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文档介绍
2009年北京市海淀区中考数学一模试卷
2 2009年北京市海淀区中考数学一模试卷 一、选择题(本题共32分,每小题4分) 在下列各题的四个备选答案中,只有一个是正确的. 1.的相反数是( ) A.-2 B.2 C. D. 2.2009年北京启动了历史上规模最大的轨道交通投资建设,预计北京市轨道交通投资将达到51 800 000 000元人民币.将51 800 000 000用科学记数法表示正确的是( ) A.51.8×109 B.5.18×1010 C.0.518×1011 D.518×108 3.如图,已知AB∥CD,点E在CD上,BC平分∠ABE,若∠C=25°,则∠ABE的度数是( ) A.12.5° B.25° C.50° D.60° 第3题图 4.在樱桃采摘园,五位游客每人各采摘了一袋樱桃,质量分别为(单位:千克):5,2,3,5,5,则这组数据的平均数和中位数分别为( ) A.4,3 B.3,5 C.4,5 D.5,5 5.若两圆的半径分别为4和3,圆心距为1,则这两圆的位置关系是( ) A.内含 B.内切 C.相交 D.外切 6.袋子中有5个红球,3个蓝球,它们只有颜色上的区别.从袋子中随机取出一个球,取出蓝球的概率是( ) A. B. C. D. 7.把代数式a3-4a2+4a分解因式,下列结果中正确的是( ) A.a(a-2)2 B.a(a2-4) C.a(a+2)2 D.a(a+2)(a-2) 8.右图是画有一条对角线的平行四边形纸片ABCD,用此纸片可以围成一个无上下底面的 三棱柱纸筒,则所围成的三棱柱纸筒可能是( ) 第8题图 二、填空题(本题共16分,每小题4分) 9.若实数x,y满足,则代数式xy-x2的值为________. 10.已知反比例函数的图象经过点(2,3),则k=________. 11.如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,△ABC的三个顶点均在格点上,则BC边上的高为________. 第11题图 12.如图,在平面直角坐标系xOy中,A(-3,0),B(0,1),形状相同的抛物线Cn(n=1,2,3,4,…)的顶点在直线AB上,其对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2,3,5,8,12,…,根据上述规律,抛物线C2的顶点坐标为________;抛物线C8的顶点坐标为________. 第12题图 三、解答题(本题共30分,每小题5分) 13.计算:. 14.解不等式组: 15.已知:如图,点B、E、F、C在同一条直线上,AB=DE,BE=CF,∠B=∠CED.求证:AF=DC. 第15题图 16.计算:. 17.已知直线l与直线y=-2x+m交于点(2,0),且与直线y=3x平行,求m的值及直线l的解析式. 18.如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,∠D=90°,∠ACD=30°,AB=12,BC=10,求AD的长. 第18题图 四、解答题(本题共20分,第19题5分,第20题6分,第21题5分,第22题4分) 19.如图,已知AB为⊙O的弦,C为⊙O上一点,∠C=∠BAD,且BD⊥AB于B. (1)求证:AD是⊙O的切线; (2)若⊙O的半径为3,AB=4,求AD的长. 第19题图 20.某种子培育基地用A、B、C、D四种型号的小麦种子共2000粒进行发芽实验,从中选出发芽率高的种子进行推广.通过实验得知,C型号种子的发芽率为94%.根据实验数据绘制了图①和图②两幅尚不完整的统计图.请你根据所给信息,解答下列问题: (1)D型号种子数是________粒; (2)请你将图②的统计图补充完整; (3)通过计算说明,应选哪一个型号的种子进行推广;如果所选型号进行推广的种子共有200000粒,估计能有多少粒种子会发芽. 第20题图 21.甲、乙同学帮助学校图书馆清点一批图书,已知甲同学清点200本图书与乙同学清点300本图书所用的时间相同,且甲同学平均每分钟比乙同学少清点10本,求甲同学平均每分钟清点图书的数量. 22.我们给出如下定义:如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等,则把这对顶点叫做这个四边形的一对等高点.例如:如图①,平行四边形ABCD中,可证点A、C到BD的距离相等,所以点A、C是平行四边形ABCD的一对等高点,同理可知点B、D也是平行四边形ABCD的一对等高点. (1)如图②,已知平行四边形ABCD,请你在图②中画出一个只有一对等高点的四边形ABCE(要求:画出必要的辅助线); (2)已知P是四边形ABCD对角线BD上任意一点(不与B、D点重合),请分别探究图③、图④中S1,S2,S3,S4四者之间的等量关系(S1,S2,S3,S4分别表示△ABP,△CBP,△CDP,△ADP的面积): ①如图③,当四边形ABCD只有一对等高点A、C时,你得到的一个结论是________; ②如图④,当四边形ABCD没有等高点时,你得到的一个结论是________. 第22题图 五、解答题(本题共22分,第23题7分,第24题7分,第25题8分) 23.已知:关于x的一元一次方程kx=x+2①的根为正实数,二次函数y=ax2-bx+kc(c≠0)的图象与x轴一个交点的横坐标为1. (1)若方程①的根为正整数,求整数k的值; (2)求代数式的值; (3)求证:关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0②必有两个不相等的实数根. 24.在课外小组活动时,小慧拿来一道题(原问题)和小东、小明交流. 原问题:如图①,已知△ABC,∠ACB=90°,∠ABC=45°,分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE,且DA=DB,EB=EC,∠ADB=∠BEC=90°,连结DE交AB于点F.探究线段DF与EF的数量关系. 小慧同学的思路是:过点D作DG⊥AB于G,构造全等三角形,通过推理使问题得解. 小东同学说:我做过一道类似的题目,不同的是∠ABC=30°,∠ADB=∠BEC=60°. 小明同学经过合情推理,提出一个猜想,我们可以把问题推广到一般情况. 请你参考小慧同学的思路,探究并解决这三位同学提出的问题: (1)写出原问题中DF与EF的数量关系; (2)如图②,若∠ABC=30°,∠ADB=∠BEC=60°,原问题中的其他条件不变,你在(1)中得到的结论是否发生变化?请写出你的猜想并加以证明; (3)如图③,若∠ADB=∠BEC=2∠ABC,原问题中的其他条件不变,你在(1)中得到的结论是否发生变化?请写出你的猜想并加以证明. 第24题图 25.已知抛物线经过点A(0,4)、B(1,4)、C(3,2),与x轴正半轴交于点D. (1)求此抛物线的解析式及点D的坐标; (2)在x轴上求一点E,使得△BCE是以BC为底边的等腰三角形; (3)在(2)的条件下,过线段ED上动点P作直线PF∥BC,与BE、CE分别交于点F、G,将△EFG沿FG翻折得到△E′FG.设P(x,0),△E′FG与四边形FGCB重叠部分的面积为S,求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围. 第25题图 答 案 2.2009年北京市海淀区中考数学一模试卷 一、选择题 1.D 2.B 3.C 4.C 5.B 6.B 7.A 8.C 二、填空题 9.2 10.6 11. 12.(3,2) 三、解答题 13.解: . 14.解:解不等式①,得x>2. 解不等式②,得x<3. 所以原不等式组的解集为2<x<3. 15.证明:∵BE=CF, ∴BE+EF=CF+EF. ∴BF=EC. 在△ABF和△DEC中, ∴△ABF≌△DEC. ∴AF=DC. 第15题答图 16.解: . 17.解:依题意,点(2,0)在直线y=-2x+m上, ∴0=-2×2+m.∴m=4. 由直线l与直线y=3x平行,可设直线l的解析式为y=3x+n. ∵点(2,0)在直线l上,∴0=3×2+n.∴n=-6. 故直线l的解析式为y=3x-6. 18.解:过点B作BE⊥AC于E,则∠AEB=∠BEC=90°. ∵AB∥DC, ∴∠BAE=∠ACD=30°. 又∵AB=12, ,AE=AB·cos30°=6. 在Rt△BEC中,∠BEC=90°, . ∴AC=AE+EC=6+8. 在Rt△ADC中,∠D=90°,∠ACD=30°, . 第18题答图 四、解答题 19.(1)证明:如图,连结AO并延长交⊙O于点E,连结BE,则∠ABE=90°. ∴∠EAB+∠E=90°. ∵∠E=∠C,∠C=∠BAD, ∴∠EAB+∠BAD=90°. ∴AD是⊙O的切线. (2)解:由(1)知∠ABE=90°. ∵AE=2AO=6,AB=4, . ∴∠E=∠C=∠BAD,BD⊥AB于B, ∴cos∠BAD=cos∠E. ,即.. 第19题答图 20.解:(1)400. (2)C型号种子的发芽数为470粒.图略. (3)A型号种子的发芽率为, B型号种子的发芽率为, D型号种子的发芽率为,C型号种子的发芽率为94%. 应选D型号的种子进行推广. 200000×95%=190000(粒). 估计能有190000粒种子会发芽. 21.解:设甲同学平均每分钟清点图书x本,则乙同学平均每分钟清点图书(x+10)本, 依题意,得, 解得x=20. 经检验x=20是原方程的解,且符合题意. 答:甲同学平均每分钟清点图书20本. 22.解:(1) 比如: 第22题答图 (2)①S1+S4=S2+S3或S1+S3=S2+S4或S1·S3=S2·S4或等. ②S1·S3=S2·S4或等. 五、解答题 23.(1)解:由kx=x+2,得(k-1)x=2. 依题意k-1≠0. . ∵方程的根为正整数,k为整数, ∴k-1=1或k-1=2. ∴k1=2,k2=3. (2)解:依题意,二次函数y=ax2-bx+kc的图象经过点(1,0), ∴0=a-b+kc,kc=b-a. . (3)证明:方程②的判别式为Δ=(-b)2-4ac=b2-4ac. 由a≠0,c≠0,得ac≠0. (i)若ac<0,则-4ac>0.故Δ=b2-4ac>0.此时方程②有两个不相等的实数根. (ii)证法一:若ac>0,由(2)知a-b+kc=0,故b=a+kc. Δ=b2-4ac=(a+kc)2-4ac=a2+2kac+(kc)2-4ac=a2-2kac+(kc)2+4kac-4ac =(a-kc)2+4ac(k-1). ∵方程kx=x+2的根为正实数, ∴方程(k-1)x=2的根为正实数. 由x>0,2>0,得k-1>0. ∴4ac(k-1)>0. ∵(a-kc)2≥0, ∴Δ=(a-kc)2+4ac(k-1)>0.此时方程②有两个不相等的实数根. 证法二:若ac>0, ∵抛物线y=ax2-bx+kc与x轴有交点, ∴Δ1=(-b)2-4akc=b2-4akc≥0. (b2-4ac)-(b2-4akc)=4ac(k-1). 由证法一知k-1>0, ∴b2-4ac>b2-4akc≥0. ∴Δ=b2-4ac>0.此时方程②有两个不相等的实数根. 综上,方程②必有两个不相等的实数根. 24.解:(1)DF=EF. (2)猜想:DF=FE. 证明:如图①所示,过点D作DG⊥AB于G,则∠DGB=90°. ∵DA=DB,∠ADB=60°,∴AG=BG,△DBA是等边三角形.∴DB=BA. ∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,∴AC=AB=BG. ∴△DBG≌△BAC.∴DG=BC. ∵BE=EC,∠BEC=60°,∴△EBC是等边三角形. ∴BC=BE,∠CBE=60°.∴DG=BE,∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°. ∵∠DFG=∠EFB,∠DGF=∠EBF,∴△DFG≌△EFB.∴DF=EF. 第24题答图 (3)猜想:DF=FE. 证法一:如图②所示,过点D作DH⊥AB于H,连结HC,HE,HE交CB于K,则∠DHB=90°. ∵DA=DB,∴AH=BH,∠1=∠HDB. ∵∠ACB=90°,∴HC=HB. ∵EB=EC,HE=HE,∴△HBE≌△HCE.∴∠2=∠3,∠4=∠BEH. ∴HK⊥BC.∴∠BKE=90°. ∵∠ADB=∠BEC=2∠ABC,∴∠HDB=∠BEH=∠ABC. ∴∠DBC=∠DBH+∠ABC=∠DBH+∠HDB=90°, ∠EBH=∠EBK+∠ABC=∠EBK+∠BEK=90°. ∴DB∥HE,DH∥BE.∴四边形DHEB是平行四边形. ∴DF=EF. 证法二:如图③所示,分别过点D、E作DH⊥AB于H,EK⊥BC于K,连结HK,则∠DHB=∠EKB=∠EKC=90°. ∵∠ACB=90°,∴EK∥AC. ∵DA=DB,EB=EC,∴AH=BH,∠1=∠HDB,CK=BK,∠2=∠BEK. ∴HK∥AC.∴点H、K、E在同一条直线上. 下同证法一. 25.解:(1)依题意,设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+4,则 解得∴所求抛物线的解析式为. 由,解得x1=4,x2=-3. ∴D(4,0). (2)如图①,过点C作CN⊥x轴于N,过点E、B分别作x轴、y轴的垂线,两线交于点M. 则∠M=∠CNE=90°. 设E(a,0),EB=EC. ∴BM2+EM2=CN2+EN2. ∴(1-a)2+(4-0)2=(2-0)2+(3-a)2. 解得a=-1. ∴E(-1,0). (3)可求得直线BC的解析式为y=-x+5. 从而直线BC与x轴的交点为H(5,0). 如图②,根据轴对称性可知, 当点在BC上时,点F是BE的中点. ∵FG∥BC,∴△EFP ∽△EBH. 可证EP=PH. ∵E(-1,0),H(5,0), ∴P(2,0). 第25题答图 (i)如图③,分别过点B、C作BK⊥ED于K,CJ⊥ED于J, 则S△BCE=S△BEH-S△CEH=EH·(BK-CJ)=6. 当-1<x≤2时, ∵PF∥BC, ∴△EGP∽△ECH,△EFG∽△EBC. ,. ∵P(x,0),E(-1,0),H(5,0), ∴EP=x+1,EH=6. . (ii)如图④,当2<x≤4时,在x轴上截取一点Q,使得PQ=HP,过点Q作QM∥FG,分别交EB、EC于M、N.可证S=S四边形MNGF,△ENQ∽△ECH,△EMN∽△EBC. ,. ∵P(x,0),E(-1,0),H(5,0), ∴EH=6,PQ=PH=5-x,EP=x+1,EQ=6-2(5-x)=2x-4. . 同(i)可得. . 综上,, .查看更多