2017年浙江省杭州市中考数学试卷

2017年浙江省杭州市中考数学试卷

‎2017年浙江省杭州市中考数学试卷 ‎　‎ 一．选择题 ‎1．（3分）﹣22=（　　）‎ A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4‎ ‎2．（3分）太阳与地球的平均距离大约是150 000 000千米，数据150 000 000用科学记数法表示为（　　）‎ A．1.5×108 B．1.5×109 C．0.15×109 D．15×107‎ ‎3．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD=2AD，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（3分）|1+|+|1﹣|=（　　）‎ A．1 B． C．2 D．2‎ ‎5．（3分）设x，y，c是实数，（　　）‎ A．若x=y，则x+c=y﹣c B．若x=y，则xc=yc C．若x=y，则 D．若，则2x=3y ‎6．（3分）若x+5＞0，则（　　）‎ A．x+1＜0 B．x﹣1＜0 C．＜﹣1 D．﹣2x＜12‎ ‎7．（3分）某景点的参观人数逐年增加，据统计，2014年为10.8万人次，2016年为16.8万人次．设参观人次的平均年增长率为x，则（　　）‎ A．10.8（1+x）=16.8 B．16.8（1﹣x）=10.8‎ C．10.8（1+x）2=16.8 D．10.8[（1+x）+（1+x）2]=16.8‎ ‎8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=1．把△ABC分别绕直线AB和BC旋转一周，所得几何体的底面圆的周长分别记作l1，l2，侧面积分别记作S1，S2，则（　　）‎ A．l1：l2=1：2，S1：S2=1：2 B．l1：l2=1：4，S1：S2=1：2‎ C．l1：l2=1：2，S1：S2=1：4 D．l1：l2=1：4，S1：S2=1：4‎ ‎9．（3分）设直线x=1是函数y=ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＜0）的图象的对称轴，（　　）‎ A．若m＞1，则（m﹣1）a+b＞0 B．若m＞1，则（m﹣1）a+b＜0‎ C．若m＜1，则（m+1）a+b＞0 D．若m＜1，则（m+1）a+b＜0‎ ‎10．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD=x，tan∠ACB=y，则（　　）‎ A．x﹣y2=3 B．2x﹣y2=9 C．3x﹣y2=15 D．4x﹣y2=21‎ ‎　‎ 二．填空题[来源:学|科|网]‎ ‎11．（4分）数据2，2，3，4，5的中位数是　 　．‎ ‎12．（4分）如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径．若∠ABT=40°，则∠ATB=　 　．‎ ‎13．（4分）一个仅装有球的不透明布袋里共有3个球（只有颜色不同），其中2个是红球，1个是白球，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出都是红球的概率是　 　．‎ ‎14．（4分）若•|m|=，则m=　 　．‎ ‎15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，点D在边AC上，AD=5，DE⊥BC于点E，连结AE，则△ABE的面积等于　 　．‎ ‎16．（4分）某水果点销售50千克香蕉，第一天售价为9元/千克，第二天降价6元/千克，第三天再降为3元/千克．三天全部售完，共计所得270元．若该店第二天销售香蕉t千克，则第三天销售香蕉　 　千克．（用含t的代数式表示．）‎ ‎　‎ 三．解答题 ‎17．（6分）为了了解某校九年级学生的跳高水平，随机抽取该年级50名学生进行跳高测试，并把测试成绩绘制成如图所示的频数表和未完成的频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．‎ ‎ 某校九年级50名学生跳高测试成绩的频数表 组别（m）‎ 频数 ‎1.09～1.19‎ ‎8‎ ‎1.19～1.29‎ ‎12‎ ‎1.29～1.39‎ A ‎1.39～1.49‎ ‎10‎ ‎（1）求a的值，并把频数直方图补充完整；‎ ‎（2）该年级共有500名学生，估计该年级学生跳高成绩在1.29m（含1.29m）以上的人数．‎ ‎18．（8分）在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k，b都是常数，且k≠0）的图象经过点（1，0）和（0，2）．‎ ‎（1）当﹣2＜x≤3时，求y的取值范围；‎ ‎（2）已知点P（m，n）在该函数的图象上，且m﹣n=4，求点P的坐标．‎ ‎19．（8分）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．‎ ‎（1）求证：△ADE∽△ABC；‎ ‎（2）若AD=3，AB=5，求的值．‎ ‎20．（10分）在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3．‎ ‎（1）设矩形的相邻两边长分别为x，y．[来源:学科网ZXXK]‎ ‎①求y关于x的函数表达式；‎ ‎②当y≥3时，求x的取值范围；‎ ‎（2）圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？‎ ‎21．（10分）如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG．‎ ‎（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；‎ ‎（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长．‎ ‎22．（12分）在平面直角坐标系中，设二次函数y1=（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0．‎ ‎（1）若函数y1的图象经过点（1，﹣2），求函数y1的表达式；‎ ‎（2）若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；‎ ‎（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．‎ ‎23．（12分）如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上（不与点A，B重合），点D为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G，设∠GAB=ɑ，∠ACB=β，∠EAG+∠EBA=γ，‎ ‎（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：‎ ɑ ‎30°‎ ‎40°‎ ‎50°‎ ‎60°‎ β ‎120°‎ ‎130°‎ ‎140°‎ ‎150°‎ γ ‎150°‎ ‎140°‎ ‎130°‎ ‎120°‎ 猜想：β关于ɑ的函数表达式，γ关于ɑ的函数表达式，并给出证明：‎ ‎（2）若γ=135°，CD=3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．‎ ‎　‎ ‎2017年浙江省杭州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题 ‎1．（3分）（2017•杭州）﹣22=（　　）‎ A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4‎ ‎【分析】根据幂的乘方的运算法则求解．‎ ‎【解答】解：﹣22=﹣4，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了幂的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方的运算法则．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2017•杭州）太阳与地球的平均距离大约是150 000 000千米，数据150 000 000用科学记数法表示为（　　）‎ A．1.5×108 B．1.5×109 C．0.15×109 D．15×107‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：将150 000 000用科学记数法表示为：1.5×108．‎ 故选A．‎ ‎【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2017•杭州）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD=2AD，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据题意得出△ADE∽△ABC，进而利用已知得出对应边的比值．‎ ‎【解答】解：∵DE∥BC，‎ ‎∴△ADE∽△ABC，‎ ‎∵BD=2AD，‎ ‎∴===，‎ 则=，‎ ‎∴A，C，D选项错误，B选项正确，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确得出对应边的比是解题关键．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2017•杭州）|1+|+|1﹣|=（　　）‎ A．1 B． C．2 D．2‎ ‎【分析】根据绝对值的性质，可得答案．‎ ‎【解答】解：原式1++﹣1=2，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了实数的性质，利用差的绝对值是大数减小数是解题关键．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2017•杭州）设x，y，c是实数，（　　）‎ A．若x=y，则x+c=y﹣c B．若x=y，则xc=yc C．若x=y，则 D．若，则2x=3y ‎【分析】根据等式的性质，可得答案．‎ ‎【解答】解：A、两边加不同的数，故A不符合题意；‎ B、两边都乘以c，故B符合题意；‎ C、c=0时，两边都除以c无意义，故C不符合题意；‎ D、两边乘以不同的数，故D不符合题意；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了等式的性质，熟记等式的性质并根据等式的性质求解是解题关键．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2017•杭州）若x+5＞0，则（　　）‎ A．x+1＜0 B．x﹣1＜0 C．＜﹣1 D．﹣2x＜12‎ ‎【分析】求出已知不等式的解集，再求出每个选项中不等式的解集，即得出选项．‎ ‎【解答】解：∵x+5＞0，‎ ‎∴x＞﹣5，‎ A、根据x+1＜0得出x＜﹣1，故本选项不符合题意；‎ B、根据x﹣1＜0得出x＜1，故本选项不符合题意；‎ C、根据＜﹣1得出x＜﹣5，故本选项不符合题意；‎ D、根据﹣2x＜12得出x＞﹣6，故本选项符合题意；‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了不等式的性质，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2017•杭州）某景点的参观人数逐年增加，据统计，2014年为10.8万人次，2016年为16.8万人次．设参观人次的平均年增长率为x，则（　　）‎ A．10.8（1+x）=16.8 B．16.8（1﹣x）=10.8‎ C．10.8（1+x）2=16.8 D．10.8[（1+x）+（1+x）2]=16.8‎ ‎【分析】设参观人次的平均年增长率为x，根据题意可得等量关系：10.8万人次×‎ ‎（1+增长率）2=16.8万人次，根据等量关系列出方程即可．‎ ‎【解答】解：设参观人次的平均年增长率为x，由题意得：‎ ‎10.8（1+x）2=16.8，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2017•杭州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=1．把△ABC分别绕直线AB和BC旋转一周，所得几何体的底面圆的周长分别记作l1，l2，侧面积分别记作S1，S2，则（　　）‎ A．l1：l2=1：2，S1：S2=1：2 B．l1：l2=1：4，S1：S2=1：2‎ C．l1：l2=1：2，S1：S2=1：4 D．l1：l2=1：4，S1：S2=1：4‎ ‎【分析】根据圆的周长分别计算l1，l2，再由扇形的面积公式计算S1，S2，求比值即可．‎ ‎【解答】解：∵l1=2π×BC=2π，‎ l2=2π×AB=4π，‎ ‎∴l1：l2=1：2，‎ ‎∵S1=×2π×=π，‎ S2=×4π×=2π，‎ ‎∴S1：S2=1：2，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了圆锥的计算，主要利用了圆的周长为2πr，侧面积=‎ lr求解是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2017•杭州）设直线x=1是函数y=ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＜0）的图象的对称轴，（　　）‎ A．若m＞1，则（m﹣1）a+b＞0 B．若m＞1，则（m﹣1）a+b＜0‎ C．若m＜1，则（m+1）a+b＞0 D．若m＜1，则（m+1）a+b＜0‎ ‎【分析】根据对称轴，可得b=﹣2a，根据有理数的乘法，可得答案．‎ ‎【解答】解：由对称轴，得 b=﹣2a．‎ ‎（m+1）a+b=ma+a﹣2a=（m﹣1）a，‎ 当m＞1时，（m﹣1）a＜0，（m﹣1）a+b与0无法判断．‎ 当m＜1时，（m﹣1）a＞0，（m﹣1）a+b（m﹣1）a﹣2a=（m﹣1）a＞0．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，利用对称轴得出b=﹣2a是解题关键．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2017•杭州）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD=x，tan∠ACB=y，则（　　）‎ A．x﹣y2=3 B．2x﹣y2=9 C．3x﹣y2=15 D．4x﹣y2=21‎ ‎【分析】过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥‎ BC于M，连接DE，根据线段垂直平分线求出DE=BD=x，根据等腰三角形求出BD=DC=6，求出CM=DM=3，解直角三角形求出EM=3y，AQ=6y，在Rt△DEM中，根据勾股定理求出即可．‎ ‎【解答】解：‎ 过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，‎ ‎∵BE的垂直平分线交BC于D，BD=x，‎ ‎∴BD=DE=x，‎ ‎∵AB=AC，BC=12，tan∠ACB=y，‎ ‎∴==y，BQ=CQ=6，‎ ‎∴AQ=6y，‎ ‎∵AQ⊥BC，EM⊥BC，‎ ‎∴AQ∥EM，‎ ‎∵E为AC中点，‎ ‎∴CM=QM=CQ=3，‎ ‎∴EM=3y，‎ ‎∴DM=12﹣3﹣x=9﹣x，‎ 在Rt△EDM中，由勾股定理得：x2=（3y）2+（9﹣x）2，‎ 即2x﹣y2=9，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键．‎ ‎　‎ 二．填空题 ‎11．（4分）（2017•杭州）数据2，2，3，4，5的中位数是　3　．‎ ‎【分析】‎ 根据中位数的定义即中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，即可求出答案．‎ ‎【解答】解：从小到大排列为：2，2，3，4，5，‎ 位于最中间的数是3，‎ 则这组数的中位数是3．‎ 故答案为：3．‎ ‎【点评】本题考查了中位数，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）（2017•杭州）如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径．若∠ABT=40°，则∠ATB=　50°　．‎ ‎【分析】根据切线的性质即可求出答案．‎ ‎【解答】解：∵AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠BAT=90°，‎ ‎∵∠ABT=40°，‎ ‎∴∠ATB=50°，‎ 故答案为：50°‎ ‎【点评】本题考查切线的性质，解题的关键是根据切线的性质求出∠ATB=90°，本题属于基础题型．‎ ‎　‎ ‎13．（4分）（2017•杭州）一个仅装有球的不透明布袋里共有3个球（只有颜色不同），其中2个是红球，1个是白球，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出都是红球的概率是　　．‎ ‎【分析】‎ 根据题意画出相应的树状图，找出所有可能的情况个数，进而找出两次都是红球的情况个数，即可求出所求的概率大小．‎ ‎【解答】解：根据题意画出相应的树状图，‎ 所以一共有9种情况，两次摸到红球的有4种情况，‎ ‎∴两次摸出都是红球的概率是，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】此题考查了列表法与树状图，根据题意画出相应的树状图是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）（2017•杭州）若•|m|=，则m=　3或﹣1　．‎ ‎【分析】利用绝对值和分式的性质可得m﹣1≠0，m﹣3=0或|m|=1，可得m．‎ ‎【解答】解：由题意得，‎ m﹣1≠0，‎ 则m≠1，‎ ‎（m﹣3）•|m|=m﹣3，‎ ‎∴（m﹣3）•（|m|﹣1）=0，‎ ‎∴m=3或m=±1，‎ ‎∵m≠1，‎ ‎∴m=3或m=﹣1，‎ 故答案为：3或﹣1．‎ ‎【点评】本题主要考查了绝对值和分式的性质，熟记分式分母不为0是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）（2017•杭州）如图，在Rt△ABC中，∠‎ BAC=90°，AB=15，AC=20，点D在边AC上，AD=5，DE⊥BC于点E，连结AE，则△ABE的面积等于　78　．‎ ‎【分析】由勾股定理求出BC==25，求出△ABC的面积=150，证明△CDE∽△CBA，得出，求出CE=12，得出BE=BC﹣CE=13，再由三角形的面积关系即可得出答案．‎ ‎【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，‎ ‎∴BC==25，△ABC的面积=AB•AC=×15×20=150，‎ ‎∵AD=5，‎ ‎∴CD=AC﹣AD=15，‎ ‎∵DE⊥BC，‎ ‎∴∠DEC=∠BAC=90°，‎ 又∵∠C=∠C，‎ ‎∴△CDE∽△CBA，‎ ‎∴，即，‎ 解得：CE=12，‎ ‎∴BE=BC﹣CE=13，‎ ‎∵△ABE的面积：△ABC的面积=BE：BC=13：25，‎ ‎∴△ABE的面积=×150=78；‎ 故答案为：78．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积；熟练掌握勾股定理，证明三角形相似是解决问题的关键 ‎　‎ ‎16．（4分）（2017•杭州）某水果点销售50千克香蕉，第一天售价为9元/千克，第二天降价6元/千克，第三天再降为3元/千克．三天全部售完，共计所得270元．若该店第二天销售香蕉t千克，则第三天销售香蕉　30﹣　千克．（用含t的代数式表示．）‎ ‎【分析】设第三天销售香蕉x千克，则第一天销售香蕉（50﹣t﹣x）千克，根据三天的销售额为270元列出方程，求出x即可．‎ ‎【解答】解：设第三天销售香蕉x千克，则第一天销售香蕉（50﹣t﹣x）千克，‎ 根据题意，得：9（50﹣t﹣x）+6t+3x=270，‎ 则x==30﹣，‎ 故答案为：30﹣．‎ ‎【点评】本题主要考查列代数式的能力，解题的关键是理解题意，抓住相等关系列出方程，从而表示出第三天销售香蕉的千克数．‎ ‎　‎ 三．解答题 ‎17．（6分）（2017•杭州）为了了解某校九年级学生的跳高水平，随机抽取该年级50名学生进行跳高测试，并把测试成绩绘制成如图所示的频数表和未完成的频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．‎ ‎ 某校九年级50名学生跳高测试成绩的频数表 组别（m）‎ 频数 ‎1.09～1.19‎ ‎8‎ ‎1.19～1.29‎ ‎12‎ ‎1.29～1.39‎ A ‎1.39～1.49‎ ‎10‎ ‎（1）求a的值，并把频数直方图补充完整；‎ ‎（2）该年级共有500名学生，估计该年级学生跳高成绩在1.29m（含1.29m）以上的人数．‎ ‎【分析】（1）利用总人数50减去其它组的人数即可求得a的值；‎ ‎（2）利用总人数乘以对应的比例即可求解．‎ ‎【解答】解：（1）a=50﹣8﹣12﹣10=20，‎ ‎；‎ ‎（2）该年级学生跳高成绩在1.29m（含1.29m）以上的人数是：500×=300（人）．‎ ‎【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了样本估计总体．‎ ‎　‎ ‎18．（8分）（2017•杭州）在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k，b都是常数，且k≠0）的图象经过点（1，0）和（0，2）．‎ ‎（1）当﹣2＜x≤3时，求y的取值范围；‎ ‎（2）已知点P（m，n）在该函数的图象上，且m﹣n=4，求点P的坐标．‎ ‎【分析】利用待定系数法求一次函数解析式得出即可；‎ ‎（1）利用一次函数增减性得出即可．‎ ‎（2）根据题意得出n=﹣2m+2，联立方程，解方程即可求得．‎ ‎【解答】解：设解析式为：y=kx+b，‎ 将（1，0），（0，2）代入得：，‎ 解得：，‎ ‎∴这个函数的解析式为：y=﹣2x+2；‎ ‎（1）把x=﹣2代入y=﹣2x+2得，y=6，‎ 把x=3代入y=﹣2x+2得，y=﹣4，‎ ‎∴y的取值范围是﹣4≤y＜6．‎ ‎（2）∵点P（m，n）在该函数的图象上，‎ ‎∴n=﹣2m+2，‎ ‎∵m﹣n=4，‎ ‎∴m﹣（﹣2m+2）=4，‎ 解得m=2，n=﹣2，‎ ‎∴点P的坐标为（2，﹣2）．‎ ‎【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，求得解析式上解题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．（8分）（2017•杭州）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．‎ ‎（1）求证：△ADE∽△ABC；‎ ‎（2）若AD=3，AB=5，求的值．‎ ‎【分析】（1）由于AG⊥BC，AF⊥DE，所以∠AFE=∠AGC=90°，从而可证明∠AED=∠ACB，进而可证明△ADE∽△ABC；‎ ‎（2）△ADE∽△ABC，，又易证△EAF∽△CAG，所以，从而可知．‎ ‎【解答】解：（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE，‎ ‎∴∠AFE=∠AGC=90°，‎ ‎∵∠EAF=∠GAC，‎ ‎∴∠AED=∠ACB，‎ ‎∵∠EAD=∠BAC，‎ ‎∴△ADE∽△ABC，‎ ‎（2）由（1）可知：△ADE∽△ABC，‎ ‎∴=‎ 由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°，‎ ‎∴∠EAF=∠GAC，‎ ‎∴△EAF∽△CAG，‎ ‎∴，‎ ‎∴=‎ ‎【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，本题属于中等题型．‎ ‎　‎ ‎20．（10分）（2017•杭州）在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3．‎ ‎（1）设矩形的相邻两边长分别为x，y．‎ ‎①求y关于x的函数表达式；‎ ‎②当y≥3时，求x的取值范围；‎ ‎（2）圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？‎ ‎【分析】（1）①直接利用矩形面积求法进而得出y与x之间的关系；②直接利用y≥3得出x的取值范围；‎ ‎（2）直接利用x+y的值结合根的判别式得出答案．‎ ‎【解答】解：（1）①由题意可得：xy=3，‎ 则y=；‎ ‎②当y≥3时，≥3‎ 解得：x≤1，‎ 故x的取值范围是：0＜x≤1；‎ ‎（2）∵一个矩形的周长为6，‎ ‎∴x+y=3，‎ ‎∴x+=3，‎ 整理得：x2﹣3x+3=0，‎ ‎∵b2﹣4ac=9﹣12=﹣3＜0，‎ ‎∴矩形的周长不可能是6；‎ 所以圆圆的说法不对．‎ ‎∵一个矩形的周长为10，‎ ‎∴x+y=5，‎ ‎∴x+=5，‎ 整理得：x2﹣5x+3=0，‎ ‎∵b2﹣4ac=25﹣12=13＞0，‎ ‎∴矩形的周长可能是10，‎ 所以方方的说法对．‎ ‎【点评】此题主要考查了反比例函数的应用以及一元二次方程的解法，正确得出y与x之间的关系是解题关键．‎ ‎　‎ ‎21．（10分）（2017•杭州）如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG．‎ ‎（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；‎ ‎（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长．‎ ‎【分析】（1）结论：AG2=GE2+GF2．只要证明GA=GC，四边形EGFC是矩形，推出GE=CF，在Rt△GFC中，利用勾股定理即可证明；‎ ‎（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一点M，使得AM=BM．设AN=x．易证AM=BM=2x，MN=x，在Rt△ABN中，根据AB2=AN2+BN2，可得1=x2+（2x+x）2，‎ 解得x=，推出BN=，再根据BG=BN÷cos30°即可解决问题；‎ ‎【解答】解：（1）结论：AG2=GE2+GF2．‎ 理由：连接CG．‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴A、C关于对角线BD对称，‎ ‎∵点G在BD上，‎ ‎∴GA=GC，‎ ‎∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，‎ ‎∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°，‎ ‎∴四边形EGFC是矩形，‎ ‎∴CF=GE，‎ 在Rt△GFC中，∵CG2=GF2+CF2，‎ ‎∴AG2=GF2+GE2．‎ ‎（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一点M，使得AM=BM．设AN=x．‎ ‎∵∠AGF=105°，∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°，‎ ‎∴∠AGB=60°，∠GBN=30°，∠ABM=∠MAB=15°，‎ ‎∴∠AMN=30°，‎ ‎∴AM=BM=2x，MN=x，‎ 在Rt△ABN中，∵AB2=AN2+BN2，‎ ‎∴1=x2+（2x+x）2，‎ 解得x=，‎ ‎∴BN=，‎ ‎∴BG=BN÷cos30°=+．‎ 方法二：过点A作AH⊥BG，可以构造两个特殊直角三角形，即可解决问题．‎ ‎【点评】本题考查正方形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理直角三角形30度的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2017•杭州）在平面直角坐标系中，设二次函数y1=（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0．‎ ‎（1）若函数y1的图象经过点（1，﹣2），求函数y1的表达式；‎ ‎（2）若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；‎ ‎（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．‎ ‎【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；‎ ‎（2）根据函数图象上的点满足函数解析式，可得答案；‎ ‎（3）根据二次函数的性质，可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）函数y1的图象经过点（1，﹣2），得 ‎（a+1）（﹣a）=﹣2，‎ 解得a1=﹣2，a2=1，‎ 函数y1的表达式y=（x﹣2）（x+2﹣1），化简，得y=x2﹣x﹣2；‎ 函数y1的表达式y=（x+1）（x﹣2）化简，得y=x2﹣x﹣2，‎ 综上所述：函数y1的表达式y=x2﹣x﹣2；‎ ‎（2）当y=0时（x+a）（x﹣a﹣1）=0，解得x1=﹣a，x2=a+1，‎ y1的图象与x轴的交点是（﹣a，0），（a+1，0），‎ 当y2=ax+b经过（﹣a，0）时，﹣a2+b=0，即b=a2；‎ 当y2=ax+b经过（a+1，0）时，a2+a+b=0，即b=﹣a2﹣a；‎ ‎（3）当P在对称轴的左侧（含顶点）时，y随x的增大而增大，‎ ‎（1，n）与（0，n）关于对称轴对称，‎ 由m＜n，得0＜x0≤；‎ 当时P在对称轴的右侧时，y随x的增大而减小，‎ 由m＜n，得＜x0＜1，‎ 综上所述：m＜n，求x0的取值范围0＜x0＜1．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解（1）的关键是利用待定系数法；解（2）的关键是把点的坐标代入函数解析式；解（3）的关键是利用二次函数的性质，要分类讨论，以防遗漏．‎ ‎　‎ ‎23．（12分）（2017•杭州）如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上（不与点A，B重合），点D为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G，设∠GAB=ɑ，∠ACB=β，∠EAG+∠EBA=γ，‎ ‎（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：‎ ɑ ‎30°‎ ‎40°‎ ‎50°‎ ‎60°‎ β ‎120°‎ ‎130°‎ ‎140°‎ ‎150°‎ γ ‎150°‎ ‎140°‎ ‎130°‎ ‎120°‎ 猜想：β关于ɑ的函数表达式，γ关于ɑ的函数表达式，并给出证明：‎ ‎（2）若γ=135°，CD=3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．‎ ‎【分析】（1）由圆周角定理即可得出β=α+90°，然后根据D是BC的中点，DE⊥BC，可知∠EDC=90°，由三角形外角的性质即可得出∠CED=α，从而可知O、A、E、B四点共圆，由圆内接四边形的性质可知：∠EBO+∠EAG=180°，即γ=﹣α+180°；‎ ‎（2）由（1）及γ=135°可知∠BOA=90°，∠BCE=45°，∠BEC=90°，由于△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，所以，根据勾股定理即可求出AE、AC的长度，从而可求出AB的长度，再由勾股定理即可求出⊙O的半径r；‎ ‎【解答】解：（1）猜想：β=α+90°，γ=﹣α+180°‎ 连接OB，‎ ‎∴由圆周角定理可知：2∠BCA=360°﹣∠BOA，‎ ‎∵OB=OA，‎ ‎∴∠OBA=∠OAB=α，‎ ‎∴∠BOA=180°﹣2α，‎ ‎∴2β=360°﹣（180°﹣2α），‎ ‎∴β=α+90°，‎ ‎∵D是BC的中点，DE⊥BC，‎ ‎∴OE是线段BC的垂直平分线，‎ ‎∴BE=CE，∠BED=∠CED，∠EDC=90°‎ ‎∵∠BCA=∠EDC+∠CED，‎ ‎∴β=90°+∠CED，‎ ‎∴∠CED=α，‎ ‎∴∠CED=∠OBA=α，‎ ‎∴O、A、E、B四点共圆，‎ ‎∴∠EBO+∠EAG=180°，‎ ‎∴∠EBA+∠OBA+∠EAG=180°，‎ ‎∴γ+α=180°；‎ ‎（2）当γ=135°时，此时图形如图所示，‎ ‎∴α=45°，β=135°，‎ ‎∴∠BOA=90°，∠BCE=45°，‎ 由（1）可知：O、A、E、B四点共圆，‎ ‎∴∠BEC=90°，‎ ‎∵△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 设CE=3x，AC=x，‎ 由（1）可知：BC=2CD=6，‎ ‎∵∠BCE=45°，‎ ‎∴CE=BE=3x，‎ ‎∴由勾股定理可知：（3x）2+（3x）2=62，‎ x=，‎ ‎∴BE=CE=3，AC=，‎ ‎∴AE=AC+CE=4，‎ 在Rt△ABE中，‎ 由勾股定理可知：AB2=（3）2+（4）2，‎ ‎∴AB=5，‎ ‎∵∠BAO=45°，‎ ‎∴∠AOB=90°，‎ 在Rt△AOB中，设半径为r，‎ 由勾股定理可知：AB2=2r2，‎ ‎∴r=5，‎ ‎∴⊙O半径的长为5．‎ ‎【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，勾股定理，解方程，垂直平分线的性质等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．‎ ‎　‎