2009年北京市东城区中考数学一模试卷

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2009年北京市东城区中考数学一模试卷

‎6 2009年北京市东城区中考数学一模试卷 一、选择题(8个小题,每小题4分,共32分)‎ 下列各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的.‎ ‎1.计算|-2009|的结果是( )‎ A.-2009 B. C.2009 D.‎ ‎2.函数的自变量x的取值范围是( )‎ A.x≠-2 B.x≥-‎2 ‎C.x>-2 D.x<-2‎ ‎3.我国2008年国内生产总值超过300 000亿元,比上一年增长9%.将数据300000亿元用科学记数法表示为( )‎ A.3×105亿元 B.30×104亿元 C.0.3×106亿元 D.3×104亿元 ‎4.下列运算正确的是( )‎ A.a2+a4=a6 B.a2·a4=a‎6 ‎C.(a4)2=a6 D.a6÷a2=a3‎ ‎5.若一个正n边形的一个外角为36°,则n等于 A.4 B.‎6 ‎C.8 D.10‎ ‎6.如图,点O在⊙A外,点P在线段OA上运动.以OP为半径的(⊙O与⊙A的位置关系不可能是下列中的( )‎ 第6题图 A.外离 B.相交 C.外切 D.内含 ‎7.在共有15人参加的“我爱祖国”演讲比赛中,参赛选手要想知道自己是否能进入前8名,除了需要了解自己的成绩外,还需要了解全部成绩的( )‎ A.平均数 B.众数 C.中位数 D.方差 ‎8.在正方体的表面上画有如图①中所示的粗线,图②是其展开图的示意图,但只在A面上画有粗线,那么将图①中剩余两个面中的粗线画入图②中,画法正确的是( )‎ 第8题图 二、填空题(4个小题,每小题4分,共16分)‎ ‎9.如图,将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上,∠1=30°,∠2=50°,则∠3=________.‎ ‎ ‎ ‎ 第9题图 第11题图 ‎10.在实数范围内分解因式:x2y-6xy+9y=________.‎ ‎11.如图,AB、CD是水平放置的轮盘(俯视图)上两条互相垂直的直径,一个小钢球在轮盘上自由滚动,该小钢球最终停在阴影区域的概率为________.‎ ‎12.按一定规律排列的一列数依次为:,,,,,…,按此规律排列下去,这列数中的第9个数是________.‎ 三、解答题(5个小题,每小题5分,共25分)‎ ‎13.计算:.‎ ‎14.解不等式组 ‎15.解方程:.‎ ‎16.如图,已知D是△ABC的边AB上一点,FC∥AB,DF交AC于点E,DE=EF.求证:E是AC的中点.‎ 第16题图 ‎17.已知:x-2y=0,求的值.‎ 四、解答题(2个小题,每小题5分,共10分)‎ ‎18.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=45°,∠D=120°,CD=‎4‎cm,求AB的长.‎ 第18题图 ‎19.阅读对人成长的影响是巨大的,一本好书往往能改变人的一生.每年的‎4月23日被联合国教科文组织确定为“世界读书日”.如图是某校全校三个年级学生人数分布扇形统计图,其中八年级人数为350人,表(1)是该校学生阅读课外书籍情况统计表.请你根据图表中的信息,解答下列问题:‎ ‎(1)求该校九年级的人数占全校总人数的百分率.‎ ‎(2)求出表(1)中A、B的值.‎ ‎(3)该校学生平均每人读多少本课外书?‎ 图书种类 频数 频率 科普常识 B ‎0.2‎ 名人传记 ‎500‎ ‎0.25‎ 漫画丛书 ‎800‎ A 其他 ‎300‎ ‎0.15‎ 第19题图 五、解答题(3个小题,每小题5分,共15分)‎ ‎20.某商场用36万元购进A,B两种商品,销售完后共获利6万元,其进价和售价如下表:‎ A B 进价(元/件)‎ ‎1200‎ ‎1000‎ 售价(元/件)‎ ‎1380‎ ‎1200‎ ‎(注:获利=售价-进价)‎ 求该商场购进A,B两种商品各多少件.‎ ‎21.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,点D是边BC的中点.以BD为直径作圆O,交边AB于点P,连结PC,交AD于点E.‎ ‎(1)求证:AD是圆O的切线;‎ ‎(2)若PC是圆O的切线,BC=8,求DE的长.‎ 第21题图 ‎22.如图,反比例函数的图象过矩形OABC的顶点B,OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上,OA∶OC=2∶1.‎ ‎(1)设矩形OABC的对角线交于点E,求出E点的坐标;‎ ‎(2)若直线y=2x+m平分矩形OABC面积,求m的值.‎ 第22题图 六、解答题(3个小题,共22分)‎ ‎23.(本题满分7分)已知:关于x的一元二次方程x2-2(‎2m-3)x+‎4m2‎-‎14m+8=0.‎ ‎(1)若m>0,求证:方程有两个不相等的实数根;‎ ‎(2)若12<m<40的整数,且方程有两个整数根,求m的值.‎ ‎24.(本题满分7分)在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,且点A(0,2),点C(-1,0),如图所示,抛物线y=ax2+ax-2经过点B.‎ ‎(1)求点B的坐标;‎ ‎(2)求抛物线的解析式;‎ ‎(3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外),使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?若存在,求所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 第24题图 ‎25.(本题满分8分)请阅读下列材料:‎ 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.即如图①,若弦AB、CD交于点P则PA·PB=PC·PD.请你根据以上材料,解决下列问题.‎ 已知⊙O的半径为2,P是⊙O内一点,且OP=1,过点P任作一弦AC,过A、C两点分别作⊙O的切线m和n,作PQ⊥m于点Q,PR⊥n于点R.(如图②)‎ ‎(1)若AC恰经过圆心O,请你在图③中画出符合题意的图形,并计算:的值;‎ ‎(2)若OP⊥AC,请你在图④中画出符合题意的图形,并计算:的值;‎ ‎(3)若AC是过点P的任一弦(图②),请你结合(1)(2)的结论,猜想:的值,并给出证明.‎ ‎ ‎ ‎① ②‎ 第25题图 答 案 ‎6.2009年北京市东城区中考数学一模试卷 一、选择题 ‎1.C 2.B 3.A 4.B 5.D 6.D 7.C 8.A 二、填空题 ‎9.20° 10.y(x-3)2 11. 12.‎ 三、解答题 ‎13.原式=4-2-1+1=2‎ ‎14.解:‎ 解不等式①得x<-1‎ 解不等式②得x≥-4‎ ‎∴原不等式组的解集为-4≤x<-1.‎ ‎15.解:方程两边都乘以x(x-1),‎ 得x2+2(x-1)=x(x-1),‎ 解这个方程,得x=.‎ 经检验,x=是原方程的根.‎ ‎∴原方程的根是x=.‎ ‎16.证明:∵FC∥AB,∴∠ADF=∠F.‎ 又∵∠AED=∠CEF,DE=EF,∴△ADE≌△CEF(SAS).∴AE=CE.‎ 即E是AC的中点.‎ ‎17.解:‎ ‎.‎ ‎∵x=2y,‎ ‎∴原式.‎ 四、解答题 ‎18.解:过点A、D分别作AE⊥BC、DF⊥BC,垂足分别为点E、F.‎ ‎∴∠AEB=∠DFC=90°.‎ ‎∵AD∥BC,∠D=120°,‎ ‎∴∠C=60°‎ 在Rt△DFC中,∠DFC=90°,∠C=60°,CD=4.‎ ‎.‎ 易证:四边形AEFD为矩形.∴AE=DF=6.‎ 在Rt△AEB中,∠AEB=90°,∠B=45°,‎ ‎.‎ 第18题答图 ‎19.解:(1)1-25%-35%=40%‎ ‎(2)A=1-0.2-0.25-0.15=0.4‎ ‎500÷0.25=2000‎ B=2000-500-800-300=400‎ ‎∴A的值为0.4,B的值400‎ ‎(3)350÷35%=1000‎ ‎2000÷1000=2‎ ‎∴该校学生平均每人读2本课外书.‎ 五、解答题 ‎20.解:(1)设购进A种商品x件,B种商品y件.‎ 根据题意,得 化简,得 解得 答:该商场购进A,B两种商品分别为200件和120件.‎ ‎21.(1)证明:∵AB=AC,点D是边BC的中点,‎ ‎∴AD⊥BD.‎ 又∵BD是圆O直径,‎ ‎∴AD是圆O的切线.‎ ‎(2)解:连结OP,由BC=8,得CD=4,OC=6,OP=2.‎ ‎∵PC是圆O的切线,O为圆心,‎ ‎∴∠OPC=90°.‎ 由勾股定理,得PC=4.‎ 在△OPC中,.‎ 在△DEC中,∵,‎ ‎.‎ 第21题答图 ‎22.解:(1)由题意,设B(‎2a,a)(a≠0),则a=,∴a=±2.‎ ‎∵B在第一象限,‎ ‎∴a=2,B(4,2),‎ ‎∴矩形OABC对角线的交点E为(2,1).‎ ‎(2)∵直线y=2x+m平分矩形OABC必过点(2,1),‎ ‎∴1=2×2+m.∴m=-3.‎ 第22题答图 六、解答题 ‎23.(1)证明:Δ=[-2(‎2m-3)]2-4(‎4m2‎-‎14m+8)=‎8m+4.‎ ‎∵m>0,∴‎8m+4>0.‎ ‎∴方程有两个不相等的实数根.‎ ‎(2).‎ ‎∵方程有两个整数根,必须使为整数且m为整数.‎ 又∵12<m<40,∴25<‎2m+1<81.‎ ‎.‎ 令,.‎ 令,.‎ 令,.‎ ‎∴m=24‎ ‎24.解:(1)过点B作BD⊥x,垂足为D,‎ ‎∵∠BCD+∠ACO=90°,∠ACO+∠OAC=90°,‎ ‎∴∠BCD=∠CAO.‎ 又∵∠BDC=∠COA=90°;CB=AC,‎ ‎∴△BCD≌△CAO,‎ ‎∴BD=OC=1,CD=OA=2,‎ ‎∴点B的坐标为(-3,1).‎ ‎(2)抛物线y=ax2+ax-2经过点B(-3,1),‎ 则得到1=‎9a-‎3a-2,‎ 解得,∴抛物线解析式为.‎ 第24题答图 ‎(3)方法一:‎ ‎①若以AC为直角边,点C为直角顶点,‎ 则可以设直线BC交抛物线于点P1,‎ 由题意,直线BC的解析式为:,‎ 解得(舍)‎ ‎∴P1(1,-1).‎ 过点P1作P‎1M⊥x轴于点M,‎ 在Rt△P1MC中,‎ ‎∴CP1=AC.‎ ‎∴△ACP1为等腰直角三角形.‎ ‎②若以AC为直角边,点A为直角顶点;‎ 则过点A作AF∥BC,交抛物线于点P2,‎ 由题意,直线AF的解析式为,‎ 解得(舍)‎ ‎∴P2(2,1).‎ 过点P2作P2N⊥y轴于点N,‎ 在Rt△AP2N中,,‎ ‎∴AP2=AC,‎ ‎∴△ACP2为等腰直角三角形.‎ 综上所述,在抛物线上存在点P1(1,-1)P2(2,1),使△ACP是以AC为直角边的等腰直角三角形.‎ 方法二:‎ ‎①若以AC为直角边,点C为直角顶点,‎ 则延长BC至点P1,使得P‎1C=BC,得到等腰直角三角形△ACP1,过点P1作P‎1M⊥x轴.‎ ‎∵CP1=BC,∠MCP1=∠BCD,∠P1MC=∠BDC=90°,‎ ‎∴△MP‎1C≌△DBC,‎ ‎∴CM=CD=2,∴P‎1M=BD=1,可求得点P1(1,-1);‎ 经检验点P1(1,-1)在抛物线上,使得△ACP1是等腰直角三角形.‎ ‎②若以AC为直角边,点A为直角顶点;则过点A作AP2⊥CA,且使得AP2=AC,‎ 得到等腰直角三角形△ACP2,过点P2作P2N⊥y轴,同理可证△AP2N≌△CAO,‎ ‎∴NP2=OA=2,AN=OC=1,可求得点P2(2,1),‎ 经检验点P2(2,1)也在抛物线上,使得△ACP2也是等腰直角三角形.‎ ‎25.解:(1)AC过圆心O,且m,n分别切⊙O于点A,C,如图①所示,‎ 第25题答图 ‎∴AC⊥m于点A,AC⊥n于点C,∴Q与A重合,R与C重合,OP=1,AC=4,‎ ‎.‎ ‎(2)连结OA,如图②所示,‎ OP⊥AC于点P,且OP=1,OA=2,‎ ‎∴∠OAP=30°,‎ ‎∴AP=.‎ OA⊥直线m,PQ⊥直线m,‎ ‎∴OA∥PQ,∠PQA=90°,‎ ‎∴∠APQ=∠OAP=30°,‎ ‎∴在Rt△AQP中,.‎ 同理,,‎ ‎.‎ ‎(3)猜想 证明:过点A作直径交⊙O于点E,连结CE,如图③所示,∴ECA=90°.‎ AE⊥直线m,PQ⊥直线m,‎ ‎∴AE∥PQ且∠PQA=90°.‎ ‎∴∠EAC=∠APQ.‎ ‎∴△AEC∽△PAQ.‎ 同理可得:∴‎ ‎①+②,得 ‎,‎ ‎.‎ 过点P作直径交O于点M,N 由阅读材料可知:AP·PC=PM·PN=3.‎
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