2019年全国中考真题分类汇编：函数与几何图形综合探究题（压轴）

2019年全国中考真题分类汇编：函数与几何图形综合探究题（压轴）

（分类）专题复习（九）函数与几何图形综合探究题（压轴） 类型 1 探究线段问题 类型 2 探究角度问题 类型 3 探究面积问题 类型 4 探究几何图形性质问题 类型 5 探究特殊三角形的存在性问题 类型 6 探究特殊四边形的存在性问题 类型 7 探究全等、相似三角形的存在性问题 类型 8 反比例函数与几何图形的综合 类型 9 其他问题 类型 1 探究线段问题 （2019 柳州） （2019 绵阳）在平面直角坐标系中，将二次函数 y＝ax2（a＞0）的图象向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位， 得到如图所示的抛物线，该抛物线与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧），OA＝1，经过点 A 的一次函数 y＝kx+b （k≠0）的图象与 y 轴正半轴交于点 C，且与抛物线的另一个交点为 D，△ABD 的面积为 5． （1）求抛物线和一次函数的解析式； （2）抛物线上的动点 E 在一次函数的图象下方，求△ACE 面积的最大值，并求出此时点 E 的坐标； （3）若点 P 为 x 轴上任意一点，在（2）的结论下，求 PE+ PA 的最小值． 解：（1）将二次函数 y＝ax2（a＞0）的图象向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，得到的抛物线解析式为 y ＝a（x﹣1）2﹣2， ∵OA＝1， ∴点 A 的坐标为（﹣1，0），代入抛物线的解析式得，4a﹣2＝0， ∴ ， ∴抛物线的解析式为 y＝ ，即 y＝ ． 令 y＝0，解得 x1＝﹣1，x2＝3， ∴B（3，0）， ∴AB＝OA+OB＝4， ∵△ABD 的面积为 5， ∴ ＝5， ∴yD＝ ，代入抛物线解析式得， ， 解得 x1＝﹣2，x2＝4， ∴D（4， ）， 设直线 AD 的解析式为 y＝kx+b， ∴ ，解得： ， ∴直线 AD 的解析式为 y＝ ． （2）过点 E 作 EM∥y 轴交 AD 于 M，如图，设 E（a， ），则 M（a， ）， ∴ ＝ ， ∴S△ACE＝S△AME﹣S△CME＝ ＝ ＝ ， ＝ ， ∴当 a＝ 时，△ACE 的面积有最大值，最大值是 ，此时 E 点坐标为（ ）． （3）作 E 关于 x 轴的对称点 F，连接 EF 交 x 轴于点 G，过点 F 作 FH⊥AE 于点 H，交轴于点 P， ∵E（ ），OA＝1， ∴AG＝1+ ＝ ，EG＝ ， ∴ ， ∵∠AGE＝∠AHP＝90° ∴sin ， ∴ ， ∵E、F 关于 x 轴对称， ∴PE＝PF， ∴PE+ AP＝FP+HP＝FH，此时 FH 最小， ∵EF＝ ，∠AEG＝∠HEF， ∴ ＝ ， ∴ ． ∴PE+ PA 的最小值是 3． （2019 张家界）已知抛物线 cbxaxy  2 ( a ≠0)过点 A(1,0), B(3,0)两点,与 y 轴交于点 C, OC=3. (1) 求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标; (2) 过点 A 作 AM⊥BC,垂足为 M, 求证:四边形 ADBM 为正方形; (3) 点 P 力抛物线在直线 BC 下方图形上的一动点,当 PBC 面积最大时，求 P 点坐标及最大面积的值; (4) 若点 Q 为线段 OC 上的一动点,问 AQ+ 2 1 QC 是否存在最小值?若存在,求岀这个最小值,若不存在,请说明理由. （2019 河南） （2019 贺州） （2019 黄石）如图，已知抛物线 21 3y x bx c   经过点 A（-1,0）、 B （5,0）.（1）求抛物线的解析式，并写出 顶点 M 的坐标； （2）若点 C 在抛物线上，且点 C 的横坐标为 8，求四边形 AMBC 的面积 （3）定点 (0, )D m 在 y 轴上，若将抛物线的图象向左平移 2 各单位，再向上平移 3 个单位得到一条新的抛物线， 点 P 在新的抛物线上运动，求定点 D 与动点 P 之间距离的最小值 d （用含 m 的代数式表示） （2019东营）已知抛物线 y  ax2  bx  4经过点 A（2,0）、B（-4,0），与 y 轴交于点C. （1）求这条抛物线的解析式； （2）如图 1，点P 是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形 ABPC 的面积最大时， 求点 P 的坐标； （3）如图 2，线段 AC 的垂直平分线交 x 轴于点 E，垂足为 D，M 为抛物线的顶点，在直线DE 上是否存在一点 G， 使△CMG 的周长最小？若存在，求出点 G 的坐标；若不存在，请说明理由. （2019 乐山）如图 15 ，已知抛物线 )6)(2(  xxay 与 x 轴相交于 A 、 B 两点，与 y 轴交于 C 点，且 tan 2 3CAB .设抛物线的顶点为 M ，对称轴交 x 轴于点 N . （1）求抛物线的解析式； （2） P 为抛物线的对称轴上一点， )0,(nQ 为 x 轴上一点，且 PCPQ  . ①当点 P 在线段 MN (含端点)上运动时，求 n 的变化范围； ②当 n 取最大值时，求点 P 到线段 CQ 的距离； ③当 n 取最大值时，将线段．．CQ 向上平移 t 个单位长度，使得线段．．CQ 与抛物线有两个交点，求t 的取值范围. 图15 备用图 解：（1）根据题意得： )0,2(A , )0,6(B ， 在 AOCRt 中， 2 3tan  AO COCAO ,且 2OA ,得 3CO ， )3,0(C ,将C 点坐标代入 )6)(2(  xxay 得： 4 1a ， 故抛物线解析式为： )6)(2(4 1  xxy ； （2）①由（1）知，抛物线的对称轴为： 2x ，顶点 M ( )4,2 ， 设 P 点坐标为 )2( m， （其中 40  m ）， 则 222 )3(2  mPC ， 222 )2(  nmPQ ， 222 3 nCQ  ，  PCPQ  ,在 PCQRt 中，由勾股定理得： 222 CQPQPC  , 即 222222 3)2()3(2 nnmm  ，整理得： )43(2 1 2  mmn 8 7)2 3(2 1 2  m （ 40  m ）， 当 2 3m 时， n 取得最小值为 8 7 ；当 4m 时， n 取得最大值为 4 ， 所以， 48 7  n ； ②由①知：当 n 取最大值 4 时， 4m ，  )4,2(P ， )0,4(Q ， 则 5PC , 52PQ , 5CQ ， 设点 P 到线段CQ 距离为 h ， 由 PQPChCQS PCQ  2 1 2 1 ， 得： 2 CQ PQPCh ，故点 P 到线段 CQ 距离为 2 ； ③由②可知：当 n 取最大值 4 时， )0,4(Q ， 线段 CQ 的解析式为： 34 3  xy ， 设线段CQ 向上平移t 个单位长度后的解析式为： txy  34 3 ， 当线段CQ 向上平移，使点Q 恰好在抛物线上时，线段CQ 与抛物线有两个交点， 此时对应的点 'Q 的纵坐标为： 3)64)(24(4 1  ， 将 )3,4('Q 代入 txy  34 3 得： 3t ， 当线段 CQ 继续向上平移，线段 CQ 与抛物线只有一个交点时， 联解        txy xxy 34 3 )6)(2(4 1 得： txxx  34 3)6)(2(4 1 ，化简得： 0472  txx ， 由 01649  t ，得 16 49t ， 当线段CQ 与抛物线有两个交点时， 16 493  t . （2019 宿迁） （2019 滨州） （2019 天津） （2019 重庆 B 卷）在平面直角坐标系中，抛物线 y= 32x2 3x4 3 2  与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 左侧）， 与 y 轴交于点 C，顶点为 D，对称轴与 x 轴交于点 Q. （1）如图 1，连接 AC，BC.若点 P 为直线 BC 上方抛物线上一动点，过点 P 作 PE∥y 轴交 BC 于点 E，作 PF⊥BC 于 点 F，过点 B 作 BG∥AC 交 y 轴于点 G.点 H，K 分别在对称轴和 y 轴上运动，连接 PH，HK.当△PEF 的周长最大时， 求 PH+HK+ 2 3 KG 的最小值及点 H 的坐标. （2）如图 2，将抛物线沿射线 AC 方向平移，当抛物线经过原点 O 时停止平移，此时抛物线顶点记为 D/，N 为直线 DQ 上一点，连接点 D/，C，N，△D/CN 能否构成等腰三角形？若能，直接写出满足条件的点 N 的坐标；若不能，请 说明理由. 提示：（1）易求 A(-2,0)，B(4,0)，C(0, 32 )，D(1, 4 39 )，△PEF∽△BOC. ∴当 PE 最大时，△PEF 的周长最大.易求直线 BC 的解析式为 y= 32x2 3  设 P(x, 32x2 3x4 3 2  )，则 E(x, 32x2 3  ) ∴PE= 32x2 3x4 3 2  -( 32x2 3  )= x3x4 3 2  ∴当 x=2 时，PE 有最大值. ∴P(2, 32 )，此时 如图，将直线 OG 绕点 G 逆时针旋转 60 °得到直线 l， 过点 P 作 PM⊥l 于点 M，过点 K 作 KM/⊥l 于 M/. 则 PH+HK+ 2 3 KG= PH+HK+KM/≥PM 易知∠POB=60°.POM 在一直线上. 易得 PM=10，H(1, 3 ) （2）易得直线 AC 的解析式为 y= 32x3  ，过 D 作 AC 的平行线，易求此直线的解析式为 y= 4 35x3  ，所以可 设 D/(m, 4 35m3  )，平移后的抛物线 y1= 4 35m3)mx(4 3 2  .将（0，0）代入解得 m1=-1（舍），m2=5.所以 D/(5, 4 325 ). 设 N(1,n)，又 C(0, 32 )，D/(5, 4 325 ). 所以 NC2=1+(n- 32 )2，D/C2= 22 )324 325(5  = 16 1267 ，D/N2= 22 )n4 325()15 （ . 分 NC2= D/C2；D/C2= D/N2；NC2= D/N2.列出关于 n 的方程求解. 答案 N1(1, 4 139338  )，N2(1, 4 139338  )，N3(1, 4 1011325  )，N4(1, 4 1011325  )， N5(1, 136 3641 ). 类型 2 探究角度问题 （2019 玉林） （2019 海南） （2019 烟台） （2019 兰州） （2019 苏州）如图①，抛物线 axaxy  )1(2 与 x 轴交于 A, B 两点(点 A 位于点 B 的左侧), 与 y 轴交于点 C.已知△ABC 的面积是 6 (1)求 a 的值 (2)求△ABC 外接圆圆心的坐标 (3)如图②，P 是抛物线上一点，Q 为射线 CA 上一点，且 P、Q 两点均在第三象限内， Q、A 是位于直线 BP 同侧的不同两点，若点 P 到 x 轴的距离为 d ,△QPB 的面积为 d2 ,且 AQBPAQ  ，求点 Q 的坐标 （2019 资阳） （2019 遂宁） （2019 盐城） （2019 重庆 A 卷）如图，在平面在角坐标系中，抛物线 y=x2-2x-3 与 x 轴交与点 A，B（点 A 在点 B 的左侧）交 y 轴于点 C，点 D 为抛物线的顶点，对称轴与 x 轴交于点 E． （1）连结 BD，点 M 是线段 BD 上一动点（点 M 不与端点 B，D 重合），过点 M 作 MN⊥BD 交抛物线于点 N（点 N 在对称轴的右侧），过点 N 作 NH⊥x 轴，垂足为 H，交 BD 于点 F，点 P 是线段 OC 上一动点，当 MN 取得最 大值时，求 HF+FP+ 1 3 PC 的最小值； （2）在（1）中，当 MN 取得最大值 HF+FP+1/3PC 取得小值时，把点 P 向上平移个 2 2 单位得到点 Q，连结 AQ， 把△AOQ 绕点 O 瓶时针旋转一定的角度 （0°< <360°），得到△AOQ，其中边 AQ 交坐标轴于点 C 在旋转 过程中，是否存在一点 G 使得 OGQQ ''  ？若存在，请直接写出所有满足条件的点 Q 的坐标；若不存在，请 说明理由． （2019 南充）如图，抛物线 cbxaxy  2 与 x 轴交于点 A（-1，0），点 B（-3,0），且 OB=OC. （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 在抛物线上，且∠POB=∠ACB，求点 P 的坐标； （3）抛物线上两点 M，N，点 M 的横坐标为 m，点 N 的横坐标为 m+4.点 D 是抛物线上 M，N 之间的动点，过点 D 作 y 轴的平行线交 MN 于点 E. ①求 DE 的最大值.②点 D 关于点 E 的对称点为 F.当 m 为何值时，四边形 MDNF 为矩形？ 解：（1）∵OB=OC，B（-3,0），∴C（0，-3）（1 分） 又题意可得：       3 039 0 c cba cba 解得： 3,4,1  cba .∴ 342  xxy （3 分） （2）过点 A 作 AG⊥BC 于点 G，如图所示，BG=AG=AB·sin45°= 2 （4 分） ∵BC= 232 OB ，∴CG=BC-BG= 22 ，∴tan∠ACG= 2 1 CG AG （5 分） 设 P（ 34, 2  ttt ），过点 P 作 PQ⊥x 轴于 Q，tan∠POQ=tan∠ACG= 2 1 . ①当 P 在 x 轴上方时， 034,0 2  ttt 则 PQ= tOQtt  ,342 ，tan∠POQ= 0672,2 134 2 2   ttt tt OQ PQ 解得 2 3,2 21  tt ，∴ )4 3,2 3(),1,2( 21  PP （6 分） ②当点 P 在第三象限时， 0692,2 134 2 2   ttt yt ， 解得： 4 339,4 339 43  tt ∴ )8 339,4 339(),8 339,4 339( 43  PP （7 分） ③当点 P 在第四象限时，∠POB＞90°，而∠ACB＜90°，∴点 P 不在第四象限 故点 P 坐标为 ),1,2( 或 )4 3,2 3( 或 )8 339,4 339(  或 )8 339,4 339(  （3）①由已知， )3)4(4)4(,4(),34,( 22  mmmNmmmM 即 )3512,4( 2  mmmN ，设直线 MN 为 nkxy  得：      3512)4( 34 2 2 mmnmk mmnkm 解得：      34 82 2 mmn mk 故 MN 为 )34()8( 2  mmxmy （8 分） 设 )34,( 2  tttD ， ))34()82(,( 2  mmtmtE ∴DE=  )34( 2 tt )]34()82[( 2  mmtm =   4)2()4()2(2 222  mtmmtmt ， 当 2 mt 时，DE 最大值为 4（9 分） ②当 DE 最大时，点 )198,2( 2  mmmE 为 MN 的中点. 由已知，点 E 为 DF 的中点，∴当 DE 最大时，四边形 MDNF 为平行四边形. 如果□MDNF 为矩形，则 ,4 222 DEDFMN  故 222 44)328(4  m ， 化简得， 4 3)4( 2 m ，故 2 34 m . 当 2 34 m 或 2 34  时，四边形 MDNF 为矩形（10 分） （2019 泰安） （2019 德州）如图，抛物线 y=mx2-5 2mx-4 与 x 轴交于 A（x1，0），B（x2，0）两点，与 y 轴交于点 C，且 x2-x1=11 2 ． （1）求抛物线的解析式； （2）若 P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上的两点，当 a≤x1≤a+2，x2≥9 2 时，均有 y1≤y2，求 a 的取值范围； （3）抛物线上一点 D（1，-5），直线 BD 与 y 轴交于点 E，动点 M 在线段 BD 上，当 ∠ BDC= ∠ MCE 时，求点 M 的 坐标． 类型 3 探究面积问题 （2019吉林） （2019绥化） （2019广元） （2019常州） （2019益阳） （2019湘西）如图，抛物线y=ax2+bx（a>0）过点E（8，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左侧）， 点C、D在抛物线上，∠BAD的平分线AM交BC于点M，点N是CD的中点，已知OA=2，且OA：AD=1：3. （1）求抛物线的解析式； （2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、C、F构成四边形MNGF，求四边形MNGF周长的最小值； （3）在 x 轴下方且在抛物线上是否存在点 P，使 △ ODP 中 OD 边上的高为若存在，求 出点 P 的坐标；若 不存在，请说明理由； （4）矩形 ABCD 不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点 K、L，且直线 KL 平分矩形 的面积时，求抛物线平移的距离。 （2019 十堰） （2019 毕节） （2019 淮安） （2019 呼和浩特） （2019 荆门） （2019 黔东南）已知抛物线 y=ax2+bx+3 经过点 A(1,0)和点 B(-3,0),与 y 轴交于点 C, 点 P 为第二象限内抛物线上的动点. (1)抛物线的解析式为,抛物线的顶点坐标为; (2)如图 26-1,连接 OP 交 BC 于点 D,当 S△CPD:S△BPD=1:2 时,请求出点 D 的坐标; (3)如图 26-2,点 E 的坐标为(0,-1),点 G 为 x 轴负半轴上的一点,∠OGE=15°, 连接 PE,若∠PEG=2∠OGE,请求出点 P 的坐标; (4)如图 26-3,是否存在点 P,使四边形 BOCP 的面积为 8?若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 （2019 深圳） （2019 天水）如图，已知抛物线 cbxaxy  2 经过点 A（-3，0）、B（9，0）和 C（0，4），CD 垂直于 y 轴，交 抛物线于点 D，DE 垂直于 x 轴，垂足为 E，直线l 是该抛物线的对称轴，点 F 是抛物线的顶点. （1）求出该二次函数的表达式及点 D 的坐标； （2）若 Rt△AOC 沿 x 轴向右平移，使其直角边 OC 与对称轴l 重合，再沿对称轴l 向上平移到点 C 与点 F 重合，得 到 Rt△ FOA 11 ，求此时 Rt△ FOA 11 与矩形 OCDE 重叠部分图形的面积; （3）若△Rt△AOC 沿 x 轴向右平移 t 个单位长度（0＜t≤6）得到 Rt△ 222 COA ，Rt△ 222 COA 与△Rt△OED 重叠部 分图形的面积记为 S，求 S 和 t 之间的函数表达式，并写出自变量 t 的取值范围. （2019 武汉）已知抛物线 C1：y＝(x－1)2－4 和 C2：y＝x2 (1) 如何将抛物线 C1 平移得到抛物线 C2？ (2) 如图 1，抛物线 C1 与 x 轴正半轴交于点 A，直线 bxy  3 4 经过点 A，交抛物线 C1 于另一点 B．请你在线段 AB 上取点 P，过点 P 作直线 PQ∥y 轴交抛物线 C1 于点 Q，连接 AQ ① 若 AP＝AQ，求点 P 的横坐标 ② 若 PA＝PQ，直接写出点 P 的横坐标 (3) 如图 2，△MNE 的顶点 M、N 在抛物线 C2 上，点 M 在点 N 右边，两条直线 ME、NE 与抛物线 C2 均有唯一公共 点，ME、NE 均与 y 轴不平行．若△MNE 的面积为 2，设 M、N 两点的横坐标分别为 m、n，求 m 与 n 的数量关系 （2019 常德） （2019 聊城） （2019 衡阳） （2019 巴中） （2019 临沂）在平面直角坐标系中，直线 2y x= + 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，抛物线 2 ( 0)y ax bx c a= + + ＜ 经过点 A、B. （1） 求 a b、 满足的关系式及 c 的值。 （2） 当 0x＜ 时，若 2 ( 0)y ax bx c a= + + ＜ 的函数值随 x 的增大而增大，求 a 的取值范围。 （3） 如图，当 1a = - 时，在抛物线上是否存在点 P，使△PAB 的面积为 1，若存在，请求出符合条件的所有点 P 的坐标，若不存在，请说明理由。 （2019 宜宾） （2019 凉山州）如图，抛物线 cbxaxy  2 的图象过点 A（-1,0）、B（3,0）、C（0,3）. （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使得△PAC 的周长最小，若存在，请求出点 P 的坐标及△PAC 的周长； 若不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，在 x 轴上方的抛物线上是否存在点 M（不与点 C 重合），使得 S△PAM=S△PAC，若存在，请求 出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由. （2019 达州） 解：（1）∵ ， ∴ 1 0 9 3 0 b c b c         ，解得： ， ∴抛物线的解析式为 2 2 3y x x    ， ∵ 2 2 3y x x    = 2( 1) 4x   ， ∴抛物线的顶点坐标为（-1，4）. 缺------ （2019 枣庄）如图，已知抛物线 y= 42 32  xax 的对称轴是直线 x =3，且与 x 轴相交于 A，B 两点（B 点在 A 点 右侧）与 y 轴交于点 C． （1）求抛物线的解折式和 A、B 两点的坐标； （2）如图 1，若点 P 是抛物线上 B、C 两点之间的一个动点（不与 B、C 重合），,是否存在点 P，使四边形 PBOC 的面积最大?若存在，求点 P 的坐标及四边形 PBOC 面积的最大值；若不存在，试说明理由； （3）如图 2，若 M 是抛物线上任意一点，过点 M 作 y 轴的平行线，交直线 BC 于点 N，当 MN=3 时，求点 M 的 坐标． （2019 自贡）如图，已知直线 AB 与抛物线 cxaxyC  2: 2 相交于点 A（-1,0）和点 B（2,3）两点. （1）求抛物线 C 函数表达式； （2）若点 M 是位于直线 AB 上方抛物线上的一动点，以 MA、MB 为相邻的两边作平行四边形 MANB，当平行四边 形 MANB 的面积最大时，求此时平行四边形 MANB 的面积 S 及点 M 的坐标； （3）在抛物线 C 的对称轴上是否存在定点 F，使抛物线 C 上任意一点 P 到点 F 的距离等于到直线 4 17y 的距离， 若存在，求出定点 F 的坐标；若不存在，请说明理由. 解：（1）把 A（-1,0），B（2,3）代入抛物线得      344 02 ca ca 解之得      3 1 c a ∴抛物线 C 的函数表达式为： 322  xxy （2）∵A（-1,0），B（2,3），∴直线 AB 的解析式为： 1 xy ，如图所示，过 M 作 MN∥y 轴交 AB 于 N，设 )32,( 2  mmmM ，则 )1,( mmN ，（-1＜m＜2） ∴ 22  mmyyMN NM ，∴S△ABM=S△AMN+S△BMN= MNxx AB )(2 1  ∴S△ABM= 8 27)2 1(2 33)2(2 1 22  mmm ，∴当 2 1m 时，△ABM 的面积有最大值 8 27 ，而 S□MANB=2S△ ABM= 4 27 ，此时 )2 7,2 1(M （3）存在，点 )4 15,1(F 理由如下：令抛物线顶点为 D，则 D（1,4），则顶点 D 到直线 4 17y 的距离为 4 1 ，设 ),1( nF 设 )32,( 2  xxxP ， 设 P 到直线 4 17y 的距离为 PG.则 PG= 4 52)32(4 17 22  xxxx ，∵P 为抛物线上任意一点都有 PG=PF，∴当 P 与顶点 D 重合时，也有 PG=PF. 此时 PG= 4 1 ，即顶点 D 到直线 4 17y 的距离为 4 1 ∴PF=DF= 4 1 ，∴ )4 15,1(F ，∵PG=PF，∴ 22 PFPG  ， ∵ 2222222 )4 32()1()324 15()1(  xxxxxxPF 222 )4 52(  xxPG ∴ 222222 )4 32()1()324 15()1(  xxxxxx 22 )4 52(  xx 整理化简可得 00 x ，∴当 )4 15,1(F 时，无论 x 取任何实数，均有 PG=PF 类型 4 探究几何图形性质问题 （2019 娄底） （2019 泸州）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知二次函数 cbxaxy  2 的图象经过点 A（-2,0），C（0，-6）， 其对称轴为直线 2x . （1）求该二次函数的解析式； （2）若直线 mxy  3 1 将△AOC 的面积分成相等的两部分，求 m 的值； （3）点 B 是该二次函数图象与 x 轴的另一个交点，点 D 是直线 2x 上位于 x 轴下方的动点，点 E 是第四象限内 该二次函数图象上的动点，且位于直线 2x 右侧.若以点 E 为直角顶点的△BED 与△AOC 相似，求点 E 的坐标. （2019 新疆） （2019 咸宁）如图，在平面直角坐标系中，直线 22 1  xy 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，抛物线 cbxxy  2 2 1 经过 A,B 两点且与 x 轴的负半轴交于点 C. （1）求该抛物线的解析式； （2）若点 D 为直线 AB 上方抛物线上的一个动点，当∠ABD=2∠BAC 时，求点 D 的坐标； （3）已知 E,F 分别是直线 AB 和抛物线上的动点，当 B,O,E,F 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合 条件的 E 点的坐标. （2019 鄂州）如图，已知抛物线 y=-x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，AB＝4，交 y 轴于点 C，对称轴是直线 x=1. （1）求抛物线的解析式及点 C 的坐标； （2）连接 BC，E 是线段 OC 上一点，E 关于直线 x=1 的对称点 F 正好落在 BC 上，求点 F 的坐标； （3）动点 M 从点 O 出发，以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运动，过 M 作 x 轴的垂线交抛物线于点 N，交线段 BC 于点 Q.设运动时间为 t(t>0)秒. ①若△AOC 与△BMN 相似，请直接写出 t 的值； ②△BOQ 能否为等腰三角形？若能，求出 t 的值；若不能，请说明理由. 解：（1））∵点 A、B 关于直线 x=1 对称，AB＝4 ∴A（－1，0），B（3，0） …………1′ 代入 y=-x2+bx+c 中，得： − 9 + 3b + c = 0 − 1 − b + c = 0 解得 b = 2 c = 3∴抛物线的解析式为 y=-x2+2x+3 …………2′ ∴C 点坐标为（0，3） …………3′ （2）设直线 BC 的解析式为 y=mx+n，则有： n = 3 3m + n = 0解得 m = − 1 n = 3∴直线 BC 的解析式为 y=-x+3 …………4′ ∵点 E、F 关于直线 x=1 对称 ， 又 E 到对称轴的距离为 1， ∴ EF=2 ∴F 点的横坐标为 2，将 x=2 代入 y=-x+3 中， 得：y=-2+3=1 ∴F（2，1） …………6′ （3）○1 t=1 (若有 t = 3 2 ,则扣 1 分) …………9′ ○2 ∵M（2t,0）,MN⊥x 轴 ∴Q（2t,3-2t） ∵△BOQ 为等腰三角形, ∴分三种情况讨论 第一种，当 OQ＝BQ 时， ∵QM⊥OB ∴OM＝MB ∴2t=3-2t ∴t= 3 4 …………10′ 第二种，当 BO＝BQ 时，在 Rt△BMQ 中 ∵∠OBQ ＝45O ∴ BQ＝ 2BM ∴BO＝ 2BM 即 3＝ 2(3 − 2t) ∴t＝ 6 − 3 2 4 …………11′ 第三种，当 OQ＝OB 时，则点 Q、C 重合，此时 t=0 而 t>0，故不符合题意 综上述，当 t= 3 4 秒或 6 − 3 2 4 秒时，△BOQ 为等腰三角形. …………12′（解法正确即可） （2019 广东）如题 25-1 图,在平面直角坐标系中,抛物线 y= 8 37 4 33 8 3y 2  xx 与 x 轴交于点 A、B(点 A 在点 B 右侧),点 D 为抛物线的顶点,点 C 在 y 轴的正半轴上,CD 交 x 轴于点 F,△CAD 绕点 C 顺时针旋转得到△CFE, 点 A 恰好旋转到点 F,连接 BE. (1)求点 A、B、D 的坐标; (2)求证:四边形 BFCE 是平行四边形; (3)如题 25-2 图,过项点 D 作 DD2,⊥x 轴于点 D1,点 P 是抛物线上一动点,过点 P 作 PM⊥x 轴,点 M 为垂足,使得△ PAM 与△DD,A 相似(不含全等). ①求出一个满足以上条件的点 P 的横坐标: ②直接回答这样的点 P 共有几个? 解： （2019 福建）已知抛物线 y=ax2+bx+c(b<0)与轴只有一个公共点. (1)若公共点坐标为(2，0)，求 a、c 满足的关系式； (2)设 A 为抛物线上的一定点，直线 l：y=kx+1－k 与抛物线交于点 B、C 两点，直线 BD 垂直于 直线 y=－1,垂足为点 D.当 k＝0 时，直线 l 与抛物线的一个交点在 y 轴上，且△ABC 为等腰直角三角形. ①求点 A 的坐标和抛物线的解析式； ②证明：对于每个给定的实数 k，都有 A、D、C 三点共线. 解：(1) y=a(x－2)2, c=4a; (2) y=kx+1－k= k(x－1)+1 过定点(1,1), 且当 k＝0 时，直线 l 变为 y=1 平行 x 轴,与轴的交点为(0,1) 又△ABC 为等腰直角三角形，∴点 A 为抛物线的顶点 ①c=1，顶点 A(1,0) 抛物线的解析式: y= x2－2x+1. ②      kkxy xxy 1 122 x2－(2+k)x+k＝0, x＝ 2 1 (2+k± 42 k ) xD＝xB＝ 2 1 (2+k－ 42 k ), yD=－1； D          1,2 41 2kk yC＝ 2 1 (2+k2+k 42 k , C          2 )4(1,2 41 22 kkkkk , A(1,0) ∴直线 AD 的斜率 k AD= 4 2 2   kk = 2 42  kk , 直线 AC 的斜率 k AC= 2 42  kk ∴k AD= k AC, 点 A、C、D 三点共线. （2019 攀枝花）已知抛物线 2y x bx c    的对称轴为直线 x＝1，其图象与 x 轴相交于 A，B 两点，与 y 轴相交 于点 C(0，3)． （1）求 b，c 的值； （2）直线 l 与 x 轴相交于点 P．①如图 1，若 l∥y 轴，且与线段 AC 及抛物线分别相交于点 E，F，点 C 关于直线 x ＝1 的对称点为点 D，求四边形 CEDF 面积的最大值；②如图 2，若直线 l 与线段 BC 相交于点 Q，当△PCQ∽△CAP 时，求直线 l 的表达式． （2019 无锡）已知二次函数 42  bxaxy (a＞0)的图像与 x 轴交于 A、B 两点，（A 在 B 左侧，且 OA＜OB）， 与 y 轴交于点 C．D 为顶点，直线 AC 交对称轴于点 E，直线 BE 交 y 轴于点 F，AC：CE＝2：1． （1）求 C 点坐标，并判断 b 的正负性； （2）设这个二次函数的图像的对称轴与直线 AC 交于点 D，已知 DC：CA＝1：2，直线 BD 与 y 轴交于点 E， 连接 BC．①若△BCE 的面积为 8，求二次函数的解析式；②若△BCD 为锐角三角形，请直接写出 OA 的取值范围． （1）令 x=0，则 4y ，∴C（0，-4） ∵OA＜OB，∴对称轴在 y 轴右侧，即 02 a b ∵a＞0，∴b＜0 （2） ①过点 D 作 DM⊥oy，则 2 1 CO MC OA DM CA DC , ∴ AODM 2 1 设 A（-2m，0）m＞0，则 AO=2m,DM=m ∵OC=4，∴CM=2 ∴D（m，-6），B（4m，0） A 型相似可得 OB BN OE DN  ∴OE=8 8442 1 BEF△  mS ∴ 1m ∴A（-2，0），B（4,0） 设 )4)(2(  xxay 即 aaxaxy 822  令 x=0，则 y=-8a ∴C（0，-8a） ∴-8a=-4，a= 2 1 ∴ 42 1 2  xxy ②易知：B（4m，0）C（0，-4）D（m，-6），通过分析可得∠CBD 一定为锐角 计算可得 2 2 2 2 2 216 16, 4, 9 36CB m CD m DB m      1°当∠CDB 为锐角时， 2 2 2CD DB CB ＞ 2 2 24 9 36 16 16m m m   ＞ ，解得 2 m 2 ＜ ＜ 2°当∠BCD 为锐角时， 2 2 2CD CB DB ＞ 2 2 24 16 16 9 36m m m   ＞ ,解得 m 2 m 2＞ 或 ＜- （舍） 综上： 2 m 2＜ ＜ ， 2 2 m 4＜2 ＜ ∴ 2 2 4OA＜ ＜ （2019 长沙） （2019 潍坊） （2019 连云港）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 L1： 2y x bx c   过点 C(0，﹣3)，与抛物线 L2： 21 3 22 2y x x    的一个交点为 A，且点 A 的横坐标为 2，点 P、Q 分别是抛物线 L1、抛物线 L2 上的动点． （1）求抛物线 L1 对应的函数表达式； （2）若以点 A、C、P、Q 为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点 P 的坐标； （3）设点 R 为抛物线 L1 上另一个动点，且 CA 平分∠PCR，若 OQ∥PR，求出点 Q 的坐标． （2019 成都）如图，抛物线 y＝ cbxax 2 经过点 A（-2,5），与 x 轴相交于 B（-1，0），C（3,0）两点， （1）抛物线的函数表达式； （2）点 D 在抛物线的对称轴上，且位于 x 轴的上方，将△BCD 沿沿直线 BD 翻折得到△B CD，若点 C恰好落在 抛物线的对称轴上，求点 C和点 D 的坐标； （3）设 P 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点 Q 在抛物线的对称轴上，当△CPQ 为等边三角形时，求直线 BP 的函数表达式. 类型 5 探究特殊三角形的存在性问题 （2019 眉山）如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝﹣ 9 4 x2+bx+c 经过点 A（﹣5，0）和点 B（1，0）. （1）求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标； （2）点 P 是抛物线上 A、D 之间的一点，过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E，PG⊥y 轴，交抛物线于点 G.过点 G 作 GF⊥x 轴于点 F.当矩形 PEFG 的周长最大时，求点 P 的横坐标； （3）如图 2，连接 AD、BD，点 M 在线段 AB 上（不与 A、B 重合），作∠DMN＝∠DBA, MN 交线段 AD 于点 N，是否存在这样点 M，使得△DMN 为等腰三角形？若存在，求出 AN 的长；若不存在，请说明理由. BA C O D E F GP y x 图 1 图 2 A B C D y xM N O 解：（1）抛物线的解析式为：y＝﹣ 9 4 (x+5）(x﹣1) ＝﹣ 9 4 x2﹣ 9 16 x+ 9 20 ………………2 分 配方得：y＝﹣ 9 4 （x+2）2+4 ，∴顶点 D 的坐标为（﹣2，4）. ………………………………3 分 （2）设点 P 的坐标为（a，﹣ 9 4 a2﹣ 9 16 a+ 9 20 ）, 则 PE＝﹣ 9 4 a2﹣ 9 16 a+ 9 20 ，PG＝2(﹣2﹣a)＝﹣4﹣2a. ………………………………4 分 ∴矩形 PEFG 的周长＝2(PE+PG)＝2(﹣ 9 4 a2﹣ 9 16 a+ 9 20 ﹣4﹣2a) ＝﹣ 9 8 a2﹣ 9 68 a﹣ 9 32 ＝﹣ 9 8 (a+ 4 17 )2+ 18 225 ……………………………6 分 ∵﹣ 9 8 ＜0, ∴当 a＝﹣ 4 17 时，矩形 PEFG 的周长最大， 此时，点 P 的横坐标为﹣ 4 17 .…………………… ………7 分 （3）存在. ∵AD＝BD， ∴∠DAB＝∠DBA. ∵∠AMN+∠DMN＝∠MDB+∠DBA, 又∵∠DMN＝∠DBA, ∴∠AMN＝∠MDB, ∴△AMN∽△BDM, ∴ MB AN ＝ DB AM ………………………………………………………8 分 易求得：AB＝6，AD＝DB＝5. △DMN 为等腰三角形有三种可能： ①当 MN＝DM 时，则△AMN≌△BDM, ∴AM＝BD＝5, ∴AN＝MB＝1; ………………………………………………………9 分 ②当 DN＝MN 时，则∠ADM＝∠DMN＝∠DBA, 又∵∠DAM＝∠BAD, ∴△DAM∽△BAD, ∴AD2＝AM•BA. ∴AM＝ 6 25 , BM＝6﹣ 6 25 ＝ 6 11 , ∵ MB AN ＝ DB AM , ∴ 6 11 AN ＝ 5 6 25 , ∴AN＝ 36 55 . ………………………………………………………………10 分 ③DN＝DM 不成立. ∵∠DNM＞∠DAB, 而∠DAB＝∠DMN， ∴∠DNM＞∠DMN， ∴DN≠DM. 综上所述，存在点 M 满足要求，此时 AN 的长为 1 或 36 55 .………………………………………11 分 （2019 广西北部湾） （2019 随州） （2019 黄冈）如图 1 在平面直角坐标系 xoy 中，已知 A（-2，2），B（-2，0），C（0，2），D（2，0）四点，动点 M 以每秒 2 个单位长度的速度沿 B→C→D 运动（M 不与点 B、点 D 重合），设运动时间为 t（秒）. （1）求经过 A、C、D 三点的抛物线的解析式； （2）点 P 在（1）中的抛物线上，当 M 为 BC 的中点时，若 ∆PAM ≅ ∆PBM ，求点 P 的坐标； （3）当 M 在 CD 上运动时，如图 2，过点 M 作 MF⊥x 轴，垂足为 F，ME 垂直 AB，垂足为 E.设矩形 MEBF 与 ∆BCD重叠部分的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式，并求出 S 的最大值； （4）点 Q 为 x 轴上一点，直线 AQ 与直线 BC 交于点 H，与 y 轴交于点 K.是否存在点 Q，使得 ∆HOK 为等腰三角形？ 若存在，直接写出符合条件的所有 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由. （2019 菏泽） （2019 淄博） （2019 陇南） 类型 6 探究特殊四边形的存在性问题 （2019 巴彦淖尔） （2019 齐齐哈尔） （2019 邵阳） （2019 荆州） （2019 贵港） （2019 山西） （2019 孝感）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 aaxaxy 822  与 x 轴相交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C（0，-4）. （1）点 A 的坐标为 ☆ ，点 B 的坐标为 ☆ ，线段 AC 的长为 ☆ ，抛物线的解析式为 ☆ . （4 分） （2）点 P 是线段 BC 下方抛物线上的一个动点. ①如果在 x 轴上存在点 Q，使得以点 B、C、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形。求点 Q 的坐标. ②如图 2，过点 P 作 PE∥CA 交线段 BC 于点 E，过点 P 作直线 tx  交 BC 于点 F，交 x 轴于点 G，记 PE= f ，求 f 关 于 t 的函数解析式；当 t 取 m 和 )20(2 1-4  mm 时，试比较 f 的对应函数值 1f 和 2f 的大小.（5 分） （2019 广安） 类型 7 探究全等、相似三角形的存在性问题 （2019 郴州）已知抛物线 y=ax2 +bx+3 与 x 轴分别交于 A(-3，0)，B(1，0)两点，与 y 轴交于点 C. （1）求抛物线的表达式及顶点 D 的坐标； （2）点 F 是线段 AD 上一个动点． ①如图 1，设 k= AF AD ，当 k 为何值时，CF= 1 2 AD？ ②如图 2，以 A，F，O 为顶点的三角形是否与△ABC 相似？若相似，求出点 F 的坐标；若不相似，请说明理由． （2019 襄阳） （2019 安顺）如图，抛物线 y＝ 2 1 x2+bx+c 与直线 y＝ 2 1 x+3 分别相交于 A, B 两点，且此抛物线与 x 轴的一个交 点为 C，连接 AC, BC. 已知 A(0,3),C(－3,0). （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线对称轴 l 上找一点 M，使|MB－MC|的值最大，并求出这个最大值； （3）点 P 为 y 轴右侧抛物线上一动点，连接 PA,过点 P 作 PQ⊥PA 交 y 轴于点 Q，问：是否存在点 P 使得以 A,P,Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若还在存在，请说明理由. 解：（1） ① 将 A(0,3),C(－3,0)代入 y＝ 2 1 x2+bx+c 得      032 9 3 cb c 解得      3 2 5 c b ∴抛物线的解析式是 y＝ 2 1 x2+ 2 5 x+3 …………………… ………………………………………（4 分） （2）由        32 5 2 1 32 1 2xy xy 解得      3 0 1 1 y x ，      1 4 2 2 y x ∵A (0,3), ∴B(－4,1) ① 当点 B、C、M 三点不共线时， |MB－MC|< BC ②当点 B、C、M 三点共线时， |MB－MC|＝BC ∴当点、C、M 三点共线时，|MB－MC|取最大值，即为 BC 的长， 过点 B 作 x 轴于点 E，在 Rt△BEC 中，由勾股定理得 BC＝ 22 CEBE  ＝ 2 ∴|MB－MC|取最大值为 2 …………………… ………………………………………（8 分） （3）存在点 P 使得以 A、P、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似. 设点 P 坐标为（x, 32 5 2 1 2  xx ） (x>0) 在 Rt△BEC 中，∵BE＝CE＝1, ∴∠BCE＝450， 在 Rt△ACO 中，∵AO＝CO＝3, ∴∠ACO＝450， ∴∠ACB＝1800－450－450＝900， AC＝3 2 . 过点 P 作 PQ⊥PA 于点 P，则∠APQ＝900 ……………………………………（10 分） 过点 P 作 PQ⊥y 轴于点 G，∵∠ PQA＝∠APQ＝900 ∠ PAG＝∠QAP, ∴△PGA∽△QPA ∵∠ PGA＝∠ACB＝900 ∴ ① 当 AG PG ＝ AC BC ＝ 3 1 时，△PAG∽△BAC ∴ 3 1 332 5 2 1 2   xx x 解得 x1 ＝1, x2 ＝0, (舍去) ∴点 P 的纵坐标为 2 1 ×12+ 2 5 ×1+3＝6, ∴点 P 为（1，6）………………………………（12 分） ②当 AG PG ＝ BC AC ＝ 3 时，△PAG∽△ABC ∴ 3 332 5 2 1 2   xx x 解得 x1 ＝－ 3 13 (舍去), x2 ＝0(舍去), ∴此时无符合条件的点 P 综上所述，存在点 P（1，6） …………………… ………………………………………（14 分） （2019 岳阳） 类型 8 反比例函数与几何图形的综合 （2019 泰州） （2019 河池） 类型 9 其他问题 （2019 攀枝花）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(0，2)，动点 P 在 3 3y x 的图象上运动（不与 O 重合），连接 AP．过点 P 作 PQ⊥AP，交 x 轴于点 Q，连接 AQ． （1）求线段 AP 长度的取值范围； （2）试问：点 P 运动的过程中，∠QAP 是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由． （3）当△OPQ 为等腰三角形时，求点 Q 的坐标． （2019 怀化） （2019 宜昌）在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的四个顶点坐标分别为 A（-2,4），B（-2，-2），C（4，-2），D （4,4）. （1）填空：正方形的面积为；当双曲线 )0(  kx ky 与正方形 ABCD 有四个交点时， k 的取值范围是：； （2）已知抛物线 L： )0()( 2  anmxay 顶点 P 在边 BC 上，与边 AB，DC 分别相交于点 E，F，过点 B 的双 曲线 )0(  kx ky 与边 DC 交于点 N. ①点 )32,( 2  mmmQ 是平面内一动点，在抛物线 L 的运动过程中，点 Q 随 m 运动，分别切运动过程中点 Q 在 最高位置和最低位置时的坐标； ②当点 F 在点 N 下方，AE=NF，点 P 不与 B，C 两点重合时，求 CP CF BP BE  的值； ③求证：抛物线 L 与直线 1x 的交点 M 始终位于 x 轴下方. （2019 大庆）