆 内 切 内含 R r O 2 O 1 两个圆没有公共点，并且一个 圆上的点都在另一个圆的内 部，两圆同心是两圆内含的一 种特例． 0 ′ ㄴ 两 圆内含 【说明】圆和圆的位置关系，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外 离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况． 【考查题型汇总】 考查题型十六 圆与圆的位置关系 1．（2019·上海中考真题）已知⊙A 与⊙B 外切，⊙C 与⊙A、⊙B 都内切，且 AB＝5，AC＝6，BC＝7，那 么⊙C 的半径长是（ ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】C 【详解】 设⊙A 的半径为 X,⊙B 的半径为 Y,⊙C 的半径为 Z. 5 6 7 X Y Z X Z Y         解得 9 3 2 Z X Y      故选 C 2．（2019·福建中考模拟）如图，已知∠POQ=30°，点 A、B 在射线 OQ 上（点 A 在点 O、B 之间），半径长 为 2 的⊙A 与直线 OP 相切，半径长为 3 的⊙B 与⊙A 相交，那么 OB 的取值范围是（ ） A．5＜OB＜9 B．4＜OB＜9 C．3＜OB＜7 D．2＜OB＜7 【答案】A 【详解】设⊙A 与直线 OP 相切时切点为 D，连接 AD， ∴AD⊥OP， ∵∠O=30°，AD=2， ∴OA=4， 当⊙B 与⊙A 相内切时，设切点为 C，如图 1， ∵BC=3， ∴OB=OA+AB=4+3﹣2=5； 当⊙A 与⊙B 相外切时，设切点为 E，如图 2， ∴OB=OA+AB=4+2+3=9， ∴半径长为 3 的⊙B 与⊙A 相交，那么 OB 的取值范围是：5＜OB＜9， 故选 A． 3．（2019·上海市南塘中学中考模拟） 已知⊙ A 的半径 AB 长是 5，点C 在 AB 上，且 3AC  ，如果 ⊙C 与⊙ A 有公共点，那么⊙C 的半径长 r 的取值范围是（ ） A． 2r  B． 8r  C． 2 8r  D． 2 8r  【答案】D 【详解】 解：∵⊙ A 的半径 AB 长是 5，点C 在 AB 上，且 3AC  ， ∴点C 到⊙ A 的最大距离为 8，最小距离为 2， ∵⊙C 与⊙ A 有公共点， ∴ 2 8r  ． 故选 D． 4．（2011·江苏中考真题）在△ABC 中，∠C=90°．AC=3cm．BC=4cm，若⊙A．⊙B 的半径分别为 1cm， 4cm．则⊙A 与⊙B 的位置关系是 ( ) A．外切 B．内切 C．相交 D．外离 【答案】A 【详解】 解： ∵∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm， ∴AB= 2 2AC BC =5cm， ∵⊙A，⊙B 的半径分别为 1cm，4cm， 又∵1+4=5， ∴⊙A 与⊙B 的位置关系是外切． 故选 A． 5．（2019·上海中考模拟）已知⊙ 1O 和⊙ 2O ，其中⊙ 1O 为大圆，半径为 3．如果两圆内切时圆心距等于 2， 那么两圆外切时圆心距等于（ ） A．1 B．4 C．5 D．8 【答案】B 【详解】 解：已知⊙ 1O 为大圆，半径为 3．如果两圆内切时圆心距等于 2， 故⊙ 2O 半径为 1， 故两圆外切时圆心距等于 3＋1＝4. 故选 B. 考查题型十七 利用圆的相关知识解决动态问题 1．（2019·河南中考模拟）如图，AB 为⊙O 的直径，点 D、E 位于 AB 两侧的半圆上，射线 DC 切⊙O 于点 D，已知点 E 是半圆弧 AB 上的动点，点 F 是射线 DC 上的动点，连接 DE、AE，DE 与 AB 交于点 P，再连 接 FP、FB，且∠AED＝45°． （1）求证：CD∥AB； （2）填空： ①当∠DAE＝ 时，四边形 ADFP 是菱形； ②当∠DAE＝ 时，四边形 BFDP 是正方形． 【答案】（1）详见解析；（2）①67.5°；②90°． 【分析】 （1）要证明 CD∥AB，只要证明∠ODF＝∠AOD 即可，根据题目中的条件可以证明∠ODF＝∠AOD，从而 可以解答本题； （2）①根据四边形 ADFP 是菱形和菱形的性质，可以求得∠DAE 的度数； ②根据四边形 BFDP 是正方形，可以求得∠DAE 的度数． 【详解】 （1）证明：连接 OD，如图所示， ∵射线 DC 切⊙O 于点 D， ∴OD⊥CD， 即∠ODF＝90°， ∵∠AED＝45°， ∴∠AOD＝2∠AED＝90°， ∴∠ODF＝∠AOD， ∴CD∥AB； （2）①连接 AF 与 DP 交于点 G，如图所示， ∵四边形 ADFP 是菱形，∠AED＝45°，OA＝OD， ∴AF⊥DP，∠AOD＝90°，∠DAG＝∠PAG， ∴∠AGE＝90°，∠DAO＝45°， ∴∠EAG＝45°，∠DAG＝∠PEG＝22.5°， ∴∠EAD＝∠DAG+∠EAG＝22.5°+45°＝67.5°， 故答案为：67.5°； ②∵四边形 BFDP 是正方形， ∴BF＝FD＝DP＝PB， ∠DPB＝∠PBF＝∠BFD＝∠FDP＝90°， ∴此时点 P 与点 O 重合， ∴此时 DE 是直径， ∴∠EAD＝90°， 故答案为：90°． 知识点四 正多边形和圆  正多边形 正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形． 正多边形的相关概念：  正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．  正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．  正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．  正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 半径、边心距，边长之间的关系： 画圆内接正多边形方法： 1） 量角器 （作法操作复杂，但作图较准确） 2） 量角器+圆规 （作法操作简单，但作图受取值影响误差较大） 3） 圆规+直尺 （适合做特殊正多边形，例如正四边形、正八边形、正十二边形…..）  圆锥 设 的半径为 ， ° 圆心角所对弧长为 ， 弧长公式： 80 （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关） 扇形面积公式： 扇形 0 母线的概念：连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段。 圆锥体表面积公式： （ 为母线） 备注：圆锥的表面积=扇形面积=底面圆面积 常见组合图形的周长、面积的几种常见方法： 1 公式法；② 割补法；③ 拼凑法；④ 等积变换法 【考查题型汇总】 考查题型十七 正多边形的有关计算 1．（2013·四川中考真题）如图，要拧开一个边长为 a＝6 mm 的正六边形螺帽，扳手张开的开口 b 至少为( ) A．6 2 mm B．12mm C．6 3 mm D．4 3 mm 【答案】C 【解析】 设正多边形的中心是 O，其一边是 AB， ∴∠AOB=∠BOC=60°， ∴OA=OB=AB=OC=BC， ∴四边形 ABCO 是菱形， ∵AB=6mm,∠AOB=60°， ∴cos∠BAC= AM AB ， ∴AM=6× 3 2 =3 3 (mm)， ∵OA=OC，且∠AOB=∠BOC， ∴AM=MC= 1 2 AC， ∴AC=2AM= 6 3 (mm). 故选 C. 2．（2015·广东中考模拟）正多边形的中心角是 36°，那么这个正多边形的边数是( ) A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】A 【解析】 试题分析：设这个正多边形的边数是 n， ∵正多边形的中心角是 36°， ∴ 0 =36°， 解得 n=10． 故选 A． 考查题型十八 弧长、扇形面积与圆锥侧面积的计算方法 1．（2019·盘锦市双台子区第四中学中考模拟）.如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径 CA=6，圆心角 ∠ACB=120°， 则此圆锥高 OC 的长度是_______． 【答案】4 2 【详解】 设圆锥底面圆的半径为 r， ∵AC=6，∠ACB=120°， ∴ 120 6 180l   =2πr， ∴r=2，即：OA=2， 在 Rt△AOC 中，OA=2，AC=6，根据勾股定理得，OC= 2 2AC OA =4 2 ， 故答案为 4 2 ． 2．（2019·贵州中考真题）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半 径 2r cm ，扇形的圆心角 120   ，则该圆锥的母线长l 为___cm ． 【答案】6. 【详解】 圆锥的底面周长 2 2 4    cm， 设圆锥的母线长为 R ，则： 120 4180 R   ， 解得 6R  ， 故答案为 6． 3．（2019·内蒙古中考模拟）如图，从直径为 4cm 的圆形纸片中，剪出一个圆心角为 90°的扇形 OAB，且点 O、A、B 在圆周上，把它围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是_____cm． 【答案】 2 2 【详解】 解：设圆锥的底面圆的半径为 r， 连结 AB，如图， ∵扇形 OAB 的圆心角为 90°， ∴∠AOB＝90°， ∴AB 为圆形纸片的直径， ∴AB＝4cm， ∴OB＝ 2 2 22 AB  cm， ∴扇形 OAB 的弧 AB 的长＝ 90 2 2 2180    π， ∴2πr＝ 2 π， ∴r＝ 2 2 （cm）． 故答案为 2 2 ． 考查题型十九 应用弧长公式解决运动轨迹或扫过面积问题 1．（2019·四川中考真题）如图，在 AOC 中， 3 1OA cm OC cm＝ ， ＝ ，将△AOC 绕点 O 顺时针旋转90 后 得到 BOD ，则 AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（ ） 2cm ． A． 2  B． 2 C．17 8  D．19 8  【答案】B 【详解】 解： AOC BOD  ≌ ， ∴阴影部分的面积＝扇形 OAB 的面积﹣扇形 OCD 的面积 2 290 3 90 1 2360 360         故选：B． 2．（2018·广东中考模拟）如图，将含 60°角的直角三角板 ABC 绕顶点 A 顺时针旋转 45°度后得到△AB′C′， 点 B 经过的路径为弧 BB′，若∠BAC=60°，AC=1，则图中阴影部分的面积是（ ） A． 2  B． 3  C． 4  D．π 【答案】A 【解析】 试题解析：如图， ∵在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=1， ∴BC=ACtan60°=1× 3 = 3 ，AB=2 ∴S△ABC= 1 2 AC•BC= 3 2 ． 根据旋转的性质知△ABC≌△AB′C′，则 S△ABC=S△AB′C′，AB=AB′． ∴S 阴影=S 扇形 ABB′+S△AB′C′-S△ABC = 245 2 360   = 2  ． 故选 A． 3．（2019·天津中考模拟）如图，已知正方形 ABCD 的顶点 A 、 B 在 O 上，顶点C 、 D 在 O 内，将正 方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转，使点 D 落在 O 上.若正方形 ABCD 的边长和 O 的半径均为 6cm ，则点 D 运动的路径长为（ ） A． 2 cm B． 3 2 cm C． cm D． 1 2 cm 【答案】C 【详解】 解：设圆心为 O，连接 AO，BO， OF， ∵AB=6，AO=BO=6， ∴AB=AO=BO， ∴三角形 AOB 是等边三角形， ∴∠OAB=60° ∵AF=AO=FO=6， ∴△FAO 是等边三角形， ∴∠OAF=60° ∠FAB=∠OAB+∠OAF =120°， ∴∠EAC=120°-90°=30°， ∵AD=AB=AF=6， ∴点 D 运动的路径长为： 30 6 180   =π． 故选：C． 4．（2019·湖州市第五中学中考模拟）如图，在 Rt△ABC 中，已知∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，扇形 CBD 的圆心角为 60°，点 E 为 CD 上一动点，P 为 AE 的中点，当点 E 从点 C 运动至点 D，则点 P 的运动路径长 是 ( ) A． 2  B． 6  C． D． 3 2 【答案】A 【详解】 如图，取 AB 的中点 Q，连结 PQ，连结 EB. ∵P 为 AE 的中点，Q 为 AB 的中点， ∴PQ 为△AEB 的中位线， ∴PQ∥EB，且 PQ= 1 2 EB= 1 2 BC= 3 2 . ∴点 P 在以 Q 为圆心， 3 2 为半径的圆上运动. 当点 E 从点 C 运动至点 D 时，点 P 所转动的角度为 60°， ∴点 P 的运动路径长是 360 2 180 2    . 故选：A. 5．（2019·东港区日照街道三中中考模拟）如图，平行四边形 ABCD 的对角线 BD＝6cm，若将平行四边形 ABCD 绕其对称中心 O 旋转 180°，则点 D 在旋转过程中所经过的路径长为（ ） A．3πcm B．6πcm C．πcm D．2πcm 【答案】A 【详解】 ∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴OB＝OD＝3， ∵平行四边形 ABCD 绕其对称中心 O 旋转 180°， ∴点 D 在旋转过程中所经过的路径为以 O 点为圆心，OD 为半径，圆心角为 180 的弧， ∴点 D 在旋转过程中所经过的路径长＝180 π 3 180   ＝3π（cm）． 故选 A． 考查题型二十 不规则图形的面积的计算 1．（2019·辽宁中考模拟）如图,在边长为 6 的菱形 ABCD 中, 60DAB   ,以点 D 为圆心,菱形的高 DF 为 半径画弧,交 AD 于点 E ,交 CD 于点G ,则图中阴影部分的面积是（ ） A．18 3 B．18 3 9 C． 99 3 2  D．18 3 3 【答案】B 【详解】 ∵四边形 ABCD 是菱形，∠DAB=60°， ∴AD=AB=6，∠ADC=180°-60°=120°， ∵DF 是菱形的高， ∴DF⊥AB， ∴DF=AD•sin60°=6× 3 2 =3 3 ， ∴阴影部分的面积=菱形 ABCD 的面积-扇形 DEFG 的面积 =6×3 2120 (3 3)3 360   =18 3 -9π． 故选 B． 2．（2015·四川中考真题）如图，已知⊙O 的周长为 4π， AB 的长为π，则图中阴影部分的面积为（ ） A． 2  B． 3  C． D．2 【答案】A 【解析】 试题分析：∵⊙O 的周长为 4π，∴⊙O 的半径是 r=4π÷2π=2，∵ AB 的长为π，∴ AB 的长等于⊙O 的周长 的 1 4 ，∴∠AOB=90°，∴S 阴影= 21 2 2 2 24      = 2  ．故选 A． 3．（2017·贵州中考模拟）如图，在△ABC 中，AB=AC，AB=8，BC=12，分别以 AB、AC 为直径作半圆， 则图中阴影部分的面积是（ ） A．64π﹣12 B．16π﹣32 C．16π﹣24 D．16π﹣12 【答案】D 【解析】 试题解析：设半圆与底边的交点是 D，连接 AD． ∵AB 是直径， ∴AD⊥BC． 又∵AB=AC， ∴BD=CD=6． 根据勾股定理，得 AD= 段 ⸸ =2 ． ∵阴影部分的面积的一半=以 AB 为直径的半圆的面积﹣三角形 ABD 的面积 =以 AC 为直径的半圆的面积﹣三角形 ACD 的面积， ∴阴影部分的面积=以 AB 为直径的圆的面积﹣三角形 ABC 的面积=16π﹣ ×12×2 =16π﹣12 ． 故选 D． 4．（2019·河北中考模拟）如图，以 AD 为直径的半圆 O 经过 Rt△ABC 斜边 AB 的两个端点，交直角边 AC 于点 E，B，E 是半圆弧的三等分点，弧 AB 的长为 4 3  ，则图中阴影部分的面积为（ ） A．6 3 ﹣ 4 3  B．9 3 ﹣ 8 3  C． 3 3 2 ﹣ 2 3  D．6 3 ﹣ 8 3  【答案】C 【详解】 解：连接 BD，BE，BO，EO， ∵B，E 是半圆弧的三等分点， ∴∠EOA=∠EOB=∠BOD=60°， ∴∠BAC=∠EBA=30°， ∴BE∥AD， 弧 AB 的长为 4π 3 ， ∴120• • 180 R = 4π 3 解得：R=2， ∴AB=ADcos30°=2 3 ， ∴BC= 1 2 AB= 3 ， ∴AC= 2 2AB BC = 2 2(2 3) ( 3) =3, ∴S△ABC= 1 2 ×BC×AC= 1 2 × 3 ×3= 3 3 2 ， ∵△BOE 和△ABE 同底等高， ∴△BOE 和△ABE 面积相等， ∴图中阴影部分的面积为：S△ABC-S 扇形 BOE= 3 3 2 - 260 2 360   = 3 3 2 - 2π 3 . 故选 C． 考查题型二十一 求圆锥侧面上两点之间的最短距离 1．（2012·浙江中考模拟）如图，已知 O 为圆锥的顶点，MN 为圆锥底面的直径，一只蜗牛从 M 点出发，绕 圆锥侧面爬行到 N 点时，所爬过的最短路线的痕迹（虚线）在侧面展开图中的位置是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 因为 MN 为圆锥底面的直径，展开后 D 图中 MN 即为直径，也为所爬过的最短路线的痕迹，故选 D． 2．（2015·黑龙江中考模拟）一圆锥体形状的圣诞帽，母线长是 30cm，底面圆的直径是 15cm，点 A 为圆锥 底面圆周上一点，从 A 点开始绕圆锥侧面缠一圈彩带回到 A 点，则彩带最少用（ ）厘米（接口处重合部 分忽略不计） A．30πcm B．30 cm C．15πcm D．1 5 cm 【答案】B 【解析】 试题分析：根据题意可得圆锥的展开图的圆心角= ㄴ ×360°=90°，则展开图为等腰直角三角形，根据勾股定理 可得斜边长为 30 cm. 考查题型二十二 运用圆锥侧面积知识解决实际问题 1．（2015·湖北中考模拟）如图是某公园的一角，∠AOB=90°，弧 AB 的半径 OA 长是 6 米，C 是 OA 的中 点，点 D 在弧 AB 上，CD∥OB，则图中休闲区（阴影部分）的面积是（ ） A． 910 32     米 2 B． 9 32     米 2 C． 96 32     米 2 D． 6 9 3  米 2 【答案】 C。 【解析】连接 OD，则 DOCAODS S S 阴影 扇形 。 ∵弧 AB 的半径 OA 长是 6 米，C 是 OA 的中点，∴OC= 1 2 OA= 1 2 ×6=3。 ∵∠AOB=90°，CD∥OB，∴CD⊥OA。 在 Rt△OCD 中，∵OD=6，OC=3，∴ 2 2 2 2CD= OD OC 6 3 3 3    。 又∵ CD 3 3 3sin DOC = =OD 6 2   ，∴∠DOC=60°。 ∴ 2 DOCAOD 60 6 1 9S S S = 3 3 3=6 3360 2 2         阴影 扇形 （米 2）。故选 C。 2．（2019·安徽中考模拟）如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条 AB 和 AC 的夹角为 120°，AB 长为 25cm， 贴纸部分的宽 BD 为 15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（ ） A．175πcm2 B．350πcm2 C． 800 3 πcm2 D．150πcm2 【答案】B 【详解】 ∵AB=25，BD=15， ∴AD=10， ∴S 贴纸= 2 2120 25 120 10 2360 360           =175π×2=350cm2， 故选 B．